ত্রিভুজ সংক্রান্ত সমস্যা ও সমাধান

PrepBank · পাতা ২ / ২০ · ১০১–২০০ / ২,০০৯

১০১.

একটি সমদ্বিবাহু সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজের দৈর্ঘ্য 10সে.মি. ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল কত?

ক
ক) 10 বর্গ সে.মি.
খ
খ) 15 বর্গ সে.মি.
গ
গ) 20 বর্গ সে.মি.
ঘ
ঘ) 25 বর্গ সে.মি.

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি সমদ্বিবাহু সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজের দৈর্ঘ্য 10সে.মি. ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
সমকোণ সংলগ্ন প্রতিটি বাহুর দৈর্ঘ্য = a সে.মি.
এখন,
a² + a² = 10²
2a² = 100
a² = 50
a = √50

ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল = (1/2) × (√50) × (√50)
= (1/2) × (50)
= 25 বর্গ সে.মি.

১০২.

সমবাহু ত্রিভুজের প্রত্যেক বাহুর দৈর্ঘ্য 2 মিটার বাড়ালে ক্ষেত্রফল 6√3 বর্গ মিটার বেড়ে যায়। ত্রিভুজটির বাহুর দৈর্ঘ্য কত?

ক
5 মিটার
খ
2√3 মিটার
গ
4 মিটার
ঘ
3√2 মিটার

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: সমবাহু ত্রিভুজের প্রত্যেক বাহুর দৈর্ঘ্য 2 মিটার বাড়ালে ক্ষেত্রফল 6√3 বর্গ মিটার বেড়ে যায়। ত্রিভুজটির বাহুর দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:

১০৩.

একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের সমান দুই বাহুর দৈর্ঘ্য 14 সে.মি. এবং অপর বাহুটি 10 সে.মি. হলে, ত্রিভুজটির পরিসীমা কত?

ক
30 সে.মি.
খ
34 সে.মি.
গ
36 সে.মি.
ঘ
38 সে.মি.

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের সমান দুই বাহুর দৈর্ঘ্য 14 সে.মি. এবং অপর বাহুটি 10 সে.মি. হলে, ত্রিভুজটির পরিসীমা কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
সমান দুই বাহুর দৈর্ঘ্য = 14 সে.মি.
এবং অপর বাহুটি = 10 সে.মি.

আমরা জানি,
পরিসীমা = (2 × সমান বাহু) + অপর বাহু
= (2 × 14) + 10
= 38 সে.মি.

১০৪.

চিত্রে BC||DF হলে ∠AEF = ?

ক
ক) 180° - A
খ
খ) ∠DAE + ∠ABC
গ
গ) ∠DAE + ∠AED
ঘ
ঘ) ∠AED + ∠ACD

ব্যাখ্যা

BC||DE এবং AB ছেদক হলে ∠ADE = ∠ABC
ΔADE -এ ∠AEF = ∠DAE + ∠ADE = ∠DAE + ∠ABC

১০৫.

একটি বৃত্তের ব্যাসকে ভূমি ধরে যদি ত্রিভুজ অঙ্কন করা হয়, তবে ত্রিভুজটি কী ধরনের?

ক
সমকোণী
খ
সমবাহু
গ
সমদ্বিবাহু
ঘ
স্থূলকোণী

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি বৃত্তের ব্যাসকে ভূমি ধরে যদি ত্রিভুজ অঙ্কন করা হয়, তবে ত্রিভুজটি কী ধরনের?

সমাধান:
বৃত্তের ব্যাসকে ভূমি ধরে ত্রিভুজ অঙ্কন করলে, বৃত্তের ব্যাসের বিপরীত কোণ সর্বদা ৯০° হয়। এটি “বৃত্তের ব্যাস থিওরেম” বা Thales’ theorem দ্বারা প্রমাণিত।

∴ ত্রিভুজটি সমকোণী ত্রিভুজ হবে।

উৎস: Britannica [Link]

১০৬.

একটি সমবাহু ত্রিভুজের প্রত্যেক বাহুর দৈর্ঘ্য ২ মিটার বাড়ালে ক্ষেত্রফল ৩√৩ বর্গমিটার বৃদ্ধি পায়। ত্রিভুজটির বাহুর দৈর্ঘ্য কত?

ক
ক) ২৪
খ
খ) ৩২
গ
গ) 8
ঘ
ঘ) ২

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি সমবাহু ত্রিভুজের প্রত্যেক বাহুর দৈর্ঘ্য ২ মিটার বাড়ালে ক্ষেত্রফল ৩√৩ বর্গমিটার বৃদ্ধি পায়। ত্রিভুজটির বাহুর দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
মনেকরি,
সমবাহু ত্রিভুজের প্রত্যেক বাহুর দৈর্ঘ্য a মিটার
ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল = √৩a²/৪
ত্রিভুজের প্রত্যেক বাহুর দৈর্ঘ্য 2 মিটার বাড়ালে ক্ষেত্রফল= √৩(a + ২)²/৪

প্রশ্নমতে,
{√৩(a + ২)^২/৪} - {√৩a^২/৪} = ৩√৩
⇒ (√৩/৪){(a + ২)^২ - a²} = ৩√৩
⇒ a^২+ ৪a + ৪ - a^২ = ১২
⇒ ৪a + ৪ = ১২
⇒ ৪a = ১২ - ৪
⇒ ৪a = ৮
a = ২

সমবাহু ত্রিভুজের প্রত্যেক বাহুর দৈর্ঘ্য ২ মিটার

১০৭.

একটি সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজ ও ভূমি যথাক্রমে 10 সে.মি. এবং 8 সে.মি. হলে, অতিভুজ ও উচ্চতার সমষ্টি কত?

ক
23 সে.মি.
খ
18 সে.মি.
গ
16 সে.মি.
ঘ
20 সে.মি.

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজ ও ভূমি যথাক্রমে 10 সে.মি. এবং 8 সে.মি. হলে, অতিভুজ ও উচ্চতার সমষ্টি কত?

সমাধান;
পিথাগোরাসের সূত্রানুযায়ী,
অতিভুজ² = ভুমি² + লম্ব²
⇒ 10² = 8² + লম্ব²
⇒ লম্ব² = 100 - 64
⇒ লম্ব² = 36
∴ লম্ব = 6 সে.মি.

∴ অতিভুজ ও উচ্চতার সমষ্টি = 10 + 6 = 16 সে.মি.

১০৮.

একটি ত্রিভুজের তিনটি কোণের অনুপাত 1 : 2 : 3 হলে, ত্রিভুজটি -

ক
ক) সমবাহু
খ
খ) বিষমবাহু
গ
গ) সমদ্বিবাহু
ঘ
ঘ) সূক্ষ্মকোণী

ব্যাখ্যা

ত্রিভুজটির তিনটি কোণ বিষম আকৃতির হওয়ায় এর বাহুগুলোর দৈর্ঘ্যও বিষম আকৃতির হবে।
অর্থ্যাৎ, ত্রিভুজটি বিষমবাহু হবে।

১০৯.

যদি tan(x) = 1 হয়, তবে sin(x) - cos(-x) এর মান কত?

ক
0
খ
- 1
গ
1
ঘ
2

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: যদি tan(x) = 1 হয়, তবে sin(x) - cos(-x) এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
tan(x) = 1
⇒ sin(x)/cos(x) = 1
⇒ sin(x) = cos(x)

∴ sin(x) - cos(-x)
= cos(x) - cos(-x)
= cos(x) - cos(x) [∵ cos(- θ) = cosθ]
= 0

১১০.

ত্রিভুজের কোণগুলোর অন্ত:সমদ্বিখন্ডিকদ্বয়ের ছেদ বিন্দুটির নাম কী?

ক
ক) ভরকেন্দ্র
খ
খ) পরিকেন্দ্র
গ
গ) লম্ববিন্দু
ঘ
ঘ) অন্ত:কেন্দ্র

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ত্রিভুজের কোণগুলোর অন্ত:সমদ্বিখন্ডিকদ্বয়ের ছেদ বিন্দুটির নাম কী?

সমাধান:
- ত্রিভুজের কোণত্রয়ের সমদ্বিখণ্ডকের ছেদবিন্দুকে অন্তঃকেন্দ্র বলে।
- ত্রিভুজের মধ্যমাত্রয়ের ছেদবিন্দুকে ভরকেন্দ্র বলে।
- ত্রিভুজের তিন বাহুর লম্বদ্বিখণ্ডকগুলোর ছেদবিন্দুকে পরিকেন্দ্র বলে।

১১১.

একটি সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল 16√3 বর্গ সে.মি. হলে উহার পরিসীমা কত?

ক
18 সে.মি.
খ
20 সে.মি.
গ
24 সে.মি.
ঘ
36 সে.মি.

ব্যাখ্যা

আমরা জানি,
সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = √3/4 × a² এবং পরিসীমা 3a।
শর্তমতে,
√3/4 × a² = 16√3
বা, a² = 16 × 4
বা, a² = 64
বা, a = 8
সুতরাং পরিসীমা = 3a
= 3 × 8
= 24 সে.মি.

১১২.

একটি সমকোণী ত্রিভুজের বাহুগুলো যথাক্রমে ১২ সেমি, ১৫ সেমি এবং ৯ সেমি। ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল কত?

ক
১০৮ বর্গসেমি
খ
৫৪ বর্গসেমি
গ
২২৫ বর্গসেমি
ঘ
১৩৫ বর্গসেমি

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি সমকোণী ত্রিভুজের বাহুগুলো যথাক্রমে ১২ সেমি, ১৫ সেমি এবং ৯ সেমি। ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
সমকোণী ত্রিভুজের তিন বাহুর = ১২ সেমি, ১৫ সেমি ও ৯ সেমি হলে,
বৃহত্তম বাহুটি অতিভুজ এবং অপর দুই বাহু ভূমি এবং লম্ব।

অর্থাৎ লম্ব ১২ সেমি হলে ভূমি ৯ সেমি
অথবা লম্ব ৯ সেমি হলে ভূমি ১২ সেমি

অতএব, ক্ষেত্রফল = ১/২ × ১২ × ৯
= ৫৪ বর্গসেমি

১১৩.

স্থুলকোণী ত্রিভুজের স্থুলকোণের সংখ্যা:

ক
১ টি
খ
২ টি
গ
৩ টি
ঘ
কোনোটিই নয়

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: স্থুলকোণী ত্রিভুজের স্থুলকোণের সংখ্যা-

সমাধান:
- যে ত্রিভুজের একটি কোণ স্থুল কোণ সেই ত্রিভুজকে স্থুলকোণী ত্রিভুজ বলা হয়।
- একটি স্থুলকোণী ত্রিভুজের বাকি দুইটি কোণ অবশ্যই সূক্ষ্মকোণ।

১১৪.

একটি ত্রিভুজের একটি কোণ যদি ২য় কোণের ৩ গুণ এবং ৩য় কোণ যদি ২য় কোণের চেয়ে ৩০ ডিগ্রি বড় হয় তাহলে ৩য় কোণটি কত ডিগ্রি?

ক
৩০°
খ
৬০°
গ
৯০°
ঘ
৪৫°

ব্যাখ্যা

ধরি, ২য় কোণ, ক
সুতরাং, ১ম কোণ, ৩ক
এবং ৩য় কোণ, ক + ৩০°
শর্তমতে, ক + ৩ক + ক + ৩০° = ১৮০°
বা, ৫ক = ১৮০° - ৩০°
বা, ক = ১৫০°/৫
বা, ক = ৩০°
সুতরাং, ১ম কোণ = ৩×৩০° = ৯০°
২য় কোণ = ৩০° এবং
৩য় কোণ = ক + ৩০°
= ৩০° + ৩০°
= ৬০°

১১৫.

একটি ত্রিভুজের দু'টি কোণের পরিমান যথাক্রমে 30° এবং 75° হলে ত্রিভুজের প্রকৃতি-

ক
ক) সমকোণী
খ
খ) সমবাহু
গ
গ) সমদ্বিবাহু
ঘ
ঘ) স্থুলকোণী

ব্যাখ্যা

ত্রিভূজের ৩য় কোণ = 180° - (30° + 75°)
= 180° - 105°
= 75°
∴ ত্রিভূজের দু'টি কোণ সমান।
ফলে দু'টি বাহু সমান
∴ ত্রিভূজটি সমদ্বিবাহু ত্রিভূজ

১১৬.

একটি ত্রিভুজের তিনটি বাহুর দৈর্ঘ্য (x+৯) মিটার, (২x + ১) মিটার এবং ২(২x - ১) মিটার। ত্রিভুজটির পরিসীমা ২৯ মিটার হলে বৃহত্তম বাহুর দৈর্ঘ্য কত হবে?

ক
ক) ৭ মিটার
খ
খ) ১০ মিটার
গ
গ) ১২ মিটার
ঘ
ঘ) ১১ মিটার

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি ত্রিভুজের তিনটি বাহুর দৈর্ঘ্য (x+৯) মিটার, (২x + ১) মিটার এবং ২(২x - ১) মিটার। ত্রিভুজটির পরিসীমা ২৯ মিটার হলে
বৃহত্তম বাহুর দৈর্ঘ্য কত হবে?

সমাধান:

শর্তমতে,
(x+৯) + (২x + ১) + ২(২x - ১) =২৯
বা, x + ৯ + ২x +১ + ৪x - ২ = ২৯
বা, ৭x + ৮ = ২৯
বা, ৭x = ২১
বা, x = ৩

এখন বাহুগুলোর দৈর্ঘ্য হবে যথাক্রমে,
৩+৯ = ১২ মিটার
৬+১ = ৭ মিটার
২ × ৫ = ১০ মিটার

বৃহত্তম বাহুটি হবে ১২ মিটার।

১১৭.

একটি সমবাহু ত্রিভূজের ক্ষেত্রফল ৬৪√৩ বর্গমিঃ হলে ত্রিভূজের পরিসীমা কত?

ক
ক) ১৬
খ
খ) ২৪
গ
গ) ৩২
ঘ
ঘ) ৪৮

ব্যাখ্যা

বাহুর দৈর্ঘ্য a হলে ক্ষেত্রফল √৩/৪a² = ৬৪√৩
বা, a² = ৬৪√৩ × ৪/√৩
বা, a² = ৬৪ × ৪
∴ a = ১৬
∴ পরিসীমা = ৩a
= ৩ × ১৬
= ৪৮

১১৮.

সমবাহু ত্রিভুজের প্রত্যেকটি কোণ কত ডিগ্রি?

ক
৩০°
খ
৪৫°
গ
৬০°
ঘ
৯০°

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: সমবাহু ত্রিভুজের প্রত্যেকটি কোণ কত ডিগ্রি?

সমাধান:
- সমবাহু ত্রিভুজের প্রতিটি কোণ ৬০°।
- ত্রিভুজের যেকোনাে শীর্ষবিন্দু হতে বিপরীত বাহুর মধ্যবিন্দু পর্যন্ত অঙ্কিত রেখাংশকে মধ্যমা বলে।
- সমবাহু ত্রিভুজের তিনটি মধ্যমা পরস্পর সমান।
- সমবাহু ত্রিভুজে প্রতিটি বাহুর দৈর্ঘ্যে সমান এবং প্রতিটি কোণ পরস্পর সমান।

১১৯.

একটি সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল 4√3 বর্গ মিটার হলে এর পরিসীমা কত মিটার?

ক
8 মিটার
খ
12 মিটার
গ
16 মিটার
ঘ
2√3 মিটার

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল 4√3 বর্গ মিটার হলে এর পরিসীমা কত মিটার?

সমাধান:
ধরি,
সমবাহু ত্রিভুজের এক বাহুর দৈর্ঘ্য = a মিটার

∴ ক্ষেত্রফল = (√3/4) a² বর্গমিটার

প্রশ্নমতে,
(√3/4) a² = 4√3
বা, a²/4 = 4
বা, a² = 16
∴ a = 4

∴ সমবাহু ত্রিভুজের পরিসীমা = 3a
= 3 × 4
= 12 মিটার

১২০.

সমবাহু ত্রিভুজের পরিসীমা ১২ মিটার হলে এর ক্ষেত্রফল কত হবে?

ক
৪√৩ বর্গমিটার
খ
৬√৩ বর্গমিটার
গ
১৮ বর্গমিটার
ঘ
৯√৩ বর্গমিটার

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: সমবাহু ত্রিভুজের পরিসীমা ১২ মিটার হলে এর ক্ষেত্রফল কত হবে?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
সমবাহু ত্রিভুজের পরিসীমা ১২ মিটার
সমবাহু ত্রিভুজের এক বাহুর দৈর্ঘ্য = ১২/৩ মিটার = ৪ মিটার

সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল =(√৩/৪) × ৪^২ বর্গমিটার
= (√৩/৪) × ১৬ বর্গমিটার
= ৪√৩ বর্গমিটার

১২১.

কোনো ত্রিভুজের বাহুগুলোর লম্বদ্বিখন্ডক তিনটি যে বিন্দুতে ছেদ করে তাকে কী বলে?

ক
পরিকেন্দ্র
খ
ভরকেন্দ্র
গ
লম্ববিন্দু
ঘ
অন্তঃকেন্দ্র

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: কোনো ত্রিভুজের বাহুগুলোর লম্বদ্বিখন্ডক তিনটি যে বিন্দুতে ছেদ করে তাকে কী বলে?

সমাধান:
ত্রিভুজের পরিকেন্দ্র:
ত্রিভুজের যেকোনো দুই বাহুর লম্বদ্বিখণ্ডক যে বিন্দুতে ছেদ করে তাকে ত্রিভুজের পরিকেন্দ্র বলে।
তৃতীয় বাহুর লম্বদ্বিখণ্ডকও ঐ বিন্দুগামী।

ত্রিভুজের মধ্যমাগুলো যে বিন্দুতে ছেদ করে ঐ বিন্দুকে ত্রিভুজটির ভরকেন্দ্র বলা হয়।
ত্রিভুজের ভরকেন্দ্রে মধ্যমাগুলো 2 : 1 অনুপাতে বিভক্ত হয়।
অন্তঃকেন্দ্রঃ ত্রিভুজের তিন কোণের সমদ্বিখণ্ডকগুলো যে বিন্দুতে ছেদ করে তাকে অন্তঃকেন্দ্র বলে।

১২২.

একটি সমকোণী ত্রিভুজের ভূমি ১২ মিটার এবং উচ্চতা ৫ মিটার হলে, এর অতিভুজ ভূমি অপেক্ষা কত মিটার বেশি?

ক
ক) ১
খ
খ) ৮
গ
গ) ১৩
ঘ
ঘ) ১৪
ঙ
ঙ) কোনোটিই নয়

ব্যাখ্যা

দেওয়া আছে,
সমকোণী ত্রিভুজের ভূমি ১২ মিটার
সমকোণী ত্রিভুজের উচ্চতা ৫ মিটার

আমরাজানি
অতিভুজ^২ = ভূমি^২ + উচ্চতা^২
বা, অতিভুজ^২= ১২^২+ ৫^২
বা, অতিভুজ^২= ১৪৪ + ২৫
বা, অতিভুজ^২= ১৬৯
বা, অতিভুজ= √১৬৯
∴অতিভুজ = ১৩

অতিভুজ ভূমি অপেক্ষা বেশি=(১৩ - ১২) মিটার
= ১ মিটার

১২৩.

একটি ত্রিভুজের দুটি বাহু ৫ ও ৬ হলে, অন্য বাহুটি হতে পারে না-

ক
ক) ২
খ
খ) ৫
গ
গ) ৭
ঘ
ঘ) ১২

ব্যাখ্যা

ত্রিভুজের দুটি বাহুর যোগফল তার তৃতীয় বাহু অপেক্ষা বৃহত্তর।
(৫+৬) < ১২ এটা হতে পারে না।

১২৪.

একটি ত্রিভুজাকৃতি মাঠের বাহুগুলোর দৈর্ঘ্য যথাক্রমে ২০ মি., ২১ মি. এবং ২৯ মি. হলে, এর ক্ষেত্রফল কত?

ক
১০২ বর্গমিটার
খ
২০৫ বর্গমিটার
গ
২২০ বর্গমিটার
ঘ
২১০ বর্গমিটার

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি ত্রিভুজাকৃতি মাঠের বাহুগুলোর দৈর্ঘ্য যথাক্রমে ২০ মি., ২১ মি. এবং ২৯ মি. হলে, এর ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
এখানে পরিসীমা S = (২০ + ২১ + ২৯)/২ = ৭০/২ = ৩৫

আমরা জানি,
ত্রিভুজক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = √{S (S - a) (S - b) (S - c)}
= √{৩৫(৩৫ - ২০) (৩৫ - ২১) (৩৫ - ২৯)}
= √(৩৫ × ১৫ × ১৪ × ৬)
= √৪৪১০০
= ২১০ বর্গমিটার

১২৫.

ABC ত্রিভুজের D ও E যথাক্রমে AB ও AC এর মধ্যবিন্দু এবং ∠B ও ∠C এর সমদ্বিখণ্ডকদ্বয় বিন্দুতে O মিলিত হলে, নিচের কোনটি সত্য?

ক
DE ∥ BC
খ
BC = (1/2) DE
গ
∠BOC = 90° - 1/2 ∠A
ঘ
উপরের সবগুলো

ব্যাখ্যা

ABC ত্রিভুজের D ও E যথাক্রমে AB ও AC এর মধ্যবিন্দু এবং ∠B ও ∠C এর সমদ্বিখণ্ডকদ্বয় বিন্দুতে O মিলিত হলে,

∠BOC = 90° + 1/2 ∠A
DE ∥ BC
DE = (1/2) BC

[ দ্রষ্টব্য - জ্যামিতি - ৬.৩ এর ২০ নাম্বার। ]

[ জ্যামিতি - কোণ ও ত্রিভুজ ]

১২৬.

ABC ত্রিভুজে AB = 8 মিটার, BC = 10 মিটার এবং ক্ষেত্রফল 20√3 বর্গমিটার হলে, ∠B = ?

ক
90°
খ
30°
গ
45°
ঘ
60°

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ABC ত্রিভুজে AB = 8 মিটার, BC = 10 মিটার এবং ক্ষেত্রফল 20√3 বর্গমিটার হলে, ∠B = ?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
AB = 8 মিটার
BC = 10 মিটার
এবং ABC ত্রিভুজে ক্ষেত্রফল = 20√3 বর্গমিটার

আমরা জানি,
একটি ত্রিভুজের সন্নিহিত বাহুদ্বয় a, b হলে এবং তাদের অন্তর্ভুক্ত কোণ θ হলে,
ক্ষেত্রফল = (1/2)ab sinθ
∴ ত্রিভুজ ABC এর ক্ষেত্রফল = (1/2) × AB × BC × sinθ
⇒ 20√3 = (1/2) × 8 × 10 × sin ∠B
⇒ 20√3 = 40 × sin ∠B
⇒ sin ∠B = 20√3/40
⇒ sin ∠B = √3/2
⇒ sin ∠B = sin 60°
⇒ ∠B = 60°

১২৭.

একটি সমকোণী ত্রিভুজের সমকোণ সংলগ্ন বাহুদ্বয় 4 সে. মি. ও 3 সে. মি. । অতিভুজের উপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল কত?

ক
ক) 2.5 সে. মি.
খ
খ) 49 বর্গ সে.মি.
গ
গ) (2 + √3) বর্গ সে. মি.
ঘ
ঘ) 25 বর্গ সে. মি.

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি সমকোণী ত্রিভুজের সমকোণ সংলগ্ন বাহুদ্বয় 4 সে. মি. ও 3 সে. মি. । অতিভুজের উপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
সমকোণী ত্রিভুজের সমকোণ সংলগ্ন বাহু দুটির দৈর্ঘ্য 4 সে. মি. ও 3 সে. মি.
ধরি
ভূমি = 4 সে. মি.
লম্ব = 3 সে. মি.

পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুসারে
(অতিভুজ)² = ভূমি² + লম্ব²
বা,(অতিভুজ)² = 4² + 3²
বা,(অতিভুজ)² = 16 + 9
বা,(অতিভুজ)² = 25
বা,(অতিভুজ)² = 5²
(অতিভুজ) = 5

অতিভুজের উপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = 5² = 25 বর্গ সে. মি.

১২৮.

ত্রিভুজের তিন বাহুর দৈর্ঘ্য যথাক্রমে 10, 12 ও 14 মিটার হলে বৃহত্তম ও ক্ষুদ্রতম বাহুর মধ্যবিন্দু দুটির দূরত্ব কত মিটার?

ক
5 মিটার
খ
6 মিটার
গ
7 মিটার
ঘ
8 মিটার

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ত্রিভুজের তিন বাহুর দৈর্ঘ্য যথাক্রমে 10, 12 ও 14 মিটার হলে বৃহত্তম ও ক্ষুদ্রতম বাহুর মধ্যবিন্দু দুটির দূরত্ব কত মিটার?

সমাধান:

এখানে,
বৃহত্তম বাহু, AC = 14 মিটার
ক্ষুদ্রতম বাহু, AB = 10 মিটার

অতএব, AB ও AC বাহুর মধ্যবিন্দু দুটির সংযোগ সরলরেখা DE হবে তৃতীয় বাহু BC এর অর্ধেক।
∴ DE = BC/2
= 12/2
= 6 মিটার

১২৯.

ΔABC এ, ∠B = ∠C হলে ত্রিভুজটির প্রকৃতি -

ক
ক) সমবাহু
খ
খ) সমদ্বিবাহু
গ
গ) সুক্ষ্মকোণী
ঘ
ঘ) বিষমবাহু

ব্যাখ্যা

ΔABC এ, ∠B = ∠C হলে AB = AC
∴ ত্রিভুজটি সমদ্বিবাহু।

১৩০.

একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ ABC-তে, যদি AB = AC = 26 সে.মি. এবং BC = 20 সে.মি. হয়, তাহলে ত্রিভুজ ABC এর ক্ষেত্রফল কত?

ক
120 বর্গ সে.মি.
খ
240 বর্গ সে.মি.
গ
265 বর্গ সে.মি.
ঘ
98 বর্গ সে.মি.

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ ABC-তে, যদি AB = AC = 26 সে.মি. এবং BC = 20 সে.মি. হয়, তাহলে ত্রিভুজ ABC এর ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ ABC-তে,
AB = AC = 26 সে.মি. এবং BC = 20 সে.মি.।

এই ত্রিভুজ ABC তে, ∆ADC = 90° ( সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের বিপরীত শীর্ষ থেকে অসম বাহুর মধ্যবিন্দুতে অঙ্কিত রেখা দ্বারা গঠিত কোণ হল 90°)

এখন, পিথাগোরাসের উপপাদ্য হতে পাই,
AD² + BD² = AB²
⇒ AD² = 26² - 10²
⇒ AD2 = 676 - 100
⇒ AD² = 576
⇒ AD = √576 = 24
∴ AD = 24 সে.মি.

আমরা জানি,
ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = (1/2) × (ভূমি × উচ্চতা)
= (1/2) ×(20 × 24)
= 240 বর্গ সে.মি.

১৩১.

একটি সমবাহু ত্রিভুজের পরিসীমা 9 সে.মি. হলে এর ক্ষেত্রফল কত বর্গ সে.মি.?

ক
ক) 9√3
খ
খ) 9√3/4
গ
গ) 3√3/4
ঘ
ঘ) 2√3/4

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি সমবাহু ত্রিভুজের পরিসীমা 9 সে.মি. হলে এর ক্ষেত্রফল কত বর্গ সে.মি.?

সমাধান:
সমবাহু ত্রিভুজের পরিসীমা = 9 সে.মি.
ত্রিভুজটির এক বাহুর দৈর্ঘ্য = 9/3 সে.মি.
= 3 সে.মি.
ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল
= (√3/4) × (3)² বর্গ সেমি
=(√3/4) × 9 বর্গ সে.মি.
= 9√3/4 বর্গ সে.মি.

১৩২.

একটি সমকোণী ত্রিভুজের লম্ব ভূমি অপেক্ষা ২ সে.মি. ছোট, কিন্তু অতিভুজ, ভূমি অপেক্ষা ২ সে.মি. বড়। ভূমির দৈর্ঘ্য কত?

ক
6 সে.মি.
খ
8 সে.মি.
গ
10 সে.মি.
ঘ
16 সে.মি.

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি সমকোণী ত্রিভুজের লম্ব ভূমি অপেক্ষা 2 সে.মি. ছোট, কিন্তু অতিভুজ, ভূমি অপেক্ষা 2 সে.মি. বড়। ভূমির দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
ধরি,
ভূমি = x = সে.মি.
লম্ব = x - 2 সে.মি.
অতিভুজ = x + 2 সে.মি.

সুতরাং,
(x + 2)² = x² + (x - 2)²
বা, x² + 4x + 4 = x² + x² - 4x + 4
বা, x² - 8x = 0
বা, x(x - 8) = 0
হয় x = 0

অথবা x - 8 = 0
যা অসম্ভব।

∴ x = 8

∴ ভূমি 8 সে.মি.

১৩৩.

একটি সমদ্বিবাহু সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজের দৈর্ঘ্য 10 মি. হলে ভূমির দৈর্ঘ্য কত একক?

ক
ক) √10 মি.
খ
খ) √50 মি.
গ
গ) 20 মি.
ঘ
ঘ) 25 মি.

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি সমদ্বিবাহু সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজের দৈর্ঘ্য 10 মি. হলে ভূমির দৈর্ঘ্য কত একক?

সমাধান:
সমকোণ সংলগ্ন প্রতিটি বাহুর দৈর্ঘ্য = a মি.
এখন,
a² + a² = 10²
2a² = 100
a²= 50
a = √50

সুতরাং, ত্রিভুজটির ভূমির দৈর্ঘ্য = √50 মি.

১৩৪.

একটি সমবাহু ত্রিভুজের পরিসীমা ১৮ মিটার হলে এর ক্ষেত্রফল কত হবে?

ক
২৭ বর্গমিটার
খ
৯√৩ বর্গমিটার
গ
৬√৩ বর্গমিটার
ঘ
৩৬ বর্গমিটার

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি সমবাহু ত্রিভুজের পরিসীমা ১৮ মিটার হলে এর ক্ষেত্রফল কত হবে?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
সমবাহু ত্রিভুজের পরিসীমা ১৮ মিটার
সমবাহু ত্রিভুজের এক বাহুর দৈর্ঘ্য = ১৮/৩ মিটার = ৬ মিটার

∴ সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল =(√৩/৪) × ৬^২ বর্গমিটার
= (√৩/৪) × ৩৬ বর্গমিটার
= ৯√৩ বর্গমিটার

১৩৫.

একটি সমকোণী সমদ্ধিবাহু ত্রিভুজের অতিভুজের দৈর্ঘ্য ১৬ সে.মি. হলে ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল কত বর্গ সে.মি.?

ক
১২৮ বর্গ সে.মি.
খ
১০২ বর্গ সে.মি.
গ
৮৪ বর্গ সে.মি.
ঘ
৬৪ বর্গ সে.মি.

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি সমকোণী সমদ্ধিবাহু ত্রিভুজের অতিভুজের দৈর্ঘ্য ১৬ সে.মি. হলে ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল কত বর্গ সে.মি.?

সমাধান:
ধরি,
সমান সমান বাহুদ্বয়ের দৈর্ঘ্য = ক
পিথাগোরাসের সূত্রানুযায়ী,
ক^২ + ক^২ = ১৬^২
বা, ২ক^২ = ২৫৬
বা, ক^২ = ১২৮ [ভূমি × উচ্চতা]

∴ ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = (১/২) × ১২৮ বর্গ সে.মি.
= ৬৪ বর্গ সে.মি.

১৩৬.

একটি ত্রিভুজের দুইটি বাহু যথাক্রমে ৫ সেমি ও ৪ সেমি হলে ত্রিভুজের অপর বাহুটি নিচের কোনটি হতে পারে?

ক
ক) ১ সেমি
খ
খ) ৪ সেমি
গ
গ) ৯ সেমি
ঘ
ঘ) ১০ সেমি

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি ত্রিভুজের দুইটি বাহু যথাক্রমে ৫ সেমি ও ৪ সেমি হলে ত্রিভুজের অপর বাহুটি নিচের কোনটি হতে পারে?

সমাধান:
আমরা জানি,
ত্রিভুজের যেকোন দুই বাহুর সমষ্টি তৃতীয় বাহু অপেক্ষা বৃহত্তর।
সেক্ষেত্রে একটি বাহু ৫ সেন্টিমিটার এবং অপরটি ৪ সেন্টিমিটার হলে তৃতীয় বাহুটি অবশ্যই ৯ কিংবা ১০ হবে না,
আবার, তৃতীয় বাহুটি ১ হবে না কারণ (৪ + ১) = ৫ হয় যা অপর বাহুর সমান হয়।
কিন্তু সমষ্টি তৃতীয় বাহু অপেক্ষা বৃহত্তর হবে।
তাই সঠিক উত্তর অপশন (খ)

১৩৭.

একটি সমবাহু ত্রিভুজের পরিসীমা 24 একক হলে উহার ক্ষেত্রফল কত বর্গ একক?

ক
ক) 12√3 বর্গ একক
খ
খ) 14√3 বর্গ একক
গ
গ) 16√3 বর্গ একক
ঘ
ঘ) 18√3 বর্গ একক

ব্যাখ্যা

আমরা জানি, সমবাহু ত্রিভুজের পরিসীমা = 3a এবং ক্ষেত্রফল = (a/2)² × √3
শর্তমতে, 3a = 24
বা, a = 8
সুতরাং ক্ষেত্রফল = (8/2)² × √3
= 16√3 বর্গ একক

১৩৮.

একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের সমান সমান বাহুর দৈর্ঘ্য a মিটার ও ভূমির দৈর্ঘ্য b মিটার হলে, ক্ষেত্রফল কত?

ক
(a/4)√(4a² - b²)
খ
(b/4)√(4b² - a²)
গ
(b/4)√(a² - 4b²)
ঘ
(b/4)√(4a² - b²)

ব্যাখ্যা

একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের সমান সমান বাহুর দৈর্ঘ্য a মিটার ও ভূমির দৈর্ঘ্য b মিটার হলে, ক্ষেত্রফল
= (b/4)√(4a² - b²)

১৩৯.

৪ সে.মি., ৭সে.মি. ও ৯ সে.মি. বাহুবিশিষ্ট ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল কত বর্গ একক?

ক
√১০২
খ
√১৯২
গ
√১৮০
ঘ
√১৯৮

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ৪ সে.মি., ৭সে.মি. ও ৯ সে.মি. বাহুবিশিষ্ট ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল কত বর্গ একক?

সমাধান:
ধরি,
ত্রিভুজটির বাহু গুলি হল a = ৪ সে.মি., b = ৭ সে.মি., এবং c = ৯ সে.মি.।
অর্ধপরিসীমা, s=(a + b + c)/2
= (৪ + ৭ + ৯)/২
= ২০/২
= ১০
ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল , A = √{s(s − a)(s − b)(s − c)}
= √{১০ × (১০ - ৪) × (১০ - ৭) × (১০ - ৯)}
= √(১০ × ৬ × ৩ × ১)
= √১৮০

∴ ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল √১৮০ বর্গ সে. মি.

১৪০.

একটি ত্রিভুজের তিনটি কোণের অনুপাত ৩ : ৪ : ৫ হলে, কোণ তিনটিকে ডিগ্রীতে প্রকাশ করুন?

ক
ক) ৪৫°, ৬০°,৭৫°
খ
খ) ৩০°,৪০°,৫০°
গ
গ) ৪২° , ৫৬° , ৭০°
ঘ
ঘ) ৪৮° , ৬৪°, ৮০°

ব্যাখ্যা

অনুপাতগুলোর যোগফল = ৩+৪+৫ = ১২
একটি ত্রিভুজের তিনটি কোণের মান ১৮০°
সুতরাং কোণগুলোর মান = (৩/১২) X ১৮০° = ৪৫°
= (৪/১২) X ১৮০° = ৬০°
= (৫/১২) X ১৮০° = ৭৫°

১৪১.

একটি সমকোণী ত্রিভুজের ভূমির দৈর্ঘ্য লম্ব অপেক্ষা ১ মিটার কম এবং লম্ব অপেক্ষা অতিভুজের দৈর্ঘ্য ১ মিটার বেশি হলো অতিভুজের দৈর্ঘ্য কত মিটার।

ক
৪
খ
৫
গ
৬
ঘ
৭
ঙ
কোনটিই নয়

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি সমকোণী ত্রিভুজের ভূমির দৈর্ঘ্য লম্ব অপেক্ষা ১ মিটার কম এবং লম্ব অপেক্ষা অতিভুজ ১ মিটার বেশি হলে, ত্রিভুজটির অতিভুজের দৈর্ঘ্য কত মিটার?

সমাধান:
ধরি,
সমকোণী ত্রিভুজের লম্বের দৈর্ঘ্য = ক মিটার
সমকোণী ত্রিভুজের ভূমির দৈর্ঘ্য = (ক - ১) মিটার
সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজের দৈর্ঘ্য = (ক + ১) মিটার

আমরা জানি,
অতিভুজ^২= লম্ব^২ + ভূমি^২
⇒ (ক + ১)^২ = (ক - ১)^২ + ক^২
⇒ ক^২+ ২ক + ১ = ক^২ - ২ক + ১ + ক^২
⇒ ক^২ - ৪ক = ০
⇒ ক(ক - ৪) = ০

হয়
ক ≠ ০ [ত্রিভুজের লম্ব কখনো শূন্য হতে পারে না]

অথবা
ক - ৪ = ০
⇒ ক = ৪

সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজের দৈর্ঘ্য = (৪ + ১)মিটার = ৫ মিটার

১৪২.

সমবাহু ত্রিভুজের একটি বাহুকে উভয়দিকে বর্ধিত করলে উৎপন্ন বহিঃস্থ কোণ দুটির বিয়োগফল কত?

ক
ক) 120°
খ
খ) 60°
গ
গ) 240°
ঘ
ঘ) 0°

ব্যাখ্যা

আমরা জানি, সমবাহু ত্রিভুজের প্রত্যেকটি কোণের মান 60°। সুতরাং একটি বাহুকে উভয়দিকে বর্ধিত করলে উৎপন্ন বহিঃস্থ কোণ উভয় পাশে 180° - 60° = 120°। সুতরাং বহিঃস্থ কোণ দুটির বিয়োগফল = 120°-120° = 0°

১৪৩.

কোন ত্রিভূজের দু'টি কোণ যথাক্রমে 65° এবং 85° হলে, রেডিয়ানে তৃতীয় কোণটি-

ক
π/6
খ
π/4
গ
π/3
ঘ
π/2

ব্যাখ্যা

তৃতীয় কোণ = 180° - (65° + 85°)
= 180° - 150°
= 30°
= π/6

১৪৪.

একটি ত্রিভুজের তিনটি কোণের অনুপাত ৩ : ৫ : ৮ হলে, ত্রিভুজটি হবে -

ক
স্থূলকোণী ত্রিভুজ
খ
সমবাহু ত্রিভুজ
গ
সমকোণী ত্রিভুজ
ঘ
সূক্ষ্মকোণী ত্রিভুজ

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি ত্রিভুজের তিনটি কোণের অনুপাত ৩ : ৫ : ৮ হলে, ত্রিভুজটি হবে -

সমাধান:
আমরা জানি,
কোন ত্রিভুজের একটি কোণ যদি অপর দুইটি কোণের সমষ্টির সমান হয়, তবে ত্রিভুজটি সমকোণী হবে।

দেওয়া আছে,
ত্রিভুজের তিনটি কোণের অনুপাত ৩ : ৫ : ৮

এখানে,
৩ + ৫ = ৮
অর্থাৎ, দুইটি কোণের সমষ্টি তৃতীয় কোণের সমান।

∴ ত্রিভুজটি সমকোণী ত্রিভুজ হবে।

১৪৫.

একটি ত্রিভুজের ভূমি ১৫ সে.মি., যা এর উচ্চতার দ্বিগুণ। তাহলে ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল কত?

ক
৫৬.২৫ বর্গ সে.মি.
খ
২২৫ বর্গ সে.মি.
গ
৫৬.২৫ বর্গ মি.
ঘ
৫৬.২৫ সে.মি.

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি ত্রিভুজের ভূমি ১৫ সে.মি., যা এর উচ্চতার দ্বিগুণ। তাহলে ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে, ভূমি = ১৫ সে.মি
উচ্চতা = ১৫/২ = ৭.৫
∴ ক্ষেত্রফল = (১/২) × ভূমি × উচ্চতা
= (১/২) ×১৫ × ৭.৫
=৫৬.২৫ বর্গ সে.মি

১৪৬.

একটি সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল ২৫√৩ বর্গ সে.মি.। ত্রিভুজটির অর্ধ-পরিসীমা কত?

ক
২৫ সে.মি.
খ
৩০ সে.মি.
গ
১৫ সে.মি.
ঘ
২০ সে.মি.

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল ২৫√৩ বর্গ সে.মি.। ত্রিভুজটির অর্ধ-পরিসীমা কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = (√৩/৪) (বাহু)

প্রশ্নমতে,
(√৩/৪)(বাহু)^২ = ২৫√৩
⇒ (১/৪)(বাহু)^২ = ২৫
⇒ (বাহু)^২ = ২৫ × ৪
⇒ (বাহু)^২ = ১০০
∴ বাহু = ১০

∴ ত্রিভুজটির অর্ধ-পরিসীমা = (১০ + ১০ + ১০)/২ সে.মি
= ১৫ সে.মি.

১৪৭.

একটি ত্রিভুজের তিন কোণের সমষ্টি কত?

ক
ক) ১ সমকোণ
খ
খ) ২ সমকোণ
গ
গ) ৩ সমকোণ
ঘ
ঘ) ৪ সমকোণ

ব্যাখ্যা

একটি ত্রিভুজের তিন কোণের সমষ্টি ২ সমকোণ বা ১৮০ ডিগ্রী।

১৪৮.

একটি সমবাহু ত্রিভুজের বাহুর প্রত্যেকটির দৈর্ঘ্য 2 মিটার বাড়ালে এর ক্ষেত্রফল 3√3 বর্গমিটার বেড়ে যায়। সমবাহু ত্রিভুজের বাহুর দৈর্ঘ্য কত?

ক
ক) 2 মিটার
খ
খ) 2.5 মিটার
গ
গ) 3 মিটার
ঘ
ঘ) 3.5 মিটার

ব্যাখ্যা

একটি সমবাহু ত্রিভূজের ক্ষেত্রফল= √3/4 . a²
প্রত্যেকটি বাহুর দৈর্ঘ্য 2 মিটার বাড়ালে ক্ষেত্রফল 3√3 বর্গমিটার বেড়ে যায়।
∴ 3√3 = √3/4 . (a + 2)²- √3/4 . a²
বা, 3√3 = √3/4 {(a + 2)²- a²}
বা, 12 = (a²+ 4a + 4 - a²)
বা, 12 = 4a + 4
বা, 4a = 8
∴ a = 2 মিটার

১৪৯.

ΔABC এর AC > AB হলে, কোনটি সঠিক?

ক
ক) ∠B = ∠C
খ
খ) ∠B < ∠C
গ
গ) ∠B > ∠C
ঘ
ঘ) কোনটিই নয়

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ΔABC এর AC > AB হলে, কোনটি সঠিক?

সমাধান:
কোনো ত্রিভুজের একটি বাহু অপর একটি বাহু অপেক্ষা বৃহত্তর হলে, বৃহত্তর বাহুর বিপরীত কোণ ক্ষুদ্রতর বাহুর বিপরীত কোণ অপেক্ষা বৃহত্তর।

ΔABC এর AC > AB হলে,
∠B > ∠C

১৫০.

একটি ত্রিভুজের পরিসীমা ৪২০ মি.মি. এবং বাহুগুলোর দৈর্ঘ্যের অনুপাত ৫ : ১২ : ১৩ হলে ত্রিভুজটির বৃহত্তম বাহুর দৈর্ঘ্য কত?

ক
১৫০ মি.মি.
খ
৮২ মি.মি.
গ
১৫২ মি.মি.
ঘ
১৮২ মি.মি.

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি ত্রিভুজের পরিসীমা ৪২০ মি.মি. এবং বাহুগুলোর দৈর্ঘ্যের অনুপাত ৫ : ১২ : ১৩ হলে ত্রিভুজটির বৃহত্তম বাহুর দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
মনে করি,
বাহুগুলোর দৈর্ঘ্য যথাক্রমে ৫ক, ১২ক এবং ১৩ক

শর্তমতে,
৫ক + ১২ক + ১৩ক = ৪২০
⇒ ৩০ক = ৪২০
⇒ ক = ৪২০/৩০
∴ ক = ১৪

∴ বৃহত্তম বাহুর দৈর্ঘ্য = (১৩ × ১৪) = ১৮২ মি.মি.

১৫১.

একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের ভূমি ১৬ একক এবং অপর প্রত্যেক বাহুদ্বয় ১০ একক। ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল কত বর্গ একক?

ক
২৪
খ
৩৬
গ
৪৮
ঘ
৫০

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের ভূমি ১৬ একক এবং অপর প্রত্যেক বাহুদ্বয় ১০ একক। ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল কত বর্গ একক?

সমাধান:
আমরা জানি,
সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের সমান সমান বাহু a একক এবং ভূমি b একক হলে,
ক্ষেত্রফল = (b/4)√(4a² - b²) বর্গএকক

দেওয়া আছে,
সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের সমান সমান বাহুর দৈর্ঘ্য ১০ একক
ভূমির দৈর্ঘ্য ১৬ একক

এখানে, a = ১০ একক, b= ১৬ একক

সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল =
(১৬/৪)√(৪ × ১০^২ - ১৬^২) বর্গএকক
= ৪√(৪ × ১০০- ২৫৬) বর্গএকক
= ৪√(৪০০ - ২৫৬) বর্গএকক
= ৪√১৪৪ বর্গএকক
= ৪ × ১২ বর্গএকক
= ৪৮ বর্গএকক

১৫২.

একটি ত্রিভুজের কোণগুলোর অনুপাত 2 : 3 : 5। ত্রিভুজটির বৃহত্তম কোণের অর্ধেক কত?

ক
ক) 90°
খ
খ) 45°
গ
গ) 30°
ঘ
ঘ) 50°

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি ত্রিভুজের কোণগুলোর অনুপাত 2 : 3 : 5। ত্রিভুজটির বৃহত্তম কোণের অর্ধেক কত?

সমাধান:
ধরি
কোণগুলো = 2x , 3x 5x

প্রশ্নমতে,
2x + 3x + 5x = 180°
10x = 180°
x = 18°

ত্রিভুজটির বৃহত্তম কোণ = 5 × 18° = 90°

ত্রিভুজটির বৃহত্তম কোণের অর্ধেক = 90°/2 = 45°

১৫৩.

দুটি ত্রিভুজ সর্বসম হওয়ার শর্ত নিচের কোনটি?

ক
দুটি ত্রিভুজের ৩টি বাহু পরস্পর সমান হবে।
খ
দুটি ত্রিভুজের ২টি কোণ পরস্পর সমান এবং সংলগ্ন ১টি বাহু সমান হবে।
গ
দুটি ত্রিভুজের ২টি বাহু পরস্পর সমান এবং তাদের অন্তর্ভুক্ত কোণটি সমান হবে।
ঘ
উপরের সবগুলো।

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: দুটি ত্রিভুজ সর্বসম হওয়ার শর্ত নিচের কোনটি?

সমাধান:
দুইটি ত্রিভুজ সর্বসম হওয়ার শর্ত:
- একটি ত্রিভুজের তিনটি বাহু অপর ত্রিভুজের তিনটি বাহুর সমান হলে ত্রিভুজ দুটি সর্বসম হয়।
- একটি ত্রিভুজের দুইটি বাহু এবং একটি কোণ অপর ত্রিভুজের দুইটি বাহু এবং একটি কোণের সমান হলে ত্রিভুজ দুইটি সর্বসম হয়।
- একটি ত্রিভুজের দুইটি কোণ এবং একটি বাহু অপর ত্রিভুজের দুইটি কোণ এবং একটি বাহুর সমান হলে ত্রিভুজ দুইটি সর্বসম হয়
- দুইটি সমকোণী ত্রিভুজের একটির অতিভুজ এবং এক বাহু অপরটির অতিভুজ এবং এক বাহুর সমান হলে ত্রিভুজ দুইটি সর্বসম হয়।

১৫৪.

৯০ মিটার পরিসীমা বিশিষ্ট ত্রিভুজের বাহুগুলোর অনুপাত ৫ : ৬ : ৭ হলে, বৃহত্তম এবং ক্ষুদ্রতম বাহুর সমষ্টি কত?

ক
৪৫ মিটার
খ
৫০ মিটার
গ
৭৬ মিটার
ঘ
৬০ মিটার

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ৯০ মিটার পরিসীমা বিশিষ্ট ত্রিভুজের বাহুগুলোর অনুপাত ৫ : ৬ : ৭ হলে, বৃহত্তম এবং ক্ষুদ্রতম বাহুর সমষ্টি কত?

সমাধান:
মনে করি,
ত্রিভুজের বাহুগুলোর দৈর্ঘ্য যথাক্রমে ৫ক, ৬ক ও ৭ক
∴ পরিসীমা = (৫ক + ৬ক + ৭ক)
= ১৮ক

প্রশ্নমতে,
১৮ক = ৯০
বা, ক = ৯০/১৮
∴ ক = ৫

∴ বৃহত্তম ও ক্ষুদ্রতম বাহুর সমষ্টি = ৫ক + ৭ক
= (৫ × ৫) + (৭ × ৫)
= (২৫ + ৩৫) মিটার
= ৬০ মিটার ।

১৫৫.

নিচের কোন তিনটি রেখাংশের দৈর্ঘ্য দিয়ে একটি সমকোণী ত্রিভুজ আঁকা সম্ভব?

ক
3, 6, 9
খ
5, 12, 13
গ
8, 15, 18
ঘ
3, 5, 6

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: নিচের কোন তিনটি রেখাংশের দৈর্ঘ্য দিয়ে একটি সমকোণী ত্রিভুজ আঁকা সম্ভব?

সমাধান:
পীথাগোরাসের উপপাদ্য অনুসারে,
একটি সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজের উপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল অপর দুই বাহুর উপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্রদ্বয়ের ক্ষেত্রফলের সমষ্টির সমান।
অর্থাৎ,
5² + 12² = 13²
⇒ 25 + 144 = 169

১৫৬.

একটি সমবাহু ত্রিভুজের এক বাহুর দৈর্ঘ্য 12 মিটার। ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল কত?

ক
18√3 বর্গ মিটার
খ
24√3 বর্গ মিটার
গ
36√3 বর্গ মিটার
ঘ
48√3 বর্গ মিটার

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি সমবাহু ত্রিভুজের এক বাহুর দৈর্ঘ্য 12 মিটার। ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = (√3/4) × বাহু²
= (√3/4) × 12 × 12
= 36√3 বর্গ মিটার

১৫৭.

সমবাহু ত্রিভুজের বাহুর দৈর্ঘ্য যদি ‘ক’ হয়, তবে ক্ষেত্রফল কত হবে?

ক
(√3/4)ক^২
খ
(√3/2)ক^৩
গ
(√3/5)ক^৩
ঘ
(√3/2)ক^৫

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: যদি সমবাহু ত্রিভুজের বাহুর দৈর্ঘ্য 'ক' হয়, তবে ক্ষেত্রফল কত হবে?

সমাধান:
সমবাহু ত্রিভুজের বাহুর দৈর্ঘ্য 'ক' হলে ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল = (√3/4)ক^২

১৫৮.

ABC সমবাহু ত্রিভুজের একটি মধ্যমা AD এবং G ভরকেন্দ্র। AG = ১০ সেমি হলে AD = ?

ক
২০ সেমি
খ
১৫ সেমি
গ
১০ সেমি
ঘ
৫ সেমি

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ABC সমবাহু ত্রিভুজের একটি মধ্যমা AD এবং G ভরকেন্দ্র। AG = ১০ সেমি হলে AD = ?

সমাধান:
আমরা জানি,
ভরকেন্দ্র ত্রিভুজের মধ্যমাকে ২ : ১ অনুপাতে বিভক্ত করে।

প্রশ্নমতে,
AG : GD = ২ : ১
⇒ ১০/GD = ২/১
⇒ GD = ১০/২
∴ GD = ৫

∴ AD = (AG + GD) সেমি
= (১০ + ৫) সেমি
= ১৫ সেমি

১৫৯.

একটি সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজ 5 সে. মি. এবং অপর দুই বাহুর অন্তর 1 সে. মি. । ঐ বাহু দুইটির দৈর্ঘ্য কত?

ক
5 সে. মি. ও 3 সে. মি.
খ
4 সে. মি. ও 3 সে. মি.
গ
3 সে. মি. ও 6 সে. মি.
ঘ
7 সে. মি. ও 6 সে. মি.

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজ 5 সে. মি. এবং অপর দুই বাহুর অন্তর 1 সে. মি. । ঐ বাহু দুইটির দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
অতিভুজ ভিন্ন অন্য দুই বাহুর একটি x হলে অপরটি x - 1
পিথাগোরাসের উপপাদ্য মতে,
(অতিভুজ)² = (লম্ব)² + (ভূমি)²
⇒ 5² = x² + (x - 1)²
⇒ 25 = x² + x² - 2x + 1
⇒ 2x² - 2x - 24 = 0
⇒ x² - x - 12 = 0
⇒ x² - 4x + 3x - 12 = 0
⇒ x(x - 4) + 3(x - 4) = 0
⇒ (x - 4)(x + 3) = 0
হয়,
x - 4 = 0
∴ x = 4
অথবা,
x + 3 = 0
∴ x = - 3 ; [ যা গ্রহণযোগ্য নয় ]
∴ একটি বাহু = 4 সে. মি.
এবং অপর বাহু = 4 - 1 = 3 সে. মি.

১৬০.

সমবাহু ত্রিভুজের প্রত্যেকটি কোণ কত ডিগ্রি?

ক
৫০°
খ
৪৫°
গ
৬০°
ঘ
৯০°

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: সমবাহু ত্রিভুজের প্রত্যেকটি কোণ কত ডিগ্রি?

সমাধান:
ত্রিভুজের যেকোনো শীর্ষবিন্দু হতে বিপরীত বাহুর মধ্যবিন্দু পর্যন্ত অঙ্কিত রেখাংশকে মধ্যমা বলে।
সমবাহু ত্রিভুজের তিনটি মধ্যমা পরস্পর সমান।
সমবাহু ত্রিভুজে প্রতিটি বাহুর দৈর্ঘ্য সমান এবং প্রতিটি কোণ পরস্পর সমান।

∴ সমবাহু ত্রিভুজের প্রতিটি কোণ = ৬০°

১৬১.

নিচের ত্রিভুজের ক্ষুদ্রতম কোণের মান কত?

ক
20°
খ
26°
গ
22°
ঘ
34°

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: নিচের ত্রিভুজের ক্ষুদ্রতম কোণের মান কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
ত্রিভুজের তিন কোণের সমষ্টি ১৮০°

4x + 2x - 10 + 3x - 8 = 180°
⇒ 9x - 18 = 180
⇒ 9x = 198
∴ x = 22°

কোণগুলো হলো
4 × 22 = 88°
2 × 22 - 10 = 34^∘
3 × 22 - 8 = 58^∘

∴ ক্ষুদ্রতম কোণের মান = 34^∘

১৬২.

একটি ত্রিভুজের তিনটি বাহু বর্ধিত করলে উৎপন্ন বহিঃস্থ কোণের পরিমাণ কত?

ক
ক) ১৫০ ডিগ্রী
খ
খ) ১৮০ ডিগ্রী
গ
গ) ২৭০ ডিগ্রী
ঘ
ঘ) ৩৬০ ডিগ্রী

১৬৩.

সমকোণী ত্রিভুজের সূক্ষ্মকোণ দুটির অন্তর 4° হলে এর ক্ষুদ্রতম কোণটির মান কত?

ক
49°
খ
47°
গ
40°
ঘ
43°

ব্যাখ্যা

মনে করি,
একটি কোণ 'ক' তাহলে অপর কোণ (90-ক)
শর্তমতে,
ক - (90 - ক) = 4
বা, ক - 90 + ক = 4
বা, 2ক = 94
বা, ক = 47
সুতরাং অপর কোণটি = 90 - ক = 90 - 47 = 43°

১৬৪.

একটি ত্রিভুজের পরিসীমা 36 সে.মি. এবং বাহুগুলোর দৈর্ঘ্যের অনুপাত 3 : 4 : 5 হলে ত্রিভুজটির বৃহত্তম বাহুর দৈর্ঘ্য কত?

ক
10 সে.মি.
খ
12 সে.মি.
গ
18 সে.মি.
ঘ
15 সে.মি.

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি ত্রিভুজের পরিসীমা 36 সেমি এবং বাহুগুলোর দৈর্ঘ্যের অনুপাত 3 : 4 : 5 হলে ত্রিভুজটির বৃহত্তম বাহুর দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
ধরি,
বাহুগুলোর দৈর্ঘ্য যথাক্রমে 3x সে.মি.; 4x সে.মি. এবং 5x সে.মি.

শর্তমতে,
3x + 4x + 5x = 36
বা, 12x = 36
∴ x = 3
সবচেয়ে বৃহত্তম বাহুর দৈর্ঘ্য = (5 × 3) সে.মি.
=15 সে.মি.

১৬৫.

যদি সমকোণী ত্রিভুজের সমকোণ সন্নিহিত বাহু দুটির দৈর্ঘ্য ৬ ফুট ও ৮ ফুট হলে এর অতিভুজের দৈর্ঘ্য কত?

ক
ক) ৭ফুট
খ
খ) ১০ফুট
গ
গ) ৯ফুট
ঘ
ঘ) ১৩ফুট
ঙ
ঙ) ১৫ফুট

ব্যাখ্যা

অতিভুজ = √(ভূমি^২ + লম্ব^২)
= √(৮^২ + ৬^২)
= √(৬৪ + ৩৬)
= ১০

১৬৬.

4 সে.মি., 5 সে.মি. ও 9 সে.মি. বাহুবিশিষ্ট ত্রিভুুজের ক্ষেত্রফল কত বর্গ একক?

ক
60 বর্গ একক
খ
80 বর্গ একক
গ
120 বর্গ একক
ঘ
কোনটিই নয়

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 4 সে.মি., 5 সে.মি. ও 9 সে.মি. বাহুবিশিষ্ট ত্রিভুুজের ক্ষেত্রফল কত বর্গ একক ?

সমাধান:
আমরা জানি,
ত্রিভুজের যেকোন দুই বাহুর দৈর্ঘ্যের সমষ্টি তৃতীয় বাহুর দৈর্ঘ্য অপেক্ষা বৃহত্তর।

এখানে,
4 + 5 = 9
দুই বাহুর দৈর্ঘ্যের সমষ্টি তৃতীয় বাহুর দৈর্ঘ্য অপেক্ষা বৃহত্তর হয়নি। তাই ত্রিভুজ গঠিত হবেনা। তাই ক্ষেত্রফল থাকবে না।

অন্যভাবে,
মনে করি,
ত্রিভুজটির বাহুগুলোর দৈর্ঘ্য যথাক্রমে a = 4 সে.মি., b = 5 সে.মি. ও c = 9 সে.মি.।
অর্ধ -পরিসীমা s = (a + b + c)/2
= (4 + 5 + 9)/2
= 18/2 সে.মি.
= 9 সে.মি.

ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = √{s( s - a)( s - b) (s - c)}
= √{9(9 - 4)(9 - 5)(9 - 9)} বর্গ সে.মি.
= √(9 × 5 × 4 × 0) বর্গ সে.মি.
= 0 বর্গ সে.মি.

১৬৭.

একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের ভূমি 8 মিটার এবং উহার দুটি বাহুর প্রতিটি 5 মিটার হলে ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল কত?

ক
8 বর্গমিটার
খ
10 বর্গমিটার
গ
16 বর্গমিটার
ঘ
12 বর্গমিটার

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের ভূমি 8 মিটার এবং উহার দুটি বাহুর প্রতিটি 5 মিটার হলে ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = b/4 {√4(a)² - (b)²}

দেওয়া আছে,
সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের ভূমি, b = 8 মিটার
এবং দুটি বাহুর প্রতিটি, a = 5 মিটার

∴ ক্ষেত্রফল = b/4 {√4(a)² - (b)²}
= 8/4 {√4(5)² - (8)²}
= 2 {√(100 - 64)}
= 2 √36
= 2 × 6
= 12

∴ সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = 12 বর্গমিটার।

১৬৮.

একটি সমকোণী ত্রিভূজের ভূমি ৪ মিঃ এবং ক্ষেত্রফল ৬ বর্গমিঃ হলে পরিসীমা কত?

ক
ক) ১০ মিঃ
খ
খ) ৯ মিঃ
গ
গ) ১১ মিঃ
ঘ
ঘ) ১২ মিঃ

ব্যাখ্যা

লম্ব = a হলে,
ত্রিভূজের ক্ষেত্রফল = 1/2 × ৪ × a
বা, ৬ = ২a
∴ a = ৩ মিঃ
∴ অতিভূজ = √(ভূমি² + লম্ব²)
= √(৪² + ৩²)
= ৫ মিটার
∴ পরিসীমা = ভূমি + লম্ব + অতিঃ
= ৪ + ৩ + ৫
= ১২ মিঃ

১৬৯.

একটি সমকোণী ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল 184 বর্গসে.মি. এবং এর এক বাহুর দৈর্ঘ্য 16 সে.মি. হলে অপর বহুর দৈর্ঘ্য কত সে.মি.?

ক
ক) 13 সে.মি.
খ
খ) 22 সে.মি.
গ
গ) 21 সে.মি.
ঘ
ঘ) 23 সে.মি.

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি সমকোণী ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল 184 বর্গসে.মি. এবং এর এক বাহুর দৈর্ঘ্য 16 সে.মি. হলে অপর বহুর দৈর্ঘ্য কত সে.মি.?

সমাধান:
ধরি,
অপর বাহুর দৈর্ঘ্য = x সে.মি.

আমরা জানি,
ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = 1/2 × ভূমি × উচ্চতা

∴ 1/2 × x ×16 = 184
⇒ 8x = 184
⇒ x = 184/8
∴ x = 23

∴ নির্ণেয় অপর বাহুর দৈর্ঘ্য 23 সে.মি.

১৭০.

ABC ত্রিভুজে A কোণের মান 50° এবং B কোণের মান 80° হলে, ত্রিভুজটি কি ধরনের ত্রিভুজ?

ক
সমকোণী
খ
সমবাহু
গ
সমদ্বিবাহু
ঘ
স্থুলকোণী

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ABC ত্রিভুজে A কোণের মান 50° এবং B কোণের মান 80° হলে, ত্রিভুজটি কি ধরনের ত্রিভুজ?

সমাধান:
C কোণের মান = 180° - 50° - 80°
= 180° - 130°
= 50°

এখানে A ও C কোণ সমান।
কোনো ত্রিভুজের দুইটি কোণ সমান হলে ত্রিভুজটির দুইটি বাহুও সমান হবে।
তাই ত্রিভুজটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ হবে।

১৭১.

দুটি ত্রিভুজ পরস্পর সর্বসম হওয়ার জন্য নিচের কোন শর্তটি যথেষ্ট নয়?

ক
একটির তিন বাহু অপরটির তিন বাহুর সমান।
খ
একটির তিন কোণ অপরটির তিন কোণের সমান।
গ
একটির দুই কোণ ও এক বাহু অপরটির দুই বাহু ও অনুরূপ বাহুর সমান।
ঘ
একটির দুই বাহু ও অন্তর্ভুক্ত কোণ অপরটির দুই বাহু ও অন্তর্ভুক্ত কোণের সমান।

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: দুটি ত্রিভুজ পরস্পর সর্বসম হওয়ার জন্য নিচের কোন শর্তটি যথেষ্ট নয়?

সমাধান:
- দুইটি ত্রিভুজের তিনটি কোণ যথাক্রমে সমান হলেও ত্রিভুজ দুইটি সর্বসম নাও হতে পারে।

দুটি ত্রিভুজ পরস্পর সর্বসম হওয়ার জন্য শর্তসমূহ:
- একটির তিন বাহু অপরটির তিন বাহুর সমান।
- একটির দুই কোণ ও এক বাহু অপরটির দুই বাহু ও অনুরূপ বাহুর সমান।
- একটির দুই বাহু ও অন্তর্ভুক্ত কোণ অপরটির দুই বাহু ও অন্তর্ভুক্ত কোণের সমান।

১৭২.

সমবাহু ত্রিভুজের প্রত্যেক বাহুর দৈর্ঘ্য ২ মিটার বাড়ালে ক্ষেত্রফল ৬√৩ বর্গ মিটার বেড়ে যায়। ত্রিভুজটির বাহুর দৈর্ঘ্য কত?

ক
৩ মিটার
খ
৪ মিটার
গ
৫ মিটার
ঘ
৬ মিটার

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: সমবাহু ত্রিভুজের প্রত্যেক বাহুর দৈর্ঘ্য ২ মিটার বাড়ালে ক্ষেত্রফল ৬√৩ বর্গ মিটার বেড়ে যায়। ত্রিভুজটির বাহুর দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
ধরি,
সমবাহু ত্রিভুজের প্রত্যেক বাহুর দৈর্ঘ্য = a মিটার
∴ ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল = (√৩/৪‍)a^২
ত্রিভুজের প্রত্যেক বাহুর দৈর্ঘ্য ২ মিটার বাড়ালে ক্ষেত্রফল= (√৩/৪)(a + ২)^২

প্রশ্নমতে,
(√৩/৪)(a + ২)^২ - (√৩/৪‍)a^২ = ৬√৩
বা, a^২ + ৪a + ৪ - a^২ = ৬√৩ × (৪/√৩)
বা, a^২+ ৪a + ৪ - a^২ = ২৪
বা, ৪a = ২৪ - ৪
∴ a = ৫

∴ ত্রিভুজটির বাহুর দৈর্ঘ্য ৫ মিটার।

১৭৩.

একটি ত্রিভুজের তিনটি কোণের অনুপাত 3 : 4 : 5 হলে, বৃহত্তম কোণের মান কত?

ক
ক) 60°
খ
খ) 75°
গ
গ) 85°
ঘ
ঘ) 65°

ব্যাখ্যা

ধরি,
ত্রিভুজের কোণ তিনটি যথাক্রমে, 3x, 4x ও 5x

প্রশ্নমতে,
3x + 4x +5x = 180°
12x = 180°
x = 180°/12
x = 15°

বৃহত্তম কোণের মান = 5 × 15°
=75°

১৭৪.

একটি সমদ্বিবাহু সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজের দৈর্ঘ্য ১২ সেমি হলে ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল কত বর্গ সেমি?

ক
ক) ৩৬
খ
খ) ৪৮
গ
গ) ৫৬
ঘ
ঘ) ৭২

ব্যাখ্যা

সমদ্বিবাহু সমকোণী ত্রিভূজের ২টি বাহু সমান=a
∴12²=a²+a²
or,144 = 2a²
a=2√18
∴ক্ষেত্রফল = (12/4)√{4(2√18)²-(12)²} = 36 বর্গ সে.মি

১৭৫.

সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল ২৫√৩ বর্গমিটার হলে, ত্রিভুজটির প্রতিটি বাহুর দৈর্ঘ্য কত?

ক
৫ মিটার
খ
১০ মিটার
গ
১৫ মিটার
ঘ
১৮ মিটার

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল ২৫√৩ বর্গমিটার হলে, ত্রিভুজটির প্রতিটি বাহুর দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
ধরি, সমবাহু ত্রিভুজটির বাহুর দৈর্ঘ্য = a মিটার
আমরা জানি, সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = (√৩/৪) × a^২

প্রশ্নমতে,
(√৩/৪) × a^২ = ২৫√৩
⇒ a^২/৪ = ২৫ [উভয় পক্ষকে √৩ দ্বারা ভাগ করে]
⇒ a^২ = ২৫ × ৪
⇒ a^২ = ১০০
⇒ a = √১০০
∴ a = ১০

∴ ত্রিভুজটির প্রতিটি বাহুর দৈর্ঘ্য = ১০ মিটার।

১৭৬.

নিচের কোন বাহুগুলো দ্বারা ত্রিভুজ আঁকা সম্ভব?

ক
ক) 5, 2, 8 সে. মি.
খ
খ) 2, 4, 6 সে. মি.
গ
গ) 4, 7, 1 সে. মি.
ঘ
ঘ) 3, 8, 8 সে. মি.

ব্যাখ্যা

ত্রিভুজের যেকোনো দুই বাহুর সমষ্টি সবসময় তৃতীয় বাহু অপেক্ষা বৃহত্তর হবে। শুধুমাত্র অপশন ঘ এই শর্তটি পূরণ করে।

১৭৭.

ABC একটি সমবাহু ত্রিভুজ। BC রেখাকে D পর্যন্ত বর্ধিত করা হল। CE রেখা ∠ACD সমদ্বিখন্ডিত করলে ∠ECD এর মান কত?

ক
ক) 120°
খ
খ) 45°
গ
গ) 60°
ঘ
ঘ) 70°

ব্যাখ্যা

ABC একটি সমবাহু ত্রিভুজ।
∠A = ∠B = ∠C = 60°
∴ ∠ACD = 120°
∴ ∠ECD = 60°

১৭৮.

একটি সমবাহু ত্রিভুজের একটি বাহুর দৈর্ঘ্য 16 মিটার। ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল কত?

ক
16√3 বর্গমিটার
খ
64√2 বর্গমিটার
গ
32√5 বর্গমিটার
ঘ
64√3 বর্গমিটার

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি সমবাহু ত্রিভুজের একটি বাহুর দৈর্ঘ্য 16 মিটার। ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
বাহু =16 মিটার

আমরা জানি,
সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = (√3/4)a²
= (√3/4)(16)²
= 64√3

সুতরাং ক্ষেত্রফল 64√3 বর্গমিটার।

১৭৯.

সমবাহু ত্রিভুজের প্রতিটি কোণ কত ডিগ্রী?

ক
45°
খ
৯০°
গ
৬০°
ঘ
৩০°

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: সমবাহু ত্রিভুজের প্রতিটি কোণ কত ডিগ্রী?

সমাধান:
- ত্রিভুজের যেকোনাে শীর্ষবিন্দু হতে বিপরীত বাহুর মধ্যবিন্দু পর্যন্ত অঙ্কিত রেখাংশকে মধ্যমা বলে।
- সমবাহু ত্রিভুজের তিনটি মধ্যমা পরস্পর সমান।
- সমবাহু ত্রিভুজে প্রতিটি বাহুর দৈর্ঘ্যে সমান এবং প্রতিটি কোণ পরস্পর সমান।
- সমবাহু ত্রিভুজের প্রতিটি কোণ ৬০°।

১৮০.

কোনো ত্রিভুজের তিনটি বাহুকে বর্ধিত করলে উৎপন্ন বহিঃস্থকোণ তিনটির সমষ্টি কত?

ক
ক) এক প্রবৃদ্ধ কোণ
খ
খ) দুই সরল কোণ
গ
গ) এক সরল কোণ
ঘ
ঘ) দুই সমকোণ

ব্যাখ্যা

আমরা জানি, যেকোনো ত্রিভূজের তিনকোণের সমষ্টি= 180°
অর্থাৎ, x+y+z= 180° ............ (i)
আবার, এক সরল কোণ = 180°
∴ বহিঃস্থ কোণ তিনটির যোগফল = (180° - x) + (180°- y)+(180°- z)
= 540° - (x + y + z)
= 540° - 180°
= 360°

১৮১.

একটি সমকোণী ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল 120 বর্গ একক। সমকোণ সন্নিহিত বাহুদ্বয়ের একটির দৈর্ঘ্য 24 একক হলে অপরটি কত?

ক
6 একক
খ
8 একক
গ
10 একক
ঘ
12 একক

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি সমকোণী ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল 120 বর্গ একক। সমকোণ সন্নিহিত বাহুদ্বয়ের একটির দৈর্ঘ্য 24 একক হলে অপরটি কত?

সমাধান:
সমকোণী ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = (1/2) × সমকোণ সংলগ্ন বাহুদ্বয়ের গুণফল
⇒ 120 = (1/2) × (24 × নির্ণেয় বাহু)
⇒ নির্ণেয় বাহু = (120 × 2)/24
= 10 একক

১৮২.

একটি ত্রিভুজের দুটি কোণের পরিমাণ ৩৫° ও ৫৫°। ত্রিভুজটি কোন ধরনের?

ক
ক) সমকোণী
খ
খ) সমবাহু
গ
গ) সমদ্বিবাহু
ঘ
ঘ) স্থুলকোণী

ব্যাখ্যা

ত্রিভুজের তিনকোণের সমষ্টি দুই সমকোণ।
ত্রিভুজটির তৃতীয় কোণের পরিমাপ = ১৮০ - (৫৫ + ৩৫) = ৯০°।
অতএব, ত্রিভুজটি সমকোণী।

১৮৩.

একটি ত্রিভুজের তিনটি কোণের অনুপাত ৩ : ৪ : ৫ হলে ক্ষুদ্রতম কোণের পরিমাণ কত ডিগ্রী?

ক
ক) ৪৫°
খ
খ) ৭৫°
গ
গ) ৯০°
ঘ
ঘ) ১৮০°

ব্যাখ্যা

ত্রিভুজের কোণের অনুপাতের সমষ্টি = ১২
ত্রিভুজের ক্ষুদ্রতম কোণ = ১৮০ × ৩/১২ = ৪৫°

১৮৪.

একটি সমকোণী ত্রিভুজের সূক্ষ্মকোণদ্বয়ের পার্থক্য ২৪° হলে, ক্ষুদ্রতম কোণ কত?

ক
২৮°
খ
৩৩°
গ
৩৯°
ঘ
৪২°

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি সমকোণী ত্রিভুজের সূক্ষ্মকোণদ্বয়ের পার্থক্য ২৪° হলে, ক্ষুদ্রতম কোণ কত?

সমাধান:
ধরি, ক্ষুদ্রতম কোণ = ক°, বৃহত্তর কোণ = ক + ২৪°
সমকোণী ত্রিভুজে একটি কোণ ৯০° এবং অপর দুই কোণের সমষ্টি ৯০° হয়।
প্রশ্নমতে,
∴ ক + (ক + ২৪°) = ৯০°
∴ ২ক = ৯০° - ২৪°
∴ ২ক = ৬৬°
∴ ক = ৬৬°/২ = ৩৩°

∴ ক্ষুদ্রতম কোণ = ৩৩°

১৮৫.

একটি 10 মিটার দীর্ঘ মই একটি প্রাচীরের উপর রাখা হয় যাতে মাটির উপর থেকে ঠিক 6 মিটার উঁচু একটি জানালায় পৌঁছানো যায়। প্রাচীর থেকে মই এর গোড়ার দূরত্ব কত?

ক
9 মিটার
খ
7 মিটার
গ
8 মিটার
ঘ
6 মিটার

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি 10 মিটার দীর্ঘ মই একটি প্রাচীরের উপর রাখা হয় যাতে মাটির উপর থেকে ঠিক 6 মিটার উঁচু একটি জানালায় পৌঁছানো যায়। প্রাচীর থেকে মই এর গোড়ার দূরত্ব কত?

সমাধান:
প্রাচীর থেকে মই এর গোড়ার দূরত্ব = √(10² - 6²) মিটার
= √(100 - 36) মিটার
= √64 মিটার
= 8 মিটার

১৮৬.

ABC সমকোণী ত্রিভুজের ∠B এক সমকোণ। BC : AB = 4 : 3 এবং AC = 25 সে.মি. হলে BC = কত?

ক
ক) 15 সে.মি.
খ
খ) 20 সে.মি.
গ
গ) 18 সে.মি.
ঘ
ঘ) 22 সে.মি.

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ABC সমকোণী ত্রিভুজের ∠B এক সমকোণ। BC : AB = 4 : 3 এবং AC = 25 সে.মি. হলে BC = কত?

সমাধান:

দেওয়া আছে,
BC : AB = 4 : 3

ধরি,
BC = 4x সে.মি. এবং AB = 3x সে.মি.
পিথাগোরাসের উপপাদ্যের সাহায্যে পাই,

BC = 4 × 5 সে.মি. = 20 সে.মি.

১৮৭.

একটি ত্রিভুজাকৃতি মাঠের বাহুগুলোর দৈর্ঘ্য যথাক্রমে ৮ মি., ১৫ মি. এবং ১৭ মি. হলে, এর ক্ষেত্রফল কত?

ক
৫৬ বর্গমিটার
খ
৬০ বর্গমিটার
গ
৬৪ বর্গমিটার
ঘ
৭০ বর্গমিটার

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি ত্রিভুজাকৃতি মাঠের বাহুগুলোর দৈর্ঘ্য যথাক্রমে ৮ মি., ১৫ মি. এবং ১৭ মি. হলে, এর ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
এখানে পরিসীমা S = (৮ + ১৫ + ১৭)/২
= ৪০/২
= ২০ মি.

আমরা জানি,
ত্রিভুজক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = √{S (S - a) (S - b) (S - c)}
= √{২০(২০ - ৮) (২০ - ১৫) (২০ - ১৭)}
= √(২০ × ১২ × ৫ × ৩)
= √৩৬০০
= ৬০ বর্গমিটার

১৮৮.

একটি সমবাহু ত্রিভুুজের ক্ষেত্রফল ৫০ বর্গ সে.মি.। ত্রিভুজটির প্রতি বাহুর দৈর্ঘ্য কত?

ক
ক) ১৫.২ সে.মি
খ
খ) ১০.৫ সে.মি
গ
গ) ১০.৭ সে.মি
ঘ
ঘ) ১৭.১ সে.মি

ব্যাখ্যা

আমরা জানি, সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = (√৩/৪)(বাহু)²
বা, বাহু² = (৪ × ৫০)/√৩ = ১১৫.৪৭
বা, বাহু = ১০.৭৫ সেমি

১৮৯.

সমকোণী ত্রিভুজের সমকোণের বিপরীত একটি কোণ ৫০ ডিগ্রী হলে, অপর কোনটি কত?

ক
ক) ৪০ ডিগ্রী
খ
খ) ৪৫ ডিগ্রী
গ
গ) ৫০ ডিগ্রী
ঘ
ঘ) ৩০ ডিগ্রী

ব্যাখ্যা

ত্রিভুজের তিনটি কোণের সমষ্টি ১৮০ ডিগ্রী। ত্রিভূজটি সমকোণী এবং দ্বিতীয় কোণের মানের ৫০ ডিগ্রি হওয়ায় অপর কোণের মান (১৮০-৯০-৫০) = ৪০ ডিগ্রী

১৯০.

17 সে.মি., 15 সে.মি, ৪ সে.মি. বাহু বিশিষ্ট ত্রিভুজটি হবে-

ক
সমবাহু
খ
সমদ্বিবাহু
গ
সমকোণী
ঘ
স্থুলকোণী

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 17 সে.মি., 15 সে.মি, ৪ সে.মি. বাহু বিশিষ্ট ত্রিভুজটি হবে-

সমাধান:
ত্রিভুজের বাহু তিনটির দৈর্ঘ্য, 17 সে.মি. 15 সে.মি. এবং 8 সে.মি.

এখানে
(17)² = 289

আবার
(15)² + 8² = 225 + 64 = 289

কোন ত্রিভুজের বৃহত্তম বাহুর উপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল অপর দুই বাহুর উপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফলের যোগফলের সমান হলে ত্রিভুজটি সমকোণী ত্রিভুজ হয়।
সুতরাং ত্রিভুজটি সমকোণী

১৯১.

চিত্রে x এর মান কত ডিগ্রি?

ক
15
খ
18
গ
20
ঘ
25

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: চিত্রে x এর মান কত ডিগ্রি?

সমাধান:
∠A + ∠C = 180° - 90°
⇒ 2x + 3x = 90°
⇒ 5x = 90°
∴ x = 18°

১৯২.

একটি ত্রিভুজের ভূমি তার উচ্চতার দ্বিগুণ অপেক্ষা 6 মিটার বেশি। ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল 180 বর্গমিটার হলে, এর উচ্চতা কত?

ক
ক) 12 মিটার
খ
খ) 15 মিটার
গ
গ) 30 মিটার
ঘ
ঘ) 18 মিটার

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি ত্রিভুজের ভূমি তার উচ্চতার দ্বিগুণ অপেক্ষা 6 মিটার বেশি। ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল 180 বর্গমিটার হলে, এর উচ্চতা কত?

সমাধান:
মনে করি,
ত্রিভুজের উচ্চতা x মিটার
ভূমি = (2x + 6) মিটার

প্রশ্নমতে,
⇒ (1/2) × (2x + 6) × x = 180
⇒ x² + 3x = 180
⇒ x² + 3x - 180 = 0
⇒ x² + 15x - 12x - 180 = 0
⇒ x(x + 15) - 12(x + 15) = 0
⇒ (x + 15)(x - 12) = 0

হয়
x + 15 = 0
x = - 15[ গ্রহণ যোগ্য নয়]

অথবা
x - 12 = 0
∴ x = 12

∴ ত্রিভুজের উচ্চতা 12 মিটার

১৯৩.

দু'টি ত্রিভুজের কোন উপাদানগুলি সমান হওয়া সত্ত্বেও ত্রিভুজ দু'টি সর্বসম নাও হতে পারে?

ক
দুই বাহ ও এক কোণ
খ
তিনটি বাহ
গ
এক বাহু ও দুই কোন
ঘ
তিন কোণ

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: দু'টি ত্রিভুজের কোন উপাদানগুলি সমান হওয়া সত্ত্বেও ত্রিভুজ দু'টি সর্বসম নাও হতে পারে?

সমাধান:
- দুইটি ত্রিভুজের তিনটি কোণ যথাক্রমে সমান হলেও ত্রিভুজ দুইটি সর্বসম নাও হতে পারে।
-তিনটি কোণ সমান হলে তাকে সদৃশকোণী ত্রিভুজ বলে।

১৯৪.

যদি একটি সমবাহু ত্রিভুজে এক শীর্ষবিন্দু থেকে বিপরীত বাহুর মধ্যবিন্দু পর্যন্ত অঙ্কিত রেখাংশের দৈর্ঘ্য ২৭ সেন্টিমিটার হয়, তবে ত্রিভুজটির ঐ শীর্ষবিন্দু থেকে ভরকেন্দ্র পর্যন্ত দূরত্ব কত হবে?

ক
২৭ সে.মি.
খ
১৮ সে.মি.
গ
৯ সে.মি.
ঘ
১৩.৫ সে.মি.

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: যদি একটি সমবাহু ত্রিভুজে এক শীর্ষবিন্দু থেকে বিপরীত বাহুর মধ্যবিন্দু পর্যন্ত অঙ্কিত রেখাংশের দৈর্ঘ্য ২৭ সেন্টিমিটার হয়, তবে ত্রিভুজটির ঐ শীর্ষবিন্দু থেকে ভরকেন্দ্র পর্যন্ত দূরত্ব কত হবে?

সমাধান:

দেওয়া আছে,
মধ্যমা, AE = ২৭
ভরকেন্দ্র মধ্যমাকে ২ : ১ অনুপাতে বিভক্ত করে।

∴ শীর্ষবিন্দু থেকে ভরকেন্দ্র পর্যন্ত দূরত্ব, AD = (২/৩) × ২৭ = ১৮ সে.মি.

১৯৫.

একটি সমবাহু ত্রিভুজের পরিসীমা 18 একক হলে উহার ক্ষেত্রফল কত বর্গ একক?

ক
6√3 বর্গ একক
খ
7√3 বর্গ একক
গ
8√3 বর্গ একক
ঘ
9√3 বর্গ একক

ব্যাখ্যা

আমরা জানি,
সমবাহু ত্রিভুজের পরিসীমা = 3a এবং
ক্ষেত্রফল = (a/2)² × √3
শর্তমতে,
3a = 18
বা, a = 6
সুতরাং ক্ষেত্রফল = (6/2)² × √3
= 9√3 বর্গ একক

১৯৬.

একটি ত্রিভুজের একটি কোণের মান অপর দুই কোণের সমষ্টির সমান হলে, অপর দুই কোণের সমষ্টির অর্ধেক কত?

ক
30°
খ
45°
গ
60°
ঘ
90°

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি ত্রিভুজের একটি কোণের মান অপর দুই কোণের সমষ্টির সমান হলে, অপর দুই কোণের সমষ্টির অর্ধেক কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
ত্রিভুজের তিন কোণের সমষ্টি = 180°
বা, 90° + 2 কোণ = 180°
বা, 2 কোণ = 180° - 90°
বা, 2 কোণ = 90°
বা, কোণ = 90°/2
∴ কোণ = 45°

১৯৭.

চিত্রে ABC সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল ২৭√৩ বর্গ সে.মি. হলে বৃত্তের ব্যাস কত?

ক
১২ সে.মি.
খ
১0 সে.মি.
গ
১8 সে.মি.
ঘ
8 সে.মি.

ব্যাখ্যা

ত্রিভুজের বাহুর দৈর্ঘ্য a হলে, ক্ষেত্রফল √৩/৪ a^২ = ২৭√৩
বা, a^২ = ২৭×৪
∴ a = ৬√৩ সে.মি.

বৃত্তের ব্যাসার্ধ R হলে, ব্যাস = ২R এবং
ত্রিভুজের সাইন সূত্রানুসারে,
a/sinA = ২R
বা, ২R = ৬√৩/sin৬০°
= ৬√৩/((√৩)/২)
= ৬√৩ × 2/√৩
= ১২ সে.মি.

১৯৮.

ক
10 বর্গমিটার
খ
12 বর্গমিটার
গ
16 বর্গমিটার
ঘ
20 বর্গমিটার

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের ভূমি 8 মিটার এবং উহার দুটি বাহুর প্রতিটি 5 মিটার হলে ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = b/4 {√4(a)² - (b)²}

দেওয়া আছে,
সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের ভূমি, b = 8 মিটার
এবং দুটি বাহুর প্রতিটি, a = 5 মিটার

∴ ক্ষেত্রফল = b/4 {√4(a)² - (b)²}
= 8/4 {√4(5)² - (8)²}
= 2 {√(100 - 64)}
= 2 √36
= 2 × 6
= 12

∴ সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = 12 বর্গমিটার।

১৯৯.

একটি সুষম পঞ্চভুজের কোণগুলোর সমষ্টি কত?

ক
৪ সমকোণ
খ
৫ সমকোণ
গ
৬ সমকোণ
ঘ
৭ সমকোণ

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি সুষম পঞ্চভুজের কোণগুলোর সমষ্টি কত?

সমাধান:
পঞ্চভূজের কোণগুলোর সমষ্টি = (৫ - ২) × ১৮০°
= ৫৪০°
= ৫৪০°/৯০°
= ৬ সমকোণ

২০০.

ΔABC এ D ও E যথাক্রমে AB ও AC এর মধ্যবিন্দু। BC বাহুর দৈর্ঘ্য 12 সে.মি. হলে, DE বাহুর দৈর্ঘ্য কত?

ক
ক) 12 সে.মি.
খ
খ) 6 সে.মি.
গ
গ) 18 সে.মি.
ঘ
ঘ) 9 সে.মি.

ব্যাখ্যা

ΔABC এ D ও E যথাক্রমে AB ও AC এর মধ্যবিন্দু। BC বাহুর দৈর্ঘ্য 12 সে.মি. হলে, DE বাহুর দৈর্ঘ্য কত?

ত্রিভুজের যেকোনো দুই বাহুর মধ্যবিন্দুর সংযোজক রেখাংশ তৃতীয় বাহুর সমান্তরাল এবং দৈর্ঘ্যে তার অর্ধেক।
DE =(1/2)BC
= (1/2) × 12 সে.মি.
= 6 সে.মি.