চতুর্ভুজ সংক্রান্ত সমস্যা ও সমাধান

প্রশ্ন: একটি আয়তক্ষেত্রের কর্ণ √41 cm এবং এর ক্ষেত্রফল 20cm² । ঐ আয়তক্ষেত্রের পরিসীমা কত?

সমাধান: 
ধরি,
আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য x সে.মি.
এবং প্রন্থ y সে.মি.

প্রশ্নমতে, 
√(x² + y²) = √41 
∴ x² + y² = 41 ......... (i) [উভয় পক্ষে বর্গ করে]
এবং xy = 20 .........(ii)

এখন,
আমরা জানি, 
(x + y)² = x² + y² + 2xy = 41 + (2 × 20) = 41 + 40 = 81
⇒ (x + y)² = 81
⇒ x + y = √81
∴ x + y = 9

অতএব, আয়তক্ষেত্রের পরিসীমা = 2(x + y) = 2 × 9 = 18cm.

আমরা জানি,
ট্রাপিজিয়ামের ক্ষেত্রফল = (১/২) × সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের সমষ্টি × সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব

তাহলে,
সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব = (২ × ট্রাপিজিয়ামের ক্ষেত্রফল)/সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের সমষ্টি
= (২ × ৪০)/(১২ + ৮)
= ৮০/২০
= ৪ সে.মি.

AC ও BD কর্ণদ্বয় E বিন্দুতে পরস্পরকে সমানভাবে দ্বিখণ্ডিত করলে, AE = EC এবং BE = DE
∠AED = ∠BEC [পরস্পর বিপ্রতীপ কোণ]
∴ সবগুলো সঠিক আছে

প্রশ্ন: একটি ট্রাপিজিয়ামের সমান্তরাল বাহু ১২ সে.মি. ও ৮ সে.মি.। ক্ষেত্রফল ৫০ বর্গ সে.মি. হলে উচ্চতা কত মি.মি.? 

সমাধান:
দেওয়া আছে, 
ট্রাপিজিয়ামের সমান্তরাল বাহুদ্বয় যথাক্রমে,  ১২ সে.মি. ও ৮ সে.মি.
এবং ক্ষেত্রফল = ৫০ বর্গ সে.মি.
ধরি, উচ্চতা, h = ?

আমরা জানি, 
ট্রাপিজিয়ামের ক্ষেত্রফল = (১/২) × (সমান্তরাল বাহু দুটির যোগফল) × উচ্চতা
⇒ ৫০ = (১/২) × (১২ + ৮) × উচ্চতা
⇒ ৫০ = (১/২) × ২০ × উচ্চতা
⇒ ৫০ = ১০ × উচ্চতা
⇒ উচ্চতা = ৫০/১০ 
⇒ উচ্চতা = ৫ সে.মি.
∴ উচ্চতা = ৫০ মি.মি.   ; [১ সে.মি. = ১০ মি.মি.] 

অতএব, ট্রাপিজিয়ামটির উচ্চতা হল ৫০ মি.মি.।

প্রশ্ন: একটি আয়তাকার ঘরের দৈর্ঘ্য প্রস্থের ৪ গুণ। মেঝেতে প্রতি বর্গমিটারে ৭৫ টাকা হারে রঙ করতে মোট ১৫,০০০ টাকা ব্যয় হয়। ঘরের দৈর্ঘ্য কত মিটার?

সমাধান:
সমাধান:
ধরি, প্রস্থ = x মিটার
তবে দৈর্ঘ্য = 4x মিটার
⇒ ক্ষেত্রফল = 4x²

মোট খরচ = ক্ষেত্রফল × প্রতি বর্গমিটার দাম
⇒ 15000 = 4x² × 75
⇒ x² = 50
⇒ x = 7.07

দৈর্ঘ্য = 4x = 4 × 7.07 = 28.28 মিটার

প্রশ্ন: একটি সরল রেখার ওপর অঙ্কিত বর্গ ঐ সরল রেখার এক-তৃতীয়াংশের ওপর অঙ্কিত বর্গের কত গুণ?

সমাধান:
ধরি,
সরল রেখার দৈর্ঘ্য a একক
সরল রেখার ওপর অঙ্কিত বর্গ a2 বর্গএকক

সরল রেখার এক-তৃতীয়াংশ = a/3 একক
সরল রেখার এক-তৃতীয়াংশ ওপর অঙ্কিত বর্গ (a/3)² বর্গএকক
= a²/9 বর্গএকক

এখন,
a²/(a²/9)
= (a² × 9)/a²
= 9

অর্থ্যাৎ, একটি সরল রেখার ওপর অঙ্কিত বর্গ ঐ সরল রেখার এক-তৃতীয়াংশের ওপর অঙ্কিত বর্গের 9 গুণ।

প্রশ্ন: একটি আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য প্রস্থের চেয়ে 20 মিটার বেশি এবং পরিসীমা 180 মিটার হলে আয়তক্ষেত্রটির ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান: 
মনে করি,
আয়তক্ষেত্রটির দৈর্ঘ্য = x মিটার
∴ আয়তক্ষেত্রটির প্রস্থ = (x - 20) মিটার
∴ আয়তক্ষেত্রটির পরিসীমা = 2 {x + (x - 20)} মিটার
= 2 (2x - 20) মিটার
= (4x - 40) মিটার

প্রশ্নমতে,
4x - 40 = 180
বা, 4x = 180 + 40
বা, 4x = 220
বা, x = 220/4
∴ x = 55
অর্থাৎ, আয়তক্ষেত্রটির দৈর্ঘ্য = 55 মিটার 
∴ আয়তক্ষেত্রটির প্রস্থ = (55 - 20) মিটার
= 35 মিটার 

∴ আয়তক্ষেত্রটির ক্ষেত্রফল = (দৈর্ঘ্য × প্রস্থ) বর্গমিটার 
= (55 × 35) বর্গমিটার
= 1925 বর্গমিটার ।

প্রশ্ন: একটি আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য এর প্রস্থের চেয়ে ২৫% বেশি। যদি একটি বর্গক্ষেত্রের পাশের দৈর্ঘ্য হয় আয়তক্ষেত্রের প্রস্থের সমান, তবে আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল ও সেই বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফলের অনুপাত কত হবে?
 
সমাধান: 
ধরি, 
আয়তক্ষেত্রের প্রস্থ = ক একক
তাহলে, আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য = ক + ২৫% এর ক = ক + (২৫/১০০)ক
= ক + (ক/৪) 
= ৫ক/৪ একক
∴ আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য = ৫ক/৪ একক

আমরা জানি, 
আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = (দৈর্ঘ্য × প্রস্থ) বর্গ একক 
= {(৫ক/৪) × ক} = ৫ক^২/৪ বর্গ একক

আবার, 
বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = ক^২ বর্গ একক ; [প্রস্থ = ক একক] 

∴ অনুপাত(আয়তক্ষেত্র : বর্গক্ষেত্র) = (৫ক^২/৪) : ক^২ = ৫/৪ : ১ 
= ৫ : ৪ 

সুতরাং, আয়তক্ষেত্র ও বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফলের অনুপাত ৫ : ৪। 

বর্গকে আয়ত, রম্বস, সামান্তরিক, ট্রাপিজিয়াম, ঘুড়ি বলা যায়।

১) যে চতুর্ভুজের বিপরীত বাহুগুলো সমান্তরাল ও একটি কোণ এক সমকোণ তাকে আয়ত বলে।
- বর্গের বিপরীত বাহুগুলো সমান্তরাল ও একটি কোণ এক সমকোণ। তাই বর্গ হচ্ছে আয়ত।
২) যে চতুর্ভুজের সকল বাহু সমান তাকে রম্বস বলে।
- বর্গের সকল বাহু সমান। তাই বর্গ হচ্ছে রম্বস।
৩) যে চতুর্ভুজের বিপরীত বাহুগুলো সমান্তরাল তাকে সামান্তরিক বলে।
- বর্গের বিপরীত বাহু গুলো সমান্তরাল। তাই বর্গ সামান্তরিক।
৪) যে চতুর্ভুজের সকল বাহু সমান ও একটি কোণ এক সমকোণ তাকে বর্গ বলে।
- কোনো চতুর্ভুজের সকল বাহু সমান ও একটি কোণ এক সমকোণ হলে, ঐ চতুর্ভুজের বিপরীত বাহুগুলো সমান ও সমান্তরাল হয়ে যায়। প্রত্যেক কোণের পরিমাপ ৯০ ডিগ্রী হয়ে যায়।

প্রশ্ন: একটি আয়তক্ষেত্রের প্রস্থ ৬ মিটার ও পরিসীমা ৩৬ মিটার হলে, ক্ষেত্রফল কত? 

সমাধান:
আয়তক্ষেত্রের পরিসীমা সূত্র:
পরিসীমা = ২(দৈর্ঘ্য + প্রস্থ)
৩৬ = ২(দৈর্ঘ্য + ৬)
দৈর্ঘ্য + ৬ = ১৮
দৈর্ঘ্য = ১২ মিটার

ক্ষেত্রফল = দৈর্ঘ্য × প্রস্থ = ১২ × ৬ = ৭২  বর্গমিটার

∴ ক্ষেত্রফল = ৭২  বর্গমিটার

এখানে,
h = 8 মিঃ (সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের মধ্যবর্তী লম্ব দূরত্ব)
ধরি,
সমান্তরাল বাহুদ্বয় = a, a + 2
∴ ক্ষেত্রফল = 1/2 × h(a + 2 + a) = 40
বা, 8(2a + 2) = 80
বা, 2a + 2 = 10
বা, 2a = 8
∴ a = 4
∴ বৃহত্তমটির দৈর্ঘ্য = 4 + 2 = 6 মিঃ

ধরি, প্রস্থ = x
∴ দৈর্ঘ্য = 6x/5 = 1.2x
প্রশ্নমতে,
x × 1.2x = 400
বা, 1.2x² = 400
বা, x² = 400/1.2 = 333.33
∴ x = 18.26 m
সুতরাং প্রস্থ = 18.26 m এবং দৈর্ঘ্য = 1.2×18.26 m = 21.90 m
∴পরিসীমার ও কর্ণের দৈর্ঘ্য এর মধ্যে পার্থক্য = 2(দৈর্ঘ্য + প্রস্থ) - √(দৈর্ঘ্য² + প্রস্থ²) = 2(21.90 + 18.26) - √(21.90² + 18.26²) = 80.32 - 28.52 = 51.80 m

কর্ণের দৈর্ঘ্য = ৮ ফুট
∴ বাহুর দৈর্ঘ্য = ৮/√২ ফুট
∴ ক্ষেত্রফল = (৮/√২)^২
= ৬৪/২
= ৩২ বর্গফুট

প্রশ্ন: একটি আয়তাকার ক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য প্রস্থের ৩ গুণ। এর চারদিকে একবার প্রদক্ষিণ করলে ২ কিলোমিটার হাঁটা হয়। ক্ষেত্রটির প্রস্থ নির্ণয় করুন।

সমাধান:
ধরি, 
প্রস্থ = ক মিটার
দৈর্ঘ্য = ৩ক মিটার
আয়তাকার ক্ষেত্রের পরিসীমা ২ কিলোমিটার বা ২০০০ মিটার

শর্তমতে,
২(ক + ৩ক) = ২০০০
বা, ২ × ৪ক = ২০০০
বা, ৮ক = ২০০০
∴ ক = ২৫০

∴ প্রস্থ = ২৫০ মিটার

বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = ৮১ বর্গফুট
∴ বর্গক্ষেত্রের এক বাহুর দৈর্ঘ্য = ৯ ফুট
রাস্তাসহ বর্গক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য = ৯ + ৬ = ১৫ মিটার
তাহলে রাস্তাসহ বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = ২২৫ বর্গ ফুট

প্রশ্ন: একটি সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল ৩.৯ বর্গ সে.মি এবং ভূমি ২.৬ সে.মি হলে এর উচ্চতা কত? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
সামান্তরিকের ভূমি = ২.৬ সে.মি
সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল = ৩.৯ বর্গ সে.মি 

আমরা জানি, 
সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল = ভূমি × উচ্চতা 
বা, উচ্চতা = ক্ষেত্রফল/ভূমি 
বা, উচ্চতা = ৩.৯/২.৬ 
∴ উচ্চতা = ১.৫ সে.মি ।

প্রশ্ন: একটি আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য ১৮ সে.মি. এবং প্রস্থ ১৪ সে.মি. হলে আয়তক্ষেত্রটির সমান পরিসীমা বিশিষ্ট রম্বসের বাহুর দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য = ১৮ সে.মি.
প্রস্থ = ১৪ সে.মি. 

আমরা জানি,
আয়তক্ষেত্রের পরিসীমা = ২(দৈর্ঘ্য + প্রস্থ)
রম্বসের পরিসীমা = ৪ × বাহুর দৈর্ঘ্য

ধরি, 
রম্বসের বাহু = ক সে.মি. 

প্রশ্নমতে,
৪ক = ২(দৈর্ঘ্য + প্রস্থ)
⇒ ক = {২ × (দৈর্ঘ্য + প্রস্থ)}/৪
⇒ ক = {২ × (১৮ + ১৪)}/৪
⇒ ক = (২ × ৩২)/৪
⇒ ক = ১৬ সে.মি.

প্রশ্ন: একটি আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য প্রস্থের দ্বিগুণ। আয়তক্ষেত্রটির ক্ষেত্রফল 968 বর্গমিটার হলে, এর প্রস্থ কত? 

সমাধান: 
মনে করি,
আয়তক্ষেত্রের প্রস্থ = a মিটার  
∴ আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য = 2a মিটার
∴ আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = (দৈর্ঘ্য × প্রস্থ) বর্গ একক 
= (2a × a) বর্গ মিটার 
= 2a² বর্গ মিটার 

শর্তমতে,
2a² = 968
বা, a² = 968/2
বা, a² = 484
বা, a² = 22²
∴ a = 22
 
∴ আয়তক্ষেত্রটির প্রস্থ = 22 মিটার। 

মনে করি,
পরিসীমা = ৬a,
প্রস্থ = a
∴ ২(দৈর্ঘ্য + প্রস্থ) = পরিসীমা = ৬a
বা, দৈর্ঘ্য + প্রস্থ = ৩a
বা, দৈর্ঘ্য = ৩a - প্রস্থ
= ৩a - a
= ২a
∴ ক্ষেত্রফল = ২a × a = ১০৫৮
বা, ২a² = ১০৫৮
বা, a² = ৫২৯
∴ a = ২৩
∴ দৈর্ঘ্য = ২a = ৪৬

চারটি কোণ যথাক্রমে a, ২a, ৩a, ৪a
∴ a + ২a + ৩a + ৪a = ৩৬০°
বা, ১০a = ৩৬০°
∴ a = ৩৬°
∴ মধ্যবর্তী কোণদ্বয়ের গড় = (২a + ৩a)/২
= (৭২° + ১০৮°)/২
= ৯০°

প্রশ্ন: একটি বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল 72 বর্গমিটার হলে বর্গক্ষেত্রটির কর্ণের দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = 72 বর্গমিটার

বর্গক্ষেত্রের বাহু = √72 মিটার
= √(36 × 2) মিটার
= 6√2 মিটার

∴ বর্গক্ষেত্রের কর্ণ = √2 × বাহুর দৈর্ঘ্য
= √2 × 6√2 মিটার
= 12 মিটার

প্রশ্ন: একটি বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল ৭২ বর্গমিটার হলে বর্গক্ষেত্রের পরিবৃত্তের ব্যাস কত?

সমাধান:

দেওয়া আছে,
বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = ৭২ বর্গমিটার 

বর্গক্ষেত্রের বাহু = √৭২
= √(৩৬ ×২)
= ৬√২ মিটার 

বর্গক্ষেত্রের কর্ণ = বাহু × √২
= (৬√২× √২) মিটার
= ১২ মিটার 

∴ বর্গক্ষেত্রের পরিবৃত্তের ব্যাস = বর্গক্ষেত্রের কর্ণ = ১২ মিটার 

অর্থাৎ, বর্গক্ষেত্রের পরিবৃত্তের ব্যাস ১২ মিটার।

প্রশ্ন: একটি রম্বসের কর্ণ যথাক্রমে ৭ সেন্টিমিটার ও ১০ সেন্টিমিটার হলে রম্বসের ক্ষেত্রফল কত? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
রম্বসের একটি কর্ণ = ৭ সেন্টিমিটার 
এবং অপর কর্ণ = ১০ সেন্টিমিটার 

আমরা জানি,
রম্বসের ক্ষেত্রফল = (১/২) × কর্ণদ্বয়ের গুণফল 
= (১/২) × ৭ × ১০
= ৩৫ বর্গ সেন্টিমিটার।

প্রশ্ন: একটি আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য তার প্রস্থের দ্বিগুণ অপেক্ষা ৪ মিটার কম। আয়তক্ষেত্রটির পরিসীমা ৫২ মিটার হলে, এর ক্ষেত্রফল কত বর্গমিটার? 

সমাধান:
ধরি, আয়তক্ষেত্রটির প্রস্থ = ক মিটার
∴ দৈর্ঘ্য = (২ক - ৪) মিটার

আমরা জানি, আয়তক্ষেত্রের পরিসীমা = ২ × (দৈর্ঘ্য + প্রস্থ)

প্রশ্নমতে,
২{(২ক - ৪) + ক} = ৫২
বা, ২(৩ক - ৪) = ৫২
বা, ৬ক - ৮ = ৫২
বা, ৬ক = ৫২ + ৮
বা, ৬ক = ৬০
বা, ক = ৬০/৬
∴ ক = ১০

∴ প্রস্থ = ১০ মিটার
দৈর্ঘ্য = (২ক - ৪) = (২ × ১০) - ৪ = ২০ - ৪ = ১৬ মিটার

∴ আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = দৈর্ঘ্য × প্রস্থ = ১৬ × ১০ বর্গমিটার
∴ ক্ষেত্রফল = ১৬০ বর্গমিটার

∴ আয়তক্ষেত্রটির ক্ষেত্রফল হলো ১৬০ বর্গমিটার।

প্রশ্ন: একটি রম্বসের কর্ণদ্বয়ের দৈর্ঘ্য যথাক্রমে 12 সে.মি. এবং 16 সে.মি. হলে রম্বসটির ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
রম্বসের কর্ণদ্বয়ের দৈর্ঘ্য যথাক্রমে 12 সে.মি. এবং 16 সে.মি.

∴ রম্বসের ক্ষেত্রফল = (1/2) × কর্ণদ্বয়ের গুণফল = (1/2) × 12 × 16
= (6 × 16) বর্গ সে.মি.
= 96 বর্গ সে.মি.