ত্রিভুজ সংক্রান্ত সমস্যা ও সমাধান

PrepBank · পাতা ২০ / ২০ · ১,৯০১–১,৯৮৬ / ২,০০৯

১,৯০১.

ΔABC এ AB ও AC বাহুর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে D ও E হলে, নিচের কোনটি সঠিক?

ক
BC = 2DE
খ
DE = BC
গ
DE = AB
ঘ
কোনটিই নয়

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ΔABC এ AB ও AC বাহুর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে D ও E হলে, নিচের কোনটি সঠিক?

সমাধান:
ত্রিভুজের যেকোনো দুই বাহুর মধ্যবিন্দুর সংযোজক রেখাংশ তৃতীয় বাহুর সমান্তরাল এবং দৈর্ঘ্যে তার অর্ধেক।
ABC একটি ত্রিভুজ। D ও E যথাক্রমে ত্রিভুজটির AB ও AC বাহুর মধ্যবিন্দু।
DE = BC/2

১,৯০২.

ΔXYZ এর ∠X= 38°, ∠Y= 71° হলে, ΔXYZ কী ধরণের ত্রিভুজ?

ক
ক) সমবাহু ত্রিভুজ
খ
খ) বিষমবাহু ত্রিভুজ
গ
গ) সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ
ঘ
ঘ) কোনটি নয়

ব্যাখ্যা

ΔXYZ - এ ,
∠X + ∠Y + ∠Z = 180°
38° + 71° + ∠Z = 180°
∠Z = 180° - 109°
∠Z = 71°
কোনো ত্রিভুজের দুইটি কোণ সমান হলে ত্রিভুজটির দুইটি বাহুও সমান হবে।

∴ ΔXYZ - ত্রিভুজটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ

১,৯০৩.

একটি সমবাহু ত্রিভুজের বাহুর প্রত্যেকটির দৈর্ঘ্য 1 মিটার বাড়ালে এর ক্ষেত্রফল 3√3 বর্গমিটার বেড়ে যায়। সমবাহু ত্রিভুজের পরিসীমা কত?

ক
ক) 18.5 মিটার
খ
খ) 16.5 মিটার
গ
গ) 17.5 মিটার
ঘ
ঘ) 20.5 মিটার

ব্যাখ্যা

মনেকরি,
সমবাহু ত্রিভুজের প্রত্যেক বাহুর দৈর্ঘ্য a মিটার
তাহলে, ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল = √3a²/4
ত্রিভুজের প্রত্যেক বাহুর দৈর্ঘ্য 1মিটার বাড়ালে ক্ষেত্রফল=
প্রশ্নমতে,
√3(a+1)²/4 - √3a²/4= 3√3
a² + 2a + 1 - a² = 12
2a = 11
a = 5.5

সমবাহু ত্রিভুজের পরিসীমা = 3 × 5.5 = 16.5 মিটার

১,৯০৪.

ABC ত্রিভুজে AB = 15 মিটার, BC = 18 মিটার এবং ক্ষেত্রফল 135 বর্গমিটার। তাহলে ∠B = কত?

ক
30°
খ
45°
গ
60°
ঘ
90°

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ABC ত্রিভুজে AB = 15 মিটার, BC = 18 মিটার এবং ক্ষেত্রফল 135 বর্গমিটার। তাহলে ∠B = কত?

সমাধান:

আমরা জানি,
ΔABC এর ক্ষেত্রফল = (1/2) × AB × BC × sin∠B
বা, 135 = (1/2) × 15 × 18 × sin∠B
বা, 135 = 135 × sin∠B
বা, sin∠B = 135/135
বা, sin∠B = 1
বা, sin∠B = ‍sin90°
∴ ∠B = 90°

১,৯০৫.

সমবাহু ত্রিভুজের প্রত্যেকটি কোণের পরিমাণ কত?

ক
30°
খ
60°
গ
90°
ঘ
180°

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: সমবাহু ত্রিভুজের প্রত্যেকটি কোণের পরিমাণ কত?

সমাধান:
- যে ত্রিভুজের তিন কোণ সমান, তার বাহুগুলোও সমান হয় বলে তাকে সমবাহু ত্রিভুজ বলে।
- সমবাহু ত্রিভুজের প্রতিটি অন্তঃস্থ কোণ ৬০°।
- সমবাহু ত্রিভুজের মধ্যমাত্রয় পরস্পর সমান

১,৯০৬.

একটি ত্রিভুজের বাহুগুলোর পরিমাপ যথাক্রমে ১৩, ১৪ ও ১৫ একক হলে ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল কত?

ক
৮৮ বর্গমিটার
খ
৮৪ বর্গমিটার
গ
৮২ বর্গমিটার
ঘ
৯০ বর্গমিটার

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি ত্রিভুজের বাহুগুলোর পরিমাপ যথাক্রমে ১৩, ১৪ ও ১৫ একক হলে ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
বিষমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = √{s(s - a)(s - b)(s - c)}

যেখানে, s = (a + b + c)/২ = (১৩ + ১৪ + ১৫)/২
= ৪২/২
= ২১ মি.

ক্ষেত্রফল = √[২১ (২১ - ১৩) (২১ - ১৪ ) (২১ - ১৫)]
= √৭০৫৬
= ৮৪ বর্গমিটার

১,৯০৭.

একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের ভূমি ১৬ মি. এবং অপর দুটি বাহুর প্রতিটি ১০ মি. হলে ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল কত?

ক
ক) ১৬√২ বর্গমিটার
খ
খ) ৪৮ বর্গমিটার
গ
গ) ৪৮√২ বর্গমিটার
ঘ
ঘ) ৩২√২ বর্গমিটার

ব্যাখ্যা

ধরি, ভূমি b = ১৬ মিটার এবং বাহুর দৈর্ঘ্য a = ১০ মিটার।
সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = (b/৪)√(৪a² - b²)
= (১৬/৪)√(৪×১০² - ১৬²)
= ৪ × ১২
= ৪৮ বর্গমিটার

১,৯০৮.

ত্রিভুজের মধ্যমাত্রয়ের ছেদবন্দিুকে কি বলে?

ক
ক) বহিঃকেন্দ্র
খ
খ) ভরকেন্দ্র
গ
গ) পরিকেন্দ্র
ঘ
ঘ) অন্তঃকেন্দ্র

ব্যাখ্যা

- ত্রিভুজের কোণত্রয়ের সমদ্বিখণ্ডকের ছেদবিন্দুকে অন্তঃকেন্দ্র বলে।
- ত্রিভুজের মধ্যমাত্রয়ের ছেদবিন্দুকে ভরকেন্দ্র বলে।
- ত্রিভুজের তিন বাহুর লম্বদ্বিখণ্ডকগুলোর ছেদবিন্দুকে পরিকেন্দ্র বলে।

১,৯০৯.

সমকোণী ত্রিভুজের কোনটি বৃহত্তম বাহু?

ক
ভূমি
খ
অতিভুজ
গ
লম্ব
ঘ
কোনোটিই নয়

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: সমকোণী ত্রিভুজের কোনটি বৃহত্তম বাহু?

সমাধান:
- সমকোণী ত্রিভুজের সমকোণের বিপরীত বাহুকে অতিভুজ বলে।
- সমকোণী ত্রিভুজের বৃহত্তম বাহু অতিভুজ।

১,৯১০.

একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের সমান সমান বাহু ভূমির 5/6 অংশ, পরিসীমা 16 মিটার হলে ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল কত?

ক
10 বর্গমিটার
খ
12 বর্গমিটার
গ
15 বর্গমিটার
ঘ
18 বর্গমিটার

ব্যাখ্যা

সমান সমান বাহুঃভূমি = 5:6
সুতরাং 5x + 5x + 6x = 16
Or, 16x = 16
Or, x = 1
ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল = 6/4 × √{4(5)² - 6²}
= 6/4 × √(100 - 36)
= 6/4 × 8
= 12 বর্গমিটার

১,৯১১.

একটি সমবাহু ত্রিভুজের বাহুর দৈর্ঘ্য ক একক হলে তার মধ্যমার দৈর্ঘ্য কত হবে?

ক
(√৩/২)ক একক
খ
√(৩/২)ক একক
গ
(√৩/৪)ক একক
ঘ
(√৫/২)ক একক

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি সমবাহু ত্রিভুজের বাহুর দৈর্ঘ্য ক একক হলে তার মধ্যমার দৈর্ঘ্য কত হবে?

সমাধান:
সমবাহু ত্রিভুজের এক বাহুর দৈর্ঘ্য = ক একক
সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = (√৩/৪)ক^২ বর্গএকক

- সমবাহু ত্রিভুজের সকল বাহু সমান।
- একটি মধ্যমা ত্রিভুজটিকে দুটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজে ভাগ করে।

মধ্যমার দৈর্ঘ্য= √{ক^২ - (ক/২)^২}
= √{ক^২ - (ক^২/৪)}
= √(৩ক^২/৪)
= (√৩/২)ক

বিকল্প:
ধরি
মধ্যমার দৈর্ঘ্য বা উচ্চতা = খ

আমরা জানি
(১/২) × ভূমি × উচ্চতা = ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল
বা, (১/২) × ক × খ = (√৩/৪)ক^২
বা, খ/২ = (√৩/৪)ক
∴ খ = √৩/২)ক

মধ্যমার দৈর্ঘ্য = (√৩/২)ক

১,৯১২.

একটি ত্রিভুজের তিনবাহুর দৈর্ঘ্য ৮ মিটার, ৬ মিটার ও ১০ মিটার হলে, ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল কত হবে?

ক
ক) ২০ বর্গমিটার
খ
খ) ২৪ বর্গমিটার
গ
গ) ২৮ বর্গমিটার
ঘ
ঘ) ৩৬ বর্গমিটার

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি ত্রিভুজের তিনবাহুর দৈর্ঘ্য ৮ মিটার, ৬ মিটার ও ১০ মিটার হলে, ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল কত হবে?

সমাধান:
দেয়া আছে,
তিনবাহুর দৈর্ঘ্য a = ৮ মিটার, b = ৬ মিটার ও c = ১০ মিটার
ত্রিভুজটির পরিসীমা (2s) = ৬ + ৮ + ১০ =২৪ মিটার
∴ অর্ধ-পরিসীমা (s) = ২৪/২ = ১২ মিটার
আমরা জানি,
ত্রিভুজেরক্ষেত্রফল = √{s(s - a) (s - b) (s - c)} বর্গমিটার
= √{১২(১২ - ৮) (১২ - ৬) (১২ - ১০)
= √(১২ × ৪ × ৬ × ২)
= √৫৭৬ বর্গমিটার
= ২৪ বর্গমিটার

১,৯১৩.

একটি সমদ্বিবাহু সমকোণী ত্রিভুজের সমান বাহুদ্বয়ের দৈর্ঘ্য ১৪ একক হলে ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল কত বর্গ একক?

ক
ক) 50
খ
খ) 49
গ
গ) 100
ঘ
ঘ) 98

ব্যাখ্যা

যেহেতু ত্রিভুজটি সমকোণী সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ তাই এর ক্ষেত্রফল হবে = ১/২ X সমকোণ সংলগ্ন বাহুদ্বয়ের গুণফল
১/২ X ১৪ X ১৪ = ৯৮ বর্গ একক

১,৯১৪.

ত্রিভুজের ভরকেন্দ্র প্রত্যেক মধ্যমাকে কোন অনুপাতে অন্তর্বিভক্ত করে?

ক
২ : ৩
খ
২ : ১
গ
৩ : ১
ঘ
৩ : ২

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ত্রিভুজের ভরকেন্দ্র প্রত্যেক মধ্যমাকে কোন অনুপাতে অন্তর্বিভক্ত করে?

সমাধান:
- ত্রিভুজের কোনো একটি শীর্ষবিন্দু এবং তার বিপরীত বাহুর মধ্যবিন্দুর সংযোজক সরলরেখাকে মধ্যমা বলে।
- ত্রিভুজের মধ্যমাত্রয় সমবিন্দু যা ত্রিভুজের একটি ভরকেন্দ্র।
- ত্রিভুজের ভরকেন্দ্র প্রত্যেক মধ্যমাকে ২ : ১ অনুপাতে অন্তর্বিভক্ত করে।

১,৯১৫.

কোন ত্রিভুজের তিনটি বাহু বর্ধিত করলে উৎপন্ন বহিঃস্থ তিনটি কোণের পরিমাণ কত?

ক
ক) ১৮০°
খ
খ) ২৭০°
গ
গ) ১৫০°
ঘ
ঘ) ৩৬০°

ব্যাখ্যা

ত্রিভুজের তিনটি বাহু কে বর্ধিত করলে উৎপন্ন বহিঃস্থ কোণ তিনটির সমষ্টি
= (180 - 60)° + (180 - 60)° + (180 - 60)°
= 360°।

১,৯১৬.

একটি সমবাহু ত্রিভুজের বাহুর দৈর্ঘ্য ২ সে.মি. এবং উচ্চতা x সে.মি. হলে, x এর মান কোনটি?

ক
√২
খ
√৩
গ
২
ঘ
৩

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি সমবাহু ত্রিভুজের বাহুর দৈর্ঘ্য ২ সে.মি. এবং উচ্চতা x সে.মি. হলে, x এর মান কোনটি?

সমাধান:
আমরা জানি,
সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = (√৩/৪) × (বাহু)^২
= (√৩/৪) × (২)^২
= √৩

আমরা জানি,
ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = (১/২) × ভূমি × উচ্চতা
= (১/২) × ২ × x
= x

প্রশ্নমতে,
x = √৩

১,৯১৭.

ΔABC এ ∠B = 90°, যদি AC = 2AB হয় তবে, ∠C এর মান কত?

ক
45°
খ
22.5°
গ
30°
ঘ
60°

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ΔABC এ ∠B = 90°, যদি AC = 2AB হয় তবে, ∠C এর মান কত?

সমাধান:
∆ABC এ লম্ব = AB
এবং অতিভূজ = AC

দেওয়া আছে,
AC = 2AB
∴ AB/AC = 1/2

মনে করি,
∠ACB = ∠C = θ

আমরা জানি,
sin∠ACB = লম্ব/অতিভূজ
⇒ sinθ = AB/AC
⇒ sinθ = 1/2
⇒ sinθ = sin30°
⇒ θ = 30°

∴ ∠C = 30°

১,৯১৮.

কোনো বৃত্তের ব্যাস ১২ সে.মি. হলে বৃত্তটির ক্ষেত্রফল কত?

ক
১৮π বর্গ সে.মি.
খ
৩৬π বর্গ সে.মি.
গ
৫৪π বর্গ সে.মি.
ঘ
৭২π বর্গ সে.মি.

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: কোনো বৃত্তের ব্যাস ১২ সে.মি. হলে বৃত্তটির ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
বৃত্তটির ব্যাসার্ধ , r = ১২/২ = ৬ সে.মি.

∴ বৃত্তটির ক্ষেত্রফল = πr^২ বর্গ একক
= π × (৬)^২ বর্গ সে.মি.
= ৩৬π বর্গ সে.মি.

১,৯১৯.

4 সে.মি. 5 সে.মি. এবং 7 সে.মি. বাহুবিশিষ্ট ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল কত বর্গ একক?

ক
ক) 2√6বর্গ একক
খ
খ) 8√6 বর্গ একক
গ
গ) 6√6 বর্গ একক
ঘ
ঘ) 4√6 বর্গ একক

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 4 সে.মি. 5 সে.মি. এবং 7 সে.মি. বাহুবিশিষ্ট ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল কত বর্গ একক?

সমাধান:
আমরা জানি,
সমষ্টি, 2S = 4 + 5 + 7
∴ S = 16/2 = 8

আবার,
ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = √s (s - a) (s - b) (s - c)
= √8(8 - 4)(8 - 5) (8 - 7)
= √8 × 4 × 3 × 1
= √96
= √(16 × 6)
= 4√6

১,৯২০.

একটি ত্রিভুজের তিনটি কোণের অনুপাত ৩ : ৪ : ৫ হলে ক্ষুদ্রতম কোণের পরিমাণ কত ডিগ্রি?

ক
ক) ৩০°
খ
খ) ৪৫°
গ
গ) ৬০°
ঘ
ঘ) ৭৫°

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি ত্রিভুজের তিনটি কোণের অনুপাত ৩ : ৪ : ৫ হলে ক্ষুদ্রতম কোণের পরিমাণ কত ডিগ্রি?

সমাধান:
মনে করি,
১ম কোণ = ৩ক
২য় কোণ = ৪ক এবং
৩য় কোণ = ৫ক

প্রশ্নমতে,
৩ক + ৪ক + ৫ক = ১৮০°
বা, ১২ক = ১৮০°
বা, ক = ১৫°

∴ ক্ষুদ্রতম কোণ = ৩ক
= ৩ × ১৫°
= ৪৫°

১,৯২১.

একটি সমবাহু ত্রিভুজের মধ্যমা ২৭ সে.মি. হলে, শীর্ষবিন্দু থেকে ভরকেন্দ্র পর্যন্ত দূরত্ব কত?

ক
২৬ সে.মি.
খ
৩৬ সে.মি.
গ
১৮ সে.মি.
ঘ
৯ সে.মি.

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি সমবাহু ত্রিভুজের মধ্যমা ২৭ সে.মি. হলে, শীর্ষবিন্দু থেকে ভরকেন্দ্র পর্যন্ত দূরত্ব কত?

সমাধান:

দেওয়া আছে,
মধ্যমা, AE = ২৭
ভরকেন্দ্র মধ্যমাকে ২ : ১ অনুপাতে বিভক্ত করে।

∴ শীর্ষবিন্দু থেকে ভরকেন্দ্র পর্যন্ত দূরত্ব, AD = (২/৩) × ২৭ = ১৮ সে.মি.

১,৯২২.

একটি ত্রিভুজের তিনটি কোণের অনুপাত ৩ : ৪ : ৫ হলে। বৃহত্তম কোণের পরিমাণ কত ডিগ্রী?

ক
ক) ৪৫°
খ
খ) ৭৫°
গ
গ) ৯০°
ঘ
ঘ) ১৮০°

ব্যাখ্যা

ত্রিভুজের কোণের অনুপাতের সমষ্টি = ১২
ত্রিভুজের ক্ষুদ্রতম কোণ = ১৮০ × ৫/১২ = ৭৫°

১,৯২৩.

একটি ত্রিভুজ এবং একটি বৃত্ত সর্বোচ্চ কয়টি বিন্দুতে ছেদ করতে পারে?

ক
ক) ৩
খ
খ) ৪
গ
গ) ৫
ঘ
ঘ) ৬

ব্যাখ্যা

একটি ত্রিভুজ এবং একটি বৃত্ত ন্যুনতম ২টি ও সর্বোচ্চ ৬টি বিন্দুতে পরস্পরকে ছেদ করে।

১,৯২৪.

একটি সমবাহু ত্রিভুজের বাহুর প্রত্যেকটির দৈর্ঘ্য 1 মিটার বাড়ালে এর ক্ষেত্রফল 5√3 বর্গমিটার বেড়ে যায়। সমবাহু ত্রিভুজের প্রতিটি বাহুর দৈর্ঘ্য কত?

ক
ক) 8.5 মিটার
খ
খ) 9.5 মিটার
গ
গ) 7.5 মিটার
ঘ
ঘ) 6.5 মিটার

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি সমবাহু ত্রিভুজের বাহুর প্রত্যেকটির দৈর্ঘ্য 1 মিটার বাড়ালে এর ক্ষেত্রফল 5√3 বর্গমিটার বেড়ে যায়। সমবাহু ত্রিভুজের প্রতিটি বাহুর দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
মনেকরি,
সমবাহু ত্রিভুজের প্রত্যেক বাহুর দৈর্ঘ্য a মিটার
তাহলে, ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল = √3a²/4

প্রশ্নমতে,
√3(a +1)²/4 - √3a²/4= 5√3
⇒ (√3/4){(a + 1)² - a²} = 5√3
⇒ a² + 2a + 1 - a² = 20
⇒ 2a = 19
a = 9.5

১,৯২৫.

একটি সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল 49√3 বর্গসে.মি. হলে উহার পরিসীমার অর্ধেক কত?

ক
ক) 42 সে.মি.
খ
খ) 25 সে.মি.
গ
গ) 21 সে.মি.
ঘ
ঘ) 31 সে.মি.

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল 49√3 বর্গসে.মি. হলে উহার পরিসীমার অর্ধেক কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = (√3/4) × a² এবং পরিসীমা 3a

শর্তমতে,
(√3/4) × a² = 49√3
বা, a² = 49 × 4
বা, a² = 196
বা, a = 14

পরিসীমা = 3a
= 3 × 14
= 42 সে.মি.

∴ পরিসীমার অর্ধেক = 42/2 = 21 সে.মি.

১,৯২৬.

ত্রিভুজের যেকোনো শীর্ষবিন্দু হতে বিপরীত বাহুর মধ্যবিন্দু পর্যন্ত অঙ্কিত রেখাংশকে কী বলে?

ক
লম্ব
খ
অতিভুজ
গ
মধ্যমা
ঘ
উচ্চতা

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ত্রিভুজের যেকোনো শীর্ষবিন্দু হতে বিপরীত বাহুর মধ্যবিন্দু পর্যন্ত অঙ্কিত রেখাংশকে কী বলে?

সমাধান:
- ত্রিভুজের বাহু তিনটির দৈর্ঘ্যের সমষ্টিকে পরিসীমা বলে।
- ত্রিভুজের বাহুগুলো দ্বারা সীমাবদ্ধ ক্ষেত্রকে ত্রিভুজক্ষেত্র বলে।
- ত্রিভুজের যেকোনো শীর্ষবিন্দু হতে বিপরীত বাহুর মধ্যবিন্দু পর্যন্ত অঙ্কিত রেখাংশকে মধ্যমা বলে।
- যেকোনো শীর্ষবিন্দু হতে বিপরীত বাহু এর লম্ব-দূরত্বই ত্রিভুজের উচ্চতা।

বাহুভেদে ত্রিভুজ তিন প্রকার:
- সমবাহু,
- সমদ্বিবাহু ও
- বিষমবাহু।

আবার কোণভেদেও ত্রিভুজ তিন প্রকার:
- সূক্ষ্মকোণী,
- স্থূলকোণী ও
- সমকোণী ।

১,৯২৭.

একটি ত্রিভুজের পরিসীমা ৬০ সে.মি.। বাহুগুলোর দৈর্ঘ্যের অনুপাত ৩ : ৫ : ৭ হলে ত্রিভুজের ক্ষুদ্রতম বাহুর দৈর্ঘ্য কত?

ক
১৭ সে.মি.
খ
১২ সে.মি.
গ
১৫ সে.মি.
ঘ
২৮ সে.মি.

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন একটি ত্রিভুজের পরিসীমা ৬০ সে.মি.। বাহুগুলোর দৈর্ঘ্যের অনুপাত ৩ : ৫ : ৭ হলে ত্রিভুজের ক্ষুদ্রতম বাহুর দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
ধরি,
বাহুগুলোর দৈর্ঘ্য যথাক্রমে ৩x সে.মি., ৫x সে.মি. এবং ৭x সে.মি.

প্রশ্নমতে,
৩x + ৫x + ৭x = ৬০
বা, ১৫x = ৬০
∴ x = ৪

∴ বাহুগুলো যথাক্রমে ১২ সে.মি., ২০ সে.মি. ও ২৮ সে.মি.

∴ ত্রিভুজের ক্ষুদ্রতম বাহুর দৈর্ঘ্য ১২ সে.মি.।

১,৯২৮.

সমবাহু ত্রিভুজের প্রত্যেকটি কোণ কত ডিগ্রী?

ক
৩০°
খ
৪৫°
গ
৬০°
ঘ
৯০°

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: সমবাহু ত্রিভুজের প্রত্যেকটি কোণ কত ডিগ্রী?

সমাধান:
- ত্রিভুজের যেকোনাে শীর্ষবিন্দু হতে বিপরীত বাহুর মধ্যবিন্দু পর্যন্ত অঙ্কিত রেখাংশকে মধ্যমা বলে।
- সমবাহু ত্রিভুজের তিনটি মধ্যমা পরস্পর সমান।
- সমবাহু ত্রিভুজে প্রতিটি বাহুর দৈর্ঘ্যে সমান এবং প্রতিটি কোণ পরস্পর সমান।
- সমবাহু ত্রিভুজের প্রতিটি কোণ ৬০°।

১,৯২৯.

চিত্রানুসারে O কেন্দ্র বিশিষ্ট একটি বৃত্তে ABC ত্রিভুজ অন্তর্লিখিত। ∠x = 112° হলে ∠y = ?

ক
ক) 34°
খ
খ) 45°
গ
গ) 68°
ঘ
ঘ) 39°

ব্যাখ্যা

BOC ত্রিভুজে বহিঃস্থ ∠AOB = ∠OBC + ∠OCB
∠AOB + x = 180°
∠OBC + ∠OCB + x = 180°
y + y = 180° - x
y = 68/2
y = 34°

১,৯৩০.

ABC একটি বিষমবাহু ত্রিভুজ। AD মধ্যমা দ্বারা গঠিত ABD-ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল x বর্গমিঃ। তাহলে, ABC ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল কত?

ক
ক) x² বর্গমিঃ
খ
খ) 2x বর্গমিঃ
গ
গ) (x/2)² বর্গমিঃ
ঘ
ঘ) (√x/3)² বর্গমিঃ

ব্যাখ্যা

মধ্যমা ত্রিভুজকে সমান দুই ভাগে ভাগ করে। অতএব, AD মধ্যমা, ABC বিষমবাহু ত্রিভুজটিকে সমান দুই ভাগে ভাগ করে। ABD-ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল x বর্গমিঃ হলে ABC ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল হবে (x+x) বা 2x ।

১,৯৩১.

একটি ত্রিভুজাকৃতি মাঠের তিন দিকের দৈর্ঘ্য যথাক্রমে 30 মিটার, 25 মিটার, 21 মিটার হলে মাঠটির অর্ধপরিসীমা কত?

ক
35 মিটার
খ
38 মিটার
গ
42 মিটার
ঘ
36 মিটার

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি ত্রিভুজাকৃতি মাঠের তিন দিকের দৈর্ঘ্য যথাক্রমে 30 মিটার, 25 মিটার, 21 মিটার হলে মাঠটির অর্ধপরিসীমা কত?

সমাধান:
ত্রিভুজের পরিসীমা 2s হলে,

আমরা জানি,
2s = a + b + c
⇒ 2s = (30 + 25 + 21)
⇒ 2s = 76
∴ s = 38

∴ মাঠটির অর্ধপরিসীমা 38 মিটার

১,৯৩২.

একটি বর্গের পরিসীমা ২৪ মিটার। একটি সমবাহু ত্রিভুজের বাহুর দৈর্ঘ্য বর্গের বাহুর দৈর্ঘ্যের সমান হলে, সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল কত?

ক
৬√৩ বর্গমিটার
খ
৮√৩ বর্গমিটার
গ
৯√৩ বর্গমিটার
ঘ
১২√৩ বর্গমিটার

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি বর্গের পরিসীমা ২৪ মিটার। একটি সমবাহু ত্রিভুজের বাহুর দৈর্ঘ্য বর্গের বাহুর দৈর্ঘ্যের সমান হলে, সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
একটি বর্গের পরিসীমা ২৪ মিটার।
বর্গের এক বাহুর দৈর্ঘ্য = ২৪/৪ মিটার= ৬ মিটার
সমবাহু ত্রিভুজের এক বাহুর দৈর্ঘ্য = ৬ মিটার

∴ সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = (√৩/৪) ৬^২ বর্গমিটার
= ৯√৩ বর্গমিটার

১,৯৩৩.

একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের একটি কোণের পরিমাণ ৫০° হলে, সমান কোণ দুইটির প্রত্যেকটির পরিমাণ হবে-

ক
১৩০°
খ
৫৫°
গ
৯০°
ঘ
৬৫°

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের একটি কোণের পরিমাণ ৫০° হলে, সমান কোণ দুইটির প্রত্যেকটির পরিমাণ হবে-

সমাধান:
আমরা জানি,
সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের তিন কোণের সমষ্টি = ১৮০°
∴ একটি কোণ ৫০° হলে অপর কোণদ্বয় = ১৮০° - ৫০°
= ১৩০°

যেহেতু ত্রিভুজটি সমদ্বিবাহু, অপর কোণ দুটি সমান হবে।
∴ প্রত্যেকটি কোণ = ১৩০°/২ = ৬৫°

১,৯৩৪.

একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল 12 বর্গমিটার এবং ভূমির দৈর্ঘ্য 8 মিটার হলে সমান সমান বাহু দুটির দৈর্ঘ্য কত?

ক
10 মিটার
খ
5 মিটার
গ
4 মিটার
ঘ
6 মিটার

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল 12 বর্গমিটার এবং ভূমির দৈর্ঘ্য 8 মিটার হলে সমান সমান বাহু দুটির দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল 12 বর্গমিটার
এবং ভূমির দৈর্ঘ্য 8 মিটার

ধরি, সমান সমান বাহু দুটির দৈর্ঘ্য, a = ?

আমরা জানি,
সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = (b/4) × √{4(a)² - (b)²}
⇒ (b/4) × √{4(a)² - (b)²} = 12
⇒ (8/4) {√{4(a)² - (8)²} = 12
⇒ 2 × {√{4(a)² - (8)²} = 12
⇒ {√{4(a)² - (8)²} = 6
⇒ [√{4(a)² - 64}]² = 6² ;[বর্গ করে]
⇒ 4a² - 64 = 36
⇒ 4a² = 36 + 64
⇒ 4a² = 100
⇒ a² = 100/4
⇒ a² = 25 = 5²
∴ a = 5

সুতরাং, সমান সমান বাহু দুটির দৈর্ঘ্য 5 মিটার।

১,৯৩৫.

ত্রিভুজের বৃহত্তম বাহু সংলগ্ন কোণদ্বয়-

ক
ক) সূক্ষ্মকোণ
খ
খ) স্থূলকোণ
গ
গ) সমকোণ
ঘ
ঘ) সরলকোণ

ব্যাখ্যা

ত্রিভুজের বৃহত্তম বাহু সংলগ্ন কোণদ্বয় সূক্ষ্মকোণ। ABC ত্রিভুজের বৃহত্তম বাহু BC; যার সংলগ্ন কোণদ্বয় B ও C সূক্ষ্মকোণ।

১,৯৩৬.

কোন তিনটি বাহু দ্বারা ত্রিভুজ গঠন করা যাবে না?

ক
৩, ৪, ৫
খ
৬, ৭, ১৩
গ
৪, ৫, ৬
ঘ
২, ৩, ৪

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: কোন তিনটি বাহু দ্বারা ত্রিভুজ গঠন করা যাবে না?

সমাধন:
ত্রিভুজের যেকোনো ২ বাহুর দৈর্ঘ্যের যোগফল তৃতীয় বাহুর দৈর্ঘ্য অপেক্ষা বৃহত্তর হবে।
ছোট দুই বাহুর যোগফলকে তৃতীয় বাহুর সাথে তুলনা করে পাই,
৩ + ৪ > ৫; ত্রিভুজ গঠন করা সম্ভব
৪ + ৫ > ৬; ত্রিভুজ গঠন করা সম্ভব
২ + ৩ > ৪; ত্রিভুজ গঠন করা সম্ভব
৬ + ৭ < ১৩ ত্রিভুজ গঠন করা সম্ভব নয়.

১,৯৩৭.

ΔABC এ AB ও AC বাহুর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে D, E। যদি DE = 7 সে.মি. হয়, তবে BC = কত?

ক
7 সে.মি.
খ
21 সে.মি.
গ
3.5 সে.মি.
ঘ
14 সে.মি.

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ΔABC এ AB ও AC বাহুর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে D, E। যদি DE = 7 সে.মি. হয়, তবে BC = কত?

সমাধান:
ত্রিভুজের যে কোনাে দুই বাহুর মধ্যবিন্দুর সংযােজক রেখাংশ তৃতীয় বাহুর সমান্তরাল এবং দৈর্ঘ্যে তার অর্ধেক।
ΔABC একটি ত্রিভুজ। D ও E যথাক্রমে ত্রিভুজটির AB ও AC বাহুর মধ্যবিন্দু।

আমরা জানি,
DE = BC/2
বা, 2DE = BC
বা, BC = 2 × 7 সে.মি.
∴BC = 14 সে.মি.

১,৯৩৮.

সমকোণী ত্রিভুজের সর্ববৃহৎ কোণটি কত?

ক
৮০ ডিগ্রি
খ
৯০ ডিগ্রি
গ
৬০ ডিগ্রি
ঘ
১৮০ ডিগ্রি

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: সমকোণী ত্রিভুজের সর্ববৃহৎ কোণটি কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
- একটি ত্রিভুজে ১টি সমকোণ থাকতে পারে।
- সমকোণী ত্রিভুজের একটি কোণ এক সমকোণ, অন্য দুটি কোণের সমষ্টি এক সমকোণ।
- সমকোণী ত্রিভুজের সর্ববৃহৎ কোণটি ৯০ ডিগ্রি ।

১,৯৩৯.

একটি সমবাহু ত্রিভুজের একটি বাহুর দৈর্ঘ্য 12 মিটার হলে, ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল কত বর্গ মিটার?

ক
36√3 বর্গ মিটার
খ
144√3 বর্গ মিটার
গ
72√3 বর্গ মিটার
ঘ
18√3 বর্গ মিটার

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি সমবাহু ত্রিভুজের একটি বাহুর দৈর্ঘ্য 12 মিটার হলে, ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল কত বর্গ মিটার?

সমাধান:
আমরা জানি,
সমবাহু ত্রিভুজের বাহুর দৈর্ঘ্য a হলে, ক্ষেত্রফল = (√3/4)a²
দেওয়া আছে,
সমবাহু ত্রিভুজটির একটি বাহুর দৈর্ঘ্য a = 12 মিটার।

সুতরাং, ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল = (√3/4) × (12)²
= (√3/4) × (12 × 12)
= 36√3 বর্গ মিটার

১,৯৪০.

একটি সমবাহু ত্রিভুজের যে কোন দুটি বাহুর অন্তর্গত কোণের মান কত?

ক
ক) ৫০°
খ
খ) ৬০°
গ
গ) ৮০°
ঘ
ঘ) ৯০°

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি সমবাহু ত্রিভুজের যে কোন দুটি বাহুর অন্তর্গত কোণের মান কত?

সমাধান:
সমবাহু ত্রিভুজের প্রতিটি কোণের পরিমাণ = ৬০°
∴ যে কোন দুটি বাহুর অন্তর্গত কোণ = ৬০°

১,৯৪১.

নিচের কোন তিনটি রেখাংশের দৈর্ঘ্য দ্বারা একটি সমকোণী ত্রিভুজ আঁকা সম্ভব?

ক
৩, ৫, ৬
খ
৬, ৮, ১০
গ
৫, ৬, ৮
ঘ
৭, ১২, ১৩

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: নিচের কোন তিনটি রেখাংশের দৈর্ঘ্য দ্বারা একটি সমকোণী ত্রিভুজ আঁকা সম্ভব?

সমাধান:
আমরা জানি,
সমকোণী ত্রিভুজের ক্ষেত্রে অতিভূজের উপর অঙ্কিত বর্গ অপর দুই বাহুর উপর অঙ্কিত বর্গের সমষ্টির সমান।
∴ ৬^২ + ৮^২ = ৩৬ + ৬৪ = ১০০ = ১০^২

∴ ৬, ৮, ১০ বাহুগুলো দ্বারা একটি সমকোণী ত্রিভুজ আঁকা যাবে।

১,৯৪২.

একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের সমান কোণদ্বয়ের একটি 55° হলে তৃতীয় কোণটির পরিমাণ কত?

ক
ক) 80°
খ
খ) 70°
গ
গ) 100°
ঘ
ঘ) 90°

ব্যাখ্যা

সমান কোণদ্বয়ের সমষ্টি = 55° + 55°
= 110°
∴ অপর কোণ = 180° - 110°
= 70°

১,৯৪৩.

ABC ত্রিভুজে B কোণের পরিমাণ ৪৮° এবং AB = AC। যদি E এবং F AB এবং AC-কে এমনভাবে ছেদ করে যেন EF || BC হয়, তাহলে ∠A + ∠AFE =?

ক
ক) ১৩২°
খ
খ) ১৮০°
গ
গ) ১০৮°
ঘ
ঘ) ১৬০°

ব্যাখ্যা

দেওয়া আছে,∠B = ৪৮° এবং AB = AC
সুতরাং, ∠ B = ∠C = ৪৮°
আবার, EF||BC এবং AC ছেদক
∠C = ∠AFE [অনুরূপ কোণ]
অতএব, ∠ AFE = ৪৮°
এখানে, ∠ A +∠ B + ∠C = ১৮০°
→ ∠A + ৪৮° + ৪৮° = ১৮০°
→ ∠A = ১৮০° – ৯৬°
: ∠A = ৮৪°
সুতরাং ∠A + ∠AFE = ৮৪° + ৪৮° = ১৩২°

১,৯৪৪.

একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের সমান বাহুদ্বয়ের প্রত্যেকটির দৈর্ঘ্য 16 সে.মি. এবং বাহুদ্বয়ের অন্তর্ভুক্ত কোণ 45° হলে ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফর কত বর্গ সে.মি.?

ক
ক) 32√2 বর্গ সে.মি.
খ
খ) 96√2 বর্গ সে.মি.
গ
গ) 128√2 বর্গ সে.মি.
ঘ
ঘ) 64√2 বর্গ সে.মি.

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের সমান বাহুদ্বয়ের প্রত্যেকটির দৈর্ঘ্য 16 সে.মি. এবং বাহুদ্বয়ের অন্তর্ভুক্ত কোণ 45° হলে ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফর কত বর্গ সে.মি.?

সমাধান:
বাহুদ্বয়ের অন্তর্ভুক্ত কোণ θ = 45°
সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের সমান বাহুদ্বয়ের প্রত্যেকটির দৈর্ঘ্য a = b =16 সে.মি.

আমরা জানি,
ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = (1/2)absinθ
= (1/2) ×16 × 16 × sin45°
= (1/2) ×16 × 16× (1/√2)
= 64√2 বর্গ সে.মি.

১,৯৪৫.

সমকোণী ত্রিভুজের সমকোণ সংলগ্ন বাহুদ্বয় যথাক্রমে ৩ ও ৪ মি. মি. হলে এর অতিভুজের মান কত?

ক
ক) ৫ মি. মি.
খ
খ) ৬ সে. মি.
গ
গ) ৭ সে. মি.
ঘ
ঘ) ৯ সে. মি.

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: সমকোণী ত্রিভুজের সমকোণ সংলগ্ন বাহুদ্বয় যথাক্রমে ৩ ও ৪ মি. মি. হলে এর অতিভুজের মান কত?

সমাধান:
সমকোণী ত্রিভুজের সমকোণ সংলগ্ন বাহুদ্বয় যথাক্রমে ৩ ও ৪ মি. মি. হলে
ধরি
ভূমি = ৪ মি. মি.
উচ্চতা = ৩ মি. মি.

আমরা জানি,
(অতিভুজ)^২ = (উচ্চতা )^২ + (ভূমি)^২
বা,(অতিভুজ)^২ = (৩)^২+ (৪)^২
বা,(অতিভুজ)^২ = ৯ + ১৬ মি.
বা,(অতিভুজ)^২ = ২৫ মি.
(অতিভুজ)^২ = ৫^২
অতিভুজ = ৫

১,৯৪৬.

নিচের কোন তিনটি বাহু দ্বারা ত্রিভুজ গঠন করা সম্ভব নয়?

ক
৩, ৬, ৮
খ
২, ৪, ৭
গ
২, ৫, ৬
ঘ
৫, ৭, ৯

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: নিচের কোন তিনটি বাহু দ্বারা ত্রিভুজ গঠন করা সম্ভব নয়?

সমাধান:
আমরা জানি,
ত্রিভুজের যেকোনো দুই বাহুর সমষ্টি তৃতীয় বাহু ওপেক্ষা বৃহত্তম।

এখানে,
৩ + ৬ = ৯ > ৮ ; ত্রিভুজ গঠন সম্ভব।
২ + ৪ = ৬ < ৭ ; ত্রিভুজ গঠন সম্ভব নয়।
২ + ৫ = ৭ > ৬ ; ত্রিভুজ গঠন সম্ভব।
৫ + ৭ = ১২ > ৯ ; ত্রিভুজ গঠন সম্ভব।

১,৯৪৭.

একটি ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল একটি বর্গের ক্ষেত্রফলের সমান। বর্গের এক বাহুর দৈর্ঘ্য ৫০ মিটার। ত্রিভুজটির ভূমি ১০০ মিটার হলে, ত্রিভুজটির উচ্চতা কত?

ক
৫০ মিটার
খ
৪০ মিটার
গ
৬০ মিটার
ঘ
৮০ মিটার

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল একটি বর্গের ক্ষেত্রফলের সমান। বর্গের এক বাহুর দৈর্ঘ্য ৫০ মিটার। ত্রিভুজটির ভূমি ১০০ মিটার হলে, ত্রিভুজটির উচ্চতা কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
বর্গের এক বাহুর দৈর্ঘ্য = ৫০ মিটার
∴ বর্গের ক্ষেত্রফল = (৫০ × ৫০) বর্গ মিটার
= ২৫০০ বর্গ মিটার

যেহেতু, ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল বর্গের ক্ষেত্রফলের সমান
∴ ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = ২৫০০ বর্গ মিটার
∴ ত্রিভুজটির ভূমি = ১০০ মিটার

আমরা জানি,
(১/২) × ভূমি × উচ্চতা = ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল
বা, (১/২) × ১০০ × উচ্চতা = ২৫০০
বা, উচ্চতা = (২৫০০ × ২)/১০০
∴ উচ্চতা = ৫০ মিটার

∴ ত্রিভুজটির উচ্চতা = ৫০ মিটার ।

১,৯৪৮.

একটি সমবাহু ত্রিভুুজের ক্ষেত্রফল ২৫√৩ বর্গ সে.মি.। ত্রিভুজটির প্রতি বাহুর দৈর্ঘ্য কত?

ক
ক) ১০ সে.মি
খ
খ) ১১ সে.মি
গ
গ) ১২ সে.মি
ঘ
ঘ) ১৫ সে.মি

ব্যাখ্যা

আমরা জানি, সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = (√৩/৪)(বাহু)²
বা, বাহু² = (৪ × ২৫√৩)/√৩ = ১০০
বা, বাহু = ১০ সেমি

১,৯৪৯.

ΔBCD এর ∠B= 42°, ∠C= 69° হলে, ΔBCD কী ধরণের ত্রিভুজ?

ক
বিষমবাহু ত্রিভুজ
খ
সমবাহু ত্রিভুজ
গ
সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ
ঘ
স্থূলকোণী ত্রিভুজ

ব্যাখ্যা

ΔBCD - এ ,
∠B + ∠C + ∠D = 180°
42° + 69° + ∠D = 180°
∠D = 180° - 111°
∠D = 69°
কোনো ত্রিভুজের দুইটি কোণ সমান হলে ত্রিভুজটির দুইটি বাহুও সমান হবে।

∴ ΔBCD - ত্রিভুজটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ

১,৯৫০.

ক
৫৫°
খ
৬৫°
গ
৯০°
ঘ
১৩০°

ব্যাখ্যা

১,৯৫১.

দুইটি ত্রিভুজ সর্বসম হওয়ার শর্ত নিচের কোনটি?

ক
ক) দুটি বাহু সমান
খ
খ) তিনটি কোণ সমান
গ
গ) তিনটি বাহু সমান
ঘ
ঘ) কোনটিই নয়

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: দুইটি ত্রিভুজ সর্বসম হওয়ার শর্ত নিচের কোনটি?

সমাধান:
দুইটি ত্রিভুজ সর্বসম হওয়ার শর্ত হলো:
- দুইটি ত্রিভুজের একটির দুইটি বাহু যথাক্রমে অপরটির দুই বাহুর সমান হয় এবং বাহুদুটির অন্তর্ভুক্ত কোণ দুটি পরস্পর সমান হয়।
- একটি ত্রিভুজের তিন বাহু যথাক্রমে অপরটির তিন বাহুর সমান হয়।
- একটি ত্রিভুজের দুতি কোণ ও এদের সংলগ্নবাহু যথাক্রমে অপরটির দুটি কোণ ও তাদের সংলগ্নবাহু সমান হয়।

১,৯৫২.

ΔABC এ AB = AC হলে নিচের কোনটি সত্য?

ক
ক) ∠ABC < ∠ACB
খ
খ) ∠ABC = ∠BAC
গ
গ) ∠ABC = ∠ACB
ঘ
ঘ) ∠ACB = ∠BAC

ব্যাখ্যা

যদি কোনো ত্রিভুজের দুইটি বাহু পরস্পর সমান হয়, তবে এদের বিপরীত কোণ দুইটিও পরস্পর সমান হবে।
মনে করি, ABC ত্রিভুজে AB = AC।
তাহলে, ∠ABC = ∠ACB

১,৯৫৩.

একটি বর্গের পরিসীমা ১৬ মিটার। একটি সমবাহু ত্রিভুজের বাহুর দৈর্ঘ্য বর্গটির বাহুর দৈর্ঘ্যের সমান হলে, সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল কত?

ক
৪√৩ বর্গমিটার
খ
৬√৩ বর্গমিটার
গ
১২√৩ বর্গমিটার
ঘ
১৬√৩ বর্গমিটার

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি বর্গের পরিসীমা ১৬ মিটার। একটি সমবাহু ত্রিভুজের বাহুর দৈর্ঘ্য বর্গটির বাহুর দৈর্ঘ্যের সমান হলে, সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
একটি বর্গের পরিসীমা ১৬ মিটার।
বর্গের এক বাহুর দৈর্ঘ্য = ১৬/৪ মিটার= ৪ মিটার
সমবাহু ত্রিভুজের এক বাহুর দৈর্ঘ্য = ৪ মিটার

∴ সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = (√৩/৪) × ৪^২ বর্গমিটার
= ৪√৩ বর্গমিটার

১,৯৫৪.

একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের ভূমি ১২ মিটার অপর দুইটি বাহুর প্রতিটি ৮ মিটার হলে, ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল কত বর্গমিটার?

ক
ক) ১৩√৫ বর্গমিটার
খ
খ) ১২√৭ বর্গমিটার
গ
গ) ১৪√৬ বর্গমিটার
ঘ
ঘ) ১১√৮ বর্গমিটার

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের ভূমি ১২ মিটার অপর দুইটি বাহুর প্রতিটি ৮ মিটার হলে, ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল কত বর্গমিটার?

সমাধান:
সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের সমান সমান বাহু a এবং
ভূমি b হলে,
ক্ষেত্রফল = (b/4)√(4a² – b² )

দেওয়া আছে,
সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের সমান সমান বাহুর দৈর্ঘ্য ৮ মিটার
ভূমির দৈর্ঘ্য ১২ মিটার
এখানে,
a = ৮
b= ১২

সুতরাং,
ক্ষেত্রফল =(১২/৪)√(৪ × ৮^২- ১২^২) বর্গমিটার
= ৩√(৪ × ৬৪ - ১৪৪) বর্গমিটার
= ৩√(২৫৬ - ১৪৪) বর্গমিটার
= ৩√১১২ বর্গমিটার
= ৩ × ৪√৭ বর্গমিটার
= ১২√৭ বর্গমিটার

১,৯৫৫.

সমবাহু ত্রিভুজের বাহুর দৈর্ঘ্য ২ মিটার হলে ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল কত?

ক
√৩ বর্গমিটার
খ
৪√৩ বর্গমিটার
গ
১৬√৩ বর্গমিটার
ঘ
২৪√৩ বর্গমিটার

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: সমবাহু ত্রিভুজের বাহুর দৈর্ঘ্য ২ মিটার হলে ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
সমবাহু ত্রিভুজের বাহুর দৈর্ঘ্য a হলে,
ক্ষেত্রফল = (√৩/৪) × a^২

∴ ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = (√৩/৪) × a^২
= (√৩/৪) × (২)^২
= (√৩/৪) × ৪
= √৩

∴ ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল = √৩ বর্গমিটার।

১,৯৫৬.

একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের ভূমি 8 মিটার এবং উহার দুটি বাহুর প্রতিটি 5 মিটার হলে ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল কত?

ক
10 বর্গমিটার
খ
12 বর্গমিটার
গ
16 বর্গমিটার
ঘ
20 বর্গমিটার

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের ভূমি 8 মিটার এবং উহার দুটি বাহুর প্রতিটি 5 মিটার হলে ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = b/4 {√4(a)² - (b)²}
দেওয়া আছে,
সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের ভূমি, b = 8 মিটার
এবং দুটি বাহুর প্রতিটি, a = 5 মিটার।

∴ ক্ষেত্রফল = b/4 {√4(a)² - (b)²}
= 8/4 {√4(5)² - (8)²}
= 2 {√(100 - 64)}
= 2 √36
= 2 × 6
= 12

∴ সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = 12 বর্গমিটার।

১,৯৫৭.

নিচের ত্রিভুজে বাহুর দৈর্ঘ্য দেয়া আছে। কোন ক্ষেত্রে ত্রিভুজটি আঁকা সম্ভব নয়?

ক
ক) ২,৩,৫ সে.মি.
খ
খ) ৪,৫,৬ সে.মি.
গ
গ) ৩,৫,৭ সে.মি.
ঘ
ঘ) ৫,৬,৮ সে.মি.

ব্যাখ্যা

আমরা জানি, ত্রিভুজের যেকোনো দুই বাহুর সমষ্টি তৃতীয় বাহু অপেক্ষা বৃহত্তম।
প্রশ্নোক্ত অপশনগুলোর মধ্যে একমাত্র ২+৩ = ৫ বাহু গুলো দ্বারা ত্রিভুজ অঙ্কন সম্ভব নয়।

১,৯৫৮.

একটি সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল 2√3 বর্গমিটার হলে তার বাহুর দৈর্ঘ্য কত মিটার?

ক
ক) 3√2
খ
খ) 2√2
গ
গ) 4√2
ঘ
ঘ) 5√2

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল 2√3 বর্গমিটার হলে তার বাহুর দৈর্ঘ্য কত মিটার?

সমাধান:
ধরি,
বাহুর দৈর্ঘ্য = ‍a মিটার
আমরা জানি,
ক্ষেত্রফল = (√3/4)a²প্রশ্নমতে,
(√3/4)a² = 2√3
বা, a² = 2√3 × (4/√3)
বা, ‍a² = 8
∴ ‍a = 2√2

∴ বাহুর দৈর্ঘ্য 2√2 মিটার।

১,৯৫৯.

একটি ত্রিভুজের বাহুগুলোর অনুপাত √2 : 4 : 3√2 হলে এর বৃহত্তম কোণটির মান কত?

ক
45°
খ
70°
গ
60°
ঘ
90°

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি ত্রিভুজের বাহুগুলোর অনুপাত √2 : 4 : 3√2 হলে এর বৃহত্তম কোণটির মান কত?

সমাধান:
ধরি
১ম বাহু = √2x
২য় বাহু = 4x
৩য় বাহু = 3√2x

এখন,
(3√2x)² = (√2x)² + (4x)²
⇒ 18x² = 2x² + 16x²
∴ 18x² = 18x²

∴ প্রদত্ত ত্রিভুজটি একটি সমকোণী ত্রিভুজ।
সমকোণী ত্রিভুজের বৃহত্তম কোণ সর্বদা 90°।

১,৯৬০.

ΔABC এর AB=AC, BC বাহুকে D পর্যন্ত বর্ধিত করলে যদি ∠ACD=120° হয়, তবে ∠BAC এর মান কত?

ক
ক) 75°
খ
খ) 120°
গ
গ) 60°
ঘ
ঘ) 40°

ব্যাখ্যা

BC বাহুকে D পর্যন্ত বর্ধিত করলে যদি ∠ACD=120° হয় তবে ∠ACB=60°
AB=AC বলে ত্রিভুজটি সমদ্বিবাহু ত্রিভূজ।
সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের ভূমি সংলগ্ন কোণদ্বয় সমান হয় বলে ∠ABC= 60°
আমরা জানি
ত্রিভুজের তিনটি কোণের সমষ্টি = 180°
বা, ∠ABC+∠ACB+∠BAC=180°
60° + 60° + ∠BAC =180°
120°+ ∠BAC =180°
∴∠BAC=60°

১,৯৬১.

ত্রিভুজের যেকোন দুই বাহুর লম্বদ্বিখন্ডক যে বিন্দুতে ছেদ করে তাকে কি বলে?

ক
ক) ভরকেন্দ্র
খ
খ) পরিকেন্দ্র
গ
গ) লম্বকেন্দ্র
ঘ
ঘ) কোনটি নয়

ব্যাখ্যা

ত্রিভুজের যেকোন দুই বাহুর লম্বদ্বিখন্ডক যে বিন্দুতে ছেদ করে তাকে ত্রিভুজের পরিকেন্দ্র বলে। উল্লেখ্য, তৃতীয় বাহুর লম্বদ্বিখন্ডকও ঐ বিন্দুগামী।

১,৯৬২.

একটি ত্রিভুজের বাহুগুলোর অনুপাত ৫ : ৭ : ৯ এবং এর পরিসীমা ৪২ সেমি হলে বাহুগুলোর দৈর্ঘ্য কত?

ক
১৭ সে. মি.; ১১ সে. মি. ও ১৪ সে. মি.
খ
৫ সে. মি.; ১৪ সে. মি. ও ২৩ সে. মি.
গ
১৫ সে. মি.; ১০ সে. মি. ও ১৭ সে. মি.
ঘ
১০ সে. মি.; ১৪ সে. মি. ও ১৮ সে. মি.

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি ত্রিভুজের বাহুগুলোর অনুপাত ৫ : ৭ : ৯ এবং এর পরিসীমা ৪২ সেমি হলে বাহুগুলোর দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
ধরি,
বাহুগুলোর দৈর্ঘ্য যথাক্রমে ৫x সে.মি.; ৭x সে.মি. এবং ৯x সে.মি.

শর্তমতে,
৫x + ৭x + ৯x = ৪২
বা, ২১x = ৪২
∴ x = ২

∴ বাহুগুলো যথাক্রমে ১০ সে. মি.; ১৪ সে. মি. ও ১৮ সে. মি.

১,৯৬৩.

একটি বর্গের কর্ণের উপর একটি সমবাহু ত্রিভুজ অঙ্কন করা হলে অঙ্কিত ত্রিভুজ ও বর্গের ক্ষেত্রফলের অনুপাত কত?

ক
√3 : 1
খ
√3 : 2
গ
√3 : 5
ঘ
√3 : 4

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি বর্গের কর্ণের উপর একটি সমবাহু ত্রিভুজ অঙ্কন করা হলে অঙ্কিত ত্রিভুজ ও বর্গের ক্ষেত্রফলের অনুপাত কত?

সমাধান:
মনেকরি,
বর্গের এক বাহুর দৈর্ঘ্য= a একক
বর্গের কর্ণের দৈর্ঘ্য = √2a একক
বর্গের ক্ষেত্রফল = a²

সমবাহু ত্রিভুজের এক বাহুর দৈর্ঘ্য = √2a একক
সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = (√3/4) × (√2a)²
= (√3/4) ×2a²
= √3a²/2

সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল ও বর্গের ক্ষেত্রফলের অনুপাত =√3a²/2 : a²
=√3/2 : 1
=√3 : 2

১,৯৬৪.

যেকোনো শীর্ষবিন্দু হতে বিপরীত বাহু এর লম্ব-দূরত্বই ত্রিভুজের-

ক
ক) মধ্যমা
খ
খ) উচ্চতা
গ
গ) পরিসীমা
ঘ
ঘ) ক ও গ উভয়ই

ব্যাখ্যা

তিনটি রেখাংশ দ্বারা আবদ্ধ চিত্র একটি ত্রিভুজ।
রেখাংশগুলোকে ত্রিভুজের বাহু বলে।
যেকোনো দুইটি বাহুর সাধারণ বিন্দুকে শীর্ষবিন্দু বলা হয়।
ত্রিভুজের যেকোনো দুইটি বাহু শীর্ষবিন্দুতে কোণ উৎপন্ন করে।
ত্রিভুজের তিনটি বাহু ও তিনটি কোণ রয়েছে।

ত্রিভুজের বাহু তিনটির দৈর্ঘ্যের সমষ্টিকে পরিসীমা বলে।
ত্রিভুজের বাহুগুলো দ্বারা সীমাবদ্ধ ক্ষেত্রকেত্রিভুজক্ষেত্র বলে।
ত্রিভুজের যেকোনো শীর্ষবিন্দু হতে বিপরীত বাহুর মধ্যবিন্দু পর্যন্ত অঙ্কিত রেখাংশকে মধ্যমা বলে।
যেকোনো শীর্ষবিন্দু হতে বিপরীত বাহু এর লম্ব-দূরত্বই ত্রিভুজের উচ্চতা।

১,৯৬৫.

একটি ত্রিভুজের যেকোনো একটি কোণ অপর দুটি কোণের সমষ্টির সমান হলে ত্রিভুজটি কোন ধরণের?

ক
ক) স্থুলকোণী
খ
খ) সূক্ষ্মকোণী
গ
গ) সমকোণী
ঘ
ঘ) সমবাহু

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি ত্রিভুজের যেকোনো একটি কোণ অপর দুটি কোণের সমষ্টির সমান হলে ত্রিভুজটি কোন ধরণের?

সমাধান:
- সমকোণী ত্রিভুজের একটি কোণ এক সমকোণ, অন্য দুটি কোণের সমষ্টি এক সমকোণ।
- সমবাহু ত্রিভুজে প্রতিটি বাহুর দৈর্ঘ্যে সমান এবং প্রতিটি কোণ পরস্পর সমান।
- সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের যে কোন দুইটি বাহুর দৈর্ঘ্য সমান।
- সূক্ষ্মকোণী ত্রিভুজের তিনটি কোণই সূক্ষ্মকোণ।

১,৯৬৬.

একটি সমকোণী ত্রিভুজের সূক্ষ্মকোণদ্বয়ের পার্থক্য ১৮° হলে ক্ষুদ্রতম কোণের মান কত?

ক
৩৬°
খ
৪২°
গ
৫৪°
ঘ
৬৮°

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি সমকোণী ত্রিভুজের সূক্ষ্মকোণদ্বয়ের পার্থক্য ১৮° হলে ক্ষুদ্রতম কোণের মান কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
একটি সমকোণী ত্রিভুজের সূক্ষ্মকোণদ্বয়ের সমষ্টি ৯০°।
ধরি, ক্ষুদ্রতম কোণটি ক।
∴ অপর কোণটি হবে (ক + ১৮)°

প্রশ্নমতে,
ক + (ক + ১৮)° = ৯০°
বা, ২ক + ১৮ = ৯০
বা, ২ক = ৯০ - ১৮
বা, ২ক = ৭২
বা, ক = ৭২/২
∴ ক = ৩৬

সুতরাং, ক্ষুদ্রতম কোণের মান হলো ৩৬°।

১,৯৬৭.

নিচের চিত্রে ∠B = 75° এবং ∠ACE = 150° হলে ∠A কোণের মান কত?

ক
30°
খ
45°
গ
75°
ঘ
105°

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: নিচের চিত্রে ∠B = 75° এবং ∠ACE = 150° হলে ∠A কোণের মান কত?

সমাধান:
∠ACB + ∠ACE = এক সরলকোণ = 180°
⇒ ∠ACB = 180° - ∠ACE
⇒ ∠ACB = 180° - 150°
⇒ ∠ACB = 30°

আবার, ∠A + ∠B + ∠ACB = 180°
⇒ ∠A + 75° + 30° = 180°
⇒ ∠A + 105° = 180°
⇒ ∠A = 180° - 105° = 75°

১,৯৬৮.

সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল ১৬√৩ বর্গসে.মি. হলে, ত্রিভুজটির বাহুর দৈর্ঘ্য কত?

ক
৪ সে.মি.
খ
৮ সে.মি.
গ
১২ সে.মি.
ঘ
৬ সে.মি.

ব্যাখ্যা

সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল, √৩/৪ × (এক বাহু)^২ = ১৬√৩ বর্গ সে.মি.
(এক বাহু)^২ = (১৬√৩) × (৪/√৩) বর্গ সে.মি. বা ৬৪ বর্গ সে.মি.
এক বাহু = √৬৪ সে.মি. = ৮ সে.মি.

১,৯৬৯.

একটি ত্রিভুজের তিনটি কোণের অনুপাত 1 : 1 : 2 হলে ত্রিভুজটি কোন ধরনের ত্রিভুজ?

ক
সমকোণী ত্রিভুজ
খ
সমবাহু ত্রিভুজ
গ
বিষমবাহু ত্রিভুজ
ঘ
কোনটিই নয়

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি ত্রিভুজের তিনটি কোণের অনুপাত 1 : 1 : 2 হলে ত্রিভুজটি কোন ধরনের ত্রিভুজ?

সমাধান:
ধরি,
কোণ তিনটি = x, x এবং 2x

প্রশ্নমতে,
x + x + 2x = 180°
4x = 180°
∴x = 45°
এবং 2x = 90°

সুতরাং ত্রিভুজটি সমকোণী।

১,৯৭০.

একটি ত্রিভুজের তিনটি কোণের অনুপাত ৫ : ৬ : ৭ হলে ত্রিভুজের বৃহত্তম কোণের পরিমাণ কত ডিগ্রি?

ক
৩০ ডিগ্রি
খ
৫০ ডিগ্রি
গ
৬০ ডিগ্রি
ঘ
৭০ ডিগ্রি

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি ত্রিভুজের তিনটি কোণের অনুপাত ৫ : ৬ : ৭ হলে ত্রিভুজের বৃহত্তম কোণের পরিমাণ কত ডিগ্রি?

সমাধান:
ধরি,
ত্রিভুজের তিনটি কোণের পরিমাণ ৫ক, ৬ক এবং ৭ক

প্রশ্নমতে,
৫ক + ৬ক + ৭ক = ১৮০
বা, ১৮ক = ১৮০
বা, ক = ১৮০/১৮
বা, ক = ১০

সুতরাং, ত্রিভুজটির বৃহত্তম কোণের পরিমাণ = (৭ × ১০) ডিগ্রি = ৭০ ডিগ্রি

১,৯৭১.

ABC ত্রিভুজে B কোণের পরিমাণ ৪৮° এবং AB = AC। যদি E এবং F, AB এবং AC-কে এমনভাবে ছেদ করে যেন EF || BC হয়, তাহলে ∠A + ∠AFE =?

ক
১৩২°
খ
১৮০°
গ
১০৮°
ঘ
১৬০°

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ABC ত্রিভুজে B কোণের পরিমাণ ৪৮° এবং AB = AC। যদি E এবং F, AB এবং AC-কে এমনভাবে ছেদ করে যেন EF || BC হয়, তাহলে ∠A + ∠AFE =?

সমাধান:

দেওয়া আছে,
∠B = ৪৮° এবং AB = AC
সুতরাং, ∠ B = ∠C = ৪৮°

আবার, EF||BC এবং AC ছেদক
∠C = ∠AFE [অনুরূপ কোণ]
অতএব, ∠ AFE = ৪৮°
এখানে, ∠ A +∠ B + ∠C = ১৮০°
⇒ ∠A + ৪৮° + ৪৮° = ১৮০°
⇒ ∠A = ১৮০° - ৯৬°
∴ ∠A = ৮৪°
সুতরাং ∠A + ∠AFE = ৮৪° + ৪৮° = ১৩২°

১,৯৭২.

একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের সমান দুটি কোণ ৭০° হলে, ত্রিভুজের তৃতীয় কোণের মান কত হবে?

ক
৪০
খ
৫৫
গ
৭০
ঘ
৪৫

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের সমান দুটি কোণ ৭০° হলে, ত্রিভুজের তৃতীয় কোণের মান কত হবে?

সমাধান:
ত্রিভুজের তিনটি কোণের যোগফল সবসময় ১৮০°।
সমান দুটি কোণ ৭০° হলে,

তৃতীয় কোণ 'ক' হবে
৭০° + ৭০° + ক = ১৮০°
⇒ ক = ১৮০° - ১৪০°
ক = ৪০°

∴ত্রিভুজের তৃতীয় কোণের মান ৪০°

১,৯৭৩.

একটি সমবাহু ত্রিভুজের বাহু ৩০ সে.মি. হলে, ত্রিভুজটির অন্তব্যাসার্ধ কত?

ক
৫
খ
৫√৩
গ
৩√২
ঘ
২√২

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি সমবাহু ত্রিভুজের বাহু ৩০ সে.মি. হলে, ত্রিভুজটির অন্তব্যাসার্ধ কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
সমবাহু ত্রিভুজের বাহু, a = ৩০ সে.মি.

আমরা জানি,
সমবাহু ত্রিভুজের অন্তব্যাসার্ধ = a/২√৩
= ৩০/২√৩
= ১৫/√৩
= (৫ × ৩)/√৩
= (৫ × √৩ × √৩)/√৩
= ৫√৩

১,৯৭৪.

একটি সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজ 30 মি.।এর একটি বাহু অপরটির 5/6 হলে, বাহু দুইটির দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর?

ক
ক) 15.50মি, 18.90মি
খ
খ) 19.20মি, 23.046মি
গ
গ) 12.34মি, 14.20মি
ঘ
ঘ) 15.55মি, 20.22মি

ব্যাখ্যা

ধরি, অপর বাহুটি = x
∴ ১ম বাহু = x এর 5/6 = 5x/6
প্রশ্নমতে,
অতিভুজ² = লম্ব² + ভূমি²
বা, 30² = x² + (5x/6)²
বা, 900 = x² + (25x²/36)
বা, 900 = 61x²/36
∴ x = 23.046 মি.
বা, অপর বাহুটি = x = 23.046 মি.
∴ ১ম বাহু = x এর 5/6 = 5x/6 = (5/6)× 23.046 মি. = 19.20 মি.

১,৯৭৫.

একটি সমকোণী ত্রিভুজের লম্ব ভূমি অপেক্ষা ২ সে. মি. ছোট; কিন্তু অতিভুজ ভূমি অপেক্ষা ২সে. মি. বড়। অতিভুজের দৈর্ঘ্য কত?

ক
১০ সে. মি.
খ
৮ সে. মি.
গ
৪ সে. মি.
ঘ
৬ সে. মি.

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি সমকোণী ত্রিভুজের লম্ব ভূমি অপেক্ষা ২ সে. মি. ছোট; কিন্তু অতিভুজ ভূমি অপেক্ষা ২সে. মি. বড়। অতিভুজের দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
ধরি,

ভূমি = x সে.মি.

অতিভূজ = x + 2 সে.মি.
লম্ব = x - 2 সে.মি.

শর্তমতে , x² + (x - 2)² = (x + 2)²

বা, x² + x² - 4x + 4 = x² + 4x + 4

বা, x² - 8x = 0

বা, x(x - 8) = 0
হয়, x = 0 অথবা x - 8 = 0 [x = 0 গ্রহণযোগ্য নয়]

∴ x = 8

∴ অতিভূজ = x + 2 = 8 + 2 = 10 সে.মি.

১,৯৭৬.

একটি ত্রিভুজের তিনটি কোণের অনুপাত ৩ : ৪ : ৫ হলে বৃহত্তম কোণের পরিমাণ কত?

ক
৫৫°
খ
৬৫°
গ
৮৫°
ঘ
৭৫°

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি ত্রিভুজের তিনটি কোণের অনুপাত ৩ : ৪ : ৫ হলে বৃহত্তম কোণের পরিমাণ কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে
ত্রিভুজের তিন কোণের অনুপাত ৩ : ৪ : ৫

ধরি,
কোণ গুলো যথাক্রমে ৩x°, ৪x° ও ৫x°

প্রশ্নমতে,
৩x° + ৪x° + ৫x° = ১৮০°
বা, ১২x° = ১৮০°
বা, x = ১৫°

ত্রিভুজটির বৃহত্তম কোণ = (১৫ × ৫)° = ৭৫°

১,৯৭৭.

একটি সমবাহু ত্রিভুজের পরিসীমা হলো 24√3 মিটার। ত্রিভুজের উচ্চতা কত?

ক
10 মিটার
খ
12 মিটার
গ
8 মিটার
ঘ
14 মিটার

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি সমবাহু ত্রিভুজের পরিসীমা হলো 24√3 মিটার। ত্রিভুজের উচ্চতা কত?

সমাধান:
সমবাহু ত্রিভুজ এর এক বাহুর দৈর্ঘ্য = a
প্রশ্নমতে,
3a = 24√3
⇒ a = 8√3
সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = (√3/4) × (8√3)²
= (√3/4) × 64 × 3
= 48√3

সমবাহু ত্রিভুজ এর উচ্চতা =h
এখন,
(1/2)ah = 48√3
⇒ (1/2) × 8√3 × h = 48√3
⇒ ৪√3h = 48√3
⇒ h = 48√3/৪√3
⇒ h = 12
সমবাহু ত্রিভুজটির উচ্চতা 12 মিটার।

১,৯৭৮.

একটি ত্রিভুজের ১ম কোণ যদি ২য় কোণের তিনগুণ এবং ৩য় কোণ যদি ২য় কোণের চেয়ে ৩০ ডিগ্রী বড় হয় তবে ১ম কোণটি কত ডিগ্রী?

ক
ক) ৬০°
খ
খ) ৯০°
গ
গ) ১২০°
ঘ
ঘ) ৪৫°

ব্যাখ্যা

ধরি, ২য় কোণ ক
∴ ১ম কোণ ৩ক
এবং ৩য় কোণ ক + ৩০°
শর্তমতে, ক + ৩ক + ক + ৩০° = ১৮০°
বা, ৫ক = ১৫০°
বা, ক = ৩০°
∴ ১ম কোণ ৩ ×৩০° = ৯০°

১,৯৭৯.

একটি ত্রিভুজের তিনটি কোণের পরিমাণ যথাক্রমে x/3, x/3 এবং 4x/3 হলে, বৃহত্তম কোণটির মান কত?

ক
30°
খ
60°
গ
90°
ঘ
120°

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি ত্রিভুজের তিনটি কোণের পরিমাণ যথাক্রমে x/3, x/3 এবং 4x/3 হলে, বৃহত্তম কোণটির মান কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
ত্রিভুজের তিন কোণের সমষ্টি দুই সমকোণ বা 180°
বা, x/3 + x/3 + 4x/3 = 180°
বা, (x + x + 4x)/3 = 180°
বা, 6x/3 = 180°
বা, 2x = 180°
∴ x = 90°

∴ বৃহত্তম কোণটির পরিমাণ হবে = 4x/3
= {(4 × 90)/3}°
= 120° ।

১,৯৮০.

একটি সমবাহু ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দু থেকে ভর কেন্দ্রের দূরত্ব 18 সে.মি. হলে ত্রিভুজটির মধ্যমা কত?

ক
21 সে.মি.
খ
23 সে.মি.
গ
27 সে.মি.
ঘ
32 সে.মি.

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি সমবাহু ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দু থেকে ভর কেন্দ্রের দূরত্ব 18 সে.মি. হলে ত্রিভুজটির মধ্যমা কত?

সমাধান:

ত্রিভুজের মধ্যমাত্রয় যে বিন্দুতে মিলিত হয় থাকে ঐ ত্রিভুজের ভরকেন্দ্র বলে।
∴ XE : EF = 2 : 1
⇒ 18 : EF = 2 : 1
⇒ 18/EF = 2/1
⇒ 2EF = 18
⇒ EF = 9

∴ ত্রিভুজটির মধ্যমা XF = XE + EF = 18 + 9 = 27 সে.মি.

১,৯৮১.

সমবাহু ত্রিভুজের কোণগুলো-

ক
৩০ ডিগ্রি
খ
৬০ ডিগ্রি
গ
৯০ ডিগ্রি
ঘ
১৮০ ডিগ্রি

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: সমবাহু ত্রিভুজের কোণগুলো-

সমাধান:
- যে ত্রিভুজের তিন কোণ সমান, তার বাহুগুলোও সমান হয় বলে তাকে সমবাহু ত্রিভুজ বলে।
- সমবাহু ত্রিভুজের প্রতিটি কোণের মান ৬০° ।
- সমবাহু ত্রিভুজ-কে সুক্ষ্মকোণী ত্রিভুজও বলে।
- সমবাহু ত্রিভুজের মধ্যমাত্রয় পরস্পর সমান।

১,৯৮২.

সমকোণী ত্রিভুজের বাহুগুলোর অনুপাত কত?

ক
ক) 6 : 4 : 3
খ
খ) 6 : 5 : 4
গ
গ) 13 : 12 : 5
ঘ
ঘ) 12 : 8 : 4

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: সমকোণী ত্রিভুজের বাহুগুলোর অনুপাত কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
সমকোণী ত্রিভুজের ক্ষেত্রে অতিভূজের বর্গ অপর দুই বাহুর বর্গের সমষ্টির সমান।
∴ ১৩^২ = ১২^২+ ৫^২
সুতরাং, ১৩ : ১২ : ৫ বাহুগুলো দ্বারা একটি সমকোণী ত্রিভুজ আঁকা যাবে।

১,৯৮৩.

একটি সমকোণী ত্রিভুজের সমকোণ ব্যতীত অপর দুটি কোণের পার্থক্য 8° হলে ক্ষুদ্রতম কোণটির মান কত?

ক
45°
খ
41°
গ
42°
ঘ
46°

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি সমকোণী ত্রিভুজের সমকোণ ব্যতীত অপর দুটি কোণের পার্থক্য 8° হলে ক্ষুদ্রতম কোণটির মান কত?

সমাধান:
ধরি,
একটি সূক্ষ্মকোণ = x
অপর সূক্ষ্মকোণ = x + 8

প্রশ্নমতে,
x + x + 8 = 90°
⇒ 2x + 8 = 90°
⇒ 2x = (90 - 8)°
⇒ 2x = 82°
⇒ x = (82/2)°
∴ x = 41°

∴ ক্ষুদ্রতম কোণ = 41° ।

১,৯৮৪.

একটি সমকোণী ত্রিভুজের সমকোণ সংলগ্ন বাহুদ্বয়ের দৈর্ঘ্য যথাক্রমে 5 সে.মি. ও 12 সে.মি. হলে ত্রিভুজটির পরিসীমা কত?

ক
60 সেমি
খ
50 সেমি
গ
45 সেমি
ঘ
30 সেমি

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি সমকোণী ত্রিভুজের সমকোণ সংলগ্ন বাহুদ্বয়ের দৈর্ঘ্য যথাক্রমে 5 সে.মি. ও 12 সে.মি. হলে ত্রিভুজটির পরিসীমা কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
সমকোণী ত্রিভুজের সমকোণ সংলগ্ন বাহু লম্ব এবং ভূমি
ধরি,
লম্ব = 5 সে.মি
এবং ভূমি = 12 সে.মি.

∴ পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুসারে,
(অতিভুজ)^২ = (ভূমি)^২ + (লম্ব)^২
⇒ (অতিভুজ)^২ = (12)² + (5)²
⇒ (অতিভুজ)^২ = 144 + 25
⇒ (অতিভুজ)^২ = 169
⇒ অতিভুজ = √169
∴ অতিভুজ = 13

∴ ত্রিভুজটির পরিসীমা = (13 + 5 + 12) সেমি
= 30 সেমি

১,৯৮৫.

সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের সমান সমান বাহুর দৈর্ঘ্য ৫ মিটার, ভূমির দৈর্ঘ্য ৮ মিটার হলে ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল কত?

ক
ক) ১২ বর্গমিটার
খ
খ) ২৪ বর্গমিটার
গ
গ) ৬ বর্গমিটার
ঘ
ঘ) ৭২ বর্গমিটার

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের সমান সমান বাহুর দৈর্ঘ্য ৫ মিটার, ভূমির দৈর্ঘ্য ৮ মিটার হলে ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:

আমরা জানি,
মদ্বিবাহু ত্রিভুজের সমান সমান বাহুর দৈর্ঘ্য a মিটার ভূমির দৈর্ঘ্য b মিটার হলে
ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল=

১,৯৮৬.

ক
10 বর্গমিটার
খ
12 বর্গমিটার
গ
18 বর্গমিটার
ঘ
20 বর্গমিটার

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের ভূমি 8 মিটার এবং উহার দুটি বাহুর প্রতিটি 5 মিটার হলে ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = b/4 {√4(a)² - (b)²}

দেওয়া আছে,
সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের ভূমি, b = 8 মিটার
এবং দুটি বাহুর প্রতিটি, a = 5 মিটার

∴ ক্ষেত্রফল = b/4 {√4(a)² - (b)²}
= 8/4 {√4(5)² - (8)²}
= 2 {√(100 - 64)}
= 2 √36
= 2 × 6
= 12

∴ সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = 12 বর্গমিটার।