বহুপদী উৎপাদক ও এর বিশ্লেষণ

প্রশ্ন: f(x) = x³ - px² + 7x - 10 হলে, তাহলে p এর কোন মানের জন্য f(2) = 0 হবে?

সমাধান:
দেওয়া আছে:
f(x) = x³ - px² + 7x - 10

f(2) নির্ণয় করি,
f(2) = (2)³ - p(2)² + 7(2) - 10
= 8 - 4p + 14 - 10
= 12 - 4p

এখন,
f(2) = 0
⇒ 12 - 4p = 0
⇒ 4p = 12
∴ p = 3

x² - y² + 2y - 1
= x² - (y² - 2y + 1)
= x² - (y - 1)²
= (x + y - 1) (x - y + 1)

প্রশ্ন: a⁴ - 64 এর একটি উৎপাদক নির্ণয় করুন- 

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
a⁴ - 64
= (a²)² - 8²
= (a² + 8)(a² - 8) ; [a² - b² = (a + b)(a - b)]
= (a² + 8){a² - (2√2)²}
= (a² + 8)(a + 2√2)(a - 2√2)

সুতরাং, a⁴ - 64 = (a² + 8)(a + 2√2)(a - 2√2)

প্রশ্ন: x² + 3x - 10 এর একটি উৎপাদক কোনটি?

সমাধান:
প্রদত্ত রাশি = x² + 3x - 10
= x² + 5x - 2x - 10
= x(x + 5) - 2(x + 5)
= (x + 5)(x - 2)

প্রশ্ন: যদি f(x) = x³ + 9x² - 3x - 6 হয়, তবে f(- 2) = কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে, f(x) = x³ + 9x² - 3x - 6

এখন,
f(- 2) = (- 2)³ + 9(- 2)² - 3. (- 2) -6
= - 8 + 36 + 6 - 6
= 28

সমাধান:
ধরি,
f(a) = a³ + 2a² − 5a − 6
a = -1 বসিয়ে পাই,
f(−1) = −1 + 2 + 5 − 6 = 0
∴ (a + 1) প্রদত্ত রাশির একটি উৎপাদক।

a³ + 2a² - 5a - 6
= a³ + a² + a² + a - 6a - 6
= a²(a + 1) + a(a + 1) - 6(a + 1)
= (a + 1)(a² + a - 6)
= (a + 1)(a² + 3a - 2a - 6)
= (a + 1){a(a + 3) - 2(a + 3)}
= (a + 1)(a + 3)(a - 2)

∴ নির্ণেয় উৎপাদক = (a + 1)(a + 3)(a - 2)

x -1, f(x) = x³ - ax² + 11x - a এর একটি উৎপাদক
∴ f(1) = 0
বা, 1³ - a.1² + 11.1 - a = 0
বা, -2a + 12 = 0
∴ a = 6

প্রশ্ন: q² - 37q - 650 এর উৎপাদকে বিশ্লেষিত রূপ কোনটি?

সমাধান:
q² - 37q - 650
= q² - 50q + 13q - 650
= q(q - 50) + 13(q - 50)
= (q - 50)(q + 13)

প্রশ্ন: x² + px - 15 রাশিটির একটি উৎপাদক x + 5 হলে, p এর মান কত?

সমাধান:
ধরি, f(x) = x² + px - 15
x + 5, f(x) এর একটি উৎপাদক বলে উৎপাদকের উপপাদ্য অনুযায়ী, f(- 5) = 0 হবে।

f(- 5) = (- 5)² + p(- 5) - 15
= 25 - 5p - 15
= 10 - 5p

শর্তমতে,
10 - 5p = 0
⇒ 10 = 5p
⇒ p = 10/5
⇒ p = 2

প্রশ্ন: 9x² - (2x - 3y)² = কত? 

সমাধান: 
9x² - (2x - 3y)² 
= (3x)² - (2x - 3y)² 
= {3x + (2x - 3y)} {3x - (2x - 3y)} 
= (3x + 2x - 3y) (3x - 2x + 3y) 
= (5x - 3y) (x + 3y)

প্রশ্ন: নিচের কোনটি a³ - 6a² + 11a - 6 এর একটি উৎপাদক নয়?

সমাধান:
a³ - 6a² + 11a - 6
= a³ - a² - 5a² + 5a + 6a - 6
= a²(a - 1) - 5a(a - 1) + 6(a - 1)
= (a - 1)(a² - 5a + 6)
= (a - 1) (a² - 3a - 2a + 6)
= (a - 1) {a(a - 3) - 2(a - 3)}
= (a - 1)(a - 2)(a - 3)

∴ (a - 4), a³ - 6a² + 11a - 6 এর একটি উৎপাদক নয়।

a³ - 21a - 20
এখানে f(a) = a³ - 21a - 20 ধরে অপশনগুলো থেকে a এর মান নিয়ে সমাধান করাটা সহজ হবে।
সবগুলো অপশন থেকে মান নিয়ে যাচাই করলে দেখা যায় যে, f(-1) = 0 হয়।
অর্থাৎ, (a+1) প্রদত্ত রাশিটির একটি উৎপাদক হবে।

a³ - 21a - 20
= a³ + a² - a² - a - 20a - 20
= a²(a+1) - a(a +1) - 20(a +1)
= (a+1)(a² - a - 20)
= (a+1) (a2 - 5a + 4a - 20)
= (a+1) {a(a-5) + 4(a-5)}
= (a+1) (a-5) (a+4)

3x³ + 2x² - 21x - 20
= 3x³ + 3x² - x² - x - 20x - 20
= 3x²(x + 1) - x(x + 1) - 20(x + 1)
= (x + 1) (3x² - x - 20)

প্রশ্ন: (x² - y² - z² - 2yz) এবং (z² - x² - y² - 2xy) রাশিদ্বয়ের সাধারণ উৎপাদক কোনটি?

সমাধান:

প্রথম রাশি = x² - y² - z² - 2yz
= x² - (y² + z² + 2yz)
= x² - (y + z)²
= {x - (y + z)}{x + (y + z)}
= (x - y - z)(x + y + z)

দ্বিতীয় রাশি = z² - x² - y² - 2xy
= z² - (x² + y² + 2xy)
= z² - (x + y)²
= {z - (x + y)}{z + (x + y)}
= (z - x - y)(z + x + y)
= - (x + y - z)(x + y + z)

প্রথম রাশি = (x - y - z)(x + y + z)
দ্বিতীয় রাশি = - (x + y - z)(x + y + z)

∴ সাধারণ উৎপাদক = x + y + z 

প্রশ্ন: x³ + 2x² + ax - 12 বহুপদীর একটি উৎপাদক x - 2 হলে, a এর মান কত?

সমাধান:
ধরি, f(x) = x³ + 2x² + ax - 12
যেহেতু (x - 2) রাশিটির একটি উৎপাদক, সেহেতু x = 2 হলে f(x) = 0 হবে।

এখন, f(2) নির্ণয় করি,
f(2) = (2)³ + 2(2)² + a(2) - 12
⇒ f(2) = 8 + 8 + 2a - 12
⇒ f(2) = 2a + 4

শর্তমতে, f(2) = 0
⇒ 2a + 4 = 0
⇒ 2a = - 4
∴ a = - 2

প্রশ্ন: x² - 2xy - z² + 2yz এর একটি উৎপাদক (x - z) হলে অপরটি-

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
x² - 2xy - z² + 2yz
= x² - z² - 2xy + 2yz
= (x - z)(x + z) - 2y(x - z)
= (x - z)(x + z - 2y)
= (x - z)(x - 2y + z)

প্রশ্ন: x³ - 3x² + ax - 6 বহুপদীর একটি উৎপাদক x - 2 হলে, a এর মান কত?

সমাধান:
ধরি, f(x) = x³ - 3x² + ax - 6
যেহেতু (x - 2) রাশিটির একটি উৎপাদক, সেহেতু x = 2 হলে f(x) এর মান শূন্য হবে।

এখন, f(2) এর মান নির্ণয় করি,
f(2) = (2)³ - 3(2)² + a(2) - 6
= 8 - 3(4) + 2a - 6
= 8 - 12 + 2a - 6
= -4 + 2a - 6
= 2a - 10

শর্তমতে,
f(2) = 0
বা, 2a - 10 = 0
বা, 2a = 10
∴ a = 5

x² - x - 2
= x² - 2x + x - 2
= x(x - 2) + 1(x - 2)
= (x -2)(x + 1)

প্রশ্ন: x³ + 4x² + cx - 20 বহুপদীর একটি উৎপাদক x - 2 হলে, c এর মান কত?

সমাধান:
ধরি, f(x) = x³ + 4x² + cx - 20
যেহেতু (x - 2) রাশিটির একটি উৎপাদক,
সেহেতু x = 2 হলে f(x) = 0 হবে।

এখন, f(2) নির্ণয় করি,
f(2) = (2)³ + 4(2)² + c(2) - 20
⇒ f(2) = 8 + 16 + 2c - 20
⇒ f(2) = 2c + 4

শর্তমতে, f(2) = 0
⇒ 2c + 4 = 0
⇒ 2c = - 4
∴ c = - 2

প্রশ্ন: x² + px - 15 রাশিটির একটি উৎপাদক x + 5 হলে, p এর মান কত?

সমাধান:
ধরি, f(x) = x² + px - 15
x + 5, f(x) এর একটি উৎপাদক বলে উৎপাদকের উপপাদ্য অনুযায়ী, f(- 5) = 0 হবে।

f(- 5) = (- 5)² + p(- 5) - 15
= 25 - 5p - 15
= 10 - 5p

শর্তমতে,
10 - 5p = 0
⇒ 10 = 5p
⇒ p = 10/5
⇒ p = 2

(x²+y²-z²+2xy)/(x²-y²+z²+2xz)
= [(x + y)² - z²]/[(x+z)²-y²]
= [(x + y + z) (x + y - z)]/ [(x + y + z) (x - y + z)]
= (x + y - z)/(x - y + z)

প্রশ্ন: 16x³ - 46x² + 15x কে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করুন-

সমাধান: 
16x³ - 46x² + 15x
= x(16x² - 46x + 15)
= x(16x² - 40x - 6x + 15)
= x {8x(2x - 5) - 3(2x - 5)}
= x(2x - 5)(8x - 3)

প্রশ্ন: x² + 7x + P যদি x -5 দ্বারা বিভাজ্য হয় তবে P এর মান কত হবে? 

সমাধান: 
x² + 7x + P যদি x -5 দ্বারা বিভাজ্য হয় তবে f(5) = 0 হবে। 
∴ x² + 7x + P = 0 
বা, (5)² + 7 . 5 + P = 0 
বা, 25 + 35 + P = 0 
বা, 60 + P = 0 
∴ P = - 60 

∴ P এর মান = -60.0  ।

x - 3, f(x) = x³ + kx² - 6x - 9 এর উৎপাদক
∴ f(3) = 27 + 9k - 18 - 9 = 9k = 0
∴ k = 0

যেহেতু, (x - 3) দ্বারা x² + 7x + p বিভাজ্য, সেহেতু, 3² + 7(3) + p = 0 হবে।
বা, 9 + 21 + p = 0
p = -30

প্রশ্ন: 2x³ - 3x² - 3x + 2 রাশিটির একটি উৎপাদক হচ্ছে-

সমাধান:
ধরি, f(x) = 2x³ - 3x² - 3x + 2
∴ f(- 1) = 2(- 1)³ - 3(- 1)² - 3(- 1) + 2
= 2(- 1) - 3(1) + 3 + 2
= - 2 - 3 + 3 + 2
= 0 

যেহেতু f(-1) = 0, সুতরাং উৎপাদক উপপাদ্য অনুযায়ী, x - (-1), অর্থাৎ (x + 1) হলো প্রদত্ত রাশিটির একটি উৎপাদক।

প্রশ্ন: x² + 2tx + t² - 4 কে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করুন। 

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
x² + 2tx + t² - 4
= (x² + 2tx + t²) - 4
= (x + t)² - 4
= (x + t)² - 2²
= (x + t + 2)(x + t - 2)

a³ + a² - 2
= (a³ - 1) + (a² - 1)
= (a - 1)(a² + a + 1) + (a+1)(a - 1)
= (a - 1)(a² + a + 1 + a + 1)
= (a - 1)(a² + 2a + 2)
= (a - 1)(a² + 2a + 2)
∴ a = 1 হলে,
a³ + a² - 2 = 0
∴ a = 1

প্রশ্ন: 4x² − 16 এবং 6x² + 24x + 24 এর গ.সা.গু কত? 

সমাধান: 
১ম রাশি = 4x² − 16
= 4 (x² − 4)
= 4 {(x)² − (2)²}
= 4 (x + 2) (x − 2) 

দ্বিতীয় রাশি = 6x² + 24x + 24
= 6 (x² + 4x + 4)
= 6 {(x)² + 2. x. 2 + (2)²}
= 6 (x + 2)²

এখন,
4 এবং 6 এর গ.সা.গু = 2

∴ নির্ণেয় প্রদত্ত রাশিদ্বয়ের গ.সা.গু = 2(x + 2) ।

a³ - a
= a(a² - 1)
= a(a² - 1²)
= a(a + 1)(a - 1)

প্রশ্ন: 2x² + 5x - 3 = 0 সমীকরণের মূলদ্বয় নিচের কোনটি?

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
2x² + 5x - 3 = 0
⇒ 2x² + 6x - x - 3 = 0 
⇒ 2x(x + 3) - 1(x + 3) = 0 
⇒ (2x - 1)(x + 3) = 0

হয়, 
2x - 1 = 0
⇒ 2x = 1
∴ x = 1/2

অথবা 
x + 3 = 0
∴ x = -3

সুতরাং, মূলদ্বয় 1/2, - 3