চতুর্ভুজ সংক্রান্ত সমস্যা ও সমাধান

ধরি, সরলরেখাটির দৈর্ঘ্য = x
সরলরেখার অর্ধেকের উপর অঙ্কিত বর্গ = x²
সরলরেখার অর্ধেকের উপর অঙ্কিত বর্গ = (x²/2) বা, x²/4
একটি সরল রেখার উপর অঙ্কিত বর্গ ঐ সরলরেখার অর্ধেকের উপর অঙ্কিত বর্গের চারগুন।

প্রশ্ন: একটি বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল 50 বর্গমিটার হলে বর্গক্ষেত্রটির কর্ণের দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = 50 বর্গমিটার
আমরা জানি,
বর্গক্ষেত্রের বাহু = √(ক্ষেত্রফল)
= √50
= √(25 × 2)
= 5√2 মিটার

আবার,
বর্গক্ষেত্রের কর্ণ = √2 × বাহুর দৈর্ঘ্য
= √2 × 5√2 মিটার
= (√2 × √2) × 5 মিটার
= 2 × 5 মিটার
= 10 মিটার

অতএব, বর্গক্ষেত্রটির কর্ণের দৈর্ঘ্য হবে 10 মিটার।

প্রশ্ন: ১টি বর্গাকার মাঠের ক্ষেত্রফল ৪০০ বর্গমিটার হলে তার পরিসীমা কত?

সমাধান:
বর্গাকার ক্ষেত্রফলের সূত্র:
ক্ষেত্রফল = পাশের দৈর্ঘ্য^২ 

দেওয়া আছে,  
ক্ষেত্রফল = ৪০০ বর্গমিটার

পাশের দৈর্ঘ্য = √৪০০ = ২০ মিটার
পরিসীমা = ৪ × পাশের দৈর্ঘ্য
= ৪ × ২০ 
= ৮০ মিটার 

ক্ষেত্রফল = 64 বর্গমিঃ
∴ বাহুর দৈর্ঘ্য = √64 মিঃ = 8 মিঃ
∴ কর্ণের দৈর্ঘ্য = 8√2 মিঃ

প্রশ্ন: একটি বর্গের কর্ণের দৈর্ঘ্য কত হলে এর পরিধি ও ক্ষেত্রফল সমান হবে?

সমাধান:

বর্গের কর্ণ ও বাহুর সম্পর্ক
বর্গের বাহু a হলে কর্ণের দৈর্ঘ্য d হয়:
d = a√2  
 a = d/√2

আমরা জানি,
ক্ষেত্রফল: A = a²
পরিধি: P = 4a

শর্তমতে,
4a = a²
a² - 4a = 0
a(a - 4) = 0
a = 0 (not possible) / a = 4

কর্ণের দৈর্ঘ্যঃ
d = a√2  
d = 4√2

∴কর্ণের দৈর্ঘ্য = 4√2

প্রশ্ন: নিচের কোন চতুর্ভুজটির এক জোড়া সমান্তরাল বাহু রয়েছে?

সমাধান:
আয়ত (Rectangle): এর দুই জোড়া বিপরীত বাহু সমান্তরাল (এবং সমান)।
রম্বস (Rhombus): এর দুই জোড়া বিপরীত বাহু সমান্তরাল (এবং চারটি বাহুই সমান)।
সামান্তরিক (Parallelogram): এর দুই জোড়া বিপরীত বাহু সমান্তরাল।
ট্রাপিজিয়াম হলো সেই চতুর্ভুজ, যার ঠিক এক জোড়া সমান্তরাল বাহু বিদ্যমান।

• ট্রাপিজিয়াম: 
যে চতুর্ভুজের দুটি বাহু পরস্পর সমান্তরাল কিন্তু অসমান অর্থাৎ সমান নয় তাকে ট্রাপিজিয়াম বলে।

ট্রাপিজিয়ামের বৈশিষ্ট্য:
- ট্রাপিজিয়ামের দুইটি বাহু সমান্তরাল,
- সমান্তরাল বাহু দুইটি কখনও সমান হতে পারে না,
- সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের একটিকে ভূমি বলে,
- সমান্তরাল বাহু দুটি ব্যতীত অপর দুটি বাহুকে তীর্যক বাহু বলে,
- তীর্যক বাহু দুইটি সমান হলে উহা একটি সমদ্বিবাহু ট্রাপিজিয়াম।

∴ ট্রাপিজিয়ামের এক জোড়া সমান্তরাল বাহু রয়েছে।

1/2 ∠C = 55°
∴ ∠C = 110°
∴ ∠A = 180° - 110°
= 70°

প্রশ্ন: একটি রম্বসক্ষেত্রের কর্ণদ্বয় যথাক্রমে ৫.৪ সে.মি. ও ৪.৫ সে.মি.। এর ক্ষেত্রফল কত বর্গ সে.মি.?

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
কর্ণদ্বয় যথাক্রমে ৫.৪ সে.মি. ও ৪.৫ সে.মি.

আমরা জানি, 
রম্বসক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = (১/২) ​× (কর্ণদ্বয়ের গুণফল) বর্গ একক 
= (১/২) ​× (৫.৪ ​× ৪.৫)
= ২৪.৩/২ 
= ১২.১৫ বর্গ সে.মি.

সুতরাং, রম্বসক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল ১২.১৫ বর্গ সে.মি.।

প্রশ্ন: একটি বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল ও একটি রম্বসের ক্ষেত্রফলের সমান। বর্গক্ষেত্রের একবাহুর দৈর্ঘ্য 12 সে.মি. এবং রম্বসের একটি কর্ণ 16 সে.মি. হলে রম্বসটির অপর কর্ণের দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
মনেকরি
রম্বসটির অপর কর্ণের দৈর্ঘ্য = x সে.মি.

বর্গক্ষেত্রের একবাহুর দৈর্ঘ্য 12 সে.মি.
বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = 144 বর্গ সে.মি.
রম্বসের ক্ষেত্রফল= 144 বর্গ সে.মি.
রম্বসের একটি কর্ণ = 16 সে.মি.

আমরা জানি,
রম্বসের ক্ষেত্রফল = (1/2) × (কর্ণদ্বয়ের গুণফল)
⇒ 144 = (1/2)(x × 16)
⇒ 8x = 144
∴ x = 18

∴ রম্বসটির অপর কর্ণের দৈর্ঘ্য 18 সে.মি.

ধরি, আয়তাকার ঘরের প্রস্থ x মিটার এবং দৈর্ঘ্য ১.৫x মিটার বা ৩x/২ মিটার
প্রশ্নমতে,
x × ৩x/২ = ২১৬
⇒ ৩x² = ৪৩২
⇒ x² = ১৪৪
∴ x = ১২
অর্থাৎ প্রস্থ x = ১২ মিটার এবং দৈর্ঘ্য ৩x/২ = ৩×১২/২ = ১৮ মিটার
∴ আয়তক্ষেত্রটির পরিসীমা = ২(১২+১৮) = ৬০ মিটার

প্রশ্ন: বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের একটি কোণ ৭০° হলে তার বিপরীত কোণের মান কত?

সমাধান:
আমরা জানি, বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের বিপরীত কোণগুলোর সমষ্টি ১৮০°।
দেওয়া আছে, একটি কোণ = ৭০°
সুতরাং, বিপরীত কোণটির মান হবে = (১৮০ - ৭০)°
= ১১০°
অতএব, বিপরীত কোণটির মান ১১০°।

প্রশ্ন: একটি সামন্তরিকের উচ্চতা ভূমির তিনগুণ এবং ক্ষেত্রফল ৪৩২ বর্গমিটার। ক্ষেত্রটির উচ্চতা কত?

সমাধান:
ধরি,
সামন্তরিকের ভূমি = ক মিটার
সামন্তরিকের উচ্চতা = ৩ক মিটার

আমরা জানি,
সামন্তরিকের ক্ষেত্রফল = ভূমি × উচ্চতা
সামন্তরিকের ক্ষেত্রফল = (ক × ৩ক) বর্গমিটার
= ৩ক^২ বর্গমিটার

শর্তমতে,
৩ক^২ = ৪৩২
⇒ ক^২ = ৪৩২/৩
⇒ ক^২ = ১৪৪
∴ ক = ১২

∴ উচ্চতা = (৩ × ১২) = ৩৬ মিটার