চতুর্ভুজ সংক্রান্ত সমস্যা ও সমাধান

প্রশ্ন: চতুর্ভুজের চার কোণের অনুপাত ১ : ২ : ২ : ৩ হলে বৃহত্তম কোণের পরিমাণ হবে-
  
সমাধান:
চতুর্ভুজের চার কোণের সমষ্টি = ৩৬০°
চার কোণের অনুপাত = ১ : ২ : ২ : ৩
অনুপাতগুলোর সমষ্টি = ১ + ২ + ২ + ৩ = ৮

∴ বৃহত্তম কোণ = (৩৬০ এর ৩/৮)°
= ১৩৫°

প্রশ্ন: একটি বাক্সের দৈর্ঘ্য ২ মিটার প্রন্থ ১ মিটার ৫০ সেমি এবং উচ্চতা ১ মিটার। বাক্সটির আয়তন কত?

সমাধান:
আয়তক্ষেত্রাকার ঘনবস্তুর আয়তন = দৈর্ঘ্য × প্রস্থ × উচ্চতা
দৈর্ঘ্য = ২ মিটার
প্রস্থ = ১ মিটার ৫০ সেমি = ১.৫০ মিটার
উচ্চতা = ১ মিটার

আয়তন = ২ × ১.৫০ × ১
= ৩ ঘনমিটার

প্রশ্ন: একটি আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য ও প্রস্থ উভয়ই ১০% বৃদ্ধি পেলে ক্ষেত্রফল কত শতাংশ বৃদ্ধি পাবে?

সমাধান:
ধরি,
দৈর্ঘ্য = ক এবং প্রস্থ = খ
∴ ক্ষেত্রফল = কখ

আবার,
নতুন দৈর্ঘ্য = ক + (ক এর ১০%) = ১.১ক
নতুন প্রস্থ = খ + (খ এর ১০%) = ১.১খ
∴ নতুন ক্ষেত্রফল = ১.১ক × ১.১খ = ১.২১ কখ

∴ ক্ষেত্রফল বৃদ্ধি = ১.২১ কখ - কখ = ০.২১কখ

∴ ক্ষেত্রফল শতকরা বৃদ্ধি পাবে = (০.২১কখ/কখ) × ১০০% = ২১%

সুতরাং ক্ষেত্রফল ২১% বৃদ্ধি পাবে।

প্রশ্ন: বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের একটি কোণ ৯০° হলে উহার বিপরীত কোণের পরিমাণ কত হবে? 

সমাধান: 
আমরা জানি, 
বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের বিপরীত দুই কোণের সমষ্টি = ১৮০° 
একটি কোণ ৯০° হলে, 
অপর কোনটি হবে = (১৮০° - ৯০°) 
= ৯০° 

∴ বিপরীত কোণের পরিমাণ = ৯০°। 

প্রশ্ন: সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল নির্ণয়ের সূত্র কোনটি? 

সমাধান: 
আমরা জানি, 
- সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল নির্ণয়ের সূত্র হলো: (ভূমি × উচ্চতা)। 

উল্লেখ্য যে, 
- একটি চতুর্ভুজের চারটি বাহুর মধ্যবিন্দু পরস্পর যুক্ত করলে সামান্তরিক পাওয়া যাবে। 
- সামান্তরিকের বিপরীত বাহুগুলো সমান ও সমান্তরাল। 
- সামান্তরিকের কর্ণদ্বয় পরস্পর অসমান। 
- সামান্তরিকের কর্ণদ্বয় যদি পরস্পর সমান হয় তবে সামান্তরিকটি আয়তক্ষেত্র হবে। 
- সামান্তরিকের একটি কোণ সমকোণ হলে, তা আয়ত। 

প্রশ্ন: একটি রম্বসের একটি কর্ণ ১০ মিটার এবং ক্ষেত্রফল ১২০ বর্গমিটার হলে, রম্বসটির পরিসীমা কত?

সমাধান:
ধরি, অপর কর্ণটি = ক মিটার
ক্ষেত্রফল = (১/২) × কর্ণ_১ × কর্ণ_২
⇒ ১২০ = (১/২) × ১০ × ক
⇒ ১২০ = ৫ক
⇒ ক = ২৪
রম্বসের কর্ণদ্বয় পরস্পরকে সমদ্বিখণ্ডিত করে, তাই অর্ধেক কর্ণদ্বয়ের দৈর্ঘ্য হবে।
১০/২ = ৫মি.  এবং ২৪/২ = ১২মি.
প্রতিটি বাহু = √ ৫^২ + ১২^২ = √১৬৯ = ১৩মি.
রম্বসের পরিসীমা = ৪ × বাহু = ৪ × ১৩ = ৫২ মিটার

প্রশ্ন: একটি বর্গক্ষেত্রের একবাহু অপর একটি বর্গক্ষেত্রের পরিসীমার অর্ধেক হলে, বর্গক্ষেত্র দুটির ক্ষেত্রফলের অনুপাত কত?

সমাধান:
ধরি,
প্রথম বর্গক্ষেত্রের বাহু = a
দ্বিতীয় বর্গক্ষেত্রের বাহু = b

প্রশ্নমতে,
প্রথম বর্গক্ষেত্রের একবাহু (a) = দ্বিতীয় বর্গক্ষেত্রের পরিসীমার অর্ধেক
দ্বিতীয় বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা = 4b
পরিসীমার অর্ধেক = 4b/2 = 2b

সুতরাং,
⇒ a = 2b
∴ b = a/2

এখন, প্রথম বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = a²
দ্বিতীয় বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = b² = (a/2)² = a²/4

∴ ক্ষেত্রফলের অনুপাত (প্রথম : দ্বিতীয়) = a² : (a²/4) = 1 : 1/4 = 4 : 1

∴ বর্গক্ষেত্র দুটির ক্ষেত্রফলের অনুপাত 4 : 1

মনে করি,
AB = a,
BC = √3a
∴ AC = √(AB² + BC²)
= √(a² + 3a²⁾
= √4a²
= 2a
SinBAC = BC/AC
= √3a/2a
= √3/2
বা, SinBAC = √3/2 = Sin60°
∴ BAC = 60°
∴ ACD = BAC
= 60°

আয়তক্ষেত্রের সবগুলো কোণ পরস্পর সমান এবং সবগুলো বাহু সমান নয়।

প্রশ্ন: ৬ সে. মি. ব্যাসার্ধবিশিষ্ট বৃত্তের অন্তর্লিখিত বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে, 
বৃত্তের ব্যাসার্ধ ৬ সে. মি.
∴ ব্যাস = ২ × ৬ = ১২ সে. মি.

ধরি, বর্গক্ষেত্রের বাহু = a
আমরা জানি, 
বর্গক্ষেত্রের কর্ণ = a√২

∴ a√২ = ১২
⇒ a = ১২/√২
⇒ a^২ = ১৪৪/২
⇒ a^২ = ৭২ 

∴ বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল ৭২ বর্গ সে. মি.

প্রশ্ন: একটি সামান্তরিকের ভূমির দৈর্ঘ্য ১৯ সে.মি. এবং উচ্চতা ৯ সে.মি.। সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
সামান্তরিকের ভূমি = ১৯ সে.মি.
এবং উচ্চতা = ৯ সে.মি.

আমরা জানি,
সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল = ভূমি × উচ্চতা
= (১৯ × ৯)
= ১৭১ বর্গ সে.মি.

∴ সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল ১৭১ বর্গ সে.মি.

কর্ণের দৈর্ঘ্য = √(7² + 7²)
= √98
= √(49×2)
= 7√2
∴ কর্ণের উপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = (7√2)² বর্গফুট
 = 98 বর্গফুট 

প্রশ্ন: যে চতুর্ভুজের বিপরীত বাহুদ্বয় পরস্পর সমান ও সমান্তরাল, কিন্তু কোণগুলো সমকোণ নয় সেই চতুর্ভুজকে বলা হয় -

সমাধান:
বর্গ :
-  যে চতুর্ভুজের সকল বাহু সমান ও একটি কোণ এক সমকোণ তাকে বর্গ বলে।

সামান্তরিক:
যে চতুর্ভুজের বিপরীত বাহুগুলো পরস্পর সমান ও সমান্তরাল কিন্তু কোণগুলো সমকোণ নয় তাকে সামান্তরিক বলে।

আয়তক্ষেত্র:
যে চতুর্ভুজের বিপরীত বাহুগুলো পরস্পর সমান ও সমান্তরাল এবং কোণগুলো সমকোণ তাকে আয়তক্ষেত্র বলে।

ধরি, বর্গের বাহু = x মিটার
তাহলে, কর্ণ = √2 x
শর্তমতে, √2 x = a
∴ x = a/√2
∴ x² = a²/2

প্রশ্ন: একটি আয়তক্ষেত্রের কর্ণ √20 cm এবং এর ক্ষেত্রফল 8cm² । ঐ আয়তক্ষেত্রের পরিসীমা কত?

সমাধান: 
ধরি,
আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য x সে.মি.
এবং প্রন্থ y সে.মি.

প্রশ্নমতে, 
√(x² + y²) = √20 
∴ x² + y² = 20 ......... (i) [উভয় পক্ষে বর্গ করে]
এবং xy = 8 .........(ii)

এখন,
আমরা জানি, 
(x + y)² = x² + y² + 2xy = 20 + (2 × 8) = 20 + 16 = 36
⇒ (x + y)² = 36
⇒ x + y = √36
∴ x + y = 6

অতএব, আয়তক্ষেত্রের পরিসীমা = 2(x + y) = 2 × 6 = 12cm.

প্রশ্ন: একটি আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য x সে.মি. এবং প্রস্থ (x - 3) সে.মি.। ক্ষেত্রফল 54 বর্গ সে.মি. হলে, x এর মান কত?

সমাধান:
দৈর্ঘ্য = x সে.মি.
প্রস্থ = (x - 3) সে.মি.

প্রশ্নমতে,
x(x - 3) = 54
⇒ x² - 3x - 54 = 0
⇒ x² - 9x + 6x - 54 = 0
⇒ x(x - 9) + 6(x - 9) = 0
⇒ (x - 9)(x + 6) = 0

অর্থাৎ, x - 9 = 0
∴ x = 9 (কারণ দৈর্ঘ্য ধনাত্মক)

∴ দৈর্ঘ্য, x এর মান = 9 সে.মি.

দৈর্ঘ্য BC = ১৫ মিঃ
কর্ণ AC = ১৭ মিঃ
∴ প্রস্থ AB = √(AC² - BC²)
= √(১৭² - ১৫²)
= √৬৪
= ৮ মিঃ

∴ পরিসীমা = 2(AB + BC)
= ২(৮ + ১৫)
= ২ × ২৩
= ৪৬ মিঃ

ধরি, বর্গক্ষেত্রের এক বাহুর দৈর্ঘ্য x
এখন, কর্ণের দৈর্ঘ্য x√2 = 5√2
∴ বর্গক্ষেত্রের এক বাহুর দৈর্ঘ্য x = 5

প্রশ্ন: একটি রম্বসের কর্ণদ্বয়ের দৈর্ঘ্য ২৪ মিটার এবং ১০ মিটার হলে, রম্বসটির ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান: 
আমরা জানি,
রম্বসের ক্ষেত্রফল = (১/২) × কর্ণদ্বয়ের গুণফল
= (১/২) × ২৪ × ১০
= ১২ × ১০
= ১২০ বর্গমিটার