ত্রিভুজ সংক্রান্ত সমস্যা ও সমাধান

প্রশ্ন: একটি সমবাহু ত্রিভুজের প্রত্যেক বাহুর দৈর্ঘ্য 4√3 সে.মি হলে এর ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে, 
সমবাহু ত্রিভুজের প্রত্যেক বাহুর দৈর্ঘ্য, a = 4√3 সে.মি.

আমরা জানি, 
সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = (√3/4) × a² বর্গ একক 
= (√3/4) × (4√3)² বর্গ সে.মি. 
= (√3/4) × (4√3) × (4√3) বর্গ সে.মি.
= 4 × √3 × √3 × √3 বর্গ সে.মি. 
= 4 × √3 × (√3)² বর্গ সে.মি.
= 12√3 বর্গ সে.মি. 

∴ নির্ণেয় ক্ষেত্রফল = 12√3 বর্গ সে.মি. ।

প্রদত্তরেখাটি x + y - 1 = 0
বা, x + y = 1
বা, x/1 + y/1 = 1
∴ OA = 1,
OB = 1 ফলে
OA = OB
∴ ΔOAB সমদ্বিবাহু ত্রিভূজ।

প্রশ্ন: একটি সমবাহু ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দু থেকে ভর কেন্দ্রের দূরত্ব 10 সে.মি. হলে ত্রিভুজটির মধ্যমা কত?

সমাধান:

আমরা জানি,
ত্রিভুজের মধ্যমাত্রয় যে বিন্দুতে মিলিত হয় থাকে ঐ ত্রিভুজের ভরকেন্দ্র বলে।
∴ XE : EF = 2 : 1
⇒ 10 : EF = 2 : 1
⇒ 10/EF = 2/1
⇒ 2EF = 10
⇒ EF = 5

∴ ত্রিভুজটির মধ্যমা XF = XE + EF = 10 + 5 = 15 সে.মি.

প্রশ্ন: একটি সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজের দৈর্ঘ্য 7 মিটার এবং একটি বাহুর দৈর্ঘ্য 2√6 মিটার। অপর বাহুর দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
ধরি,
অপর বাহুর দৈর্ঘ্য a মিটার

পিথাগোরাসের সূত্র অনুযায়ী,
(2√6)² + a² = 7² 
⇒ 24 + a² = 49
⇒ a² = 49 - 24
⇒ a² = 25
∴ a = 5

∴ অপর বাহুর দৈর্ঘ্য 5 মিটার

প্রশ্ন: একটি ত্রিভুজের প্রত্যেক বাহুর দৈর্ঘ্য ১০ মিটার হলে, ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
সমবাহু ত্রিভুজের বাহুর দৈর্ঘ্য a = ১০ মিটার

আমরা জানি,
সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = (√৩/৪) × a^২ বর্গ একক
= (√৩/৪) × ১০^২
= (√৩/৪) × ১০০
= ২৫√৩ বর্গমিটার

সুতরাং, ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল = ২৫√৩ বর্গমিটার

সমবাহু ত্রিভুজের বাহুর দৈর্ঘ্য m মি. হলে এর ক্ষেত্রফল = √3/4 m² 
= √3/4 × 6²
= 9√3 = √81 × √3
= √243

প্রশ্ন: সমবাহু ত্রিভুজের প্রত্যেক বাহুর দৈর্ঘ্য ১ মিটার বাড়ালে ক্ষেত্রফল ৩√৩ বর্গ মিটার বেড়ে যায়। ত্রিভুজটির বাহুর দৈর্ঘ্য কত? 

সমাধান: 
মনে করি, 
সমবাহু ত্রিভুজের প্রত্যেক বাহুর দৈর্ঘ্য = a মিটার
∴ ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল = (√৩/৪‍)a^২ বর্গ মিটার
আবার,
ত্রিভুজের প্রত্যেক বাহুর দৈর্ঘ্য ১ মিটার বাড়ালে ক্ষেত্রফল= (√৩/৪)(a + ১)^২ বর্গ মিটার 

প্রশ্নমতে, 
(√৩/৪)(a + ১)^২ - (√৩/৪‍)a^২ = ৩√৩ 
বা, a^২ + ২a + ১ - a^২ = ১২
বা, ২a + ১ = ১২
বা, ২a = ১২ - ১ 
বা, ২a = ১১
বা, a = ১১/২ 
∴ a = ৫.৫

∴ ত্রিভুজটির বাহুর দৈর্ঘ্য = ৫.৫ মিটার। 

প্রশ্ন: একটি সমকোণী ত্রিভুজের সূক্ষ্মকোণদ্বয়ের পার্থক্য 40° হলে, ক্ষুদ্রতম কোণটি কত?

সমাধান:
ধরি, ক্ষুদ্রতম কোণ = x°
বৃহত্তর কোণ = (x + 40)°

আমরা জানি, সমকোণী ত্রিভুজের সূক্ষ্মকোণদ্বয়ের সমষ্টি 90°

প্রশ্নমতে,
x + (x + 40) = 90
বা, 2x + 40 = 90
বা, 2x = 90 - 40
বা, 2x = 50
বা, x = 50/2
∴ x = 25
সুতরাং, ক্ষুদ্রতম কোণটি হলো 25°।

আমরা জানি, সমকোণী ত্রিভুজের ক্ষেত্রে,
অতিভুজ^২ = লম্ব^২ + ভূমি^২
বা, ১৩^২ = লম্ব^২ + ৫^২
বা, লম্ব^২ + ৫^২ = ১৩^২
বা, লম্ব^২ = ১৩^২ - ৫^২
বা, লম্ব^২ = ১৬৯ - ২৫
বা, লম্ব^২ = ১৪৪
বা, লম্ব^২ = (১২)^২
বা, লম্ব = ১২
সুতরাং, সমকোণী ত্রিভুজটির পরিসীমা = ৫ + ১২ + ১৩
= ৩০ মিটার।

প্রশ্ন: একটি ত্রিভুজাকৃতি ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল 126 বর্গগজ। ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দু হতে ভূমির উপর অঙ্কিত লম্বের দৈর্ঘ্য 14 গজ হলে, ভূমির দৈর্ঘ্য কত?
 
সমাধান: 
আমরা জানি, 
ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = (1/2) × ভূমি × উচ্চতা 
= (1/2) × ভূমি × 14 
= 7 × ভূমি 
 
প্রশ্নমতে, 
7 × ভূমি = 126
বা, ভূমি = 126/7 
∴ ভূমি = 18 গজ 

∴ ভূমির দৈর্ঘ্য = 18 গজ । 

ΔABC-এ,
BC||EF
এবং AEB ছেদক
∴ ∠ABC অনুরুপ কোণ ∠AEF

প্রশ্ন: একটি সমকোণী সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের লম্বের দৈর্ঘ্য ৮ মিটার হলে, ভূমির দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:

সমকোণী সমদ্বিবাহু ত্রিভুজে লম্ব ও ভূমির মান সমান। 
∴ ভূমির দৈর্ঘ্য হবে ৮ মিটার

প্রশ্ন: একটি ত্রিভুজের দুইটি বাহুর মধ্যবিন্দুর সংযোজক রেখাংশ তৃতীয় বাহুর অর্ধেক এবং সমান্তরাল। যদি তৃতীয় বাহুর দৈর্ঘ্য ১৮ সে.মি. হয়, তবে সংযোজক রেখাংশের দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
ত্রিভুজের মধ্যবিন্দু উপপাদ্য,
একটি ত্রিভুজের যেকোনো দুইটি বাহুর মধ্যবিন্দুকে যুক্ত করলে যে রেখাংশ পাওয়া যায়, সেটি তৃতীয় বাহুর সমান্তরাল এবং তার অর্ধেক দৈর্ঘ্যের হয়।

দেওয়া আছে,
তৃতীয় বাহুর দৈর্ঘ্য = ১৮ সে.মি.
সুতরাং, সংযোজক রেখাংশের দৈর্ঘ্য = তৃতীয় বাহুর অর্ধেক = ১৮ ÷ ২ = ৯ সে.মি. 

সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = √৩/৪ (বাহু)^২ বর্গমি.
= √৩/৪ (১৮)^২ বর্গমি.
= ৮১√৩ বর্গমি.

প্রশ্ন: একটি সমবাহু ত্রিভুজের বাহুর প্রত্যেকটির দৈর্ঘ্য 2 মিটার বাড়ালে এর ক্ষেত্রফল 3√3 বর্গমিটার বেড়ে যায়। সমবাহু ত্রিভুজের বাহুর দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
ধরি,
সমবাহু ত্রিভুজটির প্রত্যেক বাহুর দৈর্ঘ্য = a

তাহলে, সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = (√3/4) a² বর্গ একক

দৈর্ঘ্য 2 মিটার বাড়ালে, ক্ষেত্রফল = (√3/4) (a +2)²
= (√3/4) (a² + 4a + 4) বর্গ একক

প্রশ্নমতে,
(√3/4) (a² + 4a + 4) = (√3/4) a² + 3√3
⇒ √3(a² + 4a + 4) = √3a² + 12√3
⇒ √3(a² + 4a + 4) = √3(a² + 12)
⇒ a² + 4a + 4 = a² + 12
⇒ 4a = a² + 12 - a² - 4
⇒ 4a = 8
∴ a = 2

অতএব, সমবাহু ত্রিভুজটির প্রত্যেক বাহুর দৈর্ঘ্য 2 মিটার। 

প্রশ্ন: একটি 25 মিটার দীর্ঘ মই একটি উঁচু বইয়ের তাকের পাশে হেলান দিয়ে রাখা হয়েছে। মইটির শীর্ষপ্রান্ত মেঝে থেকে 20 মিটার উচ্চতায় তাককে স্পর্শ করছে। মইটির নিচের প্রান্ত হতে তাকের দূরত্ব নির্ণয় করুন?

সমাধান:
এখানে,
অতিভুজ (AC) = ২৫ মি
লম্ব (AB) = ২০ মি
পিথাগোরাসের সূত্রানুসারে,
AC² = AB² + BC²
BC² = AC² - AB²
= 25² - 20²
= 625 - 400
= 225
∴ BC = √225 = 15 মিটার।

প্রশ্ন: একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের ভূমি ১২ একক এবং অপর সমান বাহুদ্বয়ের প্রতিটি ১০ একক। ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল কত বর্গ একক?

সমাধান:
সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের সমান সমান বাহু a একক এবং ভূমি b একক হলে,
ক্ষেত্রফল = (b/4) × √(4a² − b²)

এখানে,
a = ১০, b = ১২

∴ ক্ষেত্রফল = (১২/৪) × √{৪(১০)^২ - (১২)^২] বর্গএকক
= ৩ × √(৪০০ - ১৪৪) বর্গএকক
= ৩ × √২৫৬ বর্গএকক
= ৩ × ১৬ বর্গএকক
= ৪৮ বর্গএকক

প্রশ্ন: একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের ভূমির দৈর্ঘ্য 60 সে: মি:। এর ক্ষেত্রফল 1200 ব: সে: মি: হলে পরিসীমা কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের ভূমি, b = 60 সে. মি.
ক্ষেত্রফল = 1200 বর্গ সে. মি.
 
ধরি, সমান সমান বাহুর দৈর্ঘ্য, a = ? 

আমরা জানি,
∴ সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = (b/4)√(4a² - b²)
⇒ 1200 = (60/4) √(4a² - 60²)
⇒ 1200 = (15)√(4a2 - 3600)
⇒ √(4a² - 3600) = 1200/15
⇒ √(4a² - 3600) = 80
⇒ {√(4a² - 3600)}² = 80²  [উভয়পক্ষকে বর্গ করে]
⇒ 4a² - 3600 = 6400
⇒ 4a² = 6400 + 3600
⇒ 4a² = 10000 
⇒ a² = 10000/4
⇒ a² = 2500
⇒ a = √2500 
∴ a = 50 সে.মি.
অর্থাৎ, ত্রিভুজটির সমান সমান বাহুর দৈর্ঘ্য 50 সে.মি.।

আমরা জানি,
ত্রিভুজের পরিসীমা = বাহুত্রয়ের সমষ্টি।
∴ পরিসীমা = ভূমি + সমান বাহু + সমান বাহু
= 60 + 50 + 50 = 160 সে.মি.

∴ ত্রিভুজটির পরিসীমা 160 সে.মি.।

আমরা জানি, তিনটি বাহু দেওয়া থাকলে তাদের দ্বারা ত্রিভুজ গঠন করার শর্ত হলো- যেকোনো দুই বাহুর সমষ্টি তার তৃতীয় বাহু অপেক্ষা বৃহত্তর হতে হবে।
অপশন ক তে, ২ + ৪ = ৬ > ৫; ত্রিভুজ গঠন করা সম্ভব।
খ তে, ৪ + ৫ = ৯ > ৬; ত্রিভুজ গঠন করা সম্ভব।
গ তে, ২ + ৪ < ৭; ত্রিভুজ গঠন করা সম্ভব নয়। এবং
ঘ তে, ৩ + ৪ = ৭ > ৬; ত্রিভুজ গঠন করা সম্ভব।

প্রশ্ন: একটি সমদ্বিবাহু সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজের দৈর্ঘ্য ১০ সেমি হলে ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
ধরি,
সমকোণ সংলগ্ন প্রতিটি বাহুর দৈর্ঘ্য = ক সেমি

পিথাগোরাসের সূত্রানুসারে,
(ক)^২ + (ক)^২ = (১০)^২
⇒ ২ক^২ = ১০০
⇒ ক^২ = ১০০/২
⇒ ক^২ = ৫০
⇒ ক = √৫০

∴ সমকোণ সংলগ্ন বাহুদ্বয়ের দৈর্ঘ্য √৫০ সেমি।

আমরা জানি,
সমকোণী ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = (১/২) × ভূমি × উচ্চতা
যেহেতু এটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ। সুতরাং, ভূমি ও উচ্চতার দৈর্ঘ্য সমান।
∴ ক্ষেত্রফল = (১/২) × ক × ক 
= (১/২) × ক^২
 = (১/২) × ৫০
 = ২৫

∴ ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল ২৫ বর্গসেমি।

প্রশ্ন: সমবাহু ত্রিভুজের বাহুগুলোর মধ্যবিন্দুসমূহ যোগ করলে উৎপন্ন ত্রিভুজটি-

সমাধান:

ধরি, ABC একটি সমবাহু ত্রিভুজ যার প্রতিটি বাহুর দৈর্ঘ্য = a

এবার তিনটি বাহুর মধ্যবিন্দু হলো:
D (AB এর মধ্যবিন্দু)
E (BC এর মধ্যবিন্দু)
F (CA এর মধ্যবিন্দু)
মধ্যবিন্দু সংযোগ উপপাদ্য অনুসারে, যেকোনো ত্রিভুজের দুই বাহুর মধ্যবিন্দুর সংযোজক রেখাংশ তৃতীয় বাহুর সমান্তরাল এবং তৃতীয় বাহুর অর্ধেক।

অতএব:
DE ∥ AC এবং DE = AC/2 = a/2
EF ∥ AB এবং EF = AB/2 = a/2
FD ∥ BC এবং FD = BC/2 = a/2
যেহেতু DEF ত্রিভুজের তিনটি বাহুই সমান (DE = EF = FD = a/2), তাই এটি একটি সমবাহু ত্রিভুজ।

∴ সমবাহু ত্রিভুজের বাহুগুলোর মধ্যবিন্দুসমূহ যোগ করলে উৎপন্ন ত্রিভুজটি সমবাহু হবে।

প্রশ্ন: একটি ত্রিভুজের তিনটি কোণের অনুপাত 1 : 1 : 2 হলে ত্রিভুজটি কোন ধরনের ত্রিভুজ?

ধরি,
কোণ তিনটি = x, x এবং 2x

প্রশ্নমতে,
x + x + 2x = 180°
4x = 180°
∴x = 45°
এবং 2x = 90°

সুতরাং ত্রিভুজটি সমকোণী।

আমরা জানি, সমবাহু ত্রিভুজের প্রত্যেকটি কোণের মান 60°।
সুতরাং একটি বাহুকে উভয়দিকে বর্ধিত করলে উৎপন্ন বহিঃস্থ কোণ উভয় পাশে 180° - 60° = 120°।
সুতরাং, বহিঃস্থ কোণ দুটির বিয়োগফল = 120°-120° = 0°

5x+12x+13x = 195
Or, 30x = 195
Or, x= 195/30
Or, x = 6.5
বাহুত্রয় যথাক্রমে- 32.5, 78, 84.5
বৃহত্তর ও ক্ষুদ্রতর বাহুর যোগফল= 32.5+84.5= 117 cm

প্রশ্ন: ΔPQR সমবাহু ত্রিভুজের একটি মধ্যমা PM এবং G ভরকেন্দ্র। GM = ৬ সেমি হলে PM = ?

সমাধান:

আমরা জানি,
ত্রিভুজের ভরকেন্দ্র মধ্যমাকে 2 : 1 অনুপাতে বিভক্ত করে।
এখানে, মধ্যমা PM এবং ভরকেন্দ্র G।
সুতরাং, PG : GM = 2 : 1

দেওয়া আছে, GM = 6 সেমি।
প্রশ্নমতে,
PG/GM = 2/1
বা, PG/6 = 2
বা, PG = 6 × 2
∴ PG = 12 সেমি

এখন, মধ্যমা PM এর মোট দৈর্ঘ্য হলো এর দুটি অংশের যোগফল।
PM = PG + GM
= 12 + 6
= 18 সেমি

অতএব, PM এর দৈর্ঘ্য 18 সেমি।

প্রশ্ন:  ত্রিভুজের তিনটি বাহুর লম্ব সমদ্বিখণ্ডকগুলো যে বিন্দুতে ছেদ করে, তাকে কী বলা হয়?

সমাধান:
• পরিকেন্দ্র (Circumcentre): ত্রিভুজের তিনটি বাহুর লম্ব সমদ্বিখণ্ডকগুলো যে বিন্দুতে ছেদ করে, তাকে পরিকেন্দ্র বলা হয়।

চিত্রে O বিন্দুটি হলো পরিকেন্দ্র (Circumcentre)।

উল্লেখ্য,
• অন্তঃকেন্দ্র: ত্রিভুজের তিন কোণের সমদ্বিখণ্ডকগুলো যে বিন্দুতে ছেদ করে তাকে অন্তঃকেন্দ্র বলে।
• ভরকেন্দ্র: ত্রিভুজের মধ্যমাগুলোর ছেদবিন্দুকে ভরকেন্দ্র বলে।
• বহিঃকেন্দ্র: একটি ত্রিভুজের একটি অন্তঃস্থ কোণের সমদ্বিখণ্ডক এবং অপর দুটি বহিঃস্থ কোণের সমদ্বিখণ্ডক যে বিন্দুতে ছেদ করে, তাকে বহিঃকেন্দ্র বলে।

AB>AC 
∴ ∠C > ∠B হবে।
ফলে ∠B কখনও সমকোণ বা স্থুলকোণ হবে না।
∴ ∠B সর্বদা সূক্ষ্মকোণ হবে।

প্রশ্ন: একটি ত্রিভুজের তিনটি কোণের অনুপাত ৩ : ৭ : ৮ হলে, ত্রিভুজটির বৃহত্তম কোণের মান কত?

সমাধান:
অনুপাতের যোগফল = ৩ + ৭ + ৮ = ১৮

আমরা জানি, ত্রিভুজের তিন কোণের সমষ্টি = ১৮০°

অতএব, বৃহত্তম কোণের মান = (৮/১৮) × ১৮০° 
= ৮০°

সুতরাং, বৃহত্তম কোণ = ৮০°

ত্রিভুজের যেকোন দুই বাহুর সমষ্টি এর তৃতীয় বাহু অপেক্ষা বৃহত্তর।
৫+৬ > ৭ (এটাই সঠিক)
৭+৫ < ১৪
৩+৪ = ৭
৪+২ < ৮