লগ ইননিবন্ধন
বিষয়সমূহ

PrepBank · বিষয়ভিত্তিক প্রশ্ন

বহুপদী উৎপাদক ও এর বিশ্লেষণ

মোট প্রশ্ন১,৭৪৬এই পাতা১০০প্রতি পাতা১০০
প্রশ্ন দেখুনঅনুশীলন
ঘনত্ব
উত্তর
উত্তরিতবর্তমানপুনরায় দেখুনঅসম্পূর্ণ

বহুপদী উৎপাদক ও এর বিশ্লেষণ

PrepBank · পাতা ৪ / ১৮ · ৩০১–৪০০ / ১,৭৪৬

৩০১.
6q2 - q - 15 এর একটি উৎপাদক 3q - 5 হলে, অপর উৎপাদকটি কত?
  1. ক
    3q + 5
  2. খ
    2q + 2
  3. গ
    3q - 5
  4. ঘ
    2q + 3
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 6q2 - q - 15 এর একটি উৎপাদক (3q - 5) হলে, অপর উৎপাদকটি কত?

সমাধান:
6q2 - q - 15
= 6q2 + 9q - 10q - 15 
= 3q(2q + 3) - 5(2q + 3)
= (2q + 3)(3q - 5)
৩০২.
9p2 - (2p - 3q)2 = কত?
  1. ক
    (5p - 3q)(p + 3q)
  2. খ
    (5p + 3q)(p - 3q)
  3. গ
    (5p - 3q)(p - 3q)
  4. ঘ
    (5p + 3q)(p + 3q)
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 9p2 - (2p - 3q)2 = কত? 

সমাধান: 
9p2 - (2p - 3q)2 
= (3p)2 - (2p - 3q)2 
= {3p + (2p - 3q)} {3p - (2p - 3q)} 
= (3p + 2p - 3q) (3p - 2p + 3q) 
= (5p - 3q) (p + 3q)
৩০৩.
125x3 + 64y3 এর উৎপাদক নিচের কোনটি?
  1. ক
    (5x - 4y)(25x2 + 20xy + 16y2)
  2. খ
    (5x + 4y)(25x2 - 20xy + 16y2)
  3. গ
    (5x + 4y)(25x2 + 20xy - 16y2)
  4. ঘ
    (5x - 4y)(25x2 - 20xy - 16y2)

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 125x3 + 64y3 এর উৎপাদক নিচের কোনটি?

সমাধান:
125x3 + 64y3
= (5x)3 + (4y)3
= (5x + 4y) {(5x)2 - (5x)(4y) + (4y)2}
= (5x + 4y)(25x2 - 20xy + 16y2)

৩০৪.
6x2 + 24x + 24 এবং x2 + x - 2 এর সাধারণ উৎপাদক কোনটি?
  1. ক
    x - 1
  2. খ
    x + 2
  3. গ
    x - 2
  4. ঘ
    (x + 2)(x - 1)
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 6x2 + 24x + 24 এবং x2 + x - 2 এর সাধারণ উৎপাদক কোনটি?

সমাধান:
১ম রাশি = 6x2 + 24x + 24
= 6(x2 + 4x + 4)
= 6(x2 + 2x + 2x + 4)
= 6{x(x + 2) + 2(x + 2)}
= 6(x + 2)(x + 2)

২য় রাশি = x2 + x - 2
= x2 + 2x - x - 2
= x(x + 2) - 1(x + 2)
= (x + 2)(x - 1)

∴ প্রদত্ত রাশিদ্বয়ের সাধারণ উৎপাদক = x + 2
৩০৫.
x2 - mx - 40 এর একটি উৎপাদক x - 8 হলে, m এর মান কত?
  1. ক
    ক) 1
  2. খ
    খ) 2
  3. গ
    গ) 3
  4. ঘ
    ঘ) 4
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: x2 - mx - 40 এর একটি উৎপাদক x - 8 হলে, m এর মান কত?

সমাধান: 
ধরি,
f(x) = x2 - mx - 40 

(x  - 8), f(x) এর একটি উৎপাদক হলে f(8) = 0 হবে 
f(8) = 82 - 8m - 40
      = 64 - 8m - 40 
      = 24 - 8m 

তাহলে 
24 - 8m = 0
8m = 24 
m = 24/8
m= 3
৩০৬.
a3 + a2b এবং a2b + ab2 এর ল.সা.গু নিচের কোনটি?
  1. ক
    ক) ab (a + b)
  2. খ
    খ) a2 (a + b)
  3. গ
    গ) a2b (a + b)
  4. ঘ
    ঘ) a2b
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: a3 + a2b এবং a2b + ab2 এর ল.সা.গু নিচের কোনটি?

সমাধান: 
১ম রাশি = a3 + a2b
= ‍a2 (a + b)

২য় রাশি = ‍a2b + ab2
= ab (a + b)

∴ নির্ণেয় ল.সা.গু = ‍a2b (a + b)
৩০৭.
16 - 2x3 এর মান শূন্য হলে x এর একটি মান-
  1. ক
    ক) -2
  2. খ
    খ) -1
  3. গ
    গ) 1
  4. ঘ
    ঘ) 2
ব্যাখ্যা

16 - 2x3 = 0
বা, -2(x3 - 8) = 0
বা, x3 - 8 = 0
বা, (x - 2)(x2 + 2x + 4) = 0

হয়, x - 2 = 0
∴ x = 2
অথবা, x2 + 2x + 4 = 0

৩০৮.
a3 - 21a - 20 রাশিটির একটি উৎপাদক হবে নিচের কোনটি?
  1. ক
    (a - 1)
  2. খ
    (a + 1)
  3. গ
    (a - 2)
  4. ঘ
    (a + 2)
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: a3 - 21a - 20 রাশিটির একটি উৎপাদক হবে নিচের কোনটি?

সমাধান:
a3 - 21a - 20
= a3 + a2 - a2 - a - 20a - 20
= a2(a +1) - a (a + 1) - 20 (a + 1)
= (a + 1) (a2 - a - 20) 
= (a + 1) (a2 - 5a + 4a - 20)
= (a +1) {a (a - 5) + 4 (a - 5)}
= (a +1) (a - 5) (a + 4)
৩০৯.
x2 + x - 2 এর একটি উৎপাদক কোনটি?
  1. ক
    (x + 1)
  2. খ
    (x - 2)
  3. গ
    (x + 2)
  4. ঘ
    - (x - 1)
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: x2 + x - 2 এর একটি উৎপাদক কোনটি?

সমাধান:
প্রদত্ত রাশি,
x2 + x - 2
= x2 + 2x - x - 2
= x(x + 2) - 1(x - 2)
= (x + 2)(x - 1)
৩১০.
2x3 - 3x2 - 11x + 6 রাশিটির একটি উৎপাদক হচ্ছে-
  1. ক
    (x - 3)
  2. খ
    (x - 2)
  3. গ
    (x - 1)
  4. ঘ
    (x + 1)
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 2x3 - 3x2 - 11x + 6 রাশিটির একটি উৎপাদক হচ্ছে-

সমাধান:
ধরি,
f(x) = 2x3 - 3x2 - 11x + 6
∴ f(3) = 2(3)3 - 3(3)2 - 11(3) + 6
= 54 - 27 - 33 + 6
= 60 - 60
= 0

যেহেতু f(3) = 0, সুতরাং উৎপাদক উপপাদ্য অনুযায়ী, (x - 3) হলো প্রদত্ত রাশিটির একটি উৎপাদক।

৩১১.
x3 - 27 এর উৎপাদকে বিশ্লেষিত রূপ কোনটি?
  1. ক
    (x + 2)(x2 - 4x + 8)
  2. খ
    (x + 3)(x2 - 3x - 9)
  3. গ
    (x - 2)(x2 + 4x - 8)
  4. ঘ
    (x - 3)(x2 + 3x + 9)
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: x3 - 27 এর উৎপাদকে বিশ্লেষিত রূপ কোনটি?

সমাধান:
x3 - 27
= (x3) - (33)
= (x - 3)(x2 + 3x + 32)
= (x - 3)(x2 + 3x + 9)
৩১২.
নিচের কোনটি p3 - 6p2 + 11p - 6 এর একটি উৎপাদক নয়?
  1. ক
    p - 4
  2. খ
    p - 3
  3. গ
    p - 2
  4. ঘ
    p - 1
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: নিচের কোনটি p3 - 6p2 + 11p - 6 এর একটি উৎপাদক নয়?

সমাধান:
p3 - 6p2 + 11p - 6
= p3 - 3 ⋅ p2 ⋅ 2 + 3 ⋅ p ⋅ 22 - 23 - p + 2
= (p - 2)3 - p + 2
= (p - 2)3 - 1(p - 2)
= (p - 2){(p - 2)2 - 1}
= (p - 2){(p - 2 + 1)(p - 2 - 1)}
= (p - 2)(p - 1)(p - 3)
৩১৩.
3x2 - 10x - 8 এর উৎপাদকে বিশ্লেষণ কোনটি?
  1. ক
    (3x - 2)(x + 4)
  2. খ
    (3x + 2)(x - 4)
  3. গ
    (3x + 4)(x - 2)
  4. ঘ
    (3x - 4)(x + 2)
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 3x2 - 10x - 8 এর উৎপাদকে বিশ্লেষণ কোনটি?

সমাধান:
3x2 - 10x - 8
= 3x2 - 12x + 2x - 8
= 3x(x - 4) + 2(x - 4)
= (3x + 2)(x - 4)

৩১৪.
a3 - 7a - 6 এর একটি উৎপাদক নয় কোনটি?
  1. ক
    a + 1
  2. খ
    a + 3
  3. গ
    a + 2
  4. ঘ
    a - 3
ব্যাখ্যা

a3 - 7a - 6
= a3 + a2 - a2 - a - 6a - 6
= a2(a + 1) - a(a + 1) - 6(a + 1)
= (a + 1) (a2 - a - 6)
= (a + 1) (a2 - 3a + 2a - 6)
= (a + 1) {a(a - 3) + 2(a - 3)}
= (a + 1) (a + 2) (a - 3)

৩১৫.
নিচের কোনটি x3 + 3x + 36 এর একটি উৎপাদক?
  1. ক
    ক) (x+1)
  2. খ
    খ) (x+2)
  3. গ
    গ) (x+3)
  4. ঘ
    ঘ) (x+4)
ব্যাখ্যা

ধরি,
f(x) = x3 + 3x + 36
(x+3), f(x) এর একটি উৎপাদক হবে যদি f(x) = 0 হয়।
f(-3) = (-3)3 + 3(-3) + 36
= - 27 - 9 + 36
= 0
সুতরাং (x + 3), f(x) এর একটি উৎপাদক।

৩১৬.
x2  - y2 - 1 + 2y এর একটি উৎপাদক কোনটি?
  1. ক
    ক) (x - 2y + 1)
  2. খ
    খ) (2x - y + 2)
  3. গ
    গ) (x - 2y + 2)
  4. ঘ
    ঘ) (x - y + 1)
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: x2  - y2 - 1 + 2y এর একটি উৎপাদক কোনটি? 

সমাধান: 
x2  - y2 - 1 + 2y
= x2 - (y2 - 2y + 1)
= x2 - (y - 1)2 
= {x + (y - 1)}{x - (y - 1)}
 =(x + y - 1)(x - y + 1)
৩১৭.
2bd - a2 - c2 + b2 + d2 + 2ac এর উৎপাদকে বিশ্লেষণ কোনটি?
  1. ক
    (a - b - c - d)(a + b + c + d)
  2. খ
    (a + b - c + d)(b - a + c + d)
  3. গ
    (a + b + c + d)(a - b + c - d)
  4. ঘ
    (a + b - c − d)(a - b - c + d)
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 2bd - a2 - c2 + b2 + d2 + 2ac এর উৎপাদকে বিশ্লেষণ কোনটি? 

সমাধান: 
2bd - a2 - c2 + b2 + d2 + 2ac
= b2 + 2bd + d2 - a2 + 2ac - c2   [সাজিয়ে]
= (b2 + 2bd + d2) - (a2 - 2ac + c2)
= (b + d)2 - (a - c)2
= (b + d + a - c)(b + d - a + c)
= (a + b - c + d)(b - a + c + d)
৩১৮.
4a4 - 27a2 - 81 এবং a2 + 7a + 12 এর একটি সাধারণ উৎপাদক কোনটি?
  1. ক
    (a + 4)
  2. খ
    (a - 3)
  3. গ
    (4a2 + 9)
  4. ঘ
    (a + 3)
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 4a4 - 27a2 - 81 এবং a2 + 7a + 12 এর একটি সাধারণ উৎপাদক কোনটি?

সমাধান:
১ম রাশি:
4a4 - 27a2 - 81
= 4a4 - 36a2 + 9a2 - 81
= 4a2(a2 - 9) + 9(a2 - 9)
= (a2 - 9)(4a2 + 9)
= (a + 3)(a - 3)(4a2 + 9)

২য় রাশি:
a2 + 7a + 12
= a2 + 4a + 3a + 12
= a(a + 4) + 3(a + 4)
= (a + 3)(a + 4)
৩১৯.
a3 - 7a - 6 এর উৎপাদক কোনটি?
  1. ক
    (a - 1)(a + 2)(a + 3)
  2. খ
    (a + 1)(a + 2)(a - 3)
  3. গ
    (a + 1)(a - 2)(a + 3)
  4. ঘ
    (a - 1)(a + 2)(a - 3)
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: a3 - 7a - 6 এর উৎপাদক কোনটি?

সমাধান:
a3 - 7a - 6
= a3 + a2 - a2 - a - 6a - 6
= a2(a + 1) - a(a + 1) - 6(a + 1)
= (a + 1)(a2 - a - 6)
= (a + 1)(a2 - 3a + 2a - 6)
= (a + 1){a(a - 3) + 2(a - 3)}
= (a + 1)(a - 3)(a + 2)

∴ নির্ণেয় উৎপাদক = (a + 1)(a + 2)(a - 3)

৩২০.
a3 + 3a + 36 এর উৎপাদকে বিশ্লেষণ কোনটি?
  1. ক
    (a - 3)(a2 - 3a + 14)
  2. খ
    (a - 4)(a2 - 3a - 12)
  3. গ
    (a + 3)(a2 - 3a - 13)
  4. ঘ
    (a + 3)(a2 - 3a + 12)
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: a3 + 3a + 36 এর উৎপাদকে বিশ্লেষণ কোনটি?

সমাধান:
 a3 + 3a + 36
= a3 + 27 + 3a + 9
= (a)3 + (3)3 + 3(a + 3)
= (a + 3)(a2 - 3a + 9) + 3(a + 3)
= (a + 3)(a2 - 3a + 12)
৩২১.
a2 - b2 + 4bc - 4c2 এর উৎপাদক নিচের কোনটি?
  1. ক
    (a + b - 2c)(a - b - 2c)
  2. খ
    (a + b + 2c)(a - b - 2c)
  3. গ
    (a - b - 2c)(a - b + 2c)
  4. ঘ
    (a + b - 2c)(a - b + 2c)
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: a2 - b2 + 4bc - 4c2 এর উৎপাদক নিচের কোনটি?

সমাধান:
a2 - b2 + 4bc - 4c2 
= a2 - {b2 - 2 . b . 2c - (2c)2}
= a2 - (b - 2c)2
= (a + b - 2c)(a - b + 2c)
৩২২.
ax2 - 8x + 9 = 0 সমীকরণের মূলদ্বয়ের যোগফল 1/2 হলে মূলদ্বয়ের গুণফল কত?
  1. ক
    ক) 1/2
  2. খ
    খ) 16/9
  3. গ
    গ) 2
  4. ঘ
    ঘ) 9/16
ব্যাখ্যা

মূলদ্বয়ের যোগফল = 8/a = 1/2
∴ a = 16
∴ মূলদ্বয়ের গুণফল = 9/a = 9/16

৩২৩.
x2 - y2 + 2y - 1 এর একটি উৎপাদক -
  1. ক
    ক) x + y + 1
  2. খ
    খ) x + y - 1
  3. গ
    গ) x - y
  4. ঘ
    ঘ) x - y - 1
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: x2 - y2 + 2y - 1 এর একটি উৎপাদক -

সমাধান: 
x2 - y2 + 2y - 1
= x2 - (y2 - 2y + 1)
= x2 - (y - 1)2
= {x + (y - 1)}{x - (y - 1)}
= (x + y - 1)(x - y + 1)
৩২৪.
নিচের কোনটি 12a2 + 7a - 10 এর একটি উৎপাদক?
  1. ক
    (3a + 2)
  2. খ
    (3a - 4)
  3. গ
    (4a + 5)
  4. ঘ
    (4a - 5)
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: নিচের কোনটি 12a2 + 7a - 10 এর একটি উৎপাদক? 

সমাধান:
12a2 + 7a - 10
= 12a2 + 15a - 8a - 10
= 3a(4a + 5) - 2(4a + 5)
= (4a + 5)(3a - 2)
৩২৫.
x2 + 2xy - 2y - 1 এর একটি উৎপাদক x - 1 হলে অপরটি হবে-
  1. ক
    ক) (x + 2y + 2)
  2. খ
    খ) (x + 2y - 1)
  3. গ
    গ) (x - 2y + 1)
  4. ঘ
    ঘ) (x + 2y + 1)
ব্যাখ্যা
x2 + 2xy - 2y - 1
= x2 - 1 + 2xy - 2y 
= x2 - 12 + 2xy - 2y 
= (x + 1)(x - 1) + 2y(x - 1)
= (x - 1) (x + 2y + 1)
৩২৬.
a2 + 2ab - 2b - 1 এর উৎপাদক কত?
  1. ক
    (a + 1)(a - 1 + 2b)
  2. খ
    (a - 1)(a - 1 - 2b)
  3. গ
    (a - 1)(a + 1 + 2b)
  4. ঘ
    (a + 1)(a - 1 - 2b)
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: a2 + 2ab - 2b - 1 এর উৎপাদক কত?

সমাধান:
a2 + 2ab - 2b - 1
= a2 - 1 + 2ab - 2b
= (a + 1)(a - 1) + 2b(a - 1)
= (a - 1)(a + 1 + 2b)
৩২৭.
1 - 2z2 +7z5/2 - 8z3 -z বহুপদীর মুখ্য সহগ কত?
  1. ক
    ক) 7
  2. খ
    খ) - 2
  3. গ
    গ) 7
  4. ঘ
    ঘ) 7/2
ব্যাখ্যা
বহুপদীর যে পদের চলকের মাত্রা সবচেয়ে বড় সেই পদ মুখ্য পদ।
মুখ্য পদের সহগ হচ্ছে মুখ্য সহগ। 
1 - 2z2 +7z5/2 - 8z3 -z বহুপদীর মুখ্য পদ 7z5/2 এবং মুখ্য পদের সহগ 7/2।
অতএব, মুখ্য সহগ = 7/2
৩২৮.
x3 - x2 কে x - 2 দ্বারা ভাগ করলে অবশেষে থাকবে-
  1. ক
    2
  2. খ
    4
  3. গ
    - 6
  4. ঘ
    - 8
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: x3 - x2 কে x - 2 দ্বারা ভাগ করলে অবশেষে থাকবে-

সমাধান:
ধরি
f(x) = x3 - x2
x - 2 = 0 হলে x = 2
f(2) = 23 - 22
= 8 - 4
= 4 

x3 - x2 কে x - 2 দ্বারা ভাগ করলে অবশেষে 4 থাকবে ।
৩২৯.
x3 - 8 এর উৎপাদকে বিশ্লেষণ কোনটি?
  1. ক
    (x - 2)(x2 - 2x - 4)
  2. খ
    (x - 2)(x2 + 2x + 4)
  3. গ
    (x - 2)(x + 2)
  4. ঘ
    (x - 2)(x2 - 2x + 4)
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: x3 - 8 এর উৎপাদকে বিশ্লেষণ কোনটি?

সমাধান: 
x3 - 8
= x3 - 23
= (x - 2)(x2 + 2x + 22)
= (x - 2)(x2 + 2x + 4)
৩৩০.
নিচের কোনটি 9a2 - 9a - 4 এর একটি উৎপাদক?
  1. ক
    (3a + 2)
  2. খ
    (3a + 1)
  3. গ
    (a + 1)
  4. ঘ
    (2a + 1)
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: নিচের কোনটি 9a2 - 9a - 4 এর একটি উৎপাদক?

সমাধান:
9a2 - 9a - 4
= 9a2 - 12a + 3a - 4
= 3a(3a - 4) + 1(3a - 4)
= (3a - 4)(3a + 1)
৩৩১.
y3 - 8 এর উৎপাদকে বিশ্লেষণ কোনটি?
  1. ক
    (y - 2)(y2 + 2y + 4)
  2. খ
    (y + 2)(y2 + 2y + 4)
  3. গ
    (y - 2)(y2 + y + 2)
  4. ঘ
    (y + 2)(y2 + y + 4)
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: y3 - 8 এর উৎপাদকে বিশ্লেষণ কোনটি? 

সমাধান: 
y3 - 8 
= (y)3 - (2)3
= (y - 2) {(y)2 + y.2 + (2)2}
= (y - 2) (y2 + 2y + 4)
৩৩২.
নিচের কোনটি 3a3 + 2a + 5 এর একটি উৎপাদক?
  1. ক
    a + 1
  2. খ
    a + 2
  3. গ
    a + 3
  4. ঘ
    a - 2
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: নিচের কোনটি 3a3 + 2a + 5 এর একটি উৎপাদক?
 
সমাধান:
ধরি, f(a) = 3a3 + 2a + 5
 
এখন,
f(- 1) = 3 × (- 1)3 + 2 × (- 1) + 5
= - 3 - 2 + 5
= 0
 
∴ a - (- 1) বা, (a + 1), f(a) এর একটি উৎপাদক।
প্রদত্ত রাশি = 3a3 + 2a + 5
= 3a3 + 3a2 - 3a2 - 3a + 5a + 5 
= 3a2(a + 1) - 3a(a + 1) +5(a + 1)
= (a + 1)(3a2 - 3a + 5)
৩৩৩.
a3 - 21a - 20 রাশিটির একটি উৎপাদক হবে নিচের কোনটি?
  1. ক
    (a + 1)
  2. খ
    (a − 1)
  3. গ
    (a + 2)
  4. ঘ
    (a − 2)
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: a3 - 21a - 20 রাশিটির একটি উৎপাদক হবে নিচের কোনটি?

সমাধান:
a3 - 21a - 20
= a3 + a2 - a2 - a - 20a -20
= a2(a + 1) - a (a + 1) - 20 (a + 1)
= (a + 1) (a2 - a - 20) 
= (a + 1) (a2 - 5a + 4a - 20)
= (a + 1) {a (a - 5) + 4 (a - 5)}
= (a + 1) (a - 5) (a + 4)
৩৩৪.
2x4 - 3x3 - 3x - 2 বহুপদীটির মূখ্য সহগ কত?
  1. ক
    ক) - 3
  2. খ
    খ) 2
  3. গ
    গ) 4
  4. ঘ
    ঘ) 1
ব্যাখ্যা
কোনো বহুপদীর সাধারণ পদ cxP এ c কে xP এর সহগ (coefficient) এবং p কে এই পদের মাত্রা বা ঘাত (degree) বলা হয়।
কোনো বহুপদীতে উল্লিখিত পদসমূহের গরিষ্ঠ মাত্রাকে বহুপদীটির মাত্রা বলা হয়।
বহুপদীতে গরিষ্ঠ মাত্রাযুক্ত পদটিকে মূখ্যপদ ও মূখ্যপদের সহগকে মূখ্য সহগ এবং 0 মাত্রাযুক্ত অর্থাৎ, চলক-বর্জিত পদটিকে ধ্রুবপদ বলা হয়।

2x4 - 3x3 - 3x - 2 বহুপদীটির মূখ্যপদ = 2x4
মূখ্য সহগ = 2
৩৩৫.
3x2 - x - 14 এর একটি উৎপাদক হলো-
  1. ক
    ক) (3x - 7)
  2. খ
    খ) (7x  - 3)
  3. গ
    গ) (3x + 7)
  4. ঘ
    ঘ) (4x + 7)
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 3x2 - x - 14 এর একটি উৎপাদক হলো- 

সমাধান: 
3x2 - x - 14
= 3x2 - 7x + 6x - 14
= x(3x - 7) + 2(3x - 7)
= (3x  - 7)(x + 2)
৩৩৬.
2x²+ x - 15 এর উৎপাদক কোনটি?
  1. ক
    (x - 3)(2x + 5)
  2. খ
    (x + 3)(2x - 5)
  3. গ
    (x - 3) (2x - 5)
  4. ঘ
    (x + 3)(2x +5)
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 2x²+ x - 15 এর উৎপাদক কোনটি?

সমাধান: 
সমীকরণটি = 2x2 + x - 15
মিডিলটার্ম করে পাই = 2x2 + 6x - 5x - 15
= 2x(x + 3) - 5(x + 3) 
= (2x - 5)(x + 3)

∴ উৎপাদক = (x + 3)(2x - 5)

৩৩৭.
নিচের কোনটি (a3 - a - 24) এর একটি উৎপাদক?
  1. ক
    (3a - 1)
  2. খ
    (a - 2)
  3. গ
    (a - 1)
  4. ঘ
    (a - 3)
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: নিচের কোনটি (a3 - a - 24) এর একটি উৎপাদক?

সমাধান:
ধরি, f(a) = a3 - a - 24
f(3) = 33 - 3 - 24
= 27 - 27
= 0
∴ (a - 3), f(a) এর একটি উৎপাদক।

এখন,
a3 - a - 24
= a3 - 3a2 + 3a2 - 9a + 8a - 24
= a2(a - 3) + 3a(a - 3) + 8(a - 3)
= (a - 3)(a2 + 3a + 8)
৩৩৮.
x2 - 2ax + (a + b)(a - b) এর উৎপাদক বিশ্লেষণ কোনটি?
  1. ক
    (x + a - b)(x - a - b)
  2. খ
    (x - a + b)(x + a - b)
  3. গ
    (x - a - b)(x - a + b)
  4. ঘ
    (x + a + b)(x - a - b)
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: x2 - 2ax + (a + b) (a - b) এর উৎপাদক বিশ্লেষণ কোনটি? 

সমাধান: 
 x2 - 2ax + (a + b) (a - b) 
= x2 - 2ax + a2 - b2
= (x - a)2 - b2
= (x - a - b) (x - a + b) 

∴ নির্ণেয় উৎপাদক = (x - a - b) (x - a + b) ।
৩৩৯.
x2 - 1 - y(y - 2) এর উৎপাদক কত?
  1. ক
    ক) (x  + y + 1) (x  - y + 1)
  2. খ
    খ) (x  + y - 2) (x  - y + 2)
  3. গ
    গ) (x  + y - 1) (x  - y + 1)
  4. ঘ
    ঘ) (x  + y - 1) (x  - y - 1)
ব্যাখ্যা
x2  -1 - y(y - 2) 
= x2 - 1 - y2 + 2y
= x2 - (y2 - 2y + 1)
= x2 - (y - 1)2
= {x  + (y - 1)}{x - (y - 1)}
= (x  + y - 1) (x  - y + 1) 
৩৪০.
16x2 +px + 25 রাশিটি পূর্ণবর্গ হতে হলে p- এর মান কত হবে ?
  1. ক
    ক) 20
  2. খ
    খ) 10
  3. গ
    গ) 40
  4. ঘ
    ঘ) 15
ব্যাখ্যা
16x2 +px + 25
= (4x)2 + 52 + 2.4x.5 + px - 40x
= (4x - 5)2 + x(p - 40)
∴ x(p - 40) = 0
বা, p - 40 = 0
∴ p = 40
৩৪১.
q2 + 7q - 120 এর একটি উৎপাদক q - 8 হলে, অপর উৎপাদক কোনটি?
  1. ক
    (q - 17)
  2. খ
    (q - 12)
  3. গ
    (q + 13)
  4. ঘ
    (q + 15)
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: q2 + 7q - 120 এর একটি উৎপাদক q - 8 হলে, অপর উৎপাদক কোনটি?

সমাধান:
q2 + 7q - 120
= q2 - 8q + 15q - 120
= q(q - 8) + 15(q - 8)
= (q - 8)(q + 15)

৩৪২.
x2 − (p+q)x + pq = 0 এর সমাধান সেট কোনটি?
  1. ক
    ক) {p,q}
  2. খ
    খ) {p,-q}
  3. গ
    গ) {-p,-q}
  4. ঘ
    ঘ) {≠p,q}
ব্যাখ্যা
x2 − (p+q)x + pq = 0
⇒x2 − px - qx + pq = 0
⇒x(x-p) -q(x-p) = 0
⇒ (x-p)(x-q) = 0
∴ x = p, q
∴ সমাধান সেট = {p,q}
৩৪৩.
(x + 3) রাশিটি 3x2 + ax + 6 এর একটি উৎপাদক হলে a এর মান কত?
  1. ক
    11
  2. খ
    15
  3. গ
    17
  4. ঘ
    22
ব্যাখ্যা
(x + 3) রাশিটি 3x2 + ax + 6 এর একটি উৎপাদক হলে  x + 3 = 0 হবে।  
x = - 3 হলে, 3x2 + ax + 6 এর মান  শূন্য হবে. 

এখানে,
3x2 + ax + 6 = 0
3(− 3)2 + (−3)a + 6=0
27 − 3a + 6 = 0
33 − 3a = 0
3a = 33
a = 11
৩৪৪.
5 - 4x - x2 এবং x2 + x - 20 এর মধ্যে সাধারণ উৎপাদক কোনটি?
  1. ক
    ক) x - 5
  2. খ
    খ) x + 4
  3. গ
    গ) x + 5
  4. ঘ
    ঘ) x - 4
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 5 - 4x - x2 এবং x2 + x - 20 এর মধ্যে সাধারণ উৎপাদক কোনটি?

সমাধান:
5 - 4x - x2
= - x2 - 4x + 5
= - x2 - 5x + x + 5
= - x(x + 5) + 1(x + 5)
= (x + 5) (1 - x)

x2 + x - 20
= x2 + 5x - 4x - 20
= x(x + 5) - 4 (x + 5)
= (x + 5) (x - 4)

∴ 5 - 4x - x2 এবং x2 + x - 20 এর মধ্যে সাধারণ উৎপাদক  (x + 5) 
৩৪৫.
যদি p2 + 2p - 35 এর একটি উৎপাদক (p + 7) হয়, তবে অপর উৎপাদক কোনটি?
  1. ক
    p - 5
  2. খ
    p - 7
  3. গ
    p + 5
  4. ঘ
    p + 2
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: যদি p2 + 2p - 35 এর একটি উৎপাদক (p + 7) হয়, তবে অপর উৎপাদক কোনটি?

সমাধান:
দেওয়া আছে, 
p2 + 2p - 35
= p2 + 7p - 5p - 35
= p(p + 7) - 5(p + 7)
= (p + 7)(p - 5)

সুতরাং, অপর উৎপাদক (p - 5)। 

৩৪৬.
a3 - 21a - 20 রাশিটির উৎপাদক নয় কোনটি?
  1. ক
    (a + 2)
  2. খ
    (a + 1)
  3. গ
    (a - 5)
  4. ঘ
    (a + 4)
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: a3 - 21a - 20 রাশিটির  উৎপাদক নয় কোনটি?

সমাধান:
a3 - 21a - 20
= a3 + a2 - a2 - a - 20a - 20
= a2(a +1) - a (a + 1) - 20 (a + 1)
= (a + 1)(a2 - a - 20) 
= (a + 1)(a2 - 5a + 4a − 20)
= (a + 1){a (a - 5) + 4 (a − 5)}
= (a + 1)(a - 5) (a + 4)

∴ (a + 2), a3 - 21a - 20 রাশিটির উৎপাদক নয়।
৩৪৭.
x6 - y6 এর একটি উৎপাদক কোনটি?
  1. ক
    (x2 + y2)(x2 - y2)
  2. খ
    (x2 + y2)
  3. গ
    (x2 - xy - y2)
  4. ঘ
    (x2 - xy + y2)
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: x6 - y6 এর একটি উৎপাদক কোনটি?

সমাধান:
x6 - y6
= (x3)2 - (y3)2
= (x3 + y3)(x3 - y3)
= (x + y)(x2 - xy + y2)(x - y)(x2 + xy + y2)
= (x + y)(x - y)(x2 - xy + y2)(x2 + xy + y2)

৩৪৮.
x2 - 3x - 2 কে  x + 1 দ্বারা ভাগ করলে ভাগশেষ কী হবে?
  1. ক
    3
  2. খ
    2
  3. গ
    - 1
  4. ঘ
    1
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: x2 - 3x - 2 কে  x + 1 দ্বারা ভাগ করলে ভাগশেষ কী হবে?

সমাধান:
ধরি,
p(x) = x2 - 3x - 2
∴ x + 1 দ্বারা p(x) কে ভাগ করলে ভাগশেষ হবে p(- 1).

∴ p(- 1) = (- 1)2 - 3(- 1) - 2
= 1 + 3 - 2
= 4 - 2
= 2
৩৪৯.
(x2 + 2xy - 2y - 1) এর এর উৎপাদকে বিশ্লেষণ -
  1. ক
    ক) (x + y + 1) (x - 1)
  2. খ
    খ) (x + 2y + 1) (x + 1)
  3. গ
    গ) (x + y + 1) (x + 1)
  4. ঘ
    ঘ) (x + 2y + 1) (x - 1)
ব্যাখ্যা

x2 + 2xy - 2y - 1
= x2 - (1)2 + 2xy - 2y
= (x+1) (x-1) + 2y(x-1)
= (x-1) (x + 2y + 1)

৩৫০.
m = 1 + √5 এবং n = 1 - √5 হলে, m2 + n2 এর মান কত?
  1. ক
    ক) 10
  2. খ
    খ) 12
  3. গ
    গ) 6
  4. ঘ
    ঘ) 8
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: m = 1 + √5 এবং n = 1 - √5 হলে, m2 + n2 এর মান কত? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে,
m = 1 + √5
n = 1 - √5

m + n = 1 + √5 + 1 - √5
            = 2

mn = (1 + √5) (1 - √5)
       = 12 - (√5)2
        =1 - 5 
        = - 4
m2 + n2 = (m + n)2 - 2mn
              = 22 - 2(- 4)
              = 4 + 8
              = 12

৩৫১.
x2 - y2 + 2y - 1এর একটি উৎপাদক-
  1. ক
    ক) x + y + 1
  2. খ
    খ) x - 1
  3. গ
    গ) x + y - 1
  4. ঘ
    ঘ) x - y -1
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: x2 - y2 + 2y - 1 এর একটি উৎপাদক-

সমাধান: 
x2 - y2 + 2y - 1
= x2 - (y2 - 2y - 1)
= x2 - (y - 1)2
= (x + y - 1)(x - y + 1)
৩৫২.
নিচের কোনটি a3 - 6a2 + 11a - 6 এর একটি উৎপাদক?
  1. ক
    a - 4
  2. খ
    a - 2
  3. গ
    a + 4
  4. ঘ
    a + 3
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: নিচের কোনটি a3 - 6a2 + 11a - 6 এর একটি উৎপাদক? 

সমাধান:
a3 - 6a2 + 11a - 6
= a3 - a2 - 5a2 + 5a + 6a - 6
= a2(a - 1) - 5a(a - 1) + 6(a - 1)
= (a - 1)(a2 - 5a + 6)
= (a - 1) (a2 - 3a - 2a + 6)
= (a - 1) {a(a - 3) - 2(a - 3)}
= (a - 1)(a - 2)(a - 3)
৩৫৩.
ap2 + (a2 + 1)p + a এর একটি উৎপাদক নিচের কোনটি?
  1. ক
    (p + 1)
  2. খ
    (p - a)
  3. গ
    (p - 1)
  4. ঘ
    (p + a)
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: ap2 + (a2 + 1)p + a এর একটি উৎপাদক নিচের কোনটি?

সমাধান:
ap2 + (a2 + 1)p + a
= ap2 + (a2p + p) + a
= ap2 + a2p + p + a
= ap(p + a) + 1(p + a)
= (p + a)(ap + 1)
৩৫৪.
x2 + 2x - 15 এর উৎপাদকে বিশ্লেষণ নিচের কোনটি?
  1. ক
    (x + 3)(x - 5)
  2. খ
    (x + 3)(x + 5)
  3. গ
    (x - 3)(x + 5)
  4. ঘ
    (x - 3)(x - 5)
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: x2 + 2x - 15 এর উৎপাদকে বিশ্লেষণ নিচের কোনটি?

সমাধান:
x2 + 2x - 15
= x2 + 5x - 3x - 15
= x(x + 5) - 3(x + 5)
= (x - 3)(x + 5)

৩৫৫.
a3 - a2 - 10a - 8 এর উৎপাদক কোনটি?
  1. ক
    ক) (a + 1)
  2. খ
    খ) (a + 2)
  3. গ
    গ) (a - 4)
  4. ঘ
    ঘ) সবগুলো সঠিক
ব্যাখ্যা

মনে করি, ƒ(a) = a3 - a2 -10a - 8
∴ ƒ(-1) = (-1)3 - (-1)2 - 10(-1) - 8
= 0
∴ ভাগশেষ উপপাদ্য অনুসারে (a + 1), ƒ(a) এর একটি উৎপাদক
a3 - a2 -10a - 8
= a3 + a2 - 2a2 - 2a - 8a - 8
= a2(a + 1) - 2a(a + 1) - 8(a + 1)
= (a + 1)(a2 - 2a - 8)
= (a + 1) (a + 2)(a - 4) 

৩৫৬.
নিচের কোনটি p3 - p - 6 এর একটি উৎপাদক?
  1. ক
    p - 1
  2. খ
    p - 2
  3. গ
    p - 3
  4. ঘ
    p - 4
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: নিচের কোনটি p3 - p - 6 এর একটি উৎপাদক?

সমাধান:
f(p) = p3 - p - 6
∴ f(2) = 23 - 2 - 6
= 8 - 8
= 0
(p - 2), f(p) এর একটি উৎপাদক

p3 - p - 6
= p2(p - 2) + 2p(p - 2) + 3(p - 2)
= (p - 2) (p2 + 2p + 3)
৩৫৭.
x3 - 8 এর উৎপাদকে বিশ্লেষণ কোনটি?
  1. ক
    (x - 2)(x + 2)
  2. খ
    (x - 2)(x2 - 2x + 4)
  3. গ
    (x - 2)(x2 + 2x + 4)
  4. ঘ
    (x - 2)(x2 - 2x - 4)
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: x3 - 8 এর উৎপাদকে বিশ্লেষণ কোনটি?

সমাধান:
x3 - 8
= x3 - 23
= (x - 2)(x2 + 2x + 22)
= (x - 2)(x2 + 2x + 4)
৩৫৮.
a2 + ca + bc + ab এর একটি উৎপাদক (a + b) হলে অপর উৎপাদকটি কত?
  1. ক
    b + c
  2. খ
    a + c
  3. গ
    2b
  4. ঘ
    b2
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: a2 + ca + bc + ab এর একটি উৎপাদক (a + b) হলে অপর উৎপাদকটি কত?

সমাধান:
a2 + ca + bc + ab
= a2 + ab + ca + bc
= a(a + b) + c(a + b)
= (a + b)(a + c)
৩৫৯.
4x2 - y2 = ?
  1. ক
    ক) 4(x + y)(x - y)
  2. খ
    খ) 2(x + y)(2x - 2y)
  3. গ
    গ) (2x + y)(2x - y)
  4. ঘ
    ঘ) 2(2x2 - y2 - 4xy)
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 4x2 - y2 = ?

সমাধান:
4x2 - y2 = (2x)2 - y2
= (2x + y)(2x - y)
৩৬০.
x4 + x2 + 1 এর একটি উৎপাদক হলো-
  1. ক
    ক) (x2 + 2x + 1 )
  2. খ
    খ) (x2 - x - 1 )
  3. গ
    গ) (x2 + x - 1 )
  4. ঘ
    ঘ) (x2 + x + 1 )
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: x4 + x2 + 1 এর একটি উৎপাদক হলো-

সমাধান: 
x4 + x2 + 1
= (x2)2 + 2.x2.1 + 12 - x2
= (x2 + 1)2 - x2
= (x2 + 1 + x) (x2 + 1 - x)
=  (x2 + x + 1 ) (x2  - x + 1)
৩৬১.
- 2a - [- 4b - {- 6c - (8a - 10b + 12c)}] এর সরলফল কত?
  1. ক
    ক) - 10a + 14b - 18c
  2. খ
    খ) - 10a - 14b - 18c
  3. গ
    গ) - 10b + 14a - 18c
  4. ঘ
    ঘ) কোনটিই নয়
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: - 2a - [- 4b - {- 6c - (8a - 10b + 12c)}] এর সরলফল কত? 

সমাধান: 
- 2a - [- 4b - {- 6c - (8a - 10b + 12c)}]
- 2a - [- 4b - {- 6c - 8a + 10b - 12c}]
- 2a - [- 4b + 6c +8a - 10b + 12c]
- 2a + 4b - 6c - 8a + 10b - 12c
- 10a + 14b - 18c
৩৬২.
যদি 5x3 + 5x2 - 6x + 9 কে (x + 3) দ্বারা ভাগ করা হয়, তাহলে ভাগশেষ কত হবে?
  1. ক
    135
  2. খ
    - 135
  3. গ
    - 63
  4. ঘ
    63
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: যদি 5x3 + 5x2 - 6x + 9 কে (x + 3) দ্বারা ভাগ করা হয়, তাহলে ভাগশেষ কত হবে?

সমাধান:
ভাগশেষ উপপাদ্য:
যদি একটি বহুপদী p(x) কে (x - a) দ্বারা ভাগ করা হয়, তাহলে ভাগশেষ a হয় p(a) দ্বারা প্রদত্ত ধ্রুবক।

ধরি,
p(x) = 5x3 + 5x2 - 6x + 9
যেহেতু, (x + 3) দ্বারা p(x)- কে ভাগ করা হলে, ভাগশেষ হবে p(- 3) 
∴  p(- 3) = 5 × (- 3)3 + 5 × (- 3)2 - 6 × (- 3) + 9
= 5 (- 27) + 5 × 9 + 18 + 9
= - 135 + 45 + 18 + 9
= - 63
৩৬৩.
x4 - 27x2 + 1 এর উৎপাদকে বিশ্লেষণ-
  1. ক
    (5x2 + 5x - 1)(5x2 - 5x - 1)
  2. খ
    (x2 + 4x - 1)(x2 - 4x + 1)
  3. গ
    (x2 + 5x + 1)(x2 - 5x - 1)
  4. ঘ
    (x2 + 5x - 1)(x2 - 5x - 1)
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: x4 - 27x2 + 1 এর উৎপাদকে বিশ্লেষণ-

সমাধান: 
 x4 - 27x2 + 1
= (x2)2 - 2.x2 .1 + 12 - 25x2
= (x2 - 1)2 - (5x)2
= (x2 - 1 + 5x)(x2 - 1 - 5x)
= (x2 + 5x - 1)(x2 - 5x - 1)

৩৬৪.
x2 – y2 + 2y – 1 এর একটি উৎপাদক-
  1. ক
    ক) x + y + 1
  2. খ
    খ) x - y
  3. গ
    গ) x + y – 1
  4. ঘ
    ঘ) x - y – 1
ব্যাখ্যা
x2 – y2 + 2y – 1 = x2 – (y2 - 2y + 1)
= x2 – (y – 1)2
= (x + y – 1) (x - y + 1)
৩৬৫.
(a2 - a - 6) এবং (a2 - 3a  - 10) এর সাধারণ উৎপাদক কত?
  1. ক
    (a + 3)
  2. খ
    (a - 2)
  3. গ
    (a + 2)
  4. ঘ
    (a + 1)
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: (a2 - a - 6) এবং (a2 - 3a  - 10) এর সাধারণ উৎপাদক কত?

সমাধান:
১ম ক্ষেত্র,
(a2 - a - 6)
= a2 - 3a + 2a - 6
= a(a - 3) + 2(a - 3)
= (a - 3)(a + 2)

২য় ক্ষেত্র,
a2 - 3a - 10
= a2 - 5a + 2a - 10
= a(a - 5) + 2(a - 5)
= (a - 5)(a + 2)
৩৬৬.
নিচের কোনটি a2 + 3a - 28 এর একটি উৎপাদক?
  1. ক
    a - 4
  2. খ
    a - 7
  3. গ
    a + 3
  4. ঘ
    a + 5
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: নিচের কোনটি a2 + 3a - 28 এর একটি উৎপাদক?

সমাধান:
a2 + 3a - 28
= a2 + 7a - 4a - 28
= a(a + 7) - 4(a + 7)
= (a + 7)(a - 4)
৩৬৭.
x² - y² -2y - 1 এর একটি উৎপাদক (x + y + 1) হলে অপর উৎপাদক নিচের কোনটি হবে?
  1. ক
    ক) x - y + 1
  2. খ
    খ) y - x - 1
  3. গ
    গ) x - 1
  4. ঘ
    ঘ) x - y - 1
ব্যাখ্যা

x² - y² -2y - 1
= x² - (y + 2y + 1)
= x² - (y + 1)²
= (x + y + 1) (x - y - 1)

৩৬৮.
6a2 + a − 15 এর একটি উৎপাদক নিচের কোনটি?
  1. ক
    ক) (2a - 3)
  2. খ
    খ) (2a + 3)
  3. গ
    গ) (a - 3)
  4. ঘ
    ঘ) (3a + 2)
ব্যাখ্যা
6a2 + a − 15
= 6a2 - 9a + 10a − 15
= 3a(2a - 3) + 5(2a - 3)
= (2a - 3)(3a + 5)
৩৬৯.
x2 - y2 + 2y - 1 এর একটি উৎপাদক নিচের কোনটি?
  1. ক
    x + y + 1
  2. খ
    x + y - 1
  3. গ
    x - y - 1
  4. ঘ
    x - y
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: x2 - y2 + 2y -1  এর একটি উৎপাদক নিচের কোনটি?

সমাধান:
x2 - y2 + 2y - 1
= x2 - (y2 - 2y + 1)
= x2 - (y - 1)2
= (x + y - 1) (x - y + 1)

৩৭০.
x3 - qx + 15 = 0 এর একটি সমাধান 3 হলে q এর মান কত?
  1. ক
    14
  2. খ
    16
  3. গ
    18
  4. ঘ
    22
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: x3 - qx + 15 = 0 এর একটি সমাধান 3 হলে q এর মান কত?

সমাধান:
(3)3 - q(3) + 15 = 0
⇒ 27 - 3q + 15 = 0
⇒ - 3q = - 42
⇒ q = 14

৩৭১.
x4 + x² - 20 এর উৎপাদক নয় কোনটি?
  1. ক
    ক) (x + 2)
  2. খ
    খ) (x + 1)
  3. গ
    গ) (x - 2)
  4. ঘ
    ঘ) (x² + 5)
ব্যাখ্যা

.x4 + x² - 20
= x4 + 5x² - 4x² - 20
= x²(x² + 5) - 4(x² + 5)
= (x² + 5)(x + 2)(x - 2)

৩৭২.
a2 - b2 - 2b - 1 এর একটি উৎপাদক কোনটি?
  1. ক
    (a - b)
  2. খ
    (a - b + 1)
  3. গ
    (a + b - 1)
  4. ঘ
    (a - b - 1)
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: a2 - b2 - 2b - 1 এর একটি উৎপাদক কোনটি?

সমাধান:
a2 - b2 - 2b - 1
= a2 - (b2 + 2b + 1)
= a2 - (b + 1)2
= {a + (b + 1)}{a - (b + 1)}
= (a + b + 1)(a - b - 1)

∴ রাশিটির উৎপাদকদ্বয় হলো (a + b + 1) এবং (a - b - 1)

৩৭৩.
a3 - 21a - 20 রাশিটির উৎপাদক নিচের কোনটি?
  1. ক
    ক) (a + 2)
  2. খ
    খ) (a + 1)
  3. গ
    গ) (a - 2)
  4. ঘ
    ঘ) (a - 1)
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: a3 - 21a - 20 রাশিটির উৎপাদক নিচের কোনটি?

সমাধান:
a3 - 21a - 20
= a3 + a2 - a2 - a - 20a -20
= a2(a +1) - a (a + 1) - 20 (a + 1)
= (a + 1) (a2 - a - 20) 
= (a + 1) (a2 - 5a + 4a - 20)
= (a +1) {a (a - 5) + 4 (a - 5)}
= (a +1) (a - 5) (a + 4)
৩৭৪.
নিচের কোন বহুপদীর উৎপাদক a - 1? 
  1. ক
    a3 - 9
  2. খ
    a3 - a2 + (a + 1)3
  3. গ
    a2 + 2a - 4
  4. ঘ
    a3 - 9 + (a + 1)3
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: নিচের কোন বহুপদীর উৎপাদক a - 1? 

সমাধান:
a = 1 হলে,
a2 + 2a - 4 
= 12 + 2 × 1 - 4
= 1 + 2 - 4
= 3 - 4
= -1 ≠ 0

a3 - 9
= 13 - 9
= 1- 9
= -8 ≠ 0

a3 - a2 + (a + 1)3
= 13 - 12 + 23
= 1 - 1 + 8
= 8 ≠ 0

a3 - 9 + (a + 1)3
= 13 - 9 + 23
= 1 - 9 + 8
= 9 - 9
= 0

অতএব, a3 - 9 + (a + 1)3 এর উৎপাদক a - 1
৩৭৫.
5x2 – 4x2y + 5xy2 থেকে – 3xy2 - 4x2y + 5x2 বিয়োগ করলে কোন রাশিটি পাওয়া যাবে?
  1. ক
    ক) - 8xy2
  2. খ
    খ) 10x2
  3. গ
    গ) 8x2y
  4. ঘ
    ঘ) 8xy2
ব্যাখ্যা
5x2 – 4x2y + 5xy2 থেকে – 3xy2 - 4x2y + 5x2 বিয়োগ :

বিয়োজ্যের প্রতিটি পদের চিহ্ন পরিবর্তন করে পাই, 
3xy2 + 4x2y – 5x2 
এখন প্রথম রাশির সাথে রূপান্তরিত বিয়োজ্য রাশি যোগ করে পাই, 
  5x2  –  4x2y + 5xy2
– 5x2 + 4x2y + 3xy2 
----------------------
                       8xy2
 
সুতরাং, নির্ণেয় বিয়োগফল 8xy2
৩৭৬.
x2 = 5 + 2√6 হলে, x = ?
  1. ক
    ক) - √3 + √2
  2. খ
    খ) √3 - √2
  3. গ
    গ) √3 + √2
  4. ঘ
    ঘ) - √3 - √2
ব্যাখ্যা
x2
= 5 + 2√6
= 3 + 2 + 2√6
= (√3)2 + 2√3√2 + (√2)2
= (√3 + √2)2 
x = √3 + √2
৩৭৭.
2x2 - xy - 6y2 এর উৎপাদক-
  1. ক
    (2x + 3y)(x - 2y)
  2. খ
    (x + 3y)(2x - 2y)
  3. গ
    (2x - 3y)(x + 2y)
  4. ঘ
    (2x - 3y)(2x + 2y)
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 2x2 - xy - 6y2 এর উৎপাদক-

সমাধান:
দেওয়া আছে, 
2x2 - xy - 6y2
= 2x2 - 4xy + 3xy - 6y2
= 2x(x - 2y) + 3y(x - 2y)
= (x - 2y)(2x + 3y)

৩৭৮.
2a3 + 16 এর একটি উৎপাদক-
  1. ক
    ক) a - 2
  2. খ
    খ) a2 + 2a + 4
  3. গ
    গ) a + 2
  4. ঘ
    ঘ) a2 - 2a - 4
ব্যাখ্যা

2a3 + 16
= 2(a3 + 8)
= 2(a3 + 23)
= 2(a + 2)(a2 - 2a + 4)

৩৭৯.
9x2 - 9x - 4 কে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করুন।
  1. ক
    (3x - 2)2
  2. খ
    (3x - 4)(3x + 1)
  3. গ
    (3x + 4)(3x - 1)
  4. ঘ
    (3x - 2)(3x + 1)
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 9x2 - 9x - 4 কে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করুন।

সমাধান:
9x2 - 9x - 4
= 9x2 - 12x + 3x - 4
= 3x(3x - 4) +1(3x - 4)
= (3x - 4)(3x + 1)
৩৮০.
18x3 - 15x2 - x - 2 এর একটি উৎপাদক হলো-
  1. ক
    ক) x - 4
  2. খ
    খ) x - 3
  3. গ
    গ) x - 2
  4. ঘ
    ঘ) x - 1
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 18x3 - 15x2 - x - 2 এর একটি উৎপাদক হলো-

সমাধান: 
ধরি,
f(x) = 18x3 - 15x2 - x - 2
f(1) = 18 ×13 - 15 × 12 - 1 - 2
= 18 - 15 - 1 - 2
= 18 - 18
= 0

(x - 1) হলো f(x) এর একটি উৎপাদক .
৩৮১.
3x3 + 2 x2 - 21x - 20 রাশিটির একটি উৎপাদক হচ্ছে-
  1. ক
    ক) x + 2
  2. খ
    খ) x - 2
  3. গ
    গ) x + 1
  4. ঘ
    ঘ) x - 1
ব্যাখ্যা
x = -1 হলে, 3x3 + 2 x2 - 21x - 20 রাশিটির মান 0 হবে।
তাই x + 1 রাশিটির একটি উৎপাদক।
৩৮২.
x6 + 4x3 - 1 = ?
  1. ক
    ক) (x2 + x + 1)(x4 - x3 + 2x2 + x + 1)
  2. খ
    খ) (x2 + 1)(x4 - x3 + 2x2 + x + 1)
  3. গ
    গ) (x2 + x - 1)(x4 - x3 + 2x2 + x + 1)
  4. ঘ
    ঘ) (x2 + x - 1)(x4 + x3 - 2x2 - x + 1)
ব্যাখ্যা

x6 + 4x3 - 1
= x6 + x3 - 1 + 3x3
= (x2)3 + x3 + (-1)3 - 3.x2.x(-1)
= (x2 + x - 1){(x2)2 + x2 + (-1)2 - x2.x - x2(-1) - x(-1)}
= (x2 + x - 1)(x4 + x2 + 1 - x3 + x2 + x)
= (x2 + x - 1)(x4 - x3 + 2x2 + x + 1)

৩৮৩.
12x2 + 11x - 15 এর উৎপাদক কোনটি?
  1. ক
    (3x + 5)(4x - 3)
  2. খ
    (4x + 5)(3x - 3)
  3. গ
    (3x - 5)(4x + 3)
  4. ঘ
    (6x + 5)(2x - 3)
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 12x2 + 11x - 15 এর উৎপাদক কোনটি?

সমাধান:
12x2 + 11x - 15
⇒ 12x2 + 20x - 9x - 15
⇒ 4x(3x + 5) - 3(3x + 5)
⇒ (3x + 5)(4x - 3)

৩৮৪.
2a3 + 3a2 + 3a - 8 এর সঠিক উৎপাদকে বিশ্লেষণ হলো-
  1. ক
    ক) (a - 2) (2a2 + 5a - 8)
  2. খ
    খ) (a - 1) (2a2 + 5a + 8)
  3. গ
    গ) (a + 1) (2a2 - 5a + 8)
  4. ঘ
    ঘ) (a + 1) (2a2 + 5a - 8)
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 2a3 + 3a2 + 3a - 8 এর সঠিক উৎপাদকে বিশ্লেষণ হলো- 

সমাধান: 
f(a) = 2a3 + 3a2 + 3a - 8 
f(1) = 2 × 13 + 3 × 12 + 3 × 1 - 8 
      = 2 + 3 + 3 - 8
      = 8 - 8
       = 0
(a - 1), f(a) এর একটি উৎপাদক 

f(a) = 2a3 + 3a2 + 3a - 8
= 2a3 - 2a2 + 5a2 - 5a + 8a - 8
= 2a2(a - 1) + 5a(a - 1) + 8(a - 1)
= (a - 1) (2a2 + 5a + 8)
৩৮৫.
(x2 - x - 12) এবং (x2 - 5x - 24) এর সাধারণ উৎপাদক কত?
  1. ক
    (x + 2)
  2. খ
    (x - 4)
  3. গ
    (x + 3)
  4. ঘ
    সাধারণ উৎপাদক নেই
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: (x2 - x - 12) এবং (x2 - 5x - 24) এর সাধারণ উৎপাদক কত?

সমাধান:
১ম রাশি = (x2 - x - 12)
= x2 - 4x + 3x - 12
= x(x - 4) + 3(x - 4)
= (x - 4)(x + 3)

২য় রাশি = x2 - 5x - 24
= x2 - 8x + 3x - 24
= x(x - 8) + 3(x - 8)
= (x - 8)(x + 3)
৩৮৬.
নিচের কোনটি (a3 + 8) ও (3a2 + a - 10) এর একটি সাধারণ উৎপাদক?
  1. ক
    a + 3
  2. খ
    a + 2
  3. গ
    a + 4
  4. ঘ
    a + 5
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: নিচের কোনটি (a3 + 8) ও (3a2 + a - 10) এর একটি সাধারণ উৎপাদক?

সমাধান:
১ম রাশি = (a3 + 8)
= (a)3 + (2)3
= (a + 2){(a)2 - a · 2 + (2)2}
= (a + 2)(a2 - 2a + 4)

২য় রাশি = 3a2 + a - 10
= 3a2 + 6a - 5a - 10
= 3a(a + 2) - 5(a + 2)
= (a + 2)(3a - 5)

সুতরাং, প্রদত্ত রাশিদ্বয়ের সাধারণ উৎপাদক = a + 2
৩৮৭.
a3 - ab2 এবং a4 + 2a3b + a2b2 এর গ.সা.গু কত? 
  1. ক
    1
  2. খ
    a
  3. গ
    a(a + b)
  4. ঘ
    (a + b)
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: a3 - ab2 এবং a4 + 2a3b + a2b2 এর গ.সা.গু কত?

সমাধান: 
১ম রাশি = a3 - ab2
= a(a2 - b2)
= a(a + b)(a - b)

২য় রাশি = a4 + 2a3b + a2b2
= a2(a2 + 2ab + b2)
= a2(a + b)2

a3 - ab2 এবং a4 + 2a3b + a2b2 এর মৌলিক উৎপাদক = a(a + b)
∴ নির্ণেয় গ.সা.গু = a(a + b)। 

৩৮৮.
a4 + 6a2 - 7 এর উৎপাদক গুলো হলো-
  1. ক
    ক) (a2 + 5)(a + 2)(a - 2)
  2. খ
    খ) (a2 - 7)(a + 3)(a - 3)
  3. গ
    গ) (a2 + 7)(a + 1)(a - 1)
  4. ঘ
    ঘ) (a2 + 3)(a + 2)(a - 2)
ব্যাখ্যা
a4 + 6a2 - 7 
= (a2)2 + 2.a2 .3 + 32 - 16
= (a2 + 3)2 - 42
= (a2 + 3 + 4) (a2 + 3 - 4)
= (a2 + 7) (a2 - 1)
= (a2 + 7)(a + 1)(a - 1)
৩৮৯.
x2 - ax + 3 এর একটি উৎপাদক x - 3 হলে a = ?
  1. ক
    ক) 0
  2. খ
    খ) 2
  3. গ
    গ) 4
  4. ঘ
    ঘ) 6
ব্যাখ্যা

x - 3, f(x) = x2 - ax + 3 এর একটি উৎপাদক 
∴ f(3) = 0
বা, 9 - 3a + 3 = 0
বা, 3a = 12
∴ a = 4

৩৯০.
(a2 + b2- c2 + 2ab)/(a2 - b2 + c2 + 2ac) = কত?
  1. ক
    a + b + c
  2. খ
    (a + b - c)/(a - b + c)
  3. গ
    (a - b + c)/(a + b - c)
  4. ঘ
    (a + b - c)/(a + b + c)
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: (a2 + b2 - c2 + 2ab)/(a2 - b2 + c2 + 2ac) = কত?

সমাধান:
(a2 + b2 - c2 + 2ab)/( a2 - b2 + c2 + 2ac)
= [(a + b)2 - c2]/[(a + c)2 - b2]
= [(a + b + c)(a + b - c)]/ [(a + b + c)(a - b + c)]
= (a + b - c)/(a - b + c)
৩৯১.
a3 - 3a2b + 2b3 এর উৎপাদক কোনটি?
  1. ক
    (a + b) (a2 - 2ab - 2b2)
  2. খ
    (a - b) (a2 - 2ab - 2b2)
  3. গ
    (a - b) (a2 + 2ab - 2b2)
  4. ঘ
    (a - b) (a2 - 2ab + 2b2)
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: a3 - 3a2b + 2b3 এর উৎপাদক কোনটি?

সমাধান:
a3 - 3a2b + 2b3
= a3 - a2b - 2a2b + 2ab2 - 2ab2 + 2b3
= a2(a - b) - 2ab(a - b) - 2b2(a - b)
= (a - b) (a2 - 2ab - 2b2)

৩৯২.
(x - y)(y + 3) কোন রাশির উৎপাদক?
  1. ক
    x2 - 3y + 3
  2. খ
    xy - 3y + y2
  3. গ
    xy - y2 - 3y + 3x
  4. ঘ
    xy - 3y + y2 + 3x
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: (x - y)(y + 3) কোন রাশির উৎপাদক?

সমাধান:
(x - y)(y + 3
= x(y + 3) - y(y + 3)
= xy + 3x - y2 - 3y
= xy - y2 - 3y + 3x

xy - y2 - 3y + 3x এর উৎপাদক হচ্ছে (x - y)(y + 3)
৩৯৩.
g(x, y) = 3x2 - y2 + x - 3 হলে, g(1, - 1) এর মান কত?
  1. ক
    ক) 0
  2. খ
    খ) 1
  3. গ
    গ) 3
  4. ঘ
    ঘ) - 3
ব্যাখ্যা
g(x, y) = 3x2 - y2 + x - 3 
g(1, - 1) = 3 × 12 - ( - 1)2 + 1 - 3
              = 3 - 1 + 1 - 3
               = 0
৩৯৪.
x4 + x2 + 1 এর একটি উৎপাদক x2 + x + 1 হলে অপরটি কত?
  1. ক
    x + 1
  2. খ
    x2 + 1
  3. গ
    x2 + x - 1
  4. ঘ
    x2 - x + 1
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: x4 + x2 + 1 এর একটি উৎপাদক x2 + x + 1 হলে অপরটি কত?

সমাধান: 
x4 + x2 + 1
= x4 + 2x2 + 1 - x2 
= {(x2)2 + 2. x2 .1 + (1)2} - (x)2 
= (x2 + 1)2 - x2 
= (x2 + 1 + x) (x2 + 1 - x) 
= (x2 + x + 1) (x2 - x + 1)
৩৯৫.
9x2 - 30xy + 25y2 এর উৎপাদক কোনটি?
  1. ক
    ক) (3x - y)2
  2. খ
    খ) (x - 5y)2
  3. গ
    গ) (3x + 5y)2
  4. ঘ
    ঘ) (3x - 5y)2
ব্যাখ্যা

9x2 - 30xy + 25y2
= (3x)2 - 2.3x.5y + (5y)2
= (3x - 5y)2

৩৯৬.
(2p - q, 4) = (3, 3p - 2q) হলে (q, p)  = ?
  1. ক
    (-1, 2)
  2. খ
    (1, -2)
  3. গ
    (2, 1)
  4. ঘ
    (1, 2)
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: (2p - q, 4) = (3, 3p - 2q) হলে (q, p)  = ?

সমাধান: 
এখানে,
3p - 2q = 4 ............(i)
2p - q = 3 ...........(ii)

(ii) নং সমীকরণকে ২ দ্বারা গুণ করে (i) নং হতে বিয়োগ করে পাই।
3p - 2q - 4p + 2q = 4 - 6
- p = - 2
p = 2

(ii) নং সমীকরণ হতে পাই,
4 - q = 3
q = 1

∴(q, p) = (1, 2)
৩৯৭.
নিচের কোনটি a3 - a - 24 এর একটি উৎপাদক?
  1. ক
    a - 2
  2. খ
    a + 2
  3. গ
    a - 3
  4. ঘ
    a + 4
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: নিচের কোনটি a3 - a - 24 এর একটি উৎপাদক?

সমাধান:
ধরি,
f(a) = a3 - a - 24
∴ f(3) = 33 - 3 - 24
= 27 - 3 - 24
= 27 - 27
= 0
∴ (a - 3) প্রদত্ত রাশিটির একটি উৎপাদক।

a3 - a - 24
= a3 - 3a2 + 3a2 - 9a + 8a - 24
= a2(a - 3) + 3a(a - 3) + 8(a - 3)
= (a - 3)(a2 + 3a + 8)
৩৯৮.
a2 + 2ab - 2b -1 এর উৎপাদকে বিশ্লেষণ কোনটি?
  1. ক
    (a - 1)(a + 2b + 1)
  2. খ
    (a + 1)(a + 2b - 1)
  3. গ
    (a - 1)(a - 2b + 1)
  4. ঘ
    (a + 1)(a - 2b - 1)
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: a2 + 2ab - 2b -1 এর উৎপাদকে বিশ্লেষণ কোনটি? 

সমাধান: 
a2 + 2ab - 2b -1
= (a2 - 1) + (2ab - 2b )
= (a + 1)(a - 1) + 2b(a - 1)
= (a - 1)(a + 1 + 2b)
= (a - 1)(a + 2b + 1)
৩৯৯.
নিচের কোনটি : a2 + 6a + 8 - y2 + 2y এর একটি উৎপাদক?
  1. ক
    (a - y + 2)
  2. খ
    (a + y - 2)
  3. গ
    (a + y + 4)
  4. ঘ
    (a - y + 4)
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: নিচের কোনটি : a2 + 6a + 8 - y2 + 2y এর একটি উৎপাদক?

সমাধান:
a2 + 6a + 8 - y2 + 2y
= a2 +2.a.3 + (3)2 - y2 + 2.y.1 - (1)2
= (a + 3)2 - (y - 1)2
= {(a + 3) + (y - 1)}{(a + 3) - (y - 1)}
= (a + 3 + y - 1)(a + 3 - y + 1)
= (a + y + 2)(a - y + 4)
৪০০.
4x4 - 27x2 - 81 এর উৎপাদক হবে -
  1. ক
    (x + 3)(x + 3) (4x2 + 9)
  2. খ
    (x + 3)(x - 3) (5x2 + 9)
  3. গ
    (x + 3)(x - 3) (4x2 - 9)
  4. ঘ
    (x + 3)(x - 3) (4x2 + 9)
ব্যাখ্যা
4x4 - 27x2 - 81 
= 4x4 - 36x2 + 9x2 - 81 
= 4x2(x2 - 9) + 9 (x2 - 9)
= (x2 - 9)(4x2 + 9)
= (x2 - 32) (4x2 + 9)
= (x + 3)(x - 3) (4x2 + 9)