লগ ইননিবন্ধন
বিষয়সমূহ

PrepBank · বিষয়ভিত্তিক প্রশ্ন

বহুপদী উৎপাদক ও এর বিশ্লেষণ

মোট প্রশ্ন১,৭৪৬এই পাতা১০০প্রতি পাতা১০০
প্রশ্ন দেখুনঅনুশীলন
ঘনত্ব
উত্তর
উত্তরিতবর্তমানপুনরায় দেখুনঅসম্পূর্ণ

বহুপদী উৎপাদক ও এর বিশ্লেষণ

PrepBank · পাতা ৯ / ১৮ · ৮০১–৯০০ / ১,৭৪৬

৮০১.
4a4 - 25a2 + 36 এর একটি উৎপাদক নয় কোনটি?
  1. ক
    a + 2
  2. খ
    2a + 3
  3. গ
    a - 2
  4. ঘ
    2a - 1
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 4a4 - 25a2 + 36 এর একটি উৎপাদক নয় কোনটি?

সমাধান:
4a4 - 25a2 + 36
= 4a4 - 16a2 - 9a2 + 36
= 4a2(a2 - 4) - 9(a2 - 4)
= (a2 - 4)(4a2 - 9)
= (a2 - 22){(2a)2 - 32}
= (a + 2)(a - 2)(2a + 3)(2a - 3)
৮০২.
a3 - 7a - 6 এর উৎপাদকে বিশ্লেষিত রূপ কোনটি?
  1. ক
    (a + 1)(a + 2)(a + 3)
  2. খ
    (a + 1)(a + 2)(a - 3)
  3. গ
    (a + 1)(a - 1)(a + 4)
  4. ঘ
    (a + 1)(a - 2)(a + 4)
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: a3 - 7a - 6 এর উৎপাদকে বিশ্লেষিত রূপ কোনটি?

সমাধান:
ধরি, f(a) = a3 - 7a - 6
তাহলে, f(- 1) =( - 1)3 - 7( - 1) - 6
= - 1 + 7 - 6
= 0

এখন,
a3 - 7a - 6
= a3 + a2 - a2 - a - 6a - 6
= a2(a + 1) - a (a + 1) - 6 (a + 1)
= (a + 1)(a2 - a - 6)
= (a + 1)(a2 - 3a + 2a - 6)
= (a + 1){a(a - 3) + 2(a -3)}
= (a + 1)(a + 2)(a - 3)
৮০৩.
x4-5x³+7x²-a বহুপদীর একটি উৎপাদক x-2 হলে, a এর মান কোনটি?
  1. ক
    ক) 8
  2. খ
    খ) 4
  3. গ
    গ) 2
  4. ঘ
    ঘ) 10
ব্যাখ্যা
ধরি, P(x) = x4-5x³+7x²-a
(x-2), P(x) এর একটি উৎপাদক হলে,
P(2) = 0
বা, (2)4-5(2)³+7(2)²-a = 0
বা, 16-40+28-a = 0
∴ a = 4.
৮০৪.
x2 + y2 + z2 = 9 এবং xy + yz + zx  = 8 হলে, (x + y + z)2 এর মান কত?
  1. ক
    ক) 12
  2. খ
    খ) 13
  3. গ
    গ) 25
  4. ঘ
    ঘ) 36
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: x2 + y2 + z2 = 9 এবং xy + yz + zx  = 8 হলে, (x + y + z)2 এর মান কত? 

সমাধান:
দেয়া আছে
x2 + y2 + z2 = 9 
xy + yz + zx  = 8

(x + y + z)2 = x2 + y2 + z2 + 2(xy + yz + zx)
                    = 9 + 2(8)
                     = 9 + 16 
                     = 25
৮০৫.
6p2 + 24p + 24 এবং p2 + p - 2 এর সাধারণ উৎপাদক কোনটি?
  1. ক
    p + 1
  2. খ
    p + 2
  3. গ
    p - 1
  4. ঘ
    p - 2
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 6p2 + 24p + 24 এবং p2 + p - 2 এর সাধারণ উৎপাদক কোনটি?

সমাধান:
১ম রাশি:
6p2 + 24p + 24
= 6(p2 + 4p + 4)
= 6(p2 + 2p + 2p + 4)
= 6{p(p + 2) + 2(p + 2)}
= 6(p + 2)(p + 2)

২য় রাশি:
p2 + p - 2
= p2 + 2p - p - 2
= p(p + 2) - (p + 2)
= (p + 2)(p - 1)

∴ প্রদত্ত রাশিদ্বয়ের সাধারণ উৎপাদক = p + 2
৮০৬.
x2 - y2 + 2y - 1 এর একটি উৎপাদক -
  1. ক
    ক) x + y + 1
  2. খ
    খ) x + y - 1
  3. গ
    গ) x - y
  4. ঘ
    ঘ) x - y - 1
ব্যাখ্যা

x2 - y2 + 2y - 1
= x2 - (y2 - 2y + 1)
= x2 - (y-1)2
= (x+y-1) (x-y+1)

৮০৭.
a2 + 6a +8 - y2 + 2y এর একটি উৎপাদক নিচের কোনটি ?
  1. ক
    (a + y - 2)
  2. খ
    (a + y + 4)
  3. গ
    (a - y - 4)
  4. ঘ
    (a - y + 4)
ব্যাখ্যা

a2 + 6a + 8 - y2 + 2y 

= a2 + 2 × a × 3 + 32  - y2 + 2 × y × 1 - 12

= (a + 3 )2 - ( y2 - 2y + 1 ) 

= (a + 3 )2 -( y - 1)2 

= { (a + 3 ) + ( y - 1)} { (a + 3 ) - ( y - 1)} 

= (a + 3 + y - 1) (a + 3 - y + 1)

= ( a + y + 2 ) ( a - y + 4 )

৮০৮.
a3 + 2a2 - a - 2 রাশিটির উৎপাদক কোনটি?
  1. ক
    (a - 2)
  2. খ
    (a2 + 1)
  3. গ
    (a + 2)
  4. ঘ
    (a2 + 2a + 2)
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: a3 + 2a2 - a - 2 রাশিটির উৎপাদক কোনটি?

সমাধান:
a3 + 2a2 - a - 2
= (a3 + 2a2) - (a + 2)
= a2(a + 2) - 1(a + 2)
= (a + 2)(a2 - 1)
= (a + 2)(a + 1)(a - 1)
৮০৯.
3x2 - 7x - 6 এর উৎপাদকসমূহ কোনটি?
  1. ক
    (3x - 2) (x - 3)
  2. খ
    (3x + 2) (x - 3)
  3. গ
    (3x - 2) (x + 3)
  4. ঘ
    (3x + 2) (x + 3)
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 3x2 - 7x - 6 এর উৎপাদকসমূহ কোনটি?

সমাধান: 
 3x2 - 7x - 6
= 3x2 - 9x + 2x - 6
= 3x(x - 3) + 2 (x - 3) 
= (x - 3) (3x + 2)
= (3x + 2) (x - 3)
৮১০.
x2- y2 - 2y - 1 এর একটি উৎপাদক-
  1. ক
    x + y - 1
  2. খ
    x - y + 1
  3. গ
    x + y + 1
  4. ঘ
    x - y + 2
ব্যাখ্যা
x2 - y2 - 2y - 1
= x2 - (y2 + 2y + 1)
= x2 - (y + 1)2
= (x + y + 1) (x - y - 1)
৮১১.
9x2 – 9x – 4 এর উৎপাদক কোনটি?
  1. ক
    ক) (x + 1)(3x – 3)
  2. খ
    খ) (3x + 1)(3x – 4)
  3. গ
    গ) (3x + 1)(3x + 4)
  4. ঘ
    ঘ) কোনটিই নয়
ব্যাখ্যা
9x2 – 9x – 4
= 9x2 + 3x – 12x – 4
= 3x (3x + 1) – 4 (3x + 1)
= (3x + 1) (3x – 4)
৮১২.
নিচের কোনটি 12p2 - 38p + 20 এর একটি উৎপাদক নয়?
  1. ক
    (2p - 5)
  2. খ
    (p - 4)
  3. গ
    2
  4. ঘ
    (3p - 2)
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: নিচের কোনটি 12p2 - 38p + 20 এর একটি উৎপাদক নয়?

সমাধান:
12p2 - 38p + 20
= 2(6p2 - 19p + 10)
= 2(6p2 - 15p - 4p + 10)
= 2{3p(2p - 5) - 2(2p - 5)}
= 2(2p - 5)(3p - 2)

∴12p2 - 38p + 20 এর উৎপাদকগুলি হলো 2, (2p - 5) এবং (3p - 2)।

৮১৩.
4x2 - 13x - 12 এর উৎপাদক কত?
  1. ক
    (x - 4)(4x + 3)
  2. খ
    (2x - 4)(2x - 3)
  3. গ
    (2x - 4)(2x + 3)
  4. ঘ
    (x + 4)(4x - 3)
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 4x2 - 13x - 12 এর উৎপাদক কত?

সমাধান:
4x2 - 13x - 12
= 4x2 - 16x + 3x - 12
= 4x(x - 4) + 3(x - 4)
=(x - 4)(4x + 3)
৮১৪.
4x2 − 13x − 12 এর উৎপাদক কত?
  1. ক
    ক) (x−4)(4x+3)
  2. খ
    খ) (2x−4)(2x−3)
  3. গ
    গ) (2x−4)(2x+3)
  4. ঘ
    ঘ) (x+4)(4x−3)
ব্যাখ্যা

4x2 - 13x - 12
= 4x2 - 16x + 3x - 12
= 4x(x - 4) + 3(x - 4)
= (x - 4)(4x + 3)

৮১৫.
x6 - 1 এর একটি উৎপাদক-
  1. ক
    ক) x2 - x - 1
  2. খ
    খ) x2 + x - 1
  3. গ
    গ) x - 1
  4. ঘ
    ঘ) x2 + 1
ব্যাখ্যা

x6 - 1
= (x3)2 - 12
= (x3 + 1)(x3 - 1)
= (x + 1)(x2 - x + 1)(x - 1)(x2 + x + 1)

৮১৬.
a2 + 7a + x যদি a - 5 দ্বারা নিঃশেষে বিভাজ্য হয়, তবে x এর মান কত? 
  1. ক
    5
  2. খ
    30
  3. গ
    60
  4. ঘ
    - 60 
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: a2 + 7a + x যদি a - 5 দ্বারা নিঃশেষে বিভাজ্য হয়, তবে x এর মান কত? 

সমাধান: 
প্রদত্ত রাশিটি a - 5 দ্বারা নিঃশেষে বিভাজ্য হলে a - 5 রাশিটির একটি উৎপাদক এবং a = 5 এর জন্য রাশিটির মান শূন্য হবে। 
অর্থাৎ, a2 + 7a + x = 0 
বা, (5)2 + 7 × 5 + x = 0 
বা, 25 + 35 + x = 0 
বা, 60 + x = 0 
∴ x = - 60 
৮১৭.
নিচের কোন বহুপদীর একটি উৎপাদক a + 4?
  1. ক
    a2 + 7a - 120
  2. খ
    a3 + 3a - 8a
  3. গ
    a2 + 14a + 40
  4. ঘ
    কোনটিই নয়
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: নিচের কোন বহুপদীর একটি উৎপাদক a + 4?

সমাধান:
f(x) এর একটি উৎপাদক a + 4 হলে f(-4) = 0 হবে।

a = - 4 হলে, 
a2 + 7a - 120
= (- 4)2 + 7 · (- 4) - 120
= 16 - 28 - 120
= - 132 ≠ 0

a3 + 3a - 8a
= (- 4)3 + 3 (- 4) - 8 (- 4)
= - 64 - 12 + 32
= - 44 ≠ 0

a2 + 14a + 40
= (- 4)2 + 14(- 4) + 40
= 16 - 56 + 40
= 0

∴ (a + 4),  a2 + 14a + 40 এর একটি উৎপাদক।
৮১৮.
x2 + 7x + P যদি x - 5 দ্বারা বিভাজ্য হয় তবে P এর মান কত হবে?
  1. ক
    60
  2. খ
    - 60
  3. গ
    30
  4. ঘ
    - 20
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: x2 + 7x + P যদি x -5 দ্বারা বিভাজ্য হয় তবে P এর মান কত হবে?

সমাধান: 
x2 + 7x + P যদি x -5 দ্বারা বিভাজ্য হয় তবে f(5) = 0 হবে। 
∴ x2 + 7x + P = 0 
বা, (5)2 + 7.5 + P = 0 
বা, 25 + 35 + P = 0 
বা, 60 + P = 0 
∴ P = - 60

∴ P এর মান = - 60  । 
৮১৯.
x2 + 7x - 60 এর উৎপাদক নিচের কোনটি? 
  1. ক
    ক) x - 12
  2. খ
    খ) x + 5
  3. গ
    গ) x - 5
  4. ঘ
    ঘ) x + 10
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: x2 + 7x - 60 এর উৎপাদক নিচের কোনটি? 

সমাধান:
x2 + 7x - 60
= x2 + 12x - 5x - 60 
= x(x + 12) - 5(x + 12)
= (x + 12)(x - 5) 
৮২০.
x2 - y2 + 4y - 4 এর একটি উৎপাদক -
  1. ক
    ক) x + y + 2
  2. খ
    খ) x - y - 2
  3. গ
    গ) x - y = 1
  4. ঘ
    ঘ) x - y + 2
ব্যাখ্যা

x2 - y2 + 4y - 4
= x2 - (y2 - 4y + 4)
= x2 - (y - 2)2
= (x + y - 2)(x - y + 2)

৮২১.
75x3 - 3x এর উৎপাদক নিচের কোনটি?
  1. ক
    3x
  2. খ
    (5x - 1)
  3. গ
    (5x + 1)
  4. ঘ
    সবগুলো
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 75x3 - 3x এর উৎপাদক নিচের কোনটি?

সমাধান:
75x3 - 3x
= 3x(25x2 - 1)
= 3x{(5x)2 - 12}
= 3x(5x + 1)(5x - 1)
৮২২.
x3 - 21x - 20 = 0 এর একটি সমাধান-
  1. ক
    ক) -5
  2. খ
    খ) -4
  3. গ
    গ) 1
  4. ঘ
    ঘ) 4
ব্যাখ্যা

x = -4 হলে x3 - 21x - 20 = 0 হবে।

৮২৩.
x2 - y2 + 4y - 4 এর একটি উৎপাদক -
  1. ক
    ক) x - y - 2
  2. খ
    খ) x + y + 2
  3. গ
    গ) y - x + 2
  4. ঘ
    ঘ) x + y - 2
ব্যাখ্যা
x2 - y2 + 4y - 4
= x2 - (y2 - 4y + 4)
= x2 - (y-2)2
= (x + y - 2)(x - y + 2)
৮২৪.
a4 + a2 - 20 এর একটি উৎপাদক নয় কোনটি?
  1. ক
    (a + 2)
  2. খ
    (a2 + 5)
  3. গ
    (a - 2)
  4. ঘ
    (a2 - 5)
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: a4 + a2 - 20 এর একটি উৎপাদক নয় কোনটি?

সমাধান:
a4 + a2 - 20
= a4 + 5a2 - 4a2 - 20
= a2(a2 + 5) - 4(a2 + 5)
= (a2 + 5)(a2 - 4)
= (a2 + 5)(a2 - 22)
= (a2 + 5)(a + 2)(a - 2)
৮২৫.
x2 - y2 + 2x + 1 এর একটি উৎপাদক হলো-
  1. ক
    x + y - 1
  2. খ
    x - y + 1
  3. গ
    2x - y - 1
  4. ঘ
    1 - x - y
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: x2 - y2 + 2x + 1 এর একটি উৎপাদক হলো-

সমাধান:
x2 - y2 + 2x + 1
= x2 + 2x + 1 - y2
= (x + 1)2 - y2
= (x + 1 + y)(x + 1 - y)
৮২৬.
3x2 - 7x - 6 এর উৎপাদকগুলো হলো-
  1. ক
    ক) (x + 3)(3x - 2)
  2. খ
    খ) (2x - 3)(x + 2)
  3. গ
    গ) (x - 3)(2x + 3)
  4. ঘ
    ঘ) (x - 3)(3x + 2)
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 3x2 - 7x - 6 এর উৎপাদকগুলো হলো-

সমাধান: 
3x2 - 7x - 6
= 3x2 - 9x + 2x - 6
= 3x(x - 3) + 2(x - 3)
=(x - 3)(3x + 2)
৮২৭.
a2 - c2 - 2ab + b2 এর সঠিক উৎপাদক কোনটি?
  1. ক
    (a + b + c) (a - b + c)
  2. খ
    (a - b - c) (a - b + c)
  3. গ
    (a - b - c) (a + b - c)
  4. ঘ
    (a + b + c) (a - b - c)
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: a2 - c2 - 2ab + b2 এর সঠিক উৎপাদক কোনটি?

সমাধান: 
a2 - 2ab + b2 - c2
= (a - b)2 - c2
= (a - b + c)(a - b - c)
৮২৮.
3a3 + 2a2 - 21a - 20 রাশিটির একটি উৎপাদক নিচের কোনটি?
  1. ক
    (a - 1)
  2. খ
    (a - 2)
  3. গ
    (a + 2)
  4. ঘ
    (a + 1)
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 3a3 + 2a2 - 21a - 20 রাশিটির একটি উৎপাদক নিচের কোনটি?

সমাধান:
ধরি, f(a) = 3a3 + 2a2 - 21a - 20
f(- 1) = 3.(-1)3 + 2.(-1)2 - 21.(- 1) - 20
= - 3 + 2 + 21 - 20
= 0

∴ (a + 1) হলো f(a) এর একটি উৎপাদক।

৮২৯.
a4 - 2 এর উৎপাদক কী কী?
  1. ক
    (a2 + √2)(a2 - √2)
  2. খ
    (a2 + 2)(a2 - 2)
  3. গ
    (a2 + √5)(a2 - √5)
  4. ঘ
    (a2 + 1)(a2 - 1)
ব্যাখ্যা
a4 - 2 = (a2)2 - (√2)2 = (a2 + √2)(a2 - √2)
৮৩০.
4x4 - x2 এর একটি উৎপাদক-
  1. ক
    ক) 2x - 1
  2. খ
    খ) 2x2 + 1
  3. গ
    গ) 2x2 - 1
  4. ঘ
    ঘ) x + 1
ব্যাখ্যা

4x4 - x2
= x2(4x2 - 1)
= x2{(2x)2 - 1}
= x2(2x + 1)(2x - 1)

৮৩১.
x2−11x+30 এবং x3−4x2−2x−15 বীজগাণিতিক রাশি দুইটির গ.সা. গু কত?
  1. ক
    ক) x - 6
  2. খ
    খ) x - 5
  3. গ
    গ) x2+x+3
  4. ঘ
    ঘ) x2−x+3
ব্যাখ্যা
১ম রাশি = x2−11x+30 = (x-5) (x-6)
এবং ২য় রাশি = x3−4x2−2x−15 = (x-5) (x2+x+3)
∴ গ.সা.গু = (x - 5)
৮৩২.
y2 - 19y + 88 = 0 এর একটি মূল 8 হলে, অপর মূল কত?
  1. ক
    ক) - 8
  2. খ
    খ) 11
  3. গ
    গ) - 11
  4. ঘ
    ঘ) 8
ব্যাখ্যা
f(y) = y2 - 19y + 88
f(y) এর একটি মূল 8 হলে, অপর মূল ∝ (ধরি)
8 + ∝ = 19
∝ = 19 - 8 = 11
৮৩৩.
x2 + 2xy - 2y - 1 এর একটি উৎপাদক -
  1. ক
    x - 1
  2. খ
    x + 1
  3. গ
    x - 2y + 1
  4. ঘ
    x - 2y
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: x2 + 2xy - 2y - 1 এর একটি উৎপাদক -

সমাধান:
x2 + 2xy - 2y - 1
= x2 + 2xy + y2 - y2 - 2y - 1
= (x + y)2 - (y2 + 2 ⋅ y ⋅ 1 + 12)  
= (x + y)2 - (y + 1)2
= (x + y + y + 1)(x + y - y - 1)
= (x + 2y + 1)(x - 1)
৮৩৪.
x2 - y2 + 4y - 4 এর একটি উৎপাদক কোনটি?
  1. ক
    (x - y - 2)
  2. খ
    (x + y + 2)
  3. গ
    (x - y + 2)
  4. ঘ
    (x - y + 1)
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: x2 - y2 + 4y - 4 এর একটি উৎপাদক কোনটি?

সমাধান:
x2 - y2 + 4y - 4
= x2 - (y2 - 4y + 4)
= x2 - {(y)2 - 2 . y . 2 + (2)2}
= x2 - (y - 2)2
= {x + (y - 2)}{x - (y - 2)}
= (x + y - 2)(x - y + 2)

৮৩৫.
4x2 - 13x - 12 এর একটি উৎপাদক -
  1. ক
    ক) x + 4
  2. খ
    খ) x - 4
  3. গ
    গ) 4x - 3
  4. ঘ
    ঘ) 3x + 4
ব্যাখ্যা

4x2 - 13x - 12
= 4x2 - 16x + 3x - 12
= 4x(x - 4) + 3(x - 4)
= (x - 4)(4x + 3)

৮৩৬.
x2 - x - 2 এর একটি উৎপাদক কোনটি? 
  1. ক
    x + 1 
  2. খ
    x - 1
  3. গ
    x - 3
  4. ঘ
    x + 2
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: x2 - x - 2 এর একটি উৎপাদক কোনটি? 

সমাধান: 
x2 - x - 2 
= x2 - 2x + x - 2 
= x (x - 2) + 1 (x - 2) 
= (x - 2) (x + 1) 

৮৩৭.
f(x) = 7x2 - x - 8 কে x + 1 দ্বারা ভাগ করলে ভাগশেষ কত হবে?
  1. ক
    ক) -1
  2. খ
    খ) -2
  3. গ
    গ) 0
  4. ঘ
    ঘ) 1
ব্যাখ্যা

x + 1 দ্বারা f(x) কে ভাগ করলে ভাগশেষ হবে
f(-1) = 7(-1)2 - (-1) - 8
= 7 + 1 - 8
= 8 - 8
= 0

৮৩৮.
নিচের কোনটি (a3 - 9a2 + 26a - 24) এর একটি উৎপাদক?
  1. ক
    (a - 1)
  2. খ
    (a - 5)
  3. গ
    (a - 4)
  4. ঘ
    (a + 2)
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: নিচের কোনটি (a3 - 9a2 + 26a - 24) এর একটি উৎপাদক?

সমাধান:
a3 - 9a2 + 26a - 24
= a3 - 3 · a2 · 3 + 3 · a · 32 - 33 - a + 3
= (a - 3)3 - 1(a - 3)
= (a - 3){(a - 3)2 - 1}
= (a - 3)(a - 3 + 1)(a - 3 - 1)
= (a - 3)(a - 2)(a - 4)
= (a - 2)(a - 3)(a - 4)
৮৩৯.
x2 + ax - 5x - 5a = x2 - 25 হলে a = ?
  1. ক
    4
  2. খ
    5
  3. গ
    6
  4. ঘ
    7
ব্যাখ্যা
x2 + ax - 5x - 5a = x2 - 25
বা, x(x+a) - 5(x+a) = x2 - 52
বা, (x+a)(x-5) = (x+5)(x-5)
বা, x+a = x+5
∴ a = 5.
৮৪০.
2x2 - 5xy + 2y2 এর একটি উৎপাদক হবে কোনটি?
  1. ক
    (x - 2)
  2. খ
    (x + 2)
  3. গ
    (x + 2y)
  4. ঘ
    (x - 2y)
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 2x2 - 5xy + 2y2 এর একটি উৎপাদক হবে কোনটি? 

সমাধান: 
2x2 - 5xy + 2y2
= 2x2 - 4xy - xy + 2y2 
= 2x (x - 2y) - y (x - 2y) 
= (x - 2y) (2x - y)
৮৪১.
উৎপাদকে বিশ্লেষণ করুন: 6a2 - a - 15
  1. ক
    ক) (3a + 5) (2a + 3)
  2. খ
    খ) (3a - 5) (2a - 3)
  3. গ
    গ) (3a - 5) (2a + 3)
  4. ঘ
    ঘ) (3a + 5) (2a - 3)
ব্যাখ্যা
6a2 - a - 15
= 6a2 - 10a + 9a - 15
= 2a(3a - 5) + 3(3a - 5)
= (3a - 5) (2a + 3)
৮৪২.
৩৭৫০ কে কোন সংখ্যা দ্বারা গুণ করলে গুণফল একটি পূর্ণবর্গ সংখ্যা হবে? 
  1. ক
    ৬
  2. খ
    ২
  3. গ
    ৫
  4. ঘ
    সবকটি
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন : ৩৭৫০ কে কোন সংখ্যা দ্বারা গুণ করলে গুণফল একটি পূর্ণবর্গ সংখ্যা হবে? 

সমাধান : 
৩৭৫০ কে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করে পাই, 
৩৭৫০ = ২ × ১৮৭৫ 
= ২ × ৩ × ৬২৫
= ২ × ৩ × ৫× ১২৫
= ২ × ৩ × ৫× ৫× ২৫
= ২ × ৩ × ৫× ৫× ৫× ৫ 
এখানে, ৩৭৫০ এর উৎপাদক সমূহের মধ্যে ৪টি ৫ এবং ১টি করে ২ ও ৩ রয়েছে।

সুতরাং, দেখা যাচ্ছে যে, 
৩৭৫০ কে ২ × ৩ বা ৬ দ্বারা গুণ করলে গুণফল একটি পূর্ণবর্গ সংখ্যা হবে।
৮৪৩.
9x2 - ax + 1 সংখ্যাটি পূর্ণ বর্গ হলে a = ?
  1. ক
    ক) -6
  2. খ
    খ) 0
  3. গ
    গ) 5
  4. ঘ
    ঘ) 4
ব্যাখ্যা

9x2 - ax + 1
= (3x)2 + 6x + 1
= (3x)2 + 2.3x.1 + 12
= (3x + 1)2
∴ a = -6 হলে সংখ্যাটি পূর্ণ বর্গ হবে।

৮৪৪.
2a2 - ab - 6b2 এর একটি উৎপাদক (a - 2b) হলে, অপর উৎপাদকটি হবে-
  1. ক
    (a + 2b)
  2. খ
    (2a - b)
  3. গ
    (3a - b)
  4. ঘ
    (2a + 3b)
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 2a2 - ab - 6b2 এর একটি উৎপাদক (a - 2b) হলে, অপর উৎপাদকটি হবে-

সমাধান:
2a2 - ab - 6b2
= 2a2 - 4ab + 3ab - 6b2
= 2a(a - 2b) + 3b(a - 2b)
= (2a + 3b)(a - 2b)
৮৪৫.
p এর মান কত হলে 9a2 + pa + 16 একটি পূর্ণবর্গ সংখ্যা হবে?
  1. ক
    24
  2. খ
    20
  3. গ
    18
  4. ঘ
    32
  5. ঙ
    25
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: p এর মান কত হলে 9a2 + pa + 16 একটি পূর্ণবর্গ সংখ্যা হবে?

সমাধান:
9a2 + pa + 16
= (3a)2 + 2. 3a. 4 + 42 + pa - 24a
= (3a + 4)2 + pa - 24a

অর্থাৎ,
pa - 24a = 0
⇒ pa = 24a
∴ p = 24

∴ p এর মান 24 হলে রাশিটি পূর্ণবর্গ সংখ্যা হবে।
৮৪৬.
a2 - c2 - 2ab + b2 এর সঠিক উৎপাদক কোনটি?
  1. ক
    (a - b + c) (a - b - c) 
  2. খ
    (a + b + c) (a - b + c)
  3. গ
    (a + b - c) (a - b - c) 
  4. ঘ
    (a + b + c) (a - b - c)  
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: a2 - c2 - 2ab + b2 এর সঠিক উৎপাদক কোনটি? 

সমাধান: 
a2 - c2 - 2ab + b2
= a2 - 2ab + b2 - c2 
= (a - b)2 - c2 
= (a - b + c) (a - b - c) 
৮৪৭.
3x3 - 4x2 - 17x + 6 এর একটি উৎপাদক কোনটি?
  1. ক
    x + 3
  2. খ
    x - 2
  3. গ
    x - 1
  4. ঘ
    x - 3
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 3x3 - 4x2 - 17x + 6 এর একটি উৎপাদক কোনটি?

সমাধান:
ধরি,
f(x) = 3x3 - 4x2 - 17x + 6
∴ f(3) = 3 × 33 - 4  ×32 - 17 × 3 + 6
= 81 - 36 - 51 + 6
= 0

∴ x = 3 বসালে রাশিটির মান শূন্য হয়।
∴ (x - 3), f(x) এর একটি উৎপাদক। 

৮৪৮.
4x2 + 12x + 9 এর উৎপাদক কোনটি?
  1. ক
    (2x + 3)(2x - 3)
  2. খ
    (2x + 3)(2x + 3)
  3. গ
    (2x - 3)(2x - 3)
  4. ঘ
    (2x + 5)(2x - 3)
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 4x2 + 12x + 9 এর উৎপাদক কোনটি?

সমাধান:
4x2 + 12x + 9
= (2x)2 + 2.2x.3 + (3)2
= (2x + 3)2
= (2x + 3)(2x + 3)
৮৪৯.
x4 - 6x2y2 + y4 এর সঠিক উৎপাদকে বিশ্লেষণ হলো-
  1. ক
    ক) (x2 + 2xy - y2)(x2 - 2xy - y2)
  2. খ
    খ) (x2 + 4xy - y2)(x2 - 3xy - y2)
  3. গ
    গ) (x2 + xy - y2)(x2 - xy - y2)
  4. ঘ
    ঘ) (x2 + xy + y2)(x2 - xy + y2)
ব্যাখ্যা
x4 - 6x2y2 + y4 
(x2)2 - 2x2.y2 + (y2)2 - 4x2y2
(x2 - y2)2 - (2xy)2
(x2 - y2+ 2xy) (x2 - y2- 2xy)
(x2 + 2xy - y2)(x2 - 2xy - y2)
৮৫০.
উৎপাদকে বিশ্লেষণ করুন: a2 + 3a - x2 - x + 2
  1. ক
    ক) (a + x + 2) (a – x + 1)
  2. খ
    খ) (a + 2x) (a – x)
  3. গ
    গ) (a + x +1) (a + x + 1)
  4. ঘ
    ঘ) (a + x) (a – x)
ব্যাখ্যা

a² + 3a - x² - x + 2
= a² - x² + 2a – 2x + a + x + 2
= (a + x)(a – x) + 2(a - x) + (a + x +2)
= (a - x) (a + x + 2) + (a + x +2)
= (a + x + 2) (a – x + 1)

৮৫১.
- 4a2 + 23a + 6 এর উৎপাদক কোনটি?
  1. ক
    ক) (6 - a) (4a - 1) 
  2. খ
    খ) (a - 6) (4a + 1) 
  3. গ
    গ) (a - 6) (4a - 1) 
  4. ঘ
    ঘ) (6 - a) (4a +1) 
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: - 4a2 + 23a + 6 এর উৎপাদক কোনটি?

সমাধান: 
- 4a2 + 23a + 6 
= - 4a2 + 24a - a + 6
= - 4a(a - 6) - 1(a - 6)
= (a - 6)(- 4a - 1)
= {- (6 - a)}{- (4a + 1)}
= (6 - a)(4a + 1)

 

৮৫২.
2a2 + a - 15 এর একটি উৎপাদক হবে-
  1. ক
    a + 2
  2. খ
    a - 3
  3. গ
    2a - 5
  4. ঘ
    a + 5
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 2a2 + a - 15 এর একটি উৎপাদক হবে-

সমাধান:
2a2 + a - 15
= 2a2 + 6a - 5a - 15
= 2a(a + 3) - 5(a + 3)
= (a + 3)(2a - 5)
৮৫৩.
9a2 + 18a - 40 কে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করুন।
  1. ক
    (3a + 10)(3a - 4)
  2. খ
    (3a - 10)(3a + 4)
  3. গ
    (3a + 10)(3a + 4)
  4. ঘ
    (3a - 10)(3a - 4)
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 9a2 + 18a - 40 কে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করুন।

সমাধান:
9a2 + 18a - 40
= 9a2 + 30a - 12a - 40
= 3a(3a + 10) - 4(3a + 10)
= (3a + 10)(3a - 4)
৮৫৪.
x2 + 6x - 16 এর উৎপাদকে বিশ্লেষণ নিচের কোনটি?
  1. ক
    (x - 2)(x + 8)
  2. খ
    (x + 2)(x - 8)
  3. গ
    (x - 4 )(x + 5)
  4. ঘ
    (x + 3)(x - 5)
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: x2 + 6x - 16 এর উৎপাদকে বিশ্লেষণ নিচের কোনটি?

সমাধান:
x2 + 6x - 16
= x2 + 8x - 2x - 16
= x(x + 8) - 2(x + 8)
= (x + 8)(x - 2)
৮৫৫.
x3 + 27 এর উৎপাদকে বিশ্লেষণ কোনটি?
  1. ক
    (x + 3)(x2 - 3x + 9)
  2. খ
    (x - 3)(x2 + 3x + 9)
  3. গ
    (x + 3)(x2 + 3x + 9)
  4. ঘ
    (x - 3)(x2 - 3x + 9)
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: x3 + 27 এর উৎপাদকে বিশ্লেষণ কোনটি?

সমাধান:
x3 + 27
= x3 + 33
= (x + 3)(x2 - 3x + 32) [∵ a3 + b3 = (a + b)(a2 - ab + b2)]
= (x + 3)(x2 - 3x + 9)

৮৫৬.
x2 + 4x + Q যদি (x + 3) দ্বারা বিভাজ্য হয় তবে Q এর মান কত হবে?
  1. ক
    8
  2. খ
    5
  3. গ
    12
  4. ঘ
    3
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: x2 + 4x + Q যদি (x + 3) দ্বারা বিভাজ্য হয় তবে Q এর মান কত হবে?

সমাধান:
x2 + 4x + Q যদি (x + 3) দ্বারা বিভাজ্য হয় তবে f(-3) = 0 হবে
∴ x2 + 4x + Q = 0
বা, (-3)2 + 4(-3) + Q = 0
বা, 9 - 12 + Q = 0
বা, -3 + Q = 0
∴ Q = 3
∴ Q এর মান = 3
৮৫৭.
49x2 + 64y2 এর সাথে কত যোগ করলে যোগফল পূর্ণবর্গ সংখ্যা হবে?
  1. ক
    42xy
  2. খ
    56xy
  3. গ
    112xy
  4. ঘ
    98xy
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 49x2 + 64y2 এর সাথে কত যোগ করলে যোগফল পূর্ণবর্গ সংখ্যা হবে?

সমাধান:
(7x + 8y)2 
= 49x2 + 64y2 + 112xy
49x2 + 64y2 + 112xy থেকে প্রদত্ত রাশি
⇒ 49x2 + 64y2  থেকে বিয়োগ করে পাই -
∴ 112xy যোগ করলে যোগফল পূর্ণবর্গ সংখ্যা হবে।

৮৫৮.
3x2 + x - 14 এর সঠিক উৎপাদক হলো-
  1. ক
    ক) (3x + 7)(x + 2)
  2. খ
    খ) (3x - 7)(x - 2)
  3. গ
    গ) (3x + 7)(x - 2)
  4. ঘ
    ঘ) (3x + 7)(3x + 2)
ব্যাখ্যা
3x2 + x - 14
3x2 + 7x - 6x - 14 
x(3x + 7) - 2(3x + 7)
(3x + 7)(x - 2)
৮৫৯.
x - 8, x2 - ax - 48 এর একটি উৎপাদক হলে a = ?
  1. ক
    ক) -2
  2. খ
    খ) -1
  3. গ
    গ) 0
  4. ঘ
    ঘ) 2
ব্যাখ্যা

x - 8, f(x) = x2 - ax - 48 এর একটি উৎপাদক হলে
f(8) = 0
বা, 82 - a.8 - 48 = 0
বা, 16 - a.8 = 0
বা, a.8 = 16
∴ a = 2

৮৬০.
x3 + 6x2 + 11x + 6 এর একটি উৎপাদক নিচের কোনটি?
  1. ক
    (2x + 1)
  2. খ
    (x - 3)
  3. গ
    (x + 1)
  4. ঘ
    (3x + 2)
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: x3 + 6x2 + 11x + 6 এর একটি উৎপাদক নিচের কোনটি? 

সমাধান: 
ধরি, f(x) = x3 + 6x2 + 11x + 6

এখন, x = - 1 বসিয়ে পাই, 
 f(- 1) = (- 1)3 + 6(- 1)2 + 11(- 1) + 6
= - 1 + 6 - 11 + 6
= 12 - 12
= 0

যেহেতু  f(- 1) = 0 তাই (x + 1) প্রদত্ত রাশিটির একটি উৎপাদক।

৮৬১.
x2 + y2 + 7xy এর সাথে কত যোগ করলে, যোগফল একটি পূর্ণ বর্গ হবে?
  1. ক
    ক) - 3xy
  2. খ
    খ) 5xy
  3. গ
    গ) - 5xy
  4. ঘ
    ঘ) 3xy
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন : x2 + y2 + 7xy এর সাথে কত যোগ করলে, যোগফল একটি পূর্ণ বর্গ হবে?
সমাধান :
x2 + y2 + 7xy 
= x2 + y2 + 2xy + 5xy 
= (x + y)2 + 5xy 
(x + y)2 + 7xy এর সাথে - 5xy যোগ করলে যোগফল একটি পূর্ণ বর্গ হবে। 
সুতরাং, (x + y)2 + 5xy + ( - 5xy) = (x + y)2
৮৬২.
x3 - 3x2 - 4x + 12 এর একটি উৎপাদক নিচের কোনটি?
  1. ক
    (x + 3)
  2. খ
    (x + 4)
  3. গ
    ক ও খ
  4. ঘ
    কোনটিই নয়
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: x3 - 3x2 - 4x + 12 এর একটি উৎপাদক নিচের কোনটি?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
x3 - 3x2 - 4x + 12
= x2(x - 3) - 4(x - 3)
= (x - 3)(x2 - 4)
= (x - 3){x2 - 22}
= (x - 3)(x + 2)(x - 2)
৮৬৩.
9 - a2 + 6ab - 9b2 এর উৎপাদক হলো-
  1. ক
    ক) (3 + a + 3b)(3 - a + 3b)
  2. খ
    খ) (1 + 3a - 3b)(1 - 3a + 3b)
  3. গ
    গ) (3 + a - 3b)(3 - a + 3b)
  4. ঘ
    ঘ) (3 + 3a - b)(3 - 3a + b)
ব্যাখ্যা
9 - a2 + 6ab - 9b2 
9 - {a2 - 2.a .3b + (3b)2}
32 - (a- 3b)2
{3 + (a - 3b)}{3 - (a - 3b)}
(3 + a - 3b)(3 - a + 3b)
৮৬৪.
a2 - b2 + 2b - 1 এর একটি উৎপাদক-
  1. ক
    ক) (a - 2b + 1)
  2. খ
    খ) (a - b + 1)
  3. গ
    গ) (2a - b + 1)
  4. ঘ
    ঘ) (a - b + 2)
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: a2 - b2 + 2b - 1 এর একটি উৎপাদক-

সমাধান: 
a2 - b2 + 2b - 1
= a2 - (b2 - 2b + 1)
= a2 - (b - 1)2
= {a + (b - 1)}{a - (b - 1)}
= (a + b - 1)(a - b + 1)
৮৬৫.
x + xy + 2y + 2y2 এর উৎপাদক কত?
  1. ক
    x2 + 2xy
  2. খ
    x + y
  3. গ
    (1 + y)(x + 2y)
  4. ঘ
    2y + x
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: x + xy + 2y + 2y2 এর উৎপাদক কত?

সমাধান:
x + xy + 2y + 2y2
= x(1 + y) + 2y(1 + y)
=(1 + y)(x + 2y)
৮৬৬.
নিচের কোনটি  64 - 144y + 108y2 - 27y3 এর একটি উৎপাদক?
  1. ক
    (4 + 3y)
  2. খ
    (4 - 3y)
  3. গ
    (5 - 3y)
  4. ঘ
    (6 - 5y)
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: নিচের কোনটি  64 - 144y + 108y2 - 27y3 এর একটি উৎপাদক?

সমাধান:
64 - 144y + 108y2 - 27y3
= 43 - 3 × 42 × 3y + 3 × 4 × (3y)2 - (3y)3
= (4 - 3y)3
= (4 - 3y) (4 - 3y) (4 - 3y)

৮৬৭.
9x2 + 18x - 40 এর উৎপাদক নিচের কোনটি?
  1. ক
    ক) (10x - 3)(x - 4)
  2. খ
    খ) (10x - 3)(3x - 4)
  3. গ
    গ) (3x + 10)(3x - 4)
  4. ঘ
    ঘ) (3x + 10)(4x - 3)
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 9x2 + 18x - 40 এর উৎপাদক নিচের কোনটি?

সমাধান:
(3x)2 + 2.3x.3 + 32 - 40 - 9
= (3x + 3)2 - 49
= (3x + 3)2 - 72
= (3x + 3 + 7)(3x + 3 - 7)
= (3x + 10)(3x - 4)
৮৬৮.
x2 - 23x + 132 এর উৎপাদক কোনটি?
  1. ক
    ক) x - 21
  2. খ
    খ) x - 22
  3. গ
    গ) x - 11
  4. ঘ
    ঘ) x + 12
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: x2 - 23x + 132 এর উৎপাদক কোনটি? 

সমাধান: 
x2 - 23x + 132 
= x2 - 11x -12x + 132
= x (x - 11) -12 (x - 11)
= (x - 11) (x - 12)
৮৬৯.
9x2 + 18x - 40 কে উৎপাদকে বিশ্লেষণ কোনটি?
  1. ক
    (x + 10)(9x - 4) 
  2. খ
    (3x + 10)(3x - 4)
  3. গ
    (9x - 10)(x + 4)
  4. ঘ
    (3x - 10)(3x + 4)
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 9x2 + 18x - 40 কে উৎপাদকে বিশ্লেষণ কোনটি? 

সমাধান: 
9x2 + 18x - 40
= 9x2 + 30x - 12x - 40
= 3x(3x + 10) - 4(3x + 10)
= (3x + 10)(3x - 4)

৮৭০.
2x2−5xy+2y2 এর একটি উৎপাদক হবে-
  1. ক
    ক) (2x-y)
  2. খ
    খ) 2y-x
  3. গ
    গ) y-2x
  4. ঘ
    ঘ) 3(x-3y)
ব্যাখ্যা

2x2 - 5xy + 2y2
= 2x2 - 4xy - xy + 2y2
= 2x(x - 2y) - y(x - 2y)
= (x - 2y)(2x - y)

৮৭১.
2x2 - x - 15 এর উৎপাদক হবে-
  1. ক
    (x + 6)(x - 5)
  2. খ
    (x - 5)(x - 6)
  3. গ
    (x + 3)(2x - 5)
  4. ঘ
    (2x + 5)(x - 3)
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 2x2 - x - 15 এর উৎপাদক হবে-

সমাধান:
2x2 - x - 15
= 2x2 - 6x + 5x - 15
= 2x(x - 3) + 5(x - 3)
= (x - 3)(2x + 5)
৮৭২.
a2 + 2ab - 2bc - c2 এর উৎপাদকগুলো হলো-
  1. ক
    ক) (a + c)(a + 2b - c)
  2. খ
    খ) (a - c)(a + 2b + c)
  3. গ
    গ) (a - c)(a - 2b + c)
  4. ঘ
    ঘ) (a + c)(a - 2b - c)
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: a2 + 2ab - 2bc - c2 এর উৎপাদকগুলো হলো-

সমাধান: 
a2 + 2ab - 2bc - c2
= a2 - c2 + 2b(a - c)
= (a + c)(a - c) + 2b(a - c)
= (a - c)(a + 2b + c)
৮৭৩.
নিচের কোনটি p2 - 30p + 216 এর একটি উৎপাদক নয়?
  1. ক
    (p - 18)
  2. খ
    (p - 12)
  3. গ
    (p + 12)
  4. ঘ
    সবগুলোই প্রদত্ত রাশিটির একটি উৎপাদক
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: নিচের কোনটি p2 - 30p + 216 এর একটি উৎপাদক নয়?

সমাধান:
p2 - 30p + 216
= p2 - 18p - 12p + 216
= p(p - 18) - 12(p - 18)
= (p - 18)(p - 12)
৮৭৪.
x2 + y2 - 2xy - 1 এর একটি উৎপাদক হলো-
  1. ক
    ক) (x - y + 2)
  2. খ
    খ) (x - 2y + 1)
  3. গ
    গ) (x - y + 1)
  4. ঘ
    ঘ) (2x - y + 1)
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: x2 + y2 - 2xy - 1 এর একটি উৎপাদক হলো- 

সমাধান: 
x2 + y2 - 2xy - 1
= x2 - 2xy + y2 - 1
= (x - y)2 - 12
= (x - y + 1)(x - y - 1)
৮৭৫.
উৎপাদকে বিশ্লেষণ করুন: x2 - x - 6
  1. ক
    (x - 2)(x + 3)
  2. খ
    (x + 2)(x - 3)
  3. গ
    (x + 1)(x +6)
  4. ঘ
    (x + 1)(x + 6)
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: উৎপাদকে বিশ্লেষণ করুন: x2 - x - 6

সমাধান:
x2 - x - 6
= x2 - 3x + 2x - 6
= x(x - 3) + 2(x - 3)
= (x - 3)(x + 2)
৮৭৬.
(ax + 3)(ax + 4) এর গুণফল কত?
  1. ক
    ক) a2x2 + 7ax + 12
  2. খ
    খ) a2x2 + 3ax + 4
  3. গ
    গ) a2x2 + 4ax + 3
  4. ঘ
    ঘ) a2x2 + ax + 12
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: (ax + 3)(ax + 4) এর গুণফল কত?

সমাধান: 
(ax + 3)(ax + 4) 
= (ax)2 + (3 + 4)ax + 3 × 4
= a2x2 + 7ax + 12
৮৭৭.
-4x2 + 23x + 6 এর সঠিক উৎপাদকের বিশ্লেষণ কোনটি ?
  1. ক
    - (x - 6)(4x - 1)
  2. খ
    - (x + 6)(4x + 1)
  3. গ
    - (x - 6)(4x + 1)
  4. ঘ
    (x - 6)(4x + 1)
ব্যাখ্যা

এখানে ,
- 4x2 + 23x + 6 
= - 4x2 + 24x - x + 6 
= - 4x(x - 6) - 1(x - 6) 
= (x - 6)(- 4x - 1) 
= (x - 6){-(4x + 1)}
= -(x - 6)(4x + 1)

৮৭৮.
x2 − 4x + 3 রাশিটির একটি উৎপাদক কোনটি?
  1. ক
    (x + 1)
  2. খ
    (x - 1)
  3. গ
    (x + 3)
  4. ঘ
    (x - 2)
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: x2 − 4x + 3 রাশিটির একটি উৎপাদক কোনটি?

সমাধান:  
প্রদত্ত রাশি,
= x2 - 4x + 3
= x2 - 3x -x +3 
= x(x - 3) - 1(x - 3)
= (x - 3)(x - 1)

৮৭৯.
1 - x2 - 2xy - y2 এর উৎপাদক কোনটি?
  1. ক
    (1 + x + y)(1 - x - y)
  2. খ
    (1 + x - y)(1 - x + y)
  3. গ
    (1 - x - y)(1 - x + y)
  4. ঘ
    (1 + x + y)(1 - x + y)
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 1 - x2 - 2xy - y2 এর উৎপাদক কোনটি?

সমাধান:
 

৮৮০.
নিচের কোনটি a2 + b2 - 2ab - 1 এর একটি উৎপাদক?
  1. ক
    (a - b + 1)
  2. খ
    (a + b + 1)
  3. গ
    (a + b - 1)
  4. ঘ
    (a - b + 2)
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: নিচের কোনটি a2 + b2 - 2ab - 1 এর একটি উৎপাদক?

সমাধান: 
a2 + b2 - 2ab - 1
= a2 - 2ab + b2 - 1
= (a - b)2 - 12
= (a - b + 1)(a - b - 1)
৮৮১.
x2 - 13x - 48 এর একটি উৎপাদক-
  1. ক
    x + 5
  2. খ
    x - 9
  3. গ
    x + 7
  4. ঘ
    x + 3
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: x2 - 13x - 48 এর একটি উৎপাদক-

সমাধান:
x2 - 13x - 48
= x2 - 16x + 3x - 48
= x(x - 16) + 3(x - 16)
= (x - 16)(x + 3)
৮৮২.
35 - 2x - x2 এর উৎপাদক কত?
  1. ক
    ক) (x - 5) (x - 7)
  2. খ
    খ) (5 + x) (x + 7)
  3. গ
    গ) (5 - x) (x + 7)
  4. ঘ
    ঘ) (5 + x) (x - 7)
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 35 - 2x - x2 এর উৎপাদক কত?

সমাধান:
35 - 2x - x2
= 35 - 7x + 5x - x2
= 7(5 - x) + x(5 - x)
= (5 - x) (x + 7)
৮৮৩.
নিচের কোনটি 48x3 + 162y3 এর একটি উৎপাদক?
  1. ক
    (2x + 3y)
  2. খ
    (2x - 5y)
  3. গ
    (3x - 4y)
  4. ঘ
    (x + 3y)
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: নিচের কোনটি 48x3 + 162y3 এর একটি উৎপাদক?

সমাধান:
48x3 +162y3
= 6(8x3 + 27y3)
= 6{(2x)3+ (3y)3}
= 6(2x + 3y) {(2x)2 - 2x × 3y + (3y)2}
= 6(2x + 3y)(4x2 - 6xy + 9y2)
৮৮৪.
x3 - 9x2 + 27x - 28 এর উৎপাদকে বিশ্লেষণ কোনটি?
  1. ক
    (x - 4)(x2 - 5x + 7)
  2. খ
    (x - 1)(x2 - 8x + 6)
  3. গ
    (x - 2)(x2 - 7x + 9)
  4. ঘ
    (x - 7)(x2 - 2x + 4)
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: x3 - 9x2 + 27x - 28 এর উৎপাদকে বিশ্লেষণ কোনটি?

সমাধান:
x3 - 9x2 + 27x - 28
= x3 - (3 . x2. 3) + (3 . x . 32) - 33 - 1
= (x - 3)3 - 13
= (x - 3 - 1){(x - 3)2 + (x - 3). 1 + 12}
= (x - 4)(x2 - 6x + 9 + x - 3 + 1)
= (x - 4)(x2 - 5x + 7)

৮৮৫.
a2 - 8a - 8b + 16 + b2 এর সঙ্গে কত যোগ করলে যোগফল একটি পূর্ণবর্গ হবে?
  1. ক
    8ab
  2. খ
    2ab
  3. গ
    6ab
  4. ঘ
    - 2ab
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: a2 - 8a - 8b + 16 + b2 এর সঙ্গে কত যোগ করলে যোগফল একটি পূর্ণবর্গ হবে?

সমাধান:
a2 - 8a - 8b + 16 + b2
= a2 + b2 + (- 4)2 + 2 . a .( - 4) + 2 . b . (- 4) + 2 . a . b - 2ab
= (a + b - 4)2 - 2ab

∴ a2 - 8a - 8b + 16 + b2 এর সাথে 2ab যোগ করলে যোগফল পূর্ণবর্গ হবে।

৮৮৬.
xy + 2ay + 3ax + 6a2 = ?
  1. ক
    ক) (x + 3a)(y + 2a)
  2. খ
    খ) (x + 2a)(y + 2a)
  3. গ
    গ) (x + 2a)(y + 3a)
  4. ঘ
    ঘ) (x + 3a)(y + 3a)
ব্যাখ্যা

xy + 2ay + 3ax + 6a2
= y(x + 2a) + 3a(x + 2a)
= (x + 2a)(y + 3a)

৮৮৭.
2x3 - 5x2 + x + 2 এর একটি উৎপাদক হচ্ছে -
  1. ক
    ক) x + 2
  2. খ
    খ) x + 1
  3. গ
    গ) 2x - 1
  4. ঘ
    ঘ) 2x + 1
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন- 2x3 - 5x2 + x + 2 এর একটি উৎপাদক হচ্ছে -

সমাধান- 
ধরি,
f(x) = 2x3 - 5x2 + x + 2
f(-1/2) = 2(-1/2)3 - 5(-1/2)2 + (-1/2) + 2
= 2(-1/8) - 5(1/4) - (1/2) + 2
= -(1/4) - (5/4) - (1/2) + 2
= ( - 1 - 5 - 2 + 8) / 4
= 0/4
= 0

x - ( -1/2) বা (2x + 1) হচ্ছে f(x) এর একটি উৎপাদক।
৮৮৮.
উৎপাদকে বিশ্লেষণ করুন: 2x2 - 5x - 3
  1. ক
    ক) (2x - 1) (x - 3)
  2. খ
    খ) (2x + 1) (x - 3)
  3. গ
    গ) (2x + 1) (x + 3)
  4. ঘ
    ঘ) (2x - 1) (x + 3)
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন-  উৎপাদকে বিশ্লেষণ করুন: 2x2 - 5x - 3

 সমাধান-
2x2 - 5x - 3
= 2x2 - 6x + x - 3
= 2x (x - 3) + 1(x - 3)
= (2x + 1) (x - 3)
৮৮৯.
12x2 - 13x + 3 এর উৎপাদকে বিশ্লেষণ হলো-
  1. ক
    (3x - 5)(4x - 2)
  2. খ
    (3x - 3)(4x - 3)
  3. গ
    (3x - 1)(4x - 1)
  4. ঘ
    (3x - 1)(4x - 3)
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 12x2 - 13x + 3 এর উৎপাদকে বিশ্লেষণ হলো-

সমাধান:
12x2 - 13x + 3
= 12x2 - 9x - 4x + 3
= 3x(4x - 3) - 1(4x - 3)
= (4x - 3)(3x - 1)
৮৯০.
3x2 + 11x - 4 একটি উৎপাদক (x + 4) হলে, অপরটি হবে-
  1. ক
    ক) (3x - 1)
  2. খ
    খ) (3x + 1)
  3. গ
    গ) (4x - 1)
  4. ঘ
    ঘ) (4x + 1)
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 3x2 + 11x  - 4 একটি উৎপাদক (x + 4) হলে, অপরটি হবে-

সমাধান:
3x2 + 11x  - 4
3x2 + 12x - x - 4
3x(x + 4) - 1(x + 4)
(x + 4)(3x - 1)
৮৯১.
x2 - 2ax + (a + b)(a - b) এর উৎপাদক কোনটি?
  1. ক
    (x - a - b)(x - a + b)
  2. খ
    (x + a + b)(x - a - b)
  3. গ
    (x + a - b)(x - a - b)
  4. ঘ
    (x - a + b)(x + a - b)
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: x2 - 2ax + (a + b) (a - b) এর উৎপাদক কোনটি? 

সমাধান: 
x2 - 2ax + (a + b)(a - b) 
= x2 - 2ax + a2 - b2 
= (x - a)2 - b2 
= (x - a - b)(x - a + b) 

∴ নির্ণেয় উৎপাদক = (x - a - b)(x - a + b).
৮৯২.
(x + 7)(x - 3) + 9 এর উৎপাদকে বিশ্লেষণ কোনটি?
  1. ক
    (x - 3)(x + 7)
  2. খ
    (x - 1)(x -7)
  3. গ
    (x + 4)(x - 8)
  4. ঘ
    (x + 6)(x - 2)
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: (x + 7)(x - 3) + 9 এর উৎপাদকে বিশ্লেষণ কোনটি?

সমাধান:
(x + 7)(x - 3) + 9
= x2 - 3x + 7x - 21 + 9
= x2 + 4x - 12
= x2 + 6x - 2x - 12
= x(x + 6) - 2(x + 6)
= (x + 6)(x - 2)

৮৯৩.
x2 - x - 6 = 0 সমীকরণের সমাধান কত হবে?
  1. ক
    3, 2
  2. খ
    - 3, 2
  3. গ
    3, - 2
  4. ঘ
    - 3, - 2
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: x2 - x - 6 = 0 সমীকরণের সমাধান কত হবে?

সমাধান:
x2 - x - 6 = 0
⇒ x2 - 3x + 2x - 6 = 0
⇒ x(x - 3) + 2(x - 3) = 0
⇒ (x - 3)(x + 2) = 0
হয় 
x - 3 = 0
∴ x = 3

অথবা,
x + 2 = 0
∴ x = - 2

∴ নির্ণেয় সমাধান: x = 3, - 2
৮৯৪.
4a² + 11a + 6 = 0 হলে, a = ?
  1. ক
    ক) -2
  2. খ
    খ) -0.75
  3. গ
    গ) -2
  4. ঘ
    ঘ) a এবং b উভয়ই
  5. ঙ
    ঙ) কোনোটিই নয়
ব্যাখ্যা
4a² + 11a + 6 = 0
⇒ 4a² + 8a + 3a + 6 = 0
⇒ 4a(a + 2) + 3(a + 2) = 0
⇒ (4a + 3)(a + 2) = 0
হয়, a = -3/4 = -0.75 অথবা a = -2
৮৯৫.
(27)2 - 1 এর বৃহত্তম মৌলিক উৎপাদক হলো -
  1. ক
    ক) 2
  2. খ
    খ) 7
  3. গ
    গ) 13
  4. ঘ
    ঘ) 17
ব্যাখ্যা
এখানে 
(27)2 - 1 = (27)2 - 12
              = (27 + 1)(27 - 1)
              = 28 × 26 
              = 2 × 2 × 7 × 2 × 13

সুতরাং, বৃহত্তম মৌলিক উৎপাদক  হলো 13
৮৯৬.
m2 + 7m + n যদি m - 5 দ্বারা বিভাজ্য হয়, তবে n এর মান কত হবে?
  1. ক
    30
  2. খ
    40
  3. গ
    60
  4. ঘ
    - 60
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: m2 + 7m + n যদি m - 5 দ্বারা বিভাজ্য হয়, তবে n এর মান কত হবে? 

সমাধান:
m2 + 7m + n রাশিটি (m - 5) দ্বারা বিভাজ্য, অর্থাৎ (m - 5) উক্ত রাশির একটি উৎপাদক, তাহলে m = 5 বসালে সম্পূর্ণ রাশিটির মান শূন্য হবে। 
ধরি, 
ƒ(m) = m2 + 7m + n 
∴ ƒ(5) = (5)2 + (7 × 5) + n = 0
বা, 25 + 35 + n = 0
বা, 60 + n = 0 
∴ n = - 60 
∴ n এর মান = - 60   ।
৮৯৭.
8x3 - 27 এর উৎপাদক কোনটি -
  1. ক
    ক) x - 3
  2. খ
    খ) 2x + 3
  3. গ
    গ) 2x - 3
  4. ঘ
    ঘ) 3x - 2
ব্যাখ্যা

8x3 - 27
= (2x)3 - 33
= (2x - 3){(2x)2 + 2x.3 + 32}
= (2x - 3)(4x2 + 6x + 9)

৮৯৮.
x2 - 8x + 15 এর উৎপাদক কোনটি?
  1. ক
    ক) (x + 3)(x + 5)
  2. খ
    খ) (x - 3)(x + 5)
  3. গ
    গ) (x + 3)(x - 5)
  4. ঘ
    ঘ) (x - 3)(x - 5)
ব্যাখ্যা
x2 - 8x + 15
x2 - 3x - 5x + 15
x(x - 3) - 5(x - 3)
(x - 3)(x - 5)
৮৯৯.
x²+x-(a+1)(a+2) এর উৎপাদক -
  1. ক
    ক) (x+a+2)(x-a-1)
  2. খ
    খ) (x-a-2)(x+a+1)
  3. গ
    গ) (x+a+2)(x+a+1)
  4. ঘ
    ঘ) (x-a-2)(x-a-1)
ব্যাখ্যা

x²+x-(a+1)(a+2)
= x²+(a+2)x-(a+1)x-(a+1)(a+2)
= x(x+a+2) - (a+1)(x+a+2)
= (x+a+2)(x-a-1)

৯০০.
9x2 - 9x - 4 এর একটি উৎপাদক (3x - 4) হলে অপরটি কত?
  1. ক
    ক) x + 3
  2. খ
    খ) 3x - 5
  3. গ
    গ) 3x + 1
  4. ঘ
    ঘ) 3x + 7
ব্যাখ্যা

9x2 - 9x - 4
= 9x2 - 12x + 3x - 4
= 3x(3x - 4) + 1(3x - 4)
= (3x - 4)(3x + 1)