পরিসংখ্যান ও সম্ভাব্যতা

প্রশ্ন: একটি ছক্কা নিক্ষেপ করা হলে ৩ অথবা ৫ আসার সম্ভাবনা কত?

সমাধান:
৩ আসার সম্ভাবনা = ১/৬
৫ আসার সম্ভাবনা = ১/৬

৩ অথবা ৫ আসার সম্ভাবনা = ১/৬ + ১/৬ = ২/৬ = ১/৩

প্রশ্ন: ৩০ এবং ৫০ সংখ্যা দু’টির গড় ব্যবধান কত?

সমাধান:
৩০, ৫০ এর গড় = (৩০ + ৫০)/২
= ৪০

∴ গড় ব্যবধান = {।৩০ - ৪০। + ।৫০ - ৪০।}/২
= (১০ + ১০)/২
= ২০/২
= ১০

কেটে নেওয়া কাগজের ক্ষেত্রফল = 5x বর্গমিটার
মূল কাগজের ক্ষেত্রফল = 45 বর্গমিটার
প্রশ্নমতে,
5x < 45
⇒ x < 9
∴x এর সম্ভাব্য মান 5 <x <9

প্রশ্ন: যদি P(A) = 1/3 এবং P(B) = 3/4 হয় এবং A ও B স্বাধীন হলে P(A ∪ B) এর মান কত? 

সমাধান:
দেওয়া আছে, 
P(A) = 1/3, P(B) = 3/4 

আমরা জানি, 
P(A∪B) = P(A) + P(B) - P(A∩B)
= P(A) + P(B) - P(A).P(B) [যেহেতু A ও B স্বাধীন]
= (1/3) + (3/4) - {(1/3) × (3/4)}
= (1/3) + (3/4) - (1/4)
= (4 + 9 - 3)/12
= 10/12
= 5/6

প্রশ্ন: P(A) = 1/3, P(B) = 3/4, A ও B স্বাধীন হলে P(A ∪ B) এর মান নির্নয় করুন?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
P(A) = 1/3  
P(B) = 3/4  
A এবং B পরস্পর স্বাধীন।

আমরা জানি, 
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B) ........ (১)
এবং P(A ∩ B) = P(A) × P(B)

এখন, 
P(A ∩ B) = P(A) × P(B)
= (1/3) × (3/4)
∴ P(A ∩ B) = 1/4

১ নং হতে পাই, 
P(A ∪ B) = (1/3) + (3/4) - (1/4)  
= (4 + 9 - 3)/12  
= 10/12  
= 5/6

চাকরি পাওয়ার সম্ভাবনা ৪/৫ হলে না পাওয়ার সম্ভাবনা = ১ - ৪/৫ = ১/৫

প্রশ্ন: 4, 3, 2, 14, 7, 1, 11, 5, 9, 18, 7, 6, 8, 17, 12, 7, 19, 16, 18, 13, 15  উপাত্তগুলোর প্রচুরক কত?

সমাধান:
প্রথমে উপাত্তগুলোকে মানের ঊর্ধ্বক্রমে সাজিয়ে পাই:
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 7, 7, 8, 9, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 18, 19
 
এখানে উপাত্তগুলোর মধ্যে 7 সংখ্যাটি সবচেয়ে বেশিবার রয়েছে।

∴ প্রচুরক হলো 7

প্রশ্ন: ৫ থেকে ৩০ পর্যন্ত সংখ্যা হতে যে কোনো একটিকে ইচ্ছামত নিলে সেই সংখ্যাটি মৌলিক অথবা ৫ এর গুণিতক হওয়ার সম্ভাবনা কত?

সমাধান:
 ৫ থেকে ৩০ পর্যন্ত সংখ্যা = ২৬টি
∴ মোট ফলাফল = ২৬

∴ ৫ থেকে ৩০ পর্যন্ত মৌলিক সংখ্যা = ৫, ৭, ১১, ১৩, ১৭, ১৯, ২৩, ২৯ = ৮টি

আবার,
৫ থেকে ৩০ এর মধ্যে ৫ এর গুণিতকসমূহ = ৫, ১০, ১৫, ২০, ২৫, ৩০ = ৬টি

∴ ৫ থেকে ৩০ পর্যন্ত মৌলিক অথবা ৫ এর গুণিতক সংখ্যার তালিকা : ৫, ৭, ১০, ১১, ১৩, ১৫, ১৭, ১৯, ২০, ২৩, ২৫, ২৯, ৩০।
মোট ১৩টি
∴ অনুকূল ফলাফল = ১৩

∴ সংখ্যাটি মৌলিক বা ৫ এর গুণিতক হওয়ার সম্ভাবনা = অনুকূল ফলাফল/মোট ফলাফল
= ১৩/২৬
= ১/২

30 থেকে 50 পর্যন্ত মোট 21 টি সংখ্যা আছে।
এদের মধ্যে মৌলিক সংখ্যা 31, 37, 41, 43 ও 47 এবং 5 এর গুণিতক 30, 35, 40, 45 ও 50।
সুতরাং মৌলিক অথবা 5 এর গুণিতক হবে এমন সংখ্যা 10 টি (31, 37, 41, 43, 45, 30, 35, 40, 45, 50)।
সুতরাং নির্ণেয় সম্ভাব্যতা = 10/21।

একটি ছক্কার নমুনা বিন্দু হল ৬টি
৪ পড়ার সম্ভাবনা ১/৬
ছক্কায় জোড় সংখ্যা আছে (২, ৪, ৬)
জোড় সংখ্যা আসার সম্ভাবনা ৩/৬ = ১/২

প্রশ্ন: একটি মুদ্রা ও একটি ছক্কা একবার নিক্ষেপ করা হলো। মুদ্রার ফলাফল হেড এবং ছক্কায় বিজোড় সংখ্যা আসার সম্ভাবনা কত?

সমাধান:
একটি মুদ্রায় দুটো পিঠ (H, T)
ছক্কায় ছয়টি পিঠ (1, 2, 3, 4, 5, 6)

∴ মোট সম্ভাব্য ঘটনা সংখ্যা = 2 × 6 = 12
এগুলো হলো: (1,H), (1,T), (2,H), (2,T), (3,H), (3,T), (4,H), (4,T), (5,H), (5,T), (6,H), (6,T)

হেড এবং ছক্কায় বিজোড় সংখ্যা আসার অনুকূল ঘটনা = (H,1), (H,3), (H,5)
∴ মোট 3 টি অনুকূল ঘটনা

∴ সম্ভাবনা(হেড এবং ছক্কায় বিজোড় সংখ্যা) = অনুকূল ঘটনা/মোট ঘটনা
= 3/12 = 1/4

১ টি মুদ্রাকে দুইবার নিক্ষেপ করলে প্রথম বার হেড আসার সম্ভাবনা ১/২
দ্বিতীয়বার হেড আসার সম্ভাবনা = ১/২
∴ উভয়ক্ষেত্রে হেড পাওয়ার সম্ভাবনা = ১/২ × ১/২ = ১/৪

প্রশ্ন: 53, 65, 87, 90, 70, 69, 65, 89, 85, 53, 90, 94, 53, 68, 79, 94, 47, 61, 27, 80
প্রদত্ত উপাত্ত সমূহের মধ্যক কত?

সমাধান:
উপাত্তগুলোকে মানের ঊর্ধ্বক্রমে সাজিয়ে পাই,
27, 47, 53, 53, 53, 61, 65, 65, 68, 69, 70, 79, 80, 85, 87, 89, 90, 90, 94, 94

এখানে উপাত্ত আছে 20টি, যা জোড় সংখ্যা।
মধ্যক হবে 20/2 = 10 এবং (20/2) + 1 = 11 তম পদের গড়

∴ মধ্যক = (69 + 70)/2 = 69.5 

প্রশ্ন: ​P(A) = 1/3, P(B) = 1/4 এবং A ও B স্বাধীন হলে, P(A ∪ B) এর মান কত?

​​সমাধান:
​দেওয়া আছে,
​P(A) = 1/3, P(B) = 1/4
​
​আমরা জানি,
​P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B) ........(১)
​
​এবং স্বাধীন ঘটনার জন্য, 
​P(A ∩ B) = P(A) × P(B)
​
​∴ P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A) × P(B)
​= (1/3) + (1/4) - {(1/3) × (1/4)}
​= (7/12) - (1/12)
​= (7 - 1)/12
​= 6/12
​= 1/2

প্রশ্ন: 1 থেকে 20 পর্যন্ত স্বাভাবিক সংখ্যাগুলোর মধ্যে একটি সংখ্যা দৈবভাবে নির্বাচন করা হলো। সংখ্যাটি 3 এর গুণিতক এবং মৌলিক হওয়ার সম্ভাবনা কত?

সমাধান:
1 থেকে 20 এর মধ্যে মৌলিক সংখ্যাগুলো হলো,
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19

আবার,
3 এর গুণিতক 1 থেকে 20 এর মধ্যে,
3, 6, 9, 12, 15, 18

শুধুমাত্র 3 সংখ্যাটিই একই সাথে 3-এর গুণিতক এবং মৌলিক।

সুতরাং, অনুকূল ফলাফল = 1টি
মোট সম্ভাব্য ফলাফল = 20টি

∴ সম্ভাবনা = 1/20

প্রশ্ন: দুইটি ছক্কা নিরপেক্ষভাবে একসাথে নিক্ষেপ করা হলে যে সংখ্যা দুইটি উঠবে তাদের গুণফল ১২ হওয়ার সম্ভাবনা কত?

সমাধান:
দুটি ছক্কা একসাথে নিক্ষেপে মোট ঘটনা = ৬^২ = ৩৬ টি
দুটির সংখ্যার গুণফল ১২ হওয়ার অনুকূল ঘটনা = (২,৬) ও (৬,২), (৩, ৪), (৪, ৩) = ৪ টি

∴ সম্ভাবনা = ৪/৩৬= ১/৯

প্রশ্ন: 40 এবং 80 সংখ্যা দু’টির গড় ব্যবধান কত?

সমাধান:
সূত্র: গড় ব্যবধান (Mean Deviation) = (Σ|x - x̄|)/n

এখানে, x হলো উপাত্তের মান, x̄ হলো গাণিতিক গড় এবং n হলো মোট উপাত্তের সংখ্যা।

40 এবং 80 এর গড় = (40 + 80)/2 = 60

∴ গড় ব্যবধান = (|40 - 60| + |80 - 60|)/2
= (20 + 20)/2
= 40/2
= 20

মোট সংখ্যা = 15
মৌলিক সংখ্যা = {2, 3, 5, 7, 11, 13}
3 এর গুণিতিক সংখ্যা = {3, 6, 9, 12, 15}
মৌলিক এবং 3 এর গুণিতক সংখ্যা = {3} = 1টি
∴ সম্ভাবনা = 1/15

প্রশ্ন: 76, 65, 98, 79, 64, 68, 56, 73, 83, 57, 55, 92, 45, 77, 87, 46, 32, 75, 89, 48, 97, 88, 65, 39, 84, 73, 34, 75, 82, 67, 62 উপাত্তগুলোর পরিসর কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
সর্বোচ্চ মান = 98
সর্বনিম্ন মান = 32

আমরা জানি, 
পরিসর = (সর্বোচ্চ মান - সর্বনিম্ন মান) + 1
= (98 - 32) + 1
= 66 + 1
= 67

সুতরাং, উপাত্তগুলোর পরিসর 67। 

ধরি, ৯ তম ইনিংসের গড় x রান
৯ তম ইনিংসের মোট রান = ৯x
∴১০ তম ইনিংসের গড় = (১০০ + ৯x)/১০ রান
প্রশ্নমতে,
(১০০ + ৯x)/১০ = x + ৮
বা, ১০x + ৮০ = ১০০ + ৯x
বা, x = ২০
৯ তম ইনিংসের গড় ২০ রান
∴খেলোয়াড়ের নতুন গড় (২০ + ৮) = ২৮ রান

প্রশ্ন: প্রথম ও দ্বিতীয় সংখ্যার গড় ৩৮। প্রথম, দ্বিতীয় ও তৃতীয় সংখ্যার গড় ৪২ হলে, তৃতীয় সংখ্যাটি কত?

সমাধান: 
প্রথম ও দ্বিতীয় সংখ্যার গড় = ৩৮
∴ প্রথম ও দ্বিতীয় সংখ্যার সমষ্টি = (৩৮ × ২)
= ৭৬ 

আবার, 
প্রথম, দ্বিতীয় ও তৃতীয় সংখ্যার গড় = ৪২
∴ প্রথম, দ্বিতীয় ও তৃতীয় সংখ্যার সমষ্টি = (৪২ × ৩)
= ১২৬ 

∴ তৃতীয় সংখ্যাটি = (১২৬ - ৭৬) 
= ৫০ 

প্রশ্ন: সিলেট শহরে মে মাসে ১৭ দিন বৃষ্টি হয়েছে। তাহলে ২৬ মে বৃষ্টি হওয়ার সম্ভাবনা কত?
 
সমাধান:
বৃষ্টি হওয়ার দিনের সংখ্যা = ১৭ দিন
মে মাসের মোট দিন সংখ্যা = ৩১ দিন

সুতরাং, ২৬ শে মে বৃষ্টি হওয়ার সম্ভাবনা = মে মাসে বৃষ্টি হওয়ার দিনের সংখ্যা/মে মাসের মোট দিন সংখ্যা
= ১৭/৩১

অতএব, ২৬ শে মে বৃষ্টি হওয়ার সম্ভাবনা ১৭/৩১

একটি ছক্কা একবার নিক্ষেপ করলে মোট ফলাফল = {1, 2, 3, 4, 5, 6} = 6টি
বিজোড় সংখ্যা = {1, 3, 5}
দুই দ্বারা বিভাজ্য সংখ্যা = {3, 6}
∴ বিজোড় সংখ্যা অথবা তিন দ্বারা বিভাজ্য সংখ্যা = {1, 3, 5, 6} = 4টি
∴ সম্ভাবনা = 4/6 = 2/3

প্রশ্ন: ১ থেকে ১৫ রোল পর্যন্ত ছাত্র-ছাত্রীর মধ্য থেকে দৈবভাবে ২ জন ছাত্র নির্বাচন করলে, ২ জনের রোল নম্বর জোড় হওয়ার সম্ভাবনা কত?

সমাধান:
১ থেকে ১৫ পর্যন্ত জোড় সংখ্যা = ২, ৪, ৬, ৮, ১০, ১২, ১৪ = ৭ টি

∴ প্রথম ছাত্রের রোল জোড় হওয়ার সম্ভাবনা = ৭/১৫
∴ দ্বিতীয় ছাত্রের রোল জোড় হওয়ার সম্ভাবনা = ৬/১৪

∴ ২ জনেরই রোল জোড় হওয়ার সম্ভাবনা = (৭/১৫) × (৬/১৪)
= ১/৫

৬ টি সংখ্যার সমষ্টি =(৬ × ২৫) = ১৫০
৩ টি সংখ্যার সমষ্টি =(৩ × ২২) = ৬৬
∴ ৯ টি সংখ্যার সমষ্টি = ২১৬
∴ ৯ টি সংখ্যার গড় = ২১৬/৯ = ২৪

Question: How many ways the letters of the word "RUBBER" can be arranged ?

Solution:
Total letters = 6
R = 2 times
B = 2 times

Number of distinct permutations = n! / (p1! × p2!..) 
= 6! / (2! × 2!)
= 720/4
= 180

∴ Distinct permutations 180

প্রশ্ন: একটি থলিতে ১২টি নীল বল, ১৪টি সাদা বল এবং ২২টি কালো বল আছে। দৈবভাবে একটি বল তুললে সেটি নীল না হওয়ার সম্ভাবনা কত? 

সমাধান: 
থলিতে মোট বল আছে = (১২ + ১৪ + ২২) টি 
= ৪৮টি 
∴ নীল বল উঠার সম্ভাবনা = ১২/৪৮ 
= ১/৪ 

∴ নীল বল না উঠার সম্ভাবনা = (১ - ১/৪) 
= (৪ - ১)/৪ 
= ৩/৪

প্রশ্ন: দুটি ছক্কা একসাথে নিক্ষেপ করা হলো।ছক্কায় সংখ্যা দুটির গুণফল জোড় হওয়ার সম্ভাবনা কত?

সমাধান:
মোট সম্ভাব্য ফলাফল = ৬ × ৬ = ৩৬ 

এখন, 
গুণফল জোড় হওয়ার শর্ত, 
গুণফল জোড় হবে যদি অন্তত একটি সংখ্যা জোড় হয়। (অর্থাৎ, দুটোই বিজোড় হলে গুণফল বিজোড়।)

সুতরাং, দুইটা সংখ্যা বিজোড় হওয়ার ফলাফল = ৩ × ৩ = ৯ ; [বিজোড় সংখ্যা = ১, ৩, ৫ = ৩ টি]

∴ গুণফল জোড় হওয়ার ফলাফল = ৩৬ - ৯ = ২৭ 

∴ P(গুণফল জোড় হওয়ার সম্ভাবনা) = অনুকূল ফলাফল/মোট সম্ভাব্য ফলাফল
= ২৭/৩৬ 
= ৩/৪ 

সুতরাং, দুটি ছক্কায় প্রাপ্ত সংখ্যা দুটির গুণফল জোড় হওয়ার সম্ভাবনা ৩/৪।

প্রশ্ন: ১ থেকে ৪৪০ পর্যন্ত সংখ্যাগুলোর মধ্যে দৈবভাবে একটি সংখ্যা নেওয়া হলে সংখ্যাটি বর্গসংখ্যা হওয়ার সম্ভাবনা কত?

সমাধান:
১ থেকে ৪৪০ পর্যন্ত মোট সংখ্যা = ৪৪০ টি 

১ থেকে ৪৪০ পর্যন্ত পূর্ণবর্গ সংখ্যা = অনুকূল ঘটনা,
=  ১, ৪, ৯, ১৬, ২৫, ৩৬, ৪৯, ৬৪, ৮১, ১০০, ১২১, ১৪৪, ১৬৯, ১৯০, ২২৩, ২৫৬, ২৮৯, ৩২৪, ৩৭১, ৪০০ অর্থাৎ ২০ টি 

∴ নির্ণেয় সম্ভাবনা = ২০/৪৪০ 
= ১/২২