গুণোত্তর ধারা

প্রশ্ন: একটি গুণোত্তর ধারার তৃতীয় পদ 1/8 এবং সাধারণ অনুপাত 1/2 হলে ধারাটির প্রথম পদ কত?

​সমাধান:
ধরি,
ধারাটির প্রথম পদ = a
সাধারণ অনুপাত = r
n-তম পদ = ar^{n - 1}

দেওয়া আছে,
ধারার সাধারণ অনুপাত, r = 1/2
এবং
তৃতীয় পদ = 1/8

প্রশ্নমতে,
a × (1/2)^{3 - 1} = 1/8
⇒ a × (1/2)² = 1/8
⇒ a × (1/4) = 1/8
⇒ a = 4/8
∴ a = 1/2
​
​∴ ধারাটির প্রথম পদ​ 1/2.

প্রশ্ন: কোনো গুণোত্তর ধারার দ্বিতীয় পদ b এবং সাধারণ অনুপাত r। যদি গুণোত্তর ধারার প্রথম তিনটি পদের গুণফল 343 হয়, তবে b = কত?

সমাধান:
ধরি, গুণোত্তর ধারাটির প্রথম তিনটি পদ হলো a, ar, এবং ar²
প্রশ্নমতে, ধারাটির দ্বিতীয় পদ, b = ar

প্রথম তিনটি পদের গুণফল = a × ar × ar² = 343
⇒ a³r³ = 343
⇒ (ar)³ = 343
⇒ b³ = 343 (যেহেতু b = ar)
⇒ b³ = 7³
∴ b = 7

{n(n+1)/2}²
= {20(20+1)/2}²
= 44100

প্রশ্ন: 1/3, 1/√3, 1,............ধারাটির কোন পদ 9 হবে?

সমাধান:
এটি একটি গুণোত্তর ধারা।

দেওয়া আছে
প্রথম পদ, a = 1/3​
অনুপাত, r = (1/√3)/(1/3​) = 3/√3 = (√3 × √3)/√3 = √3

আমরা জানি, 
গুণোত্তর ধারা n- তম পদ = ar^{n - 1}
ar^{n - 1} = 9
⇒ (1/3​) × (√3)^{n - 1} = 9
⇒ (√3)^{n - 1} = 27
⇒ (√3)^{n - 1} = (√3)⁶
⇒ n - 1 = 6
⇒ n = 6 + 1
∴ n = 7

সুতরাং, ধারাটির ৭ম পদ হবে 9.

১ম পদ (a) = 1/2,
সাধারণ অনুপাত (r) = (1/√2)/(1/2)
= 1/√2 × 2
= √2
∴ n-তম পদ = ar^n-1 = 8√2
বা, 1/2 × (√2)^n-1 = 8√2
বা, (√2)^n-1 = 16√2
বা, (√2)^n-2 = 16
বা, (√2)^n-2 = 2⁴
বা, (√2)^n-2 = (√2)⁸
বা, n - 2 = 8
∴ n = 10

প্রশ্ন: 1 + 2 + 4 + ................. 9 টি পদের সমষ্টি কত? 

সমাধান: 
ধারাটির ১ম পদ, a = 1 
ধারাটির সাধারণ অনুপাত, r = 2/1 = 2 
এখানে, r এর মান 1 থেকে বড়,
তাই,
ধারাটির সমষ্টি, Sn = a.(rⁿ - 1)/(r - 1)
= 1 × (2⁹ - 1)/(2 - 1)
= (512 - 1)/1
= 511

∴ 9 টি পদের সমষ্টি = 511  । 

১ম পদ (a) = 4,
সাধারন অনুপাত (r) = 8/4 = 2
ধরি, n-তম পদ = 1024
বা, a.r^{n - 1} = 1024
বা, 4.2^{n - 1} = 2¹⁰
বা, 2².2^{n - 1} = 2¹⁰
বা, 2^{n + 1} = 2¹⁰
বা, n + 1 = 10
∴ n = 9

প্রশ্ন:


সমাধান:

প্রশ্ন: 5, 15, 45, …, 3645 ধারাটির সমষ্টি কত?

সমাধান:
এখানে,
প্রথম পদ a = 5
সাধারণ অনুপাত, r = 15/5 = 3 (r > 1)

প্রশ্নমতে,
ar^{n - 1} = 3645
⇒5 × 3^{n - 1} = 3645
⇒ 3^{n - 1} = 3645/5
⇒ 3^{n - 1} = 729
⇒ 3^n-1 = 3⁶
⇒ n - 1 = 6
∴ n = 7

∴ ধারাটির সমষ্টি S_n= a.(rⁿ - 1)/(r - 1)
= {5 ×(3⁷ - 1)}/(3 - 1)}
= 5 × (2187 - 1)/2
= 5 × (2186/2)
= 5 × 1093
= 5465

প্রশ্ন: ২৫ + ২৯ + ৩৩ + ৩৭ + ....................... + ১৪১ ধারাটির পদসংখ্যা কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
সমান্তর ধারাটির প্রথম পদ, a = ২৫
সাধারণ অন্তর, d = ২৯ - ২৫ = ৪
শেষ পদ = ১৪১

মনে করি,
সমান্তর ধারাটির n তম পদ = শেষ পদ = ১৪১

আমরা জানি,
সমান্তর ধারাটির n তম পদ =a + (n - ১) ×d

প্রশ্নমতে,
a + (n - ১) ×d = ১৪১
⇒ ২৫ + (n - ১) ×৪ = ১৪১
⇒ (n - ১) ×৪ = ১৪১ - ২৫
⇒ (n - ১) ×৪ = ১১৬
⇒ (n - ১) = ১১৬/৪
⇒ n - ১ = ২৯
⇒ n = ২৯ + ১
∴ n = ৩০

∴ ধারাটির পদসংখ্যা ৩০ টি।

১ম পদ a = 4
সাধারণ অনুপাত r = 12/4 = 3
সমষ্টি s = {a(rⁿ - 1)} / (r -1)
সাতটি পদের সমষ্টি S₅ = 4(3⁵ - 1)/(3 - 1)
S₅ = 484

প্রশ্ন: 1/√3, 1, √3, ............... ধারাটির কোন পদ 27√3 হবে?

সমাধান:
এটি একটি গুণোত্তর ধারা।
এখানে,
প্রথম পদ, a = 1/√3
সাধারণ অনুপাত, r = √3
ধরি, n তম পদ হবে = 27√3
আমরা জানি, 
গুণোত্তর ধারার n তম পদ = ar^{n - 1}

প্রশ্নমতে,
ar^{n - 1} = 27√3
বা, (1/√3) × (√3)^{n - 1} = 27√3
বা, (√3)^{n - 1} = 27√3 × √3
বা, (√3)^{n - 1} = 27 × 3
বা, (√3)^{n - 1} = 81
বা, (√3)^{n - 1} = 3⁴
বা, (√3)^{n - 1} = (√3)⁸
বা, n - 1 = 8
∴ n = 9

∴ 9 তম পদ = 27√3

প্রশ্ন: 128 + 64 + 32 +...........  ধারাটির কোন পদ 1/2 ? 

সমাধান:
দেওয়া আছে,
গুণোত্তর ধারার প্রথম পদ, a = 128
সাধারণ অনুপাত, r = 64/128 = 1/2
n-তম পদ = 1/2

আমরা জানি,
n-তম পদ = arn - 1 

প্রশ্নমতে,
arn - 1 = 1/2
⇒ 128 × (1/2)n - 1 = 1/2
⇒ (1/2)n - 1 = 1/(2 × 128)
⇒ (1/2)n - 1 = 1/256
⇒ (1/2)n - 1 = (1/2)8
⇒ n - 1 = 8
⇒ n = 8 + 1 
⇒ n = 9

১ম পদ a = ২৪৩,
r = -(১/৩) < ১
∴ সমষ্টি = a.(১ - r^৬)/(১ - r)
= ২৪৩ × [১ - {-(১/৩)}^৬]/[১ - {-(১/৩)}]
= ২৪৩ × (১ - ১/৭২৯)/(১ + ১/৩)
= ২৪৩ × (৭২৮/৭২৯)/(৪/৩)
= ২৪৩ × ৭২৮/৭২৯ × ৩/৪
= ১৮২

প্রশ্ন: 0.5 + 0.05 + 0.005 + 0.0005 +.......... ধারাটির অসীমতক সমষ্টি কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
ধারাটির প্রথম পদ, a = 0.5 = 5/10 = 1/2
সাধারণত অনুপাত, r = 0.05/0.5
=  1/10 < 1

সুতরাং, অসীমতক সমষ্টি = a/(1 - r)
= (1/2) ÷ {1 - (1/10)}
= (1/2) ÷ (9/10)
= (1/2) × (10/9)
= 5/9

দেওয়া আছে,
প্রদত্ত ধারার প্রথম পদ, a = 5
দ্বিতীয় পদ = x
তৃতীয় পদ = y
এবং চতুর্থ পদ = 135

মনে করি,
ধারাটির সাধারণ অনুপাত, q
সুতরাং ধারাটির চতুর্থ পদ = aq^(4-1)
= 5. q³
= 5q³
প্রশ্নমতে, 5q³ = 135
বা, q³ = 135/5
বা, q³ = 27
বা, q³ = 3³
বা, q = 3
এখন,
দ্বিতীয় পদ, x = aq^(2-1)
= aq¹
= aq
= 5.3
= 15

এবং তৃতীয় পদ, y = aq^(3-1)
= aq²
= 5.3²
= 5.9
= 45
এখন x এবং y যোগফল = 15+45
= 60

প্রশ্ন: একটি গুণোত্তর ধারার পঞ্চম পদটি ৩২ ও অষ্টম পদটি ২৫৬ হলে উক্ত ধারার সাধারণ অনুপাত কত? 

সমাধান: 
আমরা জানি, 
একটি গুণোত্তর ধারার n-তম পদ = ar^{n -1}

দেওয়া আছে, 
৫ম পদ, ar⁴  = 32  .........(১)
৮ম পদ, ar⁷ = 256 .........(২)

এখন, (২) নং কে (১) নং দ্বারা ভাগ করে পাই,
ar⁷/ar⁴ = 256/32
⇒ r³  = 8 
⇒ r³ = 2³ 
∴ r = 2

সুতরাং, ধারাটির সাধারণ অনুপাত ২ । 

প্রশ্ন: 2 + 4 + 8 + 16 +.............  ধারাটির কোন পদের মান 512?

সমাধান:
2 + 4 + 8 + 16 +.............
ধারাটির ১ম পদ, a = 2
সাধারণ অনুপাত, r = 4/2 = 2

∴ n তম পদ = ar^{n - 1}
বা, 2.2^{n - 1} = 512
বা, 2^{1 + n - 1} = 256
বা, 2ⁿ = 256
বা, 2ⁿ = 2⁹
∴ n = 9

∴ ধারাটির 9 তম পদের মান 512.

a = ১/৪,
r = √২ > ১
∴ সমষ্টি = a.(r^১০ - ১)/(r - ১)
= ১/৪.{(√২)^১০ - ১}/(√২ - ১)
= {(√২)^১০ - ১}/৪(√২ - ১)
= (২^৫ - ১)/৪(√২ - ১)
= ৩১/৪(√২ - ১)
= ৩১(√২ + ১)/{৪ (√২ + ১)(√২ - ১)}
= ৩১(√২ + ১)/৪(২- ১)
= ৩১/৪ × (√২ + ১)

প্রশ্ন: 5 + 5√3 + 15 + 15√3 + .......... ধারাটির কোন পদ 1215 হবে?

সমাধান:
ধারাটি গুণোত্তর ধারা।
সাধারণ অনুপাত, r = ২য় পদ/১ম পদ
= 5√3/5 = √3
১ম পদ a = 5
∴ n তম পদ = ar^{n - 1}

শর্তমতে,
ar^{n - 1} = 1215
⇒ 5 × (√3)^{n - 1} = 1215
⇒ (√3)^{n - 1} = 243
⇒ (3^1/2)^{n - 1} = 3⁵
⇒ 3^{(n - 1)/2} = 3⁵
⇒ (n - 1)/2 = 5
⇒ n - 1 = 10
⇒ n = 11

∴ ধারাটির 11তম পদ 1215 হবে।

প্রশ্ন: একটি গুণোত্তর ধারার প্রথম ছয়টি পদের যোগফল তার প্রথম তিনটি পদের যোগফলের 9 গুন। সাধারণ অনুপাত হবে-

সমাধান: 
প্রথম 6 টি পদের সমষ্টি = a.(r⁶ - 1)/(r - 1)
প্রথম 3 টি পদের সমষ্টি = a. (r³ - 1)/(r - 1)

শর্তানুসারে, a. (r⁶ - 1)/(r - 1) = 9 × a.(r³ - 1)/(r - 1)
⇒ r⁶ - 1 = 9 × (r³ - 1)
⇒ (r³)² - 1² = 9 × (r³ - 1)
⇒ (r³ - 1) (r³ + 1) = 9 × (r³ - 1)
⇒ r³ + 1 = 9
⇒ r³ = 8 = 2³ 
∴ r = 2

প্রশ্ন: একটি গুণোত্তর ধারার ১ম পদ 5, চতুর্থ পদ 135 হলে, ধারাটির নবম পদ কত? 

সমাধান:
দেওয়া আছে,
গুণোত্তর ধারার ১ম পদ, a = 5
সাধারণ অনুপাত = r 
এবং গুণোত্তর ধারার চতুর্থ পদ = 135
⇒ ar^{4 - 1} = 135
⇒ 5 × r³ = 135
⇒ r³ = 135/5
⇒ r³ = 27
∴ r = 3 

∴ নবম পদ = ar^{9 - 1}
= 5 × (3)⁸
= 32805

প্রশ্ন: 5 + 10 + 20 + ...... + 640 ধারাটির সমষ্টি কত?

সমাধান:
প্রদত্ত ধারাটি একটি গুণোত্তর ধারা।
এখানে,
প্রথম পদ, a = 5
সাধারণ অনুপাত, r = 10 ÷ 5 = 2 (r > 1)

প্রশ্নমতে,
n-তম পদ = 640
⇒ ar^{n - 1} = 640
⇒ 5 × 2^{n - 1} = 640
⇒ 2^{n - 1} = 640/5 
⇒ 2^{n - 1} = 128
⇒ 2^n-1 = 2⁷
⇒ n - 1 = 7
∴ n = 8

∴ ধারাটির সমষ্টি S_n = a(rⁿ - 1)/(r - 1)
= 5 × (2⁸ - 1)/(2 - 1)
= 5 × (256 - 1)/1
= 5 × 255
= 1275

∴ ধারাটির সমষ্টি হলো 1275

প্রশ্ন: 1 + 2 + 4 + ................. ধারাটির 9 টি পদের সমষ্টি কত? 

সমাধান: 
ধারাটির প্রথম পদ, a = 1 
ধারাটির সাধারণ অনুপাত, r = 2/1 = 2 
এখানে, r এর মান 1 থেকে বড়,
তাই,
ধারাটির সমষ্টি, S_n = a.(rⁿ - 1)/(r - 1)
= 1 × (2⁹ - 1)/(2 - 1)
= (512 - 1)/1
= 511
∴ ধারাটির 9 টি পদের সমষ্টি = 511  । 

প্রশ্ন: একটি গুণোত্তর ধারার প্রথম ও দ্বিতীয় পদ যথাক্রমে 27 ও 9 হলে, ধারাটির পঞ্চম পদ কত? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
ধারার প্রথম পদ, a = 27
দ্বিতীয় পদ = 9
∴ সাধারণ অনুপাত, r = 9/27 = 1/3 

∴ পঞ্চম পদ = ar^{(5 - 1)}
= ar⁴
= 27 × (1/3)⁴
= 27/81
= 1/3 

∴ ধারাটির পঞ্চম পদ = 1/3.

এখানে  ১ম পদ, a = 1
সাধারণ অনুপাত, r = -1/1 = -1 < 1
আমরা জানি, r  < 1 হলে, 
n সংখ্যক পদের সমষ্টি = {a(1 - rⁿ)/(1 - r)}
∴ (2n + 1) সংখ্যক পদের সমষ্টি = {a(1 - r²ⁿ⁺¹)} / (1 - r)
= {1 × (1 - (-1)^{2n + 1}) / {1 -(-1)}
= {1 -(-1)} / (1 + 1)
= (1 + 1) / (1 + 1)
= 1

প্রশ্ন: log2 + log4 + log8 + log16 +…........... প্রথম 12টি পদের সমষ্টি কত? 

সমাধান:
log2 + log4 + log8 + ............... + প্রথম  12টি পদের সমষ্টি
= log2 + log4 + log8 + log16 +............... + প্রথম 12টি পদের সমষ্টি
= log21 + log22 + log23 + log24 +............... + প্রথম 12টি পদের সমষ্টি
= 1log2 + 2log2 + 3log2 + 4log2 + ............... + প্রথম 12টি পদের সমষ্টি
=(1 + 2 + 3 + 4 + ............... + 12) log2
= {12(12 + 1)/2}log2 
= 78log2

প্রশ্ন: প্রশ্ন: একটি গুণোত্তর ধারার ২য় পদ 27/8 এবং ৫ম পদ 1। সাধারণ অনুপাত কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
একটি গুণোত্তর ধারার n-তম পদ, a_n = a.r^{n - 1}

দেয়া আছে,
2য় পদ, a₂ = 27/8
⇒ ar = 27/8 …...(1)

5ম পদ, a₅ = 1
⇒ a.r⁴ = 1 …....(2)

এখন, সমীকরণ (2) ÷ সমীকরণ (1) ⇒
(ar⁴)/(ar) = 1/(27/8)
⇒ r³ = 8/27
⇒ r³ = (2/3)³
⇒ r = 2/3

∴ সাধারণ অনুপাত (common ratio) হলো 2/3

১ম পদ a = ২
সাধারন অনুপাত r = ৪/২ = ২
১০ তম পদ = ar^n-1
= 2 x 2^10-1
= 2 x 2⁹
= 2 x 512 = 1024

প্রশ্ন: ২ - ৪ + ৮ - ১৬ + ............... ধারাটির প্রথম ৭টি পদের সমষ্টি কত? 

সমাধান: 
এখানে, 
প্রথম পদ, a = ২,
সাধারণ অনুপাত, r = (- ৪)/২ = - ২  [ ∴ r < ১]
পদসংখ্যা, n = ৭

∴ সমষ্টি, S = a(১ - rⁿ)​/(১ - r)
= ২{১ - (- ২)^৭}​/{১ - (- ২)}
= ২{১ - (- ১২৮)}/(১ + ২) 
= ২ (১ + ১২৮)/৩ 
​= (২ × ১২৯)​/৩
= ৮৬ ।

এখানে, n তম পদ = 45
সূত্রমতে,
সমষ্টি, S = {n(n+1)(2n+1)} / 6
= {45(45+1)(2×45 + 1)} / 6
= (45 × 46 × 91) / 6
= 31,395

প্রশ্ন: একটি গুণোত্তর অনুক্রমের দ্বিতীয় পদ 6 এবং ষষ্ঠ পদ 486 হলে, সাধারণ অনুপাত এর মান কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
গুণোত্তর অনুক্রমের n তম পদ = ar^{n - 1}

দ্বিতীয় পদ = ar^{2 - 1} = ar¹ = 6 ......(1)

ষষ্ঠ পদ = ar^{6 - 1} = ar⁵ = 486 ......(2)

(2) ÷ (1) দ্বারা পাই,
ar⁵/ar¹ = 486/6
⇒ r⁴ = 81
⇒ r⁴ = 3⁴
⇒ r = 3

∴ সাধারণ অনুপাত = 3

প্রশ্ন: রায়হান একটি কারখানাতে প্রথম দিনে 7টি পণ্য, দ্বিতীয় দিনে 14টি পণ্য, তৃতীয় দিনে 28টি পণ্য তৈরি করে। এভাবে সে প্রথম এক সপ্তাহে মোট কতটি পণ্য তৈরি করবে?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
পণ্য তৈরি করার অনুক্রম: 7, 14, 28, . . . ., n

এখানে,
অনুক্রমটির মোট পদ, n = 7
১ম পদ, a = 7
অনুপাত, r = 14/7 = 2

∴ 7টি পদের সমষ্টি = a × {(rⁿ - 1)/(r - 1)}
= 7 × {(2⁷ - 1)/(2 - 1)}
= 7 × 127
= 889

∴ রায়হান 7 দিনে মোট 889 টি পণ্য তৈরি করবে।

১ম পদ = a,
সাধারন অনুপাত r হলে,
৩য় পদ ar² = 40.....(1)
ষষ্ঠ পদ ar⁵ = 320.....(2)
(2)নং ÷ (1) নং দ্বারা পাই,
r³ = 8
∴ r = 2

প্রশ্ন: 2, p, q, 54 একটি গুণোত্তর ধারার পরপর চারটি পদ হলে, pq এর মান কত?

সমাধান:
প্রথম পদ, a = 2
ধরি, সাধারণ অনুপাত = r

প্রশ্নমতে,
চতুর্থ পদ = 54
⇒ ar³ = 54
⇒ 2 × r³ = 54
⇒ r³ = 27
⇒ r = 3

∴ দ্বিতীয় পদ, p = a × r^{2 - 1} = a × r
= 2 × 3 = 6
∴ তৃতীয় পদ, q = a × r^{3 - 1} = a × r² 
= 2 × 3² = 18

∴ pq = 6 × 18 = 108