গুণোত্তর ধারা

PrepBank · পাতা ৪ / ১০ · ৩০১–৪০০ / ৯৮৩

৩০১.

একটি গুণোত্তর ধারার ১ম পদ 5, চতুর্থ পদ 135 হলে, সপ্তম পদ কত?

ক
1235
খ
1860
গ
2465
ঘ
3645

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি গুণোত্তর ধারার ১ম পদ 5, চতুর্থ পদ 135 হলে, সপ্তম পদ কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
গুণোত্তর ধারার ১ম পদ a = 5
সাধারণ অনুপাত = r
এবং গুণোত্তর ধারার চতুর্থ পদ = 135
⇒ ar^{4 - 1} = 135
⇒ 5 × r³ = 135
⇒ r³ =135/5
⇒ r³ = 27
∴ r = 3

∴ সপ্তম পদ = ar^{7 - 1}
= 5 × (3)⁶
= 3645

৩০২.

০.৫ + ০.০৫ + ০.০০৫ + ...... অসীম ধারাটির সমষ্টি কত?

ক
১/২
খ
৫/১১
গ
৪/১১
ঘ
৫/৯

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ০.৫ + ০.০৫ + ০.০০৫ + ...... অসীম ধারাটির সমষ্টি কত?

সমাধান:
ধারাটির প্রথম পদ, a = ০.৫
= ৫/১০ = ১/২

ধারাটির সাধারণ অনুপাত r = ০.০৫/০.৫ = ১/১০

∴ সমষ্টি, S = a/(1 - r)
= (১/২)/(১ - ১/১০)
= (১/২)/(৯/১০)
= ৫/৯

৩০৩.

3 + 9 + 27 + ............ গুণোত্তর ধারাটির কত তম পদ 729 হবে?

ক
5
খ
6
গ
7
ঘ
8

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 3 + 9 + 27 + ............ গুণোত্তর ধারাটির কত তম পদ 729 হবে?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
ধারাটির ১ম পদ, a = 3
সাধারণ অনুপাত, r = 9/3 = 3

ধরি,
n তম পদ = 729
বা, ar^{n - 1} = 729
বা, 3 × 3^{n - 1} = 729
বা, 3^{1 + n - 1} = 3⁶
বা, 3ⁿ = 3⁶
∴ n = 6

∴ ধারাটির 6 তম পদ 729 হবে।

৩০৪.

7 + 11 + 15 + 19 +.................. ধারাটির ৭ম তম পদের মান কত?

ক
34
খ
31
গ
35
ঘ
30

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 7 + 11 + 15 + 19 +.................. ধারাটির ৭ম তম পদের মান কত?

সমাধান:
ইহা একটি সমান্তর ধারা।
যার ১ম পদ, a = 7
সাধারণ পদ, d = 11-7 = 4

আমরা জানি,
n তম পদ = a + (n - 1) d
7ম তম পদ = 7 + (7 - 1) × 4
= 7 + (6 × 4)
= 7 + 24
= 31

৩০৫.

4 + 8 + 16 + ..................... ধারাটির কোন পদ 512 ?

ক
ক) 7
খ
খ) 8
গ
গ) 9
ঘ
ঘ) 10

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 4 + 8 + 16 + ..................... ধারাটির কোন পদ 512 ?

সমাধান:
ধারাটির প্রথম পদ a = 4
সাধারণ অনুপাত r= 8/4 = 2

n-তম পদ = ar^n-1
512 = 4.2^n-1
128 = 2^n-1
2^{n - 1} = 2⁷
n - 1 = 7
n = 7 + 1
n = 8

৩০৬.

প্রথম n সংখ্যক স্বাভাবিক সংখ্যার ঘনের সমষ্টি 441 হলে n এর মান কত?

ক
5
খ
7
গ
9
ঘ
6

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: প্রথম n সংখ্যক স্বাভাবিক সংখ্যার ঘনের সমষ্টি 441 হলে n এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
প্রথম n সংখ্যক স্বাভাবিক সংখ্যার ঘনের সমষ্টি = 441

শর্তমতে,
{n(n + 1)/2}² = 441
⇒ {n(n + 1)/2}² = (21)²
⇒ n(n + 1)/2 = 21
⇒ n(n + 1) = 42
⇒ n² + n - 42 = 0
⇒ n² + 7n - 6n - 42 = 0
⇒ n(n + 7) - 6(n + 7) = 0
⇒ (n + 7) (n - 6) = 0
হয়,
⇒ n + 7 = 0
∴ n = - 7 [n এর মান ঋণাত্মক হতে পারে না]

অথবা, n - 6 = 0
∴ n = 6

৩০৭.

2 + b + c + 54 গুণোত্তর ধারাভুক্ত হলে c = কত?

ক
ক) 8
খ
খ) 9
গ
গ) 12
ঘ
ঘ) 18

ব্যাখ্যা

এখানে, ১ম পদ a = 2
ধরি, সাধারণ অনুপাত = r
ধারাটির চতুর্থ পদ = ar⁴⁻¹ = 2r³
প্রশ্নমতে,
2r³ = 54
⇒ r³ = 27
⇒ r = 3
∴ তৃতীয় পদ c = ar³⁻¹
= 2 × 3³⁻¹
= 2 × 3²
= 2 × 9
= 18

৩০৮.

1+1/2+1/4+1/8+........ ধারাটির প্রথম সাতটি পদের যোগফল কত?

ক
ক) 33/31
খ
খ) 63/32
গ
গ) 63/64
ঘ
ঘ) 127/64

ব্যাখ্যা

1+1/2+1/4+1/8+1/16+1/32+1/64 = 127/64.

৩০৯.

3 + (3/2) + (3/4) + . . . . ধারাটির সাধারণ অনুপাত কত?

ক
1
খ
1/2
গ
1/3
ঘ
3

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 3 + (3/2) + (3/4) + . . . . ধারাটির সাধারণ অনুপাত কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
১ম পদ = 3
২য় পদ = 3/2

∴ ধারাটির সাধারণ অনুপাত = ২য় পদ/১মপদ
= (3/2)/3
= (3/2) × (1/3)
= 1/2

৩১০.

২ + ৪ + ৮ + ১৬ + ........ ধারাটির ১০ম পদটি কত?

ক
৫১২
খ
১০২২
গ
১০২৪
ঘ
১০২৮

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ২ + ৪ + ৮ + ১৬ + ........ ধারাটির ১০ম পদটি কত?

সমাধান:
প্রদত্ত ধারাটি গুণোত্তর ধারা।
১ম পদ, a = ২
সাধারণ অনুপাত, r = ৪/২ = ২

n-তম পদ = ar^{n - 1}
১০-তম পদ = ar^{১০ - ১}
= ২ × ২^৯
= ২ × ৫১২
= ১০২৪

৩১১.

7 + (7/2) + (7/4) + .....................ধারাটির সাধারণ অনুপাত কত?

ক
1/2
খ
1/7
গ
7/2
ঘ
5/2

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 7 + (7/2) + (7/4) + .....................ধারাটির সাধারণ অনুপাত কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
১ম পদ = 7
২য় পদ = 7/2

∴ ধারাটির সাধারণ অনুপাত = ২য় পদ/১মপদ
= (7/2)/7
= (7/2) × (1/7)
= 1/2

৩১২.

১ + ০.০১ + ০.০০০১ + ০.০০০০০১ + ..... অসীম পদের সমষ্টি কত?

ক
ক) ০
খ
খ) ∞
গ
গ) ৯৯/১০০
ঘ
ঘ) ১০০/৯৯

ব্যাখ্যা

১ম পদ (a) = ১,
সাধারন অনুপাত (r) = ০.০১
∴ n পদের সমষ্টি (s) = a × {(১ - rⁿ)/(১ - r)} [যেহেতু, r < 1]
= ১ × {(১ - (০.০১)ⁿ)/(১ - ০.০১)}
= {১ - (১/১০০)ⁿ}/০.৯৯
= (১/০.৯৯){১ - (১/(১০০)ⁿ)}
∴ n অসীম হলে,
s = (১/০.৯৯)(১ - (১/∞))
= (১০০/৯৯)(১-০)
= ১০০/৯৯

৩১৩.

জসীম একটি কারখানাতে প্রথম দিনে 7টি পণ্য, দ্বিতীয় দিনে 14টি পণ্য, তৃতীয় দিনে 28টি পণ্য তৈরি করে। এভাবে সে প্রথম এক সপ্তাহে মোট কতটি পণ্য তৈরি করবে?

ক
789 টি
খ
889 টি
গ
89 টি
ঘ
189 টি

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: জসীম একটি কারখানাতে প্রথম দিনে 7টি পণ্য, দ্বিতীয় দিনে 14টি পণ্য, তৃতীয় দিনে 28টি পণ্য তৈরি করে। এভাবে সে প্রথম এক সপ্তাহে মোট কতটি পণ্য তৈরি করবে?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
পণ্য তৈরি করার অনুক্রম: 7, 14, 28, . . . ., n

এখানে,
অনুক্রমটির মোট পদ, n = 7
১ম পদ, a = 7
অনুপাত, r = 14/7 = 2

∴ 7টি পদের সমষ্টি = a × {(rⁿ - 1)/(r - 1)}
= 7 × {(2⁷ - 1)/(2 - 1)}
= 7 × 127
= 889

∴ জসীম 7 দিনে মোট 889 টি পণ্য তৈরি করবে।

৩১৪.

(1/3) + (1/3²) + (1/3³) + .......... অন্তর গুণোত্তর ধারাটির অসমীতক সমষ্টি কত?

ক
1/2
খ
1/3
গ
3/2
ঘ
1

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: (1/3) + (1/3²) + (1/3³) + .......... অন্তর গুণোত্তর ধারাটির অসমীতক সমষ্টি কত?

সমাধান:
১ম পদ, a = 1/3
সাধারণ অনুপাত, r = (1/3²) ÷ (1/3)
= (1/3²) × (3/1) = 1/3

∴ সমষ্টি, S_∞ = a/(1 - r)
= (1/3)/{1 - (1/3)}
= (1/3)/(2/3)
= (1/3)/(3/2)
= 1/2

৩১৫.

একটি গুণোত্তর ধারার প্রথম ও দ্বিতীয় পদ যথাক্রমে 32 এবং 16 হলে ধারাটির 10তম পদ কত?

ক
ক) 1/2
খ
খ) 1/4
গ
গ) 1/16
ঘ
ঘ) 1/32

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি গুণোত্তর ধারার প্রথম ও দ্বিতীয় পদ যথাক্রমে 32 এবং 16 হলে ধারাটির 10তম পদ কত?

সমাধান:
ধারাটির প্রথম পদ, a = 32
ধারাটির দ্বিতীয় পদ, ar^{2 -1} = ar = 16

অতএব সাধারণ অনুপাত, r = 16/32 = 1/2

∴ 10তম পদ ar^{10 - 1} = 32 (1/2)⁹
= (2⁵ × 1)/2⁹
= 1/2⁴
= 1/16

৩১৬.

5 + x + y + 135 +............ গুণোত্তর ধারাভুক্ত হলে, y এর মান কত?

ক
25
খ
38
গ
45
ঘ
56

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 5 + x + y + 135 +............ গুণোত্তর ধারাভুক্ত হলে, y এর মান কত?

সমাধান:
এখানে,
প্রথম পদ, a = 5
ধরি,
সাধারণ অনুপাত, r
চতুর্থ পদ = 135
ar^4-1 = 135
r³ = 135/5
r³ = 27
∴ r = 3
এখানে, y হলো তৃতীয় পদ
∴ y = ar^n-1= 5 × 3^3-1= 45

৩১৭.

2, a + 1, 18 গুণোত্তর প্রগতিতে থাকলে a = ?

ক
2
খ
4
গ
5
ঘ
9

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 2, a + 1, 18 গুণোত্তর প্রগতিতে থাকলে a = ?

সমাধান:
অনুপাত = ২য় পদ/১ম পদ = ৩য় পদ/২য় পদ
⇒ (a + 1)/2= 18/(a + 1)
⇒ (a + 1)² = 36
⇒ a + 1 = 6
⇒ a = 6 - 1
∴ a = 5

৩১৮.

log2 + log4 + log16 + ...... ধারাটির প্রথম 10টি পদের সমষ্টি কত?

ক
ক) 55log2
খ
খ) 220log2
গ
গ) 512log2
ঘ
ঘ) 1023log2

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: log2 + log4 + log16 + ...... ধারাটির প্রথম 10টি পদের সমষ্টি কত?

সমাধান:
log2 + log4 + log16 + ......
= log2 + log2² + log2⁴ + ......
= log2 + 2log2 + 4log2 + ......
= log2(1 + 2 + 4 .........)

এখানে, 1 + 2 + 4 ......... ধারাটি একটি গুণোত্তর ধারা।
প্রথম পদ, a = 1
সাধারণ অনুপাত, r = 2/1 = 2
পদ সংখ্যা, n = ?

সমষ্টি = a(rⁿ - 1)/(r - 1)
= 1.(2¹⁰ - 1)/(2 - 1)
= 2¹⁰ - 1
= 1024 - 1
= 1023

ধারাটির প্রথম 10টি পদের সমষ্টি = 1023log2

৩১৯.

3 + 6 + 12 + p + q + ........ একটি গুণোত্তর ধারা হলে, (2p + q) এর মান কত?

ক
96
খ
78
গ
66
ঘ
86

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 3 + 6 + 12 + p + q + ........ একটি গুণোত্তর ধারা হলে, (2p + q) এর মান কত?

সমাধান:
ধরি,
ধারাটির প্রথম পদ, a = 3
সাধারণ অনুপাত, r = 6/3 = 2

আমরা জানি,
গুণোত্তর ধারার n তম পদ = ar^{n - 1}

তাহলে,
ধারাটির চতুর্থ পদ,
p = ar³
= 3 × 2³
= 3 × 8
= 24
∴ p = 24

ধারাটির পঞ্চম পদ,
q = ar⁴
= 3 × 2⁴
= 3 × 16
= 48
∴ q = 48

∴ 2p + q = (2 × 24) + 48 = 96

৩২০.

2 - 4 + 8 - 16 + ............... ধারাটির প্রথম 8টি পদের সমষ্টি কত?

ক
ক) 128
খ
খ) 170
গ
গ) - 170
ঘ
ঘ) 342

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 2 - 4 + 8 - 16 + ........ ধারাটির প্রথম 8টি পদের সমষ্টি কত?

সমাধান:
ধারাটির প্রথম পদ, a = 2
সাধারণ অনুপাত, r = - 4/2 = - 2 [r < 1]
পদসংখ্যা, n = 8

প্রথম 8টি পদের সমষ্টি = {a(1 - r⁸)}/(1 - r)
= {2(1 - (- 2)⁸}/{(1 - (-2)}
= {2(1 - 256)}/(1 + 2)
= {2(- 255)}/3
= - (2 × 255)/3
= - 510/3
= - 170

৩২১.

একটি গুণোত্তর অনুক্রমে চতুর্থ পদটি 40 এবং ষষ্ঠ পদটি 160 হলে সাধারণ অনুপাত কত?

ক
ক) 2
খ
খ) 10
গ
গ) 12
ঘ
ঘ) 15

ব্যাখ্যা

প্রথম পদ a ও সাধারণ অনুপাত r হলে,
চতুর্থ পদটি 40
⇒ ar³ = 40
ষষ্ঠ পদটি 160
⇒ ar⁵ = 160
অতএব, ar⁵ ÷ ar³ = 160/40 =4
⇒ r = 2
সাধারণ অনুপাত 2
-----------------------------------
শর্টকাটঃ
r^{6 - 4} = 160/40 [ 6 = ষষ্ঠ পদ এবং 4 = ৪র্থ পদ ; r = সাধারণ অনুপাত ]
r² = 4
r = 2

৩২২.

একটি ধারার n-তম পদ m²ⁿ - 5, ধারাটির ২য় পদ 76 হলে m এর মান -

ক
ক) 2
খ
খ) 3
গ
গ) 4
ঘ
ঘ) 7

ব্যাখ্যা

ধারাটির n-তম পদ m²ⁿ - 5
এবং ধারাটির দ্বিতীয় পদ = m^2.2 - 5 = m⁴ - 5
প্রশ্নমতে, m⁴ - 5 = 76
বা, m⁴ = 76 + 5 = 81 = 3⁴
∴ m = 3

৩২৩.

64 + 32 + 16 + 8 + .............. ধারাটির ৯ম পদ কত?

ক
ক) 1/2
খ
খ) 1/4
গ
গ) 1/8
ঘ
ঘ) 1/16

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 64 + 32 + 16 + 8 + .............. ধারাটির ৯ম পদ কত?

সমাধান:
এখানে,
32/64 = 1/2
16/32 = 1/2

∴ ইহা একটি গুণোত্তর ধারা, যার-
প্রথম পদ, a = 64
সাধারণ অনুপাত, r = 1/2

ধারার ৯ম পদ = ar^{(9 - 1)}= 64 ×(1/2)⁸
= 2⁶ × 1/2⁸
= 1/2²
= 1/4

৩২৪.

২ + ৬ + ১৮ + ..... ধারাটির প্রথম ৭টি পদের সমষ্টি কত?

ক
২১৮৬
খ
২১২৬
গ
২০৫৬
ঘ
২০৯৬

ব্যাখ্যা

এখানে, ২ + ৬ + ১৮ + ..... ধারাটির‌
প্রথম পদ, a = ২
সাধারণ অনুপাত, r = ৬/২ = ৩
এবং পদ সংখ্যা, n = ৭
সুতরাং সমষ্টি = a (rⁿ - 1)/(r - 1)
= ২ × (৩^৭ - ১)/(৩ - ১)
= ২ × (২১৮৭ - ১)/২
= ২১৮৬

৩২৫.

একটি গুণোত্তর ধারার ৩য় পদটি 20 এবং ষষ্ঠ পদটি 160 হলে, সাধারণ অনুপাত কত?

ক
2
খ
4
গ
6
ঘ
8

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি গুণোত্তর ধারার ৩য় পদটি 20 এবং ষষ্ঠ পদটি 160 হলে, সাধারণ অনুপাত কত?

সমাধান:
ধরি,
১ম পদটি = a,
সাধারন অনপাত = r
∴ ৩য় পদ = ar²= 20 ...... (1)
এবং ষষ্ঠ পদ = ar^{6 - 1} = ar⁵ = 160 ....... (2)

(2) নং ÷ (1) নং ⇒
r³ = 8
বা, r³ = 2³
∴ r = 2

৩২৬.

1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + …………. গুণোত্তর ধারাটির ষষ্ঠ পদ কত?

ক
ক) 1/2
খ
খ) 1/16
গ
গ) 1/28
ঘ
ঘ) 1/32

ব্যাখ্যা

১ম পদ a = 1
সাধারণ অনুপাত r = 1/2
আমরা জানি,
ষষ্ঠ পদ = ar^{(6 - 1)}
= ar⁵
= 1× (1/2)⁵
= 1/32

৩২৭.

1 + 0.8 + 0.64 + 0.512 + ................. ধারার অসীমতক সমষ্টি কত?

ক
2
খ
4
গ
5
ঘ
2.5

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 1 + 0.8 + 0.64 + 0.512 + ................. ধারার অসীমতক সমষ্টি কত?

সমাধান:
1 + 0.8 + 0.64 + 0.512 + .................
এখানে,
0.8/1 = 0.8
0.64/0.8 = 0.8
সুতরাং ধারাটি একটি গুণোত্তর ধারা, যার সাধারণ অনুপাত r = 0.8 < 1 [অসীমতক সমষ্টি আছে]
প্রথম পদ a = 1

অসীমতক সমষ্টি S_∞ = a/(1 - r) = 1/(1 - 0.8) = 1/0.2 = 5

৩২৮.

১ - ১ + ১ - ১ + ১ - ১ + ১ ...... ধারাটির ১২০১ তম পদের যোগফল কত?

ক
ক) ০
খ
খ) ১
গ
গ) ২
ঘ
ঘ) অনির্ণেয়

ব্যাখ্যা

ধারাটির বিজোড় পদের যোগফল ১ এবং জোড় পদের যোগফল ০ তাই ১২০১ তম পদের যোগফল ১।

৩২৯.

1/4 - 1/6 + 1/9 - 2/7 + ………. ধারাটির অসীম পদের সমষ্টি কত?

ক
ক) S_∞ = 20/3
খ
খ) S_∞ = 3/20
গ
গ) S_∞ = 20
ঘ
ঘ) S_∞ = 3

ব্যাখ্যা

ধারাটির প্রথম পদ, a = 1/4
এবং সাধারণ অনুপাত, r = (- 1/6)/(1/4) = - 2/3 < 0
সুতরাং ধারাটির অসীম পদের সমষ্টি,
S_∞= a/(1 - r)
= (1/4)/{1 - (-2/3)}
= (1/4) / (1 + 2/3)
= (1/4) / (5/3)
= 3/20

৩৩০.

3 + 3√2 + 6 + 6√2 + .......... ধারাটির কোন পদ 768 হবে?

ক
15
খ
16
গ
17
ঘ
19

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 3 + 3√2 + 6 + 6√2 + .......... ধারাটির কোন পদ 768 হবে?

সমাধান:
১ম পদ a = 3
সাধারণ অনুপাত r = ২য় পদ/১ম পদ
= 3√2/3 = √2
∴ n তম পদ = ar^{n - 1}

শর্তমতে,
ar^{n - 1} = 786
⇒ 3 × (√2)^{n - 1} = 786
⇒ (√2)^{n - 1} = 256
⇒ (2^1/2)^{n - 1} = 2⁸
⇒ 2^{(n - 1)/2} = 2⁸
⇒ (n - 1)/2 = 8
⇒ n - 1 = 16
⇒ n = 16 + 1
∴ n = 17

৩৩১.

ক
1/2
খ
3/5
গ
1/5
ঘ
1/8

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন:

সমাধান:

৩৩২.

একটি গুণোত্তর অনুক্রমে তৃতীয় পদটি 24 এবং ষষ্ঠ পদটি 192 হলে প্রথম পদটি কত?

ক
5
খ
6
গ
4
ঘ
3

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি গুণোত্তর অনুক্রমে তৃতীয় পদটি 24 এবং ষষ্ঠ পদটি 192 হলে প্রথম পদটি কত?

সমাধান:
গুণোত্তর অনুক্রমে ১ম পদ a এবং সাধারণ অনুপাত r
তৃতীয় পদ = 24
ar² = 24 ............ (1)
ষষ্ঠ পদ = 192
ar⁵ = 192 ............ (2)

(2) ÷ (1) ⇒
ar⁵/ar² = 192/24
⇒ r³ = 8
⇒ r = 2

(1) হতে পাই ⇒
a(2)² = 24
⇒ 4a = 24
∴ a = 6

৩৩৩.

একটি গুণোত্তর ধারার পঞ্চম পদ 81 এবং প্রথম পদ 16 হয়, তাহলে ধারাটির চতুর্থ পদ কত?

ক
108
খ
75
গ
27
ঘ
54
ঙ
36

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি গুণোত্তর ধারার পঞ্চম পদ 81 এবং প্রথম পদ 16 হয়, তাহলে ধারাটির চতুর্থ পদ কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
প্রথম পদ, a = 16
পঞ্চম পদ = ar⁴= 81
যেখানে,
a = প্রথম পদ
r = সাধারণ অনুপাত

প্রশ্নমতে,
ar⁴ = 81
⇒ 16 × r⁴ = 81
⇒ r⁴ = 81/16 = (3/2)⁴
∴ r = 3/2

∴ চতুর্থ পদ = ar³= 16 × (3/2)³
= 16 × 27/8
= 2 × 27
= 54

৩৩৪.

একটি গুণোত্তর ধারার দ্বিতীয় পদ ৯ এবং তৃতীয় পদ ২৭ হলে ধারাটির কততম পদ ৭২৯?

ক
৫
খ
৬
গ
৭
ঘ
৯

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি গুণোত্তর ধারার দ্বিতীয় পদ ৯ এবং তৃতীয় পদ ২৭ হলে ধারাটির কততম পদ ৭২৯?

সমাধান:

দেওয়া আছে,
গুণোত্তর ধারাটির দ্বিতীয় পদ = ৯
তৃতীয় পদ = ২৭
সাধারণ অনুপাত, r = ২৭/৯ = ৩
∴ প্রথম পদ, a = (দ্বিতীয় পদ/সাধারণ অনুপাত) = ৯/৩ = ৩
n-তম পদ = ৭২৯

প্রশ্নমতে,
ar^{n - ১} = ৭২৯
⇒ ৩ × ৩^{n - ১} = ৭২৯
⇒ ৩^{n - ১} = ৭২৯/৩
⇒ ৩^{n - ১} = ২৪৩
⇒ ৩^{n - ১} = ৩^৫
⇒ n - ১ = ৫
⇒ n = ৫ + ১
⇒ n = ৬

৩৩৫.

2 - 2 + 2 - 2 +....................... ধারাটির (2n + 2) সংখ্যক পদের সমষ্টি কত?

ক
1
খ
2
গ
3
ঘ
0

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 2 - 2 + 2 - 2 +....................... ধারাটির (2n + 2) সংখ্যক পদের সমষ্টি কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
গুণোত্তর ধারার প্রথম পদ, a = 2
সাধারণ অনুপাত, r = - 2/2 = - 1

n-সংখ্যক পদের সমষ্টি = a(1 - rn)/(1 - r)

∴ (2n + 2) সংখ্যক পদের সমষ্টি = {2(1 - (-1)²ⁿ⁺²}/{1 - (- 1)}
= {2 × (1 - 1)}/(1 + 1) [ যেহেতু 2n + 2 জোড় সংখ্যা ]
= (2 × 0)/2
= 0/2
= 0

৩৩৬.

একটি গুণোত্তর অনুক্রমের দ্বিতীয় পদটি -48 এবং পঞ্চম পদটি 3/4 হলে, সাধারণ অনুপাত কত?

ক
ক) 1/2
খ
খ) 1/4
গ
গ) -1/2
ঘ
ঘ) -1/4

ব্যাখ্যা

আমরা জানি,
কোন গুণোত্তর ধারার প্রথম পদ a, সাধারণ অনুপাত q হলে n তম পদ = aq^n-1সুতরাং, দ্বিতীয় পদ = aq^2-1= aq = -48
∴ a = -48/q ......... (i)

আবার পঞ্চম পদ= aq^5-1= aq4 =(-48/q)q⁴[(i) এর মান বসিয়ে] = -48q³প্রশ্নমতে,
-48q³= 3/4
বা, q³= -3/192
বা, q³= -1/64
বা, q³= (-1/4)³∴ q = -1/4
অর্থাৎ, সাধারণ অনুপাত = -1/4.

৩৩৭.

1 + 0.5 + 0.25 + 0.125 + 0.0625 + 0.03125 + 0.015625 +........... ধারাটির অসীমতক সমষ্টি কত?

ক
9
খ
7
গ
5
ঘ
2

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 1 + 0.5 + 0.25 + 0.125 + 0.0625 + 0.03125 + 0.015625 +........... ধারাটির অসীমতক সমষ্টি কত?

সমাধান:
এখানে,
১ম পদ, a = 1

∴ সাধারণ অনুপাত, r = 0.5 ÷ 1
= (5/10)/1
= (1/2)/1
= 1/2
= 0.5 < 1

আমরা জানি,
গুণোত্তর ধারার অসীমতক পদের সমষ্টি = a/(1 - r) [যখন r < 1]
= 1/(1 - 0.5)
= 1/(0.5)
= 1/(1/2)
= 2

৩৩৮.

1/12 + 1/24 + 1/48 + 1/96 + --- --- --- ধারাটির অসীম পদের সমষ্টি কত?

ক
1/24
খ
1/12
গ
2/9
ঘ
1/6

ব্যাখ্যা

1/12 + 1/24 + 1/48 + 1/96 + --- --- ---
মনে করি,
১ম পদ, a = 1/12
সাধারণ অনুপাত, r
= 1/24 ÷ 1/12
= 1/48 ÷ 1/24
= 1/2 < 1

ধারাটির অসীমতক সমষ্টি
= a/(1 - r)
= 1/12 ÷ (1 - 1/2)
= 1/12 ÷ 1/2
= 1/6

৩৩৯.

কোনো অনুক্রমের n তম পদ = {1 + (- 1)ⁿ}/2 হলে 10তম পদ কত?

ক
ক) 1
খ
খ) 0
গ
গ) - 1
ঘ
ঘ) 2

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: কোনো অনুক্রমের n তম পদ = {1 + (- 1)ⁿ}/2 হলে 10তম পদ কত?

সমাধান:
দেয়া আছে,
n তম পদ = {1 + (- 1)ⁿ}/2
10তম পদ = {1 + (- 1)¹⁰}/2
= (1 + 1)/2
= 2/2
= 1

৩৪০.

7 + 14 + 28 + 56 + …… + 448 ধারাটির সমষ্টি কত?

ক
896
খ
912
গ
775
ঘ
889

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 7 + 14 + 28 + 56 + …… + 448 ধারাটির সমষ্টি কত?

সমাধান:
এটা একটি গুণোত্তর ধারা।
যার প্রথম পদ, a = 7
সাধারণ অনুপাত, r = 2 ; r > 1
শেষ পদ = 448

আমরা জানি,
গুণোত্তর ধারার n তম পদ, a_n = ar^{(n - 1)}
⇒ 7 × 2^{(n - 1)} = 448
⇒ 2^{(n - 1)} = 448/7
⇒ 2^{(n - 1)} = 64
⇒ 2^{(n - 1)} = 2⁶
⇒ n - 1 = 6
∴ n = 7
অর্থাৎ ধারাটিতে মোট 7টি পদ আছে।

আবার,
আমরা জানি,
গুণোত্তর ধারার n তম পদ্যার সমষ্টি, S_n = a × (rⁿ - 1)/(r - 1) ; r > 1
S₇ = 7 × (2⁷ - 1)/(2 - 1)
= 7 × (128 - 1)
= 7 × 127
= 889

৩৪১.

1/√2, 1, √2,..... ধারাটির কোন পদ 8 হবে?

ক
6
খ
7
গ
8
ঘ
9

ব্যাখ্যা

1/√2, 1, √2,..... ধারাটির প্রথম পদ,
a = 1/√2
এবং, সাধারণ অনুপাত,
r = 1 ÷ (1/√2) = √2
সুতরাং, n তম পদ,
ar^{n - 1} = 8
বা, (1/√2)(√2)^{n - 1} = 8
বা, (√2)^{n - 2} = (√2)⁶
বা, n - 2 = 6
বা, n = 8

৩৪২.

128 + 64 + 32 + ...... ধারাটির নবম পদ কত?

ক
ক) 1
খ
খ) 1/2
গ
গ) 1/4
ঘ
ঘ) 1/8

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 128 + 64 + 32 + ...... ধারাটির নবম পদ কত?

সমাধান:
ধারাটির প্রথম পদ, a = 128
সাধারন অনুপাত r = 64/128 = 1/2
পদসংখ্যা n = 9

∴ নবম পদ = ar^n-1
= 128 × (1/2)^9-1
= 128 × (1/2)⁸
= 128 × (1/256)
= 1/2

৩৪৩.

একটি গুণোত্তর ধারার প্রথম ও দ্বিতীয় পদ যথাক্রমে 125 এবং 25, তাহলে ধারাটির সপ্তম পদ কত?

ক
1/216
খ
1/25
গ
1/125
ঘ
1/729

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি গুণোত্তর ধারার প্রথম ও দ্বিতীয় পদ যথাক্রমে 125 এবং 25, তাহলে ধারাটির সপ্তম পদ কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
প্রথম পদ, a = 125
দ্বিতীয় পদ, ar^{2 - 1} = ar = 25
∴ সাধারণ অনুপাত, r = 25/125 = 1/5

আমরা জানি, গুণোত্তর ধারার n-তম পদ = ar^{n - 1}∴ সপ্তম পদ = ar^{7 - 1} = 125 × (1/5)⁶= 125 × 1/5⁶= 5³/5⁶= 1/5³= 1/125

সুতরাং, ধারাটির সপ্তম পদ 1/125

৩৪৪.

3, 2a + 1, 27 গুণোত্তর প্রগতিতে থাকলে a = ?

ক
4
খ
2
গ
3
ঘ
6

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 3, 2a + 1, 27 গুণোত্তর প্রগতিতে থাকলে a = ?

সমাধান:
অনুপাত = ২য় পদ/১ম পদ = ৩য় পদ/২য় পদ
⇒ (2a + 1)/3 = 27/(2a + 1)
⇒ (2a + 1)² = 81
⇒ (2a + 1)² = 9²
⇒ 2a + 1 = 9
⇒ 2a = 9 - 1
⇒ 2a = 8
⇒ a = 8/2
∴ a = 4

৩৪৫.

1 + (1/2) + (1/4) + (1/8) + ...... ধারাটির অসীম পদের সমষ্টি কত?

ক
1/2
খ
2
গ
3/2
ঘ
3

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 1 + (1/2) + (1/4) + (1/8) + ...... ধারাটির অসীম পদের সমষ্টি কত?

সমাধান:
ধারাটির ১ম পদ, a = 1
সাধারণ অনুপাত, r = (1/2)/1 = 1/2∴ ধারাটির অসীমতক সমষ্টি, S_∞ = a/(1 - r)
= 1/{1 - (1/2)}
= 1/{(2 - 1)/2}
= 1/(1/2)
= 1 × (2/1)
= 2

৩৪৬.

tan(nπ/2) অনুক্রমটির চতুর্থ পদ কোনটি?

ক
ক) 0
খ
খ) 1
গ
গ) -1
ঘ
ঘ) 1/2

ব্যাখ্যা

tan(nπ/2) অনুক্রমটির চতুর্থ পদ = tan(4π/2) = tan(2π) = 0

৩৪৭.

একটি গুণোত্তর ধারার ১ম পদ ১৬ এবং ২য় পদ ৮ হলে ধারাটির ৯ম পদ কত?

ক
ক) ১/১২৮
খ
খ) ১/৬৪
গ
গ) ১/৩২
ঘ
ঘ) ১/১৬

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি গুণোত্তর ধারার ১ম পদ ১৬ এবং ২য় পদ ৮ হলে ধারাটির ৯ম পদ কত?

সমাধান:
এখানে,
১ম পদ, a = ১৬
সাধারণ অনুপাত, r = ৮/১৬ = ১/২
পদ সংখ্যা, n = ৯

∴ ৯ম পদ = ar^{n - ১}
= ১৬ × (১/২)^{৯ - ১}
= ১৬ × (১/২)^৮
= ১৬ × (১/২৫৬)
= ১/১৬

৩৪৮.

27, - 9, 3, - 1 ….. ধারার পরবর্তী সংখ্যাটি কত?

ক
ক) - 3
খ
খ) 1/3
গ
গ) -1/3
ঘ
ঘ) 1

ব্যাখ্যা

27/-3 = -9;
-9/-3 = 3;
3/-3 = -1
∴ -1/-3 = 1/3

৩৪৯.

1/5 + 1/5²+ 1/5³ + ................ অনন্ত ধারার অসীমতক সমষ্টি কত?

ক
ক) 1/2
খ
খ) 1/3
গ
গ) 1/4
ঘ
ঘ) 1/5

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 1/5 + 1/5²+ 1/5³ + ................ অনন্ত ধারার অসীমতক সমষ্টি কত?

সমাধান:
এখানে
১ম পদ a = 1/5
সাধারণ অনুপাত r = (1/5²) ÷ (1/5)
= (1/25) × (5/1)
= 1/5
অসীমতক সমষ্টি = a/(1 - r)
= (1/5)/{1 - (1/5)}
= (1/5)/{(5 - 1)/5}
= (1/5)/(4/5)
= (1/5) × (5/4)
= 1/4

৩৫০.

0.5 + 0.05 + 0.005 +.......... ধারাটির অসীমতক সমষ্টি কত?

ক
3/5
খ
2/5
গ
5/13
ঘ
5/9

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 0.5 + 0.05 + 0.005 +.......... ধারাটির অসীমতক সমষ্টি কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
ধারাটির প্রথম পদ, a = 0.5 = 5/10 = 1/2
সাধারণ অনুপাত, r = 0.05/0.5 = 1/10
যেহেতু, r = 1/10 < 1, সুতরাং ধারাটির অসীমতক সমষ্টি বিদ্যমান।

∴ অসীমতক সমষ্টি = a/(1 - r)
= (1/2)/{1 - (1/10)}
= (1/2)/(9/10)
= (1/2) × (10/9)
= 5/9

৩৫১.

3 + 9 + 27 + ............ গুণোত্তর ধারাটির কত তম পদ 243 হবে?

ক
4
খ
5
গ
6
ঘ
7

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 3 + 9 + 27 + ............ গুণোত্তর ধারাটির কত তম পদ 243 হবে?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
ধারাটির ১ম পদ, a = 3
সাধারণ অনুপাত, r = 9/3 = 3

ধরি,
n তম পদ = 243
⇒ ar^{n - 1} = 243
⇒ 3 × 3^{n - 1} = 243
⇒ 3^{1 + n - 1} = 3⁵
⇒ 3ⁿ = 3⁵
∴ n = 5

৩৫২.

1/2, 2/3, 3/4, ..... অনুক্রমটির সাধারণ পদ কোনটি?

ক
ক) n/n+1
খ
খ) 1/n
গ
গ) 2n/n+1
ঘ
ঘ) n-1/n+1

ব্যাখ্যা

প্রদত্ত প্রশ্নের ক অপশনটি বিবেচনা করি, n = 1 হলে, 1/(1+1) = 1/2
n = 2 হলে, 2/(2+1) = 2/3
n = 3 হলে, 3/(3+1) = 3/4
∴অনুক্রমটির সাধারণ পদ n/(n+1)

৩৫৩.

3 + 6 + 12 + 24 + ...... ধারাটির প্রথম 5টি পদের সমষ্টি কত?

ক
63
খ
93
গ
126
ঘ
189

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 3 + 6 + 12 + 24 + ... ধারাটির প্রথম 5টি পদের সমষ্টি কত?

সমাধান:
এটি একটি গুণোত্তর ধারা (Geometric Progression) কারণ প্রতিটি পদ আগের পদের দ্বিগুণ।

এখানে,
প্রথম পদ, a=3
সাধারণ অনুপাত, r = 6 /3 = 2

আমরা জানি, গুণোত্তর ধারার n তম পদের সমষ্টি,
S_n= { a × ( rⁿ−1 )} / ( r−1 )

প্রথম ৫ টি পদের সমষ্টি,
S₅ = {3 × (2⁵ - 1)} / 2 - 1)
= {3 × (32 - 1)} / 1
= 3 × 31
= 93

৩৫৪.

একটি গুণোত্তর ধারার প্রথম ও দ্বিতীয় পদ যথাক্রমে 32 ও 16 হলে, ধারাটির সপ্তম পদ কত?

ক
2
খ
1/4
গ
4
ঘ
1/2

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি গুণোত্তর ধারার প্রথম ও দ্বিতীয় পদ যথাক্রমে 32 ও 16 হলে, ধারাটির সপ্তম পদ কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
১ম পদ, a = 32
দ্বিতীয় পদ = 16

∴ অনুপাত, r = 16/32
= 1/2

∴ সপ্তম পদ = ar⁷ ^{- 1}
= ar⁶
= 32 × (1/2)⁶
= 32/64
= 1/2

৩৫৫.

একটি গুণোত্তর অনুক্রমের দ্বিতীয় পদটি -48 এবং পঞ্চম পদটি 3/4 হলে, সাধারন অনুপাত কত?

ক
ক) 1/2
খ
খ) -1/2
গ
গ) 1/4
ঘ
ঘ) -1/4

ব্যাখ্যা

আমরা জানি,
কোন গুণোত্তর ধারার প্রথম পদ a, সাধারণ অনুপাত q হলে n তম পদ = aq^n-1সুতরাং, দ্বিতীয় পদ = aq^2-1 = aq = - 48
∴ a = - 48/q ......... (i)

আবার পঞ্চম পদ = aq^5-1 = aq⁴ = (-48/q)q⁴ [(i) এর মান বসিয়ে]
= - 48q³প্রশ্নমতে,
- 48q³= 3/4
বা, q³= -3/192
বা, q³= -1/64
বা, q³= (-1/4)³∴ q = -1/4
অর্থাৎ, সাধারণ অনুপাত = -1/4.

৩৫৬.

(2/√5), - 2, 2√5, - 10, ............ ধারাটির সপ্তম পদ কত?

ক
25√5
খ
50√5
গ
- 40
ঘ
- 45√5

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: (2/√5), - 2, 2√5, - 10, ............ ধারাটির সপ্তম পদ কত?

সমাধান:
এখানে প্রথম পদ, a = 2/√5
সাধারণ অনুপাত, r = - 2/(2/√5)
= - 2 × √5/2
= - √5

আমরা জানি n তম পদ = ar^{n - 1}
∴ সপ্তম পদ = ar^{7 - 1}
= ar⁶
= (2/√5) × (-√5)⁶
= (2/√5) × {(-√5)²}³
= (2/√5) × (5)³
= (2/√5) × 125
= 250/√5
= (250 × √5)/5
= 50√5

৩৫৭.

একটি গুণোত্তর ধারার ২য় পদটি -48 এবং পঞ্চম পদ 3/4 হলে, সাধারণ আনুপাত কত?

ক
ক) -(1/4)
খ
খ) -1/2
গ
গ) 1/2
ঘ
ঘ) 1/4

ব্যাখ্যা

ধরি,
১ম পদ = a
সাধারণ অনুপাত = r
∴ ২য় পদ = ar^2-1 = ar = -48 ...... (1)
৫ম পদ = ar⁴ = 3/4 ...... (2)
২নং ÷ ১নং হতে পাই,
r³ = 3/4 × (-1/48) = (-1/64)
r³ = {-(1/4)}³
∴ r = -(1/4)

৩৫৮.

(1/4) + (1/4²) + (1/4³) + ......... অনন্ত গুণোত্তর ধারাটির অসমীতক সমষ্টি কত?

ক
1/2
খ
1/3
গ
1
ঘ
1/4

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: (1/4) + (1/4²) + (1/4³) + ......... অনন্ত গুণোত্তর ধারাটির অসমীতক সমষ্টি কত?

সমাধান:
এখানে,
ধারাটির ১ম পদ, a = 1/4
সাধারণ অনুপাত, r = (1/4²) ÷ (1/4)
= 1/4

সুতরাং,
অসমীতক সমষ্টি = a/(1 - r)
= (1/4)/{1 - (1/4)}
= (1/4)/(3/4)
= 1/3

৩৫৯.

জবা প্রথম দিনে 5টি, ২য় দিনে 10টি, ৩য় দিনে 20টি মুদ্রা জমা করে। এভাবে মুদ্রা জমা করলে 12 দিনে মোট কতটি মুদ্রা জমা করবে?

ক
20475
খ
20790
গ
21320
ঘ
22525

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: জবা প্রথম দিনে 5টি, ২য় দিনে 10টি, ৩য় দিনে 20টি মুদ্রা জমা করে। এভাবে মুদ্রা জমা করলে 12 দিনে মোট কতটি মুদ্রা জমা করবে?

সমাধান:
জবার টাকা জমা করার অনুক্রম: 5, 10, 20, . . . ., n

এখানে, অনুক্রমটির,
মোট পদ, n = 12
১ম পদ, a = 5
অনুপাত, r = 10/5 = 2

আমরা জানি,
n তম পদের সমষ্টি = a × {(rⁿ - 1)/(r - 1)
∴ 12টি পদের সমষ্টি = 5 × {(2¹² - 1)/(2 - 1)}
= 5 × (4096 - 1)/1
= 5 × 4095
= 20475

৩৬০.

3 + 9 + 27 + …… ধারাটির প্রথম 7টি পদের সমষ্টি কত?

ক
3276
খ
3279
গ
3280
ঘ
3283

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 3 + 9 + 27 + …… ধারাটির প্রথম 7টি পদের সমষ্টি কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
প্রথম পদ, a = 3
সাধারণ অনুপাত r = 9/3 = 3
পদের সংখ্যা n = 7

তাহলে প্রথম 7টি পদের সমষ্টি:
S_n = a[(rⁿ- 1)/(r - 1)]
⇒ S₇ = 3 × [(3⁷- 1)/(3 - 1)]
= (3 × 2186)/2
= 3279

∴ 7টি পদের সমষ্টি 3279

৩৬১.

একটি গুণোত্তর ধারার প্রথম ও দ্বিতীয় পদ যথাক্রমে ২৭ ও ৯ হলে, ধারাটির পঞ্চম পদ কত?

ক
ক) ১/৩
খ
খ) ১/৬
গ
গ) ১/৫
ঘ
ঘ) কোনটিই নয়

ব্যাখ্যা

এখানে a = 27 এবং r =:9/ 27 = 1/3, সুতরাং পঞ্চম পদ = ar^{n - 1} = 27×(1/3) ^{5 - 1} = 27 × (1/3)⁴ = 27/81 = 1/3

৩৬২.

1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + …… ধারাটির ১ম আটটি পদের সমষ্টি কত?

ক
ক) 256/255
খ
খ) -(256/255)
গ
গ) -(255/256)
ঘ
ঘ) 255/256

ব্যাখ্যা

১ম পদ (a) = 1/2
সাধারণ অনুপাত (r) = (1/4)/(1/2)
= 1/4 × 2
= 1/2 < 1
পদসংখ্যা (n) = 8

∴ সমষ্টি (s) = a.{(1 - rⁿ)/(1 - r)}
= (1/2){(1 - (1/2)⁸)/(1 - 1/2)}
= (1/2){(1 - 1/256)/(1/2)}
= 1 - 1/256
= 255/256

৩৬৩.

4 + 12 + m + n + 324 + ........ একটি গুণোত্তর ধারা হলে n - m এর মান কত?

ক
72
খ
88
গ
96
ঘ
120

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 4 + 12 + m + n + 324 + ........ একটি গুণোত্তর ধারা হলে n - m এর মান কত?

সমাধান:
ধরি,
ধারাটির প্রথম পদ, a = 4
সাধারণ অনুপাত, r = 12/4 = 3

আমরা জানি,
গুণোত্তর ধারার n তম পদ = ar^{n - 1}

তাহলে,
ধারাটির তৃতীয় পদ, m = ar²
= 4 × 3²
= 4 × 9
= 36

ধারাটির চতুর্থ পদ, n = ar³
= 4 × 3³
= 4 × 27
= 108

∴ n - m = 108 - 36 = 72

৩৬৪.

'N' সংখ্যক ক্রমিক স্বাভাবিক বিজোড় সংখ্যার যোগফল কত?

ক
N²
খ
2N + 1
গ
N
ঘ
2N - 1

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 'N' সংখ্যক ক্রমিক স্বাভাবিক বিজোড় সংখ্যার যোগফল কত?

সমাধান:
প্রথম n সংখ্যক স্বাভাবিক বিজোড় সংখ্যার সমষ্টি = 1 + 3 + 5 + 7 +....... + N
প্রথম পদ, a = 1
সাধারন অন্তর, d = 3 - 1 = 2
পদ সংখ্যা = N

আমরা জানি,
সমষ্টি = (N/2){2a + (N - 1)d}
= (N/2){2.1 + (N - 1).2}
= (N/2)(2 + 2N - 2)
= (N/2).2N
= N²

৩৬৫.

একটি গুনোত্তর ধারার ৩য় পদটি 20 এবং ষষ্ঠ পদটি 160 হলে, ১ম পদটি কত?

ক
ক) 5
খ
খ) 8
গ
গ) 10
ঘ
ঘ) 12

ব্যাখ্যা

১ম পদ a এবং সাধারন অনুপাত r হলে
ar^3-1 = 20 এবং ar^6-1 = 160
বা, ar² = 20 ....(1) ar⁵ = 160.......(2)
(2) নং ÷ (1) নং ⇒ ar⁵/ar² = 160/20 বা, r³ = 8 ∴ r = 2
(1) নং ⇒ a.2² = 20 বা, 4a = 20 ∴ a = 5

৩৬৬.

নিচের কোনটি গুণোত্তর ধারা?

ক
ক) ১ + ৩ + ৫ + ৭ +......
খ
খ) ৮ + ৪ + ২ + ১ + ১/২ + ...
গ
গ) ১০ + ১২ + ১৪ + ১৬ +......
ঘ
ঘ) ১০০ + ৯০ + ৮০ + ৭০ +...

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: নিচের কোনটি গুণোত্তর ধারা?

সমাধান:
প্রথম টির ক্ষেত্রে, সাধারণ অন্তর = ৩ - ১
= ২

দ্বিতীয় টির ক্ষেত্রে, সাধারণ অনুপাত = ৪/৮
= ১/২

তৃতীয়টির ক্ষেত্রে, সাধারণ অন্তর = ১২ - ১০
= ২

চতুর্থটির ক্ষেত্রে, সাধারণ অন্তর = ৯০ - ১০০
= - ১০

অতএব, সঠিক উত্তর খ।

৩৬৭.

৭+৭৭+৭৭৭+……………ধারাটির ১ম n সংখ্যক পদের যোগফল নির্নয় করুন?

ক
ক) 70(10ⁿ-1)/81 – 7n/9
খ
খ) 70(10ⁿ-1)/81 – n
গ
গ) 90(10ⁿ-1)/99 – 7n/9
ঘ
ঘ) 80(10ⁿ-1)/81 – 7n/9

ব্যাখ্যা

ধরি, S = ৭+৭৭+৭৭৭+……………
S/7 = 1+11+111+………
9S/7 = 9+99+999+…………
= (10-1)+(100-1)+(1000-1)+……………
= (10+10²+10³+………+10ⁿ) – (1+1+1+………+n)
= 10(1+10+10²…………10ⁿ) – n
= 10{(10ⁿ-1)/(10-1)} – n
= {10(10ⁿ-1)/9}-n
S = 7/9 [{10(10ⁿ-1)/9} - n]
S = 70(10n-1)/81 – 7n/9

Shot Cut Rule:
a+aa+aaa+ …………… n সংখ্যক পদের যোগফল
S = (a/9){(10/9)(10ⁿ-1) - n}

৩৬৮.

2 + 4 + 8 + 16 +...... ধারাটির নবম পদ কত?

ক
256
খ
512
গ
1024
ঘ
1020

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 2 + 4 + 8 + 16 +...... ধারাটির নবম পদ কত?

সমাধান:
এখানে,
১ম পদ, a = 2
সাধারণ অনুপাত, r = 4/2 = 2

আমরা জানি,
n তম পদ = ar^{n - 1}

∴ নবম পদ = 2 × 2^{9 - 1}
= 2 × 2⁸
= 2 × 256
= 512

৩৬৯.

4, 2, 1, (1/2), (1/4) ……………... ধারাটির পরের সংখ্যাটি কত হবে?

ক
8
খ
1/8
গ
1/16
ঘ
1/16

ব্যাখ্যা

প্রতিটি সংখ্যা পূর্ববর্তী সংখ্যার অর্ধেক।
এটি একটি গুণোত্তর ধারা।
4/2 = 2
2/2 = 1
1/2 = 1/2
(1/2) / 2 = 1/4
(1/4) / 2 = 1/8 এবং আরও।
অতএব, ধারাটির পরের সংখ্যাটি হবে 1/8

৩৭০.

p, q, r ও s সমান্তর ধারার চারটি ক্রমিক পদ হলে নিচের কোনটি সঠিক?

ক
ক) p = (q + r)/2
খ
খ) q = (p + r)/2
গ
গ) r = (p + s)/2
ঘ
ঘ) q = (p + s)/2

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: p, q, r ও s সমান্তর ধারার চারটি ক্রমিক পদ হলে নিচের কোনটি সঠিক?

সমাধান:
p, q, r ও s সমান্তর ধারার চারটি ক্রমিক পদ।
∴ সমান্তর ধারাটি p + q + r + s

আমরা জানি,
সমান্তর ধারার যেকোন পদ এর পূর্ববর্তী ও পরবর্তী পদের গাণিতিক গড়ের সমান।
২য় পদ = (১ম পদ + ৩য় পদ)/২
∴ q = (p + r)/2

৩৭১.

(1/9) + (1/9²) + (1/9³) + ........ ধারাটির অসীমতক সমষ্টি কত?

ক
1/2
খ
1/9
গ
1/3
ঘ
1/8

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: (1/9) + (1/9²) + (1/9³) + ........ ধারাটির অসীমতক সমষ্টি কত?

সমাধান:
এখানে, ১ম পদ, a = 1/9
সাধারণ অনুপাত, r = (1/9²) ÷ (1/9)
= (1/9²) × (9/1)
= 1/9

∴ S_∞ = a/(1 - r) [যেহেতু r < 1]
= (1/9)/{1 - (1/9)}
= (1/9)/(8/9)
= (1/9) × (9/8)
= 1/8

৩৭২.

কোন গুণোত্তর অনুক্রমের তৃতীয় পদ 12 এবং ষষ্ঠ পদ 96 হলে প্রথম পদের মান নিচের কোনটি?

ক
ক) 3
খ
খ) 4
গ
গ) 5
ঘ
ঘ) 6

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: কোন গুণোত্তর অনুক্রমের তৃতীয় পদ 12 এবং ষষ্ঠ পদ 96 হলে প্রথম পদের মান নিচের কোনটি?

সমাধান:
গুণোত্তর অনুক্রমে প্রথম পদ, a
সাধারণ অনুপাত, r
এখানে,
তৃতীয় পদ, ar² = 12..................(1) এবং
ষষ্ঠ পদ, ar⁵ = 96 ....................(2)

(2) ÷ (1) করে পাই,
ar⁵/ar² = 96/12
বা, r³ = 8
বা, r³ = 2³
বা, r = 2

r এর মান (1) নং সমীকরণে বসিয়ে পাই,
ar² = 12
বা, a × 4 = 12
a = 3

৩৭৩.

6 + 36 + 216 + …….. ধারাটির পরবর্তী পদটি কত?

ক
1224
খ
1240
গ
1266
ঘ
1296

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 6 + 36 + 216 + …….. ধারাটির পরবর্তী পদটি কত?

সমাধান:
উল্লিখিত ধারাটি একটি গুণোত্তর ধারা
সাধারণ অনুপাত, d = 36/6 = 6

ধারাটির ১ম পদ = 6
ধারাটির ২য় পদ = 6 · 6 = 36
ধারাটির ৩য় পদ = 36 · 6 = 216
ধারাটির ৪র্থ পদ = 216 · 6 = 1296

৩৭৪.

(1/4) + (1/4²) + (1/4³) + .... অনন্ত ধারার সমষ্টি কত?

ক
1/2
খ
1
গ
1/4
ঘ
1/3

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: (1/4) + (1/4²) + (1/4³) + .... অনন্ত ধারার সমষ্টি কত?

সমাধান:
এটি একটি গুণোত্তর ধারা।
১ম পদ, a = 1/4
সাধারণ অনুপাত, r = 1/4

∴ ধারাটির সমষ্টি, s = a/(1 - r) [যেহেতু, r < 1]
= (1/4)/(1 - 1/4)
= (1/4)/(3/4)
= (1/4) × (4/3)
= 1/3

৩৭৫.

5 + 10 + 20 + ......... ধারাটির প্রথম 10টি পদের সমষ্টি কত?

ক
ক) 1515
খ
খ) 5225
গ
গ) 5115
ঘ
ঘ) 2560

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 5 + 10 + 20 + ......... ধারাটির প্রথম 10টি পদের সমষ্টি কত?

সমাধান:
প্রথম পদ, a = 5
সাধারণ অনুপাত, r = 10/5 = 2 > 1
পদ সংখ্যা, n = 10

আমরা জানি,
গুণোত্তর ধারার সমষ্টি Sn = {a(rⁿ - 1)}/(r - 1)

প্রথম 10টি পদের সমষ্টি = [5{(2)¹⁰ - 1}]/(2 - 1)
= [5 × (1024 - 1)]
= 5 × 1023
= 5115

৩৭৬.

256 + 128 + 64 + 32 + ------ ধারাটির সাধারণ পদ কত?

ক
2^{9 - n}
খ
2^{8 - n}
গ
2^{n - 10}
ঘ
2^{n - 8}

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 256 + 128 + 64 + 32 + ------ ধারাটির সাধারণ পদ কত?

সমাধান:
এটি একটি গুণোত্তর ধারা।
যার প্রথম পদ, a = 256
সাধারণ অনুপাত, r = 128/256 = 1/2

আমরা জানি,
সাধারণ পদ বা n-তম পদ = ar^{n - 1}
= 256 × (1/2)^{n - 1}
= 2⁸ × 1/2^{n - 1}
= 1/2^{- 8} × 1/2^{n - 1}
= 1/2^{n - 1 - 8}
= 1/2^{n - 9}
= 2^{-(n - 9)}
= 2^{9 - n}

৩৭৭.

4 + 8 + 16 + 32 +............. ধারাটির 7 তম পদ কত?

ক
ক) 1024
খ
খ) 128
গ
গ) 256
ঘ
ঘ) 512

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 4 + 8 + 16 + 32 +............. ধারাটির 7 তম পদ কত?

সমাধান:
ধরি,
ধারাটির ১ম পদ, a = 4
সাধারণ অনুপাত, r = 8/4
∴ r = 2

7 তম পদ = ar^{7 - 1}
= ar⁶
= 4 × (2)⁶
= 4 × 64
= 256

∴ ধারাটির 7 তম পদ 256

৩৭৮.

(1/12) + (1/24) + (1/48) + (1/96) + ...... ধারাটির অসীম পদের সমষ্টি কত?

ক
ক) 1/3
খ
খ) 1/9
গ
গ) 1/6
ঘ
ঘ) 1/12

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: (1/12) + (1/24) + (1/48) + (1/96) + ...... ধারাটির অসীম পদের সমষ্টি কত?

সমাধান:
মনে করি,
১ম পদ, a = 1/12
সাধারণ অনুপাত, r
= (1/24) ÷ (1/12)
= (1/24) × (12/1)
= 1/2 < 1

ধারাটির অসীমতক সমষ্টি
= a/(1 - r)
= (1/12) ÷ (1 - 1/2)
= (1/12) ÷ (1/2)
= (1/12) × 2
= 1/6

৩৭৯.

একটি গুণোত্তর অনুক্রমে তৃতীয় পদটি 45 এবং ষষ্ঠ পদটি 1215 হলে প্রথম পদটি কত?

ক
3
খ
5
গ
15
ঘ
9

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি গুণোত্তর অনুক্রমে তৃতীয় পদটি 45 এবং ষষ্ঠ পদটি 1215 হলে প্রথম পদটি কত?

সমাধান:
ধরি,
প্রথম পদ = a
সাধারণ অনুপাত = r

∴ তৃতীয় পদ = ar^{3 - 1} = ar² = 45 ………(1)
ষষ্ঠ পদ, ar^{6 - 1} = ar⁵ = 1215 ………(2)

(2) ÷ (1) করলে,
ar⁵/ar² = 1215/45
⇒ r³ = 27
⇒ r³ = 3³
∴ r = 3

এখন (1)-এ r এর মান বসাই,
a × 3² = 45
⇒ a × 9 = 45
∴ a = 45/9 = 5

∴ গুণোত্তর অনুক্রমের প্রথম পদ = 5

৩৮০.

32 + 16 + 8 + ……….ধারাটির ৭ম পদ কত?

ক
ক) 2
খ
খ) 1
গ
গ) 1/2
ঘ
ঘ) 1/4

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 32 + 16 + 8 + ……….ধারাটির ৭ম পদ কত?

সমাধান:
এখানে
16/32 = 1/2
8/16 = 1/2
∴ ইহা একটি গুনোত্তর ধারা। যার,
প্রথম পদ, a = 32
সাধারণ অনুপাত, r = 1/2

সুতরাং ধারাটির ৭ম পদ = ar^{7 - 1}
= 32 × (1/2)⁶
= 32 × (1/64)
= 1/2

৩৮১.

প্রদত্ত

ক
4
খ
1/2
গ
3/8
ঘ
1/8

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: প্রদত্ত

সমাধান:

৩৮২.

1+ ⅓ + 1/9 + ……. ধারাটির প্রথম 5 টি পদের সমষ্টি কত?

ক
ক) 119/81
খ
খ) 121/81
গ
গ) 81/121
ঘ
ঘ) 81/119

ব্যাখ্যা

প্রদত্ত গুণোত্তর ধারাটির প্রথম পদ, a = 1
এবং সাধারণ অনুপাত, r = ⅓ < 1
আমরা জানি, গুণোত্তর ধারার প্রথম n পদের সমষ্টি,
Sₙ = a.(1-rⁿ)/(1-r) ; যখন r < 1
∴ ধারাটির প্রথম 5 টি পদের সমষ্টি
S₅ = 1{1-(⅓)⁵} / (1-⅓)
= (1-1/243) / ⅔
= 242/243 × 3/2
= 121/81

৩৮৩.

একটি গুণোত্তর ধারার প্রথম ছয়টি পদের যোগফল তার প্রথম তিনটি পদের যোগফলের 9 গুন। সাধারণ অনুপাত হবে-

ক
8
খ
4
গ
3
ঘ
2

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি গুণোত্তর ধারার প্রথম ছয়টি পদের যোগফল তার প্রথম তিনটি পদের যোগফলের 9 গুন। সাধারণ অনুপাত হবে-

সমাধান:
প্রথম 6 টি পদের সমষ্টি = a.(r⁶ - 1)/r - 1
প্রথম 3 টি পদের সমষ্টি = a. (r³ - 1)/r - 1

শর্তানুসারে,
a. (r⁶ - 1)/(r - 1)= 9 × a.(r³ - 1)/(r - 1)
⇒ r⁶ - 1 = 9 × (r³ - 1)
⇒ (r³)² - 1² = 9 × (r³ - 1)
⇒ (r³ - 1) (r³ + 1) = 9 × (r³ - 1)
⇒ r³ + 1 = 9
⇒ r³ = 8
⇒ r³ = 2³
∴ r = 2

∴ সাধারণ অনুপাত হবে = 2 ।

৩৮৪.

ক
1/2
খ
21/9
গ
1/12
ঘ
32/3

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন:

সমাধান:
প্রথম পদ a = 8
সাধারণ অনুপাত r = 2/8 = 1/4

অসীমতক সমষ্টি = a/(1 - r)
= 8/{1 - (1/4)}
= 8/3/4
= 32/3

৩৮৫.

একটি গুণোত্তর ধারার ৩য় পদটি 20 এবং ষষ্ঠ পদটি 160 হলে, সাধারণ অনুপাত কত?

ক
6
খ
4
গ
2
ঘ
8

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি গুণোত্তর ধারার ৩য় পদটি 20 এবং ষষ্ঠ পদটি 160 হলে, সাধারণ অনুপাত কত?

সমাধান:
ধরি,
১ম পদ = a,
সাধারন অনপাত = r
∴ ৩য় পদ = ar² = 20 ...... (1)
এবং ষষ্ঠ পদ = ar^{6 - 1} = ar⁵ = 160 ....... (2)

(2) নং ÷ (1) নং হতে পাই,
ar⁵/ar² = 160/20
বা, r³ = 8
বা, r³ = 2³
∴ r = 2

∴ সাধারণ অনুপাত, r = 2 ।

৩৮৬.

একটি গুণোত্তর অনুক্রমের দ্বিতীয় পদটি 8 এবং সাধারণ অনুপাত 1/2 হলে সপ্তম পদটি কত?

ক
ক) 1/8
খ
খ) 1/2
গ
গ) 1/4
ঘ
ঘ) 1/6

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি গুণোত্তর অনুক্রমের দ্বিতীয় পদটি 8 এবং সাধারণ অনুপাত 1/2 হলে সপ্তম পদটি কত?

সমাধান:
কোন গুণোত্তর ধারার প্রথম পদ a,
সাধারণ অনুপাত r হলে

আমরা জানি,
n তম পদ = ar^n-1
∴ দ্বিতীয় পদ = ar^2-1= 8
বা, ar = 8
বা, a = 8 × 2
∴ a = 16

আবার,
পঞ্চম পদ= ar^{7 - 1}
= ar⁶
= 16 × (1/2)⁶
= 16/64
= 1/4

৩৮৭.

1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + ------------------------- ধারাটির প্রথম আটটি পদের সমষ্টি কত?

ক
127/128
খ
255/128
গ
256/128
ঘ
255/256

ব্যাখ্যা

ধারাটির প্রথম পদ a ও সাধারণ অনুপাত r হলে, a = 1 এবং r = 1/2 ÷ 1 = 1/2 যা 1 অপেক্ষা ছোট।
ধারাটির প্রথম আটটি পদের সমষ্টি = a(1 - r⁸)/(1 - r)
= {1 - (1/2)8}/(1 - 1/2)
= 255/128

৩৮৮.

০.১২ + ০.০০১২ + ০.০০০০১২ + ........ ধারাটির অসীম পদ পর্যন্ত যোগফল-

ক
৪/৩৩
খ
৪/৯৯
গ
১১২/৯৯
ঘ
১৪/৯৯

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ০.১২ + ০.০০১২ + ০.০০০০১২ + ........ ধারাটির অসীম পদ পর্যন্ত যোগফল-

সমাধান:
০.১২ + ০.০০১২ + ০.০০০০১২ + ......
= ০.১২ + ০.১২×০.০১ + ০.১২×(০.০১)^২ + ......
এখানে,
a = ০.১২, r = ০.০১ < ১

অসীম পদের সমষ্টি S_∞ = a/(১ - r)
= ০.১২/(১ - ০.০১)
= ০.১২/০.৯৯
= ১২/৯৯
= ৪/৩৩

বিকল্প সমাধান:
n পদের সমষ্টি, s = {a × (১ - rⁿ)}/(১ - r)
= ০.১২ × {১ - (০.০১)ⁿ}/(১ - ০.০১)
= ০.১২ × {১ - (১/১০০)ⁿ}/০.৯৯)
= (০.১২/০.৯৯) × {১ - (১/১০^২)ⁿ}
= (১২/৯৯) × {১ - (১/১০^২n)}

n অসীম হলে, s = (১২/৯৯) × {১ - (১/১০^∞)}
= (৪/৩৩)(১ - ০)
= ৪/৩৩

৩৮৯.

2 + 6 + 18 + 54 + ....… ধারার n সংখ্যক পদের সমষ্টি 728 হলে, n এর মান কত?

ক
5
খ
6
গ
7
ঘ
8

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 2 + 6 + 18 + 54 + ....… ধারার n সংখ্যক পদের সমষ্টি 728 হলে, n এর মান কত?

সমাধান:
প্রদত্ত ধারাটি হলো,
2 + 6 + 18 + 54 + …

এটি একটি গুণোত্তর ধারা।
প্রথম পদ, a = 2
সাধারণ অনুপাত, r = 6/2 = 3 ; r > 1

আমরা জানি,
n সংখ্যক পদের সমষ্টি, Sₙ = a × (rⁿ - 1)/(r - 1)
= 2 × (3ⁿ - 1)/(3 - 1) ; [এখানে a = 2, r = 3]
= 2 × (3ⁿ - 1)/2
= (3ⁿ - 1)

প্রশ্নানুসারে,
3ⁿ- 1 = 728
⇒ 3ⁿ = 728 + 1
⇒ 3ⁿ = 729
⇒ 3ⁿ = 3⁶
∴ n = 6

৩৯০.

কোনো গুণোত্তর ধারার তৃতীয় পদ 3 হলে, প্রথম পাঁচ পদের গুণফল কত?

ক
218
খ
222
গ
253
ঘ
243

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: কোনো গুণোত্তর ধারার তৃতীয় পদ 3 হলে, প্রথম পাঁচ পদের গুণফল কত?

সমাধান:
ধরি,
১ম পদ = a
সাধারণ অনুপাত = r
তৃতীয় পদ, ar² = 3

প্রথম পাঁচ পদের গুণফল S হলে,
S = a × ar × ar² × ar³ × ar⁴
= a⁵r¹⁰
= (ar²)⁵
= 3⁵
= 243

∴ প্রথম পাঁচ পদের গুণফল 243

৩৯১.

২৫৬ + ৬৪ + ১৬ + .......... ধারাটির সাধারণ পদ কত?

ক
২^{(১১ - ২n)}
খ
২^{(১২ - ২n)}
গ
২^{(৫ - ২n)}
ঘ
২^{(১০ - ২n)}

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ২৫৬ + ৬৪ + ১৬ + .......... ধারাটির সাধারণ পদ কত?

সমাধান:
এখানে,
১ম পদ, a = ২৫৬
সাধারণ অনুপাত, r = ৬৪/২৫৬ = ১/৪
∴ সাধারণ পদ = ar⁽^{n - 1)}
= ২৫৬ × (১/৪)⁽^n-1)
= ২৫৬ × ১/৪^(n-1)
= ২৫৬/৪^(n-1)
= ২^(৮)/২^{২(n-1)}
= ২^৮/২^(২n-২)
= ২^{{৮ - (২n - ২)}}
= ২^{{৮ - ২n + ২}}
= ২^{(১০ - ২n)}
= ২^{(১০ - ২n)}

৩৯২.

1/√3, - 1, √3, ......... ধারটির পঞ্চম পদ কত?

ক
ক) - √3
খ
খ) 9
গ
গ) - 9√3
ঘ
ঘ) 3√3

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 1/√3, - 1, √3, ......... ধারটির পঞ্চম পদ কত?

সমাধান:
এখানে
প্রথম পদ, a = 1/√3
সাধারণ অনুপাত, r = - 1/(1/√3)
= - √3

আমরা জানি
n তম পদ = ar^{n - 1}
∴ পঞ্চম পদ = ar^{5 - 1}
= (1/√3)(- √3)⁴
= (1/√3){(- √3)²}²
= 9/√3
= (3√3 × √3)/√3
= 3√3

৩৯৩.

একটি গুণোত্তর ধারার প্রথম পদ 2 এবং চতুর্থ পদ 27/4 হলে, সাধারণ অনুপাত কত?

ক
3/2
খ
1/2
গ
2/3
ঘ
4/5

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি গুণোত্তর ধারার প্রথম পদ 2 এবং চতুর্থ পদ 27/4 হলে, সাধারণ অনুপাত কত?

সমাধান:
ধরি,
সাধারন অনুপাত = r
প্রথম পদ, a = 2

আমরা জানি,
গুণোত্তর ধারার,
n তম পদ = ar^{n - 1}

∴ ৪র্থ পদ = 27/4
⇒ ar^4-1 = 27/4
⇒ 2r³ = 27/4
⇒ r³ = 27/8 = (3/2)³
∴ r = 3/2

৩৯৪.

7 + 77 + 777 + .... ধারাটির অসীমতক সমষ্টি কত?

ক
1
খ
10
গ
1/100
ঘ
অসীমতক সমষ্টি নেই

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 7 + 77 + 777 + .... ধারাটির অসীমতক সমষ্টি কত?

সমাধান:
এখানে
77/7 = 11
777/77 = 10.09
ইহা গুণোত্তর ধারা নয়।

তাই প্রদত্ত ধারার কোন অসীমতক সমষ্টি নেই।

কোনো গুণোত্তর ধারার অসীম পদ পর্যন্ত সমষ্টিকে অসীমতক সমষ্টি বলে। মূলত, যেসব গুণোত্তর ধারা কনভার্জেন্ট সিরিজ এর মধ্যে পড়ে তাদেরই অসীমতক সমষ্টি থাকে।
যদি নিম্নোক্ত শর্তটি কোনো গুণোত্তর ধারা মেনে চলে তবে তার অসীমতক সমষ্টি থাকবে,
|r| < 1 অথবা, -1 < r < 1
এবং অসীমতক সমষ্টিটি হবে,
S_∞= a/(1 - r)

কনভার্জেন্ট সিরিজ:
যেসব অসীম ধারার সকল পদের সমষ্টি একটি নির্দিষ্ট সংখ্যাকে নির্দেশ করে,তাকে কনভার্জেন্ট সিরিজ বলে।

৩৯৫.

1/√3, 1, √3............. ধারাটির কোন পদ 27√3?

ক
ক) 10
খ
খ) 9
গ
গ) 11
ঘ
ঘ) 13

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 1/√3, 1, √3............. ধারাটির কোন পদ 27√3?

সমাধান:
এখানে,
প্রথম পদ, a = 1/√3
সাধারণ অনুপাত, r = 1/(1/√3) = √3
এটি একটি গুণোত্তর ধারা।

আমরা জানি, n -তম পদ = ‍ar^{n - 1}
প্র্রশ্নমতে, ‍ar^{n - 1} = 27√3
বা, (1/√3) × (√3)^{n - 1} = 27√3
বা, (√3)^{n - 1} = 27√3 × √3
বা, (√3)^{n - 1} = 81
বা, (√3)^{n - 1} = (√3)⁸
বা, n - 1 = 8
∴ n = 9

সুতরাং, ধারাটির 9 তম পদের মান 27√3 ।

৩৯৬.

3 + 9 + 27 +...... ধারাটির প্রথম কতটি পদের সমষ্টি 9840?

ক
6
খ
7
গ
8
ঘ
9

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 3 + 9 + 27 +...... ধারাটির প্রথম কতটি পদের সমষ্টি 9840?

সমাধান:
ধরি, 3 + 9 + 27 +..... ধারাটির প্রথম n সংখ্যক পদের সমষ্টি 9840।

এখানে,
প্রথম পদ, a = 3
সাধারণ অনুপাত, r = 9/3 = 3 (যা 1 থেকে বড়)

প্রশ্নমতে, n সংখ্যক পদের সমষ্টি = 9840
a{(rⁿ - 1)/(r - 1)} = 9840
⇒ 3 × {(3ⁿ - 1)/(3 - 1)} = 9840
⇒ 3 × {(3ⁿ - 1)/2 = 9840
⇒ 3ⁿ - 1 = (9840 × 2)/3
⇒ 3ⁿ - 1 = 6560
⇒ 3ⁿ = 6561
⇒ 3ⁿ = 3⁸
⇒ n = 8

৩৯৭.

একটি গুণোত্তর ধারার প্রথম পদ 16 এবং সপ্তম পদ 1/4 হলে, সাধারণ অনুপাত কত?

ক
3/2
খ
- 3/4
গ
9/4
ঘ
1/2

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি গুণোত্তর ধারার প্রথম পদ 16 এবং সপ্তম পদ 1/4 হলে, সাধারণ অনুপাত কত?

সমাধান:
ধরি,
সাধারন অনুপাত = r
প্রথম পদ, a = 16

৭ম পদ = 1/4
⇒ ar^{7 - 1} = 1/4
⇒ 16 × r⁶ = 1/4
⇒ r⁶ = 1/64
⇒ r⁶ = (1/2)⁶
∴ r = 1/2

৩৯৮.

ক
1/2
খ
1/5
গ
3/8
ঘ
1/4

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন:

সমাধান:

৩৯৯.

128 + 64 + 32 + ------ ধারাটির সাধারণ পদ কত?

ক
1/2^{n - 4}
খ
1/2^{n - 7}
গ
1/2^{n - 8}
ঘ
1/2^{n - 10}

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 128 + 64 + 32 + ------ ধারাটির সাধারণ পদ কত?

সমাধান:
১ম পদ, ‍a = 128
২য় পদ 64
সাধারণ অনুপাত, r = 64/128 = 1/2

সাধারণ পদ বা n-তম পদ = ar^{n - 1}
= 128 × (1/2)^{n - 1}
= 2⁷ × 1/2^{n - 1}
= 1/2^{- 7} × 1/2^{n - 1}
= 1/2^{n - 1 - 7}
= 1/2^{n - 8}

৪০০.

৩ + ৬ + ৯ + ১২ + ১৫ +......................... + ৫১ = কত?

ক
ক) ৩৫৯
খ
খ) ৪৫৯
গ
গ) ২৫৯
ঘ
ঘ) ৫৫৯

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ৩ + ৬ + ৯ + ১২ + ১৫ +..................... + ৫১ = কত?

সমাধান:
পদ সংখ্যা
= (শেষ পদ - ১ম পদ)/সাধারন অন্তর + ১
পদসংখ্যা = (৫১ - ৩/৩) + ১ = ১৭

সংখ্যক পদের সমষ্টি = (n/2){2a + (n - 1)d}
∴ 17 সংখ্যক পদের সমষ্টি = (17/2){2 × 3 + (17 - 1) × 3}
= (17/2){6 + 48}
= (17/2) × 54
= 17 × 27
= 459