৬০১.
চতুর্ভুজের চারটি কোণের অনুপাত ১ : ২ : ২ : ৩ হলে, ক্ষুদ্রতম কোণের সম্পূরক কোণের পরিমাণ -
ব্যাখ্যা
কোণগুলো যথাক্রমে x, 2x, 2x ও 3x ধরে পাই,
x + 2x + 2x + 3x = 360°
x = 45°
∴ ক্ষুদ্রতম কোন = 45°।
∴ এর সম্পূরক কোণ = 180° - 45° = 135°।
PrepBank · বিষয়ভিত্তিক প্রশ্ন
চতুর্ভুজ সংক্রান্ত সমস্যা ও সমাধান
চতুর্ভুজ সংক্রান্ত সমস্যা ও সমাধান
PrepBank · পাতা ৭ / ১৮ · ৬০১–৭০০ / ১,৭৫৪
৬০২.
একটি বর্গাকার বাগানের ক্ষেত্রফল = ১ হেক্টর। বাগানের পরিসীমা কত?
ব্যাখ্যা
বাহুর দৈর্ঘ্য = a মিঃ
∴a2 = ১ হেক্টর = ১০০০০ বর্গমিটার
বা, a = √১০০০০ = ১০০ মিঃ
∴ পরিসীমা = ৪a
= ৪ × ১০০
= ৪০০ মিঃ
৬০৩.
ABCD রম্বসের AB = 5 এবং AC = 8 হলে, এর ক্ষেত্রফল কত?
ব্যাখ্যা
আমরা জানি, রম্বসের কর্ণদ্বয় পরস্পরকে সমকোণে সমদ্বিখন্ডিত করে।
এখন, চিত্র হতে,
∆AOB থেকে পীথাগোরাসের উপপাদ্য অনুসারে
AB² = OA² + OB²
⇒ 5² = 4² + OB²
⇒ OB² = 25 - 16
⇒ OB² = 9
∴ OB = 3
∴ BD = 3×2 = 6
সুতরাং, ABCD রম্বসের ক্ষেত্রফল = ½ (AC×BD)
= ½ (8×6)
= 24
৬০৪.
নিচের কোনটি বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ হয় না?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: নিচের কোনটি বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ হয় না?
সমাধান:
- বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের যে কোন দুইটি বিপরীত কোনের সমষ্টি দুই সমকোণ বা ১৮০ ডিগ্রি হয়।
- বর্গ, আয়ত, ট্রাপিজিয়াম - এই তিন চতুর্ভুজের দুইটি বিপরীত কোনের সমষ্টি সর্বদা দুই সমকোণ বা ১৮০ ডিগ্রি হয়।
- কিন্তু রম্বসের দুইটি বিপরীত কোনের সমষ্টি কখনো দুই সমকোণ বা ১৮০ ডিগ্রি হয় না।
সুতরাং, রম্বস বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ হয় না।
সমাধান:
- বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের যে কোন দুইটি বিপরীত কোনের সমষ্টি দুই সমকোণ বা ১৮০ ডিগ্রি হয়।
- বর্গ, আয়ত, ট্রাপিজিয়াম - এই তিন চতুর্ভুজের দুইটি বিপরীত কোনের সমষ্টি সর্বদা দুই সমকোণ বা ১৮০ ডিগ্রি হয়।
- কিন্তু রম্বসের দুইটি বিপরীত কোনের সমষ্টি কখনো দুই সমকোণ বা ১৮০ ডিগ্রি হয় না।
সুতরাং, রম্বস বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ হয় না।
৬০৫.
একটি বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা একটি আয়তক্ষেত্রের পরিসীমার সমান। আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য প্রস্থের ৩ গুণ এবং ক্ষেত্রফল ৭৬৮ বর্গ মিটার। বর্গক্ষেত্রটির এক বাহুর দৈর্ঘ্য কত মিটার?
ব্যাখ্যা
ধরি,
আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য = ক মিটার, তাহলে, প্রস্থ = ৩ক মিটার
∴ ৩ক ✕ ক = ৭৬৮
বা, ক২ = ৭৬৮/৩ = ২৫৬
বা, ক = ১৬ মিটার
সুতরাং, পরিসীমা = ২(৪৮ + ১৬) = ১২৮ মিটার
তাহলে বর্গক্ষেত্রের এক বাহু = ১২৮/৪ = ৩২ মিটার
৬০৬.
একটি ট্রাপিজিয়ামের সমান্তরাল বাহু দুইটি ১০ সে.মি. ও ৪ সে.মি. এবং লম্ব দূরত্ব ৬ সে.মি. হলে, ক্ষেত্রফল কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি ট্রাপিজিয়ামের সমান্তরাল বাহু দুইটি ১০ সে.মি. ও ৪ সে.মি. এবং লম্ব দূরত্ব ৬ সে.মি. হলে, ক্ষেত্রফল কত?
সমাধান:
সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল = (১/২) × (সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের সমষ্টি) × লম্ব দূরত্ব
= (১/২) × ১৪ × ৬
= ৪২ বর্গসে.মি.
সমাধান:
সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল = (১/২) × (সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের সমষ্টি) × লম্ব দূরত্ব
= (১/২) × ১৪ × ৬
= ৪২ বর্গসে.মি.
৬০৭.
একটি রম্বসের ক্ষেত্রফল ৪৮ বর্গ সে.মি হলে, এর কর্ণদ্বয়ের গুণফল কত?
ব্যাখ্যা
আমরা জানি,
রম্বসের ক্ষেত্রফল = (১/২)(রম্বসের কর্ণদ্বয়ের গুণফল)
৪৮ = (১/২)(রম্বসের কর্ণদ্বয়ের গুণফল)
রম্বসের কর্ণদ্বয়ের গুণফল= ৪৮ × ২ বর্গ সে.মি
= ৯৬ বর্গ সে.মি
রম্বসের ক্ষেত্রফল = (১/২)(রম্বসের কর্ণদ্বয়ের গুণফল)
৪৮ = (১/২)(রম্বসের কর্ণদ্বয়ের গুণফল)
রম্বসের কর্ণদ্বয়ের গুণফল= ৪৮ × ২ বর্গ সে.মি
= ৯৬ বর্গ সে.মি
৬০৮.
বৃত্তস্থ চর্তুভুজের একটি কোণ ৭০° হলে বিপরীত কোণটির মান কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: বৃত্তস্থ চর্তুভুজের একটি কোণ ৭০° হলে বিপরীত কোণটির মান কত?
সমাধান:
বৃত্তস্থ চতুর্তুজের দুটি বিপরীত কোনের সমষ্টি = ১৮০°
একটি কোন ৭০° হলে, অপরটি = (১৮০ - ৭০) = ১১০°
সমাধান:
বৃত্তস্থ চতুর্তুজের দুটি বিপরীত কোনের সমষ্টি = ১৮০°
একটি কোন ৭০° হলে, অপরটি = (১৮০ - ৭০) = ১১০°
৬০৯.
একটি বর্গাকৃতি খেলার মাঠের ক্ষেত্রফল ২৫০০ বর্গমিটার। মাঠের চারপাশে একটি দড়ি দিয়ে বেড়া দেওয়া হয়েছে। দড়ির মোট দৈর্ঘ্য কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি বর্গাকৃতি খেলার মাঠের ক্ষেত্রফল ২৫০০ বর্গমিটার। মাঠের চারপাশে একটি দড়ি দিয়ে বেড়া দেওয়া হয়েছে। দড়ির মোট দৈর্ঘ্য কত?
সমাধান:
দেওয়া আছে,
মাঠের ক্ষেত্রফল = ২৫০০ বর্গমিটার
∴ মাঠের এক বাহুর দৈর্ঘ্য = √২৫০০ মিটার
= ৫০ মিটার
এখন,
মাঠটির পরিসীমাই হবে দড়ির মোট দৈর্ঘ্য।
∴ মাঠটির পরিসীমা = চার বাহুর সমষ্টি
= (৪ × ৫০) মিটার
= ২০০ মিটার
∴ দড়ির মোট দৈর্ঘ্য = ২০০ মিটার।
সমাধান:
দেওয়া আছে,
মাঠের ক্ষেত্রফল = ২৫০০ বর্গমিটার
∴ মাঠের এক বাহুর দৈর্ঘ্য = √২৫০০ মিটার
= ৫০ মিটার
এখন,
মাঠটির পরিসীমাই হবে দড়ির মোট দৈর্ঘ্য।
∴ মাঠটির পরিসীমা = চার বাহুর সমষ্টি
= (৪ × ৫০) মিটার
= ২০০ মিটার
∴ দড়ির মোট দৈর্ঘ্য = ২০০ মিটার।
৬১০.
একটি ট্রাপিজিয়ামের সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের দৈর্ঘ্য 6 সে.মি. 10সে.মি এবং ক্ষেত্রফল 32 বর্গ সে.মি. হলে, ট্রাপিজিয়ামটির সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের মধ্যেবর্তী লম্ব দূরত্ব কত?
ব্যাখ্যা
মনেকরি
ট্রাপিজিয়ামটির সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের মধ্যেবর্তী লম্ব দূরত্ব h
আমরা জানি,
ট্রাপিজিয়ামের ক্ষেত্রফল = 1/2 ×( সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের যোগফল )× সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের মধ্যবর্তী দুরত্ব
32 = (6 +10) × h × (1/2)
32 = 16h/2
16h/2=32
h = (32 ×2)/16
h = 4
ট্রাপিজিয়ামটির সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের মধ্যেবর্তী লম্ব দূরত্ব h
আমরা জানি,
ট্রাপিজিয়ামের ক্ষেত্রফল = 1/2 ×( সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের যোগফল )× সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের মধ্যবর্তী দুরত্ব
32 = (6 +10) × h × (1/2)
32 = 16h/2
16h/2=32
h = (32 ×2)/16
h = 4
৬১১.
একটি রম্বসের ক্ষেত্রফল ৫২ বর্গ সে. মি. হলে, এর কর্ণদ্বয়ের গুণফল কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি রম্বসের ক্ষেত্রফল ৫২ বর্গ সে. মি. হলে, এর কর্ণদ্বয়ের গুণফল কত?
সমাধান:
আমরা জানি,
রম্বসের ক্ষেত্রফল = ১/২ × কর্ণদ্বয়ের গুণফল
বা, ৫২ = (১/২) × কর্ণদ্বয়ের গুণফল
বা, কর্ণদ্বয়ের গুণফল = ৫২ × ২
∴ কর্ণদ্বয়ের গুণফল = ১০৪ বর্গ সে.মি.
সমাধান:
আমরা জানি,
রম্বসের ক্ষেত্রফল = ১/২ × কর্ণদ্বয়ের গুণফল
বা, ৫২ = (১/২) × কর্ণদ্বয়ের গুণফল
বা, কর্ণদ্বয়ের গুণফল = ৫২ × ২
∴ কর্ণদ্বয়ের গুণফল = ১০৪ বর্গ সে.মি.
৬১২.
একটি আয়তাকার বাগানের দৈর্ঘ্য 50 ফুট ও প্রস্থ 40 ফুট। এর ভিতরের চতুর্দিকে 2 ফুট চওড়া একটি রাস্তা আছে। রাস্তাটির ক্ষেত্রফল কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি আয়তাকার বাগানের দৈর্ঘ্য 50 ফুট ও প্রস্থ 40 ফুট। এর ভিতরের চতুর্দিকে 2 ফুট চওড়া একটি রাস্তা আছে। রাস্তাটির ক্ষেত্রফল কত?
সমাধান:
রাস্তাসহ বাগানের ক্ষেত্রফল = 50 × 40 = 2000 বর্গফুট
রাস্তা বাদে বাগানের দৈর্ঘ্য = 50 - (2 × 2) = 46 ফুট
রাস্তা বাদে বাগানের প্রস্থ = 40 - (2 × 2) = 36 ফুট
∴ রাস্তা বাদে বাগানের ক্ষেত্রফল = (46 × 36) বর্গফুট
= 1656 বর্গফুট
∴ রাস্তার ক্ষেত্রফল = (2000 - 1656) বর্গফুট
= 344 বর্গফুট
সমাধান:
রাস্তাসহ বাগানের ক্ষেত্রফল = 50 × 40 = 2000 বর্গফুট
রাস্তা বাদে বাগানের দৈর্ঘ্য = 50 - (2 × 2) = 46 ফুট
রাস্তা বাদে বাগানের প্রস্থ = 40 - (2 × 2) = 36 ফুট
∴ রাস্তা বাদে বাগানের ক্ষেত্রফল = (46 × 36) বর্গফুট
= 1656 বর্গফুট
∴ রাস্তার ক্ষেত্রফল = (2000 - 1656) বর্গফুট
= 344 বর্গফুট
৬১৩.
সামান্তরিকের ভূমি উচ্চতার দ্বিগুণ, সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল ৫০ বর্গমিটার হলে সামান্তরিকটির ভূমির দৈর্ঘ্য কত হবে?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: সামান্তরিকের ভূমি উচ্চতার দ্বিগুণ, সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল ৫০ বর্গমিটার হলে সামান্তরিকটির ভূমির দৈর্ঘ্য কত হবে?
সমাধান:
ধরি,
সামান্তরিকের উচ্চতা h মিটার
সামান্তরিকের ভূমি ২h মিটার
সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল ২h × h বর্গমিটার = ২h২ বর্গমিটার
প্রশ্নমতে,
২h২ = ৫০
বা, h২ = ২৫
বা, h = ৫
সামান্তরিকের ভূমির দৈর্ঘ্য = ২ × ৫ মিটার = ১০ মিটার
সমাধান:
ধরি,
সামান্তরিকের উচ্চতা h মিটার
সামান্তরিকের ভূমি ২h মিটার
সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল ২h × h বর্গমিটার = ২h২ বর্গমিটার
প্রশ্নমতে,
২h২ = ৫০
বা, h২ = ২৫
বা, h = ৫
সামান্তরিকের ভূমির দৈর্ঘ্য = ২ × ৫ মিটার = ১০ মিটার
৬১৪.
কোন চতুর্ভুজে দুটি বিপরীত বাহু সমান্তরাল হলে এবং অপর দুটি বাহু তির্যক হলে চতুর্ভুজটি হবে_
ব্যাখ্যা
কোন চতুর্ভুজে দুটি বিপরীত বাহু সমান্তরাল হলে এবং অপর দুটি বাহু তির্যক হলে চতুর্ভুজটি হবে ট্রাপিজিয়াম। রম্বস, আয়তক্ষেত্র এবং সামান্তরিকের চারটি বিপরীত বাহু পরস্পর সমান্তরাল।
৬১৫.
যে চতুর্ভুজের দুটি বাহু পরস্পর সমান্তরাল কিন্তু অসমান তাকে কী বলে?
ব্যাখ্যা
ট্রাপিজিয়াম:
যে চতুর্ভুজের দুটি বাহু পরস্পর সমান্তরাল কিন্তু অসমান অর্থাৎ সমান নয় তাকে ট্রাপিজিয়াম বলে।
ট্রাপিজিয়ামের বৈশিষ্ট্য:
- ট্রাপিজিয়ামের দুইটি বাহু সমান্তর।
- সমান্তরাল বাহু দুইটি কখনও সমান হতে পারে।
- সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের একটিকে ভূমি বলে।
- সমান্তরাল বাহু দুটি ব্যতীত অপর দুটি বাহুকে তীর্যক বাহু বলে।
- তীর্যক বাহু দুইটি সমান হলে উহা একটি সমদ্বিবাহু ট্রাপিজিয়াম।
যে চতুর্ভুজের দুটি বাহু পরস্পর সমান্তরাল কিন্তু অসমান অর্থাৎ সমান নয় তাকে ট্রাপিজিয়াম বলে।
ট্রাপিজিয়ামের বৈশিষ্ট্য:
- ট্রাপিজিয়ামের দুইটি বাহু সমান্তর।
- সমান্তরাল বাহু দুইটি কখনও সমান হতে পারে।
- সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের একটিকে ভূমি বলে।
- সমান্তরাল বাহু দুটি ব্যতীত অপর দুটি বাহুকে তীর্যক বাহু বলে।
- তীর্যক বাহু দুইটি সমান হলে উহা একটি সমদ্বিবাহু ট্রাপিজিয়াম।
৬১৬.
একটি রম্বসের কর্ণদ্বয়ের দৈর্ঘ্য ৪ সে.মি. এবং ৬ সে.মি.। রম্বসটির ক্ষেত্রফল কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি রম্বসের কর্ণদ্বয়ের দৈর্ঘ্য ৪ সে.মি. এবং ৬ সে.মি.। রম্বসটির ক্ষেত্রফল কত?
সমাধান:
আমরা জানি,
রম্বসের ক্ষেত্রফল = (১/২) × কর্ণদ্বয়ের গুণফল
= (১/২) × ৪ × ৬ বর্গ সে.মি.
= ১২ বর্গ সে.মি.
∴ রম্বসটির ক্ষেত্রফল = ১২ বর্গ সে.মি।
সমাধান:
আমরা জানি,
রম্বসের ক্ষেত্রফল = (১/২) × কর্ণদ্বয়ের গুণফল
= (১/২) × ৪ × ৬ বর্গ সে.মি.
= ১২ বর্গ সে.মি.
∴ রম্বসটির ক্ষেত্রফল = ১২ বর্গ সে.মি।
৬১৭.
একটি বর্গক্ষেত্রের কর্ণ ১৪ মিটার হলে, ক্ষেত্রফল কত হবে?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি বর্গক্ষেত্রের কর্ণ ১৪ মিটার হলে, ক্ষেত্রফল কত হবে?
সমাধান:
বর্গক্ষেত্রের কর্ণ, d = ১৪ মিটার
আমরা জানি,
বর্গক্ষেত্রের কর্ণের, d = a√২
a√২ = ১৪
⇒ a = ১৪/√২
⇒ a = (৭ × √২ × √২)/√২
∴ a = ৭√২ মিটার
∴ বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = a২ = (৭√২)২ = ৪৯ × ২ = ৯৮ বর্গমিটার
সুতরাং, বর্গক্ষেত্রটির ক্ষেত্রফল ৯৮ বর্গমিটার
৬১৮.
একটি আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য x সে.মি. এবং প্রস্থ (x - 3) সে.মি.। ক্ষেত্রফল 54 বর্গ সে.মি. হলে, x এর মান কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য x সে.মি. এবং প্রস্থ (x - 3) সে.মি.। ক্ষেত্রফল 54 বর্গ সে.মি. হলে, x এর মান কত?
সমাধান:
দৈর্ঘ্য = x সে.মি.
প্রস্থ = (x - 3) সে.মি.
প্রশ্নমতে,
x(x - 3) = 54
⇒ x² - 3x - 54 = 0
⇒ x² - 9x + 6x - 54 = 0
⇒ x(x - 9) + 6(x - 9) = 0
⇒ (x - 9)(x + 6) = 0
অর্থাৎ, x - 9 = 0
∴ x = 9 (কারণ দৈর্ঘ্য ধনাত্মক)
∴ দৈর্ঘ্য, x এর মান = 9 সে.মি.
৬১৯.
যে চতুর্ভুজের কোণগুলোর পরিমানের অনুপাত ১ঃ২ঃ২ঃ৩ তার বৃহত্তম কোণের পরিমাপ-
ব্যাখ্যা
বৃহত্তম কোণের পরিমাণ ( ৩৬০ এর ৩ / ১+২+২+৩)° = (৩৬০ এর ৩/৮)° = ১৩৫°
৬২০.
একটি আয়তাকার ক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য ২০% বৃদ্ধি এবং প্রস্থ ৪০% হ্রাস করলে ক্ষেত্রফলের শতকরা কত পরিবর্তন হবে?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি আয়তাকার ক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য ২০% বৃদ্ধি এবং প্রস্থ ৪০% হ্রাস করলে ক্ষেত্রফলের শতকরা কত পরিবর্তন হবে?
সমাধান:
ধরি,
আয়তাকার ক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য = ১০০ একক
আয়তাকার ক্ষেত্রের প্রস্থ = ১০০ একক
∴ আয়তাকার ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = (১০০ × ১০০) একক
= ১০০০০ বর্গ একক
এখন,
২০% বৃদ্ধিতে আয়তাকার ক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য = (১২০ + ২০) একক
= ১২০ একক
৪০% হ্রাসে আয়তাকার ক্ষেত্রের প্রস্থ = (১০০ - ৪০) একক
= ৬০ একক
∴ আয়তাকার ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = (১২০ × ৬০) বর্গ একক
= ৭২০০ বর্গ একক
∴ ক্ষেত্রফল হ্রাস = (১০০০০ - ৭২০০) বর্গ একক
= ২৮০০ বর্গ একক
∴ শতকরা ক্ষেত্রফল হ্রাসের হার = {(২৮০০ × ১০০)/১০০০০}%
= ২৮%।
সমাধান:
ধরি,
আয়তাকার ক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য = ১০০ একক
আয়তাকার ক্ষেত্রের প্রস্থ = ১০০ একক
∴ আয়তাকার ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = (১০০ × ১০০) একক
= ১০০০০ বর্গ একক
এখন,
২০% বৃদ্ধিতে আয়তাকার ক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য = (১২০ + ২০) একক
= ১২০ একক
৪০% হ্রাসে আয়তাকার ক্ষেত্রের প্রস্থ = (১০০ - ৪০) একক
= ৬০ একক
∴ আয়তাকার ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = (১২০ × ৬০) বর্গ একক
= ৭২০০ বর্গ একক
∴ ক্ষেত্রফল হ্রাস = (১০০০০ - ৭২০০) বর্গ একক
= ২৮০০ বর্গ একক
∴ শতকরা ক্ষেত্রফল হ্রাসের হার = {(২৮০০ × ১০০)/১০০০০}%
= ২৮%।
৬২১.
ABCD একটি বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ। ∠BAD ও ∠BCD এর সমষ্টি কত হবে?
ব্যাখ্যা
আমরা জানি
বৃত্তে অন্তর্লিখিত চতুর্ভুজের যেকোনো দুইটি বিপরীত কোণের সমষ্টি দুই সমকোণ।
ABCD বৃত্তস্থ চতুর্ভুজে ∠BAD ও ∠BCD পরস্পর বিপরীত কোণ।
∠BAD ও ∠BCD এর সমষ্টি দুই সমকোণ বা ১৮০°
৬২২.
একটি বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা একটি আয়তক্ষেত্রের পরিসীমার সমান। আয়তক্ষেত্রটির দৈর্ঘ্য প্রস্থের দ্বিগুণ এবং ক্ষেত্রফল 968 বর্গমিটার। বর্গক্ষেত্রের এক বাহুর দৈর্ঘ্য কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা একটি আয়তক্ষেত্রের পরিসীমার সমান। আয়তক্ষেত্রটির দৈর্ঘ্য প্রস্থের দ্বিগুণ এবং ক্ষেত্রফল 968 বর্গমিটার। বর্গক্ষেত্রের এক বাহুর দৈর্ঘ্য কত?
সমাধান:
ধরি,
প্রস্থ = x মিটার
∴ দৈর্ঘ্য = 2x মিটার
∴ ক্ষেত্রফল = 2x2 বর্গমিটার
প্রশ্নমতে,
2x2 = 968
বা, x2 = 968/2
বা, x2 = 484
বা, x2 = (√484)
∴ x = 22
∴ দৈর্ঘ্য = 2 × 22 মিটার
= 44 মিটার
দেওয়া আছে,
বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা = আয়তক্ষেত্রের পরিসীমা
= 2 (দৈর্ঘ্য + প্রস্থ) মিটার
= 2 (44 + 22) মিটার
= 132 মিটার
∴ বর্গের এক বাহুর দৈর্ঘ্য = 132/4 মিটার
= 33 মিটার
সমাধান:
ধরি,
প্রস্থ = x মিটার
∴ দৈর্ঘ্য = 2x মিটার
∴ ক্ষেত্রফল = 2x2 বর্গমিটার
প্রশ্নমতে,
2x2 = 968
বা, x2 = 968/2
বা, x2 = 484
বা, x2 = (√484)
∴ x = 22
∴ দৈর্ঘ্য = 2 × 22 মিটার
= 44 মিটার
দেওয়া আছে,
বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা = আয়তক্ষেত্রের পরিসীমা
= 2 (দৈর্ঘ্য + প্রস্থ) মিটার
= 2 (44 + 22) মিটার
= 132 মিটার
∴ বর্গের এক বাহুর দৈর্ঘ্য = 132/4 মিটার
= 33 মিটার
৬২৩.
একটি রম্বসের কর্ণদ্বয়ের দৈর্ঘ্য ৮ সে. মি. ও ৯ সে. মি.। এই রম্বসের ক্ষেত্রফলের সমান ক্ষেত্রফলবিশিষ্ট বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি রম্বসের কর্ণদ্বয়ের দৈর্ঘ্য ৮ সে. মি. ও ৯ সে. মি.। এই রম্বসের ক্ষেত্রফলের সমান ক্ষেত্রফলবিশিষ্ট বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা কত?
সমাধান:
আমরা জানি,
রম্বসের ক্ষেত্রফল = (১/২) × কর্ণদ্বয়ের গুণফল
= (১/২) × ৮ × ৯ বর্গ সে.মি.
= ৩৬ বর্গ সে.মি.
ধরি,
বর্গক্ষেত্রের বাহুর দৈর্ঘ্য = ক সে.মি.
∴ ক২ = ৩৬ বর্গ সে.মি.
∴ ক = ৬ সে.মি.
∴ বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা = ৪ ক সে.মি.
= ৪ × ৬ সে.মি.
= ২৪ সে.মি.।
সমাধান:
আমরা জানি,
রম্বসের ক্ষেত্রফল = (১/২) × কর্ণদ্বয়ের গুণফল
= (১/২) × ৮ × ৯ বর্গ সে.মি.
= ৩৬ বর্গ সে.মি.
ধরি,
বর্গক্ষেত্রের বাহুর দৈর্ঘ্য = ক সে.মি.
∴ ক২ = ৩৬ বর্গ সে.মি.
∴ ক = ৬ সে.মি.
∴ বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা = ৪ ক সে.মি.
= ৪ × ৬ সে.মি.
= ২৪ সে.মি.।
৬২৪.
একটি ট্রাপিজিয়ামের সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের দৈর্ঘ্য ১০০ সে.মি. এবং ১৬০ সে.মি. ও তাদের মধ্যবর্তী দূরত্ব ৮০ সে.মি. হলে ট্রাপিজিয়ামের ক্ষেত্রফল কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি ট্রাপিজিয়ামের সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের দৈর্ঘ্য ১০০ সে.মি. এবং ১৬০ সে.মি. ও তাদের মধ্যবর্তী দূরত্ব ৮০ সে.মি. হলে ট্রাপিজিয়ামের ক্ষেত্রফল কত?
সমাধান:
আমরা জানি,
ট্রাপিজিয়ামের ক্ষেত্রফল = (১/২) × সমান্তরাল দুই বাহুর দৈর্ঘ্যের যোগফল × মধ্যবর্তী দূরত্ব
= {(১/২) × (১০০ + ১৬০) × ৮০} বর্গ সে.মি.
= (১/২) × ২৬০ × ৮০ বর্গ সে.মি.
= (১/২) × ২০৮০০ বর্গ সে.মি.
= ১০৪০০ বর্গ সে.মি.
∴ ট্রাপিজিয়ামের ক্ষেত্রফল = ১০৪০০ বর্গ সে.মি.
সমাধান:
আমরা জানি,
ট্রাপিজিয়ামের ক্ষেত্রফল = (১/২) × সমান্তরাল দুই বাহুর দৈর্ঘ্যের যোগফল × মধ্যবর্তী দূরত্ব
= {(১/২) × (১০০ + ১৬০) × ৮০} বর্গ সে.মি.
= (১/২) × ২৬০ × ৮০ বর্গ সে.মি.
= (১/২) × ২০৮০০ বর্গ সে.মি.
= ১০৪০০ বর্গ সে.মি.
∴ ট্রাপিজিয়ামের ক্ষেত্রফল = ১০৪০০ বর্গ সে.মি.
৬২৫.
যে আয়তে চারটি বাহু সমান ও সমান্তরাল কিন্তু কর্ণ দুইটি অসমান তাকে বলে-
ব্যাখ্যা
যে আয়তে চারটি বাহু সমান ও সমান্তরাল কিন্তু কর্ণ দুইটি অসমান তাকে রম্বস বলে। প্রকৃতপক্ষে, রম্বস হলো সামান্তরিকের একটি বিশেষ রূপ অর্থাৎ সামান্তরিকের সন্নিহিত বাহুদ্বয় সমান হলে তখন তা রম্বস হয়ে যায়। রম্বসকে অনেকসময় ডায়মন্ড বলা হয় কারণ এটি দেখতে অনেকটা ডায়মন্ডের মত। আবার এটিকে সমবাহু চতুর্ভুজও বলা হয় কারণ এর চারটি বাহুর দৈর্ঘ্য পরস্পর সমান। রম্বসের কর্ণদ্বয় পরস্পরকে সমকোণে সমদ্বিখণ্ডিত করে। রম্বসের বিপরীত কোণগুলো পরস্পর সমান।
৬২৬.
একটি বর্গক্ষেত্রের কর্ণের দৈর্ঘ্য √২০ সেমি হলে, বর্গক্ষেত্রটির ক্ষেত্রফল কত বর্গসে.মি?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন : একটি বর্গক্ষেত্রের কর্ণের দৈর্ঘ্য √২০ সেমি হলে, বর্গক্ষেত্রটির ক্ষেত্রফল কত সেমি?
সমাধান :
আমরা জানি,
সমাধান :
আমরা জানি,
বর্গক্ষেত্রের বাহুর দৈর্ঘ্য = a সেমি হলে
একটি বর্গক্ষেত্রের কর্ণের দৈর্ঘ্য √২০ হলে,
বর্গক্ষেত্রের কর্ণের দৈর্ঘ্য = a√২ সেমি
একটি বর্গক্ষেত্রের কর্ণের দৈর্ঘ্য √২০ হলে,
সেই বর্গক্ষেত্রের বাহুর দৈর্ঘ্য = √২০/√২
∴ বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = (√২০/√২)২ = ২০/২ = ১০ বর্গ সে.মি
∴ বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = (√২০/√২)২ = ২০/২ = ১০ বর্গ সে.মি
৬২৭.
আয়তক্ষেত্র P এর পরিসীমা ২০০ মিটার। আয়তক্ষেত্র Q এর দৈর্ঘ্য আয়তক্ষেত্র P এর দৈর্ঘ্যের চেয়ে ১০ মিটার কম এবং আয়তক্ষেত্র Q এর প্রস্থ আয়তক্ষেত্র P এর প্রস্থের চেয়ে ১০ মিটার বেশি। আয়তক্ষেত্র Q একটি বর্গক্ষেত্র হলে, আয়তক্ষেত্র P এর প্রস্থ কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: আয়তক্ষেত্র P এর পরিসীমা ২০০ মিটার। আয়তক্ষেত্র Q এর দৈর্ঘ্য আয়তক্ষেত্র P এর দৈর্ঘ্যের চেয়ে ১০ মিটার কম এবং আয়তক্ষেত্র Q এর প্রস্থ আয়তক্ষেত্র P এর প্রস্থের চেয়ে ১০ মিটার বেশি। আয়তক্ষেত্র Q একটি বর্গক্ষেত্র হলে, আয়তক্ষেত্র P এর প্রস্থ কত?
সমাধান:
ধরি,
আয়তক্ষেত্র P এর দৈর্ঘ্য x মিটার
আয়তক্ষেত্র P এর প্রস্থ y মিটার
∴ আয়তক্ষেত্র P এর পরিসীমা = ২(x + y) = ২০০ মিটার ......... (১)
∴ আয়তক্ষেত্র Q এর দৈর্ঘ্য = x - ১০ মিটার
∴ আয়তক্ষেত্র Q এর প্রস্থ = y + ১০ মিটার
আয়তক্ষেত্র Q একটি বর্গক্ষেত্র,
∴ x - ১০ = y + ১০
⇒ x = y + ১০ + ১০
∴ x = y + ২০
(১) নং এ x এর মান বসিয়ে পাই,
২(x + y) = ২০০
বা, ২x + ২y = ২০০
বা, x + y = ১০০
বা, y + ২০ + y = ১০০
বা, ২y = ৮০
∴ y = ৪০
সমাধান:
ধরি,
আয়তক্ষেত্র P এর দৈর্ঘ্য x মিটার
আয়তক্ষেত্র P এর প্রস্থ y মিটার
∴ আয়তক্ষেত্র P এর পরিসীমা = ২(x + y) = ২০০ মিটার ......... (১)
∴ আয়তক্ষেত্র Q এর দৈর্ঘ্য = x - ১০ মিটার
∴ আয়তক্ষেত্র Q এর প্রস্থ = y + ১০ মিটার
আয়তক্ষেত্র Q একটি বর্গক্ষেত্র,
∴ x - ১০ = y + ১০
⇒ x = y + ১০ + ১০
∴ x = y + ২০
(১) নং এ x এর মান বসিয়ে পাই,
২(x + y) = ২০০
বা, ২x + ২y = ২০০
বা, x + y = ১০০
বা, y + ২০ + y = ১০০
বা, ২y = ৮০
∴ y = ৪০
৬২৮.
একটি আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য ৪০ মিটার এবং প্রস্থ ৩০ মিটার। ক্ষেত্রটির ভেতরের চারদিকে ২ মিটার প্রশস্ত একটি রাস্তা আছে। রাস্তাটির ক্ষেত্রফল কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য ৪০ মিটার এবং প্রস্থ ৩০ মিটার। ক্ষেত্রটির ভেতরের চারদিকে ২ মিটার প্রশস্ত একটি রাস্তা আছে। রাস্তাটির ক্ষেত্রফল কত?
সমাধান:
রাস্তাসহ আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য ৪০ মিটার
রাস্তা বাদে আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য (৪০ - ২ × ২) মিটার = ৩৬ মিটার
রাস্তাসহ আয়তক্ষেত্রের প্রস্থ ৩০ মিটার
রাস্তা বাদে আয়তক্ষেত্রের প্রস্থ (৩০ - ২ × ২) মিটার = ২৬ মিটার
রাস্তাসহ আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = (৪০ × ৩০) বর্গমিটার
= ১২০০ বর্গমিটার
রাস্তাবাদে আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = (৩৬ × ২৬) বর্গমিটার
= ৯৩৬ বর্গমিটার
∴ রাস্তার ক্ষেত্রফল = (১২০০ - ৯৩৬) বর্গমিটার
= ২৬৪ বর্গমিটার
সমাধান:
রাস্তাসহ আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য ৪০ মিটার
রাস্তা বাদে আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য (৪০ - ২ × ২) মিটার = ৩৬ মিটার
রাস্তাসহ আয়তক্ষেত্রের প্রস্থ ৩০ মিটার
রাস্তা বাদে আয়তক্ষেত্রের প্রস্থ (৩০ - ২ × ২) মিটার = ২৬ মিটার
রাস্তাসহ আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = (৪০ × ৩০) বর্গমিটার
= ১২০০ বর্গমিটার
রাস্তাবাদে আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = (৩৬ × ২৬) বর্গমিটার
= ৯৩৬ বর্গমিটার
∴ রাস্তার ক্ষেত্রফল = (১২০০ - ৯৩৬) বর্গমিটার
= ২৬৪ বর্গমিটার
৬২৯.
রম্বসের কর্ণদ্বয় পরস্পরকে কত ডিগ্রী কোণে সমদ্বিখন্ডিত করে?
ব্যাখ্যা
রম্বসের কর্ণদ্বয় পরস্পরকে ৯০° ডিগ্রী কোণে সমদ্বিখন্ডিত করে।
৬৩০.
একটি রম্বসের কর্ণদ্বয় যথাক্রমে 3.25 সে.মি. এবং 8 সে.মি. হয় তবে, রম্বসের ক্ষেত্রফল কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি রম্বসের কর্ণদ্বয় যথাক্রমে 3.25 সে.মি. এবং 8 সে.মি. হয় তবে, রম্বসের ক্ষেত্রফল কত?
সমাধান:
রম্বসের ক্ষেত্রফল = (1/2) × দুই কর্ণের গুনফল
= (1/2) × 3.25 × 8
= 13 বর্গসে.মি.
৬৩১.
একটি ট্রাপিজিয়ামের ক্ষেত্রফল ৪৮ বর্গফুট। যদি উচ্চতা ৪ ফুট এবং সমান্তরাল বাহু দুটি একটি অপরটি থেকে ২ ফুট বেশি হয় তাহলে ছোট বাহুটির দৈর্ঘ্য কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি ট্রাপিজিয়ামের ক্ষেত্রফল ৪৮ বর্গফুট। যদি উচ্চতা ৪ ফুট এবং সমান্তরাল বাহু দুটি একটি অপরটি থেকে ২ ফুট বেশি হয় তাহলে ছোট বাহুটির দৈর্ঘ্য কত?
সমাধান:
ধরি,
বড় বাহুটি = ক ফুট
ছোট বাহুটি = (ক - ২) ফুট
আমরা জানি,
ট্রাপিজিয়ামের ক্ষেত্রফল = (১/২) × (সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের যোগফল × উচ্চতা)
⇒ ৪৮ = (১/২) × {ক + (ক - ২)} × ৪
⇒ ৪৮ = (১/২) × (২ক - ২) × ৪
⇒ ৪৮ = (১/২) × (৮ক - ৮)
⇒ ৮ক - ৮ = ৯৬
⇒ ৮ক = ৯৬ + ৮
⇒ ৮ক = ১০৪
⇒ ক = ১৩
∴ ছোট বাহুটি = (১৩ - ২) ফুট
= ১১ ফুট
সমাধান:
ধরি,
বড় বাহুটি = ক ফুট
ছোট বাহুটি = (ক - ২) ফুট
আমরা জানি,
ট্রাপিজিয়ামের ক্ষেত্রফল = (১/২) × (সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের যোগফল × উচ্চতা)
⇒ ৪৮ = (১/২) × {ক + (ক - ২)} × ৪
⇒ ৪৮ = (১/২) × (২ক - ২) × ৪
⇒ ৪৮ = (১/২) × (৮ক - ৮)
⇒ ৮ক - ৮ = ৯৬
⇒ ৮ক = ৯৬ + ৮
⇒ ৮ক = ১০৪
⇒ ক = ১৩
∴ ছোট বাহুটি = (১৩ - ২) ফুট
= ১১ ফুট
৬৩২.
যে চতুর্ভুজের বিপরীত বাহুগুলো পরস্পর সমান ও সমান্তরাল কিন্তু কোণগুলো সমকোণ নয় সেই চতুর্ভুজকে বলা হয় -
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: যে চতুর্ভুজের বিপরীত বাহুগুলো পরস্পর সমান ও সমান্তরাল কিন্তু কোণগুলো সমকোণ নয় সেই চতুর্ভুজকে বলা হয় -
সমাধান:
আয়তক্ষেত্র:
- যে চতুর্ভুজের বিপরীত বাহুগুলো পরস্পর সমান ও সমান্তরাল এবং কোণগুলো সমকোণ তাকে আয়তক্ষেত্র বলে।
রম্বস:
- যে চতুর্ভুজের চারটি বাহু সমান ও বিপরীত কোণদ্বয় সমান, কিন্তু কোনো কোণই সমকোন নয়, তাকে রম্বস বলে। রম্বসের কর্ণদ্বয় পরস্পরকে সমকোণে সমদ্বিখন্ডিত করে।
সামান্তরিক:
- যে চতুর্ভুজের বিপরীত বাহুগুলো পরস্পর সমান ও সমান্তরাল কিন্তু কোণগুলো সমকোণ নয় তাকে সামান্তরিক বলে।
সমাধান:
আয়তক্ষেত্র:
- যে চতুর্ভুজের বিপরীত বাহুগুলো পরস্পর সমান ও সমান্তরাল এবং কোণগুলো সমকোণ তাকে আয়তক্ষেত্র বলে।
রম্বস:
- যে চতুর্ভুজের চারটি বাহু সমান ও বিপরীত কোণদ্বয় সমান, কিন্তু কোনো কোণই সমকোন নয়, তাকে রম্বস বলে। রম্বসের কর্ণদ্বয় পরস্পরকে সমকোণে সমদ্বিখন্ডিত করে।
সামান্তরিক:
- যে চতুর্ভুজের বিপরীত বাহুগুলো পরস্পর সমান ও সমান্তরাল কিন্তু কোণগুলো সমকোণ নয় তাকে সামান্তরিক বলে।
৬৩৩.
একটি আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য প্রস্থের দ্বিগুণ। আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল ৫০ বর্গমিটার হলে, এর দৈর্ঘ্যের মান কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য প্রস্থের দ্বিগুণ। আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল ৫০ বর্গমিটার হলে, এর দৈর্ঘ্যের মান কত?
সমাধান:
ধরি,
আয়তক্ষেত্রের প্রস্থ = ক মিটার।
এবং, দৈর্ঘ্য = ২ক মিটার।
তাহলে, আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = ক × ২ক = ২ক২
প্রশ্নমতে,
২ক২ = ৫০
⇒ ক২ = ২৫
∴ ক = ৫
আয়তক্ষেত্রের প্রস্থ = ৫ মিটার
∴ আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য = ৫ × ২ = ১০ মিটার
সমাধান:
ধরি,
আয়তক্ষেত্রের প্রস্থ = ক মিটার।
এবং, দৈর্ঘ্য = ২ক মিটার।
তাহলে, আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = ক × ২ক = ২ক২
প্রশ্নমতে,
২ক২ = ৫০
⇒ ক২ = ২৫
∴ ক = ৫
আয়তক্ষেত্রের প্রস্থ = ৫ মিটার
∴ আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য = ৫ × ২ = ১০ মিটার
৬৩৪.
কোনটি চতুর্ভুজ নয়?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: কোনটি চতুর্ভুজ নয়?
সমাধান:
আয়তক্ষেত্র, রম্বস, বর্গক্ষেত্র ও সামান্তরিক হলো চতুর্ভুজ।
আয়তক্ষেত্র : যে চতুর্ভুজের বিপরীত বাহুগুলো পরস্পর সমান ও সমান্তরাল এবং কোণগুলো সমকোণ তাকে আয়তক্ষেত্র বলে।
রম্বস: যে চতুর্ভুজের চারটি বাহু সমান ও বিপরীত কোণদ্বয় সমান, কিন্তু কোন কোণই সমকোন নয়, তাকে রম্বস বলে।
রম্বসের কর্ণদ্বয় পরস্পরকে সমকোণে সমদ্বিখন্ডিত করে।
সামান্তরিক: যে চতুর্ভুজের বিপরীত বাহুগুলো পরস্পর সমান ও সমান্তরাল কিন্তু কোণগুলো সমকোণ নয় তাকে সামান্তরিক বলে।
সমাধান:
আয়তক্ষেত্র, রম্বস, বর্গক্ষেত্র ও সামান্তরিক হলো চতুর্ভুজ।
আয়তক্ষেত্র : যে চতুর্ভুজের বিপরীত বাহুগুলো পরস্পর সমান ও সমান্তরাল এবং কোণগুলো সমকোণ তাকে আয়তক্ষেত্র বলে।
রম্বস: যে চতুর্ভুজের চারটি বাহু সমান ও বিপরীত কোণদ্বয় সমান, কিন্তু কোন কোণই সমকোন নয়, তাকে রম্বস বলে।
রম্বসের কর্ণদ্বয় পরস্পরকে সমকোণে সমদ্বিখন্ডিত করে।
সামান্তরিক: যে চতুর্ভুজের বিপরীত বাহুগুলো পরস্পর সমান ও সমান্তরাল কিন্তু কোণগুলো সমকোণ নয় তাকে সামান্তরিক বলে।
৬৩৫.
একটি আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য প্রস্থের থেকে ১৫ মিটার বেশি। আয়তক্ষেত্রটির পরিসীমা ১৫০ মিটার হলে, ক্ষেত্রফল কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য প্রস্থের থেকে ১৫ মিটার বেশি। আয়তক্ষেত্রটির পরিসীমা ১৫০ মিটার হলে, ক্ষেত্রফল কত?
সমাধান:
ধরি,
আয়তক্ষেত্রের প্রস্থ = ক মিটার
∴ আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য = ক + ১৫ মিটার
∴ আয়তক্ষেত্রের পরিসীমা = ২ × (দৈর্ঘ্য + প্রস্থ)
= ২ × (ক + ক + ১৫)
= ৪ক + ৩০ মিটার
প্রশ্নমতে,
৪ক + ৩০ = ১৫০
⇒ ৪ক = ১২০
⇒ ক = ১২০/৪
∴ ক = ৩০
∴ আয়তক্ষেত্রের প্রস্থ = ৩০ মিটার
এবং আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য = ৩০ + ১৫ = ৪৫
∴ আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = ৪৫ × ৩০ বর্গমিটার
= ১৩৫০ বর্গমিটার
৬৩৬.
রম্বসের একটি কর্ণের দৈর্ঘ্য অপরটির দ্বিগুণ। রম্বসের ক্ষেত্রফল 49 বর্গ সে.মি. হলে, কর্ণদ্বয়ের সমষ্টি কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: রম্বসের একটি কর্ণের দৈর্ঘ্য অপরটির দ্বিগুণ। রম্বসের ক্ষেত্রফল 49 বর্গ সে.মি. হলে কর্ণদ্বয়ের সমষ্টি কত?
সমাধান:
মনেকরি,
রম্বসের একটি কর্ণ d
অপর কর্ণ 2d
আমরা জানি
রম্বসের ক্ষেত্রফল =(1/2) ( কর্ণদ্বয়ের গুণফল )
⇒ (1/2) × d × 2d = 49
⇒ d2 = 49
⇒ d = 7
রম্বসের একটি কর্ণ = 7
অপর কর্ণ = 14
কর্ণদ্বয়ের সমষ্টি = 14 + 7 = 21 সে.মি.
সমাধান:
মনেকরি,
রম্বসের একটি কর্ণ d
অপর কর্ণ 2d
আমরা জানি
রম্বসের ক্ষেত্রফল =(1/2) ( কর্ণদ্বয়ের গুণফল )
⇒ (1/2) × d × 2d = 49
⇒ d2 = 49
⇒ d = 7
রম্বসের একটি কর্ণ = 7
অপর কর্ণ = 14
কর্ণদ্বয়ের সমষ্টি = 14 + 7 = 21 সে.মি.
৬৩৭.
একটি সামান্তরিক ক্ষেত্রের ভূমি ৩৪ মিটার ও উচ্চতা ৪৬ মিটার। এর ক্ষেত্রফল নির্ণয় করুন।
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি সামান্তরিক ক্ষেত্রের ভূমি ৩৪ মিটার ও উচ্চতা ৪৬ মিটার। এর ক্ষেত্রফল নির্ণয় করুন।
সমাধান:
দেওয়া আছে,
সামান্তরিক ক্ষেত্রের ভূমি ৩৪ মিটার
এবং উচ্চতা ৪৬ মিটার
আমরা জানি,
সামান্তরিক ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = (ভূমি × উচ্চতা) বর্গ একক
= (৩৪ × ৪৬) বর্গমিটার
= ১৫৬৪ বর্গমিটার
৬৩৮.
কোনটি রম্বসের বৈশিষ্ট্য?
ব্যাখ্যা
রম্বসের বৈশিষ্ট্য হলো, এর
ⅰ) চারটি বাহু পরস্পর সমান,
ⅱ) বিপরীত বাহুগুলো সমান্তরাল,
ⅲ) কর্ণদ্বয় পরস্পর সমকোণে সমদ্বিখণ্ডিত হয়।
ⅰ) চারটি বাহু পরস্পর সমান,
ⅱ) বিপরীত বাহুগুলো সমান্তরাল,
ⅲ) কর্ণদ্বয় পরস্পর সমকোণে সমদ্বিখণ্ডিত হয়।
৬৩৯.
একটি রম্বসের একটি কর্ণ 1000 সে.মি. এবং ক্ষেত্রফল 120 বর্গমিটার হলে, অপর কর্ণের দৈর্ঘ্য কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি রম্বসের একটি কর্ণ 1000 সে.মি. এবং ক্ষেত্রফল 120 বর্গমিটার হলে, অপর কর্ণের দৈর্ঘ্য কত?
সমাধান:
রম্বসের একটি কর্ণ = 1000 সে.মি. = 1000/100 = 10 মি.
আমরা জানি,
রম্বসের ক্ষেত্রফল = 1/2 × কর্ণদ্বয়ের গুণফল
120 = (1/2) × 10 × d2
120 = 5 × d2
d2 = 120/5
d2 = 24 মি.
সমাধান:
রম্বসের একটি কর্ণ = 1000 সে.মি. = 1000/100 = 10 মি.
আমরা জানি,
রম্বসের ক্ষেত্রফল = 1/2 × কর্ণদ্বয়ের গুণফল
120 = (1/2) × 10 × d2
120 = 5 × d2
d2 = 120/5
d2 = 24 মি.
৬৪০.
ABCD রম্বসের পরিসীমা কোনটি?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: ABCD রম্বসের পরিসীমা কোনটি?
সমাধান:
রম্বসের কর্ণদ্বয় পরস্পরকে সমকোণে সমদ্বিখণ্ডিত করে।
∴ ΔAOD একটি সমকোণী ত্রিভুজ।
∴ AD = √(AO2 + OD2)
= √(32 + 42)
= √(9 + 16)
=√25
= 5
∴ রম্বসের একবাহুর দৈর্ঘ্য 5 একক
∴ রম্বসের পরিসীমা = 5 × 4 একক
= 20 একক
সমাধান:
রম্বসের কর্ণদ্বয় পরস্পরকে সমকোণে সমদ্বিখণ্ডিত করে।
∴ ΔAOD একটি সমকোণী ত্রিভুজ।
∴ AD = √(AO2 + OD2)
= √(32 + 42)
= √(9 + 16)
=√25
= 5
∴ রম্বসের একবাহুর দৈর্ঘ্য 5 একক
∴ রম্বসের পরিসীমা = 5 × 4 একক
= 20 একক
৬৪১.
একটি বর্গক্ষেত্রের বাহুর দৈর্ঘ্য ১২ ফুট হলে, ঐ বর্গক্ষেত্রের কর্ণের উপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি বর্গক্ষেত্রের বাহুর দৈর্ঘ্য ১২ ফুট হলে, ঐ বর্গক্ষেত্রের কর্ণের উপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল কত?
সমাধান:
ধরি,
বর্গক্ষেত্রের বাহুর দৈর্ঘ্য a = ১২ ফুট
বর্গক্ষেত্রের কর্ণের দৈর্ঘ্য = √২ × ১২ ফুট
= ১২√২
এখন,
অপর বর্গক্ষেত্রের বাহুর দৈর্ঘ্য = ১২√২ ফুট
অপর বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = (১২√২)২
= (১৪৪ × ২) বর্গফুট
= ২৮৮ বর্গফুট
সমাধান:
ধরি,
বর্গক্ষেত্রের বাহুর দৈর্ঘ্য a = ১২ ফুট
বর্গক্ষেত্রের কর্ণের দৈর্ঘ্য = √২ × ১২ ফুট
= ১২√২
এখন,
অপর বর্গক্ষেত্রের বাহুর দৈর্ঘ্য = ১২√২ ফুট
অপর বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = (১২√২)২
= (১৪৪ × ২) বর্গফুট
= ২৮৮ বর্গফুট
৬৪২.
একটি সামান্তরিকের ভূমি উচ্চতার দ্বিগুণ। সামান্তরিকটির ক্ষেত্রফল 72 বর্গ সে.মি. হলে উচ্চতা ও ভূমি কত?
ব্যাখ্যা
মনে করি, সামান্তরিকের উচ্চতা, ক
সুতরাং, ভূমি 2ক
আমরা জানি, সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল = ভূমি × উচ্চতা
শর্তমতে, ক × 2ক = 72
বা, 2ক2 = 72
বা, ক2 = 36
বা, ক = 6
সুতরাং উচ্চতা = 6 সে.মি. এবং ভূমি 2 × 6 = ১২ সে.মি.
৬৪৩.
চতুর্ভুজ সম্পর্কিত কোন উপপাদ্যটি ভুল?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: চতুর্ভুজ সম্পর্কিত কোন উপপাদ্যটি ভুল?
সমাধান:
• চতুর্ভুজ সম্পর্কিত উপপাদ্য:
- চতুর্ভুজের দুইটি বিপরীত বাহু পরস্পর সমান ও সমান্তরাল হলে, তার অপর বাহু দুটিও সমান ও সমান্তরাল হবে।
- রম্বসের কর্ণদ্বয় পরস্পরকে সমকোণে সমদ্বিখণ্ডিত করে।
- সামান্তরিকের বিপরীত বাহু ও কোণগুলো পরস্পর সমান এবং প্রত্যেক কর্ণ সামান্তরিককে দুটি সর্বসম ত্রিভুজে বিভক্ত করে।
- সামান্তরিকের কর্ণদ্বয় পরস্পরকে সমদ্বিখণ্ডিত করে।
সমাধান:
• চতুর্ভুজ সম্পর্কিত উপপাদ্য:
- চতুর্ভুজের দুইটি বিপরীত বাহু পরস্পর সমান ও সমান্তরাল হলে, তার অপর বাহু দুটিও সমান ও সমান্তরাল হবে।
- রম্বসের কর্ণদ্বয় পরস্পরকে সমকোণে সমদ্বিখণ্ডিত করে।
- সামান্তরিকের বিপরীত বাহু ও কোণগুলো পরস্পর সমান এবং প্রত্যেক কর্ণ সামান্তরিককে দুটি সর্বসম ত্রিভুজে বিভক্ত করে।
- সামান্তরিকের কর্ণদ্বয় পরস্পরকে সমদ্বিখণ্ডিত করে।
৬৪৪.
একটি সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল ৭২ বর্গমিটার এবং সামান্তরিকের উচ্চতা ৮ মিটার হলে, সামান্তরিকের ভূমি কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল ৭২ বর্গমিটার এবং সামান্তরিকের উচ্চতা ৮ মিটার হলে, সামান্তরিকের ভূমি কত?
সমাধান:
দেওয়া আছে,
সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল = ৭২ বর্গমিটার
সামান্তরিকের উচ্চতা = ৮ মিটার
সামান্তরিকের ভূমি =?
আমরা জানি,
সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল = (ভূমি × উচ্চতা) বর্গ একক
বা, ৭২ = ভূমি × ৮
বা, ভূমি = ৭২/৮
∴ ভূমি = ৯ মিটার
∴ সামান্তরিকের ভূমি = ৯ মিটার।
৬৪৫.
একটি আয়তাকার ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল ২০০ বর্গ মিটার। যদি আয়ত ক্ষেত্রটির দৈর্ঘ্য প্রস্থের দ্বিগুণ হয়, তাহলে পরিসীমা কত হবে?
ব্যাখ্যা
প্রস্থ ক হলে, দৈর্ঘ্য ২ক মিটার
ক × ২ক = ২০০
২ক২ = ২০০
ক = ১০ মিটার
পরিসীমা = ২(২ × ১০ + ১০) মিটার = ৬০ মিটার
ক × ২ক = ২০০
২ক২ = ২০০
ক = ১০ মিটার
পরিসীমা = ২(২ × ১০ + ১০) মিটার = ৬০ মিটার
৬৪৬.
একটি চতুর্ভুজের দৈর্ঘ্য ৪ ইঞ্চি এবং প্রস্থ ৩ ইঞ্চি হলে, এর পরিসীমা কত?
ব্যাখ্যা
আমরা জানি,
চতুর্ভুজের পরিসীমা = ২ × (দৈর্ঘ্য + প্রস্থ)
∴ চতুর্ভুজের পরিসীমা = ২ × (৪ + ৩) = ২ × ৭ = ১৪ ইঞ্চি। (বর্গ ইঞ্চি নয়)
৬৪৭.
একটি আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য ১৮ সে.মি. এবং প্রস্থ ১৪ সে.মি. হলে আয়তক্ষেত্রটির সমান পরিসীমা বিশিষ্ট রম্বসের বাহুর দৈর্ঘ্য কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য ১৮ সে.মি. এবং প্রস্থ ১৪ সে.মি. হলে আয়তক্ষেত্রটির সমান পরিসীমা বিশিষ্ট রম্বসের বাহুর দৈর্ঘ্য কত?
সমাধান:
দেওয়া আছে,
আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য = ১৮ সে.মি.
প্রস্থ = ১৪ সে.মি.
আমরা জানি,
আয়তক্ষেত্রের পরিসীমা = ২(দৈর্ঘ্য + প্রস্থ)
রম্বসের পরিসীমা = ৪ × বাহুর দৈর্ঘ্য
ধরি,
রম্বসের বাহু = ক সে.মি.
প্রশ্নমতে,
৪ক = ২(দৈর্ঘ্য + প্রস্থ)
⇒ ক = {২ × (দৈর্ঘ্য + প্রস্থ)}/৪
⇒ ক = {২ × (১৮ + ১৪)}/৪
⇒ ক = (২ × ৩২)/৪
⇒ ক = ১৬ সে.মি.
সমাধান:
দেওয়া আছে,
আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য = ১৮ সে.মি.
প্রস্থ = ১৪ সে.মি.
আমরা জানি,
আয়তক্ষেত্রের পরিসীমা = ২(দৈর্ঘ্য + প্রস্থ)
রম্বসের পরিসীমা = ৪ × বাহুর দৈর্ঘ্য
ধরি,
রম্বসের বাহু = ক সে.মি.
প্রশ্নমতে,
৪ক = ২(দৈর্ঘ্য + প্রস্থ)
⇒ ক = {২ × (দৈর্ঘ্য + প্রস্থ)}/৪
⇒ ক = {২ × (১৮ + ১৪)}/৪
⇒ ক = (২ × ৩২)/৪
⇒ ক = ১৬ সে.মি.
৬৪৮.
একটি বর্গের কর্ণের দৈর্ঘ্য 6√2 একক হলে ঐ বর্গের ক্ষেত্রফল কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি বর্গের কর্ণের দৈর্ঘ্য 6√2 একক হলে ঐ বর্গের ক্ষেত্রফল কত?
সমাধান:
বর্গের বাহু a হলে,
কর্ণের দৈর্ঘ্য = a√2
প্রশ্নমতে,
a√2 = 6√2
⇒ a = 6
∴ বর্গের ক্ষেত্রফল = 62 = 36 বর্গ একক
সমাধান:
বর্গের বাহু a হলে,
কর্ণের দৈর্ঘ্য = a√2
প্রশ্নমতে,
a√2 = 6√2
⇒ a = 6
∴ বর্গের ক্ষেত্রফল = 62 = 36 বর্গ একক
৬৪৯.
বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের একটি কোন ৭০° হলে, বিপরীত কোনটির মান কত?
ব্যাখ্যা
বৃত্তস্থ চতুর্তুজের দুটি বিপরীত কোনের সমষ্টি = ১৮০°
একটি কোন ৭০° হলে, অপরটি = (১৮০ - ৭০) বা ১১০°
একটি কোন ৭০° হলে, অপরটি = (১৮০ - ৭০) বা ১১০°
৬৫০.
একটি আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য প্রস্থের তিনগুণ। যদি আয়তক্ষেত্রের প্রস্থ a হয়, তবে আয়তক্ষেত্রের কর্ণের দৈর্ঘ্য কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য প্রস্থের তিনগুণ। যদি আয়তক্ষেত্রের প্রস্থ a হয়, তবে আয়তক্ষেত্রের কর্ণের দৈর্ঘ্য কত?
সমাধান:
আয়তক্ষেত্রের প্রস্থ = a
আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য = 3a
আয়তক্ষেত্রের কর্ণের দৈর্ঘ্য = √{a2 + (3a)2}
= √(a2 + 9a2)
= √(10a2)
= a√10
সমাধান:
আয়তক্ষেত্রের প্রস্থ = a
আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য = 3a
আয়তক্ষেত্রের কর্ণের দৈর্ঘ্য = √{a2 + (3a)2}
= √(a2 + 9a2)
= √(10a2)
= a√10
৬৫১.
একটি রম্বসের কর্ণদ্বয় যথাক্রমে ৪০ সে.মি. ও ৬০ সে.মি. । রম্বসের ক্ষেত্রফল কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি রম্বসের কর্ণদ্বয় যথাক্রমে ৪০ সে.মি. ও ৬০ সে.মি.। রম্বসের ক্ষেত্রফল কত?
সমাধান:
আমরা জানি,
রম্বসের ক্ষেত্রফল = 1/2 × কর্ণদ্বয়ের গুণফল
= (1/2) × 40 × 60
= 1200 বর্গ সে.মি.
সমাধান:
আমরা জানি,
রম্বসের ক্ষেত্রফল = 1/2 × কর্ণদ্বয়ের গুণফল
= (1/2) × 40 × 60
= 1200 বর্গ সে.মি.
৬৫২.
চর্তুভুজের চার কোণের সমষ্টি কত সমকোণ?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: চর্তুভুজের চার কোণের সমষ্টি কত সমকোণ?
সমাধান:
- ত্রিভুজের তিন কোণের সমষ্টি দুই সমকোণ।
- চতুর্ভুজের চার কোণের সমষ্টি ৩৬০° বা চার সমকোণ।
সমাধান:
- ত্রিভুজের তিন কোণের সমষ্টি দুই সমকোণ।
- চতুর্ভুজের চার কোণের সমষ্টি ৩৬০° বা চার সমকোণ।
৬৫৩.
একটি আয়তাকার মাঠের কর্ণ ১৫ মিটার। দৈর্ঘ্য ও প্রস্থের পার্থক্য ৩ মিটার হলে, ক্ষেত্রফল কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন- একটি আয়তাকার মাঠের কর্ণ ১৫ মিটার। দৈর্ঘ্য ও প্রস্থের পার্থক্য ৩ মিটার হলে, ক্ষেত্রফল কত?
সমাধান-
মনে করি,
আয়াতাকার মাঠের দৈর্ঘ্য ও প্রস্থ যথাক্রমে x এবং y মি.
শর্তমতে,
√(x2 + y2) = 15
⇒ x2 + y2 = 225
⇒ (x - y)2 + 2xy = 225
⇒ 32 + 2xy = 225 [ x - y = 3]
⇒ 2xy = 216
⇒ xy = 108
সমাধান-
মনে করি,
আয়াতাকার মাঠের দৈর্ঘ্য ও প্রস্থ যথাক্রমে x এবং y মি.
শর্তমতে,
√(x2 + y2) = 15
⇒ x2 + y2 = 225
⇒ (x - y)2 + 2xy = 225
⇒ 32 + 2xy = 225 [ x - y = 3]
⇒ 2xy = 216
⇒ xy = 108
৬৫৪.
একটি চতুর্ভুজ আঁকার জন্য নিচের কোন উপাত্তগুলো প্রয়োজন?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি চতুর্ভুজ আঁকার জন্য নিচের কোন উপাত্তগুলো প্রয়োজন?
সমাধান:
চতুর্ভুজের চারটি বাহু দেওয়া থাকলেই একটি নির্দিষ্ট চতুর্ভুজ আঁকা যায় না। নির্দিষ্ট চতুর্ভুজ আঁকার জন্য পাঁচটি স্বতন্ত্র উপাত্ত প্রয়োজন হয়।
নিম্নে বর্ণিত পাঁচটি উপাত্ত জানা থাকলে, নির্দিষ্ট চতুর্ভুজ আঁকা যায়।
১. চারটি বাহু ও একটি কোণ
২. চারটি বাহু ও একটি কর্ণ
৩. তিনটি বাহু ও দুইটি কর্ণ
৪. তিনটি বাহু ও এদের অন্তর্ভুক্ত দুইটি কোণ
৫. দুইটি বাহু ও তিনটি কোণ
উৎস: গণিত, নবম-দশম শ্রেণি
৬৫৫.
একটি আয়তক্ষেত্রের পরিসীমা ২০০ মিটার। প্রস্থ দৈর্ঘ্যের ৩/৭ অংশ হলে, দৈর্ঘ্য কত মিটার?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি আয়তক্ষেত্রের পরিসীমা ২০০ মিটার। প্রস্থ দৈর্ঘ্যের ৩/৭ অংশ হলে, দৈর্ঘ্য কত মিটার?
সমাধান:
ধরি,
আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য = ৭x মিটার
আয়তক্ষেত্রের প্রস্থ = {৭x × (৩/৭)} মিটার = ৩x মিটার
আয়তক্ষেত্রের পরিসীমা = ২(৭x + ৩x) মিটার = ২০x মিটার
প্রশ্নমতে,
২০x = ২০০
বা, x = ২০০/২০
∴ x = ১০
∴ আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য = ৭x মিটার
= (৭ × ১০) মিটার
= ৭০ মিটার ।
সমাধান:
ধরি,
আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য = ৭x মিটার
আয়তক্ষেত্রের প্রস্থ = {৭x × (৩/৭)} মিটার = ৩x মিটার
আয়তক্ষেত্রের পরিসীমা = ২(৭x + ৩x) মিটার = ২০x মিটার
প্রশ্নমতে,
২০x = ২০০
বা, x = ২০০/২০
∴ x = ১০
∴ আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য = ৭x মিটার
= (৭ × ১০) মিটার
= ৭০ মিটার ।
৬৫৬.
একটি চতুর্ভুজ আঁকার জন্য নিচের কোন উপাত্তগুলো প্রয়োজন?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি চতুর্ভুজ আঁকার জন্য নিচের কোন উপাত্তগুলো প্রয়োজন?
সমাধান:
চতুর্ভুজের চারটি বাহু দেওয়া থাকলেই একটি নির্দিষ্ট চতুর্ভুজ আঁকা যায় না। নির্দিষ্ট চতুর্ভুজ আঁকার জন্য পাঁচটি স্বতন্ত্র উপাত্ত প্রয়োজন হয়। নিম্নে বর্ণিত পাঁচটি উপাত্ত জানা থাকলে, নির্দিষ্ট চতুৰ্ভুজ আঁকা যায়।
১. চারটি বাহু ও একটি কোণ
২. চারটি বাহু ও একটি কর্ণ
৩. তিনটি বাহু ও দুইটি কর্ণ
৪. তিনটি বাহু ও এদের অন্তর্ভুক্ত দুইটি কোণ
৫. দুইটি বাহু ও তিনটি কোণ
উৎস: গণিত, নবম-দশম শ্রেণি
সমাধান:
চতুর্ভুজের চারটি বাহু দেওয়া থাকলেই একটি নির্দিষ্ট চতুর্ভুজ আঁকা যায় না। নির্দিষ্ট চতুর্ভুজ আঁকার জন্য পাঁচটি স্বতন্ত্র উপাত্ত প্রয়োজন হয়। নিম্নে বর্ণিত পাঁচটি উপাত্ত জানা থাকলে, নির্দিষ্ট চতুৰ্ভুজ আঁকা যায়।
১. চারটি বাহু ও একটি কোণ
২. চারটি বাহু ও একটি কর্ণ
৩. তিনটি বাহু ও দুইটি কর্ণ
৪. তিনটি বাহু ও এদের অন্তর্ভুক্ত দুইটি কোণ
৫. দুইটি বাহু ও তিনটি কোণ
উৎস: গণিত, নবম-দশম শ্রেণি
৬৫৭.
একটি বর্গক্ষেত্রের কর্ণের দৈর্ঘ্য 6√2 একক হলে, এর পরিসীমা কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি বর্গক্ষেত্রের কর্ণের দৈর্ঘ্য 6√2 একক হলে, এর পরিসীমা কত?
সমাধান:
ধরি, বর্গক্ষেত্রের বাহু = a
কর্ণ = a√2
দেওয়া আছে,
a√2 = 6√2
∴ a = 6
সুতরাং, পরিসীমা = 4a = 4 × 6 = 24 একক
৬৫৮.
একটি আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য প্রস্থের দ্বিগুণ । আয়তক্ষেত্রটির ক্ষেত্রফল 1250 বর্গমিটার হলে এর দৈর্ঘ্য কত?
ব্যাখ্যা
মনে করি, আয়তক্ষেত্রের প্রস্থ = x মিটার এবং দৈর্ঘ্য = 2x মিটার।
আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = 2x × x
= 2x2
শর্তমতে, 2x2 = 1250
বা, x2 = 625
বা, x = 25
সুতরাং, আয়তক্ষেত্রটির প্রস্থ 25 মিটার এবং দৈর্ঘ্য 50 মিটার।
আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = 2x × x
= 2x2
শর্তমতে, 2x2 = 1250
বা, x2 = 625
বা, x = 25
সুতরাং, আয়তক্ষেত্রটির প্রস্থ 25 মিটার এবং দৈর্ঘ্য 50 মিটার।
৬৫৯.
যে চতুর্ভুজের বিপরীত বাহুগুলো পরস্পর সমান ও সমান্তরাল কিন্তু কোণগুলো সমকোণ নয় সেই চতুর্ভুজকে বলা হয় -
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: যে চতুর্ভুজের বিপরীত বাহুগুলো পরস্পর সমান ও সমান্তরাল কিন্তু কোণগুলো সমকোণ নয় সেই চতুর্ভুজকে বলা হয় -
সমাধান:
আয়তক্ষেত্র : যে চতুর্ভুজের বিপরীত বাহুগুলো পরস্পর সমান ও সমান্তরাল এবং কোণগুলো সমকোণ তাকে আয়তক্ষেত্র বলে।
রম্বস: যে চতুর্ভুজের চারটি বাহু সমান ও বিপরীত কোণদ্বয় সমান, কিন্তু কোন কোণই সমকোন নয়, তাকে রম্বস বলে।
রম্বসের কর্ণদ্বয় পরস্পরকে সমকোণে সমদ্বিখন্ডিত করে।
সামান্তরিক: যে চতুর্ভুজের বিপরীত বাহুগুলো পরস্পর সমান ও সমান্তরাল কিন্তু কোণগুলো সমকোণ নয় তাকে সামান্তরিক বলে।
সমাধান:
আয়তক্ষেত্র : যে চতুর্ভুজের বিপরীত বাহুগুলো পরস্পর সমান ও সমান্তরাল এবং কোণগুলো সমকোণ তাকে আয়তক্ষেত্র বলে।
রম্বস: যে চতুর্ভুজের চারটি বাহু সমান ও বিপরীত কোণদ্বয় সমান, কিন্তু কোন কোণই সমকোন নয়, তাকে রম্বস বলে।
রম্বসের কর্ণদ্বয় পরস্পরকে সমকোণে সমদ্বিখন্ডিত করে।
সামান্তরিক: যে চতুর্ভুজের বিপরীত বাহুগুলো পরস্পর সমান ও সমান্তরাল কিন্তু কোণগুলো সমকোণ নয় তাকে সামান্তরিক বলে।
৬৬০.
চতুর্ভুজ ABCD এর ক্ষেত্রে ∠A + ∠C = 180° এবং ∠B = 80° হলে ∠D = ?
ব্যাখ্যা
∠A + ∠B + ∠C + ∠D = 360°
বা, 180°+ 80° + ∠D = 360°
বা, ∠D = 360° - 260° = 100°
বা, 180°+ 80° + ∠D = 360°
বা, ∠D = 360° - 260° = 100°
৬৬১.
16 সেমি বাহু বিশিষ্ট একটি বর্গক্ষেত্রের কর্ণের অঙ্কিত অপর আরেকটি বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 16 সেমি বাহু বিশিষ্ট একটি বর্গক্ষেত্রের কর্ণের অঙ্কিত অপর আরেকটি বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল কত?
সমাধান:
প্রথম বর্গের কর্ণ = √2 × বাহুর দৈর্ঘ্য
সুতরাং, প্রথম বর্গের কর্ণ = 16√2 সেমি
এখানে,
প্রথম বর্গের কর্ণ = অপর বর্গের বাহু
∴ অপর বর্গের বাহু = 16√2 সেমি
∴ অপর বর্গের ক্ষেত্রফল = (16√2)2 = 512 বর্গসেমি
সমাধান:
প্রথম বর্গের কর্ণ = √2 × বাহুর দৈর্ঘ্য
সুতরাং, প্রথম বর্গের কর্ণ = 16√2 সেমি
এখানে,
প্রথম বর্গের কর্ণ = অপর বর্গের বাহু
∴ অপর বর্গের বাহু = 16√2 সেমি
∴ অপর বর্গের ক্ষেত্রফল = (16√2)2 = 512 বর্গসেমি
৬৬২.
একটি ট্রাপিজিয়াম এর সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের দৈর্ঘ্য ১২ সে.মি., ১৮ সে.মি. এবং ক্ষেত্রফল ১৫০ বর্গ সে.মি. হলে সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি ট্রাপিজিয়াম এর সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের দৈর্ঘ্য ১২ সে.মি., ১৮ সে.মি. এবং ক্ষেত্রফল ১৫০ বর্গ সে.মি. হলে সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব কত?
সমাধান:
ট্রাপিজিয়ামের ক্ষেত্রফল = (১/২) × সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের দৈর্ঘ্যের সমষ্টি × সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব
বা, ১৫০ = (১/২) × (১২ + ১৮) × সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব
বা, সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব = (১৫০ × ২)/৩০
∴ সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব = ১০
∴ সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব ১০ সে.মি.।
সমাধান:
ট্রাপিজিয়ামের ক্ষেত্রফল = (১/২) × সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের দৈর্ঘ্যের সমষ্টি × সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব
বা, ১৫০ = (১/২) × (১২ + ১৮) × সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব
বা, সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব = (১৫০ × ২)/৩০
∴ সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব = ১০
∴ সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব ১০ সে.মি.।
৬৬৩.
ট্রাপিজিয়ামের সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের দৈর্ঘ্য 12 সেমি ও 18 সেমি এবং উক্ত সমান্তরাল বাহু দুইটির দূরত্ব 6 সেমি হলে, ট্রাপিজিয়ামটির ক্ষেত্রফল কত হবে?
ব্যাখ্যা
ট্রাপিজিয়ামটির ক্ষেত্রফল
= 1/2 × সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের সমষ্টি × সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের লম্ব দূরত্ব
= 1/2 × (12 + 18) × 6
= 1/2 × 30 × 6
= 90 বর্গ সেমি
= 1/2 × সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের সমষ্টি × সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের লম্ব দূরত্ব
= 1/2 × (12 + 18) × 6
= 1/2 × 30 × 6
= 90 বর্গ সেমি
৬৬৪.
যে চতুর্ভুজের দুটি বাহু পরস্পর সমান্তরাল কিন্তু অসমান তাকে কী বলে?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: যে চতুর্ভুজের দুটি বাহু পরস্পর সমান্তরাল কিন্তু অসমান তাকে কী বলে?
সমাধান:
ট্রাপিজিয়াম: যে চতুর্ভুজের দুটি বাহু পরস্পর সমান্তরাল কিন্তু অসমান অর্থাৎ সমান নয় তাকে ট্রাপিজিয়াম বলে।
ট্রাপিজিয়ামের বৈশিষ্ট্য:
- ট্রাপিজিয়ামের দুইটি বাহু সমান্তরাল।
- সমান্তরাল বাহু দুইটি কখনও সমান হতে পারে না।
- সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের একটিকে ভূমি বলে।
- সমান্তরাল বাহু দুটি ব্যতীত অপর দুটি বাহুকে তীর্যক বাহু বলে।
- তীর্যক বাহু দুইটি সমান হলে উহা একটি সমদ্বিবাহু ট্রাপিজিয়াম।
৬৬৫.
একটি বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা 36 মিটার হলে বর্গক্ষেত্রটির ক্ষেত্রফল কত বর্গমিটার?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা 36 মিটার হলে বর্গক্ষেত্রটির ক্ষেত্রফল কত বর্গমিটার?
সমাধান:
ধরি,
বর্গক্ষেত্রের প্রতি বাহুর দৈর্ঘ্য = a
∴ পরিসীমা = 4a
প্রশ্নমতে,
4a = 36
∴ a = 9
বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = (বাহু)2
= 92
= 81 বর্গমিটার
সমাধান:
ধরি,
বর্গক্ষেত্রের প্রতি বাহুর দৈর্ঘ্য = a
∴ পরিসীমা = 4a
প্রশ্নমতে,
4a = 36
∴ a = 9
বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = (বাহু)2
= 92
= 81 বর্গমিটার
৬৬৬.
যে চতুর্ভুজের দুই জোড়া সন্নিহিত বাহু সমান, একে ___ বলা হয়।
ব্যাখ্যা
উৎস: অষ্টম শ্রেণি, গণিত।
৬৬৭.
একটি রম্বসের একটি কর্ণের দৈর্ঘ্য ১২ সে.মি. ও ক্ষেত্রফল ৪৮ বর্গ সে.মি. হলে, রম্বসের অপর কর্ণের দৈর্ঘ্য কত সে.মি.?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি রম্বসের একটি কর্ণের দৈর্ঘ্য ১২ সে.মি. ও ক্ষেত্রফল ৪৮ বর্গ সে.মি. হলে, রম্বসের অপর কর্ণের দৈর্ঘ্য কত সে.মি.?
সমাধান:
ধরি,
অপর কর্ণের দৈর্ঘ্য = a সে.মি.
আমরা জানি,
∴ রম্বসের ক্ষেত্রফল = (১/২) × কর্ণদ্বয়ের গুণফল
বা, ৪৮ = (১/২) × a × ১২
বা, ৬a = ৪৮
∴ a = ৮
∴ অপর কর্ণের দৈর্ঘ্য = ৮ সে.মি.
সমাধান:
ধরি,
অপর কর্ণের দৈর্ঘ্য = a সে.মি.
আমরা জানি,
∴ রম্বসের ক্ষেত্রফল = (১/২) × কর্ণদ্বয়ের গুণফল
বা, ৪৮ = (১/২) × a × ১২
বা, ৬a = ৪৮
∴ a = ৮
∴ অপর কর্ণের দৈর্ঘ্য = ৮ সে.মি.
৬৬৮.
একটি আয়তাকার বাগানের দৈর্ঘ্য ৩২ মিটার এবং প্রস্থ ২৪ মিটার। এর ভিতরের চারদিকে ২ মিটার চওড়া একটি রাস্তা আছে। রাস্তাটির ক্ষেত্রফল কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি আয়তাকার বাগানের দৈর্ঘ্য ৩২ মিটার এবং প্রস্থ ২৪ মিটার। এর ভিতরের চারদিকে ২ মিটার চওড়া একটি রাস্তা আছে। রাস্তাটির ক্ষেত্রফল কত?
সমাধান:
দেওয়া আছে,
আয়তাকার বাগানের দৈর্ঘ্য = ৩২ মিটার
∴ আয়তাকার বাগানের প্রস্থ = ২৪ মিটার
∴ আয়তাকার বাগানের ক্ষেত্রফল = (৩২ × ২৪) বর্গমিটার
= ৭৬৮ বর্গমিটার
আবার,
রাস্তাবাদে আয়তাকার বাগানের দৈর্ঘ্য = {৩২ - (২ × ২)} মিটার
=২৮ মিটার
∴ রাস্তাবাদে আয়তাকার বাগানের প্রস্থ = {২৪ - (২ × ২)} মিটার
= ২০ মিটার
∴ রাস্তাবাদে আয়তাকার বাগানের ক্ষেত্রফল = (২৮ × ২০) বর্গমিটার
= ৫৬০ বর্গমিটার
∴ রাস্তাটির ক্ষেত্রফল = (৭৬৮ - ৫৬০) বর্গমিটার
= ২০৮ বর্গমিটার।
সমাধান:
দেওয়া আছে,
আয়তাকার বাগানের দৈর্ঘ্য = ৩২ মিটার
∴ আয়তাকার বাগানের প্রস্থ = ২৪ মিটার
∴ আয়তাকার বাগানের ক্ষেত্রফল = (৩২ × ২৪) বর্গমিটার
= ৭৬৮ বর্গমিটার
আবার,
রাস্তাবাদে আয়তাকার বাগানের দৈর্ঘ্য = {৩২ - (২ × ২)} মিটার
=২৮ মিটার
∴ রাস্তাবাদে আয়তাকার বাগানের প্রস্থ = {২৪ - (২ × ২)} মিটার
= ২০ মিটার
∴ রাস্তাবাদে আয়তাকার বাগানের ক্ষেত্রফল = (২৮ × ২০) বর্গমিটার
= ৫৬০ বর্গমিটার
∴ রাস্তাটির ক্ষেত্রফল = (৭৬৮ - ৫৬০) বর্গমিটার
= ২০৮ বর্গমিটার।
৬৬৯.
৮ বাহুবিশিষ্ট সুষম বহুভুজের প্রতিটি অন্তঃকোণ কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: ৮ বাহুবিশিষ্ট সুষম বহুভুজের প্রতিটি অন্তঃকোণ কত?
সমাধান:
একটি n বাহুবিশিষ্ট বহুভুজের প্রতিটি অন্তঃকোণের সূত্র:
= [(n - ২) × ১৮০°] / n
= [(8 - ২) × ১৮০°] / ৮
= (৬ × ১৮০°) / ৮
= ১০৮০°/ ৮
= ১৩৫°
∴ ৮ বাহুবিশিষ্ট বহুভুজের প্রতিটি অন্তঃকোণ ১৩৫°
৬৭০.
সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল ১৫০ বর্গমিটার এবং উচ্চতা ১৫ মিটার হলে, এর ভূমি কত ?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল ১৫০ বর্গমিটার এবং উচ্চতা ১৫ মিটার হলে, এর ভূমি কত ?
সমাধান:
দেওয়া আছে,
সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল = ১৫০ বর্গমিটার
উচ্চতা = ১৫ মিটার
আমরা জানি,
সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল = ভূমি × উচ্চতা
⇒ ১৫০ = ভূমি × ১৫
⇒ ভূমি = ১৫০ ÷ ১৫
∴ ভূমি = ১০
∴ সামান্তরিকটির ভূমি = ১০ মিটার
সমাধান:
দেওয়া আছে,
সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল = ১৫০ বর্গমিটার
উচ্চতা = ১৫ মিটার
আমরা জানি,
সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল = ভূমি × উচ্চতা
⇒ ১৫০ = ভূমি × ১৫
⇒ ভূমি = ১৫০ ÷ ১৫
∴ ভূমি = ১০
∴ সামান্তরিকটির ভূমি = ১০ মিটার
৬৭১.
একটি বর্গাকার বাগানের চতুর্দিকে বেড়া দেওয়া আছে। সম্পূর্ণ বেড়ার দৈর্ঘ্য ১৮০ মিটার হলে বাগানের ক্ষেত্রফল কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি বর্গাকার বাগানের চতুর্দিকে বেড়া দেওয়া আছে। সম্পূর্ণ বেড়ার দৈর্ঘ্য ১৮০ মিটার হলে বাগানের ক্ষেত্রফল কত?
সমাধান:
ধরি,
বর্গাকার বাগানের এক পাশের দৈর্ঘ্য = ক মিটার
∴ বর্গাকার বাগানের বেড়ার দৈর্ঘ্য = পরিসীমা = ৪ক মিটার
প্রশ্নমতে,
৪ক = ১৮০
⇒ ক = ১৮০/৪
⇒ ক = ৪৫
∴ বর্গাকার বাগানের ক্ষেত্রফল = (৪৫)২ = ২০২৫ বর্গমিটার
সমাধান:
ধরি,
বর্গাকার বাগানের এক পাশের দৈর্ঘ্য = ক মিটার
∴ বর্গাকার বাগানের বেড়ার দৈর্ঘ্য = পরিসীমা = ৪ক মিটার
প্রশ্নমতে,
৪ক = ১৮০
⇒ ক = ১৮০/৪
⇒ ক = ৪৫
∴ বর্গাকার বাগানের ক্ষেত্রফল = (৪৫)২ = ২০২৫ বর্গমিটার
৬৭২.
একটি আয়তক্ষেত্রের পরিসীমা ২০০ মিটার। প্রস্থ দৈর্ঘ্যের ৩/৭ অংশ হলে, দৈর্ঘ্য কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি আয়তক্ষেত্রের পরিসীমা ২০০ মিটার। প্রস্থ দৈর্ঘ্যের ৩/৭ অংশ হলে, দৈর্ঘ্য কত?
সমাধান:
মনেকরি
আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য = ৭ক
আয়তক্ষেত্রের প্রস্থ = ৭ক এর ৩/৭ = ৩ক
প্রশ্নমতে
২(৭ক + ৩ক) = ২০০
২০ক = ২০০
ক = ১০
আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য = ৭ক = ৭ × ১০ = ৭০ মিটার
সমাধান:
মনেকরি
আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য = ৭ক
আয়তক্ষেত্রের প্রস্থ = ৭ক এর ৩/৭ = ৩ক
প্রশ্নমতে
২(৭ক + ৩ক) = ২০০
২০ক = ২০০
ক = ১০
আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য = ৭ক = ৭ × ১০ = ৭০ মিটার
৬৭৩.
একটি আয়তক্ষেত্র ও একটি বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা পরস্পর সমান। যদি আয়তক্ষেত্রের প্রস্থ তার দৈর্ঘ্যের অর্ধেক হয়, তবে বর্গক্ষেত্র ও আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল অনুপাত কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি আয়তক্ষেত্র ও একটি বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা পরস্পর সমান। যদি আয়তক্ষেত্রের প্রস্থ তার দৈর্ঘ্যের অর্ধেক হয়, তবে বর্গক্ষেত্র ও আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল অনুপাত কত?
সমাধান:
ধরি,
আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য = ২ক একক
∴ আয়তক্ষেত্রের প্রস্থ = ক একক
আয়তক্ষেত্রের পরিসীমা = ২(২ক + ক) একক
= ৬ক একক
বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা = ৬ক
বর্গক্ষেত্রের একবাহু = ৬ক/৪
= ৩ক/২
বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = ( ৩ক/২)২ = (৯ক২)/৪
আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = ২ক × ক = ২ক২
বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল : আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = (৯ক২)/৪ : (২ক২)
= (৯/৪) : ২
= (৯/৪) × ৪ : ২ × ৪
= ৯ : ৮
৬৭৪.
PQRS সামান্তরিকের ∠P = 100° হলে ∠Q এর মান কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: PQRS সামান্তরিকের ∠P = 100° হলে ∠Q এর মান কত?
সমাধান:
আমরা জানি,
সামান্তরিকের সন্নিহিত দুই কোণের যোগফল 180° এবং কর্ণ বরাবর বিপরীত কোণগুলো পরস্পর সমান।
∴ ∠P = ∠R
এবং ∠S = ∠Q
∴ ∠P + ∠R + ∠S + ∠Q = 360°
বা, 100° + 100° + ∠Q + ∠Q = 360°
বা, 200° + 2∠Q = 360°
বা, 2 ∠Q = 360° - 200°
বা, 2 ∠Q = 160°
∴ ∠Q = 80°
সমাধান:
আমরা জানি,
সামান্তরিকের সন্নিহিত দুই কোণের যোগফল 180° এবং কর্ণ বরাবর বিপরীত কোণগুলো পরস্পর সমান।
∴ ∠P = ∠R
এবং ∠S = ∠Q
∴ ∠P + ∠R + ∠S + ∠Q = 360°
বা, 100° + 100° + ∠Q + ∠Q = 360°
বা, 200° + 2∠Q = 360°
বা, 2 ∠Q = 360° - 200°
বা, 2 ∠Q = 160°
∴ ∠Q = 80°
৬৭৫.
কোন চতুর্ভূজের কেবলমাত্র দু'টি বাহু সমান্তরাল -
ব্যাখ্যা
ট্রাপিজয়ামের বৈশিষ্ট্য অনুসারে।
৬৭৬.
একটি রম্বসের কর্ণদ্বয় যথাক্রমে 0.25 মি. ও 30 সে.মি.। রম্বসের ক্ষেত্রফল কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি রম্বসের কর্ণদ্বয় যথাক্রমে 0.25 মি. ও 30 সে.মি.। রম্বসের ক্ষেত্রফল কত?
সমাধান:
দেওয়া আছে,
রম্বসের কর্ণদ্বয় যথাক্রমে 0.25মি. বা 25 সে.মি. ও 30 সে.মি.
আমরা জানি,
রম্বসের ক্ষেত্রফল = (1/2) × (25 × 30) বর্গমিটার
= 375 বর্গ সে.মি.
∴ রম্বসের ক্ষেত্রফল= 375 বর্গ সে.মি.
সমাধান:
দেওয়া আছে,
রম্বসের কর্ণদ্বয় যথাক্রমে 0.25মি. বা 25 সে.মি. ও 30 সে.মি.
আমরা জানি,
রম্বসের ক্ষেত্রফল = (1/2) × (25 × 30) বর্গমিটার
= 375 বর্গ সে.মি.
∴ রম্বসের ক্ষেত্রফল= 375 বর্গ সে.মি.
৬৭৭.
একটি চতুর্ভুজের দৈর্ঘ্য ২০ মিটার ও প্রস্থ ১৫ মিটার। চতুর্ভুজটির পরিসীমা কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি চতুর্ভুজের দৈর্ঘ্য ২০ মিটার ও প্রস্থ ১৫ মিটার। চতুর্ভুজটির পরিসীমা কত?
সমাধান:
আমরা জানি,
চতুর্ভুজের পরিসীমা = ২(দৈর্ঘ্য + প্রস্থ)
= ২(২০ + ১৫) মিটার
= ৭০ মিটার
সমাধান:
আমরা জানি,
চতুর্ভুজের পরিসীমা = ২(দৈর্ঘ্য + প্রস্থ)
= ২(২০ + ১৫) মিটার
= ৭০ মিটার
৬৭৮.
একটি আয়তাকার জমির ক্ষেত্রফল ৫২৯০ বর্গমিটার। দৈর্ঘ্য এবং প্রস্থের অনুপাত ৫ : ২ হলে ঐ জমির পরিসীমার পরিমাপ কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি আয়তাকার জমির ক্ষেত্রফল ৫২৯০ বর্গমিটার। দৈর্ঘ্য এবং প্রস্থের অনুপাত ৫ : ২ হলে ঐ জমির পরিসীমার পরিমাপ কত?
সমাধান:
ধরি,
আয়তাকার জমির দৈর্ঘ্য = ৫ক মিটার
এবং আয়তাকার জমির প্রস্থ = ২ক মিটার
∴ ক্ষেত্রফল = (৫ক × ২ক) = ১০ক২ বর্গমিটার
প্রশ্নমতে,
১০ক২ = ৫২৯০
⇒ ক২ = ৫২৯
⇒ ক = ২৩
∴ পরিসীমা = ২(৫ক + ২ক) মিটার
= (২ × ৭ক) মিটার
= (২ × ৭ × ২৩) মিটার
= ৩২২ মিটার
সমাধান:
ধরি,
আয়তাকার জমির দৈর্ঘ্য = ৫ক মিটার
এবং আয়তাকার জমির প্রস্থ = ২ক মিটার
∴ ক্ষেত্রফল = (৫ক × ২ক) = ১০ক২ বর্গমিটার
প্রশ্নমতে,
১০ক২ = ৫২৯০
⇒ ক২ = ৫২৯
⇒ ক = ২৩
∴ পরিসীমা = ২(৫ক + ২ক) মিটার
= (২ × ৭ক) মিটার
= (২ × ৭ × ২৩) মিটার
= ৩২২ মিটার
৬৭৯.
নিচের কোনটি সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল নির্ণয়ের সূত্র?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: নিচের কোনটি সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল নির্ণয়ের সূত্র?
সমাধান:
আমরা জানি,
- সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল = ভূমি × উচ্চতা।
- সামান্তরিকের বিপরীত বাহুগুলো সমান ও সমান্তরাল।
- সামান্তরিকের কর্ণদ্বয় পরষ্পর অসমান।
- সামান্তরিকের কর্ণদ্বয় যদি পরস্পর সমান হয় তবে সামান্তরিকটি আয়তক্ষেত্র হবে।
সমাধান:
আমরা জানি,
- সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল = ভূমি × উচ্চতা।
- সামান্তরিকের বিপরীত বাহুগুলো সমান ও সমান্তরাল।
- সামান্তরিকের কর্ণদ্বয় পরষ্পর অসমান।
- সামান্তরিকের কর্ণদ্বয় যদি পরস্পর সমান হয় তবে সামান্তরিকটি আয়তক্ষেত্র হবে।
৬৮০.
একটি বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল ১৬০০ বর্গমিটার হলে বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল ১৬০০ বর্গমিটার হলে বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা কত?
সমাধান:
দেওয়া আছে,
বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = ১৬০০ বর্গমিটার
∴ বর্গক্ষেত্রের এক বাহুর দৈর্ঘ্য = √১৬০০ মিটার
= ৪০ মিটার
আমরা জানি,
বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা = ৪ × এক বাহুর দৈর্ঘ্য
= (৪০ × ৪) মিটার
= ১৬০ মিটার
∴ বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা = ১৬০ মিটার।
সমাধান:
দেওয়া আছে,
বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = ১৬০০ বর্গমিটার
∴ বর্গক্ষেত্রের এক বাহুর দৈর্ঘ্য = √১৬০০ মিটার
= ৪০ মিটার
আমরা জানি,
বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা = ৪ × এক বাহুর দৈর্ঘ্য
= (৪০ × ৪) মিটার
= ১৬০ মিটার
∴ বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা = ১৬০ মিটার।
৬৮১.
একটি ট্রাপিজিয়ামের সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের অন্তর 3 মিটার এবং তাদের মধ্যে লম্ব দূরত্ব 6 মিটার। ট্রাপিজিয়াম ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল 75 বর্গ মিটার হলে, বৃহত্তম বাহুটির দৈর্ঘ্য কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি ট্রাপিজিয়ামের সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের অন্তর 3 মিটার এবং তাদের মধ্যে লম্ব দূরত্ব 6 মিটার। ট্রাপিজিয়াম ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল 75 বর্গ মিটার হলে, বৃহত্তম বাহুটির দৈর্ঘ্য কত?
সমাধান:
মনে করি, সমান্তরাল বাহুদ্বয় x ও (x + 3) মিটার
ট্রাপিজিয়ামের ক্ষেত্রফল = (1/2) × 6 × (x + x + 3) বর্গ মিটার
প্রশমতে,
(1/2) × 6 × (x + x + 3) = 75
বা, 2x + 3 = 25
বা, 2x = 22
বা, x = 11
বৃহত্তম বাহুটির দৈর্ঘ্য = 11 + 3 = 14 মিটার
সমাধান:
মনে করি, সমান্তরাল বাহুদ্বয় x ও (x + 3) মিটার
ট্রাপিজিয়ামের ক্ষেত্রফল = (1/2) × 6 × (x + x + 3) বর্গ মিটার
প্রশমতে,
(1/2) × 6 × (x + x + 3) = 75
বা, 2x + 3 = 25
বা, 2x = 22
বা, x = 11
বৃহত্তম বাহুটির দৈর্ঘ্য = 11 + 3 = 14 মিটার
৬৮২.
একটি চতুর্ভুজের ৪টি বাহু যথাক্রমে ৪, ৩, ২, ৫। এটি কোন ধরণের চতুর্ভুজ?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি চতুর্ভুজের ৪টি বাহু যথাক্রমে ৪, ৩, ২, ৫। এটি কোন ধরণের চতুর্ভুজ?
সমাধান:
• সমবাহু চতুর্ভুজ:
- সব বাহু সমান
- বিপরীত বাহু সমান্তর
- বিপরীত কোণ সমান
• সামান্তরিক:
- বিপরীত বাহু সমান্তর।
- বিপরীত কোণ সমান।
- বিপরীত বাহু সমান।
• বিষমবাহু চতুর্ভুজ:
- সব বাহু ভিন্ন।
- সাধারণত কোনো কোণ বা বাহু সমান্তর নেই।
• আয়তক্ষেত্র:
- বিপরীত বাহুগুলো সমান।
- প্রত্যেকটি কোণ সমকোণ।
∴ চতুর্ভুজটি হবে বিষমবাহু চতুর্ভুজ।
৬৮৩.
নিচের কোন ক্ষেত্রে নির্দিষ্ট চতুর্ভুজ আঁকা সম্ভব নয়?
ব্যাখ্যা
চতুর্ভুজের চারটি বাহু দেওয়া থাকলেই একটি নির্দিষ্ট চতুর্ভুজ আঁকা যায় না।
নির্দিষ্ট চতুৰ্ভুজ আঁকার জন্য পাঁচটি স্বতন্ত্র উপাত্ত প্রয়োজন হয়।
নিম্নে বর্ণিত পাঁচটি উপাত্ত জানা থাকলে, নির্দিষ্ট চতুৰ্ভুজ আঁকা যায়।
১. চারটি বাহু ও একটি কোণ
২. চারটি বাহু ও একটি কর্ণ
৩. তিনটি বাহু ও দুইটি কর্ণ
৪. তিনটি বাহু ও এদের অন্তর্ভুক্ত দুইটি কোণ
৫. দুইটি বাহু ও তিনটি কোণ ।
নির্দিষ্ট চতুৰ্ভুজ আঁকার জন্য পাঁচটি স্বতন্ত্র উপাত্ত প্রয়োজন হয়।
নিম্নে বর্ণিত পাঁচটি উপাত্ত জানা থাকলে, নির্দিষ্ট চতুৰ্ভুজ আঁকা যায়।
১. চারটি বাহু ও একটি কোণ
২. চারটি বাহু ও একটি কর্ণ
৩. তিনটি বাহু ও দুইটি কর্ণ
৪. তিনটি বাহু ও এদের অন্তর্ভুক্ত দুইটি কোণ
৫. দুইটি বাহু ও তিনটি কোণ ।
৬৮৪.
একটি আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য প্রস্থের দ্বিগুণ। আয়তক্ষেত্রটির ক্ষেত্রফল ১৪৫৮ বর্গমিটার হলে এর দৈর্ঘ্য কত?
ব্যাখ্যা
মনে করি, আয়তক্ষেত্রের প্রস্থ = x মিটার এবং দৈর্ঘ্য = 2x মিটার।
আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = 2x × x
= 2x2
শর্তমতে, 2x2 = 1458
বা, x2 = 729
বা, x = 27
সুতরাং আয়তক্ষেত্রটির প্রস্থ 27 মিটার এবং দৈর্ঘ্য 54 মিটার।
৬৮৫.
22x মিটার পরিসীমা বিশিষ্ট আয়তক্ষেত্রের এক বাহুর দৈর্ঘ্য (6x + 4) মিটার, x এর মান কত হলে অপর বাহুর দৈর্ঘ্য 16 মিটার হবে?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 22x মিটার পরিসীমা বিশিষ্ট আয়তক্ষেত্রের এক বাহুর দৈর্ঘ্য (6x + 4) মিটার, x এর মান কত হলে অপর বাহুর দৈর্ঘ্য 16 মিটার হবে?
সমাধান:
দেওয়া আছে,
আয়তক্ষেত্রের এক বাহুর দৈর্ঘ্য = (6x + 4) মিটার
আয়তক্ষেত্রের অপর বাহুর দৈর্ঘ্য = 16 মিটার
প্রশ্নমতে,
2(6x + 4 + 16) = 22x
⇒ 6x + 20 = 11x
⇒ 11x - 6x = 20
⇒ 5x = 20
∴ x = 4
সমাধান:
দেওয়া আছে,
আয়তক্ষেত্রের এক বাহুর দৈর্ঘ্য = (6x + 4) মিটার
আয়তক্ষেত্রের অপর বাহুর দৈর্ঘ্য = 16 মিটার
প্রশ্নমতে,
2(6x + 4 + 16) = 22x
⇒ 6x + 20 = 11x
⇒ 11x - 6x = 20
⇒ 5x = 20
∴ x = 4
৬৮৬.
একটি রম্বসের কর্ণদ্বয়ের দৈর্ঘ্য যথাক্রমে ৮ সে.মি. ও ৯ সে.মি.। এই রম্বসের ক্ষেত্রফলের সমান ক্ষেত্রফলবিশিষ্ট বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি রম্বসের কর্ণদ্বয়ের দৈর্ঘ্য যথাক্রমে ৮ সে.মি. ও ৯ সে.মি.। এই রম্বসের ক্ষেত্রফলের সমান ক্ষেত্রফলবিশিষ্ট বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা কত?
সমাধান:
আমরা জানি,
রম্বসের ক্ষেত্রফল = (১/২) × কর্ণদ্বয়ের গুণফল
= (১/২) × ৮ × ৯ বর্গ সে.মি.
= ৩৬ বর্গ সে.মি.
ধরি,
বর্গক্ষেত্রের বাহুর দৈর্ঘ্য = ক সে.মি.
∴ বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল, ক২ = ৩৬ বর্গ সে.মি.
∴ ক = ৬ সে.মি.
∴ বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা = ৪ক
= (৪ × ৬) সে.মি
= ২৪ সে.মি।
৬৮৭.
একটি ঘনবস্তুর দৈর্ঘ্য, প্রস্থ ও উচ্চতা সমান। ঘনবস্তুটির আয়তন ২১৬ ঘন সে. মি. হলে এর একটি তলের ক্ষেত্রফল কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি ঘনবস্তুর দৈর্ঘ্য, প্রস্থ ও উচ্চতা সমান। ঘনবস্তুটির আয়তন ২১৬ ঘন সে. মি. হলে এর একটি তলের ক্ষেত্রফল কত?
সমাধান:
আমরা জানি, একটি ঘনবস্তুর দৈর্ঘ্য, প্রস্থ ও উচ্চতা সমান অর্থাৎ এটি একটি ঘনক।
ধরি,
ঘনকের বাহুর দৈর্ঘ্য = ক সে. মি.
ঘনকের আয়তন, a৩ = ২১৬
⇒ ক৩ = ৬৩
⇒ ক = ৬
∴ ঘনকের একটি তলের ক্ষেত্রফল = a২
= ৬২
= ৩৬ বর্গ সে. মি.
সমাধান:
আমরা জানি, একটি ঘনবস্তুর দৈর্ঘ্য, প্রস্থ ও উচ্চতা সমান অর্থাৎ এটি একটি ঘনক।
ধরি,
ঘনকের বাহুর দৈর্ঘ্য = ক সে. মি.
ঘনকের আয়তন, a৩ = ২১৬
⇒ ক৩ = ৬৩
⇒ ক = ৬
∴ ঘনকের একটি তলের ক্ষেত্রফল = a২
= ৬২
= ৩৬ বর্গ সে. মি.
৬৮৮.
কোনটি সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল নির্ণয়ের সূত্র?
ব্যাখ্যা
সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল নির্ণয়ের সূত্র = ভূমি X উচ্চতা।
৬৮৯.
একটি রম্বসের ক্ষেত্রফল ৯৬ বর্গ সে.মি. এবং একটি কর্ণ ১৬ সে.মি. হলে, অপর কর্ণের দৈর্ঘ্য কত সে.মি.?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি রম্বসের ক্ষেত্রফল ৯৬ বর্গ সে.মি. এবং একটি কর্ণ ১৬ সে.মি. হলে, অপর কর্ণের দৈর্ঘ্য কত সে.মি.?
সমাধান:
দেওয়া আছে,
রম্বসের ক্ষেত্রফল = ৯৬ বর্গ সে.মি.
একটি কর্ণ, d1 = ১৬ সে.মি.
অপর কর্ণ, d2 = ? সে.মি.
আমরা জানি,
রম্বসের ক্ষেত্রফল = (১/২) × d1 × d2
⇒ (১/২) × ১৬ × d2 = ৯৬
⇒ ৮ × d2 = ৯৬
⇒ d2 = ৯৬/৮
∴ d2 = ১২ সে.মি.
সুতরাং, অপর কর্ণের দৈর্ঘ্য ১২ সে.মি.।
৬৯০.
একটি বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা এর কর্ণের দৈর্ঘ্যের কত গুণ?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা এর কর্ণের দৈর্ঘ্যের কত গুণ?
সমাধান:
বর্গক্ষেত্রের এক বাহুর দৈর্ঘ্য = a
বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা = 4a
বর্গক্ষেত্রের কর্ণের দৈর্ঘ্য = √2a
বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা/ কর্ণের দৈর্ঘ্য= 4/√2
বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা/ কর্ণের দৈর্ঘ্য= (√2 × 2√2)/√2
বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা=2√2(কর্ণের দৈর্ঘ্য)
সমাধান:
বর্গক্ষেত্রের এক বাহুর দৈর্ঘ্য = a
বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা = 4a
বর্গক্ষেত্রের কর্ণের দৈর্ঘ্য = √2a
বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা/ কর্ণের দৈর্ঘ্য= 4/√2
বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা/ কর্ণের দৈর্ঘ্য= (√2 × 2√2)/√2
বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা=2√2(কর্ণের দৈর্ঘ্য)
৬৯১.
একটি স্টেডিয়ামের দৈর্ঘ্য ২০% বাড়ানো হয়েছে এবং প্রস্থ ১০% কমানো হয়েছে। স্টেডিয়ামের ক্ষেত্রফলের শতকরা কী পরিবর্তন হয়েছে (স্টেডিয়ামটি ছিল আয়তাকার)?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি স্টেডিয়ামের দৈর্ঘ্য ২০% বাড়ানো হয়েছে এবং প্রস্থ ১০% কমানো হয়েছে। স্টেডিয়ামের ক্ষেত্রফলের শতকরা কী পরিবর্তন হয়েছে (স্টেডিয়ামটি ছিল আয়তাকার)?
সমাধান:
ধরি,
দৈর্ঘ্য = ১০০ একক
এবং প্রস্থ = ১০০ একক
তাহলে ক্ষেত্রফল = ১০০ × ১০০ = ১০০০০ বর্গ একক
২০% বৃদ্ধিতে, দৈর্ঘ্য = ১০০ + ২০ = ১২০ একক
১০% হ্রাসে প্রস্থ = ১০০ - ১০ = ৯০ একক
∴ পরিবর্তিত ক্ষেত্রফল = ১২০ × ৯০ = ১০৮০০ বর্গ একক
∴ ক্ষেত্রফল বৃদ্ধি = ১০৮০০ - ১০০০০ = ৮০০ বর্গ একক
∴ ক্ষেত্রফল বৃদ্ধির হার = (৮০০/১০০০০) × ১০০ = ৮%
সমাধান:
ধরি,
দৈর্ঘ্য = ১০০ একক
এবং প্রস্থ = ১০০ একক
তাহলে ক্ষেত্রফল = ১০০ × ১০০ = ১০০০০ বর্গ একক
২০% বৃদ্ধিতে, দৈর্ঘ্য = ১০০ + ২০ = ১২০ একক
১০% হ্রাসে প্রস্থ = ১০০ - ১০ = ৯০ একক
∴ পরিবর্তিত ক্ষেত্রফল = ১২০ × ৯০ = ১০৮০০ বর্গ একক
∴ ক্ষেত্রফল বৃদ্ধি = ১০৮০০ - ১০০০০ = ৮০০ বর্গ একক
∴ ক্ষেত্রফল বৃদ্ধির হার = (৮০০/১০০০০) × ১০০ = ৮%
৬৯২.
PQRS রম্বসের বাহুর দৈর্ঘ্য ৩ ইঞ্চি। PR এবং QS কর্ণ দুটি বিন্দুতে ছেদ করলে PO2 + QO2 = কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: PQRS রম্বসের বাহুর দৈর্ঘ্য ৩ ইঞ্চি। PR এবং QS কর্ণ দুটি বিন্দুতে ছেদ করলে PO2 + QO2 = কত?
সমাধান:
পিথাগোরসের উপপাদ্য অনুসারে POQ ত্রিভুজ হতে,
PQ2 = PO2 + QO2
⇒ 32 = PO2 + QO2
∴ PO2 + QO2 = 9
সমাধান:
পিথাগোরসের উপপাদ্য অনুসারে POQ ত্রিভুজ হতে,
PQ2 = PO2 + QO2
⇒ 32 = PO2 + QO2
∴ PO2 + QO2 = 9
৬৯৩.
একটি ট্রাপিজিয়ামের সমান্তরাল দুটি বাহু ৬ সে.মি ও ১৪ সে.মি এবং উচ্চতা ৫ সে.মি হলে, এর ক্ষেত্রফল কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি ট্রাপিজিয়ামের সমান্তরাল দুটি বাহু ৬ সে.মি ও ১৪ সে.মি এবং উচ্চতা ৫ সে.মি হলে, এর ক্ষেত্রফল কত?
সমাধান:
দেওয়া আছে,
ট্রাপিজিয়ামের সমান্তরাল দুটি বাহু = ৬ সে.মি ও ১৪ সে.মি
এবং
উচ্চতা = ৫ সে.মি
আমরা জানি,
ট্রাপিজিয়ামের ক্ষেত্রফল = {(১/২) × সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের যোগফল × উচ্চতা} বর্গ একক
= {(১/২) × (৬ + ১৪) × ৫} বর্গ সে.মি
= {(১/২) × ২০ × ৫} বর্গ সে.মি
= ৫০ বর্গ সে.মি।
৬৯৪.
একটি আয়তাকার বাগানের দৈর্ঘ্য প্রস্থের দেড়গুণ। এর প্রস্থ ৩৬ মিটার হলে, বাগানের পরিসীমা কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি আয়তাকার বাগানের দৈর্ঘ্য প্রস্থের দেড়গুণ। এর প্রস্থ ৩৬ মিটার হলে, বাগানের পরিসীমা কত?
সমাধান:
দেওয়া আছে,
বাগানের প্রস্থ = ৩৬ মিটার
∴ বাগানের দৈর্ঘ্য = (৩৬ × ১.৫) মিটার
= ৫৪ মিটার
∴ বাগানের পরিসীমা = ২(দৈর্ঘ্য + প্রস্থ)
= ২(৫৪ + ৩৬)
= ২ × ৯০
= ১৮০ মিটার
∴ বাগানের পরিসীমা = ১৮০ মিটার ।
সমাধান:
দেওয়া আছে,
বাগানের প্রস্থ = ৩৬ মিটার
∴ বাগানের দৈর্ঘ্য = (৩৬ × ১.৫) মিটার
= ৫৪ মিটার
∴ বাগানের পরিসীমা = ২(দৈর্ঘ্য + প্রস্থ)
= ২(৫৪ + ৩৬)
= ২ × ৯০
= ১৮০ মিটার
∴ বাগানের পরিসীমা = ১৮০ মিটার ।
৬৯৫.
যে চতুর্ভুজের বাহুগুলি পরস্পর সমান ও সমান্তরাল কিন্তু কোণগুলো সমকোণ নয় তাকে কি বলে?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: যে চতুর্ভুজের বিপরীত বাহুগুলো পরস্পর সমান ও সমান্তরাল কিন্তু কোণগুলো সমকোণ নয় সেই চতুর্ভুজকে বলা হয় -
সমাধান:
সামান্তরিক: যে চতুর্ভুজের বিপরীত বাহুগুলো পরস্পর সমান ও সমান্তরাল কিন্তু কোণগুলো সমকোণ নয় তাকে সামান্তরিক বলে।
আয়তক্ষেত্র: যে চতুর্ভুজের বিপরীত বাহুগুলো পরস্পর সমান ও সমান্তরাল এবং কোণগুলো সমকোণ তাকে আয়তক্ষেত্র বলে।
রম্বস: যে চতুর্ভুজের বাহুগুলি পরস্পর সমান ও সমান্তরাল কিন্তু কোণগুলো সমকোণ নয় তাকে রম্বস বলে।
রম্বসের কর্ণদ্বয় পরস্পরকে সমকোণে সমদ্বিখন্ডিত করে।
ট্রাপিজিয়াম: যে চতুর্ভুজের দুটি বাহু পরস্পর সমান্তরাল কিন্তু অসমান অর্থাৎ সমান নয় তাকে ট্রাপিজিয়াম বলে।
সমাধান:
সামান্তরিক: যে চতুর্ভুজের বিপরীত বাহুগুলো পরস্পর সমান ও সমান্তরাল কিন্তু কোণগুলো সমকোণ নয় তাকে সামান্তরিক বলে।
আয়তক্ষেত্র: যে চতুর্ভুজের বিপরীত বাহুগুলো পরস্পর সমান ও সমান্তরাল এবং কোণগুলো সমকোণ তাকে আয়তক্ষেত্র বলে।
রম্বস: যে চতুর্ভুজের বাহুগুলি পরস্পর সমান ও সমান্তরাল কিন্তু কোণগুলো সমকোণ নয় তাকে রম্বস বলে।
রম্বসের কর্ণদ্বয় পরস্পরকে সমকোণে সমদ্বিখন্ডিত করে।
ট্রাপিজিয়াম: যে চতুর্ভুজের দুটি বাহু পরস্পর সমান্তরাল কিন্তু অসমান অর্থাৎ সমান নয় তাকে ট্রাপিজিয়াম বলে।
৬৯৬.
বর্গক্ষেত্রের একবাহু 4 মিটার হলে, উহার কর্ণ কত মিটার?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: বর্গক্ষেত্রের একবাহু 4 মিটার হলে, উহার কর্ণ কত মিটার?
সমাধান:
দেওয়া আছে,
বর্গক্ষেত্রের এক বাহু = 4 মিটার
আমরা জানি,
বর্গক্ষেত্রের কর্ণ = √2 × একবাহুর দৈর্ঘ্য
∴ বর্গক্ষেত্রের কর্ণ = √2 × 4 = 4√2 মি.
সমাধান:
দেওয়া আছে,
বর্গক্ষেত্রের এক বাহু = 4 মিটার
আমরা জানি,
বর্গক্ষেত্রের কর্ণ = √2 × একবাহুর দৈর্ঘ্য
∴ বর্গক্ষেত্রের কর্ণ = √2 × 4 = 4√2 মি.
৬৯৭.
একটি বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল ৬২৭২ বর্গমিটার হলে, তার কর্ণের দৈর্ঘ্য কত মিটার?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল ৬২৭২ বর্গমিটার হলে, তার কর্ণের দৈর্ঘ্য কত মিটার?
সমাধান:
দেওয়া আছে,
বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = ৬২৭২ বর্গমিটার
আমরা জানি,
ক্ষেত্রফল = (১/২) × (কর্ণের দৈর্ঘ্য)২
⇒ ৬২৭২ = (১/২) × (কর্ণের দৈর্ঘ্য)২
⇒ (কর্ণের দৈর্ঘ্য)২ = ৬২৭২ × ২
⇒ (কর্ণের দৈর্ঘ্য)২ = ১২৫৪৪
⇒ কর্ণের দৈর্ঘ্য = ১১২ মিটার
সমাধান:
দেওয়া আছে,
বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = ৬২৭২ বর্গমিটার
আমরা জানি,
ক্ষেত্রফল = (১/২) × (কর্ণের দৈর্ঘ্য)২
⇒ ৬২৭২ = (১/২) × (কর্ণের দৈর্ঘ্য)২
⇒ (কর্ণের দৈর্ঘ্য)২ = ৬২৭২ × ২
⇒ (কর্ণের দৈর্ঘ্য)২ = ১২৫৪৪
⇒ কর্ণের দৈর্ঘ্য = ১১২ মিটার
৬৯৮.
একটি আয়তাকার ঘরের দৈর্ঘ্য বিস্তারের দ্বিগুণ। এর পরিসীমা ৯৬ মিটার হলে, ক্ষেত্রফল কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি আয়তাকার ঘরের দৈর্ঘ্য বিস্তারের দ্বিগুণ। এর পরিসীমা ৯৬ মিটার হলে, ক্ষেত্রফল কত?
সমাধান:
ধরি,
আয়তাকার ঘরের বিস্তার = ”ক” মিটার
∴ আয়তাকার ঘরের দৈর্ঘ্য = ২ক মিটার
প্রশ্নমতে,
২(২ক + ক) = ৯৬
⇒ ২ × ৩ক = ৯৬
⇒ ৬ক = ৯৬
∴ ক = ১৬
∴ আয়তাকার ঘরের বিস্তার = ১৬ মিটার
∴ আয়তাকার ঘরের দৈর্ঘ্য = (২ × ১৬) = ৩২ মিটার
∴ আয়তাকার ঘরটির ক্ষেত্রফল = (৩২ × ১৬) = ৫১২ বর্গমিটার
সমাধান:
ধরি,
আয়তাকার ঘরের বিস্তার = ”ক” মিটার
∴ আয়তাকার ঘরের দৈর্ঘ্য = ২ক মিটার
প্রশ্নমতে,
২(২ক + ক) = ৯৬
⇒ ২ × ৩ক = ৯৬
⇒ ৬ক = ৯৬
∴ ক = ১৬
∴ আয়তাকার ঘরের বিস্তার = ১৬ মিটার
∴ আয়তাকার ঘরের দৈর্ঘ্য = (২ × ১৬) = ৩২ মিটার
∴ আয়তাকার ঘরটির ক্ষেত্রফল = (৩২ × ১৬) = ৫১২ বর্গমিটার
৬৯৯.
একটি আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য ১৮ সে.মি. এবং প্রস্থ ১২ সে.মি. আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য বৃদ্ধি করে ২৭ সে.মি. করা হলো। আয়তক্ষেত্রটির প্রস্থ কত হলে ক্ষেত্রফল অপরিবর্তিত থাকবে?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য ১৮ সে.মি. এবং প্রস্থ ১২ সে.মি. আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য বৃদ্ধি করে ২৭ সে.মি. করা হলো। আয়তক্ষেত্রটির প্রস্থ কত হলে ক্ষেত্রফল অপরিবর্তিত থাকবে?
সমাধান:
আয়তক্ষেত্রটির প্রাথমিক ক্ষেত্রফল = ১৮ × ১২ = ২১৬ বর্গ সে.মি.
নতুন আয়তক্ষেত্রের প্রস্থ ক সে.মি. হলে,
ক্ষেত্রফল = ২৭ × ক বর্গ সে.মি.
প্রশ্নমতে,
২৭ক = ২১৬
⇒ ক = ২১৬/২৭
∴ ক = ৮ সে.মি.
সমাধান:
আয়তক্ষেত্রটির প্রাথমিক ক্ষেত্রফল = ১৮ × ১২ = ২১৬ বর্গ সে.মি.
নতুন আয়তক্ষেত্রের প্রস্থ ক সে.মি. হলে,
ক্ষেত্রফল = ২৭ × ক বর্গ সে.মি.
প্রশ্নমতে,
২৭ক = ২১৬
⇒ ক = ২১৬/২৭
∴ ক = ৮ সে.মি.
৭০০.
দুইটি সদৃশ চতুর্ভুজের _____
ব্যাখ্যা
দুইটি সদৃশ চতুর্ভুজের
(ক) অনুরূপ কোণগুলো সমান এবং
(খ) অনুরূপ বাহুগুলো সমানুপাতিক ।
দুইটি চতুর্ভুজের অনুরূপ বাহুগুলো সমানুপাতিক হলে চতুর্ভুজ দুইটি সদৃশ।
(ক) অনুরূপ কোণগুলো সমান এবং
(খ) অনুরূপ বাহুগুলো সমানুপাতিক ।
দুইটি চতুর্ভুজের অনুরূপ বাহুগুলো সমানুপাতিক হলে চতুর্ভুজ দুইটি সদৃশ।