ত্রিভুজ সংক্রান্ত সমস্যা ও সমাধান

ধরি,
সমকোণ সংলগ্ন বাহু দুইটি a ও b এবং অতিভুজ c = 13 সে.মি.
পরিসীমা a+b+13 = 30 বা, a+b = 17
আবার, a² + b² = 13²
বা, (a+b)² - 2ab = 169
বা, (17)² - 2ab = 169
বা, 2ab = 289-169
বা, ab = 120/2
∴ ab = 60
∴ ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল = ½ × ab = ½ × 60 = 30 বর্গ সে.মি.

যেহেতু, সমবাহু ত্রিভুজের অন্তঃস্থ কোণগুলোর পরিমাপ ৬০°
∴ ABC সমবাহূ ত্রিভুজের বহিঃস্থ কোণগুলোর প্রত্যেকটির পরিমাপ ১২০°।

ABC সমবাহূ ত্রিভুজে তিনটি বহিঃস্থ কোণ আছে।
ABC সমবাহূ ত্রিভুজের বহিঃস্থ কোণগুলোর যোগফল 
= (১২০ + ১২০ + ১২০)°
=৩৬০°

প্রশ্ন: একটি সমবাহু ত্রিভুজের একটি বাহুর দৈর্ঘ্য ১৮ মিটার হলে, ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল কত বর্গমিটার?

সমাধান:
দেওয়া আছে, সমবাহু ত্রিভুজের বাহুর দৈর্ঘ্য, a = ১৮ মিটার।

আমরা জানি,
সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = (√৩/৪) × a² বর্গমিটার।

∴ ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল = (√৩/৪) × (১৮)^২ বর্গমিটার
= (√৩/৪) × ৩২৪ বর্গমিটার
= ৮১√৩ বর্গমিটার।

অতএব, ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল = ৮১√৩ বর্গমিটার।

প্রশ্ন: একটি সমকোণী ত্রিভুজের সূক্ষ্মকোণদ্বয়ের পার্থক্য 40° হলে, ক্ষুদ্রতম কোণটি কত?

সমাধান:
ধরি, ক্ষুদ্রতম কোণ = x°
বৃহত্তর কোণ = (x + 40)°

আমরা জানি, সমকোণী ত্রিভুজের সূক্ষ্মকোণদ্বয়ের সমষ্টি 90°

প্রশ্নমতে,
x + (x + 40) = 90
বা, 2x + 40 = 90
বা, 2x = 90 - 40
বা, 2x = 50
বা, x = 50/2
∴ x = 25
সুতরাং, ক্ষুদ্রতম কোণটি হলো 25°।

প্রশ্ন: একটি সমকোণী ত্রিভুজের সমকোণ ব্যতীত অপর দুইটি কোণের পার্থক্য 20 ডিগ্রি হলে ক্ষুদ্রতম কোণটির মান কত?

সমাধান:
ধরি,
অপর দুইটি কোণের মধ্যে ক্ষুদ্রতম কোণ = x°
তাহলে বৃহত্তম কোণ = (x + 20)°

প্রশ্নমতে,
x° + (x + 20)° + 90° = 180°
⇒ 2x° + 20° + 90° = 180°
⇒ 2x° + 110 = 180°
⇒ 2x° = 70°
⇒ x° = 35°

সুতরাং, ক্ষুদ্রতম কোণ = 35°

প্রশ্ন: একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের সমান বাহুদ্বয়ের প্রত্যেকটির দৈর্ঘ্য 10 সে.মি. এবং বাহুদ্বয়ের অন্তর্ভুক্ত কোণ 30° হলে ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফর কত বর্গ সে.মি.?

সমাধান:
বাহুদ্বয়ের অন্তর্ভুক্ত কোণ θ = 30°
সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের সমান বাহুদ্বয়ের প্রত্যেকটির দৈর্ঘ্য a = b = 10 সে.মি.

আমরা জানি,
ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = (1/2)absinθ
= (1/2) × 10 × 10 × sin30°
= (1/2) × 10 × 10 × (1/2)
= 25 বর্গসে.মি.

দেওয়া আছে,
B = 6x,
C = 5x
A:B = 7:6
বা, A/B = 7/6
বা, A = 7/6 B
= 7/6 × 6x
= 7x
ΔABC-এ,
A + B + C = 180°
বা, 6x + 5x + 7x = 180°
বা, 18x = 180°
∴ x = 10°

ΔABC - এ,
AD = BD
∴ ∠ABD = ∠BAD
বহিঃস্থ ∠ADC = ∠ABD + ∠BAD = ∠ABD + ∠ABD = 2 ∠ABD
বা, 2 ∠ABD = ∠ADC = 76°
বা, ∠ABD = 38°
∴ ∠B = 38°

ধরি, ক্ষুদ্রতম কোণটি = ক
অপর কোণ ৯০-ক
সুতরাং ৯০-ক-ক = ৮
২ক = ৮২
ক = ৪১

সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজ²= লম্ব²+ভূমি²
12² + 5² = 13²
তাই সঠিক উত্তর অপশন (ঘ)।

প্রশ্ন: যদি মাসের ২য় দিন বুধবার হয় তাহলে মাসের ১৯ তম দিন কী বার হবে?

সমাধান:
মাসের ২য় দিন বুধবার হলে ,
২ + ৭ = ৯ তম,
৯ + ৭ = ১৬ তম,
১৬ + ৭ = ২৩ তম দিন গুলোও হবে বুধবার।

∴ ১৬ + ৩ = ১৯ তম দিন হবে বুধবার + ৩ দিন = শনিবার 

সুতরাং, মাসের ২য় তারিখ বুধবার হলে ১৯শে তারিখ হবে শনিবার।

বাহুর দৈর্ঘ্য = a মিঃ
∴ ক্ষেত্রফল, (√3/4)a² = 16√3
বা, √3a² = 64√3
বা, a² = 64
∴ a = 8

∴ পরিসীমা = 3a
= 3 × 8
= 24 মিঃ

চিত্রে ৮ টি সমকোণী ত্রিভুজ আছে।
তারা হলঃ ΔAEB; ΔBEC; ΔCED; ΔDEA; ΔABC; ΔADC; ΔABD; ΔBDC। 

প্রশ্ন: কোনো ত্রিভুজের বাহুগুলোর লম্বদ্বিখণ্ডক তিনটি যে বিন্দুতে ছেদ করে তাকে বলে-

সমাধান:
- কোনো ত্রিভুজের বাহুগুলোর লম্বদ্বিখণ্ডক তিনটি যে বিন্দুতে ছেদ করে তাকে ত্রিভুজের পরিকেন্দ্র বলে।
অন্তঃকেন্দ্র: ত্রিভুজের তিন কোণের সমদ্বিখণ্ডকগুলো যে বিদুতে ছেদ করে তাকে অন্তঃকেন্দ্র বলে।
ভরকেন্দ্র: ত্রিভুজের মধ্যমাত্রয়ের ছেদবিন্দুকে ভরকেন্দ্র বলে।

সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = (√3/4) × 36 = 9√3 বর্গ মিটার

প্রশ্ন: ΔABC -এ ∠B এক সমকোণ। যদি AC = 2AB হয় তবে, ∠A এর মান কত?

সমাধান:
ধরি, লম্ব AB = x
অতিভুজ AC = 2x



∴ sinC = x/2x 
⇒ sinC = 1/2 
⇒ sinC = sin30° 
⇒ C = 30°  

আমরা জানি, 
⇒ ∠A + ∠B + ∠C = 180°
⇒ ∠A + 90° + 30° = 180° 
⇒ ∠A = 180° - (90° + 30°)
∴ ∠A = 60°

ধরি,
ত্রিভুজের কোণ তিনটি যথাক্রমে, x, x ও 2x।
প্রশ্নমতে, x + x + 2x = 180°
বা, 2x = 90°
অর্থ্যাৎ, ত্রিভুজটির একটি কোণ একসমকোণ।
∴ ত্রিভুজটি একটি সমকোণী ত্রিভুজ।

প্রশ্ন: একটি ত্রিভুজের তিনবাহুর দৈর্ঘ্য ৬, ৮ ও ১০ মিটার। নিকটতম বর্গমিটারে ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
তিনবাহুর দৈর্ঘ্য a = ৬ মিটার, b = ৮ মিটার, c = ১০ মিটার

ত্রিভুজটির পরিসীমা (২s) = ৬ + ৮ + ১০ = ২৪ মিটার
∴ অর্ধ-পরিসীমা (s) = ২৪/২ = ১২ মিটার

ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = √{s(s - a)(s - b)(s - c)} বর্গমিটার
= √{১২(১২ - ৬)(১২ - ৮)(১২ - ১০)}
= √{১২ × ৬ × ৪ × ২}
= √৫৭৬ বর্গমিটার
= ২৪ বর্গমিটার

ΔABC এর ক্ষেত্রফল
= 1/2 × বাহুদ্বয়ের দৈর্ঘ্যের গুণফল × বাহুদ্বয়ের অর্ন্তভুক্ত কোণের সাইন
= 1/2 ab SinC
= 1/2 bc SinA
= 1/2 ca SinB

প্রশ্ন: একটি সমবাহ ত্রিভূজের বাহুর দৈর্ঘ্য 4 মিটার হলে, ত্রিভূজটির ক্ষেত্রফল কত বর্গমিটার?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
সমবাহু ত্রিভুজের বাহুর দৈর্ঘ্য a = 4 মিটার।
আমরা জানি,
সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = (√3/4) × a²
= √3/4 × 4²
= √3/4 × 16
= 4√3 বর্গমিটার

প্রশ্ন: একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের সমান বাহুদ্বয়ের প্রত্যেকটির দৈর্ঘ্য ১৪ সে. মি. এবং বাহুদ্বয়ের অন্তর্ভুক্ত কোণ ৩০° হলে, ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
বাহুদ্বয়ের অন্তর্ভুক্ত কোণ, θ = ৩০°
সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের সমান বাহুদ্বয়ের প্রত্যেকটির দৈর্ঘ্য, a = b = ১৪ সে. মি

আমরা জানি,
ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল = (১/২)ab sinθ
=  (১/২) × ১৪ × ১৪ × sin৩০°
=  (১/২) × ১৪ × ১৪ × ১/২
= ৪৯ বর্গ সে. মি.

∴ সমদ্বিবাহু ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল = ৪৯ বর্গ সে. মি.

প্রশ্ন: একটি সমকোণী ত্রিভুজের ভূমি ১২ সে.মি. এবং অতিভুজ ১৩ সে.মি. হলে, এর ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
ভূমি = ১২ সে.মি.
অতিভুজ = ১৩ সে.মি.

পিথাগোরাসের উপপাদ্য ব্যবহার করে পাই, 
অতিভুজ^২ = ভূমি^২ + উচ্চতা^২
⇒ ১৩^২ = ১২^২ + উচ্চতা^২
⇒ ১৬৯ = ১৪৪ + উচ্চতা^২
⇒ উচ্চতা^২ = ১৬৯ - ১৪৪
⇒ উচ্চতা^২ = ২৫
∴ উচ্চতা = √২৫ = ৫ সে.মি.

আমরা জানি, 
এখন সমকোণী ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = (১/২) × ভূমি × উচ্চতা
= (১/২) × ১২ × ৫
= ৬ × ৫
= ৩০ বর্গ সে.মি.

সুতরাং, ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল ৩০ বর্গ সে.মি.।

ধরি, ভূমি x সেন্টিমিটার
∴ লম্ব x-3 সেন্টিমিটার এবং অতিভুজ x+3 সেন্টিমিটার
প্রশ্নমতে,
x² + (x-3)² = (x+3)²
⇒ x² + x² - 6x + 9 = x² + 6x + 9
⇒ 2x² - 6x + 9 - x² - 6x - 9 = 0
⇒ x² -12x = 0
⇒ x - 12 = 0
⇒ x = 12
∴ অতিভুজের দৈর্ঘ্য = 12+3 = 15 সেন্টিমিটার।

প্রশ্ন: কোন তিনটি বাহু দ্বারা ত্রিভুজ আঁকা সম্ভব নয়?

সমাধান:
আমরা জানি,
ত্রিভুজের যেকোনো দুই বাহুর সমষ্টি তৃতীয় বাহু অপেক্ষা বৃহত্তর হতে হবে।

এখানে, আমরা প্রত্যেকটি ত্রিভুজের ক্ষুদ্রতম দুইটি বাহুর যোগফলকে তৃতীয় (বৃহত্তম) বাহুর সাথে তুলনা করে পাই:

ক) ৪ + ৭ = ১১ > ১০; ∴ ত্রিভুজ আঁকা সম্ভব।
খ) ৬ + ৮ = ১৪ > ১২; ∴ ত্রিভুজ আঁকা সম্ভব।
গ) ৫ + ৭ = ১২ > ১১; ∴ ত্রিভুজ আঁকা সম্ভব।
ঘ) ৪ + ৬ = ১০ = ১০; ∴ ত্রিভুজ আঁকা সম্ভব নয়।