চতুর্ভুজ সংক্রান্ত সমস্যা ও সমাধান

আমার জানি,
1 হেক্টর =10000 বর্গমিটার
সুতরাং বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল a² =10000
বা, a = 100
সুতরাং,
বর্গক্ষেত্রের কর্ণের দৈর্ঘ্য √2a = √2 × 100
= 100√2

আমরা জানি,
রম্বসের ক্ষেত্রফল = (1/2)× কর্ণদ্বয়ের গুনফল
বা, 120 = (1/2)× ২য় কর্ণ × 24
বা, 120/24 =(1/2)× ২য় কর্ণ = অপর কর্ণটির বিপরীত কৌণিক বিন্দু হতে কর্ণের উপর অঙ্কিত লম্বের দৈর্ঘ্য
বা, অপর কর্ণটির বিপরীত কৌণিক বিন্দু হতে কর্ণের উপর অঙ্কিত লম্বের দৈর্ঘ্য = 5 cm.

প্রশ্ন: একটি আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য প্রস্থ অপেক্ষা ২৩ মিটার বড়। আয়তক্ষেত্রটির পরিসীমা ২০৬ মিটার হলে আয়তক্ষেত্রটির প্রস্থ কত মিটার?

সমাধান: 
মনে করি, 
আয়তক্ষেত্রটির দৈর্ঘ্য = x মিটার 
∴ আয়তক্ষেত্রটির প্রস্থ = (x - ২৩) মিটার
∴ আয়তক্ষেত্রটির পরিসীমা = ২{x + (x - ২৩)} মিটার
= ২(২x - ২৩) মিটার
= (৪x - ৪৬) মিটার

প্রশ্নমতে,
৪x - ৪৬ = ২০৬
বা, ৪x = ২০৬ + ৪৬ 
বা, ৪x = ২৫২ 
বা, x = ২৫২/৪ 
∴ x = ৬৩
 আয়তক্ষেত্রটির দৈর্ঘ্য = ৬৩ মিটার

∴ আয়তক্ষেত্রটির প্রস্থ = (৬৩ - ২৩) মিটার
= ৪০ মিটার। 

(৯১ - ৫১) = ৪০ এবং
ট্রাপিজিয়ামের একটি ত্রিভুজের অর্ধপরিসীমা = (১৩ + ৩৭ + ৪০)/২ = ৪৫
সুতরাং, ১/২ × ৪০ × ক = √{৪৫(৪৫ -১৩)(৪৫ - ৩৭)(৪৫ - ৪০)}
বা, ১/২ × ৪০ × ক = √৫৭৬০০
বা, ১/২ × ৪০ × ক = ২৪০
বা, ক = ১২
ট্রাপিজিয়ামটির ক্ষেত্রফল = ১/২(৫১ + ৯১) × ১২ = ৮৫২ বর্গমিটার।

প্রশ্ন: একটি বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল ১০০ বর্গমিটার। এই ক্ষেত্রের প্রতিটি বাহু ১০% বৃদ্ধি করা হলে ক্ষেত্রফল শতকরা কত ভাগ বৃদ্ধি পাবে?

সমাধান: 
দেওয়া আছে,
ক্ষেত্রফল = ১০০ বর্গমিটার
∴ প্রতিটি বাহু = √১০০ = ১০ মিটার

এখন প্রতিটি বাহু ১০% বৃদ্ধি করলে,
নতুন বাহু = ১০ + ১০ এর ১০% = ১০ + (১০০/১০০) = ১০ + ১ = ১১ মিটার

∴ নতুন ক্ষেত্রফল = ১১ × ১১ = ১২১ বর্গমিটার

∴ ক্ষেত্রফল বৃদ্ধি পেয়েছে = ১২১ - ১০০ = ২১ বর্গমিটার

শতকরা বৃদ্ধি = (বৃদ্ধি/মূল ক্ষেত্রফল) × ১০০
= (২১/১০০) × ১০০
= ২১%

সুতরাং, বর্গক্ষেত্রের প্রতিটি বাহু ১০% বৃদ্ধি করা হলে, এর ক্ষেত্রফল ২১% বৃদ্ধি পাবে। 

আমরা জানি, সামান্তরিকের পরিসীমা = 2(a+b)
= 2(8 + 6)
= 28 সে.মি.

প্রশ্ন: যদি কোনো বর্গক্ষেত্রের প্রত্যেক বাহুর পরিমাণ 10% বৃদ্ধি পায়, তবে তার ক্ষেত্রফল কত বৃদ্ধি পাবে?

সমাধান:
বর্গক্ষেত্রের প্রত্যেক বাহুর দৈর্ঘ্য ক 
বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল ক^২ বর্গ একক

১০% বৃদ্ধিতে,
প্রত্যেক বাহুর দৈর্ঘ্য
= (ক + ক এর ১০%) একক
= ক + ১০ক/১০০
= ক + ক/১০
= ১১ক/১০ একক

ক্ষেত্রফল = ১২১ক^২/১০০

ক্ষেত্রফল বৃদ্ধি
= (১২১ক^২/১০০) - ক^২ = ২১ক^২/১০০

শতকরা ক্ষেত্রফল বৃদ্ধি
= [{(২১ক^২/১০০)/ক^২} × ১০০]%
= ২১%

প্রশ্ন: একটি আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য ২৫% বৃদ্ধি এবং প্রস্থ ২০% হ্রাস করলে এর ক্ষেত্রফল শতকরা কত পরিবর্তিত হয়?

সমাধান: 
ধরি,
মূল দৈর্ঘ্য = ক একক
মূল প্রস্থ = খ একক
মূল ক্ষেত্রফল = কখ বর্গ একক

আবার, 
দৈর্ঘ্য ২৫% বৃদ্ধি করলে নতুন দৈর্ঘ্য = ক + ক এর ২৫% = ক + ক এর ২৫/১০০ = ৫ক/৪ 
এবং প্রস্থ ২০% হ্রাস করলে নতুন প্রস্থ = খ - খ এর ২০% = খ - খ এর ২০/১০০ = ৪খ/৫ 

∴ নতুন ক্ষেত্রফল = (৫ক/৪) × (৪খ/৫) = কখ বর্গ একক

অর্থাৎ নতুন ক্ষেত্রফল = মূল ক্ষেত্রফলের সমান।
∴ ক্ষেত্রফলের পরিবর্তন = ০% অর্থাৎ অপরিবর্তিত থাকে। 

আমরা জানি, আয়তক্ষেত্রের পরিসীমা = 2(দৈর্ঘ্য + প্রস্থ) = 2(16 + 12) সে.মি.
= 56 সে.মি.
শর্তমতে, 4a = 56 (যেহেতু আয়তক্ষেত্রের পরিসীমা = বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা)
বা, a = 14
বা, a² = 196 বর্গ সে.মি.

আমরা জানি,
বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = (বাহু)²
সুতরাং বৃদ্ধিপ্রাপ্ত ক্ষেত্রফল/আদি ক্ষেত্রফল = ৬²/৩² = ৩৬/৯ = ৪ গুণ।

ধরি,
আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য = ১২a,
প্রস্থ = ৫a
∴ কর্ণ = √{(১২a)² + (৫a)²}
= ১৩a
∴ ১৩a = ৬৫
বা, a = ৫
∴ ক্ষেত্রফল = ৫a × ১২a
= ৬০ × ৫^২
= ১৫০০

এখানে,
∠ABC = ১৮০° - ∠ADC
আবার,
∠CDE = ১৮০° - ∠ADC
∴ ∠CDE = ∠ABC

প্রশ্ন: একটি চতুর্ভুজের দৈর্ঘ্য ৮ মিটার এবং প্রস্থ ৬ মিটার । চতুর্ভুজটির পরিসীমা কত? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
চতুর্ভুজের দৈর্ঘ্য = ৮ মিটার 
চতুর্ভুজের প্রস্থ = ৬ মিটার 

আমরা জানি, 
চতুর্ভুজের পরিসীমা = ২ (দৈর্ঘ্য + প্রস্থ) মিটার 
= ২ (৮ + ৬) মিটার 
= ২ × ১৪ মিটার 
= ২৮ মিটার। 

ধরি, দৈর্ঘ্য ও পরিসীমা যথাক্রমে x ও 4x এবং প্রস্থ y
প্রশ্নমতে,
2(x + y) = 4x
বা, 2x + 2y = 4x
বা, 2y = 4x - 2x
বা, 2y = 2x
বা, y = x
সুতরাং দৈর্ঘ্য;প্রস্থ = x:y = x:x = 1:1

প্রশ্ন: একটি রম্বসের একটি কর্ণ অন্য কর্ণের চার গুণ। যদি এর ক্ষেত্রফল 72 বর্গ সে. মি. হয়, তাহলে কর্ণদ্বয়ের সমষ্টি কত? 

সমাধান:
ধরি, একটি কর্ণ = x সে. মি.
তাহলে অন্য কর্ণ = 4x সে. মি.

আমরা জানি, 
রম্বসের ক্ষেত্রফল = (1/2) × d₁ × d₂

প্রশ্নানুসারে,
(1/2) × x × 4x = 72
⇒ 2x² = 72
⇒ x² = 72/2
⇒ x² = 36 = 6²
∴ x = 6 সে. মি.

∴ কর্ণদ্বয়ের যোগফল = x + 4x = 5x
= 5 × 6
= 30 সে. মি.

প্রশ্ন: একটি আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য ও প্রস্থের অনুপাত ৫ : ৩। এর ক্ষেত্রফল ৫৪০ বর্গমিটার হলে, আয়তক্ষেত্রটির পরিসীমা কত মিটার?

সমাধান: 
দেওয়া আছে,
আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য : প্রস্থ = ৫ : ৩
ক্ষেত্রফল = ৫৪০ বর্গমিটার

ধরি, দৈর্ঘ্য = ৫ক মিটার এবং প্রস্থ = ৩ক মিটার

আমরা জানি, 
আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = (দৈর্ঘ্য × প্রস্থ) বর্গ একক 
⇒ ৫৪০ = ৫ক × ৩ক
⇒ ১৫ক^২ = ৫৪০
⇒ ক^২ = ৫৪০/১৫
⇒ ক^২ = ৩৬ = ৬^২
∴ ক = ৬ মিটার

∴ দৈর্ঘ্য = ৫ক = ৫ × ৬ = ৩০ মিটার
এবং প্রস্থ = ৩ক = ৩ × ৬ = ১৮ মিটার

আয়তক্ষেত্রের পরিসীমা = ২(দৈর্ঘ্য + প্রস্থ) মিটার
= ২(৩০ + ১৮) = ২ × ৪৮ = ৯৬ মিটার

∴ আয়তক্ষেত্রটির পরিসীমা ৯৬ মিটার।

প্রশ্ন: একটি সামান্তরিকের ভূমির দৈর্ঘ্য ২৯ সে.মি. এবং উচ্চতা ১৪ সে.মি.। সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল হবে:

সমাধান:
দেওয়া আছে,
সামান্তরিকের ভূমি = ২৯ সে.মি.
এবং উচ্চতা = ১৪ সে.মি.

আমরা জানি,
সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল = ভূমি × উচ্চতা
= (২৯ × ১৪)
= ৪০৬ বর্গ সে.মি.

∴ সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল ৪০৬ বর্গ সে.মি.

এখানে, এক বাহু AD = 13 cm
AO = 1/2AC = 1/2 × 24 = 12 cm [যেহেতু, রম্বসের কর্ণদ্বয় পরস্পরকে সমদ্বিখণ্ডিত করে]

∴ ∠AOD = 90°
∴ AD² = AO² + OD²
⇒ OD = √(AD² - AO²)
⇒ OD = √(13² - 12²)
⇒ OD = √(25)
∴ OD = 5 cm
অপর কর্ণ BD = 2 × OD = 2 × 5 = 10 cm

প্রশ্ন: একটি আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য প্রস্থের 5 গুণ। ক্ষেত্রফল 500 বর্গমিটার হলে, দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
ধরি,
প্রস্থ = w
দৈর্ঘ্য = 5w
ক্ষেত্রফল = 5w × w = 5w²

প্রশ্নমতে,
5w² = 500
w² = 100
w = 10m

তাহলে,
দৈর্ঘ্য = 10 × 5 = 50m

∴দৈর্ঘ্য= 50m

প্রশ্ন: একটি আয়তক্ষেত্রের পরিসীমা ৯০ মিটার। এর প্রস্থ ২০ মিটার হলে, আয়তক্ষেত্রটির ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান: 
দেওয়া আছে,
পরিসীমা = ৯০মিটার
প্রস্থ = ২০মিটার

পরিসীমা:
পরিসীমা = ২(দৈর্ঘ্য + প্রস্থ)
৯০ = ২(দৈর্ঘ্য + ২০)
৯০ = ২ × দৈর্ঘ্য + ৪০
৯০ - ৪০ = ২ × দৈর্ঘ্য
৫০ = ২ × দৈর্ঘ্য
দৈর্ঘ্য = ২৫ মিটার 

ক্ষেত্রফল:
= দৈর্ঘ্য × প্রস্থ
= ২৫ × ২০
= ৫০০ বর্গমিটার 

∴আয়তক্ষেত্রটির ক্ষেত্রফল = ৫০০ বর্গমিটার

আমরা জানি, বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = বাহু²
সুতরাং, প্রতিটি বাহুর দৈর্ঘ্য = √বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল =√404.01 = 20.1 মিটার

প্রশ্ন: একটি সামান্তরিকের দুইটি সন্নিহিত বাহুর দৈর্ঘ্য যথাক্রমে ৯ সেন্টিমিটার এবং ৬ সেন্টিমিটার হলে এর পরিসীমা কত?

সমাধান:
আমরা জানি, 
​সামান্তরিকের পরিসীমা = ২ × (সন্নিহিত বাহুদ্বয়ের সমষ্টি)
= ২ × (৯ + ৬) সে.মি.
= ২ × ১৫ সে.মি.
= ৩০ সে.মি.

অতএব, সামান্তরিকটির পরিসীমা ৩০ সে.মি.।

ক্ষেত্রফল = 1/2 × কর্ণদ্বয়ের গুণফল
= 1/2 × 35 × 38
= 35 × 19
= 665

আমরা জানি,
(আয়তক্ষেত্রের কর্ণ)² = (দৈর্ঘ্য)² + (প্রস্থ)²
বা, 7.5² = (দৈর্ঘ্য)² + 4.5²
∴ দৈর্ঘ্য = 6 ft
∴ ক্ষেত্রফল = 6×4.5 = 27 ft²

আমরা জানি,
১ হেক্টর = ১০০০০ বর্গমিটার
যদি বর্গক্ষেত্রের বাহুর দৈর্ঘ্য x মিটার হয়
তবে, x২ = ১০০০০
∴ x = ১০০ মিটার
∴ পরিসীমা = ৪x = ৪০০ মিটার।

প্রশ্ন: একটি আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য প্রস্থের তুলনায় ২.৫ গুণ। ক্ষেত্রফল ২৫০ বর্গ একক হলে দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
ধরা যাক,
প্রস্থ = B একক
দৈর্ঘ্য L = ২.৫ B একক

ক্ষেত্রফল:
L × B = ২৫০
⇒ ২.৫B × B = ২৫০
⇒ ২.৫B^২ = ২৫০
⇒ B^২ = ২৫০/২.৫
⇒ B = √১০০
⇒ B = ১০ একক

দৈর্ঘ্য L = ২.৫ × ১০ = ২৫একক

∴ দৈর্ঘ্য = ২৫ একক 

প্রশ্ন: বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের একটি কোণ ৩৫° হলে উহার বিপরীত কোণের পরিমাণ কত হবে?

সমাধান:
আমরা জানি,
বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের বিপরীত কোণদ্বয়ের সমষ্টি = ১৮০°
একটি কোণ ৩৫° হলে,

∴ অপর কোণটি হবে = (১৮০ - ৩৫)°
= ১৪৫°

প্রশ্ন: একটি সরলরেখার উপর অঙ্কিত বর্গের ক্ষেত্রফল ওই সরলরেখার 1/4 অংশের উপর অঙ্কিত বর্গের ক্ষেত্রফলের কতগুণ?

সমাধান:
ধরি,
সরলরেখার দৈর্ঘ্য = ক মিটার 
সরলরেখার উপর অঙ্কিত বর্গ = ক² বর্গমিটার 

আবার,
সরলরেখার 1/4 অংশ = ক/4 মিটার 
সরলরেখার 1/4 অংশের উপর অঙ্কিত বর্গের ক্ষেত্রফল = (ক/4)² = ক²/16 বর্গমিটার 

∴ মূল সরলরেখার উপর অঙ্কিত বর্গ/সরলরেখার 1/4 অংশের উপর অঙ্কিত বর্গ = ক²/(ক²/16)
= ক² × (16/ক²)
= 16 গুণ