গুণোত্তর ধারা

প্রশ্ন: ০.৫ + ০.০৫ + ০.০০৫ + ...... অসীম ধারাটির সমষ্টি কত? 

সমাধান: 
ধারাটির প্রথম পদ, a = ০.৫ 
= ৫/১০ = ১/২

ধারাটির সাধারণ অনুপাত r = ০.০৫/০.৫ = ১/১০

∴ সমষ্টি, S = a/(1 - r) 
= (১/২)/(১ - ১/১০)
= (১/২)/(৯/১০)
= ৫/৯

প্রশ্ন: প্রথম n সংখ্যক স্বাভাবিক সংখ্যার ঘনের সমষ্টি 441 হলে n এর মান কত?

সমাধান: 
দেওয়া আছে,
প্রথম n সংখ্যক স্বাভাবিক সংখ্যার ঘনের সমষ্টি = 441

শর্তমতে, 
{n(n + 1)/2}² = 441 
⇒ {n(n + 1)/2}² = (21)²
⇒ n(n + 1)/2 = 21 
⇒ n(n + 1) = 42 
⇒ n² + n - 42 = 0 
⇒ n² + 7n - 6n - 42 = 0 
⇒ n(n + 7) - 6(n + 7) = 0 
⇒ (n + 7) (n - 6) = 0 
হয়, 
⇒ n + 7 = 0 
∴ n = - 7 [n এর মান ঋণাত্মক হতে পারে না] 

অথবা, n - 6 = 0 
∴ n = 6

এখানে, ১ম পদ a = 2
ধরি, সাধারণ অনুপাত = r
ধারাটির চতুর্থ পদ = ar⁴⁻¹ = 2r³
প্রশ্নমতে,
2r³ = 54
⇒ r³ = 27
⇒ r = 3
∴ তৃতীয় পদ c = ar³⁻¹
= 2 × 3³⁻¹
= 2 × 3²
= 2 × 9
= 18

১ম পদ (a) = ১,
সাধারন অনুপাত (r) = ০.০১
∴ n পদের সমষ্টি (s) = a × {(১ - rⁿ)/(১ - r)} [যেহেতু, r < 1]
= ১ × {(১ - (০.০১)ⁿ)/(১ - ০.০১)}
= {১ - (১/১০০)ⁿ}/০.৯৯
= (১/০.৯৯){১ - (১/(১০০)ⁿ)}
∴ n অসীম হলে,
s = (১/০.৯৯)(১ - (১/∞))
= (১০০/৯৯)(১-০)
= ১০০/৯৯

প্রশ্ন: জসীম একটি কারখানাতে প্রথম দিনে 7টি পণ্য, দ্বিতীয় দিনে 14টি পণ্য, তৃতীয় দিনে 28টি পণ্য তৈরি করে। এভাবে সে প্রথম এক সপ্তাহে মোট কতটি পণ্য তৈরি করবে?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
পণ্য তৈরি করার অনুক্রম: 7, 14, 28, . . . ., n

এখানে,
অনুক্রমটির মোট পদ, n = 7
১ম পদ, a = 7
অনুপাত, r = 14/7 = 2

∴ 7টি পদের সমষ্টি = a × {(rⁿ - 1)/(r - 1)}
= 7 × {(2⁷ - 1)/(2 - 1)}
= 7 × 127
= 889

∴ জসীম 7 দিনে মোট 889 টি পণ্য তৈরি করবে।

এখানে, ২ + ৬ + ১৮ + ..... ধারাটির‌
প্রথম পদ, a = ২
সাধারণ অনুপাত, r = ৬/২ = ৩
এবং পদ সংখ্যা, n = ৭
সুতরাং সমষ্টি = a (rⁿ - 1)/(r - 1)
= ২ × (৩^৭ - ১)/(৩ - ১)
= ২ × (২১৮৭ - ১)/২
= ২১৮৬

১ম পদ a = 1
সাধারণ অনুপাত r = 1/2
আমরা জানি,
ষষ্ঠ পদ = ar^{(6 - 1)}
= ar⁵
= 1× (1/2)⁵
= 1/32

প্রশ্ন: 

সমাধান:

প্রশ্ন: একটি গুণোত্তর ধারার পঞ্চম পদ 81 এবং প্রথম পদ 16 হয়, তাহলে ধারাটির চতুর্থ পদ কত? 

সমাধান:
দেওয়া আছে, 
প্রথম পদ, a = 16
পঞ্চম পদ = ar⁴ = 81
যেখানে,
a = প্রথম পদ
r = সাধারণ অনুপাত

প্রশ্নমতে, 
ar⁴ = 81
⇒ 16 × r⁴ = 81
⇒ r⁴ = 81/16 = (3/2)⁴
∴ r = 3/2

∴ চতুর্থ পদ = ar³
= 16 × (3/2)³
= 16 × 27/8
= 2 × 27
= 54

প্রশ্ন: 2 - 2 + 2 - 2 +.......................  ধারাটির (2n + 2) সংখ্যক পদের সমষ্টি কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
গুণোত্তর ধারার প্রথম পদ, a = 2
সাধারণ অনুপাত, r = - 2/2 = - 1

n-সংখ্যক পদের সমষ্টি = a(1 - rn)/(1 - r)

∴ (2n + 2) সংখ্যক পদের সমষ্টি = {2(1 - (-1)²ⁿ⁺²}/{1 - (- 1)}
= {2 × (1 - 1)}/(1 + 1) [ যেহেতু 2n + 2 জোড় সংখ্যা ]
= (2 × 0)/2
= 0/2
= 0

আমরা জানি,
কোন গুণোত্তর ধারার প্রথম পদ a, সাধারণ অনুপাত q হলে n তম পদ = aq^n-1
সুতরাং, দ্বিতীয় পদ = aq^2-1= aq = -48
∴ a = -48/q ......... (i)

আবার পঞ্চম পদ= aq^5-1= aq4 =(-48/q)q⁴ [(i) এর মান বসিয়ে] = -48q³

প্রশ্নমতে,
-48q³= 3/4
বা, q³= -3/192
বা, q³= -1/64
বা, q³= (-1/4)³
∴ q = -1/4
অর্থাৎ, সাধারণ অনুপাত = -1/4.

প্রশ্ন: 1 + 0.5 + 0.25 + 0.125 + 0.0625 + 0.03125 + 0.015625 +........... ধারাটির অসীমতক সমষ্টি কত?

সমাধান: 
এখানে, 
১ম পদ, a = 1

∴ সাধারণ অনুপাত, r = 0.5 ÷ 1 
= (5/10)/1 
= (1/2)/1 
= 1/2 
= 0.5 < 1

আমরা জানি,
গুণোত্তর ধারার অসীমতক পদের সমষ্টি = a/(1 - r) [যখন r < 1]
= 1/(1 - 0.5) 
= 1/(0.5)
= 1/(1/2)
= 2

প্রশ্ন: 7 + 14 + 28 + 56 + …… + 448 ধারাটির সমষ্টি কত?

সমাধান: 
এটা একটি গুণোত্তর ধারা।
যার প্রথম পদ, a = 7
সাধারণ অনুপাত, r = 2  ; r > 1
শেষ পদ = 448

আমরা জানি, 
গুণোত্তর ধারার n তম পদ, a_n = ar^{(n - 1)}
⇒ 7 × 2^{(n - 1)} = 448
⇒ 2^{(n - 1)} = 448/7
⇒ 2^{(n - 1)} = 64
⇒ 2^{(n - 1)} = 2⁶
⇒ n - 1 = 6
∴ n = 7
অর্থাৎ ধারাটিতে মোট 7টি পদ আছে।

আবার, 
আমরা জানি, 
গুণোত্তর ধারার n তম পদ্যার সমষ্টি, S_n = a × (rⁿ - 1)/(r - 1)   ; r > 1
S₇ = 7 × (2⁷ - 1)/(2 - 1)
= 7 × (128 - 1)
= 7 × 127
= 889

প্রশ্ন: একটি গুণোত্তর ধারার প্রথম ও দ্বিতীয় পদ যথাক্রমে 125 এবং 25, তাহলে ধারাটির সপ্তম পদ কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
প্রথম পদ, a = 125
দ্বিতীয় পদ, ar^{2 - 1} = ar = 25
∴ সাধারণ অনুপাত, r = 25/125 = 1/5

আমরা জানি, গুণোত্তর ধারার n-তম পদ = ar^{n - 1}
∴ সপ্তম পদ = ar^{7 - 1} = 125 × (1/5)⁶
= 125 × 1/5⁶
= 5³/5⁶
= 1/5³
= 1/125

সুতরাং, ধারাটির সপ্তম পদ 1/125

প্রশ্ন: 3, 2a + 1, 27 গুণোত্তর প্রগতিতে থাকলে a = ? 

সমাধান: 
অনুপাত = ২য় পদ/১ম পদ = ৩য় পদ/২য় পদ 
⇒ (2a + 1)/3 = 27/(2a + 1) 
⇒ (2a + 1)² = 81 
​⇒ (2a + 1)² = 9²
⇒ 2a + 1 = 9
​⇒ 2a = 9 - 1
⇒ 2a = 8
​⇒ a = 8/2
∴ a = 4

tan(nπ/2) অনুক্রমটির চতুর্থ পদ = tan(4π/2) = tan(2π) = 0

27/-3 = -9;
-9/-3 = 3;
3/-3 = -1
∴ -1/-3 = 1/3

প্রশ্ন: 0.5 + 0.05 + 0.005 +.......... ধারাটির অসীমতক সমষ্টি কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
ধারাটির প্রথম পদ, a = 0.5 = 5/10 = 1/2
সাধারণ অনুপাত, r = 0.05/0.5 = 1/10 
যেহেতু, r = 1/10 < 1, সুতরাং ধারাটির অসীমতক সমষ্টি বিদ্যমান।

∴ অসীমতক সমষ্টি = a/(1 - r)
= (1/2)/{1 - (1/10)}
 = (1/2)/(9/10)
= (1/2) × (10/9)
= 5/9

আমরা জানি,
কোন গুণোত্তর ধারার প্রথম পদ a, সাধারণ অনুপাত q হলে n তম পদ = aq^n-1
সুতরাং, দ্বিতীয় পদ = aq^2-1 = aq = - 48
∴ a = - 48/q ......... (i)

আবার পঞ্চম পদ = aq^5-1 = aq⁴ = (-48/q)q⁴ [(i) এর মান বসিয়ে]
= - 48q³

প্রশ্নমতে,
- 48q³ = 3/4
বা, q³ = -3/192
বা, q³ = -1/64
বা, q³ = (-1/4)³
∴ q = -1/4
অর্থাৎ, সাধারণ অনুপাত = -1/4.

প্রশ্ন: (2/√5), - 2, 2√5, - 10, ............ ধারাটির সপ্তম পদ কত?

সমাধান:
এখানে প্রথম পদ, a = 2/√5
সাধারণ অনুপাত, r = - 2/(2/√5)
= - 2 × √5/2
= - √5

আমরা জানি n তম পদ = ar^{n - 1}
∴ সপ্তম পদ = ar^{7 - 1}
= ar⁶
= (2/√5) × (-√5)⁶
= (2/√5) × {(-√5)²}³
= (2/√5) × (5)³
= (2/√5) × 125
= 250/√5
= (250 × √5)/5
= 50√5

ধরি,
১ম পদ = a
সাধারণ অনুপাত = r
∴ ২য় পদ = ar^2-1 = ar = -48 ...... (1)
৫ম পদ = ar⁴ = 3/4 ...... (2)
২নং ÷ ১নং হতে পাই,
r³ = 3/4 × (-1/48) = (-1/64)
r³ = {-(1/4)}³
∴ r = -(1/4)

প্রশ্ন: 3 + 9 + 27 + …… ধারাটির প্রথম 7টি পদের সমষ্টি কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
প্রথম পদ, a = 3
সাধারণ অনুপাত r = 9/3 = 3
পদের সংখ্যা n = 7

তাহলে প্রথম 7টি পদের সমষ্টি:
S_n = a[(rⁿ - 1)/(r - 1)]
⇒ S₇ = 3 × [(3⁷ - 1)/(3 - 1)]
= (3 × 2186)/2
= 3279

∴ 7টি পদের সমষ্টি 3279

এখানে a = 27 এবং r =:9/ 27 = 1/3, সুতরাং পঞ্চম পদ = ar^{n - 1} = 27×(1/3) ^{5 - 1} = 27 × (1/3)⁴ = 27/81 = 1/3

১ম পদ (a) = 1/2
সাধারণ অনুপাত (r) = (1/4)/(1/2)
= 1/4 × 2
= 1/2 < 1
পদসংখ্যা (n) = 8

∴ সমষ্টি (s) = a.{(1 - rⁿ)/(1 - r)}
= (1/2){(1 - (1/2)⁸)/(1 - 1/2)}
= (1/2){(1 - 1/256)/(1/2)}
= 1 - 1/256
= 255/256

১ম পদ a এবং সাধারন অনুপাত r হলে
ar^3-1 = 20 এবং ar^6-1 = 160
বা, ar² = 20 ....(1)   ar⁵ = 160.......(2)
(2) নং ÷ (1) নং ⇒ ar⁵/ar² = 160/20 বা, r³ = 8 ∴ r = 2
(1) নং ⇒ a.2² = 20 বা, 4a = 20 ∴ a = 5

ধরি, S = ৭+৭৭+৭৭৭+……………
S/7 = 1+11+111+………
9S/7 = 9+99+999+…………
= (10-1)+(100-1)+(1000-1)+……………
= (10+10²+10³+………+10ⁿ) – (1+1+1+………+n)
= 10(1+10+10²…………10ⁿ) – n
= 10{(10ⁿ-1)/(10-1)} – n
= {10(10ⁿ-1)/9}-n
S = 7/9 [{10(10ⁿ-1)/9} - n]
S = 70(10n-1)/81 – 7n/9

Shot Cut Rule:
a+aa+aaa+ …………… n সংখ্যক পদের যোগফল
S = (a/9){(10/9)(10ⁿ-1) - n}

প্রশ্ন: (1/4) + (1/4²) + (1/4³) + .... অনন্ত ধারার সমষ্টি কত? 

সমাধান: 
এটি একটি গুণোত্তর ধারা। 
১ম পদ, a = 1/4 
সাধারণ অনুপাত, r = 1/4 

∴ ধারাটির সমষ্টি, s = a/(1 - r)  [যেহেতু, r < 1] 
= (1/4)/(1 - 1/4)
= (1/4)/(3/4)
= (1/4) × (4/3)
= 1/3

প্রশ্ন: 256 + 128 + 64 + 32 + ------  ধারাটির সাধারণ পদ কত?

সমাধান:
এটি একটি গুণোত্তর ধারা।
যার প্রথম পদ, a = 256
সাধারণ অনুপাত, r = 128/256 = 1/2

আমরা জানি, 
সাধারণ পদ বা n-তম পদ = ar^{n - 1}
= 256 × (1/2)^{n - 1}
= 2⁸ × 1/2^{n - 1}
= 1/2^{- 8} × 1/2^{n - 1}
= 1/2^{n - 1 - 8}
= 1/2^{n - 9}
= 2^{-(n - 9)}
= 2^{9 - n}

প্রশ্ন: একটি গুণোত্তর অনুক্রমে তৃতীয় পদটি 45 এবং ষষ্ঠ পদটি 1215 হলে প্রথম পদটি কত?

সমাধান:
ধরি,
প্রথম পদ = a
সাধারণ অনুপাত = r

∴ তৃতীয় পদ = ar^{3 - 1} = ar² = 45 ………(1)
ষষ্ঠ পদ, ar^{6 - 1} = ar⁵ = 1215 ………(2)

(2) ÷ (1) করলে,
ar⁵/ar² = 1215/45
⇒ r³ = 27
⇒ r³ = 3³
∴ r = 3

এখন (1)-এ r এর মান বসাই,
a × 3² = 45
⇒ a × 9 = 45
∴ a = 45/9 = 5

∴ গুণোত্তর অনুক্রমের প্রথম পদ = 5 

প্রশ্ন: প্রদত্ত 

সমাধান:

প্রদত্ত গুণোত্তর ধারাটির প্রথম পদ, a = 1
এবং সাধারণ অনুপাত, r = ⅓   < 1
আমরা জানি, গুণোত্তর ধারার প্রথম n পদের সমষ্টি,
Sₙ = a.(1-rⁿ)/(1-r) ; যখন r < 1
∴ ধারাটির প্রথম 5 টি পদের সমষ্টি
S₅ = 1{1-(⅓)⁵} / (1-⅓)
= (1-1/243) / ⅔
= 242/243 × 3/2
= 121/81

প্রশ্ন: একটি গুণোত্তর ধারার প্রথম ছয়টি পদের যোগফল তার প্রথম তিনটি পদের যোগফলের 9 গুন। সাধারণ অনুপাত হবে-

সমাধান: 
প্রথম 6 টি পদের সমষ্টি = a.(r⁶ - 1)/r - 1
প্রথম 3 টি পদের সমষ্টি = a. (r³ - 1)/r - 1

শর্তানুসারে, 
​a. (r⁶ - 1)/(r - 1)= 9 × a.(r³ - 1)/(r - 1)
⇒ r⁶ - 1 = 9 × (r³ - 1)
⇒ (r³)² - 1² = 9 × (r³ - 1)
⇒ (r³ - 1) (r³ + 1) = 9 × (r³ - 1)
⇒ r³ + 1 = 9
⇒ r³ = 8 
 ⇒ r³ ​= 2³
∴ r = 2
​
​∴ সাধারণ অনুপাত হবে = 2  । 

ধারাটির প্রথম পদ a ও সাধারণ অনুপাত r হলে, a = 1 এবং r = 1/2 ÷ 1 = 1/2 যা 1 অপেক্ষা ছোট।
ধারাটির প্রথম আটটি পদের সমষ্টি = a(1 - r⁸)/(1 - r)
= {1 - (1/2)8}/(1 - 1/2)
= 255/128

প্রশ্ন: 2 + 6 + 18 + 54 + ....… ধারার n সংখ্যক পদের সমষ্টি 728 হলে, n এর মান কত?

সমাধান:
প্রদত্ত ধারাটি হলো,
2 + 6 + 18 + 54 + …

এটি একটি গুণোত্তর ধারা।
প্রথম পদ, a = 2
সাধারণ অনুপাত, r = 6/2 = 3 ; r > 1

আমরা জানি,
n সংখ্যক পদের সমষ্টি, Sₙ = a × (rⁿ - 1)/(r - 1)
= 2 × (3ⁿ - 1)/(3 - 1) ; [এখানে a = 2, r = 3]
= 2 × (3ⁿ - 1)/2
= (3ⁿ - 1)

প্রশ্নানুসারে,
3ⁿ - 1 = 728
⇒ 3ⁿ = 728 + 1
⇒ 3ⁿ = 729
⇒ 3ⁿ = 3⁶
∴ n = 6

প্রশ্ন: কোনো গুণোত্তর ধারার তৃতীয় পদ 3 হলে, প্রথম পাঁচ পদের গুণফল কত?

সমাধান: 
ধরি,
১ম পদ = a
সাধারণ অনুপাত = r
তৃতীয় পদ, ar² = 3

প্রথম পাঁচ পদের গুণফল S হলে,
S = a × ar × ar² × ar³ × ar⁴
= a⁵r¹⁰
= (ar²)⁵
= 3⁵
= 243

∴ প্রথম পাঁচ পদের গুণফল 243

প্রশ্ন: ২৫৬ + ৬৪ + ১৬ + .......... ধারাটির সাধারণ পদ কত?

সমাধান:
এখানে,
১ম পদ, a = ২৫৬
সাধারণ অনুপাত, r = ৬৪/২৫৬ = ১/৪
∴ সাধারণ পদ = ar^{(n - 1)}
= ২৫৬ × (১/৪)^(n-1)
= ২৫৬ × ১/৪^(n-1)
= ২৫৬/৪^(n-1)
= ২^(৮)/২^{২(n-1)}
= ২^৮/২^(২n-২)
= ২^{{৮ - (২n - ২)}}
= ২^{{৮ - ২n + ২}}
= ২^{(১০ - ২n)}
= ২^{(১০ - ২n)}

প্রশ্ন:

সমাধান:

প্রশ্ন: 128 + 64 + 32 + ------  ধারাটির সাধারণ পদ কত?

সমাধান:
১ম পদ, ‍a = 128
২য় পদ 64
সাধারণ অনুপাত, r = 64/128 = 1/2

সাধারণ পদ বা n-তম পদ = ar^{n - 1}
= 128 × (1/2)^{n - 1}
= 2⁷ × 1/2^{n - 1}
= 1/2^{- 7} × 1/2^{n - 1}
= 1/2^{n - 1 - 7}
= 1/2^{n - 8}