লগ ইননিবন্ধন
বিষয়সমূহ

PrepBank · বিষয়ভিত্তিক প্রশ্ন

ত্রিভুজ সংক্রান্ত সমস্যা ও সমাধান

মোট প্রশ্ন২,০০৯এই পাতা১০০প্রতি পাতা১০০
প্রশ্ন দেখুনঅনুশীলন
ঘনত্ব
উত্তর
উত্তরিতবর্তমানপুনরায় দেখুনঅসম্পূর্ণ

ত্রিভুজ সংক্রান্ত সমস্যা ও সমাধান

PrepBank · পাতা ১২ / ২০ · ১,১০১–১,২০০ / ২,০০৯

১,১০১.
একটি সমকোণী সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের সমান সমান বাহুর দৈর্ঘ্য ৪ সে.মি. হলে, ক্ষেত্রফল কত?
  1. ক
    ৬ বর্গ সে.মি.
  2. খ
    ৮ বর্গ সে.মি.
  3. গ
    ১৬ বর্গ সে.মি.
  4. ঘ
    ৩২ বর্গ সে.মি.
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি সমকোণী সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের সমান সমান বাহুর দৈর্ঘ্য ৪ সে.মি. হলে, ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
সমকোণী সমদ্বিবাহু সমান সমান ত্রিভুজের বাহুর দৈর্ঘ্য = ৪ সে.মি.

∴ ক্ষেত্রফল = (১/২) × ৪ × ৪
= ৮ বর্গ সে.মি.
১,১০২.
3.5 সেমি, 4.5 সেমি ও 5.5 সেমি ব্যাসার্ধ বিশিষ্ট তিনটি বৃত্ত পরস্পরকে বহিস্পর্শ করলে কেন্দ্র তিনটি দ্বারা উৎপন্ন ত্রিভুজের পরিসীমা কত সেমি?
  1. ক
    ক) 54
  2. খ
    খ) 27
  3. গ
    গ) 13
  4. ঘ
    ঘ) 40.5
ব্যাখ্যা
3.5 সেমি, 4.5 সেমি ও 5.5 সেমি ব্যাসার্ধ বিশিষ্ট তিনটি বৃত্ত পরস্পরকে বহিস্পর্শ করলে
কেন্দ্র তিনটি দ্বারা উৎপন্ন ত্রিভুজের পরিসীমা = 2(3.5 + 4.5 + 5.5) = 27

[ তিনটি বৃত্ত পরস্পরকে বহিস্পর্শ করলে কেন্দ্র তিনটি দ্বারা উৎপন্ন ত্রিভুজের পরিসীমা = 2(ব্যাসার্ধ তিনটির যোগফল) ]
১,১০৩.
সে. মি. এককে নিচের কোন বাহুগুলোর দ্বারা সমকোণী ত্রিভুজ গঠন অসম্ভব?
  1. ক
    ক) 3, 4, 5
  2. খ
    খ) 6, 8, 10
  3. গ
    গ) 2, 4, 8
  4. ঘ
    ঘ) 5, 12, 13
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: সে. মি. এককে নিচের কোন বাহুগুলোর দ্বারা সমকোণী ত্রিভুজ গঠন অসম্ভব?

সমাধান:
আমরা জানি,
সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজ২ = ভূমি২ + লম্ব২
32 + 42 = 52 [যা সমকোণী ত্রিভুজ ]
62 + 82 = 102 [যা সমকোণী ত্রিভুজ ]
52 + 122 = 132 [যা সমকোণী ত্রিভুজ ]
22 + 42 ≠ 82 [যা সমকোণী ত্রিভুজ নয়]

অপশন গ এর বাহুগুলোর দ্বারা সমকোণী ত্রিভুজ গঠন অসম্ভব।
১,১০৪.
একটি সমবাহু ত্রিভুজের প্রত্যেক বাহুর দৈর্ঘ্য 4√3 সে.মি হলে এর ক্ষেত্রফল কত?
  1. ক
    24√3 বর্গ সে.মি.
  2. খ
    48 বর্গ সে.মি.
  3. গ
    16√2 বর্গ সে.মি.
  4. ঘ
    12√3 বর্গ সে.মি.
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি সমবাহু ত্রিভুজের প্রত্যেক বাহুর দৈর্ঘ্য 4√3 সে.মি হলে এর ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে, 
সমবাহু ত্রিভুজের প্রত্যেক বাহুর দৈর্ঘ্য, a = 4√3 সে.মি.

আমরা জানি, 
সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = (√3/4) × a2 বর্গ একক 
= (√3/4) × (4√3)2 বর্গ সে.মি. 
= (√3/4) × (4√3) × (4√3) বর্গ সে.মি.
= 4 × √3 × √3 × √3 বর্গ সে.মি. 
= 4 × √3 × (√3)2 বর্গ সে.মি.
= 12√3 বর্গ সে.মি. 

∴ নির্ণেয় ক্ষেত্রফল = 12√3 বর্গ সে.মি. ।

১,১০৫.
একটি ত্রিভুজের দুটি সন্নিহিত বাহু ৪ সে.মি. ও ৫ সে.মি. এবং এদের অন্তর্ভুক্ত কোণ ৩০° হলে ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল কত?
  1. ক
    ক) ৫ বর্গসে.মি. 
  2. খ
    খ) ১০ বর্গসে.মি. 
  3. গ
    গ) ১৫ বর্গসে.মি.
  4. ঘ
    ঘ) ২০ বর্গসে.মি.
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি ত্রিভুজের দুটি সন্নিহিত বাহু ৪ সে.মি. ও ৫ সে.মি. এবং এদের অন্তর্ভুক্ত কোণ ৩০° হলে ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান: 
ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = (১/২) × ৪ × ৫ × sin৩০° 
= (১/২) × ২০ × (১/২)
=  ৫ বর্গসে.মি. 
১,১০৬.
ত্রিভুজের তিন কোণের সমদ্বিখণ্ডকগুলো যে বিন্দুতে ছেদ করে তাকে বলে -
  1. ক
    অন্তঃকেন্দ্র:
  2. খ
    পরিকেন্দ্র:
  3. গ
    ভরকেন্দ্র:
  4. ঘ
    লম্বকেন্দ্র:
ব্যাখ্যা
অন্তঃকেন্দ্র:
ত্রিভুজের তিন কোণের সমদ্বিখণ্ডকগুলো যে বিন্দুতে ছেদ করে তাকে অন্তঃকেন্দ্র বলে।

পরিকেন্দ্র:
ত্রিভুজের যেকোন দুই বাহুর লম্বদ্বিখন্ডক যে বিন্দুতে ছেদ করে তাকে ত্রিভুজের পরিকেন্দ্র বলে।
আবার, 
কোনো ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দু দিয়ে অংকিত বৃত্তকে বলে পরিবৃত্ত এবং বৃত্তের কেন্দ্রকে বলে পরিকেন্দ্র। 

ভরকেন্দ্র:
 ত্রিভুজের মধ্যমাত্রয়ের ছেদবিন্দুকে ভরকেন্দ্র বলে।
১,১০৭.
সমবাহু ত্রিভুজের একটি বাহুকে উভয় দিকে বর্ধিতকরলে উৎপন্ন বহিঃস্থ কোণদ্বয়ের বিয়োগফল কত?
  1. ক
    ক) ১২০°
  2. খ
    খ) ০°
  3. গ
    গ) ১৩৫°
  4. ঘ
    ঘ) ৪৫°
ব্যাখ্যা
আমরা জানি,
সমবাহু ত্রিভুজের প্রত্যেকটি কোণের মান 60°।
সুতরাং একটি বাহুকে উভয়দিকে বর্ধিত করলে উৎপন্ন বহিঃস্থ কোণ উভয় পাশে 180° - 60° = 120°।
সুতরাং বহিঃস্থ কোণ দুটির বিয়োগফল = 120°-120° = 0°
১,১০৮.
x + y - 1 = 0 রেখাটি অক্ষদ্বয়ের সাথে যে ত্রিভূজ গঠিত হয় সেই ত্রিভূজটি-
  1. ক
    ক) সমবাহু
  2. খ
    খ) সমদ্বিবাহু
  3. গ
    গ) বিষমবাহু
  4. ঘ
    ঘ) সুক্ষকোণী
ব্যাখ্যা

প্রদত্তরেখাটি x + y - 1 = 0
বা, x + y = 1
বা, x/1 + y/1 = 1
∴ OA = 1,
OB = 1 ফলে
OA = OB
∴ ΔOAB সমদ্বিবাহু ত্রিভূজ।

১,১০৯.
সমকোণী ত্রিভুজের ভূমি অপেক্ষা অতিভুজ 3 সে.মি. বড়, কিন্তু লম্ব, ভুমি অপেক্ষা 3 সে.মি. ছোট হলে ত্রিভুজটির লম্ব কত?
  1. ক
    ক) 6 সে.মি.
  2. খ
    খ) 9 সে.মি.
  3. গ
    গ) 12 সে.মি.
  4. ঘ
    ঘ) 15 সে.মি.
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: সমকোণী ত্রিভুজের ভূমি অপেক্ষা অতিভুজ 3 সে.মি. বড়, কিন্তু লম্ব, ভুমি অপেক্ষা 3 সে.মি. ছোট হলে ত্রিভুজটির লম্ব কত?

সমাধান:
ধরি,
ত্রিভুজের ভূমি = x সে.মি.
ত্রিভুজের লম্ব = (x - 3) সে.মি.
ত্রিভুজের অতিভুজ = (x + 3) সে.মি.

পীথাগোরাসের উপপাদ্য হতে পাই,
 x2 + (x - 3)2 = (x + 3)2 
বা, x2 + x2 - 6x + 9 = x2 + 6x + 9
বা, 2x2 - 6x + 9 - x2 - 6x - 9 = 0
বা, x2 - 12x = 0
বা, x(x - 12) = 0

হয়, x = 0 [গ্রহণ যোগ্য নয়, কেননা অতিভুজ কখনও 0 বা ঋণাত্বক হতে পারে না]

অথবা, x - 12 = 0
∴ x = 12

ত্রিভুজের লম্ব = (x - 3) সে.মি.
= (12 - 3) সে.মি.
= 9 সে.মি.
১,১১০.
একটি সমবাহু ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দু থেকে ভর কেন্দ্রের দূরত্ব 10 সে.মি. হলে ত্রিভুজটির মধ্যমা কত?
  1. ক
    10 সে.মি.
  2. খ
    15 সে.মি.
  3. গ
    16 সে.মি.
  4. ঘ
    20 সে.মি.
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি সমবাহু ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দু থেকে ভর কেন্দ্রের দূরত্ব 10 সে.মি. হলে ত্রিভুজটির মধ্যমা কত?

সমাধান:

আমরা জানি,
ত্রিভুজের মধ্যমাত্রয় যে বিন্দুতে মিলিত হয় থাকে ঐ ত্রিভুজের ভরকেন্দ্র বলে।
∴ XE : EF = 2 : 1
⇒ 10 : EF = 2 : 1
⇒ 10/EF = 2/1
⇒ 2EF = 10
⇒ EF = 5

∴ ত্রিভুজটির মধ্যমা XF = XE + EF = 10 + 5 = 15 সে.মি.

১,১১১.
একটি ত্রিভুজের তিনটি বাহুর দৈর্ঘ্য যথাক্রমে 7 সে.মি. ৪ সে.মি. ও 9 সে.মি.। এর ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর ৷
  1. ক
    ক) 25.48 বর্গ সে.মি.
  2. খ
    খ) 25.98 বর্গ সে.মি.
  3. গ
    গ) 26.83 বর্গ সে.মি.
  4. ঘ
    ঘ) 27.95 বর্গ সে.মি.
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি ত্রিভুজের তিনটি বাহুর দৈর্ঘ্য যথাক্রমে 7 সে.মি. ৪ সে.মি. ও 9 সে.মি.। এর ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর ৷

সমাধান:
মনে করি,
ত্রিভুজটির বাহুগুলোর দৈর্ঘ্য যথাক্রমে a = 7 সে.মি., b = ৪ সে.মি. ও c = 9 সে.মি.।
অর্ধ -পরিসীমা s = (a + b + c)/2
 = (7 + 8 + 9)/2
= 24/2 সে.মি.
= 12 সে.মি.

ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = √{s( s - a)( s - b) (s - c)}
= √{12(12 - 7)(12 - 8)(12 - 9)} বর্গ সে.মি.
= √(12 × 5 × 4 × 3) বর্গ সে.মি.
= √720 বর্গ সে.মি. 
= 26.83 বর্গ সে.মি. 
১,১১২.
একটি সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজের দৈর্ঘ্য 7 মিটার এবং একটি বাহুর দৈর্ঘ্য 2√6 মিটার। অপর বাহুর দৈর্ঘ্য কত?
  1. ক
    4√6 মিটার
  2. খ
    5 মিটার
  3. গ
    11 মিটার
  4. ঘ
    14 মিটার
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজের দৈর্ঘ্য 7 মিটার এবং একটি বাহুর দৈর্ঘ্য 2√6 মিটার। অপর বাহুর দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
ধরি,
অপর বাহুর দৈর্ঘ্য a মিটার

পিথাগোরাসের সূত্র অনুযায়ী,
(2√6)2 + a2 = 72 
⇒ 24 + a2 = 49
⇒ a2 = 49 - 24
⇒ a2 = 25
∴ a = 5

∴ অপর বাহুর দৈর্ঘ্য 5 মিটার

১,১১৩.
সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের সমান সমান বাহুর দৈর্ঘ্য 50 সে. মি. এবং এর ক্ষেত্রফল 1,200 বর্গ সে. মি. হলে সমান সমান বাহুর মধ্যবর্তী কোণ = কত?
  1. ক
    ক) 74.73 ডিগ্রী
  2. খ
    খ) 63.74 ডিগ্রী
  3. গ
    গ) 65.74 ডিগ্রী
  4. ঘ
    ঘ) 73.74 ডিগ্রী
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের সমান সমান বাহুর দৈর্ঘ্য 50 সে. মি. এবং এর ক্ষেত্রফল 1,200 বর্গ সে. মি. হলে সমান সমান বাহুর মধ্যবর্তী কোণ = কত?

সমাধান: 
আমরা জানি,
ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = (1/2)absinθ

দেয়া আছে 
সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের সমান সমান বাহুর দৈর্ঘ্য a = b = 50 সে. মি.
সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = 1,200 বর্গ সে. মি.

প্রশ্নমতে,
(1/2)absinθ = 1200
(1/2) × 50 × 50 × sinθ = 1200
25 × 50 × sinθ = 1200
sinθ =1200/1250
sinθ =0.96
sinθ =sin73.73°
θ = 73.73°
১,১১৪.

প্রদত্ত চিত্রে d এর মান কত? 
  1. ক
    ক) 8 m
  2. খ
    খ) 10 m
  3. গ
    গ) 4 m
  4. ঘ
    ঘ) 2 m
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন:

প্রদত্ত চিত্রে d এর মান কত? 

সমাধান: 
BC2 =AB2 +AC2
⇒ (4d + d)2 = 62 + 82 
⇒ 25d2 = 36 + 64
⇒ 25d2 = 100
⇒ d2 = 4
∴ d = 2 
১,১১৫.
একটি ত্রিভুজের প্রত্যেক বাহুর দৈর্ঘ্য ১০ মিটার হলে, ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল কত?
  1. ক
    ২৫√৩ বর্গমিটার
  2. খ
    ৩৫√৩ বর্গমিটার
  3. গ
    ২৪√৩ বর্গমিটার
  4. ঘ
    ১৮√৩ বর্গমিটার
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি ত্রিভুজের প্রত্যেক বাহুর দৈর্ঘ্য ১০ মিটার হলে, ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
সমবাহু ত্রিভুজের বাহুর দৈর্ঘ্য a = ১০ মিটার

আমরা জানি,
সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = (√৩/৪) × a২ বর্গ একক
= (√৩/৪) × ১০২
= (√৩/৪) × ১০০
= ২৫√৩ বর্গমিটার

সুতরাং, ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল = ২৫√৩ বর্গমিটার

১,১১৬.
সমকোণী ত্রিভুজের ভূমি ও উচ্চতা যথাক্রমে ৬ সে.মি. এবং ৮ সে.মি.। ত্রিভুজের অতিভুজ নিচের কোনটি?
  1. ক
    ক) ১০ সে.মি.
  2. খ
    খ) ১৪ সে.মি.
  3. গ
    গ) ২√৭ সে.মি.
  4. ঘ
    ঘ) ১১ সে.মি.
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: সমকোণী ত্রিভুজের ভূমি ও উচ্চতা যথাক্রমে ৬ সে.মি. এবং ৮ সে.মি.। ত্রিভুজের অতিভুজ নিচের কোনটি?

সমাধান: 
আমরা জানি,
সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজের উপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্র এর অপর দুই বাহুর উপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফলের সমষ্টির সমান।

সুতরাং,
অতিভুজ = √(৬২ + ৮২) সে.মি.
= √(৩৬ + ৬৪) সে.মি.
= √১০০ সে.মি.
= ১০ সে.মি.
১,১১৭.
একটি ত্রিভুজাকৃতি জমির ক্ষেত্রফল ২৬৪ বর্গমিটার এবং ভূমি ২২ মিটার হলে উচ্চতা কত হবে? 
  1. ক
    ১২ মিটার
  2. খ
    ১৮ মিটার
  3. গ
    ২৪ মিটার
  4. ঘ
    ২৮ মিটার
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি ত্রিভুজাকৃতি জমির ক্ষেত্রফল ২৬৪ বর্গমিটার এবং ভূমি ২২ মিটার হলে উচ্চতা কত হবে? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
ত্রিভুজাকৃতি জমির ক্ষেত্রফল = ২৬৪ বর্গমিটার
ত্রিভুজাকৃতি জমির ভূমি = ২২ মিটার 
ত্রিভুজাকৃতি জমির উচ্চতা = ? 

আমরা জানি, 
ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = ১/২ (ভূমি × উচ্চতা) 
বা, ২৬৪ = ১/২ × (২২ × উচ্চতা) 
বা, ২২ × উচ্চতা = (২৬৪ × ২) 
বা, উচ্চতা = (২৬৪ × ২)/১১
∴ উচ্চতা = ২৪ 

∴ ত্রিভুজাকৃতি জমির উচ্চতা = ২৪ মিটার।
১,১১৮.
একটি সমবাহু ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দু থেকে ভর কেন্দ্রের দূরত্ব 10 সে.মি. হলে ত্রিভুজটির মধ্যমা কত?
  1. ক
    15 সে.মি.
  2. খ
    20 সে.মি.
  3. গ
    25 সে.মি.
  4. ঘ
    30 সে.মি.
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি সমবাহু ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দু থেকে ভর কেন্দ্রের দূরত্ব 10 সে.মি. হলে ত্রিভুজটির মধ্যমা কত?

সমাধান:

আমরা জানি,
ত্রিভুজের মধ্যমাত্রয় যে বিন্দুতে মিলিত হয় থাকে ঐ ত্রিভুজের ভরকেন্দ্র বলে।
∴ XE : EF = 2 : 1
⇒ 10 : EF = 2 : 1
⇒ 10/EF = 2/1
⇒ 2EF = 10
⇒ EF = 5

∴ ত্রিভুজটির মধ্যমা XF = XE + EF = 10 + 5 = 15 সে.মি.
১,১১৯.
সমবাহু ত্রিভুজের বাহুর দৈর্ঘ্য যদি 6 মিটার হয়, তবে এর ক্ষেত্রফল কত?
  1. ক
    ক) √3/4 92
  2. খ
    খ) 81√3
  3. গ
    গ) 9
  4. ঘ
    ঘ) √243
ব্যাখ্যা

সমবাহু ত্রিভুজের বাহুর দৈর্ঘ্য m মি. হলে এর ক্ষেত্রফল = √3/4 m2 
= √3/4 × 62
= 9√3 = √81 × √3
= √243

১,১২০.
একটি সমকোণী সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের অতিভুজের মান ৪√২ মিটার হলে, এর ক্ষেত্রফল কত বর্গমিটার?
  1. ক
    ৮√২ বর্গ মি.
  2. খ
    ৩২ বর্গ মি.
  3. গ
    ৮ বর্গ মি.
  4. ঘ
    ১৬ বর্গ মি.
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি সমকোণী সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের অতিভুজের মান ৪√২ মিটার হলে, এর ক্ষেত্রফল কত বর্গমিটার?

সমাধান:
ধরি, সমান বাহু ক ।
ক২ + ক২ =  (৪√২)২
⇒ ২ক২ = ৩২
⇒ ক২  = ১৬ 
∴ ক = ৪

∴ ক্ষেত্রফল = (১/২) × ৪ × ৪ 
= ৮ বর্গ মি.
১,১২১.
সমবাহু ত্রিভুজের বাহুর দৈর্ঘ্য ৮ মিটার হলে ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল হবে-
  1. ক
    ৪√৩ বর্গমিটার
  2. খ
    ১৬√৩ বর্গমিটার
  3. গ
    ৩২√৩ বর্গমিটার
  4. ঘ
    ৬৪√৩ বর্গমিটার
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: সমবাহু ত্রিভুজের বাহুর দৈর্ঘ্য ৮ মিটার হলে ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল হবে-

সমাধান: 
সমবাহু ত্রিভুজের বাহুর দৈর্ঘ্য a হলে,
ক্ষেত্রফল = (√৩/৪)×a২

∴ ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = (√৩/৪) × a২ 
= (√৩/৪) × (৮)২ 
= (√৩/৪) × ৮ × ৮
= ১৬√৩ 

∴ ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল = ১৬√৩ বর্গমিটার। 
১,১২২.
শুধু পরিসীমা দেয়া থাকলে কোন ত্রিভুজ আঁকা সম্ভব?
  1. ক
    সমবাহু ত্রিভুজ
  2. খ
    সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ
  3. গ
    বিষমবাহু ত্রিভুজ
  4. ঘ
    সবগুলো
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: শুধু পরিসীমা দেয়া থাকলে কোন ত্রিভুজ আঁকা সম্ভব?

সমাধান:
পরিসীমাকে ৩ দিয়ে ভাগ করে সমবাহু ত্রিভুজের বাহুর দৈর্ঘ্য পাওয়া যায়।

∴ শুধু পরিসীমা দেয়া থাকলে সমবাহু ত্রিভুজ আঁকা সম্ভব।
১,১২৩.
সমবাহু ত্রিভুজের প্রত্যেক বাহুর দৈর্ঘ্য ১ মিটার বাড়ালে ক্ষেত্রফল ৩√৩ বর্গ মিটার বেড়ে যায়। ত্রিভুজটির বাহুর দৈর্ঘ্য কত? 
  1. ক
    ৫.৫ মিটার
  2. খ
    ৫.০ মিটার
  3. গ
    ৩.৫ মিটার
  4. ঘ
    ৪.৮ মিটার 
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: সমবাহু ত্রিভুজের প্রত্যেক বাহুর দৈর্ঘ্য ১ মিটার বাড়ালে ক্ষেত্রফল ৩√৩ বর্গ মিটার বেড়ে যায়। ত্রিভুজটির বাহুর দৈর্ঘ্য কত? 

সমাধান: 
মনে করি, 
সমবাহু ত্রিভুজের প্রত্যেক বাহুর দৈর্ঘ্য = a মিটার
∴ ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল = (√৩/৪‍)a২ বর্গ মিটার
আবার,
ত্রিভুজের প্রত্যেক বাহুর দৈর্ঘ্য ১ মিটার বাড়ালে ক্ষেত্রফল= (√৩/৪)(a + ১)২ বর্গ মিটার 

প্রশ্নমতে, 
(√৩/৪)(a + ১)২ - (√৩/৪‍)a২ = ৩√৩ 
বা, a২ + ২a + ১ - a২ = ১২
বা, ২a + ১ = ১২
বা, ২a = ১২ - ১ 
বা, ২a = ১১
বা, a = ১১/২ 
∴ a = ৫.৫

∴ ত্রিভুজটির বাহুর দৈর্ঘ্য = ৫.৫ মিটার। 

১,১২৪.
একই ভূমির উপর অঙ্কিত একটি ত্রিভুজ ও একটি সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল সমান। সামান্তরিকের উচ্চতা 100 সেমি হলে ত্রিভুজের উচ্চতা কত?
  1. ক
    ক) 100 সেমি
  2. খ
    খ) 50 সেমি
  3. গ
    গ) 200 সেমি
  4. ঘ
    ঘ) 75 সেমি
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একই ভূমির উপর অঙ্কিত একটি ত্রিভুজ ও একটি সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল সমান। সামান্তরিকের উচ্চতা 100 সেমি হলে ত্রিভুজের উচ্চতা কত?

সমাধান:
মনে করি,
ত্রিভুজের উচ্চতা = h সেমি
ত্রিভুজ ও সামান্তরিকের ভূমি = x সেমি

শর্তমতে,
1/2 × h × x = x × 100
⇒ h = 100 × 2
⇒ h = 200
১,১২৫.
কোন ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দু হতে বিপরীত বাহুর মধ্যবিন্দুর উপর অঙ্কিত রেখাকে ঐ ত্রিভুজের কি বলা হয়?
  1. ক
    ক) সমদ্বিখণ্ডক
  2. খ
    খ) অভিভুজ
  3. গ
    গ) লম্ব
  4. ঘ
    ঘ) মধ্যমা
ব্যাখ্যা
ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দু থেকে এর ভূমির উপর অঙ্কিত লম্বের দৈর্ঘ্যকে ঐ ত্রিভুজের উচ্চতা বলে এবং কোনো ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দু থেকে বিপরীত বাহুর মধ্যবিন্দুর দৈর্ঘ্যকে বলা হয় ঐ ত্রিভুজের মধ্যমা।
১,১২৬.
ABC ত্রিভুজের ∠A = 3x, ∠B = 4x, এবং ∠C = 5x হলে ∠B এর মান কত?
  1. ক
    ক) 30°
  2. খ
    খ) 45°
  3. গ
    গ) 60°
  4. ঘ
    ঘ) 90°
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন- ABC ত্রিভুজের ∠A = 3x, ∠B = 4x, এবং ∠C = 5x হলে ∠B এর মান কত?

সমাধান-
প্রশ্নমতে,
3x + 4x + 5x= 180
⇒ 12x = 180
⇒ x = 15

∠B = 4 × 15 = 60°
১,১২৭.
একটি সমবাহু ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দু থেকে ভর কেন্দ্রের দূরত্ব 18 সে.মি. হলে ত্রিভুজটির মধ্যমা কত?
  1. ক
    21 সে.মি.
  2. খ
    27 সে.মি.
  3. গ
    30 সে.মি.
  4. ঘ
    34 সে.মি.
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি সমবাহু ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দু থেকে ভর কেন্দ্রের দূরত্ব 18 সে.মি. হলে ত্রিভুজটির মধ্যমা কত?

সমাধান:

ত্রিভুজের মধ্যমাত্রয় যে বিন্দুতে মিলিত হয় থাকে ঐ ত্রিভুজের ভরকেন্দ্র বলে।
∴ XE : EF = 2 : 1
⇒ 18 : EF = 2 : 1
⇒ 18/EF = 2/1
⇒ 2EF = 18
⇒ EF = 9

∴ ত্রিভুজটির মধ্যমা XF = XE + EF = 18 + 9 = 27 সে.মি.
১,১২৮.
একটি সমকোণী ত্রিভুজের সূক্ষ্মকোণদ্বয়ের পার্থক্য 40° হলে, ক্ষুদ্রতম কোণটি কত?
  1. ক
    35°
  2. খ
    20°
  3. গ
    25°
  4. ঘ
    18°
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি সমকোণী ত্রিভুজের সূক্ষ্মকোণদ্বয়ের পার্থক্য 40° হলে, ক্ষুদ্রতম কোণটি কত?

সমাধান:
ধরি, ক্ষুদ্রতম কোণ = x°
বৃহত্তর কোণ = (x + 40)°

আমরা জানি, সমকোণী ত্রিভুজের সূক্ষ্মকোণদ্বয়ের সমষ্টি 90°

প্রশ্নমতে,
x + (x + 40) = 90
বা, 2x + 40 = 90
বা, 2x = 90 - 40
বা, 2x = 50
বা, x = 50/2
∴ x = 25
সুতরাং, ক্ষুদ্রতম কোণটি হলো 25°।

১,১২৯.
ABC একটি ত্রিভুজ। D ও E যথাক্রমে ত্রিভুজটির AB ও AC বাহুর মধ্যবিন্দু।  BC = 18 সে.মি. হলে, DE এর মান কত? 
  1. ক
    ক) 9 সে.মি
  2. খ
    খ) 4.5 সে.মি
  3. গ
    গ) 12 সে.মি
  4. ঘ
    ঘ) 36 সে.মি
ব্যাখ্যা
ABC একটি ত্রিভুজ। D ও E যথাক্রমে ত্রিভুজটির AB ও AC বাহুর মধ্যবিন্দু।  BC = 18 সে.মি. হলে, DE এর মান কত? 


ত্রিভুজের যেকোনাে দুই বাহুর মধ্যবিন্দুর সংযােজক রেখাংশ তৃতীয় বাহুর সমান্তরাল এবং দৈর্ঘ্যে তার অর্ধেক।
ABC একটি ত্রিভুজ। D ও E যথাক্রমে ত্রিভুজটির AB ও AC বাহুর মধ্যবিন্দু।
DE = (1/2)BC 
= (1/2) × 18 
=  9 সে.মি
১,১৩০.
একটি সমবাহু ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দু থেকে ভর কেন্দ্রের দূরত্ব 6 সে.মি. হলে ত্রিভুজটির মধ্যমা কত?
  1. ক
    3 সে.মি.
  2. খ
    6 সে.মি.
  3. গ
    7 সে.মি.
  4. ঘ
    9 সে.মি.
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি সমবাহু ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দু থেকে ভর কেন্দ্রের দূরত্ব 6 সে.মি. হলে ত্রিভুজটির মধ্যমা কত?

সমাধান:

ত্রিভুজের মধ্যমাত্রয় যে বিন্দুতে মিলিত হয় থাকে ঐ ত্রিভুজের ভরকেন্দ্র বলে। 
∴ XE : EF = 2 : 1
বা, 6 : EF = 2 : 1
বা, 6/EF = 2/1
বা, 2EF = 6
∴ EF = 3

∴  ত্রিভুজটির মধ্যমা XF = XE + EF = 6 + 3 = 9 সে.মি.।
১,১৩১.
একটি সমকোণী ত্রিভুজের ভূমি ৫ মিটার ও অতিভুজ ১৩ মিটার হলে ত্রিভুজটির পরিসীমা কত?
  1. ক
    ২৮ মিটার
  2. খ
    ৩০ মিটার
  3. গ
    ৩৫ মিটার
  4. ঘ
    ৩৩ মিটার
ব্যাখ্যা

আমরা জানি, সমকোণী ত্রিভুজের ক্ষেত্রে,
অতিভুজ২ = লম্ব২ + ভূমি২
বা, ১৩২ = লম্ব২ + ৫২
বা, লম্ব২ + ৫২ = ১৩২
বা, লম্ব২ = ১৩২ - ৫২
বা, লম্ব২ = ১৬৯ - ২৫
বা, লম্ব২ = ১৪৪
বা, লম্ব২ = (১২)২
বা, লম্ব = ১২
সুতরাং, সমকোণী ত্রিভুজটির পরিসীমা = ৫ + ১২ + ১৩
= ৩০ মিটার।

১,১৩২.
একটি সমবাহু ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দু থেকে ভর কেন্দ্রের দূরত্ব ৮ সে.মি. হলে ত্রিভুজটির মধ্যমা কত?
  1. ক
    ৮ সে.মি.
  2. খ
    ১০ সে.মি.
  3. গ
    ১২ সে.মি.
  4. ঘ
    ১৪ সে.মি.
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি সমবাহু ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দু থেকে ভর কেন্দ্রের দূরত্ব ৮ সে.মি. হলে ত্রিভুজটির মধ্যমা কত?
 
সমাধান:
ত্রিভুজের মধ্যমাত্রয় যে বিন্দুতে মিলিত হয় থাকে ঐ ত্রিভুজের ভরকেন্দ্র বলে। 
∴ XE : EF = 2 : 1
⇒ 8 : EF = 2 : 1
⇒  8/EF = 2/1
⇒ 2EF = 8
⇒ EF = 4
 
∴  ত্রিভুজটির মধ্যমা XF = XE + EF = 8 + 4 = 12 সে.মি.
১,১৩৩.
একটি ত্রিভুজাকৃতি ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল 126 বর্গগজ। ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দু হতে ভূমির উপর অঙ্কিত লম্বের দৈর্ঘ্য 14 গজ হলে, ভূমির দৈর্ঘ্য কত? 
  1. ক
    12 গজ
  2. খ
    15 গজ
  3. গ
    18 গজ
  4. ঘ
    24 গজ
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি ত্রিভুজাকৃতি ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল 126 বর্গগজ। ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দু হতে ভূমির উপর অঙ্কিত লম্বের দৈর্ঘ্য 14 গজ হলে, ভূমির দৈর্ঘ্য কত?
 
সমাধান: 
আমরা জানি, 
ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = (1/2) × ভূমি × উচ্চতা 
= (1/2) × ভূমি × 14 
= 7 × ভূমি 
 
প্রশ্নমতে, 
7 × ভূমি = 126
বা, ভূমি = 126/7 
∴ ভূমি = 18 গজ 

∴ ভূমির দৈর্ঘ্য = 18 গজ । 

১,১৩৪.
ΔABC এর AB এবং AC এর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে E, F হলে < ABC = ?
  1. ক
    ক) ∠ACB
  2. খ
    খ) ∠BAC
  3. গ
    গ) ∠AEF
  4. ঘ
    ঘ) ∠AFE
ব্যাখ্যা

ΔABC-এ,
BC||EF
এবং AEB ছেদক
∴ ∠ABC অনুরুপ কোণ ∠AEF

১,১৩৫.
একটি সমদ্বিবাহু সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজের দৈর্ঘ্য 12 সে.মি. হলে ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল কত বর্গ সে.মি.।
  1. ক
    ক) 36
  2. খ
    খ) 48
  3. গ
    গ) 56
  4. ঘ
    ঘ) 72
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি সমদ্বিবাহু সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজের দৈর্ঘ্য 12 সে.মি. হলে ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল কত বর্গ সে.মি.।

সমাধান: 
ধরি,
সমদ্বিবাহু সমকোণী ত্রিভুজের সমান বাহুর দৈর্ঘ্য a সে.মি.

পিথাগোরাসের উপপাদ্য হতে পাই,
a2 + a2 = 122
বা, 2a2 = 144
বা, a2 = 72

এখন,
ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = (1/2) × a × a 
= (1/2)a2
= (1/2) × 72
= 36 বর্গ সে.মি.
১,১৩৬.
একটি সমকোণী সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের লম্বের দৈর্ঘ্য ৮ মিটার হলে, ভূমির দৈর্ঘ্য কত?
  1. ক
    ৮ মিটার
  2. খ
    ৬ মিটার
  3. গ
    ১০ মিটার
  4. ঘ
    ১৬ মিটার
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি সমকোণী সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের লম্বের দৈর্ঘ্য ৮ মিটার হলে, ভূমির দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:

সমকোণী সমদ্বিবাহু ত্রিভুজে লম্ব ও ভূমির মান সমান। 
∴ ভূমির দৈর্ঘ্য হবে ৮ মিটার

১,১৩৭.
সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের সমান সমান বাহুদ্বয় বর্ধিত করলে উৎপন্ন কি বলে? 
  1. ক
    ক) স্থুলকোণ
  2. খ
    খ) সূক্ষ্মকোণ
  3. গ
    গ) সমকোণ
  4. ঘ
    ঘ) বিপ্রতীপকোণ
ব্যাখ্যা
ত্রিভুজ সংক্রান্ত কিছু অনুসিদ্ধান্তঃ
১) ত্রিভুজের একটি বাহুকে বর্ধিত করলে যে বহিঃস্থ কোণ উৎপন্ন হয়, তা এর বিপরীত অন্তঃস্থ কোণদ্বয়ের সমষ্টির সমান।
২) সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের সমান বাহুদ্বয় বর্ধিত করলে উৎপন্ন কোণদ্বয় স্থুল কোণ হবে।
৩) সমবাহু ত্রিভুজের একটি বাহুকে উভয়দিকে বর্ধিত করলে উৎপন্ন বহিঃস্থ কোণদ্বয় পরস্পর সমান হবে।
১,১৩৮.
When base is 12 inch and height is 8 inch of a triangle, its area :
  1. ক
    ক) 96 sq-in
  2. খ
    খ) 48 sq-in
  3. গ
    গ) 48 in
  4. ঘ
    ঘ) 40 in
ব্যাখ্যা
Question: When base is 12 inch and height is 8 inch of a triangle, its area :

Solution: 
আমরা জানি 
ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = (1/2) × ভূমি × উচ্চতা 
= (1/2) × 12 × 8 বর্গ ইঞ্চি 
= 48 বর্গ ইঞ্চি 
১,১৩৯.
প্রদত্ত চিত্রে কতটি ত্রিভুজ আছে?
  1. ক
    11টি
  2. খ
    12টি
  3. গ
    13টি
  4. ঘ
    14টি
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: প্রদত্ত চিত্রে কতটি ত্রিভুজ আছে?

সমাধান:
প্রদত্ত চিত্রে ত্রিভুজ আছে = 1,2,4,7,6, 25, 47,54, 67, 256, 347 = 11টি
১,১৪০.
কোন ত্রিভুজের বাহুগুলোর অনুপাত নিচের কোনটি হলে একটি সমকোণী ত্রিভুজ আঁকা সম্ভব?
  1. ক
    ক) ৬৫ঃ৬৪ঃ১৬
  2. খ
    খ) ৬৫ঃ৬৪ঃ১৫
  3. গ
    গ) ৬৫ঃ৬৩ঃ১৬
  4. ঘ
    ঘ) ৬৫ঃ৬২ঃ১৬
ব্যাখ্যা
৬৫২ = ৬৩২ + ১৬২; ফলে ত্রিভুজটি সমকোণী।
১,১৪১.
একটি ত্রিভুজের দুইটি বাহুর মধ্যবিন্দুর সংযোজক রেখাংশ তৃতীয় বাহুর অর্ধেক এবং সমান্তরাল। যদি তৃতীয় বাহুর দৈর্ঘ্য ১৮ সে.মি. হয়, তবে সংযোজক রেখাংশের দৈর্ঘ্য কত?
  1. ক
    ৩৬ সে.মি.
  2. খ
    ৯ সে.মি.
  3. গ
    ২৭ সে.মি.
  4. ঘ
    ২১ সে.মি.
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি ত্রিভুজের দুইটি বাহুর মধ্যবিন্দুর সংযোজক রেখাংশ তৃতীয় বাহুর অর্ধেক এবং সমান্তরাল। যদি তৃতীয় বাহুর দৈর্ঘ্য ১৮ সে.মি. হয়, তবে সংযোজক রেখাংশের দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
ত্রিভুজের মধ্যবিন্দু উপপাদ্য,
একটি ত্রিভুজের যেকোনো দুইটি বাহুর মধ্যবিন্দুকে যুক্ত করলে যে রেখাংশ পাওয়া যায়, সেটি তৃতীয় বাহুর সমান্তরাল এবং তার অর্ধেক দৈর্ঘ্যের হয়।

দেওয়া আছে,
তৃতীয় বাহুর দৈর্ঘ্য = ১৮ সে.মি.
সুতরাং, সংযোজক রেখাংশের দৈর্ঘ্য = তৃতীয় বাহুর অর্ধেক = ১৮ ÷ ২ = ৯ সে.মি. 

১,১৪২.
একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের ভূমি ৩২ মি. এবং অপর দুইটি বাহুর প্রতিটি ২০ মি. হলে ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল কত?
  1. ক
    ১৬৪ বর্গমিটার
  2. খ
    ২৬৪ বর্গমিটার
  3. গ
    ২০০ বর্গমিটার
  4. ঘ
    ১৯২ বর্গমিটার
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের ভূমি ৩২ মি. এবং অপর দুইটি বাহুর প্রতিটি ২০ মি. হলে ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
ভূমি, b = ৩২ মি. 
সমান সমান বাহুর দৈর্ঘ্য, a = ২০ মি.

আমরা জানি,
সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = (b/৪)√(৪a২ - b২)
= (৩২/৪)√{৪ × (২০)২ - (৩২)২}
= ৮{√(১৬০০ - ১০২৪)}
= ৮√৫৭৬
= ৮ × ২৪
= ১৯২ বর্গমিটার
১,১৪৩.
একটি সমবাহু ত্রিভুজের বাহুর প্রত্যেকটির দৈর্ঘ্য 2 মিটার বাড়ালে এর ক্ষেত্রফল 3√3 বর্গমিটার বেড়ে যায়। সমবাহু ত্রিভুজের পরিসীমা কত?
  1. ক
    2 মিটার 
  2. খ
    4 মিটার 
  3. গ
    6 মিটার 
  4. ঘ
    8 মিটার 
ব্যাখ্যা
মনেকরি,
সমবাহু ত্রিভুজের প্রত্যেক বাহুর দৈর্ঘ্য a মিটার
ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল = √3a2/4
ত্রিভুজের প্রত্যেক বাহুর দৈর্ঘ্য 2 মিটার বাড়ালে ক্ষেত্রফল= √3(a + 2)2/4

প্রশ্নমতে,
√3(a + 2)2/4 - √3a2/4= 3√3
a2 + 4a + 4 - a2 = 12
4a + 4 = 12
4a = 8
a = 2

 সমবাহু ত্রিভুজের  পরিসীমা = 3 × 2= 6 মিটার
১,১৪৪.
যেকোনো শীর্ষবিন্দু হতে বিপরীত বাহু এর লম্ব-দূরত্বই ত্রিভুজের-
  1. ক
    পরিসীমা
  2. খ
    ত্রিভুজক্ষেত্র
  3. গ
    উচ্চতা
  4. ঘ
    শীর্ষবিন্দু
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: যেকোনো শীর্ষবিন্দু হতে বিপরীত বাহু এর লম্ব-দূরত্বই ত্রিভুজের-

সমাধান:
• যেকোনো শীর্ষবিন্দু হতে বিপরীত বাহু এর লম্ব-দূরত্বই ত্রিভুজের উচ্চতা।
- ত্রিভুজের বাহু তিনটির দৈর্ঘ্যের সমষ্টিকে পরিসীমা বলে।
- ত্রিভুজের বাহুগুলো দ্বারা সীমাবদ্ধ ক্ষেত্রকে ত্রিভুজক্ষেত্র বলে।
- যেকোনো দুইটি বাহুর সাধারণ বিন্দুকে শীর্ষবিন্দু বলা হয়।
১,১৪৫.
সমকোণী ত্রিভুজের একটি কোণ 90° হলে, অপর দুটি কোণের সমষ্টির অর্ধেক কত? 
  1. ক
    30°
  2. খ
    45°
  3. গ
    60°
  4. ঘ
    90°
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: সমকোণী ত্রিভুজের একটি কোণ 90° হলে, অপর দুটি কোণের সমষ্টির অর্ধেক কত? 

সমাধান: 
আমরা জানি, 
ত্রিভুজের তিন কোণের সমষ্টি = 180° 
বা, 90° + 2 কোণ = 180°
বা, 2 কোণ = 180° - 90°
বা, 2 কোণ = 90°
বা, কোণ = 90°/2
∴ কোণ = 45°
১,১৪৬.
একটি সমবাহু ত্রিভুজের বাহুর দৈর্ঘ্য ৬ সে.মি. এবং উচ্চতা x সে.মি. হলে, x এর মান কোনটি?
  1. ক
    ক) ৩√৩
  2. খ
    খ) √৩
  3. গ
    গ) ৬√২
  4. ঘ
    ঘ) ৯√৩
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি সমবাহু ত্রিভুজের বাহুর দৈর্ঘ্য ৬ সে.মি. এবং উচ্চতা x সে.মি. হলে, x এর মান কোনটি? 

সমাধান: 
আমরা জানি,
সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = (√৩/৪) × (বাহু)২
=  (√৩/৪) × (৬)২                  
=  ৯√৩
 
আমরা জানি,
ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = (১/২) × ভূমি × উচ্চতা 
= (১/২) × ৬ × x
= ৩x 

প্রশ্নমতে,
৩x = ৯√৩
x  =৯√৩/৩
x  =৩√৩
১,১৪৭.
একটি সমবাহু ত্রিভুজের একটি বাহু ১৮ মিটার। ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল কত?
  1. ক
    ক) ১৮ বর্গমিটার
  2. খ
    খ) ৬৪√৩ বর্গমিটার
  3. গ
    গ) ৮১√৩ বর্গমিটার
  4. ঘ
    ঘ) কোনোটিই নয়
ব্যাখ্যা

সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = √৩/৪ (বাহু)২ বর্গমি.
= √৩/৪ (১৮)২ বর্গমি.
= ৮১√৩ বর্গমি.

১,১৪৮.
একটি সমবাহু ত্রিভুজের বাহুর প্রত্যেকটির দৈর্ঘ্য 2 মিটার বাড়ালে এর ক্ষেত্রফল 3√3 বর্গমিটার বেড়ে যায়। সমবাহু ত্রিভুজের বাহুর দৈর্ঘ্য কত?
  1. ক
    9 মিটার
  2. খ
    6 মিটার
  3. গ
    2 মিটার
  4. ঘ
    10 মিটার
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি সমবাহু ত্রিভুজের বাহুর প্রত্যেকটির দৈর্ঘ্য 2 মিটার বাড়ালে এর ক্ষেত্রফল 3√3 বর্গমিটার বেড়ে যায়। সমবাহু ত্রিভুজের বাহুর দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
ধরি,
সমবাহু ত্রিভুজটির প্রত্যেক বাহুর দৈর্ঘ্য = a

তাহলে, সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = (√3/4) a2 বর্গ একক

দৈর্ঘ্য 2 মিটার বাড়ালে, ক্ষেত্রফল = (√3/4) (a +2)2
= (√3/4) (a2 + 4a + 4) বর্গ একক

প্রশ্নমতে,
(√3/4) (a2 + 4a + 4) = (√3/4) a2 + 3√3
⇒ √3(a2 + 4a + 4) = √3a2 + 12√3
⇒ √3(a2 + 4a + 4) = √3(a2 + 12)
⇒ a2 + 4a + 4 = a2 + 12
⇒ 4a = a2 + 12 - a2 - 4
⇒ 4a = 8
∴ a = 2

অতএব, সমবাহু ত্রিভুজটির প্রত্যেক বাহুর দৈর্ঘ্য 2 মিটার। 

১,১৪৯.
একটি সমবাহু ত্রিভুজের একটি বাহু ১৬ মিটার। ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল কত?
  1. ক
    ৬৪√৩ বর্গমিটার
  2. খ
    ১৯২ বর্গমিটার
  3. গ
    ৬৪ বর্গমিটার
  4. ঘ
    ৩২√৩ বর্গমিটার
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি সমবাহু ত্রিভুজের একটি বাহু ১৬ মিটার। ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
সমবাহু ত্রিভুজের বাহুর দৈর্ঘ্য a হলে ক্ষেত্রফল (√3/4)a2
দেওয়া আছে,
সমবাহু ত্রিভুজটির একটি বাহুর দৈর্ঘ্য a = ১৬ মিটার।

ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল = (√৩/৪) × (১৬)২
= (√৩/৪) × ১৬ × ১৬
= ৬৪√৩ বর্গমিটার
১,১৫০.
ABC সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের ∠C = 90° , AC = 5 সে.মি. হলে AB = ?
  1. ক
    25
  2. খ
    7√2
  3. গ
    5
  4. ঘ
    5√2
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: ABC সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের ∠C = 90° , AC = 5 সে.মি. হলে AB = ?

সমাধান:

দেওয়া আছে,
ABC সমদ্বিবাহু ত্রিভুজে,
∠C = 90°
AC = 5 সে.মি.
∴ AC = BC = 5 সে.মি. 

মনে করি,
ABC সমদ্বিবাহু সমকোণী ত্রিভুজে, AC = ভূমি, BC = লম্ব, AB = অতিভুজ

পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুযায়ী,
AB2 = BC2 + AC2
⇒ AB2 = 52 + 52
⇒ AB2 = 25 + 25
⇒ AB2 = 50
⇒ AB = √50
⇒ AB = √(25 × 2)
⇒ AB = 5√2
১,১৫১.
একটি বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা 24 মিটার হলে বর্গক্ষেত্রটির ক্ষেত্রফল কত বর্গমিটার?
  1. ক
    ক) 16 বর্গমিটার 
  2. খ
    খ) 25 বর্গমিটার 
  3. গ
    গ) 36 বর্গমিটার 
  4. ঘ
    ঘ) 49 বর্গমিটার 
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা 24 মিটার হলে বর্গক্ষেত্রটির ক্ষেত্রফল কত বর্গমিটার?

সমাধান:
ধরি,
বর্গক্ষেত্রের প্রতি বাহুর দৈর্ঘ্য = a
∴ পরিসীমা = 4a

প্রশ্নমতে,
4a = 24
∴ a = 6

বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = (বাহু)2
= 62
= 36 বর্গমিটার 
১,১৫২.
একটি 25 মিটার দীর্ঘ মই একটি উঁচু বইয়ের তাকের পাশে হেলান দিয়ে রাখা হয়েছে। মইটির শীর্ষপ্রান্ত মেঝে থেকে 20 মিটার উচ্চতায় তাককে স্পর্শ করছে। মইটির নিচের প্রান্ত হতে তাকের দূরত্ব নির্ণয় করুন?
  1. ক
    10 মিটার
  2. খ
    12 মিটার
  3. গ
    15 মিটার
  4. ঘ
    18 মিটার
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি 25 মিটার দীর্ঘ মই একটি উঁচু বইয়ের তাকের পাশে হেলান দিয়ে রাখা হয়েছে। মইটির শীর্ষপ্রান্ত মেঝে থেকে 20 মিটার উচ্চতায় তাককে স্পর্শ করছে। মইটির নিচের প্রান্ত হতে তাকের দূরত্ব নির্ণয় করুন?

সমাধান:
এখানে,
অতিভুজ (AC) = ২৫ মি
লম্ব (AB) = ২০ মি
পিথাগোরাসের সূত্রানুসারে,
AC2 = AB2 + BC2
BC2 = AC2 - AB2
= 252 - 202
= 625 - 400
= 225
∴ BC = √225 = 15 মিটার।

১,১৫৩.
একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের ভূমি ১২ একক এবং অপর সমান বাহুদ্বয়ের প্রতিটি ১০ একক। ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল কত বর্গ একক?
  1. ক
    ২৪ বর্গএকক
  2. খ
    ৩৬ বর্গএকক
  3. গ
    ৪৮ বর্গএকক
  4. ঘ
    ৬০ বর্গএকক
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের ভূমি ১২ একক এবং অপর সমান বাহুদ্বয়ের প্রতিটি ১০ একক। ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল কত বর্গ একক?

সমাধান:
সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের সমান সমান বাহু a একক এবং ভূমি b একক হলে,
ক্ষেত্রফল = (b/4) × √(4a2 − b2)

এখানে,
a = ১০, b = ১২

∴ ক্ষেত্রফল = (১২/৪) × √{৪(১০)২ - (১২)২] বর্গএকক
= ৩ × √(৪০০ - ১৪৪) বর্গএকক
= ৩ × √২৫৬ বর্গএকক
= ৩ × ১৬ বর্গএকক
= ৪৮ বর্গএকক

১,১৫৪.
একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের ভূমির দৈর্ঘ্য 60 সে: মি:। এর ক্ষেত্রফল 1200 ব: সে: মি: হলে পরিসীমা কত?
  1. ক
    160 সে: মি: 
  2. খ
    140 সে: মি: 
  3. গ
    120 সে: মি: 
  4. ঘ
    144 সে: মি: 
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের ভূমির দৈর্ঘ্য 60 সে: মি:। এর ক্ষেত্রফল 1200 ব: সে: মি: হলে পরিসীমা কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের ভূমি, b = 60 সে. মি.
ক্ষেত্রফল = 1200 বর্গ সে. মি.
 
ধরি, সমান সমান বাহুর দৈর্ঘ্য, a = ? 

আমরা জানি,
∴ সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = (b/4)√(4a2 - b2)
⇒ 1200 = (60/4) √(4a2 - 602)
⇒ 1200 = (15)√(4a2 - 3600)
⇒ √(4a2 - 3600) = 1200/15
⇒ √(4a2 - 3600) = 80
⇒ {√(4a2 - 3600)}2 = 802  [উভয়পক্ষকে বর্গ করে]
⇒ 4a2 - 3600 = 6400
⇒ 4a2 = 6400 + 3600
⇒ 4a2 = 10000 
⇒ a2 = 10000/4
⇒ a2 = 2500
⇒ a = √2500 
∴ a = 50 সে.মি.
অর্থাৎ, ত্রিভুজটির সমান সমান বাহুর দৈর্ঘ্য 50 সে.মি.।

আমরা জানি,
ত্রিভুজের পরিসীমা = বাহুত্রয়ের সমষ্টি।
∴ পরিসীমা = ভূমি + সমান বাহু + সমান বাহু
= 60 + 50 + 50 = 160 সে.মি.

∴ ত্রিভুজটির পরিসীমা 160 সে.মি.।

১,১৫৫.
ΔABC ত্রিভুজের AB = BC = AC, ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল 12√3 বর্গ একক হলে AB এর মান কত?  
  1. ক
    ক) 2√3 একক
  2. খ
    খ) 4√3 একক
  3. গ
    গ) 3√3 একক
  4. ঘ
    ঘ) √3 একক
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: ΔABC ত্রিভুজের AB = BC = AC, ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল 12√3 বর্গ একক হলে AB এর মান কত? 


সমাধান:
ΔABC একটি সমবাহু ত্রিভুজ। 
ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল = 12√3

প্রশ্নমতে
√3a2/4 = 12√3 
a2/4 = 12
a2 = 48
a = √48
a = √(16 × 3)
a = 4√3
১,১৫৬.
একটি সমদ্বিবাহু সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজের দৈর্ঘ্য 12সে.মি. ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল কত?
  1. ক
    ক) 25 বর্গ সে.মি
  2. খ
    খ) 36 বর্গ সে.মি
  3. গ
    গ) 49 বর্গ সে.মি
  4. ঘ
    ঘ) 64 বর্গ সে.মি
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি সমদ্বিবাহু সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজের দৈর্ঘ্য 12সে.মি. ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান: 
সমকোণ সংলগ্ন প্রতিটি বাহুর দৈর্ঘ্য = a সে.মি.
এখন,
a2 + a2 = 122
2a2 = 144
a2 = 72
a = √72

ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল = (1/2) × (√72) × (√72)
                                = (1/2) × (72)
                                = 36 বর্গ সে.মি
১,১৫৭.
নিচের কোন ৩টি বাহু দিয়ে ত্রিভুজ গঠন করা যাবে না?
  1. ক
    ২,৪,৫
  2. খ
    ৪,৫,৬
  3. গ
    ২,৪,৭
  4. ঘ
    ৩,৪,৬
ব্যাখ্যা

আমরা জানি, তিনটি বাহু দেওয়া থাকলে তাদের দ্বারা ত্রিভুজ গঠন করার শর্ত হলো- যেকোনো দুই বাহুর সমষ্টি তার তৃতীয় বাহু অপেক্ষা বৃহত্তর হতে হবে।
অপশন ক তে, ২ + ৪ = ৬ > ৫; ত্রিভুজ গঠন করা সম্ভব।
খ তে, ৪ + ৫ = ৯ > ৬; ত্রিভুজ গঠন করা সম্ভব।
গ তে, ২ + ৪ < ৭; ত্রিভুজ গঠন করা সম্ভব নয়। এবং
ঘ তে, ৩ + ৪ = ৭ > ৬; ত্রিভুজ গঠন করা সম্ভব।

১,১৫৮.
একটি সমবাহু ত্রিভুজের একটি বাহু ১৬ মিটার। ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল কত?
  1. ক
    ক) ৬৪√৩ বর্গমিটার
  2. খ
    খ) ১৯২ বর্গমিটার
  3. গ
    গ) ৬৪ বর্গমিটার
  4. ঘ
    ঘ) ৩২√৩ বর্গমিটার
ব্যাখ্যা
আমরা জানি,
সমবাহু ত্রিভুজের বাহুর দৈর্ঘ্য a হলে ক্ষেত্রফল (√3/4)a2
দেওয়া আছে, 
 সমবাহু ত্রিভুজটির একটি বাহুর দৈর্ঘ্য a = 16 মিটার।

সুতরাং, ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল = (√3/4) × (16)2
                                            = (√3/4) × 16 ×16
                                             = 64√3 বর্গমিটার
১,১৫৯.
ΔABC-এ, A, B, C কোণত্রয়ের বিপরীত বাহুত্রয়ের দৈর্ঘ্য যথাক্রমে a, b, c হলে, ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল-
  1. ক
    ক) 1/2 × ab cosC
  2. খ
    খ) 1/2 × ab sinC
  3. গ
    গ) 1/2 × bc sinB
  4. ঘ
    ঘ) 1/2 × ca sinA
ব্যাখ্যা
এরকম ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল,
Δ = 1/2 × ab SinC = 1/2 × bc SinA = 1/2 × ca SinB
১,১৬০.
নিচের কোন তিনটি কোণের সমন্বয়ে ত্রিভুজ আঁকা সম্ভব?
  1. ক
    90°, 60°, 45°
  2. খ
    45°, 45°, 30°
  3. গ
    60°, 35°, 55°
  4. ঘ
    48°, 32°, 100°
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: নিচের কোন তিনটি কোণের সমন্বয়ে ত্রিভুজ আঁকা সম্ভব?


সমাধান: 
ত্রিভুজের তিন কোণের সমষ্টি = ১৮০ ডিগ্রি

অপশন
ক এর তিনটি কোণের যোগফল = 90°+ 60°+ 45° = 195°
খ এর তিনটি কোণের যোগফল = 45°+ 45°+ 30° = 120°
গ এর তিনটি কোণের যোগফল = 60°+ 35° + 55° = 150°
ঘ এর তিনটি কোণের যোগফল = 48° + 32° + 100° = 180°

অতএব
অপশন ঘ এর  তিনটি কোণের সমন্বয়ে ত্রিভুজ আঁকা সম্ভব ।

১,১৬১.
একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের ভূমি 16 মি. এবং অপর দুটি বাহুর প্রতিটি 10 মি. হলে ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল সমান কত?
  1. ক
    ক) 42 বর্গমিটার 
  2. খ
    খ) 36 বর্গমিটার 
  3. গ
    গ) 34 বর্গমিটার 
  4. ঘ
    ঘ) 48 বর্গমিটার 
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের ভূমি 16 মি. এবং অপর দুটি বাহুর প্রতিটি 10 মি. হলে ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল সমান কত?

সমাধান: 
আমরা জানি,
সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের সমান বাহুর একটির দৈঘ্য a এবং ভূমি b হয়
তাহলে ক্ষেত্রফল = (b/4) × √(4a2 - b2) বর্গ একক।

ধরি,
ভূমি b = 16 একক এবং অপর বাহুর একটি a = 10 একক |

সমদ্বিবাহু ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল = (16/4) × √(4 × 102 - 162)
= 4 × 12  বর্গ একক
= 48 বর্গমিটার 
১,১৬২.
একটি সমদ্বিবাহু সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজের দৈর্ঘ্য ১০ সেমি হলে ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল কত?
  1. ক
    ১৬ বর্গসেমি
  2. খ
    ৪৫ বর্গসেমি
  3. গ
    ৩৫ বর্গসেমি
  4. ঘ
    ২৫ বর্গসেমি
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি সমদ্বিবাহু সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজের দৈর্ঘ্য ১০ সেমি হলে ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
ধরি,
সমকোণ সংলগ্ন প্রতিটি বাহুর দৈর্ঘ্য = ক সেমি

পিথাগোরাসের সূত্রানুসারে,
(ক)২ + (ক)২ = (১০)২
⇒ ২ক২ = ১০০
⇒ ক২ = ১০০/২
⇒ ক২ = ৫০
⇒ ক = √৫০

∴ সমকোণ সংলগ্ন বাহুদ্বয়ের দৈর্ঘ্য √৫০ সেমি।

আমরা জানি,
সমকোণী ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = (১/২) × ভূমি × উচ্চতা
যেহেতু এটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ। সুতরাং, ভূমি ও উচ্চতার দৈর্ঘ্য সমান।
∴ ক্ষেত্রফল = (১/২) × ক × ক 
= (১/২) × ক২
 = (১/২) × ৫০
 = ২৫

∴ ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল ২৫ বর্গসেমি।

১,১৬৩.
সমবাহু ত্রিভুজের বাহুগুলোর মধ্যবিন্দুসমূহ যোগ করলে উৎপন্ন ত্রিভুজটি-
  1. ক
    সমবাহু
  2. খ
    সমকোণী
  3. গ
    সমদ্বিবাহু
  4. ঘ
    কোনোটিই নয়
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: সমবাহু ত্রিভুজের বাহুগুলোর মধ্যবিন্দুসমূহ যোগ করলে উৎপন্ন ত্রিভুজটি-

সমাধান:

ধরি, ABC একটি সমবাহু ত্রিভুজ যার প্রতিটি বাহুর দৈর্ঘ্য = a

এবার তিনটি বাহুর মধ্যবিন্দু হলো:
D (AB এর মধ্যবিন্দু)
E (BC এর মধ্যবিন্দু)
F (CA এর মধ্যবিন্দু)
মধ্যবিন্দু সংযোগ উপপাদ্য অনুসারে, যেকোনো ত্রিভুজের দুই বাহুর মধ্যবিন্দুর সংযোজক রেখাংশ তৃতীয় বাহুর সমান্তরাল এবং তৃতীয় বাহুর অর্ধেক।

অতএব:
DE ∥ AC এবং DE = AC/2 = a/2
EF ∥ AB এবং EF = AB/2 = a/2
FD ∥ BC এবং FD = BC/2 = a/2
যেহেতু DEF ত্রিভুজের তিনটি বাহুই সমান (DE = EF = FD = a/2), তাই এটি একটি সমবাহু ত্রিভুজ।

∴ সমবাহু ত্রিভুজের বাহুগুলোর মধ্যবিন্দুসমূহ যোগ করলে উৎপন্ন ত্রিভুজটি সমবাহু হবে।

১,১৬৪.
সমকোণী ত্রিভুজাকৃতির একটি মাঠের অতিভুজ ও ভূমির দৈর্ঘ্য যথাক্রমে ১৭ ও ১৫ মিটার । মাঠটির ক্ষেত্রফল কত?
  1. ক
    ৫৪ বর্গ মিটার
  2. খ
    ৮০ বর্গ মিটার
  3. গ
    ৬০ বর্গ মিটার
  4. ঘ
    ৪০ বর্গ মিটার
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: সমকোণী ত্রিভুজাকৃতির একটি মাঠের অতিভুজ ও ভূমির দৈর্ঘ্য যথাক্রমে ১৭ ও ১৫ মিটার । মাঠটির ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
অতিভুজ ও ভূমির দৈর্ঘ্য যথাক্রমে ১৭ ও ১৫ মিটার

আমরা জানি,
⇒ (লম্ব)২ = (অতি)২ - (ভূমি)২
⇒ (লম্ব)২ = (১৭)২ - ( ১৫)২
⇒ (লম্ব)২ = ২৮৯ - ২২৫
⇒ (লম্ব)২ = ৬৪
⇒ লম্ব = √৬৪
∴ লম্ব = ৮ মিটার

∴ মাঠটির ক্ষেত্রফল = (১/২) × ভূমি × উচ্চতা
= (১/২) × ১৫ × ৮
= ৬০ বর্গ মিটার
১,১৬৫.
একটি ত্রিভুজের তিনটি কোণের অনুপাত 1 : 1 : 2 হলে ত্রিভুজটি কোন ধরনের ত্রিভুজ?
  1. ক
    সমবাহু ত্রিভুজ
  2. খ
    বিষমবাহু ত্রিভুজ
  3. গ
    সমকোণী ত্রিভুজ
  4. ঘ
    কোনটিই নয়
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি ত্রিভুজের তিনটি কোণের অনুপাত 1 : 1 : 2 হলে ত্রিভুজটি কোন ধরনের ত্রিভুজ?

ধরি,
কোণ তিনটি = x, x এবং 2x

প্রশ্নমতে,
x + x + 2x = 180°
4x = 180°
∴x = 45°
এবং 2x = 90°

সুতরাং ত্রিভুজটি সমকোণী।

১,১৬৬.
একটি সমবাহু ত্রিভুজের একটি বাহু ১৬ মিটার হলে ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল কত?
  1. ক
    ৬৪ বর্গমিটার
  2. খ
    কোনোটিই নয়
  3. গ
    ১৬ বর্গমিটার
  4. ঘ
    ৬৪√৩ বর্গমিটার
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি সমবাহু ত্রিভুজের একটি বাহু ১৬ মিটার হলে ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
সমবাহু ত্রিভুজের বাহুর দৈর্ঘ্য a হলে ক্ষেত্রফল (√3/4)a2
দেওয়া আছে,
সমবাহু ত্রিভুজটির একটি বাহুর দৈর্ঘ্য a = ১৬ মিটার।

ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল = (√৩/৪) × (১৬)২
= (√৩/৪) × ১৬ × ১৬
= ৬৪√৩ বর্গমিটার
১,১৬৭.
একটি সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল ১৬√৩ বর্গমিটার হলে ত্রিভুজটির একটি বাহুর দৈর্ঘ্য কত?
  1. ক
    ৪ মিটার
  2. খ
    ৮ মিটার
  3. গ
    ৪√৩ মিটার
  4. ঘ
    ১২ মিটার
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল ১৬√৩ বর্গমিটার হলে ত্রিভুজটির একটি বাহুর দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = ১৬√৩ বর্গমিটার

আমরা জানি,
সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = (√৩/৪) × (বাহু)২ 

প্রশ্নমতে,
(√৩/৪) × (বাহু)২ = ১৬√৩
⇒ (বাহু)২ = (১৬√৩ × ৪)/√৩
 ⇒ (বাহু)২ = ৬৪
 ⇒ বাহু = ৮ [ বর্গমূল করে ] 
১,১৬৮.
নিচের ত্রিভুজে বাহুর দৈর্ঘ্য দেয়া আছে। কোন ক্ষেত্রে ত্রিভুজটি আঁকা সম্ভব নয়?
  1. ক
    ৫,৬,৮ সে.মি.
  2. খ
    ২,৩,৫ সে.মি.
  3. গ
    ৪,৫,৬ সে.মি.
  4. ঘ
    ৩,৫,৭ সে.মি.
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: নিচের ত্রিভুজে বাহুর দৈর্ঘ্য দেয়া আছে। কোন ক্ষেত্রে ত্রিভুজটি আঁকা সম্ভব নয়?

সমাধান: 
আমরা জানি, ত্রিভুজের যেকোনো দুই বাহুর সমষ্টি তৃতীয় বাহু অপেক্ষা বৃহত্তম।
প্রশ্নোক্ত অপশনগুলোর মধ্যে একমাত্র ২+৩ = ৫ বাহু গুলো দ্বারা ত্রিভুজ অঙ্কন সম্ভব নয়।
১,১৬৯.
∆ABC এ ∠B = 90°, যদি AC = 2BC হয় তবে, ∠C এর মান কত?
  1. ক
    0°
  2. খ
    45°
  3. গ
    30°
  4. ঘ
    60°
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: ∆ABC এ ∠B = 90°, যদি AC = 2BC হয় তবে, ∠C এর মান কত?


সমাধান:
∆ABC এ ভূমি = BC
এবং অতিভূজ = AC

দেওয়া আছে,
AC = 2BC
∴ BC/AC = 1/2

মনে করি,
∠ACB = ∠C = θ

আমরা জানি,
cos∠ACB = ভূমি/অতিভূজ
⇒ cosθ = BC/AC
⇒ cosθ = 1/2
⇒ cosθ = cos 60°
⇒ θ = 60°
∴ ∠C = 60°
১,১৭০.
একটি ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল একটি বর্গের ক্ষেত্রফলের সমান। বর্গের এক বাহুর দৈর্ঘ্য ৫০মিটার। ত্রিভুজটির ভূমি ১০০ মিটার হলে, ত্রিভুজটির উচ্চতা কত?
  1. ক
    ২৫ মিটার
  2. খ
    ৪৫ মিটার
  3. গ
    ৫০ মিটার
  4. ঘ
    ১০০ মিটার
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল একটি বর্গের ক্ষেত্রফলের সমান। বর্গের এক বাহুর দৈর্ঘ্য ৫০মিটার। ত্রিভুজটির ভূমি ১০০ মিটার হলে, ত্রিভুজটির উচ্চতা কত? 

সমাধান: 
বর্গের এক বাহুর দৈর্ঘ্য ৫০ মিটার  
বর্গের ক্ষেত্রফল = (৫০ × ৫০) বর্গ মিটার 
= ২৫০০ বর্গ মিটার 

ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = ২৫০০ বর্গ মিটার 
ত্রিভুজটির ভূমি ১০০ মিটার  

আমরা জানি,
(১/২) × ভূমি × উচ্চতা = ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল 
বা, (১/২) × ১০০ × উচ্চতা = ২৫০০
বা, উচ্চতা = (২৫০০ × ২)/১০০ 
∴ উচ্চতা = ৫০ মিটার।
১,১৭১.
একটি সমকোণী ত্রিভুজের ভূমি a, উচ্চতা b এবং অতিভূজ c হলে নীচের কোনটি সঠিক
  1. ক
    ক) c2 = a2 + b2 
  2. খ
    খ) c2 = √(a2 + b2) 
  3. গ
    গ) a2 = b2 + c2 
  4. ঘ
    ঘ) b2 = a2 + c2 
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি সমকোণী ত্রিভুজের ভূমি a, উচ্চতা b এবং অতিভূজ c হলে নীচের কোনটি সঠিক ?

সমাধান: 
সমকোণী ত্রিভুজের ভূমি a, উচ্চতা b এবং অতিভূজ c

আমরা জানি,
সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজ2 = ভূমি2 + লম্ব2
c2 = a2 + b2
১,১৭২.
একটি সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল ৬৪√৩ বর্গমিটার হলে, ত্রিভুজটির বাহুর দৈর্ঘ্য কত?
  1. ক
    ক) √৩ মিটার
  2. খ
    খ) ৮ মিটার
  3. গ
    গ) ১৬ মিটার
  4. ঘ
    ঘ) ২ মিটার
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল ৬৪√৩ বর্গমিটার হলে, ত্রিভুজটির বাহুর দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান: 
আমরা জানি,
সমবাহু ত্রিভুজের বাহুর দৈর্ঘ্য a একক হলে,
ক্ষেত্রফল (√3/4)a2 বর্গএকক 

শর্তমতে,
(√3/4)a2 = 64√3 
⇒ a2 = 64 × 4
⇒ a = 8 × 2 
∴ a = 16 

∴ ত্রিভুজটির বাহুর দৈর্ঘ্য 16 মিটার 
১,১৭৩.
কোন ত্রিভুজের তিনটি বাহুর প্রত্যেকটিকে ক্রমান্বয়ে একদিকে বর্ধিত করলে উৎপন্ন বহিঃস্থ কোণ তিনটির সমষ্টি কত?
  1. ক
    ক) ১৮০°
  2. খ
    খ) ১২০°
  3. গ
    গ) ৩৬০°
  4. ঘ
    ঘ) ২৯০°
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: কোন ত্রিভুজের তিনটি বাহুর প্রত্যেকটিকে ক্রমান্বয়ে একদিকে বর্ধিত করলে উৎপন্ন বহিঃস্থ কোণ তিনটির সমষ্টি কত?

সমাধান:



ত্রিভুজের যেকোন বাহুকে বর্ধিত করলে বহিঃস্থ যে কোণ উৎপন্ন হয় তা বিপরীত অন্তঃস্থ দুই কোণের সমষ্টির সমান।
∠CBD = ∠A + ∠C
∠BAF = ∠B + ∠C
∠ACE = ∠A + ∠B

বহিঃস্থ কোণ তিনটির সমষ্টি = ∠CBD + ∠BAF + ∠ACE 
= ∠A + ∠C + ∠B + ∠C + ∠A + ∠B
= 2(∠A + ∠B + ∠C)
= 2 × 180° [ত্রিভুজের তিন কোণের সমষ্টি ১৮০°]
= 360°
১,১৭৪.
সমবাহু ত্রিভুজের একটি বাহুকে উভয়দিকে বর্ধিত করলে উৎপন্ন বহিঃস্থ কোণ দুটির বিয়োগফল কত?
  1. ক
    120°
  2. খ
    60°
  3. গ
    240°
  4. ঘ
    0°
ব্যাখ্যা

আমরা জানি, সমবাহু ত্রিভুজের প্রত্যেকটি কোণের মান 60°।
সুতরাং একটি বাহুকে উভয়দিকে বর্ধিত করলে উৎপন্ন বহিঃস্থ কোণ উভয় পাশে 180° - 60° = 120°।
সুতরাং, বহিঃস্থ কোণ দুটির বিয়োগফল = 120°-120° = 0°

১,১৭৫.
ΔABC এর BE ও CF দুইটি মধ্যমা এবং BC = 22 সে.মি. হলে EF এর মান কত?
  1. ক
    ক) 10 সে.মি. 
  2. খ
    খ) 11 সে.মি. 
  3. গ
    গ) 12 সে.মি. 
  4. ঘ
    ঘ) 13 সে.মি. 
ব্যাখ্যা
ত্রিভুজের যেকোনাে দুই বাহুর মধ্যবিন্দুর সংযােজক রেখাংশ তৃতীয় বাহুর সমান্তরাল এবং দৈর্ঘ্যে তার অর্ধেক।
BE ও CF, ΔABC এর দুইটি মধ্যমা এবং BC = 22 সে.মি. হলে EF = 11 সে.মি.
 
১,১৭৬.
একটি ত্রিভুজের বাহুগুলাের অনুপাত 5 : 12 : 13 এবং এর পরিসীমা 195 সে. মি। বৃহত্তম ও ক্ষুদ্রতম বাহুর দৈর্ঘ্যের সমষ্টি কত?
  1. ক
    ক) 110.5 সেমি,
  2. খ
    খ) 117 সে.মি.
  3. গ
    গ) 119 সে.মি.
  4. ঘ
    ঘ) 122.5 সে.মি.
  5. ঙ
    ঙ) কোনটিই নয়
ব্যাখ্যা

5x+12x+13x = 195
Or, 30x = 195
Or, x= 195/30
Or, x = 6.5
বাহুত্রয় যথাক্রমে- 32.5, 78, 84.5
বৃহত্তর ও ক্ষুদ্রতর বাহুর যোগফল= 32.5+84.5= 117 cm

১,১৭৭.
একটি সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজ ২৫ মিটার। অপর বাহুদ্বয়ের একটি অপরটির ৩/৪ অংশ হলে, ত্রিভুজটির পরিসীমা কত? 
  1. ক
    ক) 55 মিটার
  2. খ
    খ) 40 মিটার
  3. গ
    গ) 60 মিটার
  4. ঘ
    ঘ) 65 মিটার
ব্যাখ্যা
ধরি,
অপর বাহুদ্বয়ের একটি 3x এবং অন্যটি 4x.

পীথাগোরাসের উপপাদ্য অনুসারে আমরা পাই 
  (3x)2 + (4x)2 = 252
⇒ 9x2 + 16x2 = 625
⇒ 25x2 = 625
⇒ x2 = 25
⇒ x = 5
∴ অপর বাহুদ্বয়ের একটি 3x = 15 মিটার এবং অন্যটি 4x = 20 মিটার।

ত্রিভুজটির পরিসীমা=  (25 + 15 +20) =  60 মিটার
১,১৭৮.
ΔPQR সমবাহু ত্রিভুজের একটি মধ্যমা PM এবং G ভরকেন্দ্র। GM = 6 সেমি হলে PM = ?
  1. ক
    12 সেমি
  2. খ
    15 সেমি
  3. গ
    18 সেমি
  4. ঘ
    22 সেমি
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ΔPQR সমবাহু ত্রিভুজের একটি মধ্যমা PM এবং G ভরকেন্দ্র। GM = ৬ সেমি হলে PM = ?

সমাধান:

আমরা জানি,
ত্রিভুজের ভরকেন্দ্র মধ্যমাকে 2 : 1 অনুপাতে বিভক্ত করে।
এখানে, মধ্যমা PM এবং ভরকেন্দ্র G।
সুতরাং, PG : GM = 2 : 1

দেওয়া আছে, GM = 6 সেমি।
প্রশ্নমতে,
PG/GM = 2/1
বা, PG/6 = 2
বা, PG = 6 × 2
∴ PG = 12 সেমি

এখন, মধ্যমা PM এর মোট দৈর্ঘ্য হলো এর দুটি অংশের যোগফল।
PM = PG + GM
= 12 + 6
= 18 সেমি

অতএব, PM এর দৈর্ঘ্য 18 সেমি।

১,১৭৯.
ত্রিভুজের তিনটি বাহুর লম্ব সমদ্বিখণ্ডকগুলো যে বিন্দুতে ছেদ করে, তাকে কী বলা হয়?
  1. ক
    অন্তঃকেন্দ্র
  2. খ
    ভরকেন্দ্র
  3. গ
    বহিঃকেন্দ্র
  4. ঘ
    পরিকেন্দ্র
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন:  ত্রিভুজের তিনটি বাহুর লম্ব সমদ্বিখণ্ডকগুলো যে বিন্দুতে ছেদ করে, তাকে কী বলা হয়?

সমাধান:
• পরিকেন্দ্র (Circumcentre): ত্রিভুজের তিনটি বাহুর লম্ব সমদ্বিখণ্ডকগুলো যে বিন্দুতে ছেদ করে, তাকে পরিকেন্দ্র বলা হয়।

চিত্রে O বিন্দুটি হলো পরিকেন্দ্র (Circumcentre)।

উল্লেখ্য,
• অন্তঃকেন্দ্র: ত্রিভুজের তিন কোণের সমদ্বিখণ্ডকগুলো যে বিন্দুতে ছেদ করে তাকে অন্তঃকেন্দ্র বলে।
• ভরকেন্দ্র: ত্রিভুজের মধ্যমাগুলোর ছেদবিন্দুকে ভরকেন্দ্র বলে।
• বহিঃকেন্দ্র: একটি ত্রিভুজের একটি অন্তঃস্থ কোণের সমদ্বিখণ্ডক এবং অপর দুটি বহিঃস্থ কোণের সমদ্বিখণ্ডক যে বিন্দুতে ছেদ করে, তাকে বহিঃকেন্দ্র বলে।

১,১৮০.
একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের পরিসীমা 16 মিটার। এর সমান সমান বাহুর দৈর্ঘ্য ভূমির 5/6 অংশ হলে, ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল কত?
  1. ক
    10 বর্গমিটার
  2. খ
    12 বর্গমিটার
  3. গ
    16 বর্গমিটার
  4. ঘ
    20 বর্গমিটার
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের পরিসীমা 16 মিটার। এর সমান সমান বাহুর দৈর্ঘ্য ভূমির 5/6 অংশ হলে, ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
ধরি,
ত্রিভুজটির ভূমি b = x মিটার
∴ ত্রিভুজটির সমান সমান বাহুর দৈর্ঘ্য a = 5x/6 মিটার

প্রশ্নমতে,
x + (5x/6) + (5x/6) = 16
⇒ (6x + 5x + 5x)/6 = 16 
⇒ 16x/6 = 16
⇒ x = 6

∴ ত্রিভুজটির ভূমি b = 6 মিটার
∴ সমান সমান বাহুর দৈর্ঘ্য a = 6 × 5/6
= 5 মিটার

ক্ষেত্রফল = (b/4) √(4a2- b2)
= (6/4) √{4(5)2- (6)2}
= (6/4) √(100 - 36)
= (6/4) √(64)
= (6/4) × 8
= 12 বর্গমিটার
১,১৮১.
একটি ত্রিভুজের সর্বোচ্চ কয়টি স্থূলকোণ থাকতে পারে?
  1. ক
    ১টি
  2. খ
    ২টি
  3. গ
    ৩টি
  4. ঘ
    কোনোটিই নয়
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি ত্রিভুজের সর্বোচ্চ কয়টি কোণ স্থূলকোণ হতে পারে?

সমাধান: 
- একটি ত্রিভুজের তিন কোণের সমষ্টি ১৮০°। 
-  ত্রিভুজে কমপক্ষে ২টি সূক্ষ্মকোণ থাকতে পারে এবং সর্বোচ্চ ৩টি কোণই সূক্ষ্মকোণ হতে পারে।  
- একটি ত্রিভুজের সর্বোচ্চ ১টি কোণ স্থূলকোণ হতে পারে। 
১,১৮২.
একটি ত্রিভুজের কমপক্ষে কয়টি সূক্ষ্মকোণ থাকতে পারে? 
  1. ক
    ক) ১টি
  2. খ
    খ) ৩টি
  3. গ
    গ) ২টি
  4. ঘ
    ঘ) কোনটিই নয়
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি ত্রিভুজের কমপক্ষে কয়টি সূক্ষ্মকোণ থাকতে পারে? 

সমাধান: 
একটি ত্রিভুজের তিন কোণের সমষ্টি ১৮০°। 
তাই ত্রিভুজে কমপক্ষে ২টি সূক্ষ্মকোণ থাকতে পারে এবং সর্বোচ্চ ৩টি কোণই সূক্ষ্মকোণ হতে পারে।  
১,১৮৩.
সমবাহু ত্রিভুজের প্রত্যেকটি কোণের মান কত?
  1. ক
    ৪০°
  2. খ
    ৫০°
  3. গ
    ৬০°
  4. ঘ
    ৭০°
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: সমবাহু ত্রিভুজের প্রত্যেকটি কোণের মান কত?

সমাধান:
- যে ত্রিভুজের তিন কোণ সমান, তার বাহুগুলোও সমান হয় বলে তাকে সমবাহু ত্রিভুজ বলে।
- সমবাহু ত্রিভুজের প্রতিটি অন্তঃস্থ কোণ ৬০°।
- সমবাহু ত্রিভুজের মধ্যমাত্রয় পরস্পর সমান
১,১৮৪.
একটি ত্রিভুজে কয়টি সমকোণ থাকতে পারে?
  1. ক
    ক) ১টি
  2. খ
    খ) ২টি
  3. গ
    গ) ৩টি
  4. ঘ
    ঘ) একটিও নয়
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি ত্রিভুজে কয়টি সমকোণ থাকতে পারে?

সমাধান:
- একটি ত্রিভুজে ১টি সমকোণ থাকতে পারে।
- সমকোণী ত্রিভুজের একটি কোণ এক সমকোণ, অন্য দুটি কোণের সমষ্টি এক সমকোণ। 
- ত্রিভুজের তিনটি কোণের সমষ্টি হয় দুই সমকোণ।
- সমকোণী ত্রিভূজের সমকোণের বিপরীত বাহুকে অতিভূজ বলে, অতিভূজের বিপরীত কোণ সমকোণ।
- সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজ বৃহত্তম বাহুই ।
১,১৮৫.
কোন ত্রিভুজের একটি বাহু উভয় দিকে বর্ধিত করায় উৎপন্ন বহিঃস্থ কোনগুলি সমান হলে, ত্রিভুজটি কি হবে?
  1. ক
    ক) বিষমবাহু ত্রিভুজ
  2. খ
    খ) সমবাহু ত্রিভুজ
  3. গ
    গ) সমকোনী ত্রিভুজ
  4. ঘ
    ঘ) সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ
ব্যাখ্যা
এখানে উৎপন্ন বহিঃস্থ কোনগুলি সমান হলে,অন্তঃস্থ কোনদ্বয় ও সমান হবে। অন্তস্থ দুটি কোন সমান হলে বাহুদুটিও সমান হবে। অতএব, ত্রিভুজটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ হবে।
উল্লেখ্য, অন্তঃস্থ কোন দুইটি ৬০ ডিগ্রী হলে, সাধারণভাবেই তৃতীয় কোণটিও ৬০ ডিগ্রী হবে; ফলে ত্রিভুজটি সমবাহু ত্রিভুজ হবে।
যেহেতু অন্তঃস্থ কোনদ্বয় ৬০ ডিগ্রী হতে ও পারে আবার না ও হতে পারে তাই সঠিক উত্তর সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ।
১,১৮৬.
ΔABC - এ AB > AC হলে কোনটি সঠিক?
  1. ক
    ক) ∠ABC সুক্ষ্মকোণ
  2. খ
    খ) ∠ABC স্থুলকোণ
  3. গ
    গ) ∠B > ∠C
  4. ঘ
    ঘ) ∠A > ∠C
ব্যাখ্যা


AB>AC 
∴ ∠C > ∠B হবে।
ফলে ∠B কখনও সমকোণ বা স্থুলকোণ হবে না।
∴ ∠B সর্বদা সূক্ষ্মকোণ হবে।

১,১৮৭.
একটি বর্গের কর্ণের উপর একটি সমবাহু ত্রিভুজ অঙ্কন করা হলে অঙ্কিত ত্রিভুজ ও বর্গের ক্ষেত্রফলের অনুপাত কত? 
  1. ক
    ক) √3 : 2
  2. খ
    খ) √3 : 1
  3. গ
    গ) 5 : √3
  4. ঘ
    ঘ) 7 : √3
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি বর্গের কর্ণের উপর একটি সমবাহু ত্রিভুজ অঙ্কন করা হলে অঙ্কিত ত্রিভুজ ও বর্গের ক্ষেত্রফলের অনুপাত কত? 

সমাধান: 
মনেকরি, 
বর্গের এক বাহুর দৈর্ঘ্য= a একক
বর্গের কর্ণের দৈর্ঘ্য = √2a একক 
 বর্গের ক্ষেত্রফল = a2 

সমবাহু ত্রিভুজের এক বাহুর দৈর্ঘ্য = √2a একক 
সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = (√3/4) × (√2a)2
 = (√3/4) ×2a2
= √3a2/2

সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল ও বর্গের ক্ষেত্রফলের অনুপাত =√3a2/2 : a2 
 =√3/2 : 1 
=√3 : 2
১,১৮৮.
সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের সমান সমান বাহুদ্বয় বর্ধিত করলে উৎপন্ন কোণদ্বয় হবে-
  1. ক
    স্থুলকোণ
  2. খ
    সূক্ষ্মকোণ
  3. গ
    সমকোণ
  4. ঘ
    সরলকোণ
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের সমান সমান বাহুদ্বয় বর্ধিত করলে উৎপন্ন কোণদ্বয় হবে-

সমাধান:
ত্রিভুজ সংক্রান্ত কিছু অনুসিদ্ধান্ত:
১) ত্রিভুজের একটি বাহুকে বর্ধিত করলে যে বহিঃস্থ কোণ উৎপন্ন হয়, তা এর বিপরীত অন্তঃস্থ কোণদ্বয়ের সমষ্টির সমান।
২) সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের সমান বাহুদ্বয় বর্ধিত করলে উৎপন্ন কোণদ্বয় স্থুলকোণ হবে।
৩) সমবাহু ত্রিভুজের একটি বাহুকে উভয়দিকে বর্ধিত করলে উৎপন্ন বহিঃস্থ কোণদ্বয় পরস্পর সমান হবে
১,১৮৯.
△ABC এর ∠A = 50°, ∠B = 65°, হলে △ABC কি ধরনের ত্রিভুজ?
  1. ক
    সমকোণী
  2. খ
    স্থুলকোণী
  3. গ
    সমদ্বিবাহু
  4. ঘ
    সমবাহু
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: △ABC এর ∠A = 50°, ∠B = 65°, হলে △ABC কি ধরনের ত্রিভুজ?
 
সমাধান:
যেহেতু ত্রিভুজের তিন কোণের সমষ্টি 180 ডিগ্রি, তাহলে C কোণের মান হবে (180 - 50 - 65) = 65 ডিগ্রি।
এখানে B ও C কোণ সমান, আর কোনো ত্রিভুজের দুইটি কোণ সমান ত্রিভুজতির দুইটি বাহুও সমান হবে।
তাই ত্রিভুজটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ হবে।
১,১৯০.
একটি ত্রিভুজের তিনবাহুর দৈর্ঘ্য ৬ মিটার, ৮ মিটার ও ১০ মিটার হলে, ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল কত?
  1. ক
    ২৪ বর্গ সে.মি.
  2. খ
    ৩২ বর্গ সে.মি.
  3. গ
    ২৮ বর্গ সে.মি.
  4. ঘ
    ১৪ বর্গ সে.মি.
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি ত্রিভুজের তিনবাহুর দৈর্ঘ্য ৬ মিটার, ৮ মিটার ও ১০ মিটার হলে, ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
তিনবাহুর দৈর্ঘ্য a = ৬ মিটার, b = ৮ মিটার ও c = ১০ মিটার
ত্রিভুজটির পরিসীমা (2s) = ৬ + ৮ + ১০ = ২৪ মিটার
∴ অর্ধ-পরিসীমা (s) = ২৪/২ = ১২ মিটার

ক্ষেত্রফল = √{s(s - a) (s - b) (s - c)} বর্গমিটার  [ a, b , c যথাক্রমে ৩ বাহুর দৈর্ঘ্য]
= √{১২(১২ - ৬) (১২ - ৮) (১২ - ১০)}
= √(১২ × ৬ × ৪ × ২) 
= √৫৭৬ বর্গমিটার
= ২৪ বর্গমিটার
১,১৯১.
একটি ত্রিভুজের ভূমি তার উচ্চতার দ্বিগুণ অপেক্ষা 6 সে.মি. বেশি। ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল 180 বর্গ সে.মি হলে, ত্রিভুজটির ভূমি কত? 
  1. ক
    ক) 12 সে.মি.
  2. খ
    খ) 30 সে.মি.
  3. গ
    গ) 15 সে.মি.
  4. ঘ
    ঘ) 26 সে.মি.
ব্যাখ্যা
মনেকরি 
ত্রিভুজটির উচ্চতা x 
ত্রিভুজটির ভূমি = 2x + 6 

প্রশ্নমতে,
(1/2) × x ×(2x + 6) = 180
x(x + 3) = 180
x2 + 3x - 180 = 0
x2 + 15x - 12x - 180 = 0
x(x + 15) - 12(x + 15) = 0
(x + 15)(x - 12) = 0

হয়                                           অথবা 
x + 15 = 0                                 x - 12 = 0
x = - 15 [গ্রহণযোগ্য নয় ]           x = 12

ত্রিভুজটির ভূমি = 2 × 12 + 6 = 30 সে.মি.
১,১৯২.
সমবাহু ত্রিভুজের বাহুর দৈর্ঘ্য ৮ মিটার হলে ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল হবে-
  1. ক
    ক) ৩২√৩ বর্গমিটার
  2. খ
    খ) ২০√৩ বর্গমিটার 
  3. গ
    গ) ১৬√৩ বর্গমিটার 
  4. ঘ
    ঘ) ৬৪√৩ বর্গমিটার
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: সমবাহু ত্রিভুজের বাহুর দৈর্ঘ্য ৮ মিটার হলে ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল হবে-

সমাধান: 
সমবাহু ত্রিভুজের বাহুর দৈর্ঘ্য a হলে,
ক্ষেত্রফল = (√৩/৪)×a২
∴ ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = (√৩/৪) × a২ 
= (√৩/৪) × (৮)২ 
= (√৩/৪) × ৮ × ৮
= ১৬√৩ 

∴ ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল = ১৬√৩ বর্গমিটার। 
১,১৯৩.
ত্রিভুজের তিন বাহুর দৈর্ঘ্য যথাক্রমে 8, 12, 14 মিটার হলে বৃহত্তম ও ক্ষুদ্রতম বাহুর মধ্যবিন্দু দুটির দূরত্ব কত মিটার?
  1. ক
    5 মিটার
  2. খ
    6 মিটার
  3. গ
    7 মিটার
  4. ঘ
    8 মিটার
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: ত্রিভুজের তিন বাহুর দৈর্ঘ্য যথাক্রমে 8, 12, 14 মিটার হলে বৃহত্তম ও ক্ষুদ্রতম বাহুর মধ্যবিন্দু দুটির দূরত্ব কত মিটার?

সমাধান:

এখানে,
বৃহত্তম বাহু, AC = 14 মিটার
ক্ষুদ্রতম বাহু, AB = 8 মিটার
অতএব, AB ও AC বাহুর মধ্যবিন্দু দুটির সংযোগ সরলরেখা EF হবে তৃতীয় বাহু BC এর অর্ধেক।
∴ EF = BC/2
= 12/2
= 6 মিটার
১,১৯৪.
ΔABC সমবাহু ত্রিভুজে BC বাহুর মধ্যমা AD হলে ∠BAD এর মান কত?
  1. ক
    ক) 40°
  2. খ
    খ) 30°
  3. গ
    গ) 45°
  4. ঘ
    ঘ) 60°
ব্যাখ্যা
AD মধ্যমা তাই AD রেখা ∠BAC কে সমদ্বিখন্ডিত করে।
ত্রিভুজটি সমবাহু হওয়ায় ∠BAC = 60° তাই ∠BAD এর মান 30°.
১,১৯৫.
একটি সমদ্বিবাহু সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজের দৈর্ঘ্য ১৬ সেঃমিঃ হলে, ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল কত বর্গ সেমিঃ?
  1. ক
    ক) ১২৮
  2. খ
    খ) ৬০
  3. গ
    গ) ৬৪
  4. ঘ
    ঘ) ১০০
ব্যাখ্যা
ধরি, সমদ্বিবাহু দৈর্ঘ্য = x সেমিঃ
তাহলে, (১৬²) = x² + x²
x² = ১২৮
ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল = ১/২ ভূমি x উচ্চতা= ১/২ x ১২৮ = ৬৪
১,১৯৬.
একটি ত্রিভুজের তিনটি কোণের অনুপাত ৩ : ৭ : ৮ হলে, ত্রিভুজটির বৃহত্তম কোণের মান কত?
  1. ক
    ৯০°
  2. খ
    ১২০°
  3. গ
    ৮০°
  4. ঘ
    ৬০°
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি ত্রিভুজের তিনটি কোণের অনুপাত ৩ : ৭ : ৮ হলে, ত্রিভুজটির বৃহত্তম কোণের মান কত?

সমাধান:
অনুপাতের যোগফল = ৩ + ৭ + ৮ = ১৮

আমরা জানি, ত্রিভুজের তিন কোণের সমষ্টি = ১৮০°

অতএব, বৃহত্তম কোণের মান = (৮/১৮) × ১৮০° 
= ৮০°

সুতরাং, বৃহত্তম কোণ = ৮০°

১,১৯৭.
৫, ৮, ১১ ও ১৪ মিটার বাহুগুলো দিয়ে কয়টি ত্রিভুজ আঁকা সম্ভব?
  1. ক
    ২টি
  2. খ
    ৩টি
  3. গ
    ৪টি
  4. ঘ
    ১টি
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন : ৫, ৮, ১১ ও ১৪ মিটার বাহুগুলো দিয়ে কয়টি ত্রিভুজ আঁকা সম্ভব?

সমাধান : 
মনে করি, 
ক = ৫ মিটার,
খ = ৮ মিটার,
গ = ১১ মিটার,
ঘ = ১৪ মিটার।

এখানে চারটি বাহু দেয়া আছে। এই ৪ টি বাহু থেকে ৩টি করে বাহু নেয়া যায় ৪ উপায়ে। 
১. ক+খ+গ
২. খ+গ+ঘ
৩. গ+ঘ+ক
৪. ঘ+ক+খ

আবার, আমরা জানি,
ত্রিভুজের যে কোন দুই বাহুর সমষ্টি তৃতীয় বাহু অপেক্ষা বৃহত্তর। 
এই হিসেবে, 
১ নং ক্ষেত্রে, ৫+৮>১১ ; ক+খ+গ দিয়ে ত্রিভুজ আঁকা সম্ভব। 
২ নং ক্ষেত্রে, ৮+১১>১৪ ; খ+গ+ঘ দিয়ে ত্রিভুজ আঁকা সম্ভব। 
৩ নং ক্ষেত্রে, ৫+১১>১৪ ; গ+ঘ+ক দিয়ে ত্রিভুজ আঁকা সম্ভব। 
৪ নং ক্ষেত্রে, ৫+৮<১৪ ; গ+ঘ+ক দিয়ে ত্রিভুজ আঁকা সম্ভব নয়। 

সুতরাং, ৫, ৮, ১১ ও ১৪ মিটার বাহুগুলো দিয়ে ৩টি ত্রিভুজ আঁকা সম্ভব।

উত্তর : ৩টি
১,১৯৮.
একটি ত্রিভুজের একটি কোণ যদি দ্বিতীয় কোণের তিনগুণ এবং তৃতীয় কোণ যদি দ্বিতীয় কোণের চেয়ে ২০ ডিগ্রি বড় হয় তবে কোণটি কত ডিগ্রি?
  1. ক
    ৩২ ডিগ্রি
  2. খ
    ৪০ ডিগ্রি
  3. গ
    ৬৪ ডিগ্রি
  4. ঘ
    ৯৬ ডিগ্রি
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি ত্রিভুজের একটি কোণ যদি দ্বিতীয় কোণের তিনগুণ এবং তৃতীয় কোণ যদি দ্বিতীয় কোণের চেয়ে ২০ ডিগ্রি বড় হয় তবে কোণটি কত ডিগ্রি? 

সমাধান: 
মনে করি, 
দ্বিতীয় কোণ = x ডিগ্রি 
প্রথম কোণ = ৩x ডিগ্রি 
তৃতীয় কোণ = (x + ২০) ডিগ্রি 

∴ x + ৩x + (x + ২০) = ১৮০ 
বা, ৫x + ২০ = ১৮০ 
বা, ৫x = ১৮০ - ২০ 
বা, ৫x = ১৬০ 
বা, x = ১৬০/৫
∴ x = ৩২ 

∴ প্রথম কোণ = ৩x ডিগ্রি 
= (৩ × ৩২) ডিগ্রি 
= ৯৬ ডিগ্রি।
১,১৯৯.
নিচে তিনটি বাহুর দৈর্ঘ্য দেওয়া হলো। কোন ক্ষেত্রে ত্রিভুজ অংকন সম্ভব?
  1. ক
    ক) ৫, ৬, ৭
  2. খ
    খ) ৫, ৭, ১৪
  3. গ
    গ) ৩, ৪, ৭
  4. ঘ
    ঘ) ২, ৪, ৮
ব্যাখ্যা

ত্রিভুজের যেকোন দুই বাহুর সমষ্টি এর তৃতীয় বাহু অপেক্ষা বৃহত্তর।
৫+৬ > ৭ (এটাই সঠিক)
৭+৫ < ১৪
৩+৪ = ৭
৪+২ < ৮

১,২০০.
চিত্রে, AC = 25 সে.মি., AB = 15 সে.মি. হলে, BD =? 
  1. ক
    12 সে.মি.
  2. খ
    14 সে.মি.
  3. গ
    16 সে.মি.
  4. ঘ
    10 সে.মি.
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: চিত্রে, AC = 25 সে.মি., AB = 15 সে.মি. হলে, BD =? 


সমাধান: 
BC2 = AC2 - AB2 
= 252 - 152 
= 625 - 225 
= 400 

BC = √400 = 20 সেমি 

ত্রিভুজ ABC এর ক্ষেত্রফল = (1/2) x ভূমি x উচ্চতা = (1/2) AB × BC = (1/2) AC × BD
⇒ AB × BC = AC × BD
⇒ BD = (AB × BC)/AC
⇒ BD = (15 × 20)/25
= 12 সে.মি.