পরিসংখ্যান ও সম্ভাব্যতা

প্রশ্ন: একটা প্যাকেটে ১০টা সাদা চকলেট, ৬টা লাল চকলেট আর ৪টা হলুদ চকলেট আছে। একটা চকলেট বের করলে সেটা সাদা অথবা লাল হওয়ার শতকরা সম্ভাবনা কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
সাদা চকলেট = ১০টা
লাল চকলেট   = ৬টা
হলুদ চকলেট  = ৪টা

∴ মোট চকলেট = ১০ + ৬ + ৪ = ২০টা
∴ সাদা অথবা লাল চকলেটের সংখ্যা = ১০ + ৬ = ১৬টা

আমরা জানি, 
সম্ভাবনা = অনুকূল ফলাফল/মোট সম্ভাব্য ফলাফল
= ১৬/২০
= ৪/৫
∴ শতকরা সম্ভাবনা = (৪/৫) × ১০০% = ৮০%

প্রশ্ন: রাতুল ৭০% ক্ষেত্রে সত্য বলে এবং সুমন ২০% ক্ষেত্রে মিথ্যা বলে। একই ঘটনা বর্ণনা করার সময় তাদের একই উত্তর দেওয়ার সম্ভাবনা কত?

সমাধান:
রাতুলের সত্য বলার সম্ভাবনা = ৭০% = ৭০/১০০ = ০.৭
∴ রাতুলের মিথ্যা বলার সম্ভাবনা = ১ - ০.৭ = ০.৩

সুমনের মিথ্যা বলার সম্ভাবনা = ২০% = ২০/১০০ = ০.২
∴ সুমনের সত্য বলার সম্ভাবনা = ১ - ০.২ = ০.৮

∴ একই উত্তর পাওয়া যাবে-
দুইজনই সত্য বলার সম্ভাবনা = ০.৭ × ০.৮ = ০.৫৬
দুইজনই মিথ্যা বলার সম্ভাবনা =০.৩ × ০.২ = ০.০৬

∴ তাদের একইরকম উত্তর দেয়ার সম্ভাবনা = ০.৫৬ + ০.০৬ = ০.৬২

যেকোনো একদিন বৃষ্টি হবার সম্ভাবনা ৫/৭
তাহলে, বুধবার বা যেকোনো দিন বৃষ্টি না হবার সম্ভাবনা = (১ - ৫/৭) = ২/৭

প্রশ্ন: 50 থেকে 80 পর্যন্ত সংখ্যাগুলোর মধ্যে একটি মৌলিক সংখ্যা নির্বাচনের সম্ভাব্যতা কত?

সমাধান:
মোট সংখ্যা, n(S) = 80 - 50 + 1 = 31 টি।

মৌলিক সংখ্যাগুলো হলো: 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79
∴ অনুকূল ঘটনা সংখ্যা, n(A) = 7 টি।

সম্ভাবনা, P(A) = n(A)/n(S)
= 7/31

30 থেকে 40 পর্যন্ত সংখ্যা গণনা করলে তাদের মধ্যে মোট 11টি সংখ্যা আছে। এদের মধ্যে মৌলিক সংখ্যা 31 ও 37 এবং 3 এর গুণিতক 30, 33, 36, 39।
মৌলিক অথবা 3 এর গুণিতক হবে এমন সংখ্যা 6টি।
সুতরাং নির্ণেয় সম্ভাব্যতা = 6/11

প্রশ্নমতে,
x - y = 2
xy = 15

(x + y)² = (x - y)² + 4xy
= 2² + 60
= 64

∴ x + y = 8
তাহলে, গড় = 8 / 2 = 4

কোনো উপাত্তে যে সংখ্যা সর্বাধিক বার উপস্থাপিত থাকে, সেই সংখ্যাই উপাত্তের প্রচুরক।
৩, ৬, ৫, ৭, ৬, ৩, ৫, ৯, ৮, ৫, ১ উপাত্তগুলোর মধ্যে ৫ সর্বাধিক ৩ বার আছে।
সুতরাং প্রদত্ত উপাত্তগুলোর প্রচুরক = ৫।

প্রশ্ন: ১ থেকে ১২০ পর্যন্ত সংখ্যাগুলো থেকে দৈবভাবে একটি সংখ্যা নেওয়া হলে, সংখ্যাটি বর্গ সংখ্যা হওয়ার সম্ভাবনা কত?

সমাধান:
১ থেকে ১২০ পর্যন্ত সংখ্যাগুলোর মধ্যে মোট সংখ্যা = ১২০

এখন, বর্গ সংখ্যা (Perfect Square) হবে-
১^২ , ২^২, ৩^২, ৪^২, ৫^২, ৬^২, ৭^২, .......- এভাবে যতক্ষণ না বর্গফল ≤ ১২০ হয়।

অতএব, বর্গ সংখ্যা আছে মোট ১০টি

অতএব, সংখ্যাটি ঘন হওয়ার সম্ভাবনা = অনুকূল ফলাফল / সম্ভাব্য মোট ফলাফল
= ১০/১২০ 
= ১/১২

সুতরাং, সংখ্যাটি ঘন হওয়ার সম্ভাবনা ১/১২

প্রশ্ন: একটি বক্সে 5 টি সবুজ, 12 টি লাল এবং 13 টি কালো মার্বেল আছে। বক্স থেকে দৈবভাবে একটি মার্বেল নেওয়া হলে মার্বেলটি সবুজ না হওয়ার সম্ভাবনা কত?

সমাধান:
মোট মার্বেল আছে = (5 + 12 + 13) টি = 30 টি
সবুজ মার্বেল আছে = 5 টি

মার্বেলটি সবুজ হওয়ার সম্ভাবনা = 5/30
= 1/6

∴ মার্বেলটি সবুজ না হওয়ার সম্ভাবনা = 1 - (1/6)
= 5/6

প্রশ্ন: ১৭ থেকে ৫৩ পর্যন্ত যে-সব সংখ্যা ৩ দ্বারা বিভাজ্য, সেই সংখ্যাগুলোর গাণিতিক মধ্যক কত? 

সমাধান: 
তাহলে ১৭ থেকে ৫৩ মধ্যে ৩ এর গুণিতক সংখ্যা:
১৮, ২১, ২৪, ২৭, ৩০, ৩৩, ৩৬, ৩৯, ৪২, ৪৫, ৪৮, ৫১ 

এখানে মোট সংখ্যা = ১২ (জোড় সংখ্যা)
জোড় সংখ্যার মধ্যক = ৬ষ্ঠ এবং ৭ম সংখ্যার গড়
৬ষ্ঠ সংখ্যা = ৩৩
৭ম সংখ্যা = ৩৬

মধ্যক = (৩৩ + ৩৬)/২ = ৩৪.৫ 

∴ মধ্যক = ৩৪.৫

''ক'' এর দ্রব্য ত্রুটি পূর্ণ না হবার সম্ভাবনা P(M) = 1 - 15/100 = 17/20
''খ'' দ্রব্য ত্রুটি পূর্ণ না হবার সম্ভাবনা P(S) = 1 - 30/100 = 7/10
∴উভয়ের দ্রব্য ত্রুটি পূর্ণ না হবার সম্ভাবনা P(M∩S)= (17/20) × (7/10) = 119/200

প্রশ্ন: একটা থলেতে 4 টি লাল, 5 টি সাদা ও 6 টি কালো বল আছে। দৈবভাবে একটা বল নেয়া হলো। বলটি কালো না হওয়ার সম্ভাবনা কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
থলেতে লাল বলের সংখ্যা = 4 টি
থলেতে সাদা বলের সংখ্যা = 5 টি
থলেতে কালো বলের সংখ্যা = 6 টি

∴ থলেতে মোট বলের সংখ্যা (4 + 6 + 5) = 15 টি।
দৈবভাবে একটা বল নেয়া হলে 15 টি বলের যেকোনো একটি আসতে পারে।
সুতরাং সমগ্র সম্ভাব্য ফলাফল = 15।

∴ দৈবভাবে নেয়া বলটি কালো হওয়ার সম্ভাবনা = 6/15 = 2/5

∴ দৈবভাবে নেয়া বলটি কালো না হওয়ার সম্ভাবনা = 1 - (2/5) = (5 - 2)/5
= 3/5

মোট তাসের সংখ্যা = 52টি।
এর মধ্যে লাল টেক্কার সংখ্যা = 2টি।
দৈবভাবে একটি তাস টানলে সেটি লাল টেক্কা হওয়ার সম্ভাব্যতা = 2/52
= 1/26

প্রশ্ন: ২, ৫, ১, ৪, ৭, ২, ১, ৯, ৫, ৪, ৬, ১, ২, ১৯, ১, ১০ সংখ্যাগুলোর প্রচুরক কত? 

সমাধান: 
আমরা জানি, 
উপাত্তগুলোর মধ্যে যে সংখ্যাটি সব থেকে বেশি সংখ্যক বার থাকে তাকে প্রচুরক বলে। 
প্রদত্ত উপাত্তগুলোর মধ্যে ১ সংখ্যাটি সর্বোচ্চ চার বার আছে।
∴ ২, ৫, ১, ৪, ৭, ২, ১, ৯, ৫, ৪, ৬, ১, ২, ১৯, ১, ১০ সংখ্যাগুলোর মধ্যে প্রচুরক হলো = ১ । 

মোট তাস = ৫২ টি,
হরতন অথবা রাজার অনুকূলে তাস = ১৩ + ৪ - ১
= ১৬ টি
∴ এক্ষেত্রে সম্ভাবনা = ১৬/৫২
= ৪/১৩