লগ ইননিবন্ধন
বিষয়সমূহ

PrepBank · বিষয়ভিত্তিক প্রশ্ন

বহুপদী উৎপাদক ও এর বিশ্লেষণ

মোট প্রশ্ন১,৭৪৬এই পাতা১০০প্রতি পাতা১০০
প্রশ্ন দেখুনঅনুশীলন
ঘনত্ব
উত্তর
উত্তরিতবর্তমানপুনরায় দেখুনঅসম্পূর্ণ

বহুপদী উৎপাদক ও এর বিশ্লেষণ

PrepBank · পাতা ১১ / ১৮ · ১,০০১–১,১০০ / ১,৭৪৬

১,০০১.
x3 - x2 - 10x - 8 কে উৎপাদকে বিশ্লেষণ নিচের কোনটি?
  1. ক
    ক) (x - 1) (x + 2) (x - 4)
  2. খ
    খ) (x + 1) (x + 2) (x - 4)
  3. গ
    গ) (x + 3) (x + 2) (x - 4)
  4. ঘ
    ঘ) (x + 1) (x - 2) (x - 4)
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: x3 - x2 - 10x - 8 কে উৎপাদকে বিশ্লেষণ নিচের কোনটি?

সমাধান: 
ধরি, f(x) = x3 - x2 - 10x - 8
∴ f( - 1) = ( - 1)3 - ( - 1)2 - 10 ( - 1) - 8
= - 1 - 1 + 10 - 8
= 10 - 10
= 0
∴ ভাগশেষ উপপাদ্য অনুসারে (x + 1), f(x) এর একটি উৎপাদক।

∴ প্রদত্ত রাশি = x3 - x2 - 10x - 8
= x3 + x2 - 2x2 - 2x - 8x - 8
= x2 (x + 1) - 2x (x + 1) - 8 (x +1)
= (x + 1) (x2 - 2x - 8)
= (x + 1) (x2 - 4x + 2x - 8)
= (x + 1) {x(x - 4) + 2(x - 4)}
= (x + 1) (x + 2) (x - 4)
১,০০২.
x + y, x - y , x2 - y2 এর ল.সা.গু কত?
  1. ক
    ক) 1
  2. খ
    খ) 0
  3. গ
    গ) x2 - y2
  4. ঘ
    ঘ) x - y
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: x + y, x - y , x2 - y2 এর ্ল.সা.গু কত?

সমাধান:
১ম রাশি = x + y
২য় রাশি = x - y
৩য় রাশি = x2 - y2
= (x + y)(x - y)

নির্ণেয় ল.সা.গু =  x2 - y2
১,০০৩.
4a2 - 2a - 6 এর একটি উৎপাদক (2a - 3) হলে অপরটি কত?
  1. ক
    (2a + 2)
  2. খ
    (3a + 2)
  3. গ
    (2a - 1)
  4. ঘ
    (2a - 2)
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 4a2 - 2a - 6 এর একটি উৎপাদক (2a - 3) হলে অপরটি কত?

সমাধান:
4a2 - 2a - 6
= 4a2 - 6a + 4a - 6
= 2a(2a - 3) + 2(2a - 3)
= (2a - 3)(2a + 2)
১,০০৪.
f(x) = x3 - px2 + 7x - 10 হলে, তাহলে p এর কোন মানের জন্য f(2) = 0 হবে?
  1. ক
    - 2
  2. খ
    3
  3. গ
    4
  4. ঘ
    - 5
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: f(x) = x3 - px2 + 7x - 10 হলে, তাহলে p এর কোন মানের জন্য f(2) = 0 হবে?

সমাধান:
দেওয়া আছে:
f(x) = x3 - px2 + 7x - 10

f(2) নির্ণয় করি,
f(2) = (2)3 - p(2)2 + 7(2) - 10
= 8 - 4p + 14 - 10
= 12 - 4p

এখন,
f(2) = 0
⇒ 12 - 4p = 0
⇒ 4p = 12
∴ p = 3

১,০০৫.
x2 - y2 + 2y - 1 এর একটি উৎপাদক-
  1. ক
    ক) x + y + 1
  2. খ
    খ) x - y - 1
  3. গ
    গ) - x - y + 1
  4. ঘ
    ঘ) x + y - 1
ব্যাখ্যা

x2 - y2 + 2y - 1
= x2 - (y2 - 2y + 1)
= x2 - (y - 1)2
= (x + y - 1) (x - y + 1)

১,০০৬.
x + y + z = 0 হলে (1/3)(x3 + y3 + z3) এর মান কত?
  1. ক
    ক) 3xyz
  2. খ
    খ) xyz/3
  3. গ
    গ) 1
  4. ঘ
    ঘ) xyz
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: x + y + z = 0 হলে (1/3)(x3 + y3 + z3) এর মান কত?

সমাধান: 
x + y + z = 0

এখন,
(1/3) (x3 + y3 + z3)
= (1/3) (x3 + y3 + z3 - 3xyz + 3xyz)
= (1/3) (x3 + y3 + z3 - 3xyz) + (1/3) × 3xyz
= (1/3) {(x + y + z) (x2 + y2 + z2 - xy - yz - zx)} + xyz
= 1/3 {0 × (x2 + y2 + z2 - xy - yz - zx)} + xyz
= xyz

∴ (1/3) (x3 + y3 + z3) = xyz
১,০০৭.
6x2 - 7x + 1 রাশিটির একটি উৎপাদক x - 1 হলে অপরটি-
  1. ক
    ক) (6x - 1)
  2. খ
    খ) (6x + 1)
  3. গ
    গ) (5x - 1)
  4. ঘ
    ঘ) (7x - 1)
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 6x2 - 7x + 1 রাশিটির একটি উৎপাদক x - 1 হলে অপরটি-

সমাধান: 
6x2 - 7x + 1
= 6x2 - 6x - x + 1
= 6x(x - 1) - 1(x - 1)
= (x - 1)(6x - 1)
১,০০৮.
a4 - 64 এর একটি উৎপাদক নির্ণয় করুন- 
  1. ক
    (a + 2√2)
  2. খ
    (a + 4)
  3. গ
    (a + √2)
  4. ঘ
    (a - 4)
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: a4 - 64 এর একটি উৎপাদক নির্ণয় করুন- 

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
a4 - 64
= (a2)2 - 82
= (a2 + 8)(a2 - 8) ; [a2 - b2 = (a + b)(a - b)]
= (a2 + 8){a2 - (2√2)2}
= (a2 + 8)(a + 2√2)(a - 2√2)

সুতরাং, a4 - 64 = (a2 + 8)(a + 2√2)(a - 2√2)

১,০০৯.
24 + 5x - x2  এর উৎপাদক কোনটি?
  1. ক
    ক) 3 + x
  2. খ
    খ) 3 - x
  3. গ
    গ) x - 8
  4. ঘ
    ঘ) x + 8
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 24 + 5x - x2  এর উৎপাদক কোনটি? 

সমাধান: 
24 + 5x - x2
= 24 + 8x - 3x - x2
= 8(3 + x) - x(3 + x)
= (3 + x)(8 - x)
১,০১০.
x2 + 3x - 10 এর একটি উৎপাদক কোনটি?
  1. ক
    (x + 5)
  2. খ
    (x + 1)
  3. গ
    (x + 2)
  4. ঘ
    (x - 5)
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: x2 + 3x - 10 এর একটি উৎপাদক কোনটি?

সমাধান:
প্রদত্ত রাশি = x2 + 3x - 10
= x2 + 5x - 2x - 10
= x(x + 5) - 2(x + 5)
= (x + 5)(x - 2)

১,০১১.
x2 - y2 - 2y - 1 এর একটি উৎপাদক কোনটি?
  1. ক
    (x - y + 1)
  2. খ
    (x - y - 1)
  3. গ
    (x + y - 1)
  4. ঘ
    (x + 2y + 1)
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: x2 - y2 - 2y - 1 এর একটি উৎপাদক কোনটি?

সমাধান:
x2 - y2 - 2y - 1
= x2 - (y2 + 2y + 1)
= x2 - (y + 1)2
= (x + y + 1)(x - y -1)
১,০১২.
যদি f(x) = x3 + 9x2 - 3x - 6 হয়, তবে f(- 2) = কত?
  1. ক
    19
  2. খ
    24
  3. গ
    28
  4. ঘ
    30
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: যদি f(x) = x3 + 9x2 - 3x - 6 হয়, তবে f(- 2) = কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে, f(x) = x3 + 9x2 - 3x - 6

এখন,
f(- 2) = (- 2)3 + 9(- 2)2 - 3. (- 2) -6
= - 8 + 36 + 6 - 6
= 28

১,০১৩.
a3 + 2a2 - 5a - 6 এর উৎপাদক কোনটি?
  1. ক
    (a - 1)(a + 3)(a - 3)
  2. খ
    (a + 1)(a + 3)(a - 2)
  3. গ
    (a + 1)(a - 3)(a + 3)
  4. ঘ
    (a + 1)(a - 3)(a + 2)
ব্যাখ্যা

সমাধান:
ধরি,
f(a) = a3 + 2a2 − 5a − 6
a = -1 বসিয়ে পাই,
f(−1) = −1 + 2 + 5 − 6 = 0
∴ (a + 1) প্রদত্ত রাশির একটি উৎপাদক।

a3 + 2a2 - 5a - 6
= a3 + a2 + a2 + a - 6a - 6
= a2(a + 1) + a(a + 1) - 6(a + 1)
= (a + 1)(a2 + a - 6)
= (a + 1)(a2 + 3a - 2a - 6)
= (a + 1){a(a + 3) - 2(a + 3)}
= (a + 1)(a + 3)(a - 2)

∴ নির্ণেয় উৎপাদক = (a + 1)(a + 3)(a - 2)

১,০১৪.
3a2 + 9a - 120 এর একটি উৎপাদক কোনটি?
  1. ক
    a - 12
  2. খ
    a - 7
  3. গ
    a - 8
  4. ঘ
    a - 5
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 3a2 + 9a - 120 এর একটি উৎপাদক কোনটি?

সমাধান:
3a2 + 9a - 120
= 3(a2 + 3a - 40)
= 3(a2 + 8a - 5a - 40)
= 3{a(a + 8) - 5(a + 8)}
= 3(a + 8)(a - 5)
১,০১৫.
x3 - ax2 + 11x - a এর একটি উৎপাদক x - 1 হলে a = ?
  1. ক
    ক) -6
  2. খ
    খ) -4
  3. গ
    গ) 4
  4. ঘ
    ঘ) 6
ব্যাখ্যা

x -1, f(x) = x3 - ax2 + 11x - a এর একটি উৎপাদক
∴ f(1) = 0
বা, 13 - a.12 + 11.1 - a = 0
বা, -2a + 12 = 0
∴ a = 6

১,০১৬.
q2 - 37q - 650 এর উৎপাদকে বিশ্লেষিত রূপ কোনটি?
  1. ক
    (q + 36)(q - 14)
  2. খ
    (q + 26)(q - 21)
  3. গ
    (q - 26)(q + 21) 
  4. ঘ
    (q - 50)(q + 13)
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: q2 - 37q - 650 এর উৎপাদকে বিশ্লেষিত রূপ কোনটি?

সমাধান:
q2 - 37q - 650
= q2 - 50q + 13q - 650
= q(q - 50) + 13(q - 50)
= (q - 50)(q + 13)

১,০১৭.
a3 - 21a - 20 রাশিটির উৎপাদক কোনটি?
  1. ক
    (a - 1)
  2. খ
    (a + 1)
  3. গ
    (a + 2)
  4. ঘ
    (a - 2)
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: a3 - 21a - 20 রাশিটির উৎপাদক কোনটি? 

সমাধান: 
a3 - 21a - 20
= a3 + a2 - a2 - a - 20a - 20
= a2(a +1) - a (a + 1) - 20 (a + 1)
= (a + 1) (a2 - a - 20)
= (a + 1) (a2 - 5a + 4a - 20)
= (a +1) {a (a - 5) + 4 (a - 5)}
= (a +1) (a - 5) (a + 4)
১,০১৮.
x2 = 15 + 2√56 হলে, 1/x এর মান কত?
  1. ক
    ক) (√8 - √7)/2
  2. খ
    খ) √8/√7
  3. গ
    গ) (√8 - √7)
  4. ঘ
    ঘ) (√8 + √7)
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন : x2 = 15 + 2√56 হলে, 1/x এর মান কত?
দেওয়া আছে, 
বা, x2 = 15 + 2√56
বা, x2 = 8 + 2√56  + 7
বা, x2 = (√8)2 + 2.√8.√7 + (√7)2
বা, x2 = (√8 + √7)2
বা, x = √8 + √7
বা, 1/x = 1/√8 + √7
বা, 1/x = (√8 - √7)/(√8 + √7)(√8 - √7)
 বা, 1/x =  (√8 - √7)/(√8)2 - (√7)2
বা, 1/x = (√8 - √7)/(8 - 7)
    1/x = (√8 - √7)
১,০১৯.
a3 - 8 এর উৎপাদকে বিশ্লেষিত রূপ কোনটি?
  1. ক
    (a - 2)(a2 + 2a - 4)
  2. খ
    (a + 2)(a2 - 2a + 4)
  3. গ
    (a - 1)(a2 + 3a + 2)
  4. ঘ
    (a - 2)(a2 + 2a + 4)
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: a3 - 8 এর উৎপাদকে বিশ্লেষিত রূপ কোনটি?

সমাধান:
a3 - 8
= (a3) - (23)
= (a - 2)(a2 + 2a + 22)
= (a - 2)(a2 + 2a + 4)
১,০২০.
নিচের কোনটি a4 + a2 - 20 এর একটি উৎপাদক?
  1. ক
    a2 + 4
  2. খ
    a2 + 5
  3. গ
    a2 - 5
  4. ঘ
    a2 - 2
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: নিচের কোনটি a4 + a2 - 20 এর একটি উৎপাদক?

সমাধান:
a4 + a2 - 20
= a4 + 5a2 - 4a2 - 20
= a2(a2 + 5) - 4(a2 + 5)
= (a2 + 5)(a2 - 4)
= (a2 + 5)(a2 - 22)
= (a2 + 5)(a + 2)(a - 2)
১,০২১.
x3 - 3x2 + 4x + a এর একটি উৎপাদক (x - 2) হলে, a এর মান কত?
  1. ক
    4
  2. খ
    - 4
  3. গ
    - 3
  4. ঘ
    - 6
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: x3 - 3x2 + 4x + a এর একটি উৎপাদক (x - 2) হলে, a এর মান কত?

সমাধান: 
ধরি,
f(x) = x3 - 3x2 + 4x + a
x3 - 3x2 + 4x + a এর একটি উৎপাদক (x - 2) হলে,
f(2) = 0 হবে,

f(2) = (2)3 - 3(2)2 + 8 + a
= 8 - 12 + 8 + a
= 4 + a

∴ 4 + a = 0
a = - 4
১,০২২.
x2 + px - 15 রাশিটির একটি উৎপাদক x + 5 হলে, p এর মান কত?
  1. ক
    2
  2. খ
    5
  3. গ
    10
  4. ঘ
    4
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: x2 + px - 15 রাশিটির একটি উৎপাদক x + 5 হলে, p এর মান কত?

সমাধান:
ধরি, f(x) = x2 + px - 15
x + 5, f(x) এর একটি উৎপাদক বলে উৎপাদকের উপপাদ্য অনুযায়ী, f(- 5) = 0 হবে।

f(- 5) = (- 5)2 + p(- 5) - 15
= 25 - 5p - 15
= 10 - 5p

শর্তমতে,
10 - 5p = 0
⇒ 10 = 5p
⇒ p = 10/5
⇒ p = 2

১,০২৩.
x2 − 3x − 2 কে x +1 দ্বারা ভাগ করলে ভাগশেষ কি হবে?
  1. ক
    ক) 0
  2. খ
    খ) 2
  3. গ
    গ) 6
  4. ঘ
    ঘ) 4
১,০২৪.
নিচের কোনটি ap2 + (a2 + 1)p + a এর একটি উৎপাদক?
  1. ক
    (p - a)
  2. খ
    (p - 1)
  3. গ
    (p + a)
  4. ঘ
    (p + 1)
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: নিচের কোনটি ap2 + (a2 + 1)p + a এর একটি উৎপাদক?

সমাধান:
ap2 + (a2 + 1)p + a
= ap2 + (a2p + p) + a
= ap2 + a2p + p + a
= ap(p + a) + 1(p + a)
= (p + a)(ap + 1)
১,০২৫.
9x2 - (2x - 3y)2 = কত?
  1. ক
    (5x - 3y) (x + 3y)
  2. খ
    (5x - 3y) (x - 3y)
  3. গ
    (5x + 3y) (x - 3y) 
  4. ঘ
    (5x + 3y) (x + 3y)
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 9x2 - (2x - 3y)2 = কত? 

সমাধান: 
9x2 - (2x - 3y)2 
= (3x)2 - (2x - 3y)2 
= {3x + (2x - 3y)} {3x - (2x - 3y)} 
= (3x + 2x - 3y) (3x - 2x + 3y) 
= (5x - 3y) (x + 3y)

১,০২৬.
x + 5, x2 + 5x এবং x2 + 8x + 15 এর গ. সা. গু কত?
  1. ক
    ক) 1
  2. খ
    খ) (x + 5)
  3. গ
    গ) x(x + 3)(x + 5)
  4. ঘ
    ঘ) (x + 3)
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: x + 5, x2 + 5x এবং x2 + 8x + 15 এর গ. সা. গু কত?

সমাধান:
১ম রাশি = x + 5
২য় রাশি = x2 + 5x = x(x + 5)
৩য় রাশি = x2 + 8x + 15 
             = x2 + 3x + 5x + 15
              = x(x + 3) + 5(x + 3)
             = (x + 3)(x + 5)

নির্ণেয় গ.সা.গু =(x + 5)
১,০২৭.
9x2 - (2x - 3y)2 = ?
  1. ক
    (5x + 3y)(x + 3y)
  2. খ
    (5x + 3y)(x - 3y)
  3. গ
    (5x - 3y)(x + 3y)
  4. ঘ
    (5x - 3y)(x - 3y)
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 9x2 - (2x - 3y)2 = কত? 

সমাধান: 
9x2 - (2x - 3y)2 
= (3x)2 - (2x - 3y)2 
= {3x + (2x - 3y)}{3x - (2x - 3y)} 
= (3x + 2x - 3y)(3x - 2x + 3y) 
= (5x - 3y)(x + 3y)
১,০২৮.
x2 - 2ax + (a + b)(a - b) এর উৎপাদক কোনটি?
  1. ক
    (x + a + b)(x - a - b)
  2. খ
    (x + a - b)(x - a - b)
  3. গ
    (x - a + b)(x + a - b)
  4. ঘ
    (x - a - b)(x - a + b)
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: x2 - 2ax + (a + b) (a - b) এর উৎপাদক কোনটি?

সমাধান: 
 x2 - 2ax + (a + b) (a - b) 
= x2 - 2ax + a2 - b2 
= (x - a)2 - b2 
= (x - a - b)(x - a + b) 

∴ নির্ণেয় উৎপাদক = (x - a - b)(x - a + b)
১,০২৯.
x3 - 3x2y + 3xy2 - 28y3 -এর উৎপাদক কত?
  1. ক
    (x + 4y)(x2 - xy + 7y2)
  2. খ
    (x - 3y)(x2 + 3x + 7y2)
  3. গ
    (x - 4y)(x2 + xy + 7y2)
  4. ঘ
    (x + y)(x2 + xy + y2)
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: x3 - 3x2y + 3xy2 - 28y3 -এর উৎপাদক কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
= x3 - 3x2y + 3xy2 - 28y3
= (x3 - 3x2y + 3xy2 - y3) - 27y3
= (x - y)3 - (3y)3
= (x - y - 3y){(x - y)2 + (x - y)3y + (3y)2}       ;[a3 - b3 = (a - b)(a2 + ab + b2)]
= (x - 4y)(x2 - 2xy + y2 + 3xy - 3y2 + 9y2)
= (x - 4y)(x2 + xy + 7y2)
১,০৩০.
3√3x3 + 64 এর একটি উৎপাদক নিচের কোনটি?
  1. ক
    ক) (4x2 - 4x√4 + 8)
  2. খ
    খ) (√3x2 + 4x√3 - 16)
  3. গ
    গ) (3x2 - 4x√3 + 16)
  4. ঘ
    ঘ) (3x2 + 4x√3 + 4)
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 3√3x3 + 64 এর একটি উৎপাদক নিচের কোনটি? 

সমাধান: 
3√3x3 + 64
= (√3x)3 + 43
= (√3x + 4){(√3x)2 - (√3x).4 + 42}
= (√3x + 4) (3x2 - 4x√3 + 16)
১,০৩১.
x2 + x - (a + 2)(a + 3) এর উৎপাদক -
  1. ক
    (x - a + 2)(x + a + 3)
  2. খ
    (x - a + 2)(x + a - 3)
  3. গ
    (x - a - 2)(x - a + 3)
  4. ঘ
    (x - a - 2)(x + a + 3)
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: x2 + x - (a + 2) (a + 3)  এর উৎপাদক -

সমাধান:
x2 + x - (a + 2) (a + 2) 
= x2 + x - (a + 2)(a + 2 + 1)

ধরি 
a + 2 = m

প্রদত্ত রাশি = x2 + x - m(m + 1)
= x2 + x - m2 - m
=x2 - m2 + x - m
= (x + m)(x - m) + 1(x - m)
= (x - m)(x + m + 1)
={x - (a + 2)}(x + a + 2 + 1)
= (x - a - 2)(x + a + 3)
১,০৩২.
x2 - x - 2 এর উৎপাদক কোনটি?
  1. ক
    (x - 3) 
  2. খ
    (x - 1) 
  3. গ
    (x + 1) 
  4. ঘ
    (x + 2) 
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: x2 - x - 2 এর উৎপাদক কোনটি? 

সমাধান:
x2 - x - 2 
= x2 - 2x + x - 2
= x(x - 2) + 1 (x - 2) 
= (x - 2) (x + 1) 
১,০৩৩.
16y2 - a2 - 6a - 9 এর উৎপাদক গুলো হলো-
  1. ক
    ক) (3y + a + 3)(3y - a - 3)
  2. খ
    খ) (4y + a + 3)(4y + a - 3)
  3. গ
    গ) (4y + a - 3)(4y - a - 3)
  4. ঘ
    ঘ) (4y + a + 3)(4y - a - 3)
ব্যাখ্যা
16y2 - a2 - 6a - 9 
(4y)2 - (a2 + 2.a.3 + 32)
(4y)2 - (a + 3)2
{4y + (a + 3)}{4y - (a + 3)}
(4y + a + 3)(4y - a - 3)
১,০৩৪.
a4 + a2b2 + b4 এর একটি উৎপাদক হলো-
  1. ক
    ক) (a2 - 2ab + b2 )
  2. খ
    খ) (a2 - ab + b2)
  3. গ
    গ) (a4 - ab + b4 )
  4. ঘ
    ঘ) (a - 2ab + b )
ব্যাখ্যা
a4 + a2b2 + b4 এর একটি উৎপাদক হলো- 
(a2)2 + 2a2b2 + (b2)2 - a2b2 
(a2 + b2)2 - (ab)2
(a2 + b2 + ab) (a2 + b2 - ab)
(a2 + ab + b2 ) (a2 - ab + b2 )
১,০৩৫.
a2 - 2ab + 2b - 1 এর উৎপাদকে বিশ্লেষণ হলো-
  1. ক
    (a + 1)(a - 1 - 2b)
  2. খ
    (a - 1)(a - 1 + 2b)
  3. গ
    (a + 1)(a + 1 - 2b)
  4. ঘ
    (a - 1)(a + 1 - 2b)
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: a2 - 2ab + 2b - 1 এর উৎপাদকে বিশ্লেষণ হলো-

সমাধন:
a2 - 2ab + 2b - 1
= a2 - 1 - 2ab + 2b
= a2 - 12 - 2ab + 2b
= (a + 1)(a - 1) - 2b(a - 1)
= (a - 1)(a + 1 - 2b)
১,০৩৬.
9x2 - 9x - 4 এর সঠিক উৎপাদকে বিশ্লেষণ হলো-
  1. ক
    ক) (3x - 4)(3x + 1)
  2. খ
    খ) (3x + 4)(3x - 1)
  3. গ
    গ) (4x - 3)(4x + 1)
  4. ঘ
    ঘ) (3x - 2)(3x + 4)
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 9x2 - 9x - 4 এর সঠিক উৎপাদকে বিশ্লেষণ হলো- 

সমাধান: 
9x2 - 9x - 4 
=9x2 - 12x + 3x - 4
= 3x(3x - 4) + 1(3x - 4)
= (3x - 4)(3x + 1)
১,০৩৭.
নিচের কোনটি a3 - 6a2 + 11a - 6 এর একটি উৎপাদক নয়?
  1. ক
    (a - 1)
  2. খ
    (a - 2)
  3. গ
    (a - 3)
  4. ঘ
    (a - 4)
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: নিচের কোনটি a3 - 6a2 + 11a - 6 এর একটি উৎপাদক নয়?

সমাধান:
a3 - 6a2 + 11a - 6
= a3 - a2 - 5a2 + 5a + 6a - 6
= a2(a - 1) - 5a(a - 1) + 6(a - 1)
= (a - 1)(a2 - 5a + 6)
= (a - 1) (a2 - 3a - 2a + 6)
= (a - 1) {a(a - 3) - 2(a - 3)}
= (a - 1)(a - 2)(a - 3)

∴ (a - 4), a3 - 6a2 + 11a - 6 এর একটি উৎপাদক নয়।

১,০৩৮.
p2 - 37p - 650 এর উৎপাদকে বিশ্লেষণ কোনটি?
  1. ক
    (p + 50)(p + 13)
  2. খ
    (p - 50)(p + 13)
  3. গ
    (p - 50)(p - 13)
  4. ঘ
    (p - 50)(p + 26)
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: p2 - 37p - 650 এর উৎপাদকে বিশ্লেষণ কোনটি?

সমাধান:
p2 - 37p - 650
= p2 - 50p + 13p - 650
= p(p - 50) + 13(p - 50)
= (p - 50)(p + 13)
১,০৩৯.
a3 - 21a - 20 এর একটি উৎপাদক -
  1. ক
    ক) a + 2
  2. খ
    খ) a + 1
  3. গ
    গ) a - 2
  4. ঘ
    ঘ) a - 1
ব্যাখ্যা

a3 - 21a - 20
এখানে f(a) = a3 - 21a - 20 ধরে অপশনগুলো থেকে a এর মান নিয়ে সমাধান করাটা সহজ হবে।
সবগুলো অপশন থেকে মান নিয়ে যাচাই করলে দেখা যায় যে, f(-1) = 0 হয়।
অর্থাৎ, (a+1) প্রদত্ত রাশিটির একটি উৎপাদক হবে।

১,০৪০.
উৎপাদকে বিশ্লেষণ করুন: x2 - y2 + 2x + 1
  1. ক
    ক) (x + y + 1) (x  + y - 1)
  2. খ
    খ) (x + y + 1) (x  - y + 1)
  3. গ
    গ) (x + y - 1) (x  - y + 1)
  4. ঘ
    ঘ) (x + y + 1) (x  - y - 1)
ব্যাখ্যা
x2 - y2 + 2x + 1
= (x2  + 2x + 1) - y2
= (x + 1)2 - y2
= (x  + 1 + y) (x  + 1 - y)
=  (x + y + 1) (x  - y + 1)
১,০৪১.
a³ - 21a - 20 রাশিটির একটি উৎপাদক নিচের কোনটি?
  1. ক
    ক) (a+5)
  2. খ
    খ) (a+4)
  3. গ
    গ) (a-1)
  4. ঘ
    ঘ) (a+2)
ব্যাখ্যা

a³ - 21a - 20
= a³ + a² - a² - a - 20a - 20
= a²(a+1) - a(a +1) - 20(a +1)
= (a+1)(a² - a - 20)
= (a+1) (a2 - 5a + 4a - 20)
= (a+1) {a(a-5) + 4(a-5)}
= (a+1) (a-5) (a+4)

১,০৪২.
3x3 + 2x2 - 21x - 20 রাশির একটি উৎপাদক হচ্ছে-
  1. ক
    x + 1
  2. খ
    x - 1
  3. গ
    x + 2
  4. ঘ
    x - 2
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 3x3 + 2x2 - 21x - 20 রাশির একটি উৎপাদক হচ্ছে -
 
সমাধান:
ধরি, 
P(x) = 3x3 + 2x2 - 21x - 20
 
এখানে,
P(-1) = 3(-1)3 + 2(-1)2 - 21. (-1) - 20
= -3 + 2 + 21 - 20 
= 23 - 23 
= 0
 
∴ (x + 1), P(x) এর একটি উৎপাদক।
১,০৪৩.
3x3 + 2x2 - 21x - 20 রাশিটির একটি উৎপাদক হচ্ছে-
  1. ক
    ক) x + 2
  2. খ
    খ) x - 2
  3. গ
    গ) x + 1
  4. ঘ
    ঘ) 3x2 - 1 - x
ব্যাখ্যা

3x3 + 2x2 - 21x - 20
= 3x3 + 3x2 - x2 - x - 20x - 20
= 3x2(x + 1) - x(x + 1) - 20(x + 1)
= (x + 1) (3x2 - x - 20)

১,০৪৪.
x2 + 2ax - 2a - 1 এর একটি উৎপাদক -
  1. ক
    (x + 2a - 1)
  2. খ
    (x - 1)
  3. গ
    (x - 2a + 1)
  4. ঘ
    (x + 1)
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: x2 + 2ax - 2a - 1 এর একটি উৎপাদক -

সমাধান:
x2 + 2ax - 2a - 1
= (x2 - 1) + 2ax - 2a
= (x + 1)(x - 1) + 2a (x - 1)
= (x - 1)(x + 2a + 1)
১,০৪৫.
2x2 - x - 3 এর উৎপাদক নয় কোনটি?
  1. ক
    (2x - 3)
  2. খ
    (1 + x)
  3. গ
    (2x + 3)
  4. ঘ
    কোনটিই নয়
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 2x2 - x - 3 এর উৎপাদক নয় কোনটি? 

সমাধান:
প্রদত্ত রাশি
= 2x2 - x - 3
= 2x2 - 3x + 2x - 3
= x(2x - 3) + 1(2x - 3)
= (2x - 3)(x + 1)
১,০৪৬.
x4 - 27x2 + 1 এর উৎপাদকে বিশ্লেষণ-
  1. ক
    (x2 + 5x + 1)(x2 - 5x - 1)
  2. খ
    (x2 + 5x - 1)(x2 - 5x - 1)
  3. গ
    (x2 + 4x - 1)(x2 - 4x + 1)
  4. ঘ
    (5x2 + 5x - 1)(5x2 - 5x - 1)
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: x4 - 27x2 + 1 এর উৎপাদকে বিশ্লেষণ-

সমাধান: 
 x4 - 27x2 + 1
= (x2)2 - 2.x2 .1 + 12 - 25x2
= (x2 - 1)2 - (5x)2
= (x2 - 1 + 5x)(x2 - 1 - 5x)
= (x2 + 5x - 1)(x2 - 5x - 1)
১,০৪৭.
(x2 - y2 - z2 - 2yz) এবং (z2 - x2 - y2 - 2xy) রাশিদ্বয়ের সাধারণ উৎপাদক কোনটি?
  1. ক
    (x - y - z)
  2. খ
    (x + y + z)
  3. গ
    (x - y + z)
  4. ঘ
    (x + y - z)
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: (x2 - y2 - z2 - 2yz) এবং (z2 - x2 - y2 - 2xy) রাশিদ্বয়ের সাধারণ উৎপাদক কোনটি?

সমাধান:

প্রথম রাশি = x2 - y2 - z2 - 2yz
= x2 - (y2 + z2 + 2yz)
= x2 - (y + z)2
= {x - (y + z)}{x + (y + z)}
= (x - y - z)(x + y + z)

দ্বিতীয় রাশি = z2 - x2 - y2 - 2xy
= z2 - (x2 + y2 + 2xy)
= z2 - (x + y)2
= {z - (x + y)}{z + (x + y)}
= (z - x - y)(z + x + y)
= - (x + y - z)(x + y + z)

প্রথম রাশি = (x - y - z)(x + y + z)
দ্বিতীয় রাশি = - (x + y - z)(x + y + z)

∴ সাধারণ উৎপাদক = x + y + z 

১,০৪৮.
x2 - 9x - 36 এর উৎপাদক নিচের কোনটি?
  1. ক
    x + 3
  2. খ
    x - 3
  3. গ
    x - 4
  4. ঘ
    x + 12
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: x2 - 9x - 36 এর উৎপাদক নিচের কোনটি? 

সমাধান:
x2 - 9x - 36
= x2 - 12x + 3x - 36
= x(x - 12) + 3(x - 12) 
= (x - 12) (x + 3) 
১,০৪৯.
x3 + 2x2 + ax - 12 বহুপদীর একটি উৎপাদক x - 2 হলে, a এর মান কত?
  1. ক
    3
  2. খ
    - 4
  3. গ
    5
  4. ঘ
    - 2
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: x3 + 2x2 + ax - 12 বহুপদীর একটি উৎপাদক x - 2 হলে, a এর মান কত?

সমাধান:
ধরি, f(x) = x3 + 2x2 + ax - 12
যেহেতু (x - 2) রাশিটির একটি উৎপাদক, সেহেতু x = 2 হলে f(x) = 0 হবে।

এখন, f(2) নির্ণয় করি,
f(2) = (2)3 + 2(2)2 + a(2) - 12
⇒ f(2) = 8 + 8 + 2a - 12
⇒ f(2) = 2a + 4

শর্তমতে, f(2) = 0
⇒ 2a + 4 = 0
⇒ 2a = - 4
∴ a = - 2

১,০৫০.
m3 - 7m + 6 এর উৎপাদক কত?
  1. ক
    (m - 1)(m + 2)(m + 3)
  2. খ
    (m - 1)(m - 2)(m + 3)
  3. গ
    (m + 1)(m - 2)(m + 3)
  4. ঘ
    (m + 1)(m - 2)(m - 3)
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: m3 - 7m + 6 এর উৎপাদক কত?

সমাধান:
f(m) = m3 - 7m - 6

ধরি, m = 1
f(1) = (1)3 - 7 (1) + 6
f(1) = 1 - 7 + 6
f(1) = 7 - 7
f(1) = 0

এখন
 m3  - 7m + 6 
= m3 - m2 + m2 - m - 6m + 6
= m2(m - 1) + m(m - 1) - 6(m - 1) 
= (m - 1)(m2 + m - 6)
=(m - 1)(m2 + 3m - 2m - 6)
= (m - 1){m(m + 3) - 2(m + 3)}
= (m - 1)(m - 2)(m + 3)

∴ নির্ণেয় উৎপাদক = (m - 1)(m - 2)(m + 3)
১,০৫১.
x2 - 2xy - z2 + 2yz এর একটি উৎপাদক (x - z) হলে অপরটি-
  1. ক
    (x - 2y + z)
  2. খ
    (x - 2y - z)
  3. গ
    (x + 2y + z)
  4. ঘ
    (x + 2y - z)
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: x2 - 2xy - z2 + 2yz এর একটি উৎপাদক (x - z) হলে অপরটি-

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
x2 - 2xy - z2 + 2yz
= x2 - z2 - 2xy + 2yz
= (x - z)(x + z) - 2y(x - z)
= (x - z)(x + z - 2y)
= (x - z)(x - 2y + z)

১,০৫২.
6a2 - 7a - 5 এর একটি উৎপাদক নিচের কোনটি?
  1. ক
    (3a - 2)
  2. খ
    (2a + 3)
  3. গ
    (3a - 5)
  4. ঘ
    (3a + 5)
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 6a2 - 7a - 5 এর একটি উৎপাদক নিচের কোনটি?

সমাধান: 
6a2 - 7a - 5
= 6a2 - 10a + 3a - 5
= 2a(3a - 5) + 1(3a - 5)
= (3a - 5)(2a + 1)
১,০৫৩.
a2 - 1 + 2b - b2 কে উৎপাদকে বিশ্লেষন করুন।
  1. ক
    (a + b - 1)(a + b + 1)
  2. খ
    (a + b - 1)(a - b - 1)
  3. গ
    (a - b - 1)(a + b + 1)
  4. ঘ
    (a + b - 1)(a - b + 1)
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: a2 - 1 + 2b - b2 কে উৎপাদকে বিশ্লেষন করুন।

সমাধান: 
a2 - 1 + 2b - b2
= a2 - (1 - 2b + b2)
= a2 - (1 - b)2
= (a + 1 - b) (a - 1 + b)
= (a + b - 1)(a - b + 1)
১,০৫৪.
x3 - 3x2 + ax - 6 বহুপদীর একটি উৎপাদক x - 2 হলে, a এর মান কত?
  1. ক
    2
  2. খ
    9
  3. গ
    - 2
  4. ঘ
    5
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: x3 - 3x2 + ax - 6 বহুপদীর একটি উৎপাদক x - 2 হলে, a এর মান কত?

সমাধান:
ধরি, f(x) = x3 - 3x2 + ax - 6
যেহেতু (x - 2) রাশিটির একটি উৎপাদক, সেহেতু x = 2 হলে f(x) এর মান শূন্য হবে।

এখন, f(2) এর মান নির্ণয় করি,
f(2) = (2)3 - 3(2)2 + a(2) - 6
= 8 - 3(4) + 2a - 6
= 8 - 12 + 2a - 6
= -4 + 2a - 6
= 2a - 10

শর্তমতে,
f(2) = 0
বা, 2a - 10 = 0
বা, 2a = 10
∴ a = 5

১,০৫৫.
2x2 - x -15 এর উৎপাদক হচ্ছে -
  1. ক
    ক) (x + 6) (x –5)
  2. খ
    খ) (x + 3) (2x -5)
  3. গ
    গ) (2x + 5) (x - 3)
  4. ঘ
    ঘ) (x –6) (x – 5)
ব্যাখ্যা
2x2 – 6x + 5x – 15
=2x(x – 3) + 5(x – 3)
= (x -3) (2x + 5)
১,০৫৬.
x2 – 11x + 30 এবং x3 – 4x2 – 2x – 15-এর গ.সা.গু. কত?
  1. ক
    ক) x - 5
  2. খ
    খ) x - 6
  3. গ
    গ) x2 + x + 3
  4. ঘ
    ঘ) x2 - x + 3 
ব্যাখ্যা
  x2 - 11x + 30 
= x2 – 6x – 5x + 30
= x(x - 6) - 5( x - 6) 
=(x - 6)(x - 5) 
 
আবার, x2 – 4x2 – 2x – 15 
x = 5 বসালে, উক্ত রাশিটির মান শূন্য হয়। 
অতএব,  x2 – 4x2 – 2x – 15 (x – 5) এর একটি উৎপাদক হলো (x - 5)
 
x3 - 5x2 + x2 - 5x + 3x -15 
= x2(x - 5) + x(x - 5) + 3 (x - 5) 
= (x – 5)(x2 + x + 3) 
 
নির্ণেয় গ.সা.গু. = (x - 5)
১,০৫৭.
(x - 3) (5x + 4) এর গুণফল কত?
  1. ক
    ক) 6x2 - 11x - 10
  2. খ
    খ) 5x2 - 11x - 12
  3. গ
    গ) 5x2 + 11x - 12
  4. ঘ
    ঘ) 5x2 + 11x + 12
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: (x - 3) (5x + 4) এর গুণফল কত? 

সমাধান:
(x - 3) (5x + 4)
= 5x2 + 4x - 15x - 12
= 5x2 - 11x - 12
১,০৫৮.
(a + 4) নিচের কোনটির একটি উৎপাদক?
  1. ক
    2a2 - a - 3
  2. খ
    a2 + a - 20
  3. গ
    (a - 1)2 - 25
  4. ঘ
    কোনটিই নয়
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: (a + 4) নিচের কোনটির একটি উৎপাদক?

সমাধান:
a + 4 = 0 হলে, a = - 4

ক) 2a2 - a - 3
= 2(- 4)2 - (- 4) - 3
= 32 + 4 - 3
= 33 ≠ 0

খ) a2 + a - 20
= (- 4)2 + (- 4) - 20
= 16 - 4 - 20
= - 8 ≠ 0

গ) (a - 1)2 - 25
= (- 4 - 1)2 - 25
= (- 5)2 - 25
= 25 - 25
= 0
১,০৫৯.
{(x + y)/(x - y)} - {(x - y)/(x + y)}= কত?
  1. ক
    ক) (x2 - y2)/2xy
  2. খ
    খ) 4xy/(x2 - y2)
  3. গ
    গ) (x2 + y2)/(x2 - y2)
  4. ঘ
    ঘ) 2xy/(x2 + y2)
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: {(x + y)/(x - y)} - {(x - y)/(x + y)}= কত? 

সমাধান:
{(x + y)2 - (x - y)2}/(x + y)(x - y)}
= (x2 + 2xy + y2 -  x2 + 2xy - y2)/(x2 - y2)
= 4xy/(x2 - y2)
১,০৬০.
a3 - 7a2b + 7ab2 - b3 এর উৎপাদক কী হবে?
  1. ক
    (a - b)3
  2. খ
    (a + b)3
  3. গ
    (a + b)(a2 + 6ab + b2)
  4. ঘ
    (a - b)(a2 - 6ab + b2)
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন  a3 - 7a2b + 7ab2 - b3 এর উৎপাদক কী হবে?

সমাধান:
= a3 - 7a2b + 7ab2 - b3
= a3 - 3a2b + 3ab2 - b3 - 4a2b + 4ab2
= (a - b)3 - 4ab(a - b)
= (a - b)(a2 - 2ab + b2 - 4ab)
= (a - b)(a2 - 6ab + b2)
১,০৬১.
x2-x-2 এর একটি উৎপাদক-
  1. ক
    ক) (x +2)
  2. খ
    খ) (x - 2)
  3. গ
    গ) (x - 3)
  4. ঘ
    ঘ) (x - 1)
ব্যাখ্যা

x² - x - 2
= x² - 2x + x - 2
= x(x - 2) + 1(x - 2)
= (x -2)(x + 1)

১,০৬২.
a - b এর উৎপাদক নিচের কোনটি?
  1. ক
    √a
  2. খ
    a + b
  3. গ
    √a + b
  4. ঘ
    √a + √b
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: a - b এর উৎপাদক নিচের কোনটি?

সমাধান: 
a - b
= (√a)2 - (√b)2
= (√a - √b) (√a + √b)
১,০৬৩.
(x + 7)(x - 3) + 9 এর উৎপাদক কোনটি?
  1. ক
    x - 2
  2. খ
    x - 8
  3. গ
    x + 4
  4. ঘ
    x + 3
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: (x + 7)(x - 3) + 9 এর উৎপাদক কোনটি?

সমাধান:
(x + 7)(x - 3) + 9
= x2 - 3x + 7x - 21 + 9
= x2 + 4x - 12
= x2 + 6x - 2x - 12
= x(x + 6) - 2(x + 6)
= (x + 6)(x - 2)
১,০৬৪.
x3 + 4x2 + cx - 20 বহুপদীর একটি উৎপাদক x - 2 হলে, c এর মান কত?
  1. ক
    - 8
  2. খ
    4
  3. গ
    - 2
  4. ঘ
    6
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: x3 + 4x2 + cx - 20 বহুপদীর একটি উৎপাদক x - 2 হলে, c এর মান কত?

সমাধান:
ধরি, f(x) = x3 + 4x2 + cx - 20
যেহেতু (x - 2) রাশিটির একটি উৎপাদক,
সেহেতু x = 2 হলে f(x) = 0 হবে।

এখন, f(2) নির্ণয় করি,
f(2) = (2)3 + 4(2)2 + c(2) - 20
⇒ f(2) = 8 + 16 + 2c - 20
⇒ f(2) = 2c + 4

শর্তমতে, f(2) = 0
⇒ 2c + 4 = 0
⇒ 2c = - 4
∴ c = - 2

১,০৬৫.
ma2 - 144mb2 এর উৎপাদক কোনটি?
  1. ক
    ক) m
  2. খ
    খ) a + 12b
  3. গ
    গ) a - 12b
  4. ঘ
    ঘ) সবগুলোই
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: ma2 - 144mb2 এর উৎপাদক কোনটি? 

সমাধান: 
ma2 - 144mb2
= m (a2 - 144b2)
= m {a2 - (12b)2}
= m (a + 12b) (a - 12b)
১,০৬৬.
x3 - 4x2 + x + 6 এর একটি উৎপাদক নিচের কোনটি?
  1. ক
    ক) x + 3
  2. খ
    খ) x - 2
  3. গ
    গ) x - 1
  4. ঘ
    ঘ) x + 4
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: x3 - 4x2 + x + 6 এর একটি উৎপাদক নিচের কোনটি?

সমাধান:
ধরি,
f(x) = x3 - 4x2 + x + 6
∴ f(2) = 23 - 4 . 22 + 2 + 6
= 8 - 16 + 2 + 6
= 16 - 16 
= 0

যেহেতু, x = 2 বসালে f(x) = 0 হয়।
সুতরাং, (x - 2) হলো f(x) এর একটি উৎপাদক।
১,০৬৭.
x2 + px - 15 রাশিটির একটি উৎপাদক x + 5 হলে, p এর মান কত?
  1. ক
    - 1
  2. খ
    4
  3. গ
    - 3
  4. ঘ
    2
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: x2 + px - 15 রাশিটির একটি উৎপাদক x + 5 হলে, p এর মান কত?

সমাধান:
ধরি, f(x) = x2 + px - 15
x + 5, f(x) এর একটি উৎপাদক বলে উৎপাদকের উপপাদ্য অনুযায়ী, f(- 5) = 0 হবে।

f(- 5) = (- 5)2 + p(- 5) - 15
= 25 - 5p - 15
= 10 - 5p

শর্তমতে,
10 - 5p = 0
⇒ 10 = 5p
⇒ p = 10/5
⇒ p = 2

১,০৬৮.
x3 + ax + 36 রাশিটির একটি উৎপাদক x + 3 হলে a এর মান কত?
  1. ক
    ক) 9
  2. খ
    খ) 6
  3. গ
    গ) 3
  4. ঘ
    ঘ) 1
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: x3 + ax + 36 রাশিটির একটি উৎপাদক x + 3 হলে a এর মান কত?

সমাধান: 
ধরি,
f(x) = x3 + ax + 36
x + 3, x3 + ax + 36 রাশিটির একটি উৎপাদক 
∴ f(- 3) = 0 হবে।

এখন,
f(-3) = (- 3)3 + a(- 3) + 36
= - 27 - 3a + 36 
= 9 - 3a 

∴ 9 - 3a = 0
বা, 3a = 9
∴ a = 3 
১,০৬৯.
নিচের কোনটি a3 - 8 এর একটি উৎপাদক?
  1. ক
    a + 2
  2. খ
    a + 3
  3. গ
    a - 2
  4. ঘ
    a - 4
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: নিচের কোনটি a3 - 8 এর একটি উৎপাদক?

সমাধান:
a3 - 8
= a3 - 23
= (a - 2)(a2 + 2a + 22)
= (a - 2)(a2 + 2a + 4)
১,০৭০.
a2 - b2 + 2bc - c2 কে উৎপাদকে বিশ্লেষণ হলো-
  1. ক
    ক) (a + b + c)(a - b + c)
  2. খ
    খ) (a + b - c)(a - b - c)
  3. গ
    গ) (a + b - c)(a + b - c)
  4. ঘ
    ঘ) (a + b - c)(a - b + c)
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: a2 - b2 + 2bc - c2 কে উৎপাদকে বিশ্লেষণ হলো-

সমাধান:  
 a2 - b2 + 2bc - c2 
= a2 - (b2 - 2bc + c2)
= a2 - (b - c)2
= {a + (b - c)}{a - (b - c)}
= (a + b - c)(a - b + c)
১,০৭১.
9x2 - 9x - 4 এর একটি উৎপাদক 3x + 1 হলে অপরটি কত?
  1. ক
    ক) (3x + 1)
  2. খ
    খ) (3x - 4)
  3. গ
    গ) (3x + 4)
  4. ঘ
    ঘ) কোনোটিই নয়
ব্যাখ্যা
9x2 - 9x - 4
= 9x2 - 12x + 3x - 4
= 3x(3x - 4) + 1(3x - 4)
(3x - 4)(3x + 1)
১,০৭২.
নিচের কোনটি 5a2b2 - 2abc - 16c2 এর একটি উৎপাদক?
  1. ক
    (ab - 2c)
  2. খ
    (a - 2c)
  3. গ
    (ab + 4c)
  4. ঘ
    (2b + c)
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: নিচের কোনটি 5a2b2 - 2abc - 16c2 এর একটি উৎপাদক?

সমাধান:
5a2b2 - 2abc - 16c2
= 5a2b2 - 10abc + 8abc - 16c2
= 5ab(ab - 2c) + 8c(ab - 2c)
= (ab - 2c)(5ab + 8c)
১,০৭৩.
a2 + 6a + 8 - y2 + 2y এর উৎপাদকে বিশ্লেষিত রূপ কোনটি?
  1. ক
    (a + y)(a - y + 4)
  2. খ
    (a - y - 2)(a + y + 4)
  3. গ
    (a - y)(a - y + 4)
  4. ঘ
    (a + y + 2)(a - y + 4)
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: a2 + 6a + 8 - y2 + 2y এর উৎপাদকে বিশ্লেষিত রূপ কোনটি?

সমাধান:
a2 + 6a + 8 - y2 + 2y
=a2 + 2 ⋅ a ⋅ 3 + (3)2 - y2 + 2 ⋅ y ⋅ 1 - (1)2
= (a + 3)2 - (y - 1)2
= {(a + 3) + (y - 1)}{(a + 3) - (y - 1)}
= (a + 3 + y - 1)(a + 3 - y + 1)
= (a + y + 2)(a - y + 4)
১,০৭৪.
(x2+y2-z2+2xy)/(x2-y2+z2+2xz) = কত?
  1. ক
    ক) x+y+z
  2. খ
    খ) (x+y-z)/(x-y+z)
  3. গ
    গ) (x-y+z)/(x+y-z)
  4. ঘ
    ঘ) (x+y-z)/(x+y+z)
ব্যাখ্যা

(x2+y2-z2+2xy)/(x2-y2+z2+2xz)
= [(x + y)2 - z2]/[(x+z)2-y2]
= [(x + y + z) (x + y - z)]/ [(x + y + z) (x - y + z)]
= (x + y - z)/(x - y + z)

১,০৭৫.
a2 - 1 = √3a হলে (a6 - 1)/a3 = কত?
  1. ক
    ক) √3
  2. খ
    খ) - 3√3
  3. গ
    গ) 0
  4. ঘ
    ঘ) 6√3
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: a2 - 1 = √3a হলে (a6 - 1)/a3 = কত? 

সমাধান: 
a2 - 1 = √3a
(a2 - 1)/a = √3a/a
a2/a - 1/a = √3
a - 1/a = √3

(a6 - 1)/a3 
= a6/a3 - 1/a3
= a3  - 1/a3
= (a - 1/a)3 + 3a.1/a.(a - 1/a)
= (√3)3 + 3√3
= 3√3 + 3√3
= 6√3
১,০৭৬.
16x3 - 46x2 + 15x কে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করুন-
  1. ক
    x(2x - 5)(8x - 3)
  2. খ
    x(8x + 3)(2x + 5)
  3. গ
    x(4x - 3)(4x - 5)
  4. ঘ
    x(16x - 3)(x - 5)
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 16x3 - 46x2 + 15x কে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করুন-

সমাধান: 
16x3 - 46x2 + 15x
= x(16x2 - 46x + 15)
= x(16x2 - 40x - 6x + 15)
= x {8x(2x - 5) - 3(2x - 5)}
= x(2x - 5)(8x - 3)

১,০৭৭.
x2 + 7x + P যদি x -5 দ্বারা বিভাজ্য হয় তবে P এর মান কত হবে?
  1. ক
    30
  2. খ
    60
  3. গ
    - 30
  4. ঘ
    - 60
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: x2 + 7x + P যদি x -5 দ্বারা বিভাজ্য হয় তবে P এর মান কত হবে? 

সমাধান: 
x2 + 7x + P যদি x -5 দ্বারা বিভাজ্য হয় তবে f(5) = 0 হবে। 
∴ x2 + 7x + P = 0 
বা, (5)2 + 7 . 5 + P = 0 
বা, 25 + 35 + P = 0 
বা, 60 + P = 0 
∴ P = - 60 

∴ P এর মান = -60.0  ।

১,০৭৮.
নিচের কোনটি x2 - y2 - 2y - 1 এর উৎপাদক?
  1. ক
    x - y
  2. খ
    y - 1
  3. গ
    x + y - 1
  4. ঘ
    x - y - 1
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: নিচের কোনটি x2 - y2 - 2y - 1 এর উৎপাদক?

সমাধান:
x2 - y2 - 2y - 1
= x2 - (y2 + 2y + 1)
= x2 - (y + 1)2
= (x + y + 1) (x - y - 1)
১,০৭৯.
যদি f(x) = 7x3 - 8x2 + 6x - 36 বহুপদীর উৎপাদক (x - 2) হয়, তবে ভাগশেষ কত হবে?
  1. ক
    ক) 1
  2. খ
    খ) 2
  3. গ
    গ) 0
  4. ঘ
    ঘ) 3
ব্যাখ্যা
যদি f(x) = 7x3 - 8x2 + 6x - 36 বহুপদীর উৎপাদক (x - 2) হয়, তবে ভাগশেষ f(2) বা 0 হবে।

f(x) = 7x3 - 8x2 + 6x - 36
f(2) = 7(23) - 8(22) + 6 × 2 - 36 = 0
১,০৮০.
x - 3, x3 + kx2 - 6x - 9 এর একটি উৎপাদক হলে k = ?
  1. ক
    ক) -1
  2. খ
    খ) 0
  3. গ
    গ) 1
  4. ঘ
    ঘ) 2
ব্যাখ্যা

x - 3, f(x) = x3 + kx2 - 6x - 9 এর উৎপাদক
∴ f(3) = 27 + 9k - 18 - 9 = 9k = 0
∴ k = 0

১,০৮১.
নিচের কোনটি (a2 - 11a + 30) এবং (a3 - 4a2 - 2a - 15) এর একটি সাধারণ উৎপাদক?
  1. ক
    (a - 6)
  2. খ
    (a + 4)
  3. গ
    (a2 + a + 3)
  4. ঘ
    (a - 5)
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: নিচের কোনটি (a2 - 11a + 30) এবং (a3 - 4a2 - 2a - 15) এর একটি সাধারণ উৎপাদক?

সমাধান:
১ম রাশি: (a2 - 11a + 30)
= a2 - 6a - 5a + 30
= a(a - 6) - 5a(a - 6)
= (a - 5)(a - 6)

২য় রাশি: (a3 - 4a2 - 2a - 15)
= a3 - 5a2 + a2 - 5a + 3a - 15
= a2 (a - 5) + a(a - 5) + 3(a - 5) 
= (a - 5)(a2 + a + 3)
∴ রাশি দুইটির একটি সাধারণ উৎপাদক হলো (a - 5)
১,০৮২.
27x4 + 8xy3 এর উৎপাদকে বিশ্লেষণ নীচের কোনটি?
  1. ক
    x(3x - 2y)(9x2 - 6xy + 4y2)
  2. খ
    x(3x + 2y)(9x2 - 6xy + 4y2)
  3. গ
    x(3x + 2y)(9x2 + 6xy + 4y2)
  4. ঘ
    x(3x - 2y)(9x2 + 6xy + 4y2)
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 27x4 + 8xy3 এর উৎপাদকে বিশ্লেষণ নীচের কোনটি?

সমাধান:
27x4 + 8xy3
= x(27x3 + 8y3)
= x{(3x)3 + (2y)3}
= x(3x + 2y){(3x)2 - 3x.2y + (2y)2}
= x(3x + 2y)(9x2 - 6xy + 4y2)
১,০৮৩.
x2 + 7x + p যদি x − 3 দ্বারা বিভাজ্য হয় তবে, p-এর মান কত হবে?
  1. ক
    ক) -60
  2. খ
    খ) -30
  3. গ
    গ) 30
  4. ঘ
    ঘ) 60
ব্যাখ্যা

যেহেতু, (x - 3) দ্বারা x2 + 7x + p বিভাজ্য, সেহেতু, 32 + 7(3) + p = 0 হবে।
বা, 9 + 21 + p = 0
p = -30

১,০৮৪.
9a2 + 18a - 40 এর উৎপাদক কোনটি?
  1. ক
    (3a - 10)
  2. খ
    (a - 3)
  3. গ
    (3a - 4)
  4. ঘ
    (a + 10)
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 9a2 + 18a - 40 এর উৎপাদক কোনটি?

সমাধান:
9a2 + 18a - 40
= 9a2 + 30a - 12a - 40
= 3a(3a + 10) - 4(3a + 10)
= (3a + 10)(3a - 4)
১,০৮৫.
2x3 - 3x2 - 3x + 2 রাশিটির একটি উৎপাদক হচ্ছে-
  1. ক
    x + 1
  2. খ
    x + 2
  3. গ
    x - 1
  4. ঘ
    x - 5
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 2x3 - 3x2 - 3x + 2 রাশিটির একটি উৎপাদক হচ্ছে-

সমাধান:
ধরি, f(x) = 2x3 - 3x2 - 3x + 2
∴ f(- 1) = 2(- 1)3 - 3(- 1)2 - 3(- 1) + 2
= 2(- 1) - 3(1) + 3 + 2
= - 2 - 3 + 3 + 2
= 0 

যেহেতু f(-1) = 0, সুতরাং উৎপাদক উপপাদ্য অনুযায়ী, x - (-1), অর্থাৎ (x + 1) হলো প্রদত্ত রাশিটির একটি উৎপাদক।

১,০৮৬.
a3 - 7a - 6 এর একটি উৎপাদক নয় কোনটি?
  1. ক
    a + 1
  2. খ
    a - 3
  3. গ
    a - 1
  4. ঘ
    a + 2
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: a3 - 7a - 6 এর একটি উৎপাদক নয় কোনটি?

সমাধান:
 a3 - 7a - 6 
= a3 + a2 - a2 - a - 6a - 6 
= a2 (a + 1) - a (a + 1) - 6 (a + 1) 
= (a + 1) (a2 - a - 6) 
= (a + 1) (a2 - 3a + 2a - 6) 
= (a + 1) {a (a - 3) + 2 (a -3)} 
= (a + 1) (a - 3) (a + 2) 

∴ নির্ণেয় উৎপাদক = (a + 1)(a + 2)(a - 3) .
১,০৮৭.
x2 + 2tx + t2 - 4 কে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করুন। 
  1. ক
    (x + t + 2)(x + t - 2)
  2. খ
    (x + t)2 - 2
  3. গ
    (x + 2t + 2)(x + 2t - 2)
  4. ঘ
    (x + t + 4)(x + t - 4)
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: x2 + 2tx + t2 - 4 কে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করুন। 

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
x2 + 2tx + t2 - 4
= (x2 + 2tx + t2) - 4
= (x + t)2 - 4
= (x + t)2 - 22
= (x + t + 2)(x + t - 2)

১,০৮৮.
2x2 - 5xy + 2y2 এর উৎপাদকগুলো হলো-
  1. ক
    ক) (5x - 2y)(5x - y)
  2. খ
    খ) (3x + 2y)(2x - y)
  3. গ
    গ) (x - 2y)(2x - y)
  4. ঘ
    ঘ) (x - 2y)(2x + 3y)
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 2x2 - 5xy + 2y2 এর উৎপাদকগুলো হলো- 

সমাধান: 
2x2 - 5xy + 2y2
= 2x2 - 4xy - xy + 2y2
= 2x(x - 2y) - y(x - 2y)
=(x - 2y)(2x - y)
১,০৮৯.
a3 + a2 - 2 = 0 এর একটি সমাধান-
  1. ক
    ক) -1
  2. খ
    খ) 0
  3. গ
    গ) 1
  4. ঘ
    ঘ) 2
ব্যাখ্যা

a3 + a2 - 2
= (a3 - 1) + (a2 - 1)
= (a - 1)(a2 + a + 1) + (a+1)(a - 1)
= (a - 1)(a2 + a + 1 + a + 1)
= (a - 1)(a2 + 2a + 2)
= (a - 1)(a2 + 2a + 2)
∴ a = 1 হলে,
a3 + a2 - 2 = 0
∴ a = 1

১,০৯০.
4x2 − 16 এবং 6x2 + 24x + 24 এর গ.সা.গু কত? 
  1. ক
    x + 2
  2. খ
    2(x + 2)
  3. গ
    x − 2
  4. ঘ
    x + 4
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 4x2 − 16 এবং 6x2 + 24x + 24 এর গ.সা.গু কত? 

সমাধান: 
১ম রাশি = 4x2 − 16
= 4 (x2 − 4)
= 4 {(x)2 − (2)2}
= 4 (x + 2) (x − 2) 

দ্বিতীয় রাশি = 6x2 + 24x + 24
= 6 (x2 + 4x + 4)
= 6 {(x)2 + 2. x. 2 + (2)2}
= 6 (x + 2)2

এখন,
4 এবং 6 এর গ.সা.গু = 2

∴ নির্ণেয় প্রদত্ত রাশিদ্বয়ের গ.সা.গু = 2(x + 2) ।

১,০৯১.
x6 - y6 এর উৎপাদক কোনটি?
  1. ক
    (x2 + xy + y2)
  2. খ
    (x2 - xy + y2)
  3. গ
    (x + y)
  4. ঘ
    সবগুলোই ঠিক
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: x6 - y6 এর উৎপাদক কোনটি?
 
সমাধান:
x6 - y6 
= (x3)2 - (y3)2
= (x3 + y3)(x3 - y3)
= (x + y) (x2 - xy + y2) (x - y) (x2 + xy + y2)
১,০৯২.
a3 - a এর একটি উৎপাদক-
  1. ক
    (a + 3)
  2. খ
    (a + 2)
  3. গ
    (a + 1)
  4. ঘ
    (a - 2)
ব্যাখ্যা

a3 - a
= a(a2 - 1)
= a(a2 - 12)
= a(a + 1)(a - 1)

১,০৯৩.
3b - 48b3 এর একটি উৎপাদক নয় কোনটি?
  1. ক
    3b
  2. খ
    (4b + 1)
  3. গ
    (1 - 4b)
  4. ঘ
    (3b + 2)
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 3b - 48b3 এর একটি উৎপাদক নয় কোনটি?

সমাধান:
3b - 48b3
= 3b(1 - 16b2)
= 3b{12 - (4b)2}
= 3b(1 + 4b)(1 - 4b)
১,০৯৪.
(a - 3)(5a + 4) একটি সমীকরণের উৎপাদক হলে সমীকরণটি-
  1. ক
    10a2 - 11a - 12
  2. খ
    5a2 + 11a - 12
  3. গ
    5a2 - 11a - 12
  4. ঘ
    কোনটিই নয়
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: (a - 3)(5a + 4) একটি সমীকরণের উৎপাদক হলে সমীকরণটি-

সমাধান:
দেওয়া আছে,
= (a - 3)(5a + 4)
= 5a2 + 4a - 15a - 12
= 5a2 - 11a - 12
১,০৯৫.
4x4 + 1 কে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করলে কোনটি পাওয়া যাবে
  1. ক
    ক) (2x2 + 2x + 1)(2x2 - 2x - 1)
  2. খ
    খ) (2x2 + 2x - 1)(2x2 - 2x + 1)
  3. গ
    গ) (2x2 + 2x + 1)(2x2 - 2x + 1)
  4. ঘ
    ঘ) (2x2 + 2x - 1)(2x2 - 2x - 1)
ব্যাখ্যা
4x4 + 1 = (2x2)2 + 1
= (2x2)2 + 2.2x2.1 + 12 - 4x2
= (2x2 + 1)2 - (2x)2
= (2x2 + 2x + 1)(2x2 - 2x + 1)
১,০৯৬.
নিচের কোনটি p3 - 6p2 + 11p - 6 এর উৎপাদক নয়?
  1. ক
    p + 1
  2. খ
    p - 1
  3. গ
    p - 2
  4. ঘ
    p - 3
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: নিচের কোনটি p3 - 6p2 + 11p - 6 এর উৎপাদক নয়?

সমাধান:
p3 - 6p2 + 11p - 6
= p3 - p2 - 5p2 + 5p + 6p - 6
= p2 (p - 1) - 5p(p - 1) + 6(p - 1)
= (p - 1)(p2 - 5p + 6)
= (p - 1)(p2 - 3p - 2p +6)
= (p - 1){p(p - 3) - 2(p - 3)}
= (p - 1)(p - 2)(p - 3)
১,০৯৭.
x2 - 1 - y(y + 2) এর উৎপাদক কত?
  1. ক
    (x + y + 1)(x - y - 1)
  2. খ
    (x - y + 1)(x - y - 1)
  3. গ
    (x + y + 1)(x + y - 1)
  4. ঘ
    (x + y + 2)(x - y - 2)
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: x2 - 1 - y (y + 2) এর উৎপাদক কত?

সমাধান:
x2 - 1 - y (y + 2)
= x2 - 1 - y2 - 2y
= x2 - y2 - 2y - 1
= x2 - (y2 + 2y . 1 + 12)
= x2 - (y + 1)2
= (x + y + 1)(x - y - 1)
১,০৯৮.
নিচের কোনটি a2 + 7a - 120 এর একটি উৎপাদক?
  1. ক
    (a + 20)
  2. খ
    (a + 15)
  3. গ
    (a - 12)
  4. ঘ
    (a - 4)
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: নিচের কোনটি a2 + 7a - 120 এর একটি উৎপাদক?

সমাধান:
a2 + 7a - 120
= a2 + 15a - 8a - 120
= a(a + 15) - 8(a + 15)
= (a + 15)(a - 8)
১,০৯৯.
নিচের কোনটি 3x2 - x - 14 এর একটি উৎপাদক?
  1. ক
    ক) 3x + 7
  2. খ
    খ) x - 2
  3. গ
    গ) x
  4. ঘ
    ঘ) x + 2
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: নিচের কোনটি 3x2 - x - 14 এর একটি উৎপাদক?

সমাধান:
3x2 - x - 14
= 3x2 - 7x + 6x - 14
= x(3x - 7) + 2(3x - 7)
= (3x - 7) (x + 2)
১,১০০.
2x2 + 5x - 3 = 0 সমীকরণের মূলদ্বয় নিচের কোনটি?
  1. ক
    3, - 1
  2. খ
    1/2, - 3
  3. গ
    - 3, 1
  4. ঘ
    - 1/2, 5
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 2x2 + 5x - 3 = 0 সমীকরণের মূলদ্বয় নিচের কোনটি?

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
2x2 + 5x - 3 = 0
⇒ 2x2 + 6x - x - 3 = 0 
⇒ 2x(x + 3) - 1(x + 3) = 0 
⇒ (2x - 1)(x + 3) = 0

হয়, 
2x - 1 = 0
⇒ 2x = 1
∴ x = 1/2

অথবা 
x + 3 = 0
∴ x = -3

সুতরাং, মূলদ্বয় 1/2, - 3