ত্রিভুজ সংক্রান্ত সমস্যা ও সমাধান

PrepBank · পাতা ৮ / ২০ · ৭০১–৮০০ / ২,০০৯

৭০১.

একটি ত্রিভুজাকৃতি ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল 84 বর্গগজ। ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দু হতে ভূমির উপর অঙ্কিত লম্বের দৈর্ঘ্য 12 গজ হলে, ভূমির দৈর্ঘ্য কত?

ক
18 গজ
খ
16 গজ
গ
14 গজ
ঘ
13 গজ

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি ত্রিভুজাকৃতি ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল 84 বর্গগজ। ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দু হতে ভূমির উপর অঙ্কিত লম্বের দৈর্ঘ্য 12 গজ হলে, ভূমির দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = (1/2) × ভূমি × উচ্চতা
= (1/2) × ভূমি × 12
= 6 × ভূমি

প্রশ্নমতে,
6 × ভূমি = 84
⇒ ভূমি = 84/6
∴ ভূমি = 14 গজ

৭০২.

একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের সমান বাহুদ্বয়ের প্রত্যেকটির দৈর্ঘ্য ১০ সে.মি. এবং বাহুদ্বয়ের অন্তর্ভুক্ত কোণ ৪৫° হলে ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল কত বর্গ সে.মি.?

ক
ক) ২৫
খ
খ) ৩০
গ
গ) ২৫√২
ঘ
ঘ) ২৫√৫

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের সমান বাহুদ্বয়ের প্রত্যেকটির দৈর্ঘ্য ১০ সে.মি. এবং বাহুদ্বয়ের অন্তর্ভুক্ত কোণ ৪৫° হলে ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল কত বর্গ সে.মি.?

সমাধান:
কোনো ত্রিভুজের যেকোনো দুটি বাহুর দৈর্ঘ্য a ও b এবং এদের মধ্যবর্তী কোণ θ হলে,
ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল = (১/২) ab sinθ।

∴ নির্ণেয় ক্ষেত্রফল = (১/২) × ১০ × ১০ × sin ৪৫°
= ৫০ × (১/√২)
= ২৫ × ২ × (১/√২)
= ২৫√২

৭০৩.

২৫ মিটার উচ্চতা ও ১৬ মিটার ভূমি বিশিষ্ট ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল কত বর্গমিটার?

ক
৪০০
খ
৩০০
গ
২০০
ঘ
১০০

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ২৫ মিটার উচ্চতা ও ১৬ মিটার ভূমি বিশিষ্ট ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল কত বর্গমিটার?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
উচ্চতা = ২৫ মিটার
ভূমি = ১৬ মিটার

আমরা জানি,
ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = (১/২) × ভূমি × উচ্চতা
= (১/২) × ২৫ × ১৬
= ২৫ × ৮
= ২০০ বর্গমিটার

৭০৪.

নিম্নের কোন বাহুগুলো নিয়ে সমকোণী ত্রিভুজ গঠন সম্ভব?

ক
৮, ১৫, ১৭
খ
১২, ১৫, ৯
গ
১২, ৫, ১৩
ঘ
উপরের সবগুলো

ব্যাখ্যা

আমরা জানি,
সমকোণী ত্রিভুজের ক্ষেত্রে,

ভূমি^২+ লম্ব^২ = অতিভুজ^২
১৫^২+ ৮^২= ২৮৯ = ১৭^২
৫^২ + ১২^২ = ১৬৯ = ১৩^২

৯^২ + ১২^২ = ২২৫ = ১৫^২

অর্থাৎ উপরে উল্লিখিত বাহুগুলো নিয়ে সমকোণী ত্রিভুজ গঠন সম্ভব।

৭০৫.

একটি ত্রিভুজের কোণগুলোর অনুপাত হচ্ছে 2 : 3 : 4. কোণগুলোর মান হচ্ছে-

ক
20°, 60°, 100°
খ
40°, 60°, 80°
গ
30°, 45°, 65°
ঘ
30°, 50°, 90°

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি ত্রিভুজের কোণগুলোর অনুপাত হচ্ছে 2 : 3 : 4. কোণগুলোর মান হচ্ছে-

সমাধান:
মনেকরি,
কোণগুলো 2x, 3x, 4x ডিগ্রি
∴ 2x + 3x + 4x = 180°
বা, 9x = 180°
∴ x = 20°

১ম কোণ = 2x = 2 × 20° = 40°
২য় কোণ = 3x = 3 × 20° = 60°
৩য় কোণ = 4x = 4 × 20° = 80°

৭০৬.

ΔABC সমবাহু ত্রিভুজের একটি মধ্যমা AD এবং G ভরকেন্দ্র। GD = ৫ সেমি হলে AD = ?

ক
১৫ সেমি
খ
১০ সেমি
গ
৭.৫ সেমি
ঘ
১২ সেমি

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ΔABC সমবাহু ত্রিভুজের একটি মধ্যমা AD এবং G ভরকেন্দ্র। GD = ৫ সেমি হলে AD = ?

সমাধান:

আমরা জানি,
ত্রিভুজের ভরকেন্দ্র (G) মধ্যমাকে (AD) ২ : ১ অনুপাতে বিভক্ত করে।
অর্থাৎ, AG : GD = ২ : ১
দেওয়া আছে, GD = ৫ সেমি।

প্রশ্নমতে,
AG : GD = ২ : ১
⇒ AG/৫ = ২/১
⇒ AG = ৫ × ২
∴ AG = ১০

এখন, মধ্যমা AD = AG + GD
= ১০ সেমি + ৫ সেমি
= ১৫ সেমি

৭০৭.

সমকোণী ত্রিভুজের সূক্ষ্মকোণ দুটির অন্তর 8° হলে এর ক্ষুদ্রতম কোণটির মান কত?

ক
ক) 41°
খ
খ) 43°
গ
গ) 49°
ঘ
ঘ) 82°

ব্যাখ্যা

মনে করি, একটি কোণ ক তাহলে অপর কোণ 90-ক।
শর্তমতে, ক - (90-ক) = 8
বা, ক - 90 + ক = 8
বা, 2ক = 98
বা, ক = 49
সুতরাং অপর কোণ = 90-ক = 90-49 = 41°

৭০৮.

সেন্টিমিটার এককে একটি ত্রিভুজের দুই বাহুর দৈর্ঘ্য ৭ ও ১৬ হলে নিচের কোনটি ত্রিভুজটির তৃতীয় বাহুর দৈর্ঘ্য হতে পারে না?

ক
২২
খ
১৭
গ
৯
ঘ
১২

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: সেন্টিমিটার এককে একটি ত্রিভুজের দুই বাহুর দৈর্ঘ্য ৭ ও ১৬ হলে নিচের কোনটি ত্রিভুজটির তৃতীয় বাহুর দৈর্ঘ্য হতে পারে না?

সমাধান:
আমরা জানি,
যে কোনো ত্রিভুজে, দুটি বাহুর যোগফল তৃতীয় বাহুর চেয়ে বড় হতে হবে এবং দুটি বাহুর ব্যবধান তৃতীয় বাহুর চেয়ে ছোট হতে হবে।
অর্থাৎ, তৃতীয় বাহুর দৈর্ঘ্য হতে পারে ৯ এর বেশি এবং ২৩ এর কম।

ক) ২২ (সম্ভব, কারণ ৯ < ২২ < ২৩)
খ) ১৭ (সম্ভব, কারণ ৯ < ১৭ < ২৩)
গ) ৯ (অসম্ভব, কারণ ৯ এর বেশি হতে হবে)
ঘ) ১২ (সম্ভব, কারণ ৯ < ১২ < ২৩)

৭০৯.

একটি সমকোণী ত্রিভুজের ভূমি ও লম্বের অনুপাত 3 : 4 হলে, অতিভুজের সাথে ভূমির অনুপাত কত?

ক
3 : 5
খ
4 : 5
গ
5 : 4
ঘ
5 : 3

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি সমকোণী ত্রিভুজের ভূমি ও লম্বের অনুপাত 3 : 4 হলে, অতিভুজের সাথে ভূমির অনুপাত কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
একটি সমকোণী ত্রিভুজের ভূমি (a), লম্ব (b) এবং অতিভুজ (c)
∴ পিথাগোরাসের উপপাদ্য হতে পাই, a² + b² = c²
দেওয়া আছে,
ভূমি ও লম্বের অনুপাত 3 : 4।

ধরি,
ভূমি, a = 3x এবং লম্ব, b = 4x।
∴ c² = (3x)² + (4x)²
⇒ c² = 9x² + 16x²
⇒ c² = 25x²
⇒ c = √(25x²)
∴ c = 5x
সুতরাং, অতিভুজের দৈর্ঘ্য 5x।
∴ অতিভুজ ও ভূমির অনুপাত = অতিভুজ : ভূমি = 5x : 3x = 5 : 3

সুতরাং, অতিভুজের সাথে ভূমির অনুপাত 5 : 3

৭১০.

একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের সমান বাহুর দৈর্ঘ্য 20 mm এবং সমান বাহুদ্বয়ের অন্তর্ভুক্ত কোণ 45° হলে, ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল কত?

ক
ক) 20√2 mm
খ
খ) 25√2 mm
গ
গ) 50√2 mm
ঘ
ঘ) 100√2 mm

ব্যাখ্যা

সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = (½)×a×b×sinθ
= (½)×20×20×sin45°
= 10x20x(1/√2)
= 200/√2
= (2x100)/√2
= 100√2

৭১১.

একটি ত্রিভুজের একটি কোণ যদি ২য় কোণের তিনগুন এবং ৩য় কোণ যদি ২য় কোণের চেয়ে ৩০ ডিগ্রি বড় হয় তবে ২য় কোণটি কত ডিগ্রি?

ক
২৮°
খ
২৯°
গ
৩০°
ঘ
৩২°

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি ত্রিভুজের একটি কোণ যদি ২য় কোণের তিনগুন এবং ৩য় কোণ যদি ২য় কোণের চেয়ে ৩০ ডিগ্রি বড় হয় তবে ২য় কোণটি কত ডিগ্রি?

সমাধান:
ধরি,
২য় কোণ = ক
একটি কোণ = ৩ক
৩য় কোণ = ক + ৩০°

শর্তমতে,
ক + ৩ক + ক + ৩০° = ১৮০°
⇒ ৫ক = ১৮০° - ৩০°
⇒ ক = ১৫০°/৫
∴ ক = ৩০°

∴ ২য় কোণ = ৩০° ।

৭১২.

একটি সমকোনী সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের তিন কোনের অনুপাত কত হবে?

ক
ক) ৩:৪:৫
খ
খ) ২:২:৫
গ
গ) ১:২:৩
ঘ
ঘ) ১:১:২

ব্যাখ্যা

ধরি, কোন গুলোর অনুপাত x : x : 2x
x + x + 2x = 180
x = 45
তাহলে, কোনগুলো হল, ৪৫. ৪৫ ৯০। ইহা একটি সমদ্বিবাহু সমকোনী ত্রিভুজ।
দুটি কোন সমান হলে দুটি বাহুও সমান হবে।

৭১৩.

ত্রিভুজের তিনটি বাহুর দৈর্ঘ্য মিটারে দেওয়া আছে, কোন ক্ষেত্রে ত্রিভুজ অঙ্কন করা সম্ভব নয়?

ক
৪, ৭, ৫
খ
৮, ৫, ৯
গ
২, ৬, ৪
ঘ
৩, ৫, ৭

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ত্রিভুজের তিনটি বাহুর দৈর্ঘ্য মিটারে দেওয়া আছে, কোন ক্ষেত্রে ত্রিভুজ অঙ্কন করা সম্ভব নয়?

সমাধান:
ত্রিভুজের যেকোনো দুই বাহুর দৈর্ঘ্যের যোগফল তৃতীয় বাহুর দৈর্ঘ্য অপেক্ষা বৃহত্তর।

অপশনে উল্লিখিত প্রত্যেকটি অপশনের ক্ষুদ্রতম দুইটি বাহুর সাথে তৃতীয় বাহুর সাথে তুলনা করে পাই,
৪ + ৫ > ৭
৫ + ৮ > ৯
২ + ৪ = ৬ [দুই বাহুর যোগফল তৃতীয় বাহু অপেক্ষা বৃহত্তর নয়, সুতরাং ত্রিভুজ অঙ্কন সম্ভব নয়]
৩ + ৫ > ৭

৭১৪.

ΔABC ত্রিভুজের BC, CA ও AB বাহুর দৈর্ঘ্য যথাক্রমে a, b ও c। BC, CA ও AB বাহুর উপর অঙ্কিত মধ্যমা যথাক্রমে AD, BE ও CF এর দৈর্ঘ্য যথাক্রমে d, e ও f হলে কোনটি সত্য?

ক
9(a² + b² + c²) = 4(d² + e² + f²)
খ
3(a² + b² + c²) = (d² + e² + f²)
গ
(a² + b² + c²) = 4(d² + e² + f²)
ঘ
3(a² + b² + c²) = 4(d² + e² + f²)

ব্যাখ্যা

ΔABC ত্রিভুজের BC, CA ও AB বাহুর দৈর্ঘ্য যথাক্রমে a, b ও c।
BC, CA ও AB বাহুর উপর অঙ্কিত মধ্যমা যথাক্রমে AD, BE ও CF এর দৈর্ঘ্য যথাক্রমে d, e ও f

৭১৫.

সমবাহু ত্রিভুজের পরিসীমা ৩৬ মিটার হলে এর ক্ষেত্রফল কত হবে?

ক
২৬√৩ বর্গমিটার
খ
৩√৩ বর্গমিটার
গ
৩৬√৩ বর্গমিটার
ঘ
৩৩√৩ বর্গমিটার

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: সমবাহু ত্রিভুজের পরিসীমা ৩৬ মিটার হলে এর ক্ষেত্রফল কত হবে?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
সমবাহু ত্রিভুজের পরিসীমা ৩৬ মিটার
∴ সমবাহু ত্রিভুজের এক বাহুর দৈর্ঘ্য = ৩৬/৩ মিটার = ১২ মিটার

∴ সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল =(√৩/৪) × (বাহু)২ বর্গমিটার
∴ সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল =(√৩/৪) × ১২২ বর্গমিটার
= (√৩/৪) × ১৪৪ বর্গমিটার
= ৩৬√৩ বর্গমিটার

৭১৬.

একটি ত্রিভুজের তিনটি বাহুর দৈর্ঘ্য যথাক্রমে ১৩, ১৪ ও ১৫ মিটার। ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল কত?

ক
ক) ৬০ ব. মি.
খ
খ) ৮৪ ব. মি.
গ
গ) ৯০ ব. মি.
ঘ
ঘ) ১০৮ ব. মি.

ব্যাখ্যা

ত্রিভুজের পরিসীমা = (১৩ + ১৪ + ১৫)/২ = ২১ মিটার
∴ ক্ষেত্রফল = √{২১(২১ - ১৩)(২১ - ১৪)(২১ - ১৫)} = ৮৪ বর্গমিটার।

৭১৭.

একটি ত্রিভুজের তিনটি কোণের অনুপাত 1 : 1 : 2 হলে ত্রিভুজটি কোন ধরনের ত্রিভুজ?

ক
সমবাহু ত্রিভুজ
খ
সমকোণী ত্রিভুজ
গ
স্থূলকোণী ত্রিভুজ
ঘ
বিষমবাহু ত্রিভুজ

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি ত্রিভুজের তিনটি কোণের অনুপাত 1 : 1 : 2 হলে ত্রিভুজটি কোন ধরনের ত্রিভুজ?

সমাধান:
ধরি,
কোণ তিনটি যথাক্রমে x, x এবং 2x

প্রশ্নমতে,
x + x + 2x = 180°
বা, 4x = 180°
∴ x = 45°
এবং 2x = 90°

সুতরাং, ত্রিভুজটি সমকোণী।

৭১৮.

ΔABC এর ∠A = 40°, ∠B = 70° হলে Δ ABC কী ধরনের ত্রিভুজ?

ক
ক) স্থূলকোণী
খ
খ) সমকোণী
গ
গ) সমদ্বিবাহু
ঘ
ঘ) বিষমবাহু

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: Δ ABC এর ∠A = 40°, ∠B = 70° হলে Δ ABC কী ধরনের ত্রিভুজ?

সমাধান:

দেওয়া আছে,
Δ ABC এর ∠A = 40°, ∠B = 70°

∴ অপর কোণটি = 180° - (40° + 70°)
= 180° - 110°
= 70°
এখানে, সমান সমান কোণের বিপরীত বাহুগুলো সমান।

তাই Δ ABC একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ।

৭১৯.

ত্রিভুজের যে কোন দুই বাহুর দৈর্ঘ্যের অন্তর এর তৃতীয় বাহুর দৈর্ঘ্য অপেক্ষা-

ক
ক) বৃহত্তর
খ
খ) ক্ষুদ্রতর
গ
গ) সমান
ঘ
ঘ) কোনোটিই নয়

ব্যাখ্যা

আমরা জানি,
- ত্রিভুজের যে কোন দুই বাহুর সমষ্টি তার তার তৃতীয় বাহু অপেক্ষা বৃহত্তর।
- ত্রিভুজের যে কোন দুই বাহুর অন্তর বা ব্যবধান তৃতীয় বাহু অপেক্ষা ক্ষুদ্রতর।

৭২০.

একটি সমকোণী ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল 130 বর্গ মিটার। সমকোণ সন্নিহিত বাহুদ্বয় এর একটি দৈর্ঘ্য 10 মিটার হলে অপরটি কত?

ক
21 মিটার
খ
26 মিটার
গ
32 মিটার
ঘ
28 মিটার

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি সমকোণী ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল 130 বর্গ মিটার। সমকোণ সন্নিহিত বাহুদ্বয় এর একটি দৈর্ঘ্য 10 মিটার হলে অপরটি কত?

সমাধান:
সমকোণী ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল 130 বর্গ মিটার
একটি বাহুর দৈর্ঘ্য = 10 মিটার
অপর বাহুর দৈর্ঘ্য = p মিটার

প্রশ্নমতে,
(1/2) × p × 10 = 130
⇒ 5p = 130
⇒ p = 130/5
∴ p = 26 মিটার

৭২১.

কোন ত্রিভুজের তিনটি বাহুকে একইভাবে বর্ধিত করলে উৎপন্ন বহিঃস্থ কোণ তিনটির সমষ্টি

ক
ক) 180°
খ
খ) 270°
গ
গ) 360°
ঘ
ঘ) 540°

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: কোন ত্রিভুজের তিনটি বাহুকে একইভাবে বর্ধিত করলে উৎপন্ন বহিঃস্থ কোণ তিনটির সমষ্টি

সমাধান:

আমরা জানি,
যে কোন ত্রিভুজের তিন কোণের সমষ্টি = 180°
চিত্র হতে, x + y + z = 180° = এক সরলকোণ

প্রাপ্ত বহি:স্থ কোণগুলো যথাক্রমে (180° - x), (180° - y), (180° - z)
∴ বহি:স্থ কোণ তিনটির যোগফল = (180° - x) + (180° - y) + (180° - z)
= 540° - (x + y +z)
= 540° - 180°
= 360°

৭২২.

একটি সমকোণী ত্রিভুজের সমকোণ ব্যতীত অপর দুইটি কোণের পার্থক্য ৪ ডিগ্রি হলে ক্ষুদ্রতম কোণটি কত ডিগ্রি হবে?

ক
৪১°
খ
৪৩°
গ
৪৫°
ঘ
৪৭°

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি সমকোণী ত্রিভুজের সমকোণ ব্যতীত অপর দুইটি কোণের পার্থক্য ৪ ডিগ্রি হলে ক্ষুদ্রতম কোণটি কত ডিগ্রি হবে?

সমাধান:
ধরি,
ক্ষুদ্রতম কোণ = ক
বৃহত্তম কোণ = ক + ৪°

প্রশ্নমতে,
ক + ক + ৪° = ৯০°
⇒ ২ক = ৯০° - ৪°
⇒ ক = ৮৬°/২
∴ ক = ৪৩°

৭২৩.

ত্রিভুজ PQR এ PQ = 20 মি., QR = 12 মি. এবং ক্ষেত্রফল 120 বর্গমি. হলে ∠Q = কত?

ক
90°
খ
60°
গ
30°
ঘ
45°

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ত্রিভুজ PQR এ PQ = 20 মি., QR = 12 মি. এবং ক্ষেত্রফল 120 বর্গমি. হলে ∠Q = কত?

সমাধান:

আমরা জানি,
ক্ষেত্রফল = (1/2) × PQ × QR × sin⁡∠Q
⇒ 120 = (1/2) × 20 × 12 × sin⁡∠Q
⇒ 120 = 120 × sin⁡∠Q
⇒ sin⁡∠Q = 120/120 = 1
⇒ sin⁡∠Q = sin90°
∴ ∠Q = 90°

৭২৪.

একটি ত্রিভুজের একটি কোণ যদি ২য় কোণের তিনগুণ এবং ৩য় কোণ যদি ২য় কোণের চেয়ে ৩০ ডিগ্রি বড় হয় তবে ১ম কোণটির পরিমাপ কত?

ক
ক) ৯০°
খ
খ) ৫০°
গ
গ) ৪৫°
ঘ
ঘ) ৩০°

ব্যাখ্যা

ধরি, ২য় কোণ = ক ডিগ্রি
তাহলে ৩য় কোণ = ক + ৩০°
১ম কোণ = ৩ক ডিগ্রি
শর্তমতে, ক + ৩ক + ক + ৩০° = ১৮০°
৫ক = ১৫০°
ক = ৩০°
∴ প্রথম কোণ = ৩ × ৩০° = ৯০°

৭২৫.

6 সে.মি. ব্যাসার্ধ বিশিষ্ট একটি বৃত্তের অন্তঃস্থ একটি সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল কত হবে?

ক
25√3 বর্গ সে. মি.
খ
27√3 বর্গ সে. মি.
গ
23√3 বর্গ সে. মি.
ঘ
16√3 বর্গ সে. মি.

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 6 সে.মি. ব্যাসার্ধ বিশিষ্ট একটি বৃত্তের অন্তঃস্থ একটি সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল কত হবে?

সমাধান:
বৃত্তের ব্যাসার্ধ = ৬ সে.মি.

সমবাহু ত্রিভুজের বাহু = √3 × বৃত্তের ব্যাসার্ধ
= √3 × 6 সে.মি.
= 6√3 সে.মি.

আমরা জানি,
সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = √3/4 × (বাহু)²
= (√3/4) × (6√3)²
= 27√3 বর্গ সে.মি.

৭২৬.

একটি সমবাহু ত্রিভুজের প্রত্যেক বাহুর পরিমাণ a হলে, এর ক্ষেত্রফল কত?

ক
ক) a²
খ
খ) (√3/4) a²
গ
গ) πa²
ঘ
ঘ) 4a²/3

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি সমবাহু ত্রিভুজের প্রত্যেক বাহুর পরিমাণ a হলে, এর ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
সমবাহু ত্রিভুজের প্রত্যেক বাহুর দৈর্ঘ্য a মিটার
আমরা জানি,
- সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = √3a²/4
- সমবাহু পরিসীমা = 3a
- সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = (b/4) × √(4a² - b²)

৭২৭.

একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের ভূমি ১৬ একক এবং অপর প্রত্যেক বাহুদ্বয় ১০ একক। ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল কত বর্গএকক?

ক
ক) ২৪ বর্গএকক
খ
খ) ৩৬ বর্গএকক
গ
গ) ৪২ বর্গএকক
ঘ
ঘ) ৪৮ বর্গএকক

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের ভূমি ১৬ একক এবং অপর প্রত্যেক বাহুদ্বয় ১০ একক। ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল কত বর্গএকক?

সমাধান:
আমরা জানি,
সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের সমান সমান বাহু a একক এবং ভূমি bএকক হলে,
ক্ষেত্রফল = (b/4)√(4a² - b²) বর্গএকক

দেওয়া আছে,
সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের সমান সমান বাহুর দৈর্ঘ্য ১০ একক
ভূমির দৈর্ঘ্য ১৬ একক

এখানে, a = ১০ একক, b= ১৬ একক
সুতরাং, ক্ষেত্রফল =
(১৬/৪)√(৪ × ১০^২ - ১৬^২) বর্গএকক
= ৪√(৪ x ১০০- ২৫৬) বর্গএকক
= ৪√(৪০০ - ২৫৬) বর্গএকক
= ৪√১৪৪ বর্গএকক
= ৪ × ১২ বর্গএকক
= ৪৮ বর্গএকক

৭২৮.

ABC ত্রিভুজের AB=AC এবং ∠A =70° হলে ∠B = কত?

ক
ক) 80°
খ
খ) 30°
গ
গ) 55°
ঘ
ঘ) 85°

ব্যাখ্যা

ΔABC এর AB = AC
∴ ∠C = ∠B
এখন, ∠C + ∠B + ∠A = 180°
বা, 2∠B = 180° - 70°
বা,∠B = 55°

৭২৯.

একটি সমকোণী ত্রিভুজের সমকোণ ছাড়া অন্য দুটি কী কোণ?

ক
ক) সরলকোণ
খ
খ) সূক্ষ্মকোণ
গ
গ) পূরককোণ
ঘ
ঘ) সন্নিহিত কোণ

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি সমকোণী ত্রিভুজের সমকোণ ছাড়া অন্য দুটি কী কোণ?

সমাধান:
আমরা জানি,
ত্রিভুজের তিন কোণের সমষ্টি ১৮০°
সমকোণী ত্রিভুজের একটি কোণ সমকোণ = ৯০°
∴ অপর দুই কোণের সমষ্টি = ১৮০° - ৯০° = ৯০°

∴ প্রতিটি কোণ ভিন্ন ভিন্ন ভাবে অবশ্যই ৯০° এর চেয়ে ছোট হবে।
অর্থাৎ এগুলো সূক্ষ্মকোণ হবে।

৭৩০.

অতিভুজের বিপরীতে থাকে-

ক
সমকোণ
খ
সরলকোণ
গ
স্থুলকোণ
ঘ
সূক্ষ্মকোণ

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: অতিভুজের বিপরীতে থাকে-

সমাধান:
- সমকোণী ত্রিভূজের সমকোণের বিপরীত বাহুকে অতিভূজ বলে
- অতিভূজের বিপরীত কোণ সমকোণ।
- সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজ বৃহত্তম বাহুই ।

৭৩১.

ΔABC এ AB = AC, ∠A = 50, BC বাহুর বর্ধিতাংশ CD হলে ∠ACD = ?

ক
145°
খ
55°
গ
85°
ঘ
115°

ব্যাখ্যা

ΔABC এ, AB = AC
∴ ∠C = ∠B
এখন, ∠A+∠B+∠C = 180°
বা, 50° + ∠B + ∠B = 180°
বা, 2∠B = 130°
∴ ∠B = 65°
∴ ∠ACD = ∠A + ∠B = 50° + 65° = 115°.

৭৩২.

একটি ত্রিভূজের তিনটি কোন যথাক্রমে x/2, 3x/2, 5x/2 হলে বৃহত্তম কোণের সম্পূরক কোণ-

ক
60°
খ
70°
গ
80°
ঘ
90°

ব্যাখ্যা

এখানে,
x/2 + 3x/2 + 5x/2 = 180°
বা, x + 3x + 5x = 180° × 2
বা, 9x = 180° × 2
বা, x = 20° × 2 = 40°
∴ বৃহত্তম কোণ = (5 × 40°)/2
= 100°
∴ বৃহত্তম কোণের সম্পূরক কোণ = 180° - 100°
= 80°

৭৩৩.

'ত্রিভুজের তিন কোণের সমষ্টি দুই সমকোণের সমান'- কোন ক্ষেত্রে সত্য?

ক
ক) শুধু সূক্ষ্মকোণী ত্রিভুজের ক্ষেত্রে
খ
খ) শুধু স্থুলকোণী ত্রিভুজের ক্ষেত্রে
গ
গ) শুধু সমকোণী ত্রিভুজের ক্ষেত্রে
ঘ
ঘ) সকল ত্রিভুজের ক্ষেত্রে

ব্যাখ্যা

আমরা জানি,
- ত্রিভুজের তিন কোণের সমষ্টি দুই সমকোণ।
- সকল ত্রিভুজের ক্ষেত্রে 'ত্রিভুজের তিন কোণের সমষ্টি দুই সমকোণের সমান'
- ত্রিভুজের তিন কোণের সমষ্টি দুই সমকোণ বলে সমকোণী ত্রিভুজের সমকোণ ছাড়া অন্য দুই কোণের সমষ্টি = ৯০°

৭৩৪.

একটি ত্রিভুজাকৃতি ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল 104 বর্গগজ। ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দু হতে ভূমির উপর অঙ্কিত লম্বের দৈর্ঘ্য 16 গজ হলে, ভূমির দৈর্ঘ্য কত?

ক
11 গজ
খ
12 গজ
গ
13 গজ
ঘ
14 গজ

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি ত্রিভুজাকৃতি ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল 104 বর্গগজ। ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দু হতে ভূমির উপর অঙ্কিত লম্বের দৈর্ঘ্য 16 গজ হলে, ভূমির দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = (1/2) × ভূমি × উচ্চতা
= (1/2) × ভূমি × 16
= 8 × ভূমি

প্রশ্নমতে,
8 × ভূমি = 104
⇒ ভূমি = 104/8
∴ ভূমি = 13 গজ

৭৩৫.

একটি ত্রিভুজের তিনবাহুর দৈর্ঘ্য ৪, ৬ ও ৮ মিটার। নিকটতম বর্গমিটারের ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল কত?

ক
১৪ বর্গমিটার
খ
১৩ বর্গমিটার
গ
১২ বর্গমিটার
ঘ
১০ বর্গমিটার

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি ত্রিভুজের তিনবাহুর দৈর্ঘ্য ৪, ৬ ও ৮ মিটার। নিকটতম বর্গমিটারের ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
তিনবাহুর দৈর্ঘ্য a = ৪ মিটার, b = ৬ মিটার ও c = ৮ মিটার
ত্রিভুজটির পরিসীমা (2s) = ৪ + ৬ + ৮ = ১৮ মিটার
∴অর্ধ-পরিসীমা (s) = ১৮/২ = ৯ মিটার

ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = √{s(s - a)(s - b)(s - c)} বর্গমিটার
= √{৯(৯ - ৪)(৯ - ৬)(৯ - ৮)}
= √(৯ × ৫ × ৩ × ১)
= √১৩৫ বর্গমিটার
= ১১.৬১৯ বর্গমিটার
= ১২ বর্গমিটার

৭৩৬.

নিচের কোনটি সমকোণী ত্রিভুজের বাহুর অনুপাত?

ক
ক) 6 : 4 : 3
খ
খ) 6 : 5 : 4
গ
গ) 11 : 8 : 7
ঘ
ঘ) 13 : 12 : 5

ব্যাখ্যা

সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজ² = লম্ব² + ভূমি²
এখানে,
4²+3² = 16+9 = 25 ≠ 6² = 36 ; যা সম্ভব নয়।
5²+4² = 25+16 = 41 ≠ 6² = 36 ; যা সম্ভব নয়।
8²+7² = 64+49 = 113 ≠ 11² = 121 ; যা সম্ভব নয়।
12²+5² = 144+25 = 169 = 13² = 169 ; যা সম্ভব।
∴ নির্ণেয় অনুপাতটি 13 : 12 : 5

৭৩৭.

একটি সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল 9√3 বর্গ মিটার হলে এর পরিসীমা কত মিটার?

ক
12 মিটার
খ
14 মিটার
গ
16 মিটার
ঘ
18 মিটার

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল 9√3 বর্গ মিটার হলে এর পরিসীমা কত মিটার?

সমাধান:
ধরি,
সমবাহু ত্রিভুজের এক বাহুর দৈর্ঘ্য = a মিটার
∴ ক্ষেত্রফল = (√3/4)a² বর্গমিটার

প্রশ্নমতে,
(√3/4)a² = 9√3
বা, a²/4 = 9
বা, a² = 36
∴ a = 6

∴ সমবাহু ত্রিভুজের পরিসীমা = 3a = 3 × 6 = 18 মিটার

৭৩৮.

একটি ত্রিভুজের তিনটি কোণের অনুপাত ১ : ১ : ২ হলে, ত্রিভুজটি হবে-

ক
ক) সূক্ষ্মকোণী ত্রিভুজ
খ
খ) সমকোণী ত্রিভুজ
গ
গ) স্থুলকোণী ত্রিভুজ
ঘ
ঘ) সমবাহু ত্রিভুজ

ব্যাখ্যা

কোনো ত্রিভুজের দুটি কোণের সমষ্টি অপর কোণের সমান হলে ত্রিভুজটি সমকোণী ত্রিভুজ হয়।

৭৩৯.

কোনো ত্রিভুজের যেকোন একটি বাহুকে উভয় দিকে বর্ধিত করলে উৎপন্ন বহিঃস্থ কোণদ্বয়ের বিয়োগফল ০° হলে ত্রিভুজটি হবে-

ক
ক) সমবাহু ত্রিভুজ
খ
খ) বিষমবাহু ত্রিভুজ
গ
গ) সমকোণী ত্রিভুজ
ঘ
ঘ) কোনটি নয়

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: কোনো ত্রিভুজের যেকোন একটি বাহুকে উভয় দিকে বর্ধিত করলে উৎপন্ন বহিঃস্থ কোণদ্বয়ের বিয়োগফল ০° হলে ত্রিভুজটি হবে-

সমাধান:
আমরা জানি,
সমবাহু ত্রিভুজের প্রত্যেকটি কোণের মান 60°।
সুতরাং একটি বাহুকে উভয়দিকে বর্ধিত করলে উৎপন্ন বহিঃস্থ কোণ উভয় পাশে 180° - 60° = 120°।
সুতরাং বহিঃস্থ কোণ দুটির বিয়োগফল = 120° - 120° = 0°

৭৪০.

ΔABC সমকোণী ত্রিভুজ ও ∠ACD = 130° হলে, ∠A = ?

ক
30°
খ
40°
গ
50°
ঘ
60°

ব্যাখ্যা

∠A + ∠B = ∠ACD
বা, ∠A = ∠ACD - ∠B = 130° - 90° = 40°

৭৪১.

একটি সমবাহু ত্রিভুজের একটি বাহু 12 মিটার। ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল কত?

ক
36√3 বর্গমিটার
খ
72√3 বর্গমিটার
গ
18√3 বর্গমিটার
ঘ
144√3 বর্গমিটার

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি সমবাহু ত্রিভুজের একটি বাহু 12 মিটার। ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
সমবাহু ত্রিভুজের বাহুর দৈর্ঘ্য a হলে ক্ষেত্রফল (√3/4)a2
দেওয়া আছে,
সমবাহু ত্রিভুজটির একটি বাহুর দৈর্ঘ্য a = 12 মিটার।

ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল = (√3/4) × (12)²
= (√3/4) × 12 × 12
= 36√3 বর্গমিটার

৭৪২.

নিচে তিনটি বাহুর দৈর্ঘ্য দেওয়া হলো। কোন ক্ষেত্রে ত্রিভুজ অঙ্কন সম্ভব?

ক
ক) 4, 8, 3
খ
খ) 3, 4, 7
গ
গ) 4, 7, 4
ঘ
ঘ) 3, 7, 3

ব্যাখ্যা

আমরা জানি, ত্রিভুজের যেকোনো দুই বাহুর সমষ্টি তৃতীয় বাহু অপেক্ষা বৃহত্তম।
- এখানে একমাত্র 4 + 4 > 7 বাহু গুলো দ্বারা ত্রিভুজ অঙ্কন সম্ভব।

৭৪৩.

নিচে তিনটি বাহুর দৈর্ঘ্য দেওয়া হল। কোন ক্ষেত্রে ত্রিভুজ অঙ্কন করা সম্ভব?

ক
ক) ৭, ৮, ৯
খ
খ) ৩, ৪, ৭
গ
গ) ৫, ৬, ১২
ঘ
ঘ) ৭, ১০, ২

ব্যাখ্যা

আমরা জানি, যে কোনো ত্রিভুজের দুই বাহুর সমষ্টি ৩য় বাহু অপেক্ষা বৃহত্তর।
অপশন ক) এর ক্ষেত্রে, উপরের বিবৃতিটি সত্য।

৭৪৪.

একটি ত্রিভুজ এবং একটি বৃত্ত ন্যূনতম কয়টি বিন্দুতে ছেদ করতে পারে?

ক
১ টি
খ
২ টি
গ
৩ টি
ঘ
৪ টি

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি ত্রিভুজ এবং একটি বৃত্ত ন্যূনতম কয়টি বিন্দুতে ছেদ করতে পারে?

সমাধান:
একটি ত্রিভুজ এবং একটি বৃত্ত ন্যূনতম ২টি ও সর্বোচ্চ ৬টি বিন্দুতে পরস্পরকে ছেদ করে।

৭৪৫.

সমকোণী ত্রিভুজের বাহুগুলোর অনুপাত কোনটি?

ক
ক) 6 : 4 : 3
খ
খ) 6 : 5 : 4
গ
গ) 12 : 8 : 4
ঘ
ঘ) 13 : 12 : 5

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: সমকোণী ত্রিভুজের বাহুগুলোর অনুপাত কোনটি?

সমাধান:
আমর জনি,
সমকোণী ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = লম্ব² + ভূমি² = অতিভুজ²
⇒ 12² + 5² = 13²
⇒ 144 + 25 = 169
⇒ 169 = 169

∴ 13 : 12 : 5 বাহুগুলির অনুপাত দিয়ে সমকোণী ত্রিভুজ আঁকা যায়।

৭৪৬.

একটি ত্রিভুজের এক বাহুর দৈর্ঘ্য 16 সে.মি. এবং অপর বাহু দু’টির প্রতিটির দৈর্ঘ্য 10 সে.মি.। ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল কত বর্গ সে.মি.?

ক
168 বর্গ সে.মি.
খ
96 বর্গ সে.মি.
গ
144 বর্গ সে.মি.
ঘ
48 বর্গ সে.মি.

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি ত্রিভুজের এক বাহুর দৈর্ঘ্য 16 সে.মি. এবং অপর বাহু দু’টির প্রতিটির দৈর্ঘ্য 10 সে.মি.। ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল কত বর্গ সে.মি.?

সমাধান:
ত্রিভুজটি একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ।
আমরা জানি,
সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের সমান বাহুর দৈর্ঘ্য a এবং ভূমির দৈর্ঘ্য b একক হলে,
ক্ষেত্রফল = (b/4)√(4a² - b²)

∴ ক্ষেত্রফল = (16/4) √{4(10)²} - (16)²
= 4{√(400 - 256)
= 4 √144
= 4 × 12
= 48

∴ ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল 48 বর্গ সে.মি.।

৭৪৭.

একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের ভূমি ১৬ মিটার এবং অপর দুইটি বাহুর প্রতিটি ১০ মিটার। ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল কত?

ক
ক) ৩৬ বর্গমিটার
খ
খ) ৪২ বর্গমিটার
গ
গ) ৫০ বর্গমিটার
ঘ
ঘ) ৪৮ বর্গমিটার

ব্যাখ্যা

দেওয়া আছে,
সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের ভূমি, a = 16 মি. এবং সমান সমান বাহুর দৈর্ঘ্য, b = 10 মি.
আমরা জানি,
∴ সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = a/4 √(4b²-a²)
= 16/4 √(4×10²-16²)
= 4√(400-256)
= 4×12
= 48 বর্গ মি.

৭৪৮.

কোনো ত্রিভুজের বাহুগুলোর অনুপাত নিচের কোনটি হলে একটি সমকোণী ত্রিভুজ অংকন করা যাবে?

ক
ক) ৫ঃ৬ঃ৭
খ
খ) ১৩ঃ১২ঃ৫
গ
গ) ১০ঃ১৫ঃ২০
ঘ
ঘ) ৪ঃ৫ঃ৬

ব্যাখ্যা

এখানে, ১৩^২ = ১২^২ + ৫^২; যা একটি সমকোণী ত্রিভুজের বাহুগুলোর দৈর্ঘ্যের ক্ষেত্রে সম্ভব।

৭৪৯.

সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের সমান কোণদ্বয়ের একটি 52° হলে, তৃতীয় কোণের পরিমাণ কত ?

ক
ক) 76°
খ
খ) 52°
গ
গ) 26°
ঘ
ঘ) 128°

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের সমান কোণদ্বয়ের একটি 52° হলে, তৃতীয় কোণের পরিমাণ কত ?

সমাধান:
আমরা জানি,
ত্রিভুজের তিন কোণের সমষ্টি = 180°

সমান কোণদ্বয়ের সমষ্টি = 52° + 52°
= 104°

∴ অপর কোণ = 180° - 104°
= 76°

৭৫০.

১টি সমদ্বিবাহু সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজের দৈর্ঘ্য ১২ সে.মি. হলে, ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল বর্গ সে.মি. কত হবে?

ক
৪৮
খ
৫৬
গ
৭২
ঘ
৩৬

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ১টি সমদ্বিবাহু সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজের দৈর্ঘ্য ১২ সে.মি. হলে, ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল বর্গ সে.মি. কত হবে?

সমাধান:
সমদ্বিবাহু সমকোণী ত্রিভুজের ক্ষেত্রে, সমকোণ সংলগ্ন বাহু দুটির দৈর্ঘ্য সমান হয়।
ধরি, সমকোণ সংলগ্ন প্রতিটি বাহুর দৈর্ঘ্য = a সে.মি.
অতিভুজের দৈর্ঘ্য, h = 12 সে.মি.
পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুসারে:
(অতিভুজ)² = (লম্ব)² + (ভূমি)²
⇒ h²= a² + a²
⇒ 12²= a² + a²
⇒ 144 = 2a²
⇒ a² = 144/2
⇒ a² = 72

ত্রিভুজের ক্ষেত্রফলের সূত্র:
ক্ষেত্রফল = 1/2 × ভূমি × উচ্চতা
একটি সমকোণী ত্রিভুজের ক্ষেত্রে, সমকোণ সংলগ্ন বাহু দুটিই ভূমি ও উচ্চতা।
ক্ষেত্রফল = 1/2 × a × a
= 1/2 a²
= 1/2 × 72
= 36 বর্গ সে.মি.

৭৫১.

একটি সমকোণী ত্রিভুজের লম্ব 12 সে. মি. এবং পরিসীমা 30 সে. মি. ত্রিভুজটির অতিভুজ -

ক
ক) 13 সে.মি
খ
খ) 14 সে.মি
গ
গ) 15 সে.মি
ঘ
ঘ) 16 সে.মি

ব্যাখ্যা

ভূমি = a, লম্ব = b = 12, অতিভূজ = c
∴ পরিসীমা a + b + c = 30 বা, a + c = 30 - 6 = 18
∴ a + c = 18 = 13 + 5
যেখানে, 12² + 5² = 13²
∴ অতিভূজ = 13

৭৫২.

ক
24 বর্গ সে.মি.
খ
48 বর্গ সে.মি.
গ
72 বর্গ সে.মি.
ঘ
96 বর্গ সে.মি.

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি ত্রিভুজের এক বাহুর দৈর্ঘ্য 16 সে.মি. এবং অপর বাহু দু’টির প্রতিটির দৈর্ঘ্য 10 সে.মি.। ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল কত বর্গ সে.মি.?

সমাধান:
ত্রিভুজটি একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ।
আমরা জানি,
সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের সমান বাহুর দৈর্ঘ্য a এবং ভূমির দৈর্ঘ্য b একক হলে,
ক্ষেত্রফল = (b/4)√(4a² - b²)

∴ ক্ষেত্রফল = (16/4){√4(10)² - (16)²}
= 4 × {√(400 - 256)
= 4 × √144
= 4 × 12
= 48

∴ ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল = 48 বর্গ সে.মি.।

৭৫৩.

একটি ত্রিভুজের তিনটি বাহুর দৈর্ঘ্য ৬ মিটার, ৪ মিটার ও ১২ মিটার হলে ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল কত হবে?

ক
ক) ২২ বর্গমিটার
খ
খ) ২৪ বর্গমিটার
গ
গ) ১৪৪ বর্গমিটার
ঘ
ঘ) কোনটিই নয়

ব্যাখ্যা

ত্রিভুজের যে কোন দুইবাহুর দৈর্ঘ্য তৃতীয় বাহু অপেক্ষা বৃহত্তর।
কিন্তু এখানে (৬+৪) = ১০ যা তৃতীয় বাহুর দৈর্ঘ্য ১২ অপেক্ষা বৃহত্তর নয়। তাই এ ত্রিভুজ গঠন সম্ভব নয়।

৭৫৪.

একটি সমবাহু ত্রিভুজের তিন কোণের সমষ্টি ১৮০ ডিগ্রি হলে, যে কোন দুটি বাহুর অন্তর্গত কোণটি কত?

ক
ক) ৬০ ডিগ্রি
খ
খ) ১২০ ডিগ্রি
গ
গ) ১৮০ ডিগ্রি
ঘ
ঘ) ৩০ ডিগ্রি

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি সমবাহু ত্রিভুজের তিন কোণের সমষ্টি ১৮০ ডিগ্রি হলে, যে কোন দুটি বাহুর অন্তর্গত কোণটি কত?

সমাধান:
সমবাহু ত্রিভুজের তিন কোণের সমষ্টি ১৮০ ডিগ্রি
সমবাহু ত্রিভুজের প্রতিটি কোণের পরিমাণ = ৬০ ডিগ্রি
যে কোন দুটি বাহুর অন্তর্গত কোণ = ৬০ ডিগ্রি

৭৫৫.

একটি ত্রিভুজাকৃতি কক্ষের বাহুগুলোর দৈর্ঘ্য যথাক্রমে 15 মি. 20 মি. 25 মি. হলে এর ক্ষেত্রফল কত?

ক
ক) 140 বর্গমিটার
খ
খ) 150 বর্গমিটার
গ
গ) 160 বর্গমিটার
ঘ
ঘ) 170 বর্গমিটার

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি ত্রিভুজাকৃতি কক্ষের বাহুগুলোর দৈর্ঘ্য যথাক্রমে 15 মি. 20 মি. 25 মি. হলে এর ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
ধরি, বাহুগুলোর দৈর্ঘ্য a = 15 মি. B = 20 মি. C = 25 মি.
পরিসীমা, 2s = (15 + 20 + 25) মি.
বা, s = 60/2 মি. = 30 মি.

আমরা জানি,
ক্ষেত্রফল = √{s(s - a) (s - b) (s - c)}
= √{30 (30 - 15) (30 - 20) (30 - 25)} বর্গমিটার
= √(30 x 15 x 10 x 5) বর্গমিটার
= √22500 বর্গমিটার
= 150 বর্গমিটার

৭৫৬.

কোনো ত্রিভুজের তিন কোণের দ্বি-খন্ডকগুলো যে বিন্দুতে ছেদ করে তাকে কি বলে?

ক
ক) বহিঃকেন্দ্র
খ
খ) ভরকেন্দ্র
গ
গ) পরিকেন্দ্র
ঘ
ঘ) অন্তঃকেন্দ্র

ব্যাখ্যা

- ত্রিভুজের মধ্যমাত্রয়ের ছেদবিন্দুকে ভরকেন্দ্র বলে।
- ত্রিভুজের কোণত্রয়ের সমদ্বিখণ্ডকের ছেদবিন্দুকে অন্তঃকেন্দ্র বলে।
- ত্রিভুজের তিন বাহুর লম্বদ্বিখণ্ডকগুলোর ছেদবিন্দুকে পরিকেন্দ্র বলে।

৭৫৭.

একটি সমবাহু ত্রিভূজের পরিসীমা ৬ সে. মি. হলে, এর একটি মধ্যমার দৈর্ঘ্য কত সে. মি.?

ক
ক) √২
খ
খ) √৩
গ
গ) √৫
ঘ
ঘ) ২

ব্যাখ্যা

ABC সমবাহু ত্রিভূজে AB = BC = CA = ২ সে. মি.
AD মধ্যমা
∴ AD ⊥ BC এবং CD = ১ সে. মি.
∴ AC² = AD² + CD²
বা, AD = √(AC² - CD²)
= √(২^২ - ১^২)
= √৩

৭৫৮.

একটি ত্রিভুজের তিনটি কোণের অনুপাত ৩ : ৪ : ৫ হলে, ক্ষুদ্রতম কোণটি কত?

ক
ক) ৩০°
খ
খ) ৪৫°
গ
গ) ৬০°
ঘ
ঘ) ৭৫°

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন- একটি ত্রিভুজের তিনটি কোণের অনুপাত ৩ : ৪ : ৫ হলে, ক্ষুদ্রতম কোণটি কত?

সমাধান-
আমরা জানি,
ত্রিভুজের তিন কোণের সমষ্টি = ১৮০°

ক্ষুদ্রতম কোণটি = ১৮০° × (৩/১২) = ৪৫°

৭৫৯.

কোন ত্রিভুজের দুটি কোনের পরিমান ৩৫° ও ৫৫° হলে, ত্রিভুজটি কোন ধরনের ত্রিভুজ?

ক
ক) সমবাহু ত্রিভুজ
খ
খ) সমকোনী ত্রিভুজ
গ
গ) স্থুলকোনী ত্রিভুজ
ঘ
ঘ) সুক্ষ্মকোনী ত্রিভুজ

ব্যাখ্যা

প্রদত্ত কোনদ্বয়ের সমষ্টি = (৩৫ + ৫৫) বা ৯০°
তাহলে, অপর কোনটিও ৯০ কারন ত্রিভুজের তিনকোনের সমষ্টি ১৮০°
যার এককোন সমকোন তাকে সমকোনী ত্রিভুজ বলে।

৭৬০.

সমকোণী ত্রিভুজের সমকোণ সংলগ্ন বাহুদ্বয় যথাক্রমে ৬ ও ৮ মি. মি. হলে এর অতিভুজের মান কত?

ক
১৪ মি.মি.
খ
১০ মি.মি.
গ
১২ মি.মি.
ঘ
৯ মি.মি.

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: সমকোণী ত্রিভুজের সমকোণ সংলগ্ন বাহুদ্বয় যথাক্রমে ৬ ও ৮ মি.মি. হলে এর অতিভুজের মান কত?

সমাধান:
সমকোণী ত্রিভুজের সমকোণ সংলগ্ন বাহুদ্বয় যথাক্রমে ৬ ও ৮ মি. মি. হলে
ধরি
ভূমি = ৮ মি. মি.
উচ্চতা = ৬ মি. মি.

আমরা জানি,
(অতিভুজ)^২ = (উচ্চতা )^২ + (ভূমি)^২
বা,(অতিভুজ)^২ = (৬)^২+ (৮)^২
বা,(অতিভুজ)^২ = ৩৬ + ৬৪ মি.
বা,(অতিভুজ)^২ = ১০০ মি.
(অতিভুজ)২ = ১০^২
অতিভুজ = ১০

৭৬১.

একটি সমবাহু ত্রিভুজের বাহুর প্রত্যেকটির দৈর্ঘ্য 2 মিটার বাড়ালে এর ক্ষেত্রফল 3√3 বর্গমিটার বেড়ে যায়। সমবাহু ত্রিভুজের বাহুর দৈর্ঘ্য কত?

ক
1 মিটার
খ
2 মিটার
গ
3 মিটার
ঘ
4 মিটার

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি সমবাহু ত্রিভুজের বাহুর প্রত্যেকটির দৈর্ঘ্য 2 মিটার বাড়ালে এর ক্ষেত্রফল 3√3 বর্গমিটার বেড়ে যায়। সমবাহু ত্রিভুজের বাহুর দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
মনেকরি,
সমবাহু ত্রিভুজের প্রত্যেক বাহুর দৈর্ঘ্য a মিটার
ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল = √3a²/4
ত্রিভুজের প্রত্যেক বাহুর দৈর্ঘ্য 2 মিটার বাড়ালে ক্ষেত্রফল= √3(a + 2)²/4

প্রশ্নমতে,
{√3(a + 2)²/4} - (√3a²/4) = 3√3
বা, (√3/4){(a + 2)² - a²} = 3√3
বা, a² + 4a + 4 - a² = 12
বা, 4a + 4 = 12
বা, 4a = 8
a = 2

৭৬২.

একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের একটি কোণ ৭০° হলে অপর যেকোনো একটি কোণের মান কত?

ক
৫৫°
খ
৫০°
গ
৬০°
ঘ
৪৫°

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের একটি কোণ ৭০° হলে অপর যেকোনো একটি কোণের মান কত?

সমাধান:
সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের একটি কোণ ৭০
সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের সমান সমান বাহু ভূমির সাথে সমান সমান কোণ উৎপন্ন করে

ধরি
অপর যেকোনো একটি কোণের মান = ক

প্রশ্নমতে
ক + ক + ৭০° = ১৮০°
বা, ২ক = ১৮০° - ৭০°
বা, ২ক = ১১০°
ক = ৫৫°

৭৬৩.

XYZ ত্রিভুজটির X কোণের মান 50° এবং Y কোণের মান 60° হলে, ত্রিভুজটি কী ধরনের ত্রিভুজ হবে?

ক
সমকোণী
খ
সমবাহু
গ
বিষমবাহু
ঘ
সমদ্বিবাহু

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: XYZ ত্রিভুজটির X কোণের মান 50° এবং Y কোণের মান 60° হলে, ত্রিভুজটি কী ধরনের ত্রিভুজ হবে?

সমাধান:

দেওয়া আছে,
X কোণ = 50°
এবং Y কোণ = 60°
∴ Z কোণের মান = 180° - (50 + 60)°
= 180° - 110°
= 70°

এখানে,
X ও Y কোণ সমান নয়, আবার Z কোণও ভিন্ন।
অর্থাৎ, তিনটি কোণই আলাদা।
অতএব, ত্রিভুজটি বিষমবাহু ত্রিভুজ হবে।

৭৬৪.

ক
৩, ৪, ৭
খ
৪, ৬, ৮
গ
১২, ৬, ১৫
ঘ
৬, ৮, ১০

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ত্রিভুজের তিনটি বাহুর দৈর্ঘ্য মিটারে দেওয়া আছে, কোন ক্ষেত্রে ত্রিভুজ অঙ্কন করা সম্ভব নয়?

সমাধান:
আমরা জানি,
ত্রিভুজের যেকোনো দুই বাহুর দৈর্ঘ্যের যোগফল তৃতীয় বাহুর দৈর্ঘ্য অপেক্ষা বৃহত্তর।
অপশনে উল্লিখিত প্রত্যেকটি অপশনের ক্ষুদ্রতম দুইটি বাহুর সাথে তৃতীয় বাহুর সাথে তুলনা করে পাই,
৪ + ৬ > ৮
৬ + ৮ > ১০
৩ + ৪ = ৭ [দুই বাহুর যোগফল তৃতীয় বাহু অপেক্ষা বৃহত্তর নয়, সুতরাং ত্রিভুজ অঙ্কন সম্ভব নয়]
১২ + ৬ > ১৫

৭৬৫.

ΔABC এর AB = AC, BA কে D পর্যন্ত এমনভাবে বর্ধিত করা হল যেন AD = AC হয়। নিচের কোনটি সঠিক?

ক
ক) BC + CD > 2AC
খ
খ) ∠BCD = এক সমকোণ
গ
গ) ∠BDC = ∠ACD
ঘ
ঘ) উপরের সবগুলো

ব্যাখ্যা

AB = AC = AD
ΔBCD এ,
BC + CD > BD
BC + CD > AB + AD
BC + CD > AD + AD
BC + CD > 2AD
BC + CD > 2AC

AB = AC
∠ABC = ∠ACB
∠DBC = ∠ACB

AC = AD
∠ADC = ∠ACD
∠BDC = ∠ACD

ΔBCD এ
∠BDC + ∠DBC + ∠BCD = দুই সমকোণ
∠ACD + ∠ACB + ∠BCD = দুই সমকোণ
∠BCD + ∠BCD = দুই সমকোণ
2∠BCD = দুই সমকোণ
∠BCD = এক সমকোণ

৭৬৬.

ত্রিভুজ ABC এর BC = CA = AB = 5 সেন্টিমিটার। ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল কত ?

ক
ক) (25√3)/4
খ
খ) (25√3)/6
গ
গ) (25√3)/2
ঘ
ঘ) (25√3)/7

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ত্রিভুজ ABC এর BC = CA = AB = 5 সেন্টিমিটার। ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:

দেওয়া আছে,
BC = CA = AB = 5 সেন্টিমিটার
প্রদত্ত ত্রিভুজটি একটি সমবাহু ত্রিভুজ।
ধরি,
প্রত্যেক বাহুর দৈর্ঘ্য, a = 5 সে.মি.

আমরা জানি,
সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = (√3/4) a²
= (√3/4) (5)²
= (25√3)/4 বর্গ সে.মি.

৭৬৭.

সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের সমান বাহুর দৈর্ঘ্য 5 সে.মি. এবং ভূমির দৈর্ঘ্য 8 সে.মি. হলে ক্ষেত্রফল কত হবে?

ক
4√2 বর্গ সে.মি.
খ
6 বর্গ সে.মি.
গ
12 বর্গ সে.মি.
ঘ
2√5 বর্গ সে.মি.

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের সমান বাহুর দৈর্ঘ্য 5 সে.মি. এবং ভূমির দৈর্ঘ্য 8 সে.মি. হলে ক্ষেত্রফল কত হবে?

সমাধান:
ধরি,
সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের সমান বাহুর দৈর্ঘ্য, a = 5 সে.মি.
সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের ভূমির দৈর্ঘ্য, b = 8 সে.মি.

আমরা জানি,
সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = (b/4)√(4a² - b²)
= (8/4) × √(4 × 5² - 8²)
= 2√(4 × 25 - 64)
= 2√(100 - 64)
= 2√36
= 2 × 6
= 12 বর্গ সে.মি.

সুতরাং, সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল 12 বর্গ সে.মি.

৭৬৮.

১২ সে.মি. দৈর্ঘ্যের একটি সরলরেখা দিয়ে একটি সমবাহু ত্রিভুজ গঠন করা হলে, উক্ত ত্রিভুজের উচ্চতা কত?

ক
৩√৩ সে.মি.
খ
২√৩ সে.মি.
গ
√৩ সে.মি.
ঘ
৪ সে.মি.

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ১২ সে.মি. দৈর্ঘ্যের একটি সরলরেখা দিয়ে একটি সমবাহু ত্রিভুজ গঠন করা হলে, উক্ত ত্রিভুজের উচ্চতা কত?

সমাধান:
ত্রিভুজের একবাহুর দৈর্ঘ্য = 12/3 = 4 সে.মি.

উক্ত ত্রিভুজের উচ্চতা h

প্রশ্নমতে
(1/2) × 4 × h = (√3/4) × 4²
⇒ 2h = 4√3
h = 2√3

৭৬৯.

একটি সমবাহু ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দু থেকে ভর কেন্দ্রের দূরত্ব 18 সেন্টিমিটার হলে ত্রিভুজটির মধ্যমা কত?

ক
21 সেন্টিমিটার
খ
24 সেন্টিমিটার
গ
27 সেন্টিমিটার
ঘ
30 সেন্টিমিটার

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি সমবাহু ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দু থেকে ভর কেন্দ্রের দূরত্ব 18 সেন্টিমিটার হলে ত্রিভুজটির মধ্যমা কত?

সমাধান:

আমরা জানি,
ত্রিভুজের মধ্যমাত্রয় যে বিন্দুতে মিলিত হয় থাকে ঐ ত্রিভুজের ভরকেন্দ্র বলে।
∴ XE : EF = 2 : 1
⇒ 18 : EF = 2 : 1
⇒ 18/EF = 2/1
⇒ 2EF = 18
⇒ EF = 9

∴ ত্রিভুজটির মধ্যমা, XF = XE + EF
= (18 + 9) সেন্টিমিটার
= 27 সেন্টিমিটার ।

৭৭০.

একটি ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল একটি বর্গের ক্ষেত্রফলের সমান। বর্গের এক বাহুর দৈর্ঘ্য 60মিটার। ত্রিভুজটির ভূমি 100 মিটার হলে, ত্রিভুজটির উচ্চতা কত?

ক
48 মিটার
খ
50 মিটার
গ
60 মিটার
ঘ
72 মিটার

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল একটি বর্গের ক্ষেত্রফলের সমান। বর্গের এক বাহুর দৈর্ঘ্য 60মিটার। ত্রিভুজটির ভূমি 100 মিটার হলে, ত্রিভুজটির উচ্চতা কত?

সমাধান:
বর্গের এক বাহুর দৈর্ঘ্য = 60 মিটার
বর্গের ক্ষেত্রফল = (60 × 60) বর্গ মিটার
= 3600 বর্গ মিটার

ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = 3600 বর্গ মিটার
ত্রিভুজটির ভূমি = 100 মিটার

আমরা জানি,
(1/2) × ভূমি × উচ্চতা = ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল
⇒ (1/2) × 100 × উচ্চতা = 3600
⇒ উচ্চতা = (3600 × 2)/100
∴ উচ্চতা = 72 মিটার

৭৭১.

একটি সমদ্বিবাহু সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজ ১২ সে.মি. হলে ক্ষেত্রফল কত?

ক
ক) ৩৬
খ
খ) ৪৮
গ
গ) ৫৬
ঘ
ঘ) ৭২

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি সমদ্বিবাহু সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজ ১২ সে.মি. হলে ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
সমদ্বিবাহু সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজ, b = 12 সে.মি.
সমদ্বিবাহু সমকোণী ত্রিভুজের ২টি বাহু সমান = ‍a [ধরি]

আমরা জানি,
a² + a² = (12)²
⇒ 2a² = 144
⇒ a² = 72
∴ a = 2√18

∴ ক্ষেত্রফল = (b/4) × √(4a² - b²)
= (12/4) × √{4 × (2√18)² - (12)²}
= 3 × √(288 - 144)
= 3 × 12
= 36
∴ ক্ষেত্রফল = 36 বর্গ সে.মি.

৭৭২.

একটি ত্রিভুজের দুটি কোণের পরিমাণ ৩৫ ডিগ্রি ও ৫৫ ডিগ্রি। ত্রিভুজটি কোন ধরণের?

ক
সমকোণী
খ
সমবাহু
গ
সমদ্বিবাহু
ঘ
স্থূলকোণী

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি ত্রিভুজের দুইটি কোণের পরিমাণ ৩৫ ডিগ্রি ও ৫৫ ডিগ্রি হলে ত্রিভুজটি কোন ধরনের?

সমাধান:
একটি ত্রিভুজের দুই কোণের পরিমান ৩৫ ডিগ্রি ও ৫৫ ডিগ্রি হলে,
কোণ দুইটির যোগফল = ৩৫ + ৫৫ = ৯০ ডিগ্রি
অতএব, অপর কোণ = ১৮০ - ৯০ = ৯০ ডিগ্রি
একটি ত্রিভুজের এক কোণ সমকোণ হলে তা সমকোণী

৭৭৩.

কোনো ত্রিভুজের তিনটি বাহুকে বর্ধিত করলে উৎপন্ন বহিঃস্থ কোণ তিনটির মোট পরিমাণ কত?

ক
ক) 450°
খ
খ) 280°
গ
গ) 240°
ঘ
ঘ) 360°

ব্যাখ্যা

মনে করি ΔABC এর ∠X + ∠Y + ∠Z = (∠A + ∠B + ∠A + ∠C + ∠B + ∠C)
= 2(∠A + ∠B + ∠C) = 2 × 180° = 360°

৭৭৪.

ΔPQR একটি সমবাহু ত্রিভুজ। ত্রিভুজটির PQ ও QR বাহুদ্বয়কে বর্ধিত করলে উৎপন্ন বহিঃস্থকোণ দুটির যোগফল কত?

ক
১২০°
খ
১৮০°
গ
২৪০°
ঘ
৩৬০°

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ΔPQR একটি সমবাহু ত্রিভুজ। ত্রিভুজটির PQ ও QR বাহুদ্বয়কে বর্ধিত করলে উৎপন্ন বহিঃস্থকোণ দুটির যোগফল কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
সমবাহু ত্রিভুজের উৎপন্ন প্রত্যেকটি অন্তঃস্থকোণের মান = ৬০°
এবং, প্রতিটি বহিঃস্থকোণের মান = ১২০°
দুটি বাহু বর্ধিত করায় দুটি বহিঃস্থকোণ উৎপন্ন হবে।

∴ উৎপন্ন বহিঃস্থকোণ দুটির যোগফল = ১২০° + ১২০°
= ২৪০°

৭৭৫.

x + y - 1 = 0, x - y + 1 = 0 এবং y + 3 = 0 সরলরেখা তিনটি দ্বারা গঠিত ত্রিভূজটি-

ক
ক) সূক্ষকোণী
খ
খ) সমকোণী
গ
গ) সমবাহু
ঘ
ঘ) স্থুলকোণী

ব্যাখ্যা

১ম রেখার ঢাল = -(1/1) = -1,
২য় রেখার ঢাল = -(1/-1) = 1
ঢালদ্বয়ের গুণফল = (-1)(1) = -1
∴ রেখাদ্বয় পরস্পর লম্ব; ফলে ত্রিভূজটি সমকোণী ত্রিভূজ।

৭৭৬.

একটি ত্রিভুজাকৃতি জমির ক্ষেত্রফল 432 বর্গমিটার এবং উচ্চতা 36 মিটার হলে, ভূমি এর মান কত?

ক
ক) 18 মিটার
খ
খ) 20 মিটার
গ
গ) 22 মিটার
ঘ
ঘ) 24 মিটার

ব্যাখ্যা

দেয়া আছে,
ত্রিভুজাকৃতি জমির ক্ষেত্রফল = 432 বর্গমিটার
উচ্চতা = 36 মিটার

আমরা জানি,
ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = (1/2) × ভূমি × উচ্চতা
432 = (1/2) × 36 × ভূমি
18× ভূমি = 432
ভূমি = 432/18
ভূমি = 24 মিটার

৭৭৭.

ত্রিভুজের তিন বাহুর দৈর্ঘ্য যথাক্রমে 8, 10, 12 মিটার হলে বৃহত্তম ও ক্ষুদ্রতম বাহুর মধ্যবিন্দু দুটির দূরত্ব কত মিটার?

ক
3 মিটার
খ
4 মিটার
গ
5 মিটার
ঘ
6 মিটার

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ত্রিভুজের তিন বাহুর দৈর্ঘ্য যথাক্রমে 8, 10, 12 মিটার হলে বৃহত্তম ও ক্ষুদ্রতম বাহুর মধ্যবিন্দু দুটির দূরত্ব কত মিটার?

সমাধান:

ধরি,
বৃহত্তম বাহু, AC = 12 মিটার
ক্ষুদ্রতম বাহু, AB = 8 মিটার
∴ মধ্যবিন্দু দুটির দূরত্ব, DE = ?

অতএব, AB ও AC বাহুর মধ্যবিন্দু দুটির সংযোগ সরলরেখা DE হবে তৃতীয় বাহু BC এর অর্ধেক।
∴ DE = 1/2 × BC
বা, DE = 1/2 × 10
বা, DE = 10/2
∴ DE = 5 মিটার ।

৭৭৮.

একটি ত্রিভুজের এক বাহুর দৈর্ঘ্য ১৬মিঃ এবং অপর বাহু দু’টির প্রতিটির দৈর্ঘ্য ১০মিঃ। ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল কত বর্গ মিঃ?

ক
ক) ৩৬ বর্গ মিঃ
খ
খ) ৪২ বর্গ মিঃ
গ
গ) ৪৮ বর্গ মিঃ
ঘ
ঘ) ৫০ বর্গ মিঃ

ব্যাখ্যা

ত্রিভুজটি একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ।
∴ ক্ষেত্রফল = 16/4 √(4 × 10² - 16²)
= 4 √(400 - 256)
= 4 √144
= 48

৭৭৯.

একটি সমবাহু ত্রিভুজে প্রত্যেকটি কোণের পরিমাণ কত ডিগ্রি?

ক
৩০°
খ
৪৫°
গ
৬০°
ঘ
৯০°

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি সমবাহু ত্রিভুজে প্রত্যেকটি কোণের পরিমাণ কত ডিগ্রি?

সমাধান:
- সমবাহু ত্রিভুজের প্রতিটি কোণ ৬০°।
- ত্রিভুজের যেকোনাে শীর্ষবিন্দু হতে বিপরীত বাহুর মধ্যবিন্দু পর্যন্ত অঙ্কিত রেখাংশকে মধ্যমা বলে।
- সমবাহু ত্রিভুজের তিনটি মধ্যমা পরস্পর সমান।
- সমবাহু ত্রিভুজে প্রতিটি বাহুর দৈর্ঘ্যে সমান এবং প্রতিটি কোণ পরস্পর সমান।

৭৮০.

একটি সমদ্বিবাহু সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজের দৈর্ঘ্য 12 সে.মি. হলে ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল কত বর্গ সে.মি.।

ক
36 বর্গ সে.মি.
খ
48 বর্গ সে.মি.
গ
56 বর্গ সে.মি.
ঘ
72 বর্গ সে.মি.

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি সমদ্বিবাহু সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজের দৈর্ঘ্য 12 সে.মি. হলে ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল কত বর্গ সে.মি.।

সমাধান:
ধরি,
সমদ্বিবাহু সমকোণী ত্রিভুজের সমান বাহুর দৈর্ঘ্য a সে.মি.

পিথাগোরাসের উপপাদ্য হতে পাই,
a² + a² = 12²
বা, 2a²= 144
বা, a² = 72

এখন,
ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = (1/2) × a × a
= (1/2)a²
= (1/2) × 72
= 36 বর্গ সে.মি.

৭৮১.

একটি ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল ১১২ বর্গগজ। ত্রিভুজটির শীর্ষবিন্দু থেকে ভূমির উপর অঙ্কিত লম্বের দৈর্ঘ্য ১৪ গজ। এর ভূমির দৈর্ঘ্য কত?

ক
১৮ গজ
খ
১২ গজ
গ
১৪ গজ
ঘ
১৬ গজ

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল ১১২ বর্গগজ। ত্রিভুজটির শীর্ষবিন্দু থেকে ভূমির উপর অঙ্কিত লম্বের দৈর্ঘ্য ১৪ গজ। এর ভূমির দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল সমান = (১/২) × ভূমি × উচ্চতা
১১২ = (১/২) × ভূমি × ১৪
বা, ১১২ = ভূমি × ৭
ভূমি = ১৬ গজ

৭৮২.

ত্রিভুজের তিন কোণের সমদ্বিখণ্ডকগুলো যে বিন্দুতে ছেদ করে তাকে বলে-

ক
বহি:কেন্দ্র
খ
পরিকেন্দ্র
গ
ভরকেন্দ্র
ঘ
অন্ত:কেন্দ্র

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ত্রিভুজের তিন কোণের সমদ্বিখণ্ডকগুলো যে বিন্দুতে ছেদ করে তাকে বলে-

সমাধান:

পরিকেন্দ্র: ত্রিভুজের যেকোন দুই বাহুর লম্বদ্বিখন্ডক যে বিন্দুতে ছেদ করে তাকে ত্রিভুজের পরিকেন্দ্র বলে।
ভরকেন্দ্র: ত্রিভুজের মধ্যমাত্রয়ের ছেদবিন্দুকে ভরকেন্দ্র বলে।
অন্তঃকেন্দ্র: ত্রিভুজের তিন কোণের সমদ্বিখণ্ডকগুলো যে বিন্দুতে ছেদ করে তাকে অন্তঃকেন্দ্র বলে।

৭৮৩.

ΔABC -এ AB = 6 মি. BC = 8 মি., AB এবং CA এর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে E এবং F হলে EF =?

ক
8 মি.
খ
6 মি.
গ
4 মি.
ঘ
3 মি.

ব্যাখ্যা

বর্ননা অনুসারে , BC = 8 মি.
∴ EF = 1/2 BC = 1/2 × 8 = 4 মি.

৭৮৪.

একটি সমবাহু ত্রিভুজের উচ্চতা 6√3 সেমি হলে তার পরিধি কত?

ক
6 সেমি
খ
12 সেমি
গ
24 সেমি
ঘ
36 সেমি

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি সমবাহু ত্রিভুজের উচ্চতা 6√3 সেমি হলে তার পরিধি কত?

সমাধান:
a হলো সমবাহু ত্রিভুজের বাহু।
তাহলে উচ্চতা;
h = (√3/2) × a
প্রদত্ত: h = 6√3

6√3 = (√3/2) × a
⇒ a = (6√3 × 2) / √3
⇒ a = (6 × 2)
⇒ a = 12

পরিধি (P) = 3 × বাহু
P = 3 × 12 = 36 সেমি

∴ সমবাহু ত্রিভুজের পরিধি = 36 সেমি

৭৮৫.

কোনো ত্রিভুজের বাহুগুলোর অনুপাত নিচের কোনটি হলে ত্রিভুজটি একটি সমকোণী ত্রিভুজ হবে?

ক
৬ : ৫: ৪
খ
১২ : ৮ : ৪
গ
৯ : ১২ : ১৫
ঘ
৬ : ৪ : ৩

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: কোনো ত্রিভুজের বাহুগুলোর অনুপাত নিচের কোনটি হলে ত্রিভুজটি একটি সমকোণী ত্রিভুজ হবে?

সমাধান:
আমরা জানি,
কোনো ত্রিভুজের এক বাহুর উপর অংকিত বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল অপর দুই বাহুর উপর অংকিত বর্গক্ষেত্রদ্বয়ের ক্ষেত্রফলের সমষ্টির সমান হলে ত্রিভুজটি সমকোণী হবে।

প্রদত্ত অনুপাত গুলোর মধ্যে,
৯^২ + ১২^২ = ১৫^২

অন্যদিকে,
৫^২ + ৪^২ ≠ ৬^২
৮^২ + ৪^২ ≠ ১২^২
৪^২ + ৩^২ ≠ ৬^২

অর্থাৎ ত্রিভুজের বাহুগুলোর অনুপাত ৯ : ১২ : ১৫ হলে ত্রিভুজটি একটি সমকোণী ত্রিভুজ হবে।

৭৮৬.

সমকোণী ত্রিভুজের সূক্ষ্মকোণ দুটির অন্তর 8° হলে এর ক্ষুদ্রতম কোণটির মান কত?

ক
41°
খ
43°
গ
49°
ঘ
82°

ব্যাখ্যা

মনে করি,
একটি কোণ ক তাহলে অপর কোণ 90-ক।
শর্তমতে,
ক - (90-ক) = 8
বা, ক - 90 + ক = 8
বা, 2ক = 98
বা, ক = 49
সুতরাং অপর কোণ = 90-ক = 90-49 = 41°

৭৮৭.

PQR ত্রিভুজের PN একটি মধ্যমা এবং M ভরকেন্দ্র। যদি মধ্যমা PN-এর দৈর্ঘ্য ২১ সেমি হয়, তাহলে PM-এর দৈর্ঘ্য কত?

ক
১৪ সেমি
খ
২১ সেমি
গ
৩৬ সেমি
ঘ
১৮ সেমি

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: PQR ত্রিভুজের PN একটি মধ্যমা এবং M ভরকেন্দ্র। যদি মধ্যমা PN-এর দৈর্ঘ্য ২১ সেমি হয়, তাহলে PM-এর দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
কোনো ত্রিভুজের ভরকেন্দ্র তার মধ্যমাকে ২ : ১ অনুপাতে বিভক্ত করে।

এখানে,
PN মধ্যমা এবং M ভরকেন্দ্র।
∴ PM : MN = ২ : ১

মোট অনুপাত = ২ + ১ = ৩
মধ্যমা PN-এর দৈর্ঘ্য = ২১ সেমি
ভরকেন্দ্র M, মধ্যমা PN-কে দুটি অংশে বিভক্ত করেছে: PM এবং MN।

∴ PM-এর দৈর্ঘ্য = ২১ এর (২/৩) অংশ
= ২১ × (২/৩) সেমি
= ১৪ সেমি

সুতরাং, PM-এর দৈর্ঘ্য ১৪ সেমি।

৭৮৮.

একটি সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজ 25 মিটার। অপর বাহুদ্বয়ের একটি বাহুর দৈর্ঘ্য অপরটির তিন-চতুর্থাংশ হলে, ত্রিভুজটির অপর দুটি বাহুর মধ্যে বড় বাহু কোনটি?

ক
14 মিটার
খ
18 মিটার
গ
15 মিটার
ঘ
20 মিটার

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজ 25 মিটার। অপর বাহুদ্বয়ের একটি বাহুর দৈর্ঘ্য অপরটির তিন-চতুর্থাংশ হলে, ত্রিভুজটির অপর দুটি বাহুর মধ্যে বড় বাহু কোনটি?

সমাধান:

ধরি, একিটি বাহু, BC = y মিটার
অপর বাহু, AB = 3y/4 মিটার

পীথাগোরাসের উপপাদ্য অনুযায়ী,
AB² + BC² = AC²
বা, (3y/4)² + y² = 252
বা, (9y²/16) + y² = 625
বা, (9y² + 16y²)/16 = 625
বা, 25y² = 625 × 16
বা, y² = (625 × 16)/25
বা, y² = 400
∴ y = 20 মিটার

∴ একটি বাহু = 20 মিটার

৭৮৯.

△ABC এর E ও F যথাক্রমে AB ও AC এর মধ্যবিন্দু হলে EF = কত?

ক
ক) 1/2(AB+AC)
খ
খ) 1/2(AB)
গ
গ) 1/2(AC)
ঘ
ঘ) 1/2(BC)

ব্যাখ্যা

কোনো ত্রিভুজের দুটি বাহুর মধ্যবিন্দুদ্বয়ের সংযোগ রেখা তৃতীয় বাহুর সমান্তরাল এবং দৈর্ঘ্যে তৃতীয় বাহুর অর্ধেক।
EF = 1/2 (BC)

৭৯০.

যদি একটি ত্রিভুজের দুইটি বাহু যথাক্রমে ৭ সেমি এবং ৫ সেমি হয়, তবে ত্রিভুজের অপর বাহুটির দৈর্ঘ্য কোনটি হওয়া সম্ভব নয়?

ক
১১
খ
৭
গ
১৩
ঘ
১০

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: যদি একটি ত্রিভুজের দুইটি বাহু যথাক্রমে ৭ সেমি এবং ৫ সেমি হয়, তবে ত্রিভুজের অপর বাহুটির দৈর্ঘ্য কোনটি হওয়া সম্ভব নয়?

সমাধান:
আমরা জানি,
ত্রিভুজের যে কোন দুই বাহুর সমষ্টি তার তৃতীয় বাহু অপেক্ষায় বৃহত্তম।

∴ ত্রিভুজের দুইটি বাহু যথাক্রমে ৭ সেমি এবং ৫ সেমি হলে তৃতীয় বাহুটি অবশ্যই তাদের যোগফল অপেক্ষায় ছোট হবে।
অর্থাৎ তৃতীয় বাহুটি = (৭ + ৫) = ১২ অপেক্ষায় ছোট হবে।

∴ যদি একটি ত্রিভুজের দুইটি বাহু যথাক্রমে ৭ সেমি এবং ৫ সেমি হয় তবে ত্রিভুজের অপর বাহুটি ১৩ হওয়া সম্ভব নয়।

৭৯১.

ABC ত্রিভুজে ∠B > ∠C হলে কোনটি সঠিক?

ক
ক) BC > AC
খ
খ) AB > AC
গ
গ) AC > BC
ঘ
ঘ) AC > AB

ব্যাখ্যা

কোন ত্রিভুজের একটি কোন অপর একটি কোন অপেক্ষা বৃহত্তর হলে, বৃহত্তর কোনের বিপরীত বাহু ক্ষুদ্রতম কোনের বিপরীত বাহু অপেক্ষা বৃহত্তম হবে।

∠B এর বিপরীত বাহু AC এবং ∠C এর বিপরীত বাহু AB
যেহেতু, ∠B > ∠C সেহেতু, AC > AB

৭৯২.

সমবাহু ত্রিভুজের পরিসীমা ৩৬ মিটার হলে এর ক্ষেত্রফল কত হবে?

ক
৩৬√৩ বর্গমিটার
খ
১৭√৩ বর্গমিটার
গ
২৮√৩ বর্গমিটার
ঘ
২২√৩ বর্গমিটার

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: সমবাহু ত্রিভুজের পরিসীমা ৩৬ মিটার হলে এর ক্ষেত্রফল কত হবে?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
সমবাহু ত্রিভুজের পরিসীমা ৩৬ মিটার
সমবাহু ত্রিভুজের এক বাহুর দৈর্ঘ্য = ৩৬/৩ মিটার = ১২ মিটার

সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল =(√৩/৪) × (বাহু)^২ বর্গমিটার
∴ সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল =(√৩/৪) × ১২^২ বর্গমিটার
= (√৩/৪) × ১৪৪ বর্গমিটার
= ৩৬√৩ বর্গমিটার

৭৯৩.

ΔABC এর ∠ABC = 60°, ∠ACB = 50° এবং অন্তঃকেন্দ্র P হলে, ∠BPC এর মান কত?

ক
ক) 110°
খ
খ) 70°
গ
গ) 125°
ঘ
ঘ) 80°

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ΔABC এর ∠ABC = 60°, ∠ACB = 50° এবং অন্তঃকেন্দ্র P হলে, ∠BPC এর মান কত?

সমাধান:
ত্রিভুজের কোণত্রয়ের সমদ্বিখণ্ডকের ছেদবিন্দুকে অন্তঃকেন্দ্র বলে।
BP এবং CP হলো ∠ABC এবং ∠ACB এর দ্বিখণ্ডক
∴ ∠CBP = 30° এবং ∠BCP = 25°

ΔBPC এ-
∠CBP + ∠BCP + ∠BPC = 180°
30° + 25° + ∠BPC = 180°
∠BPC = 180° - 55°
∴ ∠BPC = 125°

৭৯৪.

চিত্রে x এর মান কত?

ক
ক) 5°
খ
খ) 10°
গ
গ) 15°
ঘ
ঘ) 20°

ব্যাখ্যা

চিত্রে, AB = AC
∴ ∠B = ∠C
বা, y = 2x
এখন, 2x + 8y = 180°
বা, 2x + 8.2x = 180°
বা, 2x + 16x = 180°
বা, 18x = 180°
∴ x = 10°

৭৯৫.

সমবাহু ত্রিভুজের প্রত্যেক বাহুর দৈর্ঘ্য ১ মিটার বাড়ালে ক্ষেত্রফল ৩√৩ বর্গ মিটার বেড়ে যায়। ত্রিভুজটির বাহুর দৈর্ঘ্য কত?

ক
৩.২ মিটার
খ
৫ মিটার
গ
৫.৫ মিটার
ঘ
৪.৮ মিটার

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: সমবাহু ত্রিভুজের প্রত্যেক বাহুর দৈর্ঘ্য ১ মিটার বাড়ালে ক্ষেত্রফল ৩√৩ বর্গ মিটার বেড়ে যায়। ত্রিভুজটির বাহুর দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
মনেকরি,
সমবাহু ত্রিভুজের প্রত্যেক বাহুর দৈর্ঘ্য a মিটার
∴ ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল = (√৩/৪‍)a^২ বর্গমিটার

ত্রিভুজের প্রত্যেক বাহুর দৈর্ঘ্য ১ মিটার বাড়ালে ক্ষেত্রফল= (√৩/৪)(a + ১)^২ বর্গমিটার

প্রশ্নমতে,
(√৩/৪)(a + ১)^২ - (√৩/৪‍)a^২ = ৩√৩
বা, a^২ + ২a + ১ - a^২ = ১২
বা, ২a = ১১
∴ a = ৫.৫

∴ ত্রিভুজটির বাহুর দৈর্ঘ্য ৫.৫ মিটার

৭৯৬.

একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের সমান বাহু দুইটির প্রত্যেকটি 10 একক এবং ভূমি 12 একক হলে, সমদ্বিবাহু ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল কত?

ক
24 বর্গ একক
খ
48 বর্গ একক
গ
72 বর্গ একক
ঘ
96 বর্গ একক

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের সমান বাহু দুইটির প্রত্যেকটি 10 একক এবং ভূমি 12 একক হলে, সমদ্বিবাহু ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে:
সমান বাহু, a = 10 একক
ভূমি, b = 12 একক

আমরা জানি,
সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = (b/4)√(4a² - b²)
= (12/4) √{4 × (10)² - (12)²}
= 3 √(400 - 144)
= 3 √256
= 3 × 16
= 48 বর্গ একক ।

৭৯৭.

সমবাহু ত্রিভুজের এক বাহুর দৈর্ঘ্য a একক হলে এর ক্ষেত্রফল কত বর্গ একক?

ক
ক) (√3/2)a²
খ
খ) (√3/4)a²
গ
গ) (√3/4)a
ঘ
ঘ) (√7/4)a²

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: সমবাহু ত্রিভুজের এক বাহুর দৈর্ঘ্য a একক হলে এর ক্ষেত্রফল কত বর্গ একক?

সমাধান:
সমবাহু ত্রিভুজের এক বাহুর দৈর্ঘ্য = a একক
সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = (√3/4)a²বর্গএকক

৭৯৮.

একটি সমকোণী ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল 250 বর্গ একক। সমকোণ সন্নিহিত বাহুদ্বয়ের একটির দৈর্ঘ্য 25 একক হলে অপরটি কত?

ক
20 একক
খ
12.5 একক
গ
30 একক
ঘ
24.5 একক

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি সমকোণী ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল 250 বর্গ একক। সমকোণ সন্নিহিত বাহুদ্বয়ের একটির দৈর্ঘ্য 25 একক হলে অপরটি কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
ক্ষেত্রফল = 250 বর্গ একক
একটি সন্নিহিত বাহু = 25 একক
ধরি, অপর বাহু = x একক

আমরা জানি,
সমকোণী ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = (1/2) × সমকোণ সংলগ্ন বাহুদ্বয়ের গুণফল
⇒ 250 = (1/2) × (25 × x)
⇒ x = (250 × 2)/25
⇒ x = 10 × 2
∴ x = 20 একক

∴ নির্ণেয় বাহু = 20 একক।

৭৯৯.

ABC ত্রিভুজের AB = AC এবং ∠A = 70° হলে ∠B = কত?

ক
ক) 110°
খ
খ) 45°
গ
গ) 55°
ঘ
ঘ) 65°

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ABC ত্রিভুজের AB = AC এবং ∠A = 70° হলে ∠B = কত?

সমাধান:

ΔABC ত্রিভুজের AB = AC
ΔABC একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ।

আমরা জানি,
সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের সমান সমান বাহুর বিপরীত কোণদ্বয় সমান।
∠A + ∠B +∠ C = 180°
⇒ 70° + ∠B + ∠B = 180°
⇒ 2∠B = 110°
∴ ∠B = 55°

৮০০.

সমবাহু ত্রিভুজ এর বাহুর দৈর্ঘ্য a হলে, ক্ষেত্রফল কত?

ক
ক) √3a²/4
খ
খ) 4/√3a²
গ
গ) √3a/4
ঘ
ঘ) কোনটিই নয়

ব্যাখ্যা

সমবাহু ত্রিভুজ এর বাহুর দৈর্ঘ্য a হলে, ক্ষেত্রফল = √3a²/4