Number System, Problems on Number

Question: If the product of three consecutive integers is 720, then the sum of the two largest integers is-

Solution: 
720 =  2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 5
       = (2 × 2 × 2) ×  (3 × 3) × (2 × 5)
       = 8 × 9 × 10 

 The sum of the two largest integers is = 9 + 10 = 19

Let numbers be A and B
∴ (A - B)² = 9
∴ A² - 2AB + B² = 9
Further, A² + B² = 225
∴ 225 - 2AB = 9
∴ AB = 108 = product of the two numbers.

√6 x √27
= √(6 x 27)
= √(2 x 3 x 3 x 3 x 3)
= (3 x 3)√2
= 9√2

Question: What least number must be added to 1056, so that the sum is completely divisibly by 23?

Solution:
1056 কে 23  দ্বারা ভাগ করলে 21 অবশিষ্ট থাকে।

এখানে
23 - 21 = 2
2, 1056 এর সাথে যোগ করলে যোগফল 23 দ্বারা বিভাজ্য ।

Question: Find the greatest number that exactly divides each of the numbers 48, 72, and 108.

Solution:
We know,
The HCF (Highest Common Factor) of two or more numbers is the greatest number that divides each of them exactly.

Now,
Prime factorization of 48 = 2 × 2 × 2 × 2 × 3

Prime factorization of 72 = 2 × 2 × 2 × 3 × 3

Prime factorization of 108 = 2 × 2 × 3 × 3 × 3

∴ HCF of 48, 72, and 108 = 2 × 2 × 3 = 12

Therefore, the greatest number is 12.

প্রশ্ন: ৮টি ধারাবাহিক বিজোড় সংখ্যার ৬ষ্ঠ সংখ্যাটি হল - ১৭, সবগুলো সংখ্যার সমষ্টি কত?

সমাধান:
৮টি ধারাবাহিক বিজোড় সংখ্যার সিরিজটি হলো: - ২৭, - ২৫, - ২৩ - ২১, - ১৯, - ১৭, - ১৫, - ১৩
সবগুলো সংখ্যার সমষ্টি = - (২৭ + ২৫ + ২৩ + ২১ + ১৯ + ১৭ + ১৫ + ১৩)
= - ১৬০

আবার
৮টি ধারাবাহিক বিজোড় সংখ্যার সিরিজটি হলো: - ৭, - ৯, - ১১, - ১৩, - ১৫, - ১৭, - ১৯, - ২১
সবগুলো সংখ্যার সমষ্টি = - (৭ + ৯ + ১১ + ১৩ + ১৫ + ১৭ + ১৯ + ২১)
= - ১১২

এখানে দুইভাবে সমাধান করলে উত্তর আসে - ১১২ এবং - ১৬০
অপশনে যেহেতু  - ১১২ আছে তাই সঠিক উত্তর হিসেবে  - ১১২ নেওয়া হয়েছে।

Question: If one-fifth of one-half of a number is 12, then two-thirds of that number is: 

Solution:
Let the number be X.
(1/5) × (1/2) × X = 12
⇒ X = 12 × 5 × 2
⇒ X = 120
Two-thirds of the number:
(2/3) × 120 = 80

Question: The square root of (7 + 3√5) (7 - 3√5) is ?

Solution:
Given that, 
{(7 + 3√5) (7 - 3√5)}
= √{(7)² - (3√5)²}
= √(49 - 45)
= √4
= 2

যেহেতু aþb = ab/(a + b)
∴ 10þ2 = (10 × 2)/(10 + 2)
= 20/12
= 5/3

Question: Which of the following is irrational?

Solution:
একটি সংখ্যা অমূলদ (irrational) হয় যদি এটি p/q আকারে প্রকাশ করা না যায়, যেখানে p এবং q পূর্ণসংখ্যা এবং q ≠ 0।

ক) 0.75 = 75/100 = 3/4 = এটি p/q আকারে প্রকাশ করা যায়, তাই এটি মূলদ সংখ্যা।

খ) √289 = 17 একটি পূর্ণবর্গ সংখ্যা (17² = 289), তাই √289 = 17 একটি মূলদ সংখ্যা।

গ) 3/5 = এটি ইতিমধ্যে p/q আকারে আছে, তাই এটি মূলদ সংখ্যা।

ঘ) √18 = √(9 × 2) = 3√2 একটি পূর্ণবর্গ সংখ্যা নয়, তাই √18 একটি অমূলদ সংখ্যা। এটি p/q আকারে প্রকাশ করা যায় না।

উত্তর: ঘ) √18 একটি অমূলদ (irrational) সংখ্যা।

Question: What is the average (arithmetic mean) of the values 36, 42, 40, 38, 44, 40, and 40?

Solution:
Find the sum of all values:
36 + 42 + 40 + 38 + 44 + 40 + 40 = 280

Divide the sum by the total number of values:
Average = 280 ÷ 7 = 40

5 @ 7 
= 5 + 7 - 5 × 7
= 12 - 35
= - 23

In 12 hours, they are at right angles 22 times.
∴ In 24 hours, they are at right angles 44 times.

Let the number be x and the quotient is q.
Then, x = 899q + 63 = (29 × 31q) + (29 × 2) + 5
= 29(31q + 2) + 5
So, the given number when divided by 29 gives 5 as remainder.

Question: If 45% of a certain number is 72, then find the number-

Solution:
Let the number be x.
Then,
⇒ 45% of x = 72
⇒ (45/100) × x = 72
⇒ 9x/20 = 72
⇒ x = (20 × 72)/9
⇒ x = 1440/9
∴ x = 160

Question: Which of the following numbers is a prime number?

Solution:
A prime number is a number that can only be divided by itself and 1 without remainders.

ক) 213 is divisible by 3.
খ) 191 has no divisors other than 1 and itself → prime
গ) 275 is divisible by 5.
ঘ) 333 is divisible by 3.

∴ 191 is the required prime number as it is not divisible by any prime number.

Question: How many prime numbers are there between 70 and 80?

Solution:
যে সংখ্যা ১ এবং সেই সংখ্যা ছাড়া অন্য কোনো সংখ্যা দ্বারা বিভাজ্য নয়, তাকে মৌলিক সংখ্যা বলে।

৭০ থেকে ৮০ এর মধ্যে সংখ্যাগুলো হলো:
৭১, ৭২, ৭৩, ৭৪, ৭৫, ৭৬, ৭৭, ৭৮, ৭৯

এদের মধ্যে মৌলিক সংখ্যা:
৭১, ৭৩, ৭৯

অতএব, মোট মৌলিক সংখ্যা = ৩টি

Total students i.e. Section A + Section B = 80
Section A = 80 - Section B = 80 - B

∴ 80 x 35 = B x 30 + (80 - B) x 55
⇒ 2800 = 30B + 4400 - 55B
⇒ 1600 = 25 B
⇒ B = 64

∴ B = 64 = Number of students in Class V B.

L.C.M of 3, 5, 6, 8, 10 and 12 = 120
So, the required number is of the form 120k + 2.
Least value of k for which (120k + 2) is divisible by 13 is k = 8.
∴ Required number = (120 × 8 + 2) = 962.
Answer : 962

Question: The difference between the local value and the face value of 7 in the numeral 32675149 is -

Solution:
32675149 -
Local value of 7 = 70000
Face value of 7 = 7
 Difference =(70000 - 7) = 69993

Question: Which of the following is irrational?

Solution:
​√10 একটি অমূলদ সংখ্যা (irrational number)।
অমূলদ সংখ্যা (irrational number):
- যে সংখ্যাকে p/q আকারে প্রকাশ করা যায় না, যেখানে p ও q পূর্ণসংখ্যা এবং q ≠ 0, সে সংখ্যাকে অমূলদ সংখ্যা বলা হয়।
- পূর্ণবর্গ নয় এরূপ যে কোনো স্বাভাবিক সংখ্যার বর্গমূল কিংবা তার ভগ্নাংশ একটি অমূলদ সংখ্যা। যেমন, √2 = 1.414213..., √6 = 2.229489... ইত্যাদি অমূলদ সংখ্যা।
- কোনো অমূলদ সংখ্যাকে দুইটিপূর্ণ সংখ্যার অনুপাত হিসেবে প্রকাশ করা যায় না।
-অমূলদ সংখ্যাকে একটি মূলদ সংখ্যা দ্বারা গুণ করলে অমূলদ সংখ্যা পাওয়া যায়।
অর্থাৎ, non zero rational number × irrational number = irrational number.

Question: A two-digit number is 4 times the sum of its digits. If the digits differ by 3, find the number.

Solution:
Two digit number have:
Tens digit = a
Ones digit = b
So the number is:
10a + b

Condition 1:
The number is 4 times the sum of its digits.
10a + b = 4 (a + b)
⇒ 10a + b = 4a + 4b
⇒ 10a - 4a = 4b - b
⇒ 6a = 3b
⇒ 2a = b .......(1)

Condition 2:
The two digits differ by 3.
| a - b | = 3 

From Condition 1:
| a - b | = 3
⇒ | a - 2a | = 3 [substituting b = 2a]
⇒ | - a | = 3
⇒ a = 3

so,
b = 2a
⇒ b = 2 × 3 = 6

So the number is = 36

Least six-digit number is = 100000
Lcm of 15, 21, 28 is = 420
Then, 100000/420 = quotient 238 and remainder = 40
So, the number is = (100000 – 40) + 420  = 100380

Let, the numbers be a and b where a > b.
According to the question,
a - b = 10 ....... (i)
And (a + b)/5 = 8
By cross multiplying, we get
⇒ a + b = 40 ...... (ii)
By subtracting equation (ii) from (i) we get
2b = 40 - 10 = 30
⇒ b = 30/2 = 15

And from (i)
a = 10 + 15 = 25
Answer: 15

Question: What least value must be assigned to 'a' so that the number 197a5462 is divisible by 9?

Solution:
We know,
A number is divisible by 9 if the sum of its digits is divisible by 9.

The number is: 1 9 7 a 5 4 6 2
∴ Sum of the known digits = 1 + 9 + 7 + 5 + 4 + 6 + 2 = 34
∴ Total sum of digits = 34 + a
For (34 + x) to be divisible by 9, 
The multiples of 9 just above 34 are: 36, 45, 54, …
a = 36 - 34 = 2
a = 45 - 34 = 11 ; [wrong because a must be a single digit]

∴ So the least value of a = 2

Let the numbers be 37a and 37b.
Then,
37a x 37b = 4107
=> ab = 3.
Now co-primes with product 3 are (1, 3)
So, the required numbers are (37 x 1, 37 x 3) i.e, (37,111).
Therefore, Greater number = 111.

Here,
(28+14+7+4+2+1)/ 28 = 56/ 28 =2

এখানে,
প্রথম রাশি, (1 - a)² = (1 - a)(1 - a)
দ্বিতীয় রাশি, (1 - a)
তৃতীয় রাশি, (a - 1)² = {-(1 - a)}² = (1 - a)² = (1 - a)(1 - a)
∴ LCM = (1 - a)(1 - a) = (1 - a)²

Question: In a class of 100 students, 45 are taking Mathematics, 35 are taking English and 15 are taking both courses. How many students are not enrolled in either course?

Solution:
এখানে মোট শিক্ষার্থী সংখ্যা N = 100
 গণিত নেওয়া শিক্ষার্থীর সংখ্যা n(M) = 45, 
ইংরেজি নেওয়া শিক্ষার্থীর সংখ্যা n(E) = 35
উভয় বিষয় নেওয়া শিক্ষার্থীর সংখ্যা n(M ∩ E) = 15

আমরা জানি, 
অন্তত একটি কোর্স নেওয়া শিক্ষার্থীর সংখ্যা, n(M ∪ E) = n(M) + n(E) - n(M ∩ E)
=  45 + 35 - 15
= 65

∴ কোনো কোর্সেই ভর্তি না হওয়া শিক্ষার্থীর সংখ্যা = N - n(M ∪ E)
= 100 - 65
= 35

let the number is x
according to the given question-
it is doubled = 2x
then added 9 = 2x+9
resultant is tripled. so, = 3(2x+9)
given, 75
3(2x+9) = 75
6x + 27 = 75
6x = 75 - 27
6x = 48
x = 48/6 
x = 8
hence, the number is 8.

Let the number of hens be x and the number of cows be y.
Then, x + y = 48 .... (i)
and 2x + 4y = 140
x + 2y = 70 .... (ii)
Solving (i) and (ii) we get: x = 26, y = 22.
The required answer = 26.

Question: If x is a whole number greater than 1. Then x²(x² - 1) is always divisible by?

Solution:
Here, x = 2, 3, 4...
When x = 2,
then = x²(x² - 1)
= 2²(2² - 1)
= 4 (4 - 1)
= 4 × 3
= 12

When, x = 3,
then = x²(x² - 1)
= 3² (3² - 1)
= 9 × 8
= 72
............

Now, the given options are 10, 6, 8 and 5.
∴ 12 and 72 is not divisible by 10, 8 and 5. 
But, 12 and 72 is divisible by 6.

So, x²(x² - 1) is always divisible by 6.

Question: Which of the following is the lowest positive integer that is divisible by 8, 9, 10, 11 and 12?

Solution: 
ক্ষুদ্রতম সংখ্যাটি হবে 8, 9, 10, 11 এবং 12 এর ল.সা.গু 
8 = 2 × 2 × 2
9 = 3 × 3
10 = 2 × 5
11 = 1 × 11 
12 = 2 × 2 × 3

8, 9, 10, 11 এবং 12 এর ল.সা.গু  = 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 5  × 11 = 3960