চতুর্ভুজ সংক্রান্ত সমস্যা ও সমাধান

আয়তক্ষেত্রের প্রস্থ = a হলে, দৈর্ঘ্য = ৩a
এখন, আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = বর্গের ক্ষেত্রফল = ২৭^২ বা, ৩a × a = ৭২৯
বা, a^২ = 243
∴ a = ১৫.৫৯ মি.
∴ পরিসীমা = ২(৩a+a)
= ৮a
= ৮ × ১৫.৫৯
= ১২৪.৭১ মি.

প্রশ্ন: একটি চতুর্ভুজে দুটি বিপরীত বাহু সমান্তরাল ও সমান না হলে সেটি কোনটি?

সমাধান:
• ট্রাপিজিয়াম (Trapezium) হলো এমন একটি চতুর্ভুজ যার দুটি বিপরীত বাহু সমান্তরাল কিন্তু সমান নয়। বাকি দুটি বাহু অসমান্তরাল হয়।
- এটি অন্যান্য চতুর্ভুজের তুলনায় বিশেষ একটি রূপ, যেখানে সমান্তরাল বাহুগুলিকে ভিত্তি (bases) এবং অসমান্তরাল বাহুগুলিকে বাহু (legs) বলা হয়।

প্রধান বৈশিষ্ট্য:
- একটি জোড়া বিপরীত বাহু সমান্তরাল।
- সমান্তরাল বাহুগুলির দৈর্ঘ্য সমান নাও হতে পারে।
- কর্ণদ্বয় সাধারণত সমান নয়।
- যদি অসমান্তরাল বাহুদ্বয় সমান হয়, তবে সেটি সমবাহু ট্রাপিজিয়াম (Isosceles Trapezium) নামে পরিচিত।

∴ চতুর্ভুজটি ট্রাপিজিয়াম

প্রশ্ন: একটি বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল পরিসীমা অপেক্ষা ১০ গুণ হলে বাহুর দৈর্ঘ্য কত মিটার?

সমাধান:
বর্গের বাহু = ক মিটার 
ক্ষেত্রফল = ক^২ বর্গমিটার 
পরিধি = 4ক মিটার 

প্রশ্নমতে:
ক^২ = ১০ × ৪ক
ক^২ = ৪০ক
ক(ক - ৪০) = ০ 
ক = ৪০ (ক = ০ সম্ভব নয়)

∴ বাহুর দৈর্ঘ্য = ৪০ মিটার 

দেয়া আছে, বৃত্তের ব্যাসার্ধ ৫৬ ফুট 
∴ বৃত্তের ক্ষেত্রফল = πr² = ৩.১৪১৬ × ৫৬² = ৯৮৫২.০৬ বর্গফুট
প্রশ্নমতে,বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল ৯৮৫২.০৬ বর্গফুট
বর্গক্ষেত্রের বাহুর দৈর্ঘ্য = √৯৮৫২.০৬ = ৯৯.২৬ ফুট।

বৃহত্তম কোণ = (360 × 4)/10 = 144°

আমরা জানি,
১ হেক্টর = ১০০০০ বর্গমিটার
০.৫ হেক্টর = ৫০০০ বর্গমিটার

আমরা জানি,
বর্গক্ষেত্রের একটি বাহু a মিটার হলে এর ক্ষেত্রফল a² বর্গমিটার

এখানে,
a² = ৫০০০ বর্গমিটার

কর্ণ =√(a² + a²)
=√(৫০০০ + ৫০০০)
=√১০০০০
=১০০ মিটার

প্রশ্ন: একটি সামান্তরিকের ভূমি ও উচ্চতার অনুপাত ৫ : ৪ এবং ক্ষেত্রফল ২০০০ বর্গ মিটার হলে, এর উচ্চতা কত?

সমাধান: 
দেওয়া আছে,
সামান্তরিকের ভূমি : উচ্চতা = ৫ : ৪
ক্ষেত্রফল = ২০০০ বর্গ মিটার

ধরি, ভূমি = ৫x মিটার
উচ্চতা = ৪x মিটার

আমরা জানি,
ক্ষেত্রফল = ভূমি × উচ্চতা
২০০০ = ৫x × ৪x
⇒ ২০x^২ = ২০০০
⇒ x^২ = ২০০০/২০
⇒ x^২ = ১০০
⇒ x = √১০০ = ১০
∴ x = ১০ মিটার

∴ উচ্চতা = ৪x = ৪ × ১০ = ৪০ মিটার

সুতরাং, সামান্তরিকের উচ্চতা ৪০ মিটার

প্রশ্ন: একটি বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা একটি আয়তক্ষেত্রের পরিসীমার সমান। আয়তক্ষেত্রটির দৈর্ঘ্য প্রস্থের ৩ গুণ এবং ক্ষেত্রফল ৭৬৮ বর্গমিটার। বর্গক্ষেত্রটির এক বাহুর দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান: 
ধরি,
আয়তক্ষেত্রটির প্রস্থ = ক মিটার
তাহলে দৈর্ঘ্য = ৩ক মিটার   ; [দৈর্ঘ্য প্রস্থের ৩ গুণ]

আমরা জানি, 
আয়তক্ষেত্রটির ক্ষেত্রফল = (দৈর্ঘ্য × প্রস্থ) বর্গ একক 

প্রশ্নমতে, 
ক × ৩ক = ৭৬৮
⇒ ক^২ = ৭৬৮/৩ 
⇒ ক^২ = ২৫৬ 
⇒ ক = √২৫৬ 
∴ ক = ১৬ মিটার

আয়তক্ষেত্রটির প্রস্থ = ১৬ মিটার
∴ দৈর্ঘ্য = ৩ × ১৬ = ৪৮ মিটার

∴ আয়তক্ষেত্রটির পরিসীমা = ২(দৈর্ঘ্য + প্রস্থ) = ২(৪৮ + ১৬) = ১২৮ মিটার
বর্গক্ষেত্রটির পরিসীমা আয়তক্ষেত্রটির পরিসীমা সমান, অর্থাৎ ১২৮ মিটার

আবার, 
ধরি, বর্গক্ষেত্রটির এক বাহুর দৈর্ঘ্য = খ মিটার
তাহলে পরিসীমা = ৪খ  = ১২৮ মিটার
∴ খ = ১২৮/৪ = ৩২ মিটার

সুতরাং, বর্গক্ষেত্রটির এক বাহুর দৈর্ঘ্য ৩২ মিটার।

প্রশ্ন: ২৪ মিটার বাহু বিশিষ্ট একটি ত্রিভুজের সমপরিসীমা বিশিষ্ট একটি বর্গ আঁকলে, সেই বর্গের বাহুর দৈর্ঘ্য কত হবে? 

সমাধান:
ত্রিভুজের বাহু = ২৪ মি
পরিসীমা = ৩ × ২৪ = ৭২ মি  

সমপরিসীমা বিশিষ্ট বর্গের বাহু
বর্গের পরিসীমা = ৪ × বাহু 
⇒ ৪ × বাহু = ৭২
⇒ বাহু = ৭২ / ৪
⇒ বাহু = ১৮ মিটার

∴ বর্গের বাহুর দৈর্ঘ্য = ১৮ মিটার

বর্গের পরিসীমা ৪৪ মিটার হলে এক বাহুর দৈর্ঘ্য ৪৪/৪ = ১১ মিটার
∴ ক্ষেত্রফল = ১১ × ১১ = ১২১ বর্গমিটার

প্রশ্ন: বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা ২২০ মিটার হলে ক্ষেত্রফল কত বর্গমিটার?

সমাধান:
দেওয়া আছে, 
বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা ২২০ মিটার

আমরা জানি, 
বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা = ৪ × বাহু 
⇒ ৪ × বাহু = ২২০
⇒ বাহু = ২২০/৪ 
∴ বাহু = ৫৫

আবার, আমরা জানি,
ক্ষেত্রফল = বাহু^২ = ৫৫^২ = ৩০২৫ বর্গমিটার

∴ ক্ষেত্রফল ৩০২৫ বর্গমিটার।

প্রশ্ন: একটি সামান্তরিকের দুইটি সন্নিহিত বাহুর দৈর্ঘ্য যথাক্রমে 7 সেন্টিমিটার এবং 30 মিলিমিটার। সামান্তরিকটির পরিসীমা কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
সামান্তরিকের এক বাহু = 7 সেন্টিমিটার 
অপর বাহু = 30 মিলিমিটার
= (30/10) সেন্টিমিটার
= 3 সেন্টিমিটার

∴ সামান্তরিকের পরিসীমা = 2(দৈর্ঘ্য + প্রস্থ) একক 
= 2(7 + 3) সেন্টিমিটার
= (2 × 10) সেন্টিমিটার
= 20 সেন্টিমিটার 

রম্বসের ক্ষেত্রফল = 1/2 × 8 × 6
= 24 বর্গসেঃমিঃ = আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল।

আবার,
আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য = 6 cm
∴ প্রস্থ = 24/6
= 4 cm

∴ কর্ণের দৈর্ঘ্য = √(6² + 4²)
= √52
= 2√13 cm

প্রশ্ন: ABCD রম্বসের কর্ণ AC = 8 সে.মি. এবং কর্ণ BD = 6 সে.মি. হলে, রম্বসের পরিসীমা কত?

সমাধান:
 
ধরি,
AC ও BD কর্ণদ্বয় পরস্পরকে O বিন্দুতে ছেদ করে।
আমরা জানি,
রম্বসে কর্ণদ্বয় পরস্পর সমকোণে সমদ্বিখন্ডিত করে।
∴ AOD সমকোণী ত্রিভুজ। যেখানে ∠AOD = 90°
AO = AC/2 = 8/2 = 4 সে.মি.
DO = BD/2 = 6/2 = 3 সে.মি.

পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুযায়ী,
AD² = AO² + DO²
⇒ AD = √(4² + 3²)
⇒ AD = √(16 + 9)
⇒ AD = √25
অতএব, AD = 5 সে.মি. 

∴ রম্বসের এক বাহুর দৈর্ঘ্য 5 সে.মি.
∴ রম্বসের পরিসীমা = 4 × বাহুর দৈর্ঘ্য = 4 × 5 = 20 সে.মি.

মনেকরি,
দৈর্ঘ্য ৫x
∴ প্রস্থ = ৫x এর ৩/৫ = ৩x = ৬০
∴ x = ২০
∴ ক্ষেত্রফল = ৫x × ৩x
= ১৫x²
= ১৫ × (২০)^২
= ১৫ × ৪০০
= ৬০০০ বর্গমিঃ

প্রশ্ন: একটি আয়তাকার ক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য প্রস্থের তিনগুণ। পরিসীমা ১৬০ মিটার হলে, ক্ষেত্রটির কর্ণের দৈর্ঘ্য কত মিটার?

সমাধান:
মনে করি,
প্রস্থ = ক মিটার
দৈর্ঘ্য = ৩ক মিটার  ; [আয়তাকার ক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য প্রস্থের তিনগুণ।] 

আমরা জানি, 
পরিসীমা = ২(দৈর্ঘ্য + প্রস্থ) = ১৬০ মিটার
∴ ২(৩ক + ক) = ১৬০
⇒ ২(৪ক) = ১৬০
⇒ ৮ক = ১৬০
⇒ ক = ১৬০/৮ = ২০
∴ প্রস্থ = ২০ মিটার
∴ দৈর্ঘ্য = ৩ × ২০ = ৬০ মিটার

আমরা জানি, 
কর্ণের দৈর্ঘ্য = √(দৈর্ঘ্য^২ + প্রস্থ^২)
= √(৬০^২ + ২০^২)
= √(৩৬০০ + ৪০০)
= √৪০০০
= √(১০০ × ৪০)
= ১০√৪০
= ১০ × ২√১০
= ২০√১০ মিটার

∴ ক্ষেত্রটির কর্ণের দৈর্ঘ্য ২০√১০ মিটার।

প্রশ্ন: একটি আয়তক্ষেত্রের সন্নিহিত বাহুদ্বয়ের দৈর্ঘ্য ৬ সেমি ও ৫ সেমি হলে, এর অর্ধ পরিসীমা কত সেমি?

সমাধান:
দেয়া আছে,
আয়তক্ষেত্রের সন্নিহিত বাহুদ্বয়ের দৈর্ঘ্য ৬ সেমি ও ৫ সেমি।
অর্থাৎ, দৈর্ঘ্য = ৬ সেমি, প্রস্থ = ৫ সেমি

∴ পরিসীমা = ২(দৈর্ঘ্য + প্রস্থ)
= ২ × (৬ + ৫) সেমি
= ২ × ১১ সেমি
= ২২ সেমি

∴ অর্ধ পরিসীমা = ২২/২ সেমি
= ১১ সেমি

AD || BC এবং AE ছেদক
∴ ∠DAB = ∠CBE
ফলে, ∠B = ১৮০° - ∠CBE
= ১৮০° - ∠DAB
= ১৮০° - ৭৫°
= ১০৫°

প্রশ্ন: একটি বর্গের ক্ষেত্রফল এবং এর কর্ণের উপর আঁকা বর্গের ক্ষেত্রফলের অনুপাত কত?

সমাধান:
বর্গের বাহু = ক একক
বর্গের ক্ষেত্রফল = ক^২ বর্গ একক

কর্ণ = √২ক একক
কর্ণের উপর আঁকা বর্গের ক্ষেত্রফল = (√২ক)^২ = ২ক^২ বর্গ একক

অনুপাত = ক^২ : ২ক^২ = ১ : ২

প্রশ্ন: একটি আয়তকার ঘরের দৈর্ঘ্য প্রস্থের দ্বিগুণ। এর ক্ষেত্রফল ২৮৮ বর্গমিটার হলে, পরিসীমা কত?

সমাধান:
ধরি, 
​আয়তাকার ঘরটির প্রস্থ = ক মিটার
অতএব, দৈর্ঘ্য = ২ক মিটার

আয়তাকার ঘরের ক্ষেত্রফল = দৈর্ঘ্য × প্রস্থ

প্রশ্নমতে,
​∴ ২ক × ক = ২৮৮
⇒ ২ক^২ = ২৮৮
⇒ ক^২ = ১৪৪
⇒ ক = √১৪৪ = ১২

সুতরাং, প্রস্থ = ১২ মিটার
দৈর্ঘ্য = ২ × ১২ = ২৪ মিটার

∴ আয়তাকার ঘরের পরিসীমা = ২(দৈর্ঘ্য + প্রস্থ)
= ২(২৪ + ১২) মিটার
= ২ × ৩৬ মিটার
= ৭২ মিটার

প্রশ্ন: যদি কোনো বর্গক্ষেত্রের বাহুর পরিমাণ ৪০% বৃদ্ধি পায়, তবে তার ক্ষেত্রফল শতকরা কত বৃদ্ধি পাবে?

সমাধান: 
ধরি, 
বর্গক্ষেত্রের এক বাহুর দৈর্ঘ্য = ক মিটার 
∴ বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = ক^২ বর্গমিটার 

আবার, 
৪০% বৃদ্ধিতে বর্গক্ষেত্রের বাহুর দৈর্ঘ্য = ক + (ক এর ৪০%) মিটার 
= ক + (২ক/৫)
= ৭ক/৫ মিটার 

আবার, 
৪০% বৃদ্ধিতে বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = (৭ক/৫)^২ বর্গমিটার
= ৪৯ক^২/২৫ বর্গমিটার

∴ ক্ষেত্রফলের বৃদ্ধি = (৪৯ক^২/২৫) - ক^২ = (৪৯ক^২ - ২৫ক^২)/২৫ 
= ২৪ক^২/২৫ 

∴ শতকরা বৃদ্ধি = (২৪ক^২/২৫)/(ক^২) × ১০০% 
= ২৪ × ৪ = ৯৬%

∴ বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল বৃদ্ধি পাবে = ৯৬%।

প্রশ্ন: একটি আয়তাকার বাগানের দৈর্ঘ্য 60 ফুট ও প্রস্থ 45 ফুট। বাগানের ভিতরে চতুর্দিকে 3 ফুট চওড়া একটি রাস্তা আছে।রাস্তাটির ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
দেয়া আছে,
আয়তাকার বাগানের দৈর্ঘ্য = 60 ফুট
আয়তাকার বাগানের প্রস্থ = 45 ফুট

∴ বাগানের ক্ষেত্রফল = 60 × 45
= 2700 বর্গফুট

রাস্তা বাদে বাগানের দৈর্ঘ্য = 60 - (3 × 2)
= 60 - 6
= 54 ফুট

রাস্তা বাদে বাগানের প্রস্থ = 45 - (3 × 2)
= 45 - 6
= 39 ফুট

∴ রাস্তা বাদে বাগানের ক্ষেত্রফল = (54 × 39) বর্গফুট
= 2106 বর্গফুট

∴ রাস্তার ক্ষেত্রফল = (2700 - 2106) বর্গফুট
= 594 বর্গফুট

প্রশ্ন: রম্বসের ১টি কর্ণের দৈর্ঘ্য ৮ মি. এবং অপর কর্ণের দৈর্ঘ্য প্রথমটির ৩/২ গুণ হলে, রম্বসটির ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
রম্বসের ১টি কর্ণের দৈর্ঘ্য = ৮ মি
অপর কর্ণের দৈর্ঘ্য = (৮ এর ৩/২) = ১২ মিটার

আমরা জানি,
রম্বসের ক্ষেত্রফল = (১/২) × কর্ণদ্বয়ের গুণফল
= (১/২) × ৮ × ১২ বর্গ মি.
= ৪৮ বর্গ মি.

∴ ক্ষেত্রফল = ৪৮ বর্গ মি.।

ABCD চতুর্ভূজটি একটি আয়তক্ষেত্র ফলে AC² = AD² + CD²
= AD² + AB²
= AB² + AD²

প্রশ্ন: এক বর্গক্ষেত্রের এক বাহু অপর একটি বর্গক্ষেত্রের পরিসীমার সমান হলে, বর্গক্ষেত্র দুটির কর্ণের অনুপাত কত হবে?

সমাধান:
ধরি, প্রথম বর্গক্ষেত্রের এক বাহু = ক
এর কর্ণ = ক√২

শর্তানুসারে,
দ্বিতীয় বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা = ক
অতএব, দ্বিতীয় বর্গক্ষেত্রের এক বাহু = ক/৪
এর কর্ণ = √২(ক/৪)

সুতরাং, কর্ণদ্বয়ের অনুপাত = ক√২ : √২(ক/৪)
= ১ : ১/৪
= ৪ : ১

∴ বর্গক্ষেত্র দুটির কর্ণের অনুপাত = ৪ : ১