চতুর্ভুজ সংক্রান্ত সমস্যা ও সমাধান

PrepBank · পাতা ৩ / ১৮ · ২০১–৩০০ / ১,৭৫৪

২০১.

চারটি সমান বাহু দ্বারা সীমাবদ্ধ একটি ক্ষেত্র যার একটি কোণও সমকোণ নয়, এরূপ চিত্রকে বলা হয়-

ক
ক) বর্গক্ষেত্র
খ
খ) চতুর্ভুজ
গ
গ) রম্বস
ঘ
ঘ) সামান্তরিক

ব্যাখ্যা

- যে আয়তে চারটি বাহু সমান ও সমান্তরাল কিন্তু কর্ণ দুইটি অসমান তথা কোণগুলো সমকোণ নয় তাকে রম্বস বলে।
- প্রকৃতপক্ষে, রম্বস হলো সামান্তরিকের একটি বিশেষ রূপ অর্থাৎ সামান্তরিকের সন্নিহিত বাহুদ্বয় সমান হলে তখন তা রম্বস হয়ে যায়।
- রম্বসকে অনেকসময় ডায়মন্ড বলা হয় কারণ এটি দেখতে অনেকটা ডায়মন্ডের মত।
- এটিকে সমবাহু চতুর্ভুজও বলা হয় কারণ এর চারটি বাহুর দৈর্ঘ্য পরস্পর সমান।
- রম্বসের কর্ণদ্বয় পরস্পরকে সমকোণে সমদ্বিখণ্ডিত করে।
- রম্বসের বিপরীত কোণগুলো পরস্পর সমান।

২০২.

একটি রম্বসের কর্ণদ্বয় ৪২ সে.মি. ও ১৩ সে.মি.। রম্বসের ক্ষেত্রফল কত?

ক
২৭৩ বর্গ সে.মি.
খ
৩২৪ বর্গ সে.মি.
গ
২৬৭ বর্গ সে.মি.
ঘ
২৯৮ বর্গ সে.মি.

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি রম্বসের কর্ণদ্বয় ৪২ সে.মি. ও ১৩ সে.মি.। রম্বসের ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
রম্বসের কর্ণদ্বয় ৪২ সে.মি. ও ১৩ সে.মি.

আমরা জানি,
রম্বসের ক্ষেত্রফল = (১/২) × কর্ণদ্বয়ের গুণফল
= (১/২) × ৪২ × ১৩ বর্গ সে.মি.
= ২৭৩ বর্গ সে.মি.

২০৩.

একটি রম্বসের কর্ণদ্বয় যথাক্রমে 16 সে.মি. এবং 18 সে.মি. রম্বসটির ক্ষেত্রফলের সমান ক্ষেত্রফল বিশিষ্ট বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা কত সে.মি.?

ক
ক) 18 সে.মি.
খ
খ) 24 সে.মি.
গ
গ) 36 সে.মি.
ঘ
ঘ) 48 সে.মি.

ব্যাখ্যা

দেওয়া আছে,
রম্বসের কর্ণদ্বয় যথাক্রমে 16 সে.মি. এবং 18 সে.মি.

রম্বসের ক্ষেত্রফল = (1/2)×16×18
= 144 বর্গ সে.মি.।

ধরি,
বর্গক্ষেত্রের বাহুর দৈর্ঘ্য = a

প্রশ্নমতে,
a² = 144
a² = 12²
∴ a = 12

∴ বর্গক্ষেত্রটির পরিসীমা = 4a
= 4×12
= 48 সে.মি.

২০৪.

যদি একটি আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য ৮ মি. এবং পরিসীমা ২৪ মি. হয়, তবে এর প্রস্থ কত?

ক
ক) ৩ মি.
খ
খ) ২ মি.
গ
গ) ৬ মি.
ঘ
ঘ) ৪ মি.

ব্যাখ্যা

ধরি, প্রস্থ = ক মিটার।
প্রশ্নমতে, ২X৮+২Xক = ২৪
বা, ২ক = ২৪-১৬
বা,ক = ৪

২০৫.

একটি রম্বসের কর্ণদ্বয়ের অনুপাত 2 : 3 এবং ক্ষেত্রফল 75 বর্গসে.মি. হলে রম্বসের ছোট কর্ণটির দৈর্ঘ্য কত?

ক
15 সে.মি.
খ
12 সে.মি.
গ
10 সে.মি.
ঘ
6 সে.মি.

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি রম্বসের কর্ণদ্বয়ের অনুপাত 2 : 3 এবং ক্ষেত্রফল 75 বর্গসে.মি. হলে রম্বসের ছোট কর্ণটির দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
রম্বসের কর্ণদ্বয়ের অনুপাত = 2 : 3

ধরি, কর্ণদ্বয় যথাক্রমে 2a এবং 3a
প্রশ্নমতে,
(1/2) × 2a × 3a = 75
⇒ 3a² = 75
⇒ a² = 75/3
⇒ a² = 25
⇒ a = 5

∴ রম্বসের কর্ণদ্বয়ের দৈর্ঘ্য= (2 × 5) = 10 সে.মি. এবং (3 × 5) = 15 সে.মি.

অর্থাৎ রম্বসের ছোট কর্ণটির দৈর্ঘ্য = 10 সে.মি.

২০৬.

সামান্তরিকের বিপরীত কোণের অন্তর্দ্বিখণ্ডকদ্বয়-

ক
পরস্পর সমান
খ
পরস্পরের উপর লম্ব
গ
পরস্পর সমান্তরাল
ঘ
কোনটিই নয়

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: সামান্তরিকের বিপরীত কোণের অন্তর্দ্বিখণ্ডকদ্বয়-

সমাধান:
ABCD সামান্তরিকের ∠A এর বিপরীত ∠C
এবং ∠B এর বিপরীত ∠D
∠A ও ∠C এর অন্তর্দ্বিখণ্ডকদ্বয় যথাক্রমে AE ও CF পরস্পর সমান্তরাল ।

২০৭.

PQRS রম্বসের বাহুর দৈর্ঘ্য 5 ইঞ্চি। PR এবং QS কর্ণ দুটি O বিন্দুতে ছেদ করলে PO² + QO² = কত?

ক
15
খ
20
গ
10
ঘ
25

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: PQRS রম্বসের বাহুর দৈর্ঘ্য 5 ইঞ্চি। PR এবং QS কর্ণ দুটি O বিন্দুতে ছেদ করলে PO² + QO² = কত?

সমাধান:

পিথাগোরসের উপপাদ্য অনুসারে POQ ত্রিভুজ হতে,
PQ² = PO² + QO²
⇒ 5² = PO² + QO²
∴ PO² + QO² = 25

২০৮.

একটি ট্রাপিজিয়াম আকৃতির কাগজের ক্ষেত্রফল ৫৪ বর্গ সে.মি.। এর সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের দৈর্ঘ্য ১০ সে.মি. ও ৮ সে.মি. হলে, লম্ব দূরত্ব কত?

ক
৬ সে.মি.
খ
৯ সে.মি.
গ
৩ সে.মি.
ঘ
১২ সে.মি.

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি ট্রাপিজিয়াম আকৃতির কাগজের ক্ষেত্রফল ৫৪ বর্গ সে.মি.। এর সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের দৈর্ঘ্য ১০ সে.মি. ও ৮ সে.মি. হলে, লম্ব দূরত্ব কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
ট্রাপিজিয়ামের ক্ষেত্রফল = ৫৪ বর্গ সে.মি.
সমান্তরাল বাহু দুটি = ১০ সে.মি. ও ৮ সে.মি.

আমরা জানি,
ট্রাপিজিয়ামের ক্ষেত্রফল
= (১/২) × (সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের যোগফল) × লম্ব দূরত্ব
⇒ ৫৪ = (১/২) × (১০ + ৮) × লম্ব দূরত্ব
⇒ ৫৪ = (১/২) × ১৮ × লম্ব দূরত্ব
⇒ ৫৪ = ৯ × লম্ব দূরত্ব
⇒ লম্ব দূরত্ব = ৫৪/৯
∴ লম্ব দূরত্ব = ৬ সে.মি.

সুতরাং, ট্রাপিজিয়ামটির লম্ব দূরত্ব = ৬ সে.মি.

২০৯.

একটি আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য প্রস্থের দ্বিগুণ। আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল ২০০ বর্গমিটার হলে, উহার পরিসীমা কত?

ক
ক) ৬০ মিটার
খ
খ) ৭০ মিটার
গ
গ) ৮০ মিটার
ঘ
ঘ) ৯০ মিটার

ব্যাখ্যা

দৈর্ঘ্য = √(ক্ষেত্রফল×দৈর্ঘ্য প্রস্থের কত গুন)
= √(২০০ × ২)
= ২০ মিটার
সুতরাং, প্রস্থ হবে ১০ মিটার
তাহলে আয়তক্ষেত্রটির পরিসীমা হবে = ২(২০+১০) = ৬০ মিটার

২১০.

একটি সামন্তরিকের ভূমি ৪ ফুট এবং উচ্চতা ৩ ফুট হলে, উহার ক্ষেত্রফল কত বর্গফুট?

ক
ক) ১৪
খ
খ) ১২
গ
গ) ১৮
ঘ
ঘ) ৭

ব্যাখ্যা

আমরা জানি,
সামন্তরিকের ক্ষেত্রফল = সামন্তরিকের ভূমি × উচ্চতা
∴ সামন্তরিকের ক্ষেত্রফল = ৪ × ৩ = ১২ বর্গফুট।

২১১.

একটি আয়তাকার ঘরের মেঝের দৈর্ঘ্য প্রস্থের ৪ গুণ, মেঝেতে প্রতি বর্গমিটারে কার্পেট বিছাতে ২০ টাকা করে মোট ১৩৫২০ টাকা খরচ হলে মেঝের দৈর্ঘ্য কত?

ক
ক) ১৩ মিটার
খ
খ) ১৬৯ মিটার
গ
গ) ৬০ মিটার
ঘ
ঘ) ৫২ মিটার

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি আয়তাকার ঘরের মেঝের দৈর্ঘ্য প্রস্থের ৪ গুণ, মেঝেতে প্রতি বর্গমিটারে কার্পেট বিছাতে ২০ টাকা করে মোট ১৩৫২০ টাকা খরচ হলে মেঝের দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:

ধরি,
আয়তাকার ঘরের প্রস্থ x মিটার
তাহলে, আয়তাকার ঘরের দৈর্ঘ্য ৪x মিটার
আয়তাকার ঘরের ক্ষেত্রফল = ৪x × x বর্গমিটার = ৪x^২ বর্গমিটার

২০ টাকা খরচ হয় ১ বর্গমিটারে
∴ ১৩৫২০ টাকা খরচ হয় (১৩৫২০/২০) বর্গমিটার = ৬৭৬ বর্গমিটার

প্রশ্নমতে,
৪x^২ = ৬৭৬
⇒ x^২ = ১৬৯
⇒ x = ১৩

মেঝের দৈর্ঘ্য ৪ × ১৩ মিটার = ৫২ মিটার

২১২.

একটি রম্বসের কর্ণদ্বয়ের অনুপাত ৪ : ৫ এবং রম্বসের ক্ষেত্রফল ৩৬০ বর্গসে.মি. হলে, ছোট কর্ণটির দৈর্ঘ্য কত?

ক
২৪ সে.মি.
খ
২৮ সে.মি.
গ
৩০ সে.মি.
ঘ
৩৬ সে.মি.

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি রম্বসের কর্ণদ্বয়ের অনুপাত ৪ : ৫ এবং রম্বসের ক্ষেত্রফল ৩৬০ বর্গসে.মি. হলে, ছোট কর্ণটির দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
ধরি,
কর্ণদ্বয় যথাক্রমে ৪ক এবং ৫ক

প্রশ্নমতে,
(১/২) × ৪ক × ৫ক = ৩৬০
বা, ১০ক^২ = ৩৬০
বা, ক^২ = ৩৬০/১০
বা, ক^২ = ৩৬
∴ ক = ৬
রম্বসের কর্ণদ্বয়ের দৈর্ঘ্য হবে যথাক্রমে ৪ × ৬ = ২৪ সে.মি. এবং ৫ × ৬ = ৩০ সে.মি.

∴ ছোট কর্ণটির দৈর্ঘ্য = ২৪ সে.মি.।

২১৩.

একটি বর্গক্ষেত্রের কর্ণের দৈর্ঘ্য √৩২ একক হলে, পরিসীমা কত?

ক
৪ একক
খ
৪৮ একক
গ
৩২ একক
ঘ
১৬ একক

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি বর্গক্ষেত্রের কর্ণের দৈর্ঘ্য √৩২ একক হলে, পরিসীমা কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
কর্ণের দৈর্ঘ্য = √৩২ একক

যদি বর্গক্ষেত্রের বাহুর দৈর্ঘ্য = a একক হয়
তাহলে কর্ণের দৈর্ঘ্য = a√২ একক
সুতরাং,
a√২ = √৩২ = √(১৬ × ২) = ৪ × √২
∴ a = ৪ একক

∴ বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা = ৪ × বাহুর দৈর্ঘ্য
= ৪ × ৪ = ১৬ একক

২১৪.

ABCD একটি সামন্তরিক হলে নিচের কোনটি সত্য নয়।

ক
ক) বিপরীত বাহুদ্বয় পরস্পর সমান
খ
খ) বিপরীত কোণগুলো পরস্পর সমান
গ
গ) যেকোন দু’টি সন্নিহিত কোণ পরস্পরের সম্পূরক
ঘ
ঘ) কর্ণদ্বয় পরস্পর সমান

ব্যাখ্যা

সামন্তরিকের বৈশিষ্ট অনুসারে এর কর্ণদ্বয় পরস্পর অসমান।

২১৫.

একটি আয়তকার ক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য বিস্তারের ৩ গুণ, দৈর্ঘ্য ৪৮ মিটার হলে ক্ষেত্রটির পরিসীমা কত মিটার?

ক
ক) ১২৮ মিটার
খ
খ) ১৪৪ মিটার
গ
গ) ৬৪ মিটার
ঘ
ঘ) ৯৬ মিটার

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি আয়তকার ক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য বিস্তারের ৩ গুণ, দৈর্ঘ্য ৪৮ মিটার হলে ক্ষেত্রটির পরিসীমা কত মিটার?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
দৈর্ঘ্য = ৪৮ মিটার
∴ বিস্তার= ৪৮/৩ = ১৬ মিটার

পরিসীমা = ২(৪৮ + ১৬) মিটার
= ২ × ৬৪ মিটার
= ১২৮ মিটার

২১৬.

একটি আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য, প্রস্থের ৩ গুণ। আয়তক্ষেত্রটির পরিসীমা ৮০ মিটার হলে, তার ক্ষেত্রফল কত?

ক
300 বর্গ মিটার
খ
280 বর্গ মিটার
গ
270 বর্গ মিটার
ঘ
250 বর্গ মিটার

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য, প্রস্থের ৩ গুণ। আয়তক্ষেত্রটির পরিসীমা ৮০ মিটার হলে, তার ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
ধরি,
আয়তক্ষেত্রের প্রস্থ x মিটার
∴ আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য 3x মিটার
আয়তক্ষেত্রের পরিসীমা = 2(x + 3x) = 8x মিটার

প্রশ্নমতে,
8x = 80
⇒ x = 80 ÷ 8
∴ x = 10

আয়তক্ষেত্রের প্রস্থ 10 মিটার
∴ আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য = 3 × 10 মিটার = 30 মিটার

আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল (দৈর্ঘ্য × প্রস্থের) বর্গ একক
= (30 × 10) বর্গ মিটার
= 300 বর্গ মিটার

২১৭.

আয়তক্ষেত্রের সন্নিহিত বাহুর মধ্যবিন্দুগুলো যোগ করলে যে চতুর্ভুজ তৈরি হয় তা -

ক
ক) সামান্তরিক
খ
খ) রম্বস
গ
গ) আয়ত
ঘ
ঘ) বর্গ

ব্যাখ্যা

আয়তক্ষেত্রের সন্নিহিত বাহুর মধ্যবিন্দুগুলো যোগ করলে যে চতুর্ভুজ তৈরি হয় তা রম্বস।

PQRS আয়তক্ষেত্রের সন্নিহিত বাহুর মধ্যবিন্দুগুলো যোগ করলে ABCD রম্বস তৈরি হয়।

সূত্র: গণিত (৮ম শ্রেণি)

২১৮.

একটি বর্গাকার বাগানের ক্ষেত্রফল ২০২৫ বর্গমিটার। এর চারদিকে বেড়া আছে। বেড়ার মোট দৈর্ঘ্য কত?

ক
ক) ২২০
খ
খ) ২১০
গ
গ) ২০০
ঘ
ঘ) ১৮০

ব্যাখ্যা

আমরা জানি, বর্গক্ষেত্রের বাহু = √ক্ষেত্রফল
∴ বাহু = √২০২৫ = ৪৫ মিটার।
এর বেড়ার দৈর্ঘ্য হবে এর পরিসীমার সমান
∴ বেড়ার মোট দৈর্ঘ্য = ২ × (৪৫ + ৪৫) = ১৮০ মিটার।

২১৯.

বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের একটি কোণ ৯০° হলে উহার বিপরীত কোণের পরিমাণ কত হবে?

ক
৭৫°
খ
৫০°
গ
৬০°
ঘ
৯০°

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের একটি কোণ ৯০° হলে উহার বিপরীত কোণের পরিমাণ কত হবে?

সমাধান:
আমরা জানি,
বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের বিপরীত দুই কোণের সমষ্টি = ১৮০°
একটি কোণ ৯০° হলে,
অপর কোনটি হবে = (১৮০° - ৯০°)
= ৯০°

∴ বিপরীত কোণের পরিমাণ = ৯০°।

২২০.

একটি সরলরেখার উপর অঙ্কিত বর্গ ঐ সরলরেখার অর্ধেকের উপর অঙ্কিত বর্গের কত গুণ?

ক
ক) দ্বিগুণ
খ
খ) তিনগুণ
গ
গ) চারগুণ
ঘ
ঘ) পাঁচগুণ

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি সরলরেখার উপর অঙ্কিত বর্গ ঐ সরলরেখার অর্ধেকের উপর অঙ্কিত বর্গের কত গুণ?

সমাধান:
ধরি, সরলরেখার দৈর্ঘ্য ক একক
একটি সরলরেখার উপর অঙ্কিত বর্গ = ক^২ বর্গএকক

সরলরেখার অর্ধেক ক/২ একক
সরলরেখার অর্ধেকের উপর অঙ্কিত বর্গ = (ক/২)^২ বর্গএকক
= ক^২/৪ বর্গএকক

∴ একটি সরলরেখার উপর অঙ্কিত বর্গ ঐ সরলরেখার অর্ধেকের উপর অঙ্কিত বর্গের = ক^২/(ক^২/৪)
= ৪ গুণ

২২১.

একটি ট্রাপিজিয়ামের সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের দৈর্ঘ্য 7 সে.মি. 9 সে.মি এবং ট্রাপিজিয়ামটির ক্ষেত্রফল 32 বর্গ সে.মি হলে সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের মধ্যবর্তী লম্ব দূরত্ব কত সে.মি.?

ক
3 সে.মি.
খ
4 সে.মি.
গ
6 সে.মি.
ঘ
8 সে.মি.

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি ট্রাপিজিয়ামের সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের দৈর্ঘ্য 7 সে.মি. 9 সে.মি এবং ট্রাপিজিয়ামটির ক্ষেত্রফল 32 বর্গ সে.মি হলে সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের মধ্যবর্তী লম্ব দূরত্ব কত সে.মি.?

সমাধান:
মনেকরি
ট্রাপিজিয়ামটির সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের মধ্যবর্তী লম্ব দূরত্ব h

আমরা জানি,
ট্রাপিজিয়ামের ক্ষেত্রফল = 1/2 × (সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের যোগফল) × সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের মধ্যবর্তী দুরত্ব
⇒ 32 = (1/2) × (7 + 9) × h
⇒ 32 = 16h/2
⇒ 32 = 8h
∴ h = 4 সে.মি.

২২২.

একটি বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল ৯০০ বর্গমিটার হলে বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা কত?

ক
৯০ মিটার
খ
১০০ মিটার
গ
১২০ মিটার
ঘ
১৬০ মিটার

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল ৯০০ বর্গমিটার হলে বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = ৯০০ বর্গমিটার
∴ বর্গক্ষেত্রের এক বাহুর দৈর্ঘ্য = √৯০০ মিটার
= ৩০ মিটার

আমরা জানি,
বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা = ৪ × এক বাহুর দৈর্ঘ্য
= (৩০ × ৪) মিটার
= ১২০ মিটার

∴ বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা = ১২০ মিটার।

২২৩.

রম্বসের কর্ণদ্বয় পরস্পর-

ক
ক) সমান
খ
খ) সমান্তরাল
গ
গ) লম্ব
ঘ
ঘ) কোনটাই না

ব্যাখ্যা

রম্বসের কর্ণদ্বয় পরস্পরকে সমকোণে সমদ্বিখন্ডিত করে। সুতরাং এরা পরস্পর লম্ব।

২২৪.

একটি রম্বসের কর্ণদ্বয় যথাক্রমে 40 সে.মি ও 60 সে.মি. । রম্বসের ক্ষেত্রফল কত?

ক
ক) 2400 বর্গ সে.মি.
খ
খ) 1000 বর্গ সে.মি.
গ
গ) 1600 বর্গ সে.মি.
ঘ
ঘ) 1200 বর্গ সে.মি.

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি রম্বসের কর্ণদ্বয় যথাক্রমে 40 সে.মি ও 60 সে.মি. । রম্বসের ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
রম্বসের ক্ষেত্রফল = 1/2 × কর্ণদ্বয়ের গুণফল
= (1/2) × 40 × 60
= 1200 বর্গ সে.মি.

২২৫.

একটি আয়তকার ঘরের দৈর্ঘ্য বিস্তারের দ্বিগুণ। এর ক্ষেত্রফল 128 বর্গমিটার হলে পরিসীমা কত?

ক
ক) 32 মিটার
খ
খ) 48 মিটার
গ
গ) 36 মিটার
ঘ
ঘ) 64 মিটার

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি আয়তকার ঘরের দৈর্ঘ্য বিস্তারের দ্বিগুণ। এর ক্ষেত্রফল 128 বর্গমিটার হলে পরিসীমা কত?

সমাধান:
ধরি,
আয়তাকার ঘরের বিস্তার x মিটার
∴ দৈর্ঘ্য 2x মিটার

প্রশ্নমতে,
2x² = 128
⇒ x² = 64
⇒ x² = 8²
∴ x = 8

∴ আয়তাকার ঘরের বিস্তার 8 মিটার
∴ দৈর্ঘ্য = 2x = 2 × 8 = 16 মিটার

এখন,
আয়তক্ষেত্রের পরিসীমা = 2(দৈর্ঘ্য + প্রস্থ)
= 2 (16 + 8) মিটার
= 48 মিটার

২২৬.

একটি আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য প্রস্থের তিনগুণ এবং পরিসীমা ১২০ মিটার হলে, ক্ষেত্রফল কত?

ক
৫৭৫ বর্গ মি
খ
৬৭৫ বর্গ মি
গ
৭৪৫ বর্গ মি
ঘ
৮১৫ বর্গ মি

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য প্রস্থের তিনগুণ এবং পরিসীমা ১২০ মিটার হলে, ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
ধরি,
প্রস্থ = ক মি.
∴ দৈর্ঘ্য = ৩ক মি.
এবং, ক্ষেত্রফল = (৩ক × ক) = ৩ক^২ বর্গ মি.

∴ পরিসীমা = ২(ক + ৩ক) = ৮ক মি.

প্রশ্নমতে,
৮ক = ১২০
∴ ক = ১৫ মি.

∴ ক্ষেত্রফল = ৩(১৫)^২ বর্গ মি.
= ৬৭৫ বর্গ মি।

২২৭.

সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল কোনটি?

ক
দৈর্ঘ্য × প্রস্থ
খ
ভূমি × উচ্চতা
গ
২ (দৈর্ঘ্য + প্রস্থ)
ঘ
১/২ (ভূমি × উচ্চতা)

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল কোনটি?

সমাধান:
আমরা জানি,
সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল নির্ণয়ের সূত্র হলো - (ভূমি × উচ্চতা)।

অন্যদিকে,
বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = বাহু^২ ।
আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = দৈর্ঘ্য × প্রস্থ ।
রম্বসের ক্ষেত্রফল = (১/২) × কর্ণদ্বয়ের গুণফল।

২২৮.

সামান্তরিকের ক্ষেত্রে কোন তথ্যটি সঠিক নয়?

ক
কর্ণদ্বয় অসমান
খ
বিপরীত বাহুগুলো পরস্পর সমান
গ
কর্ণদ্বয় পস্পরকে সমদ্বিখণ্ডিত করে
ঘ
বিপরীত কোণগুলো পরস্পর অসমান

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: সামান্তরিকের ক্ষেত্রে কোন তথ্যটি সঠিক নয়?

সমাধান:
সামান্তরিক:
- যে চতুর্ভুজের বাহুগুলো পরস্পর সমান ও সমান্তরাল কিন্তু কোণগুলো সমকোণ নয় তাকে সামান্তরিক বলে।
- সামান্তরিকের বিপরীত বাহুগুলো পরস্পর সমান।
- সামান্তরিকের বিপরীত কোণগুলো পরস্পর সমান।
- সামান্তরিকের যেকোনো দুইটি সন্নিহিত কোণ পরস্পরের সম্পূরক।
- সামান্তরিকের কর্ণদ্বয় পস্পরকে সমদ্বিখণ্ডিত করে।
- সামান্তরিকের কর্ণদ্বয় অসমান।
- সামান্তরিকের প্রত্যেক কর্ণ সামান্তরিকটিকে দুইটি সর্বসম ত্রিভুজে বিভক্ত করে।

২২৯.

২০ মিটার বাহু বিশিষ্ট বর্গক্ষেত্রের মধ্যে একটি বৃত্ত অন্তর্লিখিত হলে, বর্গক্ষেত্রের ভিতরে বৃত্ত বহির্ভূত অংশের ক্ষেত্রফল কত?

ক
ক) ৩০০
খ
খ) ৩১৪
গ
গ) ৮০
ঘ
ঘ) ৮৬

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ২০ মিটার বাহু বিশিষ্ট বর্গক্ষেত্রের মধ্যে একটি বৃত্ত অন্তর্লিখিত হলে, বর্গক্ষেত্রের ভিতরে বৃত্ত বহির্ভূত অংশের ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:

দেওয়া আছে,
বর্গক্ষেত্রের বাহুর দৈর্ঘ্য ২০ মিটার
বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল ২০ × ২০ বর্গমিটার = ৪০০ বর্গমিটার

যেহেতু বৃত্তটি বর্গক্ষেত্রের ভেতরে অন্তর্লিখিত হয়েছে, সেহেতু বৃত্তটির ব্যাস ২০ মিটার,
তাহলে, বৃত্তটির ব্যাসার্ধ ১০ মিটার।
বৃত্তটির ক্ষেত্রফল π × ১০^২ বর্গমিটার = ৩.১৪ × ১০০ বর্গমিটার = ৩১৪ বর্গমিটার

∴ বর্গক্ষেত্রের ভেতরে বৃত্ত বহির্ভূত অংশের ক্ষেত্রফল =
(৪০০ - ৩১৪) বর্গমিটার
= ৮৬ বর্গমিটার

২৩০.

ABCD চতুর্ভুজে AB || CD, AC = BD এবং ∠A = 90°হলে সঠিক চতুর্ভুজ কোনটি?

ক
সামান্তরিক
খ
রম্বস
গ
ট্রাপিজিয়াম
ঘ
আয়তক্ষেত্র

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন : ABCD চতুর্ভুজে AB ∥ CD, AC = BD এবং ∠A = 90° হলে সঠিক চতুর্ভুজ কোনটি?

সমাধান :
আমরা জানি,
যে চতুর্ভুজের বিপরীত বাহুদ্বয় পরস্পর সমান ও সমান্তরাল, কর্ণদ্বয় সমান ও একটি কোণ সমকোণ তাকে আয়তক্ষেত্র বলে।
সুতরাং ABCD চতুর্ভুজে AB || CD, AC = BD এবং ∠A = 90° হলে চতুর্ভুজ একটি আয়তক্ষেত্র হবে।

২৩১.

একটি বৃত্তে অন্তর্লিখিত বর্গের কর্ণ ১২ মিটার হলে বর্গের পরিধি কত?

ক
৪২√২ মিটার
খ
২৪√২ মিটার
গ
৪৮√২ মিটার
ঘ
৪২ মিটার

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি বৃত্তে অন্তর্লিখিত বর্গের কর্ণ ১২ মিটার হলে বর্গের পরিধি কত?

সমাধান:
বর্গের কর্ণ = ১২ মিটার
বর্গের বাহু এবং কর্ণের সম্পর্ক,
কর্ণ = বাহু√২
⇒ বাহু = কর্ণ /√২
⇒ বাহু = ১২/√২
⇒ বাহু = ৬√২ মিটার

পরিধি = ৪ × ৬√২ = ২৪√২ মিটার

∴ বর্গের পরিধি = ২৪√২ মিটার

২৩২.

একটি সামান্তরিকের ভূমি উচ্চতার 3/2 গুণ । ক্ষেত্রফল 216 বর্গ সেন্টিমিটার হলে ভূমি কত?

ক
ক) 18 সেন্টিমিটার
খ
খ) 15 সেন্টিমিটার
গ
গ) 16 সেন্টিমিটার
ঘ
ঘ) 12 সেন্টিমিটার

ব্যাখ্যা

ধরি,
সামান্তরিকের উচ্চতা x,
সামান্তরিকের ভূমি 3x/2
প্রশ্নমতে,
3x/2 × x = 216
=> 3x²/2 = 216
=> x²= (216 ×2)/3
=> x² = 144
x = 12
এখন, ভূমি = 3x/2 = 3✕12/2= 18

২৩৩.

একটি আয়তক্ষেত্রাকার মাঠের পরিসীমা 110 মিটার। যদি মাঠের দৈর্ঘ্য প্রস্থের দ্বিগুণের চেয়ে 10 মিটার বেশি হয়, তবে মাঠের ক্ষেত্রফল কত বর্গ মিটার?

ক
550 বর্গ মিটার
খ
700 বর্গ মিটার
গ
475 বর্গ মিটার
ঘ
820 বর্গ মিটার
ঙ
600 বর্গ মিটার

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি আয়তক্ষেত্রাকার মাঠের পরিসীমা 110 মিটার। যদি মাঠের দৈর্ঘ্য প্রস্থের দ্বিগুণের চেয়ে 10 মিটার বেশি হয়, তবে মাঠের ক্ষেত্রফল কত বর্গ মিটার?

সমাধান:
ধরি,
মাঠের প্রস্থ = x মিটার
∴ মাঠের দৈর্ঘ্য = 2x + 10 মিটার

প্রশ্নমতে,
2(দৈর্ঘ্য + প্রস্থ) = 110
⇒ 2(2x + 10 + x) = 110
⇒ 2(3x + 10) = 110
⇒ 3x + 10 = 55
⇒ 3x = 55 - 10
⇒ 3x = 45
⇒ x = 45/3
∴ x = 15

∴ মাঠের ক্ষেত্রফল = (দৈর্ঘ্য × প্রস্থ) বর্গ মিটার
= (2x + 10) × x
= (2 × 15 + 10) × 15
= 40 × 15
= 600 বর্গ মিটার

২৩৪.

একটি বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা এর কর্ণের দৈর্ঘ্যের কত গুণ?

ক
ক) √2/2
খ
খ) √2
গ
গ) 2√2
ঘ
ঘ) 2

ব্যাখ্যা

বর্গক্ষেত্রের এক বাহুর দৈর্ঘ্য = a
বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা = 4a
বর্গক্ষেত্রের কর্ণের দৈর্ঘ্য = √2a

বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা/ কর্ণের দৈর্ঘ্য= 4/√2
বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা/ কর্ণের দৈর্ঘ্য= (√2 × 2√2)/√2

বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা=2√2(কর্ণের দৈর্ঘ্য)

২৩৫.

চতুর্ভুজের চার কোণের অনুপাত 1 : 2 : 2 : 3 হলে, বৃহত্তম ও ক্ষুদ্রতম কোণের পার্থক্য কত হবে?

ক
১৩৫°
খ
৩০°
গ
৪৫°
ঘ
৯০°

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: চতুর্ভুজের চার কোণের অনুপাত 1 : 2 : 2 : 3 হলে, বৃহত্তম ও ক্ষুদ্রতম কোণের পার্থক্য কত হবে?

সমাধান:
চতুর্ভুজের চার কোণের সমষ্টি = ৩৬০°
চার কোণের অনুপাত = ১ : ২ : ২ : ৩

অনুপাতগুলোর সমষ্টি = ১ + ২ + ২ + ৩ = ৮

বৃহত্তম কোণ = (৩৬০ এর ৩/৮)° = ১৩৫°
ক্ষুদ্রতম = (৩৬০ এর ১/৮)° = ৪৫°

পার্থক্য = ১৩৫° - ৪৫°
= ৯০°

২৩৬.

একটি ট্রাপিজিয়ামের ক্ষেত্রফল ৫৫ বর্গ মিটার। এর সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের মধ্যে একটির দৈর্ঘ্য ১০ মিটার এবং তাদের মধ্যবর্তী লম্ব দূরত্ব বা উচ্চতা ৫ মিটার। অপর বাহুটির দৈর্ঘ্য কত?

ক
৮ মিটার
খ
১৪ মিটার
গ
১২ মিটার
ঘ
২২ মিটার

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি ট্রাপিজিয়ামের ক্ষেত্রফল ৫৫ বর্গ মিটার। এর সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের মধ্যে একটির দৈর্ঘ্য ১০ মিটার এবং তাদের মধ্যবর্তী লম্ব দূরত্ব বা উচ্চতা ৫ মিটার। অপর বাহুটির দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
ক্ষেত্রফল = ৫৫ বর্গ মিটার
একটি সমান্তরাল বাহু = ১০ মিটার
এবং উচ্চতা = ৫ মিটার

ধরি,
অপর সমান্তরাল বাহুটির দৈর্ঘ্য = ক মিটার

আমরা জানি,
ক্ষেত্রফল = {(সমান্তরাল বাহু দুটির যোগফল) × উচ্চতা}/২
৫৫ = {(১০ + ক) × ৫}/২
⇒ ৫৫ × ২ = (১০ + ক) × ৫
⇒ ১০ + ক = ২২
⇒ ক = ২২ - ১০
∴ ক = ১২

সুতরাং, অপর সমান্তরাল বাহুটির দৈর্ঘ্য = ১২ মিটার।

২৩৭.

ABCD একটি বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ। ∠BAD ও ∠BCD এর সমষ্টি কত হবে?

ক
১২০°
খ
১৮০°
গ
৩৬০°
ঘ
২৭০°

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ABCD একটি বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ। ∠BAD ও ∠BCD এর সমষ্টি কত হবে?

সমাধান:

আমরা জানি
বৃত্তে অন্তর্লিখিত চতুর্ভুজের যেকোনো দুইটি বিপরীত কোণের সমষ্টি দুই সমকোণ।

ABCD বৃত্তস্থ চতুর্ভুজে ∠BAD ও ∠BCD পরস্পর বিপরীত কোণ।
∠BAD ও ∠BCD এর সমষ্টি দুই সমকোণ বা ১৮০°

২৩৮.

একটি বর্গক্ষেত্রের বাহুর দৈর্ঘ্য ৮ফুট হলে, ঐ বর্গক্ষেত্রের কর্ণের ওপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল কত?

ক
ক) ১৫৬ বর্গফুট
খ
খ) ১৬৪ বর্গফুট
গ
গ) ১২৮ বর্গফুট
ঘ
ঘ) ২১৮ বর্গফুট

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি বর্গক্ষেত্রের বাহুর দৈর্ঘ্য ৮ফুট হলে, ঐ বর্গক্ষেত্রের কর্ণের ওপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
বর্গক্ষেত্রের বাহুর দৈর্ঘ্য a = ৮ফুট
বর্গক্ষেত্রের কর্ণের দৈর্ঘ্য = √২ × ৮ ফুট
=৮√২

অপর বর্গক্ষেত্রের বাহুর দৈর্ঘ্য = ৮√২ ফুট
অপর বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল =(৮√২)২
= ৬৪ × ২ বর্গফুট
= ১২৮ বর্গফুট

২৩৯.

একটি বর্গক্ষেত্রের কর্ণের দৈর্ঘ্য 6√2 একক হলে ঐ বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল কত বর্গ একক?

ক
16 বর্গ একক
খ
25 বর্গ একক
গ
36 বর্গ একক
ঘ
49 বর্গ একক

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি বর্গক্ষেত্রের কর্ণের দৈর্ঘ্য 6√2 একক হলে ঐ বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল কত বর্গ একক?

সমাধান:
ধরি,
বর্গক্ষেত্রের বাহুর দৈর্ঘ্য = a একক।
বর্গক্ষেত্রের কর্ণ = a√2 একক।

প্রশ্নমতে,
a√2 = 6√2
⇒ a = (6√2)/√2
∴ a = 6

∴ বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = a²
= 6²
= 36 বর্গ একক।

২৪০.

একটি রম্বসের কর্ণদ্বয়ের দৈর্ঘ্য ৮ সে. মি. ও ৯ সে. মি.। এই রম্বসের ক্ষেত্রফলের সমান ক্ষেত্রফলবিশিষ্ট বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা কত?

ক
১২ সে. মি.
খ
১৮ সে. মি.
গ
২৪ সে. মি.
ঘ
৩৬ সে. মি.

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি রম্বসের কর্ণদ্বয়ের দৈর্ঘ্য ৮ সে. মি. ও ৯ সে. মি.। এই রম্বসের ক্ষেত্রফলের সমান ক্ষেত্রফলবিশিষ্ট বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
রম্বসের ক্ষেত্রফল = (১/২) × কর্ণদ্বয়ের গুণফল
= (১/২) × ৮ × ৯ বর্গ সে.মি.
= ৩৬ বর্গ সে.মি.

ধরি,
বর্গক্ষেত্রের বাহুর দৈর্ঘ্য = ক সে.মি.
∴ ক^২ = ৩৬ বর্গ সে.মি.
∴ ক = ৬ সে.মি.

∴ বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা = ৪ ক সে.মি.
= ৪ × ৬ সে.মি.
= ২৪ সে.মি.।

২৪১.

একটি বর্গক্ষেত্রের কর্ণের দৈর্ঘ্য ৯ মিটার হলে, বর্গক্ষেত্রটির ক্ষেত্রফল কত?

ক
৩৬ বর্গমিটার
খ
৪০.৫ বর্গমিটার
গ
৪২.৫ বর্গমিটার
ঘ
৪৫ বর্গমিটার

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি বর্গক্ষেত্রের কর্ণের দৈর্ঘ্য ৯ মিটার হলে, বর্গক্ষেত্রটির ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = (১/২) × (কর্ণের দৈর্ঘ্য)^২
= (১/২) × (৯)^২
= ৪০.৫ বর্গমিটার

২৪২.

একটি বর্গাকার বাগানের ক্ষেত্রফল ২০২৫ বর্গমিটার। বাগানের চারদিকে বেড়া দেওয়া আছে। বেড়ার মোট দৈর্ঘ্য কত?

ক
১৬০ মিটার
খ
১৮০ মিটার
গ
২১০ মিটার
ঘ
২২০ মিটার

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি বর্গাকার বাগানের ক্ষেত্রফল ২০২৫ বর্গমিটার। বাগানের চারদিকে বেড়া দেওয়া আছে। বেড়ার মোট দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
বর্গক্ষেত্রের বাহু = √ক্ষেত্রফল
∴ বাহু = (√২০২৫)
= ৪৫ মিটার

আবার,
বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা = ৪ × বাহু
= (৪ × ৪৫) মিটার
= ১৮০ মিটার

∴ বেড়ার মোট দৈর্ঘ্য = ১৮০ মিটার।

২৪৩.

কোনটি রম্বসের বৈশিষ্ট্য ?

ক
ক) কর্ণদ্বয় পরস্পর সমান
খ
খ) প্রত্যেক কোণই সমকোণ
গ
গ) বিপরীত কোণদ্বয় অসমান
ঘ
ঘ) প্রত্যেকটি বাহুই সমান

ব্যাখ্যা

রম্বসের বৈশিষ্ট্য হলো, এর
ⅰ) চারটি বাহু পরস্পর সমান,
ⅱ) বিপরীত বাহুগুলো সমান্তরাল,
ⅲ) কর্ণদ্বয় পরস্পর সমকোণে সমদ্বিখণ্ডিত হয়।

২৪৪.

একটি সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল 288 বর্গ সে. মি. । যদি উচ্চতা ভূমির দ্বিগুণ হয়, তবে সামান্তরিকের উচ্চতা কত?

ক
30 সে. মি.
খ
24 সে. মি.
গ
26 সে. মি.
ঘ
21 সে. মি.

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল 288 বর্গ সে. মি. । যদি উচ্চতা ভূমির দ্বিগুণ হয়, তবে সামান্তরিকের উচ্চতা কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল 288 বর্গ সে. মি.

ধরি,
ভূমি = x সে. মি.
উচ্চতা = 2x সে. মি.

আমরা জানি,
সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল = (ভূমি × উচ্চতা) বর্গ একক
⇒ x × 2x = 288
⇒ 2x² = 288
⇒ x²= 288/2
⇒ x = √144
⇒ x = 12

∴ ভূমি = x = 12 সে. মি.
∴ উচ্চতা = 2x = 2 × 12 = 24 সে. মি.

২৪৫.

একটি ট্রাপিজিয়াম এর সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের দৈর্ঘ্য ১০ সে.মি. , ১৫ সে.মি. এবং এদের মধ্যবর্তী দূরত্ব ১২ সে.মি. হলে এর ক্ষেত্রফল -

ক
১৪০ বর্গ সে.মি.
খ
১৪৪ বর্গ সে.মি.
গ
১৫০ বর্গ সে.মি.
ঘ
১৫৬ বর্গ সে.মি.

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি ট্রাপিজিয়াম এর সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের দৈর্ঘ্য ১০ সে.মি. , ১৫ সে.মি. এবং এদের মধ্যবর্তী দূরত্ব ১২ সে.মি. হলে এর ক্ষেত্রফল -

সমাধান:
একটি ট্রাপিজিয়াম এর সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের দৈর্ঘ্য ১০ সে.মি. , ১৫ সে.মি. এবং এদের মধ্যবর্তী দূরত্ব ১২ সে.মি.
ট্রাপিজিয়ামের ক্ষেত্রফল = ১/২ × (সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের যোগফল) × উচ্চতা
= (১/২) × (১০ + ১৫) × ১২
= (১/২) × ২৫ × ১২
= ১৫০ বর্গ সে.মি.

২৪৬.

একটি আয়তাকার জমির ক্ষেত্রফল ২৪০০ বর্গমিটার। দৈর্ঘ্য এবং প্রস্থের অনুপাত ৩ : ২ হলে ঐ জমির পরিসীমার পরিমাপ কত?

ক
১৮০ মিটার
খ
১৯৬ মিটার
গ
২০০ মিটার
ঘ
২১০ মিটার

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি আয়তাকার জমির ক্ষেত্রফল ২৪০০ বর্গমিটার। দৈর্ঘ্য এবং প্রস্থের অনুপাত ৩ : ২ হলে ঐ জমির পরিসীমার পরিমাপ কত?

সমাধান:
ধরি,
আয়তাকার জমির দৈর্ঘ্য = ৩ক মিটার
এবং আয়তাকার জমির প্রস্থ = ২ক মিটার
∴ ক্ষেত্রফল = (৩ক × ২ক) = ৬ক^২বর্গমিটার

প্রশ্নমতে,
৬ক^২ = ২৪০০
⇒ ক^২ = ৪০০
⇒ ক = ২০

∴ পরিসীমা = ২(৩ক + ২ক) মিটার
= (২ × ৫ক) মিটার
= (২ × ৫ × ২০) মিটার
= ২০০ মিটার

২৪৭.

ABCD বর্গের BD = ১০ সে. মি. হলে, ΔABD এর ক্ষেত্রফল কত?

ক
ক) ২০ বর্গ সে. মি.
খ
খ) ২৫ বর্গ সে. মি.
গ
গ) ৩০ বর্গ সে. মি.
ঘ
ঘ) ৩৫ বর্গ সে. মি.

ব্যাখ্যা

ΔABD ত্রিভূজের অতিঃ BD = ১০ সে. মি.
∴ AB = AD = ১০/√২ সে. মি.
∴ ত্রিভূজের ক্ষেত্রফল = ১/২ × ১০/√২ × ১০/√২ = ২৫ বর্গ সে. মি.

২৪৮.

একটি ট্রাপিজিয়ামের উচ্চতা ৮ সে.মি. ও একটি সমান্তরাল বাহু ১৫ সে.মি.। ট্রাপিজিয়ামের ক্ষেত্রফল ২৮০ বর্গ সে.মি. হলে অপর সমান্তরাল বাহুর দৈর্ঘ্য কত?

ক
১৪ সে.মি.
খ
৪৫ সে.মি.
গ
১৬ সে.মি.
ঘ
৫৫ সে.মি.

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি ট্রাপিজিয়ামের উচ্চতা ৮ সে.মি. ও একটি সমান্তরাল বাহু ১৫ সে.মি.। ট্রাপিজিয়ামের ক্ষেত্রফল ২৮০ বর্গ সে.মি. হলে অপর সমান্তরাল বাহুর দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান :
মনে করি,
অপর সমান্তরাল বাহুর দৈর্ঘ্য = ক সে.মি.

আমরা জানি,
ট্রাপিজিয়ামের ক্ষেত্রফল = ১/২(সমান্তরাল বাহুদুটির মোট দৈর্ঘ্য) × উচ্চতা
প্রশ্নমতে,
(১/২) (১৫ + ক) × ৮ = ২৮০
বা, (১৫ + ক) × ৮ = ৫৬০
বা, ১৫ + ক = ৭০
বা, ক = ৫৫

অর্থাৎ, অপর সমান্তরাল বাহুর দৈর্ঘ্য = ৫৫ সে.মি.

২৪৯.

নিচের কোনটি রম্বসের বৈশিষ্ট?

ক
কর্ণদ্বয় পরস্পর সমান
খ
প্রত্যেক কোণই সমকোণ
গ
বিপরীত কোণদ্বয় অসমান
ঘ
প্রত্যেকটি বাহুই সমান

ব্যাখ্যা

২৫০.

ABCD একটি রম্বস। উহার ∠A = 70° হলে, ∠C = কত?

ক
ক) 110°
খ
খ) 70°
গ
গ) 100°
ঘ
ঘ) 80°

ব্যাখ্যা

- যে আয়তে চারটি বাহু সমান ও সমান্তরাল কিন্তু কর্ণ দুইটি অসমান তথা কোণগুলো সমকোণ নয় তাকে রম্বস বলে।
- প্রকৃতপক্ষে, রম্বস হলো সামান্তরিকের একটি বিশেষ রূপ অর্থাৎ সামান্তরিকের সন্নিহিত বাহুদ্বয় সমান হলে তখন তা রম্বস হয়ে যায়।
- রম্বসকে অনেকসময় ডায়মন্ড বলা হয় কারণ এটি দেখতে অনেকটা ডায়মন্ডের মত।
- এটিকে সমবাহু চতুর্ভুজও বলা হয় কারণ এর চারটি বাহুর দৈর্ঘ্য পরস্পর সমান।
- রম্বসের কর্ণদ্বয় পরস্পরকে সমকোণে সমদ্বিখণ্ডিত করে।
- রম্বসের বিপরীত কোণগুলো পরস্পর সমান।
- ∠A = 70° হলে, ∠C = 70°

২৫১.

একটি চতুর্ভুজের দৈর্ঘ্য ৮ মিটার এবং প্রস্থ ৬ মিটার হলে, চতুর্ভুজটির পরিসীমা কত?

ক
২৪ মিটার
খ
১৮ মিটার
গ
২৮ মিটার
ঘ
৪৮ মিটার

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি চতুর্ভুজের দৈর্ঘ্য ৮ মিটার এবং প্রস্থ ৬ মিটার হলে, চতুর্ভুজটির পরিসীমা কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
চতুর্ভুজের পরিসীমা = ২(দৈর্ঘ্য + প্রস্থ) মিটার
= ২ × (৮ + ৬) মিটার
= (২ × ১৪) মিটার
= ২৮ মিটার ।

২৫২.

চতুর্ভুজের চারটি কোণের সমষ্টি নিচের কোনটি?

ক
ক) 180°
খ
খ) 270°
গ
গ) 360°
ঘ
ঘ) 720°

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: চতুর্ভুজের চারটি কোণের সমষ্টি নিচের কোনটি?

সমাধান:
যেকোনো চতুর্ভুজের চার কোণের সমষ্টি 360° ।

২৫৩.

একটি রম্বসের ক্ষেত্রফল 18 বর্গসে.মি. এবং একটি কর্ণ 4 সে.মি. হলে অপর কর্ণের পরিমাণ কত?

ক
6 সে.মি.
খ
8 সে.মি.
গ
9 সে.মি.
ঘ
12 সে.মি.

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি রম্বসের ক্ষেত্রফল 18 বর্গসে.মি. এবং একটি কর্ণ 4 সে.মি. হলে অপর কর্ণের পরিমাণ কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
রম্বসের ক্ষেত্রফল = 1/2 × কর্ণদ্বয়ের গুণফল
বা, 18 = (1/2) × 4 × অপর কর্ণ
বা, 2 × অপর কর্ণ = 18
বা, অপর কর্ণ = 18/2
∴ অপর কর্ণ = 9

∴ অপর কর্ণের পরিমাণ = 9 সে.মি.।

২৫৪.

একটি আয়তাকার বাগানের দৈর্ঘ্য ৩২ মিটার এবং প্রস্থ ২৪ মিটার। এর ভিতরের চারদিকে ২ মিটার চওড়া একটি রাস্তা আছে। রাস্তাটির ক্ষেত্রফল কত?

ক
২০৮ বর্গমিটার
খ
২০০ বর্গমিটার
গ
২৫৬ বর্গমিটার
ঘ
২৮০ বর্গমিটার

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি আয়তাকার বাগানের দৈর্ঘ্য ৩২ মিটার এবং প্রস্থ ২৪ মিটার। এর ভিতরের চারদিকে ২ মিটার চওড়া একটি রাস্তা আছে। রাস্তাটির ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
আয়তাকার বাগানের দৈর্ঘ্য = ৩২ মিটার
∴ আয়তাকার বাগানের প্রস্থ = ২৪ মিটার
∴ আয়তাকার বাগানের ক্ষেত্রফল = (৩২ × ২৪) বর্গমিটার
= ৭৬৮ বর্গমিটার

আবার,
রাস্তাবাদে আয়তাকার বাগানের দৈর্ঘ্য = {৩২ - (২ × ২)} মিটার
=২৮ মিটার
∴ রাস্তাবাদে আয়তাকার বাগানের প্রস্থ = {২৪ - (২ × ২)} মিটার
= ২০ মিটার
∴ রাস্তাবাদে আয়তাকার বাগানের ক্ষেত্রফল = (২৮ × ২০) বর্গমিটার
= ৫৬০ বর্গমিটার

∴ রাস্তাটির ক্ষেত্রফল = (৭৬৮ - ৫৬০) বর্গমিটার
= ২০৮ বর্গমিটার।

২৫৫.

একটি বর্গাকার বাগানের ক্ষেত্রফল ১ হেক্টর হলে বাগানটির পরিসীমা কত?

ক
ক) ২০০ মিটার
খ
খ) ৫০০ মিটার
গ
গ) ৪০০ মিটার
ঘ
ঘ) ৩০০ মিটার

ব্যাখ্যা

ধরি,
বাগানের দৈর্ঘ্য x মিটার
বর্গাকার বাগানের ক্ষেত্রফল x² বর্গমিটার

1 হেক্টর = 10000 বর্গমিটার

প্রশ্নমতে
x² = 10000
x = √(10000)
∴ x = 100

বাগানের পরিসীমা 4x মিটার
= (4 × 100) "
= 400 মিটার

২৫৬.

একটি ট্রাপিজিয়ামের সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের অন্তর 2 মিটার এবং তাদের মধ্যে লম্ব দূরত্ব 3 মিটার। ট্রাপিজিয়াম ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল 30 বর্গ মিটার হলে, বৃহত্তম বাহুটির দৈর্ঘ্য কত?

ক
ক) 9 মিটার
খ
খ) 10 মিটার
গ
গ) 11 মিটার
ঘ
ঘ) 15 মিটার

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন- একটি ট্রাপিজিয়ামের সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের অন্তর 2 মিটার এবং তাদের মধ্যে লম্ব দূরত্ব 3 মিটার। ট্রাপিজিয়াম ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল 30 বর্গ মিটার হলে, বৃহত্তম বাহুটির দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান-
মনে করি, সমান্তরাল বাহুদ্বয় x ও (x + 2) মিটার

ট্রাপিজিয়ামের ক্ষেত্রফল = (1/2) × 3 × (x + x + 2) বর্গ মিটার

প্রশমতে,
(1/2) × 3 × (x + x + 2) = 30
বা, 2x + 2 = 20
বা, 2x = 18
বা, x = 9

বৃহত্তম বাহুটির দৈর্ঘ্য = 9 + 2 = 11 মিটার

২৫৭.

চতুর্ভুজের চার কোণের অনুপাত ১ : ২ : ২ : ৩ হলে বৃহত্তম কোণের পরিমাণ হবে-

ক
ক) ১২৫°
খ
খ) ১৩৫°
গ
গ) ১৬৫°
ঘ
ঘ) ২১৫°

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: চতুর্ভুজের চার কোণের অনুপাত ১ : ২ : ২ : ৩ হলে বৃহত্তম কোণের পরিমাণ হবে-

সমাধান:
চতুর্ভুজের চার কোণের সমষ্টি = ৩৬০°
চার কোণের অনুপাত = ১ : ২ : ২ : ৩
অনুপাতগুলোর সমষ্টি = ১ + ২ + ২ + ৩ = ৮

∴ বৃহত্তম কোণ = (৩৬০ এর ৩/৮)°
= ১৩৫°

২৫৮.

একটি রম্বসের কর্ণদ্বয় যথাক্রমে ৮ সে.মি. ও ৬ সে.মি. হলে, রম্বসের ক্ষেত্রফল কত?

ক
২৪ বর্গ সে.মি.
খ
৪৮ বর্গ সে.মি.
গ
৯৬ বর্গ সে.মি.
ঘ
১৯৬ বর্গ সে.মি.

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি রম্বসের কর্ণদ্বয় যথাক্রমে ৬ সে.মি. ও ৮ সে.মি. হলে, রম্বসের ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
রম্বসের ক্ষেত্রফল = (১/২) × কর্ণদ্বয়ের দৈর্ঘ্যের গুণফল
= (১/২) × ৬ × ৮ বর্গ সে.মি.
= ২৪ বর্গ সে.মি.

২৫৯.

ABCD রম্বসের AC এবং BD কর্ণদ্বয় O বিন্দুতে ছেদ করেছে। ∠ACD = 60° হলে ∠OBC = ?

ক
ক) 90°
খ
খ) 60°
গ
গ) 45°
ঘ
ঘ) 30°

ব্যাখ্যা

ABCD সামান্তরিকে ∠ABC + ∠BCD = 180°
বা, 70° + ∠BCD = 180°
ABCD রম্বসের ক্ষেত্রে,
∠ACB = ∠ACD = 60° [কর্ণ দ্বারা c কোণটি সমদ্বিখন্ডিত হয়]
∴ ∠BCD = 120°
ফলে ∠ABC = ∠ADC = 60°
∴ ∠OBC = 30°

২৬০.

একটি আয়তকার বাগানের দৈর্ঘ্য ৪০ মিটার এবং প্রস্থ ৩০ মিটার হলে, বাগানের পরিসীমা কত?

ক
৩৫ মিটার
খ
৭০ মিটার
গ
১২০ মিটার
ঘ
১৪০ মিটার

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি আয়তকার বাগানের দৈর্ঘ্য ৪০ মিটার এবং প্রস্থ ৩০ মিটার হলে, বাগানের পরিসীমা কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
আয়তকার ক্ষেত্রের পরিসীমা = ২ (দৈর্ঘ্য + প্রস্থ)
= ২(৪০ + ৩০) মিটার
= ১৪০ মিটার

∴ বাগানের পরিসীমা = ১৪০ মিটার

২৬১.

একটি রম্বসের কর্ণদ্বয় 38 সে.মি. ও 15 সে.মি.। রম্বসের ক্ষেত্রফল কত?

ক
305 বর্গ সে.মি.
খ
260 বর্গ সে.মি.
গ
285 বর্গ সে.মি.
ঘ
300 বর্গ সে.মি.

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি রম্বসের কর্ণদ্বয় 38 সে.মি. ও 15 সে.মি.। রম্বসের ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
রম্বসের কর্ণদ্বয় 38 সে.মি. ও 15 সে.মি.

আমরা জানি,
রম্বসের ক্ষেত্রফল = 1/2 × কর্ণদ্বয়ের গুণফল
= (1/2) × 38 × 15 বর্গ সে.মি.
= 285 বর্গ সে.মি.

২৬২.

একটি ট্রাপিজিয়ামের সমান্তরাল বাহু দুটি ৭ সে.মি ও ৫ সে.মি এবং ক্ষেত্রফল ৫৪ বর্গমিটার হলে উচ্চতা কত?

ক
১২ সে.মি
খ
১৬ সে.মি
গ
৯ সে.মি
ঘ
৬ সে.মি

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি ট্রাপিজিয়ামের সমান্তরাল বাহু দুটি ৭ সে.মি ও ৫ সে.মি এবং ক্ষেত্রফল ৫৪ বর্গমিটার হলে উচ্চতা কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
ট্রাপিজিয়ামের ক্ষেত্রফল = ১/২ × (a + b) × h

প্রশ্নমতে,
৫৪ = ১/২ × (a + b) × h
⇒ ৫৪ = (১/২) × (৭ + ৫) × h
⇒ ৫৪ = (১/২) × h × ১২
⇒ h = ৫৪/৬
∴ h = ৯

সুতরাং, ট্রাপিজিয়ামের উচ্চতা = ৯ সে.মি

২৬৩.

একটি আয়তাকার ঘরের দৈর্ঘ্য, প্রস্থের দেড়গুণ। এর ক্ষেত্রফল ২৯৪ বর্গমিটার হলে, পরিসীমা কত?

ক
৪০ মিটার
খ
৫০ মিটার
গ
৬০ মিটার
ঘ
৭০ মিটার

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি আয়তাকার ঘরের দৈর্ঘ্য, প্রস্থের দেড়গুণ। এর ক্ষেত্রফল ২৯৪ বর্গমিটার হলে, পরিসীমা কত?

সমাধান:
ধরি,
আয়তাকার ঘরের প্রস্থ = x মিটার
আয়তাকার ঘরের দৈর্ঘ্য = x × (৩/২) মিটার = ৩x/২ মিটার
∴ আয়তাকার ঘরের ক্ষেত্রফল = x × (৩x/২) মিটার = ৩x^২/২ মিটার

প্রশ্নমতে,
৩x^২/২ = ২৯৪
বা, ৩x^২ = ২৯৪ × ২
বা, x^২ = (২৯৪ × ২)/৩
বা, x^২ = ১৯৬
বা, x^২ = ১৪^২
∴ x = ১৪
∴ আয়তাকার ঘরের প্রস্থ = ১৪ মিটার
আয়তাকার ঘরের দৈর্ঘ্য = ৩x/২ মিটার
= (৩ × ১৪)/২ মিটার
= ২১ মিটার

∴ পরিসীমা = ২ (দৈর্ঘ্য + প্রস্থ)
= ২ (২১ + ১৪) মিটার
= ৭০ মিটার ।

২৬৪.

একটি আয়তাকার ক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য বিস্তারের ৩ গুণ। ক্ষেত্রটির ক্ষেত্রফল ৭৬৮ বর্গমিটার হলে, ক্ষেত্রটির পরিসীমা কত?

ক
১১৫ মিটার
খ
১২০ মিটার
গ
১২৪ মিটার
ঘ
১২৮ মিটার

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি আয়তাকার ক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য বিস্তারের ৩ গুণ। ক্ষেত্রটির ক্ষেত্রফল ৭৬৮ বর্গমিটার হলে, ক্ষেত্রটির পরিসীমা কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
আয়তাকার ক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য বিস্তারের ৩ গুণ
ধরি,
আয়তাকার ক্ষেত্রের বিস্তার= ”ক” মিটার
∴ আয়তাকার ক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য = (ক × ৩) = ৩ক মিটার

প্রশ্নমতে,
৩ক × ক = ৭৬৮
⇒ ৩ক^২ = ৭৬৮
⇒ ক^২ = ৭৬৮/৩
⇒ ক^২ = ২৫৬
⇒ ক = √(২৫৬)
∴ ক = ১৬

আয়তাকার ক্ষেত্রের বিস্তার= ১৬ মিটার
∴ আয়তাকার ক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য = (১৬ × ৩) = ৪৮ মিটার

আয়তাকার ক্ষেত্রের পরিসীমা = ২(৪৮ + ১৬) মিটার
= ২ × ৬৪ মিটার
= ১২৮ মিটার

২৬৫.

দুটি বর্গের ক্ষেত্রফলের অনুপাত 25 : 36। তাদের পরিসীমার অনুপাত কত?

ক
ক) 6 : 5
খ
খ) 5 : 6
গ
গ) 5 : 4
ঘ
ঘ) 4 : 5

ব্যাখ্যা

দুটি বর্গের ক্ষেত্রফলের অনুপাত 25:36
১ম বর্গের ক্ষেত্রফল = 25 বর্গ একক
২য় বর্গের ক্ষেত্রফল = 36 বর্গ একক
∴১ম বর্গের বাহু = 5 একক
২য় বর্গের বাহু = 6 একক
∴ পরিসীমার অনুপাত = 4a1 : 4a2 = a1 : a2 = 5 : 6

২৬৬.

একটি বৃত্তের ব্যাসার্ধ ১৪ সেমিঃ। একটি বর্গের ক্ষেত্রফল উক্ত বৃত্তের ক্ষেত্রফলের সমান। বর্গক্ষেত্রের বাহুর দৈর্ঘ্য নির্ণয় করুন।

ক
ক) ২০ সেমি
খ
খ) ২৪.৮১ সেমি
গ
গ) ২৩.৮১ সেমি
ঘ
ঘ) ২১ সেমি

ব্যাখ্যা

বৃত্তের ক্ষেত্রফল = πr² এবং বর্গের ক্ষেত্রফল a²
প্রশ্নমতে,
πr² = a²
π(১৪) ² = a²
a = ২৪.৮১

২৬৭.

একটি বর্গাকার বাগানের ক্ষেত্রফল ২.২৫ হেক্টর। বাগানটির পরিসীমা কত?

ক
৩০০ মিটার
খ
৫০০ মিটার
গ
৪০০ মিটার
ঘ
৬০০ মিটার

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি বর্গাকার বাগানের ক্ষেত্রফল ২.২৫ হেক্টর। বাগানটির পরিসীমা কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
১ হেক্টর = ১০০০০ বর্গমিটার

বাগানের এক বাহু a হলে ক্ষেত্রফল, a² = ২.২৫ × ১০০০০
⇒ a = √২২৫০০
∴ a = ১৫০ মিটার

সুতরাং, বাগানের পরিসীমা = ৪a = (৪ × ১৫০) = ৬০০ মিটার

২৬৮.

আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য 18cm এবং প্রস্থ 10cm । যদি দৈর্ঘ্য বৃদ্ধি করে 25cm করা হয় তবে প্রস্থ কত হলে ক্ষেত্রফল একই থাকে?

ক
7.4cm
খ
7.2cm
গ
7.0cm
ঘ
6.8cm

ব্যাখ্যা

দৈর্ঘ্য = 18cm,
প্রস্থ = 10cm
∴ ক্ষেত্রফল = 18 × 10
= 180 বর্গসেঃমিঃ
ধরি,
নতুন প্রস্থ = bcm
∴ 25 × b = 180
বা, b = 180/25
= 7.2 সেঃমিঃ

২৬৯.

একটি বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা 136 মিটার, এর কর্ণের দৈর্ঘ্য কত সে.মি.?

ক
ক) 28√2 সে.মি.
খ
খ) 26√2 সে.মি.
গ
গ) 32√2 সে.মি.
ঘ
ঘ) 34√2 সে.মি.

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা 136 মিটার, এর কর্ণের দৈর্ঘ্য কত সে.মি.?

সমাধান:
বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা 136 মিটার
বর্গক্ষেত্রের এক বাহুর দৈর্ঘ্য a = 136/4
= 34
বর্গক্ষেত্রের কর্ণের দৈর্ঘ্য = a√2
= 34√2

২৭০.

একটি চতুর্ভুজের দৈর্ঘ্য ৩ ইঞ্চি এবং প্রস্থ ২ ইঞ্চি হলে এর পরিসীমা কত?

ক
৬ ইঞ্চি
খ
১০ বর্গ ইঞ্চি
গ
১০ ইঞ্চি
ঘ
৬ বর্গ ইঞ্চি

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি চতুর্ভুজের দৈর্ঘ্য ৩ ইঞ্চি এবং প্রস্থ ২ ইঞ্চি হলে এর পরিসীমা কত?

সমাধান:
এখানে চতুর্ভুজ বলতে আয়তক্ষেত্র বোঝানো হয়েছে, কারণ দৈর্ঘ্য এবং প্রস্থ উল্লেখ করা হয়েছে, যা সাধারণত আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রে ব্যবহৃত হয়।

দেওয়া আছে,
দৈর্ঘ্য = ৩ ইঞ্চি
প্রস্থ = ২ ইঞ্চি

আমরা জানি,
আয়তক্ষেত্রের পরিসীমা = ২ × (দৈর্ঘ্য + প্রস্থ)
= ২ × (৩ + ২) = ২ × ৫ = ১০ ইঞ্চি

সুতরাং, পরিসীমা ১০ ইঞ্চি

২৭১.

দুটি বর্গের ক্ষেত্রফলের অনুপাত 36 : 81। তাদের পরিসীমার অনুপাত কত?

ক
9 : 8
খ
2 : 3
গ
3 : 2
ঘ
5 : 7

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: দুটি বর্গের ক্ষেত্রফলের অনুপাত 36 : 81। তাদের পরিসীমার অনুপাত কত?

সমাধান:
ধরি,
প্রথম বর্গের বাহু = a
এবং দ্বিতীয় বর্গের বাহু = b

প্রশ্নমতে,
a² : b² = 36 : 81
⇒ a : b = √36 : √81 [উভয় দিকের বর্গমূল নিলে পাই]
⇒ a : b = 6 : 9
∴ a : b = 2 : 3...........(1)

আমরা জানি,
বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা = 4 × বাহু

∴ পরিসীমার অনুপাত = 4a : 4b
= a : b
= 2 : 3 [(1) নং হতে]

অতএব, দুটি বর্গের ক্ষেত্রফলের অনুপাত 36 : 81 হলে, তাদের পরিসীমার অনুপাত = 2 : 3 হবে।

২৭২.

ABCD একটি বর্গ। AB = 2√2 সে.মি. হলে, AC = কত সে.মি.?

ক
ক) 2
খ
খ) 4
গ
গ) 8
ঘ
ঘ) 9

ব্যাখ্যা

AC² = 2AB²
⇒ AC² = 2(2√2)² = 2 × 8 = 16
⇒ AC = 4 সেমি
----------------------------------
বিকল্প পদ্ধতিঃ
কর্ণ, AC = যে কোন এক বাহু(AB) × √2 = 2√2 × √2 = 4

২৭৩.

একটি বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা এর কর্ণের দৈর্ঘ্যের কত গুণ?

ক
ক) 2√2
খ
খ) √2/2
গ
গ) √2
ঘ
ঘ) 2

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা এর কর্ণের দৈর্ঘ্যের কত গুণ?

সমাধান:
বর্গক্ষেত্রের একবাহু = a
বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা = 4a
কর্ণ = √(a² + a²)
= {√(2a²}
= (√2) a

∴ পরিসীমা/ কর্ণ = 4a/√2 a
∴ বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা = 2√2 × বর্গক্ষেত্রের কর্ণ

২৭৪.

10 মিটার/ মিনিট বেগে 40 মিটার দীর্ঘ 30 মিটার প্রস্থ একটি আয়তাকার বাগানের এক কোন থেকে কর্ণ বরাবর হেটে অপর প্রান্তে পৌঁছে বাগানের কিনার দিয়ে হেটে আগের জায়গায় ফেরত আসতে কত মিনিট সময় লাগবে?

ক
ক) 10
খ
খ) 12
গ
গ) 13
ঘ
ঘ) 14

ব্যাখ্যা

কর্ণের দৈর্ঘ্য = √ (40² + 30²)
= 50
মোট দূরত্ব অতিক্রম করতে হবে, (50 + 40 + 30) = 120 মিটার
তাহলে মোট সময় লাগবে, 120 / 10 = 12 মিনিট

২৭৫.

আয়তাকার একটি ক্ষেত্রের প্রস্থ অপেক্ষা দৈর্ঘ্য ১২ মিটার বড় এবং ক্ষেত্রটির পরিসীমা ১৪৪ মিটার হলে ক্ষেত্রটির দৈর্ঘ্য ও প্রস্থ কত?

ক
দৈর্ঘ্য ৪০ মিটার ও প্রস্থ ৩২ মিটার
খ
দৈর্ঘ্য ১৪ মিটার ও প্রস্থ ১৮ মিটার
গ
দৈর্ঘ্য ৪২ মিটার ও প্রস্থ ৩০ মিটার
ঘ
দৈর্ঘ্য ৩০ মিটার ও প্রস্থ ২৬ মিটার

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: আয়তাকার একটি ক্ষেত্রের প্রস্থ অপেক্ষা দৈর্ঘ্য ১২ মিটার বড় এবং ক্ষেত্রটির পরিসীমা ১৪৪ মিটার হলে ক্ষেত্রটির দৈর্ঘ্য ও প্রস্থ কত?

সমাধান:
ধরি,
প্রস্থ = x মিটার
দৈর্ঘ্য = (x + ১২) মিটার

শর্তমতে,
২(x + ১২ + x) = ১৪৪
বা, ২x + ১২ = ৭২
বা, ২x = ৭২ - ১২
বা, ২x = ৬০
বা, x = ৬০/২
∴ x = ৩০
অর্থাৎ, প্রস্থ = ৩০ মিটার
এবং দৈর্ঘ্য = (৩০ + ১২) মিটার = ৪২ মিটার ।

২৭৬.

একটি রম্বসের ক্ষেত্রফল ২৪০ বর্গ সে.মি. এবং এর একটি কর্ণের দৈর্ঘ্য ৩০ সে.মি. হলে অপর কর্ণের দৈর্ঘ্য কত?

ক
১৬ সে.মি.
খ
২০ সে.মি.
গ
২৫ সে.মি.
ঘ
৩০ সে.মি.

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি রম্বসের ক্ষেত্রফল ২৪০ বর্গ সে.মি. এবং এর একটি কর্ণের দৈর্ঘ্য ৩০ সে.মি. হলে অপর কর্ণের দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
রম্বসের ক্ষেত্রফল = (১/২) × একটি কর্ণ × অপর কর্ণ
⇒ ২৪০ = (১/২) × ৩০ × অপর কর্ণ
⇒ অপর কর্ণ = ২৪০/১৫
∴ অপর কর্ণ = ১৬ সে.মি.

২৭৭.

বর্গক্ষেত্রের এক বাহু 4 মিটার হলে কর্ণ কত মিটার?

ক
১৬
খ
4√2
গ
2√4
ঘ
32

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: বর্গক্ষেত্রের এক বাহু 4 মিটার হলে কর্ণ কত মিটার?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
বর্গক্ষেত্রের এক বাহু = 4 মিটার
আমরা জানি,
বর্গক্ষেত্রের কর্ণ = √2 × একবাহুর দৈর্ঘ্য

∴ বর্গক্ষেত্রের কর্ণ = √2 × 4
= 4√2 মি.

২৭৮.

একটি আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য প্রস্থ অপেক্ষা ১২ মিটার বড়। আয়তক্ষেত্রটির পরিসীমা ১৬৮ মিটার হলে, দৈর্ঘ্য কত?

ক
৪৮ মিটার
খ
৭২ মিটার
গ
৩৮ মিটার
ঘ
৫২ মিটার

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য প্রস্থ অপেক্ষা ১২ মিটার বড়। আয়তক্ষেত্রটির পরিসীমা ১৬৮ মিটার হলে, দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
মনে করি,
আয়তক্ষেত্রটির দৈর্ঘ্য = ক মিটার
∴ আয়তক্ষেত্রটির প্রস্থ = (ক - ১২) মিটার
∴ আয়তক্ষেত্রটির পরিসীমা = ২{ক + (ক - ১২)} মিটার
= ২(২ক - ১২) মিটার
= (৪ক - ২৪) মিটার

প্রশ্নমতে,
৪ক - ২৪ = ১৬৮
⇒ ৪ক = ১৬৮ + ২৪
⇒ ৪ক = ২৯২
⇒ ক = ২৯২/৪
∴ ক = ৪৮

অর্থাৎ, আয়তক্ষেত্রটির দৈর্ঘ্য = ৪৮ মিটার

২৭৯.

একটি সামন্তরিকের ভূমির পরিমাণ ২৩ সে.মি. এবং উচ্চতা ৮ সে.মি.। সামন্তরিকের ক্ষেত্রফল কত?

ক
৯২ বর্গ সে.মি.
খ
৩৬৮ বর্গ সে.মি.
গ
১৮৪ বর্গ সে.মি.
ঘ
২১২ বর্গ সে.মি.

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি সামন্তরিকের ভূমির পরিমাণ ২৩ সে.মি. এবং উচ্চতা ৮ সে.মি.। সামন্তরিকের ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
সামন্তরিকের ক্ষেত্রফল = ভূমি × উচ্চতা
= ২৩ × ৮
= ১৮৪ বর্গ সে.মি.

২৮০.

একটি আয়তাক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য প্রস্থের দেড় গুণ। ক্ষেত্রটির ক্ষেত্রফল ৯৬ বর্গমিটার হলে, ক্ষেত্রটির দৈর্ঘ্য কত মিটার?

ক
৬
খ
৮
গ
১০
ঘ
১২
ঙ
কোনটিই নয়।

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি আয়তাক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য প্রস্থের দেড় গুণ। ক্ষেত্রটির ক্ষেত্রফল ৯৬ বর্গমিটার হলে ক্ষেত্রটির দৈর্ঘ্য কত মিটার?

সমাধান:
ধরি,
প্রস্থ = ২x মিটার
∴ দৈর্ঘ্য = (২x) × (৩/২) মিটার
= ৩x মিটার

শর্তমতে,
২x × ৩x = ৯৬
বা, ৬x^২ = ৯৬
বা, x^২ = ৯৬/৬
বা, x^২ = ১৬
∴ x = ৪

ক্ষেত্রটির দৈর্ঘ্য দৈর্ঘ্য = ৮ × (৩/২) = ১২ মিটার

২৮১.

একটি রম্বসের কর্ণ যথাক্রমে ১০ সেন্টিমিটার ও ৮ সেন্টিমিটার হলে রম্বসের ক্ষেত্রফল কত?

ক
১৬ বর্গ সেন্টিমিটার
খ
২০ বর্গ সেন্টিমিটার
গ
৩৬ বর্গ সেন্টিমিটার
ঘ
৪০ বর্গ সেন্টিমিটার

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি রম্বসের কর্ণ যথাক্রমে ১০ সেন্টিমিটার ও ৮ সেন্টিমিটার হলে রম্বসের ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
রম্বসের একটি কর্ণ = ১০ সেন্টিমিটার
অপর কর্ণটি = ৮ সেন্টিমিটার

∴ রম্বসের ক্ষেত্রফল = (১/২) × কর্ণদ্বয়ের গুণফল
= (১/২) × ১০ × ৮
= ৪০ বর্গ সেন্টিমিটার।

২৮২.

একটি আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য ৮ মি. এবং প্রস্থ ৬ মি. হলে, পরিসীমা কত?

ক
ক) ১৪ মি.
খ
খ) ২৮ মি.
গ
গ) ৪৮ মি.
ঘ
ঘ) ৯৬ মি.

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন- একটি আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য ৮ মি. এবং প্রস্থ ৬ মি. হলে, পরিসীমা কত?

সমাধান-
পরিসীমা = ২(দৈর্ঘ্য + প্রস্থ)
= ২ × (৮ + ৬)
= ২ × ১৪
= ২৮

২৮৩.

একটি ট্রাপিজিয়ামের ক্ষেত্রফল ২০ বর্গ সে.মি.। এর সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের দৈর্ঘ্য ৩ সে.মি. ও ৭ সে.মি.। সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব কত?

ক
২ সে.মি.
খ
৩ সে.মি.
গ
৪ সে.মি.
ঘ
৫ সে.মি.

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি ট্রাপিজিয়ামের ক্ষেত্রফল ২০ বর্গ সে.মি.। এর সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের দৈর্ঘ্য ৩ সে.মি. ও ৭ সে.মি.। সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব কত?

সমাধান:
মনেকরি
সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব h = ? সে.মি.
ট্রাপিজিয়ামের ক্ষেত্রফল ২০ বর্গ সে.মি.
সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের দৈর্ঘ্য ৩ সে.মি. ও ৭ সে.মি.

আমরা জানি,
ট্রাপিজিয়ামের ক্ষেত্রফল = 1/2 ×( সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের যোগফল )× সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের মধ্যবর্তী দুরত্ব
বা, ২০ = (১/২) × (৩ + ৭) × h
বা, ২০ = ১০ × h /২
বা, ২০ = ৫h
⇒ h = ৪

২৮৪.

৬০০ মিটার পরিসীমা বিশিষ্ট একটি আয়তাকার মাঠের দৈর্ঘ্য প্রস্থ অপেক্ষা ৮০ মিটার বেশি । মাঠের প্রস্থ কত?

ক
১০০ মিটার
খ
১৯০ মিটার
গ
১২০ মিটার
ঘ
১১০ মিটার

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ৬০০ মিটার পরিসীমা বিশিষ্ট একটি আয়তাকার মাঠের দৈর্ঘ্য প্রস্থ অপেক্ষা ৮০ মিটার বেশি । মাঠের প্রস্থ কত?

সমাধান:
ধরি,
আয়তাকার মাঠের
প্রস্থ = ক মিটার
∴ দৈর্ঘ্য = ক + ৮০

আমরা জানি,
পরিসীমা = ২(দৈর্ঘ্য + প্রস্থ) মিটার
⇒ ২(ক + ক + ৮০) = ৬০০
⇒ ২ক + ৮০ = ৩০০
⇒ ২ক = ৩০০ - ৮০
⇒ ২ক = ২২০
∴ ক = ১১০

∴ আয়তাকার মাঠের প্রস্থ = ১১০ মিটার

২৮৫.

একটি বর্গাকার ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল ১০০ বর্গমিটার, বর্গক্ষেত্রটির পরিসীমা কত?

ক
২৫ মিটার
খ
৪০ মিটার
গ
৩০ মিটার
ঘ
৫০ মিটার

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি বর্গাকার ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল ১০০ বর্গমিটার, বর্গক্ষেত্রটির পরিসীমা কত?

সমাধান:
একটি বর্গাকার ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল ১০০ বর্গমিটার,
একটি বর্গাকার ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = বাহু^২

বাহু^২ = ১০০
⇒ বাহু = √১০০
∴ বাহু = ১০ মিটার

পরিসীমা = ৪ × এক বাহুর দৈর্ঘ্য
= ৪ × ১০ মিটার
= ৪০ মিটার

২৮৬.

৫ সে.মি. ব্যাসার্ধ বিশিষ্ট বৃত্তের অন্তর্লিখিত বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল কত?

ক
ক) ৫০ বর্গমি.
খ
খ) ১০০ বর্গসে.মি.
গ
গ) ৫০ বর্গসে.মি.
ঘ
ঘ) ১৫০ বর্গসে.মি.

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ৫ সে.মি. ব্যাসার্ধ বিশিষ্ট বৃত্তের অন্তর্লিখিত বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
বৃত্তের অন্তর্লিখিত বর্গক্ষেত্রের কর্ণ বৃত্তের ব্যাসের সমান।

ধরি,
বর্গক্ষেত্রের এক বাহুর দৈর্ঘ্য = x সে.মি.
কর্ণের দৈর্ঘ্য = x√২ সে.মি.

∴ x√২ = ১০
⇒ x = ১০/√২

∴ বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = (১০/√২)^২
= ১০০/২
= ৫০ বর্গসে.মি.

২৮৭.

রম্বসের একটি কর্ণের দৈর্ঘ্য অপর কর্ণের দ্বিগুণ। রম্বসের ক্ষেত্রফল ৩৬ বর্গ সে.মি. হলে কর্ণদ্বয়ের সমষ্টি কত?

ক
ক) ১২ সে.মি.
খ
খ) ১৮ সে.মি.
গ
গ) ১০ সে.মি.
ঘ
ঘ) ৯ সে.মি.

ব্যাখ্যা

ধরি
রম্বসের একটি কর্ণ d
রম্বসের অপর কর্ণ ২d
আমরা জানি,
রম্বসের ক্ষেত্রফল = (১/২)× কর্ণদ্বয়ের গুনফল
৩৬ = (১/২) × d × ২d
d^২ = ৩৬
d^২ = ৬^২
d = ৬

কর্ণদ্বয়ের সমষ্টি = ৬ + ১২ = ১৮ সে.মি

২৮৮.

ABCD চতুর্ভূজে AB ‖ CD, AC = BD এবং ∠ A = 90° হলে সঠিক চতুর্ভূজ কোনটি?

ক
ক) ট্রাপিজিয়াম
খ
খ) সামান্তরিক
গ
গ) আয়তক্ষেত্র
ঘ
ঘ) বর্গক্ষেত্র

ব্যাখ্যা

আমরা জানি, চতুর্ভূজের বিপরীত বাহুগুলো পরস্পর সমান ও সমান্তরাল এবং কোণগুলো সমকোণ হলে তাকে আয়তক্ষেত্র বলে।
AB = CD এটা বলা নেই। সেক্ষেত্রে বেস্ট এন্সার আয়তক্ষেত্র বলা যায়। কারণ, বর্গ নিজেও একটা আয়তক্ষেত্র। যেহেতু, AB = CD এটা বলা নেই তাই নিশ্চিতভাবেই এটা বর্গক্ষেত্র সেটা বলা যাচ্ছে না, অর্থাৎ, সকল ক্ষেত্রেই উত্তর বর্গক্ষেত্র নয়। তবে, সকল ক্ষেত্রেই আয়তক্ষেত্র সঠিক উত্তর।

২৮৯.

একটি বর্গের কর্ণের দৈর্ঘ্য ৭√২ একক হলে, ঐ বর্গের ক্ষেত্রফল কত?

ক
ক) ৪২ বর্গ একক
খ
খ) ৯৮ বর্গ একক
গ
গ) ৪৯ বর্গ একক
ঘ
ঘ) ২৮ বর্গ একক

ব্যাখ্যা

মনে করি,
বর্গের দৈর্ঘ্য a
সুতরাং, বর্গের কর্ণ a√2
তাহলে,
a√2 = 7√2
a = 7

বর্গের ক্ষেত্রফল = 7² = 49

২৯০.

একটি বর্গক্ষেত্রের এক বাহুর দৈর্ঘ্য a মিটার হলে, এর ক্ষেত্রফল কত?

ক
ক) a+a মিটার
খ
খ) a বর্গমিটার
গ
গ) a² বর্গমিটার
ঘ
ঘ) 2a মিটার

ব্যাখ্যা

আমরা জানি, বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = বাহু²। তাহলে, একটি বর্গক্ষেত্রের এক বাহুর দৈর্ঘ্য a মিটার হলে, এর ক্ষেত্রফল হবে a²।

২৯১.

একটি বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল ৯০০ বর্গমিটার হলে, এর পরিসীমা কত মিটার হবে?

ক
৩০ মিটার
খ
৪৫ মিটার
গ
৬০ মিটার
ঘ
১২০ মিটার

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল ৯০০ বর্গমিটার হলে, এর পরিসীমা কত মিটার হবে?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = ৯০০ বর্গমিটার

∴ বর্গক্ষেত্রের একবাহুর দৈর্ঘ্য = √৯০০ মিটার
= ৩০ মিটার

আমরা জানি,
বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা = ৪ × একবাহুর দৈর্ঘ্য
= ৪ × ৩০ মিটার
= ১২০ মিটার

∴ বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা = ১২০ মিটার।

২৯২.

একটি বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল ২৫০০ বর্গমিটার হলে বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা কত?

ক
৫০ মিটার
খ
১০০ মিটার
গ
১৫০ মিটার
ঘ
২০০ মিটার

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল ২৫০০ বর্গমিটার হলে বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = ২৫০০ বর্গমিটার
∴ বর্গক্ষেত্রের এক বাহুর দৈর্ঘ্য = √২৫০০ মিটার
= ৫০ মিটার

আমরা জানি,
বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা = ৪ × এক বাহুর দৈর্ঘ্য
= (৫০ × ৪) মিটার
= ২০০ মিটার

∴ বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা = ২০০ মিটার।

২৯৩.

একটি বর্গক্ষেত্র ও একটি রম্বসের ক্ষেত্রফল সমান। রম্বসের কর্ণদ্বয় যথাক্রমে ৮ মিটার ও ৯ মিটার হলে, ববর্গক্ষেত্রের এক বাহুর দৈর্ঘ্য কত?

ক
৫ মিটার
খ
৬ মিটার
গ
৭ মিটার
ঘ
৮ মিটার

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি বর্গক্ষেত্র ও একটি রম্বসের ক্ষেত্রফল সমান। রম্বসের কর্ণদ্বয় যথাক্রমে ৮ মিটার ও ৯ মিটার হলে, ববর্গক্ষেত্রের এক বাহুর দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
রম্বসের ক্ষেত্রফল = (১/২) × কর্ণদ্বয়ের গুণফল
= (১/২) × ৮ × ৯
= ৩৬ বর্গমিটার

বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = ৩৬ বর্গমিটার
∴ বর্গক্ষেত্রের এক বাহুর দৈর্ঘ্য = √৩৬ মিটার
= ৬ মিটার

২৯৪.

একটি বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা ৪০ মিটার। এর কর্ণ দ্বারা গঠিত বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল কত হবে?

ক
ক) ১০০ বর্গমিটার
খ
খ) ৪০√২ বর্গমিটার
গ
গ) ২০০ বর্গমিটার
ঘ
ঘ) ৪০০ বর্গমিটার

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা ৪০ মিটার। এর কর্ণ দ্বারা গঠিত বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল কত হবে?

সমাধান:

দেওয়া আছে,
বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা ৪০ মিটার
বর্গক্ষেত্রটির এক বাহুর দৈর্ঘ্য = ৪০/৪ মিটার = ১০ মিটার

বর্গক্ষেত্রের কর্ণের দৈর্ঘ্য = ১০√২ মিটার

কর্ণটি দ্বারা গঠিত বর্গক্ষেত্রটির ক্ষেত্রফল (১০√২)^২ বর্গমিটার
= ১০০ × ২ বর্গমিটার
= ২০০ বর্গমিটার

২৯৫.

একটি বর্গক্ষেত্রের বাহুর দৈর্ঘ্য ১১ সে. মি.। ঐ বর্গক্ষেত্রের কর্ণের উপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল কত?

ক
১২১ বর্গ সে. মি.
খ
২৪২ বর্গ সে. মি.
গ
৩৪৩ বর্গ সে. মি.
ঘ
৪৪ বর্গ সে. মি.

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি বর্গক্ষেত্রের বাহুর দৈর্ঘ্য ১১ সে. মি.। ঐ বর্গক্ষেত্রের কর্ণের উপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
বর্গের বাহু = ১১ সে. মি.
সুতরাং, কর্ণের দৈর্ঘ্য, a = ১১√২ সে. মি.

∴ a দৈর্ঘ্যের কর্ণের উপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল,
= a^২
= (১১√২)২
= ১২১ × ২
= ২৪২ বর্গ সে. মি.

২৯৬.

একটি বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল (a² + 4a + 4) বর্গমিটার হলে, বাহুর দৈর্ঘ্য কত?

ক
4 + a মিটার
খ
4 - a মিটার
গ
2 - a মিটার
ঘ
2 + a মিটার

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল (a² + 4a + 4) বর্গমিটার হলে, বাহুর দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
একটি বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল a²+ 4a + 4
= a² + 2.2a + 2²
= (a + 2)²

বাহুর দৈর্ঘ্য = a + 2

২৯৭.

বৃত্তস্থ চর্তুভুজের একটি কোণ ৮০° হলে তার বিপরীত কোণটির মান কত?

ক
১০°
খ
১০০°
গ
২০°
ঘ
১২০°

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: বৃত্তস্থ চর্তুভুজের একটি কোণ ৮০° হলে তার বিপরীত কোণটির মান কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের দুটি বিপরীত কোণের সমষ্টি = ১৮০°
∴ একটি কোণ ৮০° হলে, অপরটি কোণটি হবে = (১৮০ - ৮০)°
= ১০০° ।

২৯৮.

একটি সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল একটি বর্গক্ষেত্রর ক্ষেত্রফলের সমান। সামান্তরিকের ভূমি 162 মিটার ও উচ্চতা 8 মিটার হলে, বর্গক্ষেত্রের কর্ণের দৈর্ঘ্য কত?

ক
ক) 6√2 মি.
খ
খ) 36√2 মি.
গ
গ) 5√2 মি.
ঘ
ঘ) 32√2 মি.

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল একটি বর্গক্ষেত্রর ক্ষেত্রফলের সমান। সামান্তরিকের ভূমি 162 মিটার ও উচ্চতা 8 মিটার হলে, বর্গক্ষেত্রের কর্ণের দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল
= (ভূমি × উচ্চতা)
= 162 × 8
= 1296 মি.

ধরি,
বর্গক্ষেত্রের বাহুর দৈর্ঘ্য ক মি.
∴ বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল ক^২ বর্গ মি.
ক^২= 1296
ক = √1296 = 36

বর্গক্ষেত্রের কর্ণের দৈর্ঘ্য = √2ক
= 36√2 মি.

২৯৯.

একটি আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য প্রস্থ অপেক্ষা ২৩ মিটার বড়। আয়তক্ষেত্রটির পরিসীমা ২০৬ মিটার হলে ক্ষেত্রফল কত?

ক
১৫২০ বর্গমিটার
খ
২৪২০ বর্গমিটার
গ
২৪৮০ বর্গমিটার
ঘ
২৫২০ বর্গমিটার

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য প্রস্থ অপেক্ষা ২৩ মিটার বড়। আয়তক্ষেত্রটির পরিসীমা ২০৬ মিটার হলে ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
মনে করি,
আয়তক্ষেত্রটির দৈর্ঘ্য = x মিটার
∴ আয়তক্ষেত্রটির প্রস্থ = (x - ২৩) মিটার
∴ আয়তক্ষেত্রটির পরিসীমা = ২ {x + (x - ২৩)} মিটার
= ২ (২x - ২৩) মিটার
= (৪x - ৪৬) মিটার

প্রশ্নমতে,
৪x - ৪৬ = ২০৬
বা, ৪x = ২০৬ + ৪৬
বা, ৪x = ২৫২
বা, x = ২৫২/৪
∴ x = ৬৩
অর্থাৎ, আয়তক্ষেত্রটির দৈর্ঘ্য = ৬৩ মিটার
∴ আয়তক্ষেত্রটির প্রস্থ = (৬৩ - ২৩) মিটার
= ৪০ মিটার

∴ আয়তক্ষেত্রটির ক্ষেত্রফল = (দৈর্ঘ্য × প্রস্থ) বর্গমিটার
= (৬৩ × ৪০) বর্গমিটার
= ২৫২০ বর্গমিটার ।

৩০০.

একটি রম্বসের কর্ণদ্বয়ের দৈর্ঘ্য ১৮ সে.মি. এবং ১৬ সে.মি.। রম্বসটির ক্ষেত্রফল কত?

ক
১১০ বর্গ সে.মি.
খ
১৪৪ বর্গ সে.মি.
গ
১২৮ বর্গ সে.মি.
ঘ
৯৮ বর্গ সে.মি.

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি রম্বসের কর্ণদ্বয়ের দৈর্ঘ্য ১৮ সে.মি. এবং ১৬ সে.মি.। রম্বসটির ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
রম্বসের ক্ষেত্রফল = (১/২) × কর্ণদ্বয়ের গুণফল
= (১/২) × ১৮ × ১৬ বর্গ সে.মি.
= ১৪৪ বর্গ সে.মি.