লগ ইননিবন্ধন
বিষয়সমূহ

PrepBank · বিষয়ভিত্তিক প্রশ্ন

বহুপদী উৎপাদক ও এর বিশ্লেষণ

মোট প্রশ্ন১,৭৪৬এই পাতা১০০প্রতি পাতা১০০
প্রশ্ন দেখুনঅনুশীলন
ঘনত্ব
উত্তর
উত্তরিতবর্তমানপুনরায় দেখুনঅসম্পূর্ণ

বহুপদী উৎপাদক ও এর বিশ্লেষণ

PrepBank · পাতা ১৫ / ১৮ · ১,৪০১–১,৫০০ / ১,৭৪৬

১,৪০১.
x2 - 1 - y(y - 2) এর একটি উৎপাদক কোনটি?
  1. ক
    (x - y - 1)
  2. খ
    (x - y + 1)
  3. গ
    (x + y + 1)
  4. ঘ
    (- x + y - 1)
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: x2 - 1 - y(y - 2) এর একটি উৎপাদক কোনটি? 

সমাধান: 
প্রদত্ত রাশি,
x2 - 1 - y(y - 2)
= x2 - 1 - y2 + 2y
= x2 - (y2 - 2y +1)
= x2 - (y - 1)2
=(x - y + 1)(x + y - 1)
১,৪০২.
x2 + x - (a + 1) (a + 2) এর উৎপাদকে বিশ্লেষণ কোনটি?
  1. ক
    (x - a - 1)(x - a + 2) 
  2. খ
    (x - a - 1)(x + a + 2) 
  3. গ
    (x - a + 1)(x + a - 2) 
  4. ঘ
    (x + a - 1)(x - a + 2) 
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: x2 + x - (a + 1)(a + 2) এর উৎপাদকে বিশ্লেষণ কোনটি? 

সমাধান: 
x2 + x - (a + 1) (a + 2)
ধরি, a + 1 = m

প্রদত্ত রাশি = x2 + x - (a + 1) (a + 2)
= x2 + x - (a + 1) (a + 1 + 1)
= x2 + x - m (m + 1)       [a + 1 = m] 
= x2 + x - m2 - m
= x2 - m2 + x - m 
= (x + m) (x - m) + (x - m)
= (x - m) (x + m + 1) 
= {x - (a + 1)} {x + (a + 1) + 1)}
= (x - a - 1) (x + a + 1 + 1) 
= (x - a - 1) (x + a + 2)
১,৪০৩.
6x2 - 7x - 20 এর উৎপাদক হচ্ছে -
  1. ক
    (3x - 4) (2x - 5)
  2. খ
    (3x + 4) (2x + 5)
  3. গ
    (3x + 4) (2x - 5)
  4. ঘ
    (3x + 2) (2x - 5)
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 6x2 - 7x - 20 এর উৎপাদক হচ্ছে -

সমাধান:
6x2 - 7x - 20
= 6x2 - 15x + 8x - 20
= 3x(2x - 5) + 4(2x - 5)
= (3x + 4) (2x - 5)

১,৪০৪.
4x4 + 1 কে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করলে কোনটি পাওয়া যায়?
  1. ক
    (2x2 + 1)(2x2 - 1)
  2. খ
    (2x2 + 2x + 1)(2x2 - 2x + 1)
  3. গ
    (2x2 - 2x + 1)(2x2 - 2x - 1)
  4. ঘ
    (2x + 1)(2x3 + 1)
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 4x4 + 1 কে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করলে কোনটি পাওয়া যায়?

সমাধান:
4x4 + 1
= (2x2)2 + 12 
= (2x2)2 + 2.(2x2).1 +(1)2 - 4x2
= (2x2 + 1)2 - (2x)2
= (2x2 + 2x + 1)(2x2 - 2x + 1)

১,৪০৫.
x4 + 4 এর উৎপাদক কী কী?
  1. ক
    ক) (x2 + 2x - 2) (x2 - 2x - 2)
  2. খ
    খ) (x2 + 2x + 2) (x2 + 2x - 2)
  3. গ
    গ) (x2 + 2x + 2) (x2 - 2x + 2)
  4. ঘ
    ঘ) (x2 - 2x + 2) (x2 - 2x - 2)
ব্যাখ্যা
x4 + 4 
= (x2)2 + 2.x2. 2 + 22 - 4x2
= (x2 + 2)2 - (2x)2
= (x2 + 2 + 2x) (x2 + 2 - 2x)
= (x2 + 2x + 2)  (x2 - 2x + 2)
১,৪০৬.
x2 - 2x - 3 এবং x2 + x - 12 এর সাধারণ উৎপাদক কোনটি?
  1. ক
    (x - 3)
  2. খ
    (x + 3)
  3. গ
    (x - 4)
  4. ঘ
    (x + 1)
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: x2 - 2x - 3 এবং x2 + x - 12 এর সাধারণ উৎপাদক কোনটি?

সমাধান: 
x2 - 2x - 3
= x2 - 3x + x - 3
= x(x - 3) + 1(x - 3)
= (x - 3)(x + 1)

x2 + x - 12
= x2 + 4x - 3x - 12
= x(x + 4) - 3(x + 4)
= (x + 4)(x - 3)

∴ সাধারণ উৎপাদক = (x - 3)
১,৪০৭.
5x2 + 8x - 4 এর একটি উৎপাদক x + 2 হলে অপরটি কত?
  1. ক
    ক) 5x - 4
  2. খ
    খ) 5x - 2
  3. গ
    গ) x - 10
  4. ঘ
    ঘ) 2x - 5
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 5x2 + 8x - 4 এর একটি উৎপাদক x + 2 হলে অপরটি কত?

সমাধান:
5x2 + 8x - 4
= 5x2 + 10x - 2x - 4
= 5x(x + 2) - 2(x + 2)
= (x + 2) (5x - 2)

যেহেতু 5x2 + 8x - 4 এর একটি উৎপাদক x + 2 এবং অপর উৎপাদক 5x - 2.
১,৪০৮.
নিচের কোনটি f(x) = x3 - 4x2 + 6x - 4 এর একটি উৎপাদক?
  1. ক
    ক) x + 1
  2. খ
    খ) x - 1
  3. গ
    গ) x + 2
  4. ঘ
    ঘ) x - 2
ব্যাখ্যা
f(x) = x3 - 4x2 + 6x - 4 
f(2) = 23 - 4(22) + 6 × 2 - 4 = 8 - 16 + 12 - 4 = 0
অতএব, (x - 2), f(x) এর একটি উৎপাদক।
১,৪০৯.
mx2 + (m2 + 2)x + 2m এর সঠিক উৎপাদকে বিশ্লেষণ হলো-
  1. ক
    ক) (x - m) (mx - 2)
  2. খ
    খ) (x + m) (mx + 1)
  3. গ
    গ) (x + m) (mx + 2)
  4. ঘ
    ঘ) (m - x) (mx - 2)
ব্যাখ্যা
mx2 + (m2 + 2)x + 2m 
mx2 + m2x + 2x + 2m
mx(x + m) + 2 (x + m)
(x + m) (mx + 2)
১,৪১০.
(x - 2)(x + 3) + 4 এর উৎপাদক কোনটি?
  1. ক
    (x + 2)(x - 1)
  2. খ
    (x + 3)(x - 2)
  3. গ
    (x + 4)(x - 1)
  4. ঘ
    (x - 3 )(x + 1)
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: (x - 2)(x + 3) + 4 এর উৎপাদক কোনটি?

সমাধান:
(x - 2)(x + 3) + 4
= x2 + 3x - 2x - 6 + 4
= x2  + x - 2
= x2 + 2x - x - 2
= x(x + 2) - 1(x + 2)
= (x + 2)(x - 1)
১,৪১১.
x3 - x - 6 এর উৎপাদকে বিশ্লেষিত রূপ নিচের কোনটি?
  1. ক
    ক) (x + 2) (x2 + 2x + 3)
  2. খ
    খ) (x - 2) (x2 + 2x - 3)
  3. গ
    গ) (x + 2) (x2 - 2x - 3)
  4. ঘ
    ঘ) (x - 2) (x2 + 2x + 3)
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: x3 - x - 6 এর উৎপাদকে বিশ্লেষিত রূপ নিচের কোনটি?

সমাধান:
f(x) = x3 - x - 6
∴ f(2) = 23 - 2 - 6
= 8 - 8
= 0
(x - 2), f(x) এর একটি উৎপাদক।
x3 - x - 6
= x3 - 2x2 + 2x2 - 4x + 3x - 6
= x2 (x - 2) + 2x (x - 2) + 3 (x - 2)
= (x - 2) (x2 + 2x + 3)
১,৪১২.
3x3 - 4x2 + 2x + 5 থেকে কত বিয়োগ করলে উক্ত রাশিটি (x - 1) দ্বারা নিঃশেষে বিভাজ্য হবে?
  1. ক
    4
  2. খ
    6
  3. গ
    7
  4. ঘ
    11
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 3x3 - 4x2 + 2x + 5 থেকে কত বিয়োগ করলে উক্ত রাশিটি (x - 1) দ্বারা নিঃশেষে বিভাজ্য হবে?

সমাধান:
যে রাশিতে (x - 1) = 0 বা, x = 1 বসালে রাশিটির মান শূণ্য হয় সে রাশিটি (x - 1) দ্বারা নিঃশেষে বিভাজ্য হবে।

f(x) = 3x3 - 4x2 + 2x + 5
∴ f(1) = 3(1)3 - 4(1)2 + 2(1) + 5
= 3 - 4 + 2 + 5
= 6

∴ রাশিটি থেকে 6 বিয়োগ করলে (x - 1) দ্বারা নিঃশেষে বিভাজ্য হবে।

১,৪১৩.
a + b = 13 এবং a - b = 3 হলে, 2a2 + 2b2 এর মান কত?
  1. ক
    40
  2. খ
    138
  3. গ
    178
  4. ঘ
    208
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: a + b = 13 এবং a - b = 3 হলে, 2a2 + 2b2 এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
a + b = 13 
a - b = 3

এখন,
2a2 + 2b2
= 2(a2 + b2)
= {(a + b)2 + (a - b)2} 
= (132 + 32) 
= (169 + 9)
= 178

∴ 2a2 + 2b2  এর মান 178
১,৪১৪.
x2 - y2 + 4y - 4 এর একটি উৎপাদক কোনটি?
  1. ক
    x + y + 2
  2. খ
    x - y - 2
  3. গ
    x - 2y + 1
  4. ঘ
    x + y - 2
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: x2 - y2 + 4y - 4 এর একটি উৎপাদক কোনটি?

সমাধান: 
x2 - y2 + 4y - 4 
= x2 - (y2 - 4y + 4) 
= x2 - {(y)2 - 2. y. 2 + (2)2} 
= x2 - (y - 2)2 
= {x + (y - 2)} {x - (y - 2)} 
= (x + y - 2) (x - y + 2)
১,৪১৫.
a3 - 6a2 + 12a - 9 এর একটি উৎপাদক নিচের কোনটি?
  1. ক
    ক) a - 2
  2. খ
    খ) a + 3
  3. গ
    গ) a - 3
  4. ঘ
    ঘ) a + 2
ব্যাখ্যা
ধরি 
f(a) = a3 - 6a2 + 12a - 9 
f(3) = 33 - 6 × 32 + 12 × 3  - 9
      = 27 - 6 × 9 + 36 - 9
      = 27 - 54 + 36 - 9 
      = 63 - 63 
      = 0 
a - 3 , f(a) এর একটি উৎপাদক। 
১,৪১৬.
x2 - 12x + Q বহুপদী রাশিটি যদি x - 7 দ্বারা বিভাজ্য হয়, তবে Q এর মান কত হবে?
  1. ক
    28
  2. খ
    35
  3. গ
    42
  4. ঘ
    38
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: x2 - 12x + Q বহুপদী রাশিটি যদি x - 7 দ্বারা বিভাজ্য হয়, তবে Q এর মান কত হবে?

সমাধান:
ধরি,
f(x) = x2 - 12x + Q
ভাগশেষ উপপাদ্য অনুযায়ী,
যদি বহুপদীটি x - 7 দ্বারা বিভাজ্য হয়, তবে f(7) = 0 হবে।

∴ (7)2 - 12 × 7 + Q = 0
⇒ 49 - 84 + Q = 0
⇒ - 35 + Q = 0
⇒ Q = 35

সুতরাং, Q এর মান 35

১,৪১৭.
2x4 - 17x2 + 35 এর একটি উৎপাদক নয় কোনটি?
  1. ক
    (x + √5)
  2. খ
    (x√2 - √7)
  3. গ
    (x - √5)
  4. ঘ
    (x - 2√5)
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 2x4 - 17x2 + 35 এর একটি উৎপাদক নয় কোনটি?

সমাধান:
2x4 - 17x2 + 35
= 2x4 - 10x2 - 7x2 + 35
= 2x2(x2 - 5) - 7(x2 - 5)
= (x2 - 5)(2x2 - 7)
= {x2 - (√5)2}{(x√2)2 - (√7)2}
= (x + √5)(x - √5)(x√2 + √7)(x√2 - √7)
১,৪১৮.
a3 + 3√3, a3 - 3√3, a4 + 3a2 + 9 এর লসাগু কত?
  1. ক
    1
  2. খ
    a4 + 3a2 + 9
  3. গ
    a2 - 9
  4. ঘ
    a6 - 27
ব্যাখ্যা
a3 + 3√3
= a3 + (√3)3
= (a + √3)(a2 - a√3 + 3)

a3 - 3√3
= a3 - (√3)3
= (a - √3)(a2 + a√3 + 3) 

a4 + 3a2 + 9
= (a2)2 + 6a2 + 9 - 3a2
= (a2 + 3)2 - 3a2
= (a2 + 3)2 - (√3a)2
= (a2 + a√3 + 3)(a2 - a√3 + 3)

নির্ণেয় লসাগু
= (a + √3)(a2 - a√3 + 3)(a - √3)(a2 + a√3 + 3)
= (a3 + 3√3)(a3 - 3√3)
= a6 - (3√3)2
= a6 - 27
১,৪১৯.
logp√2 = 1/6 হলে a এর মান কত?
  1. ক
    3
  2. খ
    2
  3. গ
    8
  4. ঘ
    4
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: logp√2 = 1/6 হলে p এর মান কত?

সমাধান:
logp√2 = 1/6 
⇒ p(1/6) = √2
⇒ p(1/3 × 1/2) = 21/2
⇒ p1/3  = 2
⇒ p = 23
∴ p = 8
১,৪২০.
2a - 32a3 এর একটি উৎপাদক নয় কোনটি?
  1. ক
    2a
  2. খ
    1 - 4a
  3. গ
    2a - 1
  4. ঘ
    1 + 4a
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 2a - 32a3 এর একটি উৎপাদক নয় কোনটি?

সমাধান:
2a - 32a3
= 2a(1 - 16a2)
= 2a{12 - (4a)2}
= 2a(1 + 4a)(1 - 4a)
১,৪২১.
নিচের কোনটি a3 + 3a + 36 এর একটি উৎপাদক-
  1. ক
    (a + 3)
  2. খ
    (a - 3)
  3. গ
    (a + 2)
  4. ঘ
    (a - 2)
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: নিচের কোনটি a3 + 3a + 36 এর একটি উৎপাদক- 

সমাধান:
মনে করি,
f(a)= a3 + 3a + 36
 f( - 3)= (-3)3 + 3 · (-3) + 36
= - 27 - 9 + 36
= 0
∴(a + 3), f(a) এর একটি উৎপাদক
১,৪২২.
p4 - 27p2 + 1 এর উৎপাদক কত?
  1. ক
    (p2 + 5p - 1)(p2 - 5p - 1)
  2. খ
    (p2 - 5p + 1)(p2 - 5p - 1)
  3. গ
    (p2 + 5p - 1)(p2 + 5p + 1)
  4. ঘ
    (p2 + 5p - 1)(p2 + 5p - 1)
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: p4 - 27p2 + 1 এর উৎপাদক কত? 

সমাধান: 
p4 - 27p2 + 1 
= (p2)2 - 2.p2.1 + (1)2 - 25p2 
= (p2 - 1)2 - (5p)2
= (p2 - 1 + 5p) (p2 - 1 - 5p) 
= (p2 + 5p - 1) (p2 - 5p - 1)
১,৪২৩.
a4 - 5a3 + 7a2 - x বহুপদীর একটি উৎপাদক a - 2 হলে, x এর মান কত?
  1. ক
    6
  2. খ
    4
  3. গ
    2
  4. ঘ
    1
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: a4 - 5a3 + 7a2 - x বহুপদীর একটি উৎপাদক a - 2 হলে, x এর মান কত?

সমাধান:
 বহুপদীর একটি উৎপাদক a - 2 হলে p(a) = 0 হয়
∴ a - 2 = 0
⇒ a = 2

ধরি,
p(a) = a4 - 5a3 + 7a2 - x
∴ p(2) = 24 - 5 ⋅ 23 + 7 ⋅ 22 - x
⇒ 0 = 16 - 40 + 28 - x
⇒ 0 = 4 - x
∴ x = 4
১,৪২৪.
কোনটি x3 - 6x2 + 11x - 6 এর উৎপাদক নয়?
  1. ক
    ক) x - 1
  2. খ
    খ) x - 2
  3. গ
    গ) x - 3
  4. ঘ
    ঘ) x - 4
ব্যাখ্যা

এখানে,
f(x) = x3 - 6x2 + 11x - 6
f(4) = 64 - 96 + 44 - 6
= 6
∴ x - 4, f(x) এর উৎপাদক নয়।

১,৪২৫.
a3 - 21a - 20 রাশিটির উৎপাদক নিচের কোনটি?
  1. ক
    (a + 2)(a + 3)(a - 6)
  2. খ
    (a + 7)(a - 2)
  3. গ
    (a + 3)(a + 2)(a - 7)
  4. ঘ
    (a + 1)(a + 4)(a - 5)
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: a3 - 21a - 20 রাশিটির উৎপাদক নিচের কোনটি?

সমাধান:
a3 - 21a - 20
= a3 + a2 - a2 - a - 20a - 20
= a2(a + 1) - a(a + 1) - 20(a + 1)
= (a + 1)(a2 - a - 20)
= (a + 1)(a2 - 5a + 4a - 20)
= (a + 1){a(a - 5) + 4(a - 5)}
= (a + 1)(a + 4)(a - 5)

১,৪২৬.
 x4 + 7x3 + 17x2 + 17x + 6 এর একটি উৎপাদক?
  1. ক
    (x + 1)
  2. খ
    (x + 4)
  3. গ
    (x - 4)
  4. ঘ
    (x - 1)
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন:  x4 + 7x3 + 17x2 + 17x + 6 এর একটি উৎপাদক?

সমাধান:
x4 + 7x3 + 17x2 + 17x + 6
= x4 + x3 + 6x3 + 6x2 + 11x2 + 11x + 6x + 6
=  x3 (x + 1) + 6x2 (x + 1) + 11x (x + 1) + 6( x + 1)
= ( x + 1 ) ( x3 + 6x2 + 11x + 6)
∴ একটি উৎপাদ  ( x + 1 )
১,৪২৭.
x³ - 8(x - y)³ এর উৎপাদক কোনটি?
  1. ক
    ক) (-x + y)(7x² - 10xy + 4y²)
  2. খ
    খ) (-x + 2y)(7x4 - 10xy + 4y4)
  3. গ
    গ) (-x + 2y)(7x² - 10xy + 4y²)
  4. ঘ
    ঘ) (x - 2y)(7x² - 10xy + 4y²)
ব্যাখ্যা

x³ - 8(x - y)³
= x³ - (2x - 2y)³
= (x - 2x + 2y){(x² + x(2x - 2y) + (2x - 2y)²}
= (-x + 2y)(x2 + 2x2 - 2xy + 4x2 - 8xy + 4y2)
= (-x + 2y)(7x² - 10xy + 4y²)

১,৪২৮.
y3 - 2√2 এর একটি উৎপাদক নিচের কোনটি?
  1. ক
    y + √2
  2. খ
    (y2 + 2√2 + 2)
  3. গ
    y - 2
  4. ঘ
    y - √2
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: y3 - 2√2 এর একটি উৎপাদক নিচের কোনটি?

সমাধান:
y3 - 2√2
= y3 - (√2)3
= (y - √2)(y2 + y√2 + (√2)2)
= (y - √2)(y2 + y√2 + 2)

১,৪২৯.
x2 + x - (a + 1) (a + 2) উৎপাদকে বিশ্লেষণ করুন।
  1. ক
    ক) {x - a + 2) (x - a - 1)
  2. খ
    খ) {x + a - 1) (x + a + 2)
  3. গ
    গ) {x + a + 2) (x - a - 1)
  4. ঘ
    ঘ) {x + a + 1) (x - a - 2)
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: x2 + x - (a + 1) (a + 2) উৎপাদকে বিশ্লেষণ করুন।

সমাধান:
x2 + x - (a + 1) (a + 2)
= x2 + x - (a + 1)(a + 1 + 1)
= x2 + x - m(m + 1)  [ধরি m = a + 1]
= x2 + x - m2 - m
= x2 - m2 + x - m
= (x + m)(x - m) + 1(x - m)
= (x - m)(x + m + 1)
= {x - (a + 1)}{x + (a + 1) + 1}
= (x - a - 1)(x + a + 2)
১,৪৩০.
2a2 + 3a - 2 এর সঠিক উৎপাদকে বিশ্লেষণ হলো-
  1. ক
    ক) (a - 2)(2a + 1)
  2. খ
    খ) (a - 2)(2a - 1)
  3. গ
    গ) (a + 2)(2a - 1)
  4. ঘ
    ঘ) (a + 1)(a - 2)
ব্যাখ্যা
2a2 + 3a - 2
= 2a2 + 4a - a - 2 
= 2a(a+ 2) - 1(a - 2) 
= (a + 2)(2a - 1)
১,৪৩১.
p2 - 1 - y(y - 2) এর উৎপাদক কত?
  1. ক
    (p + y - 1) (p - y + 1)
  2. খ
    (p + y - 1) (p - y + 2)
  3. গ
    (p + y - 2) (p - y + 1)
  4. ঘ
    (p + y - 3) (p - y + 1)
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: p2 - 1 - y(y - 2) এর উৎপাদক কত?
 
সমাধান: 
p2 - 1 - y (y - 2)
= p2 - 1 - y2 + 2y 
= p2 - (y2 - 2y + 1) 
= p2 - (y - 1)2
= (p + y - 1) (p - y + 1)
১,৪৩২.
(1 + √7) ও (1 - √7) মূলবিশিষ্ট সমীকরণ নিচের কোনটি?
  1. ক
    ক) x2 + 2x - 6 = 0
  2. খ
    খ) x2 - 2x - 6 = 0
  3. গ
    গ) x2 - 2x - 4 = 0
  4. ঘ
    ঘ) x2 - 3x - 5 = 0
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: (1 + √7) ও (1 - √7) মূলবিশিষ্ট সমীকরণ নিচের কোনটি?

সমাধান:
মনে করি,
মূলদ্বয়, α = 1 + √7 এবং β = 1 - √7
মূলদ্বয়ের যোগফল, α +  β = 1 + √7 + 1 - √7
∴ α +  β = 2

মূলদ্বয়ের গুণফল, αβ = (1 + √7) . (1 - √7)
= (1)2 - (√7)2
= 1 - 7
∴ αβ = - 6

∴ নির্ণেয় সমীকরণ x2 - (α +  β) x + αβ = 0
বা, x2 - 2x - 6 = 0

∴ নির্ণেয় সমীকরণ, x2 - 2x - 6 = 0
১,৪৩৩.
(a + 1) নিচের কোন রাশির উৎপাদক?
  1. ক
    a3 - 20a - 20
  2. খ
    a3 - 21a - 20
  3. গ
    a3 + 21a - 20
  4. ঘ
    a3 + 20a - 20
ব্যাখ্যা
a + 1 = 0
⇒ a = - 1
a = - 1 হলে, a3 - 21a - 20 = - 1 + 21 - 20 = 0;  অতএব, (a + 1), a3 - 21a - 20 এর উৎপাদক।
a = - 1 হলে, a3 - 20a - 20 = - 1 + 20 - 20 = - 1
a = - 1 হলে, a3 + 21a - 20 = - 1 - 21 - 20 = - 42
a = - 1 হলে, a3 + 20a - 20 = - 1 - 20 - 20 = - 41
১,৪৩৪.
a2 - 5a + 6 = 0 সমীকরণের মূল দুইটি কত?
  1. ক
    ক) - 2, - 3
  2. খ
    খ) - 2, 3
  3. গ
    গ) 2, - 3
  4. ঘ
    ঘ) 2, 3
ব্যাখ্যা
a2 - 5a + 6 = 0 
⇒ a2 - 3a - 2a + 6 = 0
⇒ a(a - 3) - 2(a - 3) = 0
⇒ (a - 3)(a - 2) = 0
⇒ a = 2,3
১,৪৩৫.
নিচের কোনটি 9a4 - 28a2 + 3 এর একটি উৎপাদক নয়?
  1. ক
    (3a - 1)
  2. খ
    (a2 - 3)
  3. গ
    (3a + 1)
  4. ঘ
    (a2 + 3)
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: নিচের কোনটি 9a4 - 28a2 + 3 এর একটি উৎপাদক নয়?

সমাধান:
9a4 - 28a2 + 3
= 9a4 - 27a2 - a2 + 3
= 9a2(a2 - 3) - 1(a2 - 3)
= (a2 - 3)(9a2 - 1)
= (a2 - 3){(3a)2 - 12}
= (a2 - 3)(3a + 1)(3a - 1)
১,৪৩৬.
k এর মান কত হলে  a2 + 4a - 7 + k = 0 সমীকরণ এর একটি উৎপাদক (a + 2)  হবে?
  1. ক
    - 5
  2. খ
    5
  3. গ
    - 11
  4. ঘ
    11
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: k এর মান কত হলে  a2 + 4a - 7 + k = 0 সমীকরণ এর একটি উৎপাদক (a + 2)  হবে?


সমাধান:
দেওয়া আছে,
a2 + 4a - 7 + k = 0
যদি (a + 2), f(a) এর একটি উৎপাদক হয়, তাহলে f(- 2) = 0 হবে।

এখন,
f(- 2) = 0
⇒ (- 2)2 + 4(- 2) - 7 + k = 0
⇒ 4 - 8 - 7 + k = 0
⇒ -11 + k = 0
∴  k = 11

১,৪৩৭.
x3 - 7x - 6 এর উৎপাদক কোনটি?
  1. ক
    (x - 1) (x - 2) (x - 3)
  2. খ
    (x - 1) (x + 2) (x - 3)
  3. গ
    (x + 1) (x + 2) (x - 3)
  4. ঘ
    (x + 1) (x - 2) (x - 3)
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: x3 - 7x - 6 এর উৎপাদক কোনটি?

সমাধান: 
 x3 - 7x - 6
= x3 + x2 - x2 - x - 6x - 6
= x2 (x + 1) - x (x + 1) - 6 (x + 1) 
= (x + 1) (x2 - x - 6)
= (x + 1) (x2 - 3x + 2x - 6)
= (x + 1) {x (x - 3) + 2 (x - 3)}
= (x + 1) (x - 3) (x + 2)

∴ নির্ণেয় উৎপাদক = (x + 1) (x + 2) (x - 3) ।
১,৪৩৮.
x2 + 7x - 60 রাশিটি x - a দ্বারা বিভাজ্য হলে a = ?
  1. ক
    -5
  2. খ
    5
  3. গ
    12
  4. ঘ
    6
ব্যাখ্যা

f(x) = x2 + 7x - 60,
x - a দ্বারা বিভাজ্য
∴ f(a) = a2 + 7a - 60 = 0
বা, a2 + 12a - 5a - 60 = 0
বা, a(a + 12) - 5(a + 12) = 0
বা, (a + 12)(a - 5) = 0
∴ a = -12, 5

১,৪৩৯.
4x2 - 5x - 6 এর একটি উৎপাদক হলো-
  1. ক
    (x + 4)
  2. খ
    (2x + 1)
  3. গ
    (3x - 1)
  4. ঘ
    (4x + 3)
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 4x2 - 5x - 6 এর একটি উৎপাদক হলো-

সমাধান:
4x2 - 5x - 6
= 4x2 - 8x + 3x - 6
= 4x(x - 2) + 3(x - 2)
= (x - 2)(4x + 3)
১,৪৪০.
(a2 - b2) (x2 - y2) + 4abxy এর উৎপাদক কত?
  1. ক
    (ax + by + ay + bx) (ax - by - ay + bx) 
  2. খ
    (ax - by + ay - bx) (ax + by - ay - bx) 
  3. গ
    (ax + by + ay - bx) (ax + by - ay + bx) 
  4. ঘ
    (ax - by - ay + bx) (ax - by + ay - bx) 
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: (a2 - b2) (x2 - y2) + 4abxy এর উৎপাদক কত? 

সমাধান:
(a2 - b2) (x2 - y2) + 4abxy
= a2x2 - a2y2 - b2x2 + b2y2 + 2abxy + 2abxy 
= (a2x2 + 2abxy + b2y2) - (a2y2 - 2abxy + b2x2) 
= (ax + by)2 - (ay - bx)2 
= (ax + by + ay - bx) (ax + by - ay + bx)
১,৪৪১.
2x2 - xy - 6y2 এর একটি উৎপাদক -
  1. ক
    ক) 2x +2y
  2. খ
    খ) x + 2y
  3. গ
    গ) x - 2y
  4. ঘ
    ঘ) 2x - 3y
ব্যাখ্যা

2x2 - xy - 6y2
= 2x2 - 4xy + 3xy -6y2
= 2x(x - 2y) + 3y(x - 2y)
= (x - 2y)(2x + 3y)

১,৪৪২.
x3 - x এর উৎপাদকে বিশ্লেষণ কোনটি?
  1. ক
    ক) (x - 1) (x2 + 1 + x)
  2. খ
    খ) (x + 1) (x2 - x + 1)
  3. গ
    গ) x(x + 1) (x - 1)
  4. ঘ
    ঘ) x(x - 1) (x - 1)
ব্যাখ্যা
x3 - x
= x(x2 - 1) [a2 - b2 = (a + b) (a - b)]
= x(x + 1) (x - 1)
১,৪৪৩.
(1−x2) / (1+x) এর লঘিষ্ঠ রুপ নিচের কোনটি?
  1. ক
    ক) 1
  2. খ
    খ) x
  3. গ
    গ) (1-x)
  4. ঘ
    ঘ) (1+x)
ব্যাখ্যা

(1−x2) / (1+x)
= [(1+x) (1-x)] / (1+x) = (1-x)

১,৪৪৪.
a2 + 2ab + 2b -1 এর উৎপাদকে বিশ্লেষণ করলে কত হয়?
  1. ক
    (a - 2b - 1)(a + 1)
  2. খ
    (a + 2b - 1)(a + 1)
  3. গ
    (a + 2b + 1)(a + 1)
  4. ঘ
    (a - 2b - 1)(a - 1)
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: a2 + 2ab + 2b -1 এর উৎপাদকে বিশ্লেষণ করলে কত হয়?

সমাধান: 
a2 + 2ab + 2b -1
= a2 + 2ab + b2 - b2 + 2b -1
= (a + b)2 - (b2 - 2.b.1 + 12)
= (a + b)2 - (b - 1)2
= (a + b + b - 1)(a + b - b +1)
= (a +2b - 1)(a + 1)
১,৪৪৫.
নিচের কোনটি 75x3 - 3x এর উৎপাদক নয়?
  1. ক
    5x
  2. খ
    (5x - 1)
  3. গ
    (5x + 1)
  4. ঘ
    3x
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: নিচের কোনটি 75x3 - 3x এর উৎপাদক নয়?

সমাধান:
75x3 - 3x
= 3x(25x2 - 1)
= 3x{(5x)2 - 12}
= 3x(5x + 1)(5x - 1)
১,৪৪৬.
x4 - 2x3 - 21x2 + 22x + 40 এর উৎপাদকে বিশ্লেষণ নিচের কোনটি?
  1. ক
    (x + 1)(x3 - 3x2 - 18x + 40)
  2. খ
    (x + 1)(x3 + 3x2 + 18x + 40)
  3. গ
    (x + 1)(x3 + 3x2 + 18x - 40)
  4. ঘ
    (x - 1)(x3 - 3x2 - 18x + 40)
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: x4 - 2x3 - 21x2 + 22x + 40 এর উৎপাদকে বিশ্লেষণ নিচের কোনটি?

সমাধান:
ধরি,
f(x) = x4 - 2x3 - 21x2 + 22x + 40

এখানে,
f(- 1) = 1 + 2 - 21 - 22 + 40 =0
অর্থাৎ, বহুপদী f(x) এর x - (-1) = x +1 একটি উৎপাদক।

তাহলে,
x4 - 2x3 - 21x2 + 22x + 40
= x4 + x3 - 3x3 - 3x2 - 18x2 - 18x + 40x + 40
= x3(x + 1) - 3x2(x + 1) - 18x(x + 1) + 40(x + 1)
= (x + 1)(x3 - 3x2 - 18x + 40)
১,৪৪৭.
নিচের কোনটি (4p2 - 6p - 40) এবং (p2 + 2p - 24) এর একটি সাধারণ উৎপাদক?
  1. ক
    (p - 3)
  2. খ
    (p - 4)
  3. গ
    (p + 2)
  4. ঘ
    (p - 8)
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: নিচের কোনটি (4p2 - 6p - 40) এবং (p2 + 2p - 24) এর একটি সাধারণ উৎপাদক?

সমাধান:
১ম রাশি:
4p2 - 6p - 40
= 4p2 - 16p + 10p - 40
= 4p(p - 4) + 10(p - 4)
= (p - 4)(4p + 10)

২য় রাশি:
p2 + 2p - 24
= p2 + 6p - 4p - 24
= p(p + 6) - 4(p + 6)
= (p - 4)(p + 6)

প্রদত্ত রাশি দুইটির সাধারণ উৎপাদক (p - 4)
১,৪৪৮.
x3 - x এর উৎপাদকে বিশ্লেষণ কোনটি?
  1. ক
    (x - 1) (x2 + 1 + x)
  2. খ
    (x + 1) (x2 - x + 1)
  3. গ
    x(x + 1) (x - 1)
  4. ঘ
    x(x - 1) (x - 1)
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: x3 - x এর উৎপাদকে বিশ্লেষণ কোনটি?

সমাধান:
x3 - x
= x(x2 - 1)
= x(x + 1) (x - 1)
১,৪৪৯.
a2 + 3a - 40 এর উৎপাদক কোনটি ?
  1. ক
    ক) (a - 8) (a + 5)
  2. খ
    খ) (a + 8) (a - 5)
  3. গ
    গ) (a - 8) (a - 5)
  4. ঘ
    ঘ) (a + 10) (a - 4)
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: a2 + 3a - 40 এর উৎপাদক কোনটি ?

সমাধান: 
a2 + 3a - 40
= (a2  + 8a - 5a - 40)
= {a(a + 8) - 5(a + 8)}
= (a + 8) (a - 5)
১,৪৫০.
3x3 + 2x2 - 21x - 20 রাশিটির উৎপাদকে বিশ্লেষণ নিচের কোনটি?
  1. ক
    (x + 1)(3x2 - x - 20)
  2. খ
    (x - 1)(3x2 - x - 20)
  3. গ
    (x - 1)(3x2 + x + 20)
  4. ঘ
    (x + 2)(3x2 - x + 20)
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 3x3 + 2x2 - 21x - 20 রাশিটির উৎপাদকে বিশ্লেষণ নিচের কোনটি?

সমাধান:
ধরি,
f(x) = 3x3 + 2x2 - 21x - 20
∴ f(- 1) = 3 . (- 1)3 + 2 . (- 1)2 - 21.(- 1) - 20
= - 3 + 2 + 21 - 20
= 0
∴ (x + 1), f(x) এর একটি উৎপাদক।
 
এখন,
3x3 + 2x2 - 21x - 20
= 3x3 + 3x2 - x2 - x - 20x - 20
= 3x2(x + 1) - x(x + 1) - 20(x + 1)
= (x +1)(3x2 - x - 20)
১,৪৫১.
3x²-16x-12 এর উৎপাদকে বিশ্লেষণ-
  1. ক
    ক) (3x-2) (x+6)
  2. খ
    খ) (3x-2) ( x-6)
  3. গ
    গ) (x-6) (3x+2)
  4. ঘ
    ঘ) 3(x-6) (x-2)
ব্যাখ্যা

3x²-16x-12
= 3x2+2x−18x−12
= x(3x+2)−6(3x+2)
= (3x+2)(x−6)

১,৪৫২.
নিচের কোনটি 12m2 + 7m - 10 এর একটি উৎপাদক?
  1. ক
    3m + 1
  2. খ
    3m - 4
  3. গ
    4m + 5
  4. ঘ
    4m - 2
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: নিচের কোনটি 12m2 + 7m - 10 এর একটি উৎপাদক? 

সমাধান:
12m2 + 7m - 10
= 12m2 + 15m - 8m - 10
= 3m(4m + 5) - 2(4m + 5)
= (4m + 5)(3m - 2)
১,৪৫৩.
4a2 + 23a - 6 এর উৎপাদকে বিশ্লেষণ নিচের কোনটি?
  1. ক
    ক) (a - 6)(4a + 1)
  2. খ
    খ) (a + 6)(4a + 1)
  3. গ
    গ) (a + 6)(4a - 1)
  4. ঘ
    ঘ) (a - 6)(4a - 1)
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 4a2 + 23a - 6 এর উৎপাদকে বিশ্লেষণ নিচের কোনটি?

সমাধান:
4a2 + 23a - 6 
= 4a2 + 24a - a - 6
= 4a(a + 6) - 1(a + 6)
= (a + 6) (4a - 1)
১,৪৫৪.
x(x + 1)(x + 2)(x + 3) + 1 -কে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করুন।
  1. ক
    (x2 + 3x + 1)2
  2. খ
    (x + 1)4
  3. গ
    (x2 + 2x + 1)2
  4. ঘ
    (x2 + 3x)2
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: x(x + 1)(x + 2)(x + 3) + 1 -কে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করুন।

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
x(x + 1)(x + 2)(x + 3) + 1
= x(x + 3){(x + 1)(x + 2)} + 1
= (x2 + 3x)(x2 + 3x + 2) + 1

ধরি, 
x2 + 3x = P

প্রদত্ত রাশি, 
P(P + 2) + 1
= P2 + 2P + 1
= (P + 1)2
= (x2 + 3x + 1)2 ; [P এর মান বসিয়ে]

১,৪৫৫.
x2 - 3x - 2 কে x + 1 দ্বারা ভাগ করলে ভাগশেষ কত থাকবে?
  1. ক
    0
  2. খ
    - 2
  3. গ
    1
  4. ঘ
    2
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: x2 - 3x - 2 কে x + 1 দ্বারা ভাগ করলে ভাগশেষ কত থাকবে?

সমাধান: 
x + 1 = 0 
∴ x = - 1

এখন, 
x = - 1 বসিয়ে পাই, 
x2 - 3x - 2
= (- 1)2 - 3 × (- 1) - 2
= 1 + 3 - 2 
= 4 - 2 
= 2 
∴ 2, অবশিষ্ট থাকবে।
১,৪৫৬.
x2+7x+12 = 0 সমীকরণটির উৎপাদক -
  1. ক
    ক) (x+3)(x+4)
  2. খ
    খ) (x+3)(x-4)
  3. গ
    গ) (x-3)(x+4)
  4. ঘ
    ঘ) (x-3)(x-4)
ব্যাখ্যা
x2+7x+12 = x2+4x+3x+12 = x(x+4) + 3(x+4) = (x+3)(x+4)
১,৪৫৭.
নিচের কোনটি (9a2 - 24ab + 16b2 - 25c2) এর একটি উৎপাদক?
  1. ক
    (3a - 2b + 5c)
  2. খ
    (3a - 4b - 5c)
  3. গ
    (3a + 4b - 6c)
  4. ঘ
    (2a - 4b + 5c)
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: নিচের কোনটি (9a2 - 24ab + 16b2 - 25c2) এর একটি উৎপাদক?

সমাধান:
9a2 - 24ab + 16b2 - 25c2
= (3a)2 - 2 · 3a · 4b + (4b)2 - (5c)2
= (3a - 4b)2 - (5c)2
= (3a - 4b - 5c)(3a - 4b + 5c)
১,৪৫৮.
x4 - 5x3 + 7x2 - a বহুপদীর একটি উৎপাদক x - 2 হলে a এর মান নিচের কোনটি?
  1. ক
    ক) 2
  2. খ
    খ) 4
  3. গ
    গ) 6
  4. ঘ
    ঘ) 8
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: x4 - 5x3 + 7x2 - a বহুপদীর একটি উৎপাদক x - 2 হলে a এর মান নিচের কোনটি?

সমাধান:
ধরি, f(x) = x4 - 5x3 + 7x2 - a
যেহেতু, (x - 2), f(x) এর একটি উৎপাদক।
∴ x - 2 = 0
⇒ x = 2

∴ x = 2 হলে f(x) এর মান শূন্য হবে।

এখানে,
f(x) = x4 - 5x3 + 7x2 - a
∴ f(2) = 24 - 5 . (2)3 + 7 . (2)2 - a
= 16 - 40 + 28 - a
= 4 - a

শর্তমতে,
f(2) = 0
∴ 4 - a = 0
a = 4
১,৪৫৯.
f(x) = ax2 - (a - 1)x - (a + 2); যদি x + 1, দ্বারা f(x) নিঃশেষে বিভাজ্য হয় তবে a = ?
  1. ক
    ক) -2
  2. খ
    খ) -3
  3. গ
    গ) 2
  4. ঘ
    ঘ) 3
ব্যাখ্যা

x + 1, দ্বারা f(x) নিঃশেষে বিভাজ্য হলে f(-1) = 0
বা, a(-1)2 - (a - 1)(-1) - (a + 2) = 0
বা, a + a - 1 - a - 2 = 0
বা, a - 3 = 0
∴ a = 3

১,৪৬০.
2x2 - 5x + 3 এর উৎপাদকে বিশ্লেষিত রূপ কোনটি?
  1. ক
    (2x - 3)(x - 1)
  2. খ
    (3x - 2)(x - 2)
  3. গ
    (2x + 3)(x - 2)
  4. ঘ
    (x - 3)(x + 1)
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 2x2 - 5x + 3 এর উৎপাদকে বিশ্লেষিত রূপ কোনটি?

সমাধান:
2x2 - 5x + 3
= 2x2 - 3x - 2x + 3
= x(2x - 3) - 1(2x - 3)
= (2x - 3)(x - 1)
১,৪৬১.
নিচের কোনটি 2a2 - a - 15 এর একটি উৎপাদক?
  1. ক
    a - 1
  2. খ
    a - 2
  3. গ
    a - 3
  4. ঘ
    a - 4
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: নিচের কোনটি 2a2 - a - 15 এর একটি উৎপাদক?

সমাধান:
2a2 - a - 15
= 2a2 - 6a + 5a - 15
= 2a(a - 3) + 5(a - 3)
= (a - 3)(2a + 5)
১,৪৬২.
a3 - 6a2 + 12a - 9 এর একটি উৎপাদক (a2 - 3a + 3) হলে অপর উৎপাদকটি হবে-
  1. ক
    a - 1
  2. খ
    a - 2
  3. গ
    a - 3
  4. ঘ
    a - 4
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: a3 - 6a2 + 12a - 9 এর একটি উৎপাদক (a2 - 3a + 3) হলে অপর উৎপাদকটি হবে-

সমাধান:
a3 - 6a2 + 12a - 9
= a3 - 3 ⋅ a2 ⋅ 2 + 3 ⋅ a ⋅ 22 - 23 - 1
= (a - 2)3 - 13
= (a - 2 - 1) {(a - 2)2 + (a - 2) ⋅ 1 + 12}
= (a - 3) (a2 - 4a + 4 + a - 2 + 1)
= (a - 3) (a2 - 3a + 3)
১,৪৬৩.
a(a + 1)(a + 2)(a + 3) + 1 -কে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করুন।
  1. ক
    (a2 + 2a + 1)2
  2. খ
    (a2 + 4a + 1)2
  3. গ
    (a + 1)4
  4. ঘ
    (a2 + 3a + 1)2
  5. ঙ
    (a2 + 3a)2
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: a(a + 1)(a + 2)(a + 3) + 1 -কে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করুন।

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
a(a + 1)(a + 2)(a + 3) + 1
= a(a + 3){(a + 1)(a + 2)} + 1
= (a2 + 3a)(a2 + 3a + 2) + 1

ধরি, 
a2 + 3a = P

প্রদত্ত রাশি, 
P(P + 2) + 1
= P2 + 2P + 1
= (P + 1)2
= (a2 + 3a + 1)2 ; [P এর মান বসিয়ে]

১,৪৬৪.
2x3 + 3x2 - 5x + 7 থেকে কত বিয়োগ করলে রাশিটি (x + 2) দ্বারা নিঃশেষে বিভাজ্য হবে?
  1. ক
    8
  2. খ
    6
  3. গ
    10
  4. ঘ
    13
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 2x3 + 3x2 - 5x + 7 থেকে কত বিয়োগ করলে রাশিটি (x + 2) দ্বারা নিঃশেষে বিভাজ্য হবে?

সমাধান:
যে রাশিতে (x + 2) = 0 বা, x = - 2 বসালে রাশিটির মান শূন্য হয়, সে রাশিটি (x + 2) দ্বারা নিঃশেষে বিভাজ্য হবে।

f(x) = 2x3 + 3x2 - 5x + 7
∴ f(- 2) = 2(- 2)3 + 3(- 2)2 - 5(- 2) + 7
= 2(- 8) + 3(4) + 10 + 7
= - 16 + 12 + 10 + 7
= 13

∴ রাশিটি থেকে 13 বিয়োগ করলে (x + 2) দ্বারা নিঃশেষে বিভাজ্য হবে।

১,৪৬৫.
3a2 - a - 2 এর উৎপাদক কোনটি?
  1. ক
    ক) (a + 1) (3a + 2)
  2. খ
    খ) (a - 1) (3a + 2)
  3. গ
    গ) (a + 1) (3a - 2)
  4. ঘ
    ঘ) (a - 1) (3a - 2)
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 3a2 - a - 2 এর উৎপাদক কোনটি?

সমাধান: 3a2 - a - 2
=  3a2 - 3a + 2a - 2
= 3a (a - 1) + 2 (a - 1)
= (a - 1) (3a + 2)
১,৪৬৬.
যদি f(x) এর মাত্রা ধনাত্মক হয় এবং a ≠ 0 হয়, তবে f(x) কে (ax + b) দ্বারা ভাগ করলে ভাগশেষ কত হবে?
  1. ক
    ক) f(a/b)
  2. খ
    খ) f(b/a)
  3. গ
    গ) f(- a/b)
  4. ঘ
    ঘ) f(- b/a)
ব্যাখ্যা
যদি f(x) এর মাত্রা ধনাত্মক হয় এবং a ≠ 0 হয়, তবে f(x) কে (ax + b) দ্বারা ভাগ করলে ভাগশেষ f( - b/a) হবে। 



সূত্র - নবম-দশম শ্রেণি, উচ্চতর গণিত, বোর্ড বই।
১,৪৬৭.
a2 + 3a - 40= 0 সমীকরণের মূল দুটি কত?
  1. ক
    ক) - 10 , 7
  2. খ
    খ) 7 , 10
  3. গ
    গ) - 5 , 8
  4. ঘ
    ঘ) - 8 , 5
ব্যাখ্যা
a2 + 3a - 40= 0 
a2 + 8a - 5a - 40= 0 
a(a + 8) - 5(a + 8) = 0
(a + 8) (a - 5) = 0
হয়                       অথবা 
a + 8 = 0                 a - 5 = 0
a = - 8                     a = 5 

১,৪৬৮.
নিচের কোনটি 3x4 - 7x3 + 8x2 - 7x + 3 এর একটি উৎপাদক?
  1. ক
    (x - 1)
  2. খ
    (x - 2)
  3. গ
    (x + 3)
  4. ঘ
    (x + 4)
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: নিচের কোনটি 3x4 - 7x3 + 8x2 - 7x + 3 এর একটি উৎপাদক?

সমাধান:
ধরি, f(x) = 3x4 - 7x3 + 8x2 - 7x + 3
∴ f(1) = 3 ⋅ 14 - 7 ⋅ 13 + 8 ⋅ 12 - 7 ⋅ 1 + 3
= 3 - 7 + 8 - 7 + 3
= 0
অতএব (x - 1), 3x4 - 7x3 + 8x2 - 7x + 3 এর একটি উৎপাদক।
১,৪৬৯.
[{(a2 + b2)/2ab} - 1] ÷ [{(a3 - b3)/(a - b)} - 3ab]  = কত?
  1. ক
    ক) 2ab 
  2. খ
    খ) 1/2ab 
  3. গ
    গ) 1
  4. ঘ
    ঘ) ab 
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: [{(a2 + b2)/2ab} - 1] ÷ [{(a3 - b3)/(a - b)} - 3ab]  = কত? 

সমাধান: 
[{(a2 + b2- 2ab)/2ab} ÷ [{a3 - b3- 3ab(a - b)}/(a - b)]
[(a - b)2/2ab]÷ [{(a - b)3}/(a - b)]
[(a - b)2/2ab] ×[(a - b)/(a - b)3]
= 1/2ab
১,৪৭০.
নিচের কোনটি a2 - 7a - 98 এর একটি উৎপাদক?
  1. ক
    a + 7
  2. খ
    a + 14
  3. গ
    a + 21
  4. ঘ
    a + 13
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: নিচের কোনটি a2 - 7a - 98 এর একটি উৎপাদক?

সমাধান:
a2 - 7a - 98
= a2 - 14a + 7a - 98
= a(a - 14) + 7(a - 14)
= (a + 7)(a - 14)
১,৪৭১.
নিচের কোন বহুপদীর একটি উৎপাদক (a - 2)?
  1. ক
    a2 - a - 2
  2. খ
    2a2 - a - 3
  3. গ
    3a2 - 7a - 6
  4. ঘ
    a2 + a - 20
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: নিচের কোন বহুপদীর একটি উৎপাদক (a - 2)?

সমাধান:
a = 2 হলে,
a2 - a - 2
= 22 - 2 - 2
= 4 - 4
= 0

2a2 - a - 3
= (2 × 22) - 2 - 3
= 8 - 5
= 3 ≠ 0

3a2 - 7a - 6
= (3 × 22) - (7 × 2) - 6
= 12 - 14 - 6
= 8 ≠ 0

a2 + a - 20
= 22 + 2 - 0
= 4 + 2
= 6 ≠ 0
১,৪৭২.
2x2 - 2x - 84 এর একটি উৎপাদক (x - 7) হলে, অপর উৎপাদকটি কত?
  1. ক
    (2x + 12)
  2. খ
    (2x + 15)
  3. গ
    (x + 9)
  4. ঘ
    (x + 10)
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 2x2 - 2x - 84 এর একটি উৎপাদক (x - 7) হলে, অপর উৎপাদকটি কত?

সমাধান:
2x2 - 2x - 84
= 2x2 - 14x + 12x - 84
= 2x(x - 7) + 12(x - 7)
= (2x + 12)(x - 7)
১,৪৭৩.
উৎপাদকে বিশ্লেষণ করুন-
4x2 - 23x + 33
  1. ক
    (4x + 11)(x - 3)
  2. খ
    (x + 3)(4x - 11)
  3. গ
    (x - 3)(4x - 11)
  4. ঘ
    (2x - 3)(2x - 11)
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: উৎপাদকে বিশ্লেষণ করুন-
4x2 - 23x + 33

সমাধান:
দেওয়া আছে,
4x2 - 23x + 33
= 4x2 - 12x - 11x + 33
= 4x(x - 3) - 11(x - 3)
= (x - 3)(4x - 11)
১,৪৭৪.
3x2 - x - 14 এর একটি উৎপাদক (3x - 7) হলে, অপরটি কত?
  1. ক
    (x + 2)
  2. খ
    (x - 2)
  3. গ
    (x + 1)
  4. ঘ
    (x - 1)
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 3x2 - x - 14 এর একটি উৎপাদক (3x - 7) হলে, অপরটি কত? 

সমাধান: 
3x2 - x - 14 
= 3x2 - 7x + 6x - 14 
= x{(3x - 7)} + 2 {(3x - 7)} 
= (3x - 7) (x + 2)

∴ অপর উৎপাদকটি হবে = (x + 2). 
১,৪৭৫.
x2 - 4x + 3 রাশিটির উৎপাদকে বিশ্লেষিত রূপ কোনটি?
  1. ক
    (x - 3)(x + 1)
  2. খ
    (x - 1)(x - 3)
  3. গ
    (x + 3)(x + 1)
  4. ঘ
    (x - 2)(x - 2)
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: x2− 4x + 3 রাশিটির উৎপাদকে বিশ্লেষিত রূপ কোনটি?

সমাধান:  
প্রদত্ত রাশিটি হলো,  
= x2 - 4x + 3
= x2 - 3x -x +3 
= x (x - 3) - 1(x - 3)
= (x - 3)(x - 1)

অর্থাৎ x2  - 4x +3 রাশিটির উৎপাদকে বিশ্লেষিত রূপ হলো (x - 3)(x - 1) 
১,৪৭৬.
x2 - y2 + 2x + 1 এর একটি উৎপাদক হলো-
  1. ক
    ক) x + y - 1
  2. খ
    খ) x - y + 1
  3. গ
    গ) 2x - y - 1
  4. ঘ
    ঘ) 1+ y
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: x2 - y2 + 2x + 1 এর একটি উৎপাদক হলো-

সমাধান:
x2 - y2 + 2x + 1 
= x2 + 2x + 1 - y2
= x2 + 2.x.1 + 12 - y2
= (x + 1)2 -y2
= (x + 1 + y)(x + 1 - y)
= (x + y + 1) (x - y + 1)
১,৪৭৭.
a³ + b³, (a + b)³ এবং (a² - b²)² এর ল.সা.গু. কত?
  1. ক
    ক) (a + b)³(a - b)(a² - ab + b²)
  2. খ
    খ) (a + b)(a - b)(a² - ab + b²)
  3. গ
    গ) (a + b)³(a - b)(a² + ab + b²)
  4. ঘ
    ঘ) (a + b)²(a - b)(a² - ab + b²)
ব্যাখ্যা

২৫) a³ + b³, (a + b)³ এবং (a² - b²)² এর ল.সা.গু. কত?

১ম রাশি = a³ + b³
= (a + b)(a² - ab + b²)

২য় রাশি = (a + b)³
= (a + b)(a + b)(a + b)

৩য় রাশি = (a² - b²)²
= (a + b )(a - b)(a + b)(a - b)

∴ ল.সা.গু. = (a + b)³(a - b)2(a² - ab + b²)

১,৪৭৮.
f(x) = ax3 + bx2 + cx + d এবং a + b + c + d = 0 হলে, f(x) এর একটি উৎপাদক - 
  1. ক
    ক) x - 1
  2. খ
    খ) x + 1
  3. গ
    গ) x - 2
  4. ঘ
    ঘ) x + 2
ব্যাখ্যা


সূত্র - নবম-দশম শ্রেণি, উচ্চতর গণিত, বোর্ড বই।
১,৪৭৯.
9x2 − (2x − 3y)2 এর উৎপাদক কোনটি? 
  1. ক
    (5x − 3y) (x + 3y)
  2. খ
    (5x + 3y) (x − 3y)
  3. গ
    (5x + 3y) (x + 3y)
  4. ঘ
    (5x − 3y) (x − 3y)
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 9x2 − (2x − 3y)2 এর উৎপাদক কোনটি? 

সমাধান: 
9x2 − (2x − 3y)2
= (3x)2 − (2x − 3y)2
= {3x + (2x − 3y)} {3x − (2x − 3y)} 
= (3x + 2x − 3y) (3x − 2x + 3y) 
= (5x − 3y) (x + 3y) 

১,৪৮০.
4a2 - 9 - b(b - 6) এর উৎপাদক কত?
  1. ক
    ক) (3a - b - 2)(3a - b + 2)
  2. খ
    খ) (2a + b + 3)(2a - b - 3)
  3. গ
    গ) (3a + b - 2)(3a - b + 2)
  4. ঘ
    ঘ) (2a + b - 3)(2a - b + 3)
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 4a2 - 9 - b(b - 6) এর উৎপাদক কত?

সমাধান: 
4a2 - 9 - b(b - 6) 
= 4a2 - 9 - b2 + 6b
= 4a2 - (b2 - 6b + 9)
= (2a)2 - {b2 - 2 . b . 3 + 32}
= (2a)2 - (b - 3)2
= {2a + (b - 3)}{2a - (b - 3)}
= (2a + b - 3)(2a - b + 3)
১,৪৮১.
x2 - 2ax + (a + b) (a - b) এর উৎপাদক কোনটি?
  1. ক
    ক) (x - a + b) (x + a - b)
  2. খ
    খ) (x - a - b) (x - a + b)
  3. গ
    গ) (x + a - b) (x - a - b)
  4. ঘ
    ঘ) (x + a + b) (x - a - b)
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: x2 - 2ax + (a + b) (a - b) এর উৎপাদক কোনটি? 

সমাধান:
x2 - 2ax + (a + b) (a - b) 
= x2 - 2ax + a2 - b2 
= (x - a)2 - b2
= (x - a - b) (x - a + b) 

∴ নির্ণেয় উৎপাদক = (x - a - b) (x - a + b) 
১,৪৮২.
bx2 + (b2 + 1)x + b এর উৎপাদকে বিশ্লেষিত রূপ হলো-
  1. ক
    (bx + 1)(x + 1)
  2. খ
    (x + b)(b + 1)
  3. গ
    (x + b)(x + 1)
  4. ঘ
    (x + b)(bx + 1)
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন; bx2 + (b2 + 1)x + b এর উৎপাদকে বিশ্লেষিত রূপ হলো-

সমাধান:
bx2 + (b2 + 1)x + b
= bx2 + b2x + x + b
= bx(x + b) + 1(x + b)
= (x + b)(bx + 1)
১,৪৮৩.
a4 - 5a3 + 7a2 - x বহুপদীর একটি উৎপাদক a - 2 হলে, x এর মান কত?
  1. ক
    1
  2. খ
    2
  3. গ
    3
  4. ঘ
    4
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: a4 - 5a3 + 7a2 - x বহুপদীর একটি উৎপাদক a - 2 হলে, x এর মান কত? 

সমাধান: 
বহুপদীর একটি উৎপাদক (a - 2) হলে ƒ(a) = 0 হয় 
সুতরাং, (a - 2) = 0 
∴ a = 2 
ধরি, ƒ(a) = a4 - 5a3 + 7a2 - x = 0 
∴ ƒ(2) = (2)4 - 5.(2)3 + 7.(2)2 - x = 0 
বা, 16 - 40 + 28 - x = 0
বা, 44 - 40 - x = 0
বা, 4 - x = 0
বা, - x = - 4
∴ x = 4
১,৪৮৪.
f(x) = (x - a)g(x) + r হলে, f(a) = ?
(যেখানে, ভাজককে x - a, ভাগফলকে g(x), ভাজ্যকে f(x) এবং ভাগশেষকে r দ্বারা সুচিত করা হয়)
  1. ক
    ক) 0
  2. খ
    খ) 1
  3. গ
    গ) - 1
  4. ঘ
    ঘ) r
ব্যাখ্যা
f(x) = (x - a)g(x) + r
∴f(a) = (a - a)g(x) + r
         = 0.g(x) + r
         = 0 + r
         = r
১,৪৮৫.
35x2 - x - 12 এর একটি উৎপাদক কোনটি?
  1. ক
    5x + 3
  2. খ
    7x - 4
  3. গ
    7x + 4
  4. ঘ
    5x + 4
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 35x2 - x - 12 এর একটি উৎপাদক কোনটি?

সমাধান:
প্রদত্ত রাশি,
35x2 - x - 12 
= 35x2 - 21x + 20x - 12
= 7x(5x - 3) + 4(5x - 3) 
= (5x - 3)(7x + 4)
১,৪৮৬.
x4 - 27x2 + 1 এর উৎপাদকে বিশ্লেষণ-
  1. ক
    (x2 + 5x + 1)(x2 - 5x + 1)
  2. খ
    (x2 + 5x + 1)(x2 - 5x - 1)
  3. গ
    (x2 + 5x - 1)(x2 - 5x - 1)
  4. ঘ
    (x2 - 5x + 1)(x2 - 5x - 1)
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: x4 - 27x2 + 1 এর উৎপাদকে বিশ্লেষণ-

সমাধান: 
 x4 - 27x2 + 1
= (x2)2 - 2.x2 .1 + 12 - 25x2
= (x2 - 1)2 - (5x)2
= (x2 - 1 + 5x)(x2 - 1 - 5x)
= (x2 + 5x - 1)(x2 - 5x - 1)
১,৪৮৭.
নিচের কোনটি x3 - 6x2 + 11x - 6 এর উৎপাদক নয়?
  1. ক
    x + 1
  2. খ
    x - 1
  3. গ
    x - 2
  4. ঘ
    x - 3
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: নিচের কোনটি x3 - 6x2 + 11x - 6 এর উৎপাদক নয়?
 
সমাধান:
x3 - 6x2 + 11x - 6
= x3 - x2 - 5x2 + 5x + 6x - 6
= x2 (x - 1) - 5x(x - 1) + 6(x - 1)
= (x - 1)(x2 - 5x + 6)
= (x - 1)(x2 - 3x - 2x +6)
= (x - 1){x(x - 3) - 2(x - 3)}
= (x - 1)(x - 2)(x - 3)
১,৪৮৮.
x2 - 1 - y(y - 2) এর উৎপাদক কত?
  1. ক
    (x - y - 1) (x - y + 1) 
  2. খ
    (x - y - 1) (x + y - 1)
  3. গ
    (x - y + 1) (x + y + 1) 
  4. ঘ
    (x + y - 1) (x - y + 1)
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: x2 - 1 - y(y - 2) এর উৎপাদক কত? 

সমাধান: 
x2 - 1 - y(y - 2)
= x2 - 1 - y2 + 2y 
= x2 - (y2 - 2y + 1) 
= x2 - (y - 1)2
= (x + y - 1) (x - y + 1)

১,৪৮৯.
x2 + 5x - 24 এবং x2 - x - 6 এর সাধারণ উৎপাদক কোনটি?
  1. ক
    x - 3
  2. খ
    x + 2
  3. গ
    x + 8
  4. ঘ
    x - 6
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: x2 + 5x - 24 এবং x2 - x - 6 এর সাধারণ উৎপাদক কোনটি?

সমাধান:
১ম রাশি = x2 + 5x - 24
= x2 + 8x - 3x - 24
= x(x + 8) - 3(x + 8)
= (x + 8)(x - 3)

২য় রাশি = x2 - x - 6
= x2 - 3x + 2x - 6
= x(x - 3) + 2(x - 3)
= (x - 3)(x + 2)

∴ প্রদত্ত রাশিদ্বয়ের সাধারণ উৎপাদক = x - 3
১,৪৯০.
4a4 - 25a2 + 36 এর একটি উৎপাদক নিচের কোনটি?
  1. ক
    a - 2
  2. খ
    a - 3
  3. গ
    2a - 5
  4. ঘ
    a + 6
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 4a4 - 25a2 + 36 এর একটি উৎপাদক নিচের কোনটি?

সমাধান:
4a4 - 25a2 + 36
= 4a4 - 16a2 - 9a2 + 36
= 4a2(a2 - 4) - 9(a2 - 4)
= (a2 - 4)(4a2 - 9)
= (a2 - 22){(2a)2 - 32}
= (a + 2)(a - 2)(2a + 3)(2a - 3)

১,৪৯১.
উৎপাদকে বিশ্লেষণ করুন: x2 - 8xy + 7y2
  1. ক
    (x + 7y)(x - y)
  2. খ
    (x + 8y)(x - y)
  3. গ
    (x - 7y)(x - y)
  4. ঘ
    (x - 6y)(x - y)
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: উৎপাদকে বিশ্লেষণ করুন: x2 - 8xy + 7y2

সমাধান: 
x2 - 8xy + 7y2
= x2 - xy - 7xy + 7y2
= x(x - y) - 7y(x - y)
= (x - y)(x - 7y)
= (x - 7y)(x - y)

১,৪৯২.
a2 - b2 + 2b - 1 এর একটি উৎপাদক-
  1. ক
    a + b + 1
  2. খ
    a - b - 1
  3. গ
    a + b - 1
  4. ঘ
    a - b
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: a2 - b2 + 2b - 1 এর একটি উৎপাদক-

সমাধান:
a2 - b2 + 2b - 1
= a2 - (b2 - 2b + 1)
= a2 - (b - 1)2
= {a + (b - 1)}{a - (b - 1)}
= (a + b - 1)(a - b + 1)

১,৪৯৩.
x4 + 4x2 - 12 কে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করুন।
  1. ক
    x(x + 6)(x - 2)
  2. খ
    (x2 + 6)(x2 - 2)
  3. গ
    (x2 - 6)(x2 + 2)
  4. ঘ
    x(x2 + 6)(x2 - 2)
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: x4 + 4x2 - 12 কে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করুন।

সমাধান:
x4 + 4x2 - 12
= x4 + 6x2 - 2x2 - 12
= x2(x2 + 6) - 2(x2 + 6)
= (x2 + 6)(x2 - 2)
১,৪৯৪.
নিচের কোনটি 3a3 + 2a2 - 21a - 20 রাশিটির একটি উৎপাদক?
  1. ক
    a + 2
  2. খ
    a - 3
  3. গ
    a + 1
  4. ঘ
    a - 1
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: নিচের কোনটি 3a3 + 2a2 - 21a - 20 রাশিটির একটি উৎপাদক?

সমাধান:
ধরি,
f(a) = 3a3 + 2a2 - 21a - 20

∴ f(- 1) = 3 ⋅ (- 1)3 + 2 ⋅ (- 1)2 - 21 ⋅ (- 1) - 20
= - 3 + 2 + 21 - 20
= 0
∴ (a + 1) উক্ত রাশিটির একটি উৎপাদক।

এখন,
3a3 + 2a2 - 21a - 20
= 3a3 + 3a2 - a2 - a - 20a - 20
= 3a2(a + 1) - a(a + 1) - 20(a + 1)
= (a + 1)(3a2 - a - 20)
১,৪৯৫.
12x2 + 7x - 10 এর উৎপাদক-
  1. ক
    ক) (3x + 5) (4x - 2)
  2. খ
    খ) (3x - 5) (4x + 2)
  3. গ
    গ) (4x + 5) (3x - 2)
  4. ঘ
    ঘ) (4x - 5) (3x + 2)
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 12x2 + 7x -10 এর উৎপাদক-

সমাধান: 
12x2 + 7x -10
= 12x2 + 15x - 8x - 10
= 3x(4x + 5) - 2(4x + 5)
= (4x + 5)(3x - 2)
১,৪৯৬.
3x3 + 2x2 - 21x - 20 রাশির একটি উৎপাদক হচ্ছে -
  1. ক
    ক) x + 1
  2. খ
    খ) x - 1
  3. গ
    গ) x + 2
  4. ঘ
    ঘ) x - 2
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 3x3 + 2x2 - 21x - 20 রাশির একটি উৎপাদক হচ্ছে -

সমাধান:
ধরি, 
P(x) = 3x3 + 2x2 - 21x - 20
এখানে,
P(-1) = 3(-1)3 + 2(-1)2 - 21. (-1) - 20
= -3 + 2 + 21 - 20 
= 23 - 23 
= 0

∴ (x + 1), P(x) এর একটি উৎপাদক। 
১,৪৯৭.
নিচের কোনটি 2p2 + 2p - 60 এর একটি উৎপাদক নয়?
  1. ক
    2
  2. খ
    (p + 6)
  3. গ
    (p - 5)
  4. ঘ
    (p + 3)
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: নিচের কোনটি 2p2 + 2p - 60 এর একটি উৎপাদক নয়?

সমাধান:
2p2 + 2p - 60 
= 2(p2 + p - 30)
= 2(p2 + 6p - 5p- 30)
= 2{p(p + 6) - 5(p + 6)}
= 2(p + 6)(p - 5)

১,৪৯৮.
pm2 - 169pn2 কে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করলে নিচের কোনটি পাওয়া যাবে?
  1. ক
    p(m - 6n)(m + 6n)
  2. খ
    (m - 12n)(m + 4n)
  3. গ
    p(m + 13n)(m - 13n)
  4. ঘ
    (m + 15n)(m - 7n)
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: pm2 - 169pn2 কে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করলে নিচের কোনটি পাওয়া যাবে?
সমাধান:
pm2 -169pn2
= p(m2 - 169n2) 
= p{(m)2 - (13n)2}
= p(m + 13n)(m - 13n)
১,৪৯৯.
2x2 - 9x - 5 এর উৎপাদক কোনটি?
  1. ক
    ক) (x - 5) (2x + 1)
  2. খ
    খ) (x + 5) (2x + 1)
  3. গ
    গ) (x - 5) (2x - 1)
  4. ঘ
    ঘ) (x - 6) (x + 1)
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 2x2 - 9x - 5 এর উৎপাদক কোনটি?

সমাধান: 
2x2 - 9x - 5
= 2x2 - 10x + x - 5
= 2x (x - 5) + 1(x - 5)
= (x - 5) (2x + 1)
১,৫০০.
7x2 - 27x + 20 এর উৎপাদক কোনটি?
  1. ক
    (x + 3)
  2. খ
    (x - 2)
  3. গ
    (x + 1)
  4. ঘ
    (x - 1)
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 7x2 - 27x + 20 এর উৎপাদক কোনটি?

সমাধান: 
7x2 - 27x + 20
= 7x2 - 20x - 7x + 20
= x(7x - 20) - 1(7x - 20)}
= (7x - 20)(x - 1)