চতুর্ভুজ সংক্রান্ত সমস্যা ও সমাধান

PrepBank · পাতা ১৮ / ১৮ · ১,৭০১–১,৭৪৩ / ১,৭৫৪

১,৭০১.

একটি সরল রেখার উপর অঙ্কিত বর্গ ঐ সরলরেখার অর্ধেকের উপর অঙ্কিত বর্গের কত গুণ?

ক
ক) তিনগুন
খ
খ) নয়গুন
গ
গ) দ্বিগুন
ঘ
ঘ) চারগুন

ব্যাখ্যা

ধরি, সরলরেখাটির দৈর্ঘ্য = x
সরলরেখার অর্ধেকের উপর অঙ্কিত বর্গ = x²
সরলরেখার অর্ধেকের উপর অঙ্কিত বর্গ = (x²/2) বা, x²/4
একটি সরল রেখার উপর অঙ্কিত বর্গ ঐ সরলরেখার অর্ধেকের উপর অঙ্কিত বর্গের চারগুন।

১,৭০২.

একটি বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল 50 বর্গমিটার হলে বর্গক্ষেত্রটির কর্ণের দৈর্ঘ্য কত?

ক
25 মিটার
খ
16 মিটার
গ
10 মিটার
ঘ
কোনটিই নয়

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল 50 বর্গমিটার হলে বর্গক্ষেত্রটির কর্ণের দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = 50 বর্গমিটার
আমরা জানি,
বর্গক্ষেত্রের বাহু = √(ক্ষেত্রফল)
= √50
= √(25 × 2)
= 5√2 মিটার

আবার,
বর্গক্ষেত্রের কর্ণ = √2 × বাহুর দৈর্ঘ্য
= √2 × 5√2 মিটার
= (√2 × √2) × 5 মিটার
= 2 × 5 মিটার
= 10 মিটার

অতএব, বর্গক্ষেত্রটির কর্ণের দৈর্ঘ্য হবে 10 মিটার।

১,৭০৩.

একটি বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল ২৫০০ বর্গমিটার হলে বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা কত?

ক
১২০ মিটার
খ
১৬০ মিটার
গ
১৯০ মিটার
ঘ
২০০ মিটার

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল ২৫০০ বর্গমিটার হলে বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = ২৫০০ বর্গমিটার
∴ বর্গক্ষেত্রের এক বাহুর দৈর্ঘ্য = √২৫০০ মিটার
= ৫০ মিটার

আমরা জানি,
বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা = ৪ × এক বাহুর দৈর্ঘ্য
= (৫০ × ৪) মিটার
= ২০০ মিটার

∴ বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা = ২০০ মিটার।

১,৭০৪.

রম্বসের কর্ণদ্বয় পরস্পর d₁ ও d₂ একক হলে, রম্বসটির ক্ষেত্রফল কত বর্গ একক?

ক
ক) d₁d₂
খ
খ) 1/2(d₁d₂)
গ
গ) 2(d₁d₂)
ঘ
ঘ) 4(d₁d₂)

ব্যাখ্যা

আমরা জানি, রম্বসটির ক্ষেত্রফল = ১/২ × কর্ণদ্বয়ের গুনফল।

১,৭০৫.

আয়তাকার একটি বাগানের দৈর্ঘ্য ২০০ মিটার এবং প্রস্থ ১৫০ মিটার। বাগানটিকে পরিচির্যা করার জন্য ঠিক মাঝ দিয়ে ৪ মিটার চওড়া দৈর্ঘ্য ও প্রস্থ বরাবর পথ আছে। পথের ক্ষেত্রফল কত?

ক
১১২৪ বর্গমিটার
খ
১৩৮৪ বর্গমিটার
গ
৯৭২ বর্গমিটার
ঘ
১০৫৬ বর্গমিটার

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: আয়তাকার একটি বাগানের দৈর্ঘ্য ২০০ মিটার এবং প্রস্থ ১৫০ মিটার। বাগানটিকে পরিচির্যা করার জন্য ঠিক মাঝ দিয়ে ৪ মিটার চওড়া দৈর্ঘ্য ও প্রস্থ বরাবর পথ আছে। পথের ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
আয়তাকার বাগানের দৈর্ঘ্য ২০০ মিটার এবং প্রস্থ ১৫০ মিটার।
দৈর্ঘ্য বরাবর পথের ক্ষেত্রফল = ২০০ × ৪ = ৮০০ বর্গমিটার
প্রস্থ বরাবর পথের ক্ষেত্রফল = (১৫০ - ৪) × ৪ = ৫৮৪ বর্গমিটার
পথের মোট ক্ষেত্রফল = (৮০০ + ৫৮৪) বর্গমিটার
= ১৩৮৪ বর্গমিটার

১,৭০৬.

একটি আয়তক্ষেত্রের প্রস্থ অপেক্ষা দৈর্ঘ্য ৪ মিটার বেশি। পরিসীমা ৫৬ মিটার হলে, ক্ষেত্রফল কত?

ক
ক) ১৮২ মিটার
খ
খ) ১৯৬ মিটার
গ
গ) ১৮৬ মিটার
ঘ
ঘ) ১৯২ মিটার

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি আয়তক্ষেত্রের প্রস্থ অপেক্ষা দৈর্ঘ্য ৪ মিটার বেশি। পরিসীমা ৫৬ মিটার হলে, ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
আয়তক্ষেত্রের পরিসীমা = ২(দৈর্ঘ্য + প্রস্থ)
ধরি,
দৈর্ঘ্য = ক মিটার
∴ প্রস্থ = (ক - ৪) মিটার

শর্তমতে,
২(ক + ক - ৪) = ৫৬
বা, ২ক - ৪ = ২৮
বা, ২ক = ২৮ + ৪
বা, ২ক = ৩২
∴ ক = ১৬
সুতরাং প্রস্থ = ক - ৪ = ১৬ - ৪ = ১২

∴ আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = (দৈর্ঘ্য × প্রস্থ) বর্গমিটার
= (১৬ × ১২) বর্গমিটার
= ১৯২ বর্গমিটার

১,৭০৭.

একটি চতুর্ভুজের চারটি বাহুর বিপরীত দুইটি সমান্তরাল। একে বলে -

ক
আয়তক্ষেত্র
খ
বর্গক্ষেত্র
গ
সামান্তরিক
ঘ
ট্রাপিজিয়াম

ব্যাখ্যা

একটি চতুর্ভুজের চারটি বাহুর বিপরীত দুইটি সমান্তরাল। একে ট্রাপিজিয়াম বলে।

উল্লেখ্য যে,
একটি চতুর্ভুজের চারটি বাহুর বিপরীত দুইটি সমান্তরাল ও সমান হলে তা সামান্তরিক।
কারণ -
একটি চতুর্ভুজের চারটি বাহুর বিপরীত দুইটি সমান্তরাল ও সমান হলে, অপর বিপরীত বাহু অবশ্যই সমান্তরাল ও সমান হবে।
তাই একটি চতুর্ভুজের চারটি বাহুর বিপরীত দুইটি সমান্তরাল ও সমান হলে তা সামান্তরিক।

একটি চতুর্ভুজের চারটি বাহুর বিপরীত দুইটি সমান্তরাল ও সমান এবং ১টি কোণ এক সমকোণ হলে তা আয়ত।
কারণ -
একটি চতুর্ভুজের চারটি বাহুর বিপরীত দুইটি সমান্তরাল ও সমান এবং ১টি কোণ এক সমকোণ হলে, উক্ত চতুর্ভুজের অপর বিপরীত বাহু দুইটি অবশ্যই সমান্তরাল ও সমান এবং অবশিষ্ট তিনটি কোণের প্রত্যেকটি অবশ্যই এক সমকোণ হবে। তাই একটি চতুর্ভুজের চারটি বাহুর বিপরীত দুইটি সমান্তরাল ও সমান এবং ১টি কোণ এক সমকোণ হলে তা আয়ত।

কিন্তু একটি চতুর্ভুজের চারটি বাহুর বিপরীত দুইটি সমান্তরাল হলে, উক্ত চতুর্ভুজটি ট্রাপিজিয়াম।
কারণ -
একটি চতুর্ভুজের চারটি বাহুর বিপরীত দুইটি সমান্তরাল কিন্তু বাহু দুইটি সমান নাকি অসমান তা বলা হয়নি। তাই চতুর্ভুজটি ট্রাপিজিয়াম।
মোট কথা - একটি চতুর্ভুজের চারটি বাহুর বিপরীত দুইটি সমান্তরাল হলেই তা ট্রাপিজিয়াম।

১,৭০৮.

১টি বর্গাকার মাঠের ক্ষেত্রফল ৪০০ বর্গমিটার হলে তার পরিসীমা কত?

ক
১০০ মিটার
খ
৬০০ মিটার
গ
৮০ বর্গমিটার
ঘ
৮০ মিটার

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ১টি বর্গাকার মাঠের ক্ষেত্রফল ৪০০ বর্গমিটার হলে তার পরিসীমা কত?

সমাধান:
বর্গাকার ক্ষেত্রফলের সূত্র:
ক্ষেত্রফল = পাশের দৈর্ঘ্য^২
দেওয়া আছে,
ক্ষেত্রফল = ৪০০ বর্গমিটার

পাশের দৈর্ঘ্য = √৪০০ = ২০ মিটার
পরিসীমা = ৪ × পাশের দৈর্ঘ্য
= ৪ × ২০
= ৮০ মিটার

১,৭০৯.

একটি সামান্তরিকক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল 120 বর্গ সে.মি. এবং একটি কর্ণ 24 সে.মি.। কর্ণটির বিপরীত কৌণিক বিন্দু থেকে উক্ত কর্ণের উপর অঙ্কিত লম্বের দৈর্ঘ্য কত?

ক
8 বর্গ সে.মি.
খ
25 বর্গ সে.মি.
গ
5 সে.মি.
ঘ
কোনটিই নয়

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি সামান্তরিকক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল 120 বর্গ সে.মি. এবং একটি কর্ণ 24 সে.মি.। কর্ণটির বিপরীত কৌণিক বিন্দু থেকে উক্ত কর্ণের উপর অঙ্কিত লম্বের দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:

ধরি, সামান্তরিকক্ষেত্রের একটি কর্ণ d = 24 সে. মি.
এবং এর বিপরীত কৌণিক বিন্দু থেকে কর্ণের উপর অঙ্কিত লম্বের দৈর্ঘ্য = h সে.মি.
∴ সামান্তরিকক্ষেত্রটির ক্ষেত্রফল = dh বর্গ সে.মি

প্রশ্নমতে,
dh = 120
বা, h = 120/d
বা, h =120/24
∴ h = 5

∴ নির্ণেয় লম্বের দৈর্ঘ্য 5 সে.মি.

১,৭১০.

একটি বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল 64 বর্গমিঃ হলে এর কর্ণের দৈর্ঘ্য কত মিঃ?

ক
ক) 8 মিঃ
খ
খ) 16 মিঃ
গ
গ) 8√2মিঃ
ঘ
ঘ) 24 মিঃ

ব্যাখ্যা

ক্ষেত্রফল = 64 বর্গমিঃ
∴ বাহুর দৈর্ঘ্য = √64 মিঃ = 8 মিঃ
∴ কর্ণের দৈর্ঘ্য = 8√2 মিঃ

১,৭১১.

একটি বর্গের কর্ণের দৈর্ঘ্য কত হলে এর পরিধি ও ক্ষেত্রফল সমান হবে?

ক
10√2
খ
6√2
গ
4√2
ঘ
2√2

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি বর্গের কর্ণের দৈর্ঘ্য কত হলে এর পরিধি ও ক্ষেত্রফল সমান হবে?

সমাধান:

বর্গের কর্ণ ও বাহুর সম্পর্ক
বর্গের বাহু a হলে কর্ণের দৈর্ঘ্য d হয়:
d = a√2
a = d/√2

আমরা জানি,
ক্ষেত্রফল: A = a²
পরিধি: P = 4a

শর্তমতে,
4a = a²
a² - 4a = 0
a(a - 4) = 0
a = 0 (not possible) / a = 4

কর্ণের দৈর্ঘ্যঃ
d = a√2
d = 4√2

∴কর্ণের দৈর্ঘ্য = 4√2

১,৭১২.

একটি আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য প্রস্থের ২ গুণ। আয়তক্ষেত্রের পরিসীমা ৭২ ফুট হলে, এর ক্ষেত্রফল কত?

ক
১৪৪ বর্গফুট
খ
১১৫২ বর্গফুট
গ
১৬৮ বর্গফুট
ঘ
২৮৮ বর্গফুট

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য প্রস্থের ২ গুণ। আয়তক্ষেত্রের পরিসীমা ৭২ ফুট হলে, এর ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
মনে করি,
আয়তক্ষেত্রের প্রস্থ = ক ফুট
আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য = ২ক ফুট
আয়তক্ষেত্রের পরিসীমা = ২ × (২ক + ক) ফুট
আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = ২ক^২ ব.ফুট

প্রশ্নমতে,
২ × (২ক + ক) = ৭২
⇒ ৩ক = ৩৬
∴ ক = ১২

আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = ২ক^২ ব.ফুট
= ২ × ১২^২
= ২ × ১৪৪
= ২৮৮ ব.ফুট

১,৭১৩.

ABCD রম্বসের AC ও BD কর্ণ দুইটি O বিন্দুতে ছেদ করেছে। ∠ACD = 50° হলে ∠ODC = কত?

ক
40°
খ
90°
গ
30°
ঘ
60°

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ABCD রম্বসের AC ও BD কর্ণ দুইটি O বিন্দুতে ছেদ করেছে। ∠ACD = 50° হলে ∠ODC = কত?

সমাধান:

ABCD রম্বসের কর্ণ ∠ACD = ∠OCD = 50°
রম্বসের কর্ণদ্বয় পরস্পরকে সমকোণে সমদ্বিখণ্ডিত করে।
অর্থাৎ, ∠AOB = ∠BOC = ∠COD = ∠AOD = 90°

ΔDOC-এ
∠ODC + ∠COD + ∠OCD = 180°
বা, ∠ODC + 90° + 50° = 180°
বা, ∠ODC = 180° - 140°
∴ ∠ODC = 40°

১,৭১৪.

একটি রম্বসের ক্ষেত্রফল ৬২ বর্গ সে. মি. হলে, এর কর্ণদ্বয়ের গুণফল কত?

ক
৩৬ বর্গ সে. মি.
খ
১২৪ বর্গ সে.মি.
গ
১০৮ বর্গ সে. মি.
ঘ
৬৪ বর্গ সে. মি.

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি রম্বসের ক্ষেত্রফল ৬২ বর্গ সে. মি. হলে, এর কর্ণদ্বয়ের গুণফল কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
রম্বসের ক্ষেত্রফল = ১/২ × কর্ণদ্বয়ের গুণফল
বা, ৬২ = (১/২) × কর্ণদ্বয়ের গুণফল
বা, কর্ণদ্বয়ের গুণফল = ৬২ × ২
∴ কর্ণদ্বয়ের গুণফল = ১২৪ বর্গ সে.মি.

১,৭১৫.

একটি বর্গাকৃতি বাগানের ক্ষেত্রফল ১ হেক্টর। বাগানটির পরিসীমা কত মিটার?

ক
১০ মিটার
খ
৪০০ মিটার
গ
১০০০ মিটার
ঘ
৬০০ মিটার

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি বর্গাকৃতি বাগানের ক্ষেত্রফল ১ হেক্টর। বাগানটির পরিসীমা কত মিটার?

সমাধান:
আমরা জানি,
১ হেক্টর = ১০০০০ বর্গমিটার
বাগানটির এক পাশের দৈর্ঘ্য = √(১০০০০)
= ১০০ মিটার

∴ বাগানটির পরিসীমা = ৪ × এক পাশের দৈর্ঘ্য
= ৪ × ১০০
= ৪০০ মিটার

১,৭১৬.

নিচের কোন চতুর্ভুজটির এক জোড়া সমান্তরাল বাহু রয়েছে?

ক
আয়ত
খ
রম্বস
গ
সামান্তরিক
ঘ
ট্রাপিজিয়াম

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: নিচের কোন চতুর্ভুজটির এক জোড়া সমান্তরাল বাহু রয়েছে?

সমাধান:
আয়ত (Rectangle): এর দুই জোড়া বিপরীত বাহু সমান্তরাল (এবং সমান)।
রম্বস (Rhombus): এর দুই জোড়া বিপরীত বাহু সমান্তরাল (এবং চারটি বাহুই সমান)।
সামান্তরিক (Parallelogram): এর দুই জোড়া বিপরীত বাহু সমান্তরাল।
ট্রাপিজিয়াম হলো সেই চতুর্ভুজ, যার ঠিক এক জোড়া সমান্তরাল বাহু বিদ্যমান।

• ট্রাপিজিয়াম:
যে চতুর্ভুজের দুটি বাহু পরস্পর সমান্তরাল কিন্তু অসমান অর্থাৎ সমান নয় তাকে ট্রাপিজিয়াম বলে।

ট্রাপিজিয়ামের বৈশিষ্ট্য:
- ট্রাপিজিয়ামের দুইটি বাহু সমান্তরাল,
- সমান্তরাল বাহু দুইটি কখনও সমান হতে পারে না,
- সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের একটিকে ভূমি বলে,
- সমান্তরাল বাহু দুটি ব্যতীত অপর দুটি বাহুকে তীর্যক বাহু বলে,
- তীর্যক বাহু দুইটি সমান হলে উহা একটি সমদ্বিবাহু ট্রাপিজিয়াম।

∴ ট্রাপিজিয়ামের এক জোড়া সমান্তরাল বাহু রয়েছে।

১,৭১৭.

কোন বর্গের ক্ষেত্রফল ৩৬১ বর্গমিটার হলে এর পরিসীমা কত?

ক
৫৬ মিটার
খ
৬৬ মিটার
গ
৭২ মিটার
ঘ
৭৬ মিটার

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: কোন বর্গের ক্ষেত্রফল ৩৬১ বর্গমিটার হলে এর পরিসীমা কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
বর্গের ক্ষেত্রফল = ২৮৯ বর্গমিটার

∴ বর্গের এক বাহুর দৈর্ঘ্য a = √৩৬১ = ১৯ মিটার

আমরা জানি,
বর্গের পরিসীমা = ৪a মিটার
= (৪ × ১৯) মিটার
= ৭৬ মিটার

১,৭১৮.

চতুর্ভুজের চার কোণের অনুপাত 1 : 2 : 2 : 3 হলে, বৃহত্তম কোণ ও ক্ষুদ্রতম কোণের পার্থক্য কত?

ক
60°
খ
90°
গ
120°
ঘ
80°

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: চতুর্ভুজের চার কোণের অনুপাত 1 : 2 : 2 : 3 হলে, বৃহত্তম কোণ ও ক্ষুদ্রতম কোণের পার্থক্য কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
চতুর্ভুজের চার কোণের সমষ্টি = 360°
চার কোণের অনুপাত = 1 : 2 : 2 : 3
অনুপাতগুলোর সমষ্টি = 1 + 2 + 2 + 3 = 8

ক্ষুদ্রতম কোণ = (1/8) × 360° = 45°
বৃহত্তম কোণ = (3/8) × 360° = 135°
∴ বৃহত্তম কোণ ও ক্ষুদ্রতম কোণের পার্থক্য = 135° - 45°
= 90°

১,৭১৯.

একটি বর্গাকার বাগানের ক্ষেত্রফল ৯০০ বর্গমিটার। এর চারদিকে বেড়া দিতে ৯৬০ টাকা খরচ হলে, প্রতি মিটার বেড়া বাবদ কত টাকা খরচ হবে?

ক
৫ টাকা
খ
৬ টাকা
গ
৭ টাকা
ঘ
৮ টাকা

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি বর্গাকার বাগানের ক্ষেত্রফল ৯০০ বর্গমিটার। এর চারদিকে বেড়া দিতে ৯৬০ টাকা খরচ হলে, প্রতি মিটার বেড়া বাবদ কত টাকা খরচ হবে?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
বর্গাকার বাগানের ক্ষেত্রফল = ৯০০ বর্গমিটার
বর্গাকার বাগানের দৈর্ঘ্য = √৯০০ মিটার = ৩০ মিটার

বাগানের পরিসীমা = ৩০ × ৪ মিটার = ১২০ মিটার

∴ প্রতি মিটারে খরচ হয় = (৯৬০/১২০) টাকা
= ৮ টাকা

১,৭২০.

একটি ট্রাপিজিয়ামের ক্ষেত্রফল ২৫ বর্গফুট। যদি উচ্চতা ২ ফুট এবং সমান্তরাল বাহুদুইটি একটি অপরটির থেকে ১ ফুট বেশি হলে বড় বাহুটির দৈর্ঘ্য কত?

ক
১০ ফুট
খ
১২ ফুট
গ
১৩ ফুট
ঘ
২৫ ফুট

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি ট্রাপিজিয়ামের ক্ষেত্রফল ২৫ বর্গফুট। যদি উচ্চতা ২ ফুট এবং সমান্তরাল বাহুদুইটি একটি অপরটির থেকে ১ ফুট বেশি হলে বড় বাহুটির দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
মনে করি,
বড় বাহুর দৈর্ঘ্য = ক ফুট
∴ ছোট বাহুর দৈর্ঘ্য = (ক - ১) ফুট

দেওয়া আছে,
উচ্চতা = ২ ফুট
ক্ষেত্রফল = ২৫ বর্গফুট

প্রশ্নমতে,
(১/২) × উচ্চতা × {ক + (ক - ১)} = ২৫
⇒ (১/২) × ২ × (২ক - ১) = ২৫
⇒ ২ক - ১ = ২৫
⇒ ২ক = ২৫ + ১
⇒ ২ক = ২৬
⇒ ক = ২৬/২
⇒ ক = ১৩

অর্থাৎ বড় বাহুটির দৈর্ঘ্য = ১৩ ফুট

১,৭২১.

আয়তক্ষেত্র A এর পরিধি ২০০ মিটার। আয়তক্ষেত্র B এর দৈর্ঘ্য আয়তক্ষেত্র A এর দৈর্ঘ্যের চেয়ে ১০ মিটার কম এবং আয়তক্ষেত্র B এর প্রস্থ আয়তক্ষেত্র A এর প্রস্থের চেয়ে ১০ মিটার বেশি। আয়তক্ষেত্র B একটি বর্গক্ষেত্র হলে, আয়তক্ষেত্র A এর প্রস্থ মিটারে কত?

ক
৪০ মিটার
খ
৩০ মিটার
গ
২৫ মিটার
ঘ
২০ মিটার

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: আয়তক্ষেত্র A এর পরিধি ২০০ মিটার। আয়তক্ষেত্র B এর দৈর্ঘ্য আয়তক্ষেত্র A এর দৈর্ঘ্যের চেয়ে ১০ মিটার কম এবং আয়তক্ষেত্র B এর প্রস্থ আয়তক্ষেত্র A এর প্রস্থের চেয়ে ১০ মিটার বেশি। আয়তক্ষেত্র B একটি বর্গক্ষেত্র হলে, আয়তক্ষেত্র A এর প্রস্থ মিটারে কত?

সমাধান:
ধরি,
আয়তক্ষেত্র A এর দৈর্ঘ্য x মিটার
আয়তক্ষেত্র A এর প্রস্থ y মিটার
∴ আয়তক্ষেত্র A এর পরিধি = ২(x + y) = ২০০ মিটার ......... (১)

∴ আয়তক্ষেত্র B এর দৈর্ঘ্য = x - ১০ মিটার
∴ আয়তক্ষেত্র B এর প্রস্থ = y + ১০ মিটার

আয়তক্ষেত্র B একটি বর্গক্ষেত্র,
∴ x - ১০ = y + ১০
⇒ x = y + ১০ + ১০
∴ x = y + ২০

(১) নং এ x এর মান বসিয়ে পাই,
২(x + y) = ২০০
বা, ২x + ২y = ২০০
বা, x + y = ১০০
বা, y + ২০ + y = ১০০
বা, ২y = ৮০
∴ y = ৪০

১,৭২২.

O কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তে, ∠B + ∠D= 180°, ∠A + ∠C সমান কত?

ক
ক) 100°
খ
খ) 120°
গ
গ) 180°
ঘ
ঘ) 280°

ব্যাখ্যা

∠A +∠B + ∠C+ ∠D = 360°
∠A + ∠C + 180° = 360°
∠A + ∠C= 360° - 180°
∠A + ∠C = 180°

১,৭২৩.

একটি আয়তক্ষেত্রের প্রস্থ তার দৈর্ঘ্যের তিন-চতুর্থাংশ। যদি কর্ণ 20 মি. হয়, তবে ক্ষেত্রফল কত?

ক
ক) 144 বর্গ মি.
খ
খ) 192 বর্গ মি.
গ
গ) 216 বর্গ মি.
ঘ
ঘ) 256 বর্গ মি.

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন- একটি আয়তক্ষেত্রের প্রস্থ তার দৈর্ঘ্যের তিন-চতুর্থাংশ। যদি কর্ণ 20 মি. হয়, তবে ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান-
ধরি,
দৈর্ঘ্য = 4x মি.
প্রস্থ = 3x মি.

প্রশ্নমতে,
(4x)²+ (3x)² = 20²
⇒ 16x² + 9x²= 400
⇒ 25x² = 400
⇒ x² = 16
⇒ x = 4

দৈর্ঘ্য = 4 × 4 = 16 মি.
প্রস্থ = 3 × 4 = 12 মি.

ক্ষেত্রফল = 16 × 12 = 192 বর্গ মি.

১,৭২৪.

বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা ২০ মিটার হলে বর্গক্ষেত্রটির কর্ণের দৈর্ঘ্য কত?

ক
ক) ৫ মিটার
খ
খ) ৪ মিটার
গ
গ) ৫√২ মিটার
ঘ
ঘ) ২৫√২ মিটার

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা ২০ মিটার হলে বর্গক্ষেত্রটির কর্ণের দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:

দেওয়া আছে,
বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা ২০ মিটার
বর্গক্ষেত্রের বাহুর দৈর্ঘ্য ২০/৪ মিটার = ৫ মিটার

বর্গক্ষেত্রের কর্ণের দৈর্ঘ্য = ৫√২ মিটার

১,৭২৫.

যে চতুর্ভুজের দুই জোড়া সন্নিহিত বাহু সমান, তাকে............ বলে।

ক
আয়ত
খ
রম্বস
গ
ট্রাপিজিয়াম
ঘ
ঘুড়ি

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: যে চতুর্ভুজের দুই জোড়া সন্নিহিত বাহু সমান, তাকে............ বলে।

সমাধান:
ঘুড়ি : যে চতুর্ভুজের দুই জোড়া সন্নিহিত বাহু সমান, তাকে ঘুড়ি বলে।

ট্রাপিজিয়াম : যে চতুর্ভুজের এক জোড়া বিপরীত বাহু সমান্তরাল, তাকে ট্রাপিজিয়াম বলে।

রম্বস : যে চতুর্ভুজের বিপরীত বাহুগুলো সমান ও সমান্তরাল, কিন্তু একটি কোণ ও সমকোণ নয় তাকে রম্বস বলে।

আয়ত : যে সামান্তরিকের একটি কোণ সমকোণ তাকে আয়ত বলে।

উৎস : ৮ম শ্রেণির গণিত বোর্ড বইয়ের ১২৬ পৃষ্ঠা

১,৭২৬.

ABCD বৃত্তস্থ চতুভূর্জের 1/2 ∠C = 55° হলে, ∠A = ?

ক
ক) 55°
খ
খ) 110°
গ
গ) 70°
ঘ
ঘ) 140°

ব্যাখ্যা

1/2 ∠C = 55°
∴ ∠C = 110°
∴ ∠A = 180° - 110°
= 70°

১,৭২৭.

একটি রম্বসক্ষেত্রের কর্ণ যথাক্রমে ৫.৪ সে.মি. ও ৪.৫ সে.মি.। এর ক্ষেত্রফল কত বর্গ সে.মি.?

ক
১৪.২ বর্গ সে.মি.
খ
১১.১১ বর্গ সে.মি.
গ
১২.১৫ বর্গ সে.মি.
ঘ
১১.৭৫ বর্গ সে.মি.

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি রম্বসক্ষেত্রের কর্ণদ্বয় যথাক্রমে ৫.৪ সে.মি. ও ৪.৫ সে.মি.। এর ক্ষেত্রফল কত বর্গ সে.মি.?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
কর্ণদ্বয় যথাক্রমে ৫.৪ সে.মি. ও ৪.৫ সে.মি.

আমরা জানি,
রম্বসক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = (১/২) × (কর্ণদ্বয়ের গুণফল) বর্গ একক
= (১/২) × (৫.৪ × ৪.৫)
= ২৪.৩/২
= ১২.১৫ বর্গ সে.মি.

সুতরাং, রম্বসক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল ১২.১৫ বর্গ সে.মি.।

১,৭২৮.

একটি বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল ও একটি রম্বসের ক্ষেত্রফলের সমান। বর্গক্ষেত্রের একবাহুর দৈর্ঘ্য 12 সে.মি. এবং রম্বসের একটি কর্ণ 16 সে.মি. হলে রম্বসটির অপর কর্ণের দৈর্ঘ্য কত?

ক
18 সে.মি.
খ
20 সে.মি.
গ
22 সে.মি.
ঘ
16 সে.মি.

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল ও একটি রম্বসের ক্ষেত্রফলের সমান। বর্গক্ষেত্রের একবাহুর দৈর্ঘ্য 12 সে.মি. এবং রম্বসের একটি কর্ণ 16 সে.মি. হলে রম্বসটির অপর কর্ণের দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
মনেকরি
রম্বসটির অপর কর্ণের দৈর্ঘ্য = x সে.মি.

বর্গক্ষেত্রের একবাহুর দৈর্ঘ্য 12 সে.মি.
বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = 144 বর্গ সে.মি.
রম্বসের ক্ষেত্রফল= 144 বর্গ সে.মি.
রম্বসের একটি কর্ণ = 16 সে.মি.

আমরা জানি,
রম্বসের ক্ষেত্রফল = (1/2) × (কর্ণদ্বয়ের গুণফল)
⇒ 144 = (1/2)(x × 16)
⇒ 8x = 144
∴ x = 18

∴ রম্বসটির অপর কর্ণের দৈর্ঘ্য 18 সে.মি.

১,৭২৯.

একটি ট্রাপিজিয়ামের সমান্তরাল বাহু দুইটি যথাক্রমে 12 সে.মি. ও 9 সে.মি. এবং লম্ব দূরত্ব 4 সে.মি.। ট্রাপিজিয়ামটির ক্ষেত্রফল কত?

ক
7.5 বর্গ সে.মি.
খ
21 বর্গ সে.মি.
গ
42 বর্গ সে.মি.
ঘ
21√2 বর্গ সে.মি.

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি ট্রাপিজিয়ামের সমান্তরাল বাহু দুইটি যথাক্রমে 12 সে.মি. ও 9 সে.মি. এবং লম্ব দূরত্ব 4 সে.মি.। ট্রাপিজিয়ামটির ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
ট্রাপিজিয়ামের সমান্তরাল দুই বাহু 12 সে.মি. ও 9 সে.মি.
লম্ব দূরত্ব = 4 সে.মি.

আমরা জানি,
ট্রাপিজিয়ামের ক্ষেত্রফল = (1/2) × সমান্তরাল বাহু দুইটির সমষ্টি × উচ্চতা
= (1/2) × (12 + 9) × 4 বর্গ সে.মি.
= (1/2) × 21 × 4 বর্গ সে.মি.
= 42 বর্গ সে.মি.

১,৭৩০.

একটি আয়তাকার মাঠের দৈর্ঘ্য প্রস্থের দ্বিগুণ। মাঠের দৈর্ঘ্য ১২ মিটার হলে মাঠটির পরিসীমা কত মিটার?

ক
ক) ৩২
খ
খ) ৩৬
গ
গ) ৪৬
ঘ
ঘ) কোনোটিই নয়

ব্যাখ্যা

প্রশ্নমতে, দৈর্ঘ্য 2x মিটার = ১২ মিটার হলে, প্রস্থ x = ৬ মিটার।
∴ পরিসীমা = ২(৬ + ১২) = ৩৬ মিটার

১,৭৩১.

একটি রম্বসের প্রতিটি বাহুর দৈর্ঘ্য 20 সেমি, একটি কর্ণের দৈর্ঘ্য 32 সেমি হলে, রম্বসটির ক্ষেত্রফল কত?

ক
156 বর্গ সেন্টিমিটার
খ
246 বর্গ সেন্টিমিটার
গ
384 বর্গ সেন্টিমিটার
ঘ
412 বর্গ সেন্টিমিটার

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি রম্বসের প্রতিটি বাহুর দৈর্ঘ্য 20 সেমি, একটি কর্ণের দৈর্ঘ্য 32 সেমি হলে, রম্বসটির ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:

আমরা জানি,
রম্বসের কর্ণদ্বয় পরস্পরকে সমকোণে সমদ্বিখন্ডিত করে।
একটি কর্ণের খন্ডিত অংশের দৈর্ঘ্য = 32/2 = 16 সেন্টিমিটার
∴ অপর কর্ণের খন্ডিত অংশের দৈর্ঘ্য = √(20² - 16²) = √144 = 12
∴ অপর কর্ণের দৈর্ঘ্য = 12 × 2 = 24

∴ রম্বসের ক্ষেত্রফল = 1/2 × দুই কর্ণের গুনফল
= (1/2) × 24 × 32
= 384 বর্গ সেন্টিমিটার

১,৭৩২.

একটি রম্বসের কর্ণদ্বয়ের দৈর্ঘ্য ৪ সে.মি. এবং ৬ সে.মি.। এর ক্ষেত্রফল কত?

ক
ক) ৪৮ বর্গ সে.মি.
খ
খ) ১০ বর্গ সে.মি.
গ
গ) ১২ বর্গ সে.মি.
ঘ
ঘ) ২৪ বর্গ সে.মি.

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি রম্বসের কর্ণদ্বয়ের দৈর্ঘ্য ৪ সে.মি. এবং ৬ সে.মি.। এর ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
রম্বসের ক্ষেত্রফল= ১/২ × কর্ণদ্বয়ের গুণফল
= ১/২ × ৪ × ৬ = ১২ বর্গ সে.মি.

১,৭৩৩.

একটি আয়তাকার ঘরের দৈর্ঘ্য বিস্তারের দেড় গুণ। এর ক্ষেত্রফল ২১৬ বর্গ মিটার হলে পরিসীমা কত মিটার?

ক
ক) ৩০
খ
খ) ৬০
গ
গ) ৪০
ঘ
ঘ) ৫০

ব্যাখ্যা

ধরি, আয়তাকার ঘরের প্রস্থ x মিটার এবং দৈর্ঘ্য ১.৫x মিটার বা ৩x/২ মিটার
প্রশ্নমতে,
x × ৩x/২ = ২১৬
⇒ ৩x² = ৪৩২
⇒ x² = ১৪৪
∴ x = ১২
অর্থাৎ প্রস্থ x = ১২ মিটার এবং দৈর্ঘ্য ৩x/২ = ৩×১২/২ = ১৮ মিটার
∴ আয়তক্ষেত্রটির পরিসীমা = ২(১২+১৮) = ৬০ মিটার

১,৭৩৪.

চতুর্ভুজের চারটি কোণ যথাক্রমে x°, (2x)°, (3x)°, (2x)° হলে, বৃহত্তম কোণের মান কত?

ক
45°
খ
90°
গ
155°
ঘ
135°

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: চতুর্ভুজের চারটি কোণ যথাক্রমে x°, (2x)°, (3x)°, (2x)° হলে, বৃহত্তম কোণের মান কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
চতুর্ভুজের চার কোণের সমষ্টি দুই সমকোণ বা 360°।

ধরি,
চতুর্ভুজের ১ম কোণ x°
চতুর্ভুজের ২য় কোণ 2x°
চতুর্ভুজের ৩য় কোণ 3x°
চতুর্ভুজের ৪র্থ কোণ 2x°

শর্তমতে,
x° + 2x° + 3x° + 2x° = 360°
⇒ 8x° = 360°
⇒ x° = 360°/8
∴ x = 45°

∴ বৃহত্তম কোণের মান 3 × 45° = 135°

১,৭৩৫.

সামান্তরিকের যেকোনো দুইটি সন্নিহিত কোণের সমদ্বিখণ্ডক -

ক
ক) পরস্পর সমান্তরাল
খ
খ) পরস্পর লম্ব
গ
গ) পরস্পরকে ২ : ১ অনুপাতে বিভক্ত করে
ঘ
ঘ) একটি বিন্দুতে ছেদ করে না

ব্যাখ্যা

- সামান্তরিকের যেকোনো দুইটি সন্নিহিত কোণের সমদ্বিখণ্ডক পরস্পর লম্ব।

এখানে, ABCD সামান্তরিকের ∠A এর সমদ্বিখণ্ডক AO এবং সন্নিহিত কোণ ∠B এর সমদ্বিখণ্ডক BO পরস্পর লম্ব।

সূত্র- ৮ম শ্রেণির গণিত বই।

১,৭৩৬.

একটি আয়তাকার মাঠের দৈর্ঘ্য ৫০ মিটার ও প্রস্থ ৪০ মিটার। মাঠের ভিতরে চারপাশে ৭.৫ মিটার চওড়া একটি গ্যালারি আছে? গ্যালারির প্রতি ৩ বর্গমিটার জায়গায় একটি চেয়ার বসানো গেলে, উক্ত গ্যালারিতে কয়টি চেয়ার বসানো যাবে?

ক
৩৫০ টি
খ
৩৭৫ টি
গ
৪০০ টি
ঘ
৪২৫ টি

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি আয়তাকার মাঠের দৈর্ঘ্য ৫০ মিটার ও প্রস্থ ৪০ মিটার। মাঠের ভিতরে চারপাশে ৭.৫ মিটার চওড়া একটি গ্যালারি আছে? গ্যালারির প্রতি ৩ বর্গমিটার জায়গায় একটি চেয়ার বসানো গেলে, উক্ত গ্যালারিতে কয়টি চেয়ার বসানো যাবে?

সমাধান:
মাঠের ক্ষেত্রফল = (৫০ × ৪০) = ২০০০ বর্গমিটার
গ্যালারি বাদে মাঠের দৈর্ঘ্য = ৫০ - (২ × ৭.৫) = ৩৫ মিটার
গ্যালারি বাদে মাঠের প্রস্থ = ৪০ - (২ × ৭.৫) = ২৫ মিটার

গ্যালারি বাদে মাঠের ক্ষেত্রফল = (৩৫ × ২৫) = ৮৭৫ বর্গমিটার
গ্যালারির ক্ষেত্রফল =(২০০০ - ৮৭৫) = ১১২৫ বর্গমিটার

∴ মোট চেয়ার বসানো যাবে = ১১২৫/৩ টি
= ৩৭৫ টি

১,৭৩৭.

একটি চতুর্ভুজের ৪ কোণের সমষ্টি কত?

ক
১৮০°
খ
২৭০°
গ
৩৬০°
ঘ
৯০°

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি চর্তুভুজের ৪ কোণের সমষ্টি কত?

সমাধান:
একটি চর্তুভুজের ৪ কোণের সমষ্টি = ৩৬০°
বৃত্তস্থ চতুর্তুজের দুটি বিপরীত কোনের সমষ্টি = ১৮০°

১,৭৩৮.

একটি আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য ২৫ মিটার ও প্রস্থ ২০ মিটার। আয়তক্ষেত্রটির পরিসীমা কত?

ক
১১৫ মিটার
খ
১০৫ মিটার
গ
৯০ মিটার
ঘ
১২০ মিটার

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য ২৫ মিটার ও প্রস্থ ২০ মিটার। আয়তক্ষেত্রটির পরিসীমা কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
চতুর্ভুজের পরিসীমা = ২(দৈর্ঘ্য + প্রস্থ)
= ২(২৫ + ২০) মিটার
= ৯০ মিটার

১,৭৩৯.

50 বর্গমিটার ক্ষেত্রফল বিশিষ্ট একটি রম্বসের একটি কর্ণ অপর কর্ণটির চারগুণ হলে ক্ষুদ্রতম কর্ণের দৈর্ঘ্য কত মিটার?

ক
15 মিটার
খ
14 মিটার
গ
5 মিটার
ঘ
10 মিটার

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 50 বর্গমিটার ক্ষেত্রফল বিশিষ্ট একটি রম্বসের একটি কর্ণ অপর কর্ণটির চারগুণ হলে ক্ষুদ্রতম কর্ণের দৈর্ঘ্য কত মিটার?

সমাধান:
ধরি,
রম্বসটির ক্ষুদ্রতম কর্ণের দৈর্ঘ্য, d₁ = x মিটার
বৃহত্তম কর্ণের দৈর্ঘ্য, d₂ = 4x মিটার

আমরা জানি,
রম্বসের দুটি কর্ণ d₁ এবং d₂ হলে, এর ক্ষেত্রফল = (1/2) × d₁ × d₂

প্রশ্নমতে,
(1/2) × x × 4x = 50
⇒ 2x² = 50
⇒ x² = 25 = 5²
∴ x = 5

∴ ক্ষুদ্রতম কর্ণের দৈর্ঘ্য = 5 মিটার

১,৭৪০.

একটি আয়তাকার বাগানের ক্ষেত্রফল ১৩৫০ বর্গমিটার এবং প্রস্থ ২৫ মিটার হলে, বাগানটির দৈর্ঘ্য কত?

ক
৪৮ মিটার
খ
৫৪ মিটার
গ
৫০ মিটার
ঘ
৫৭ মিটার

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি আয়তাকার বাগানের ক্ষেত্রফল ১৩৫০ বর্গমিটার এবং প্রস্থ ২৫ মিটার হলে, বাগানটির দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
আয়তাকার বাগানের ক্ষেত্রফল = ১৩৫০ বর্গমিটার
এবং প্রস্থ = ২৫ মিটার

আমরা জানি,
দৈর্ঘ্য × প্রস্থ = ক্ষেত্রফল
⇒ দৈর্ঘ্য × ২৫ = ১৩৫০
⇒ দৈর্ঘ্য = ১৩৫০ ÷ ২৫
∴ দৈর্ঘ্য = ৫৪

১,৭৪১.

বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের একটি কোণ ৭০° হলে তার বিপরীত কোণের মান কত?

ক
১১০°
খ
২৯০°
গ
২০°
ঘ
১০৫°

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের একটি কোণ ৭০° হলে তার বিপরীত কোণের মান কত?

সমাধান:
আমরা জানি, বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের বিপরীত কোণগুলোর সমষ্টি ১৮০°।
দেওয়া আছে, একটি কোণ = ৭০°
সুতরাং, বিপরীত কোণটির মান হবে = (১৮০ - ৭০)°
= ১১০°
অতএব, বিপরীত কোণটির মান ১১০°।

১,৭৪২.

একটি আয়তাকার ঘরের দৈর্ঘ্য, প্রস্থের দ্বিগুণ। এর ক্ষেত্রফল ৩৩৮ বর্গমিটার হলে, পরিসীমা কত?

ক
৩৯ মিটার
খ
৫৬ মিটার
গ
৬৪ মিটার
ঘ
৭৮ মিটার

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি আয়তাকার ঘরের দৈর্ঘ্য, প্রস্থের দ্বিগুণ। এর ক্ষেত্রফল ৩৩৮ বর্গমিটার হলে, পরিসীমা কত?

সমাধান:
ধরি,
প্রস্থ = ক মিটার
তাহলে, দৈর্ঘ্য = ২ক মিটার

প্রশ্নমতে,
২ক × ক = ৩৩৮
⇒ ২ক^২= ৩৩৮
⇒ ক^২ = ১৬৯
∴ ক = ১৩

এখন, প্রস্থ = ১৩ মিটার
দৈর্ঘ্য = ১৩ × ২ = ২৬ মিটার
∴ পরিসীমা = ২(১৩ + ২৬)
= ৭৮ মিটার

১,৭৪৩.

একটি সামন্তরিকের উচ্চতা ভূমির তিনগুণ এবং ক্ষেত্রফল ৪৩২ বর্গমিটার। ক্ষেত্রটির উচ্চতা কত?

ক
৩২ মিটার
খ
৩৬ মিটার
গ
৪৮ মিটার
ঘ
২৪ মিটার

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি সামন্তরিকের উচ্চতা ভূমির তিনগুণ এবং ক্ষেত্রফল ৪৩২ বর্গমিটার। ক্ষেত্রটির উচ্চতা কত?

সমাধান:
ধরি,
সামন্তরিকের ভূমি = ক মিটার
সামন্তরিকের উচ্চতা = ৩ক মিটার

আমরা জানি,
সামন্তরিকের ক্ষেত্রফল = ভূমি × উচ্চতা
সামন্তরিকের ক্ষেত্রফল = (ক × ৩ক) বর্গমিটার
= ৩ক^২ বর্গমিটার

শর্তমতে,
৩ক^২ = ৪৩২
⇒ ক^২ = ৪৩২/৩
⇒ ক^২ = ১৪৪
∴ ক = ১২

∴ উচ্চতা = (৩ × ১২) = ৩৬ মিটার