Algebra

Question: If a + b = √13 and a - b = √5, what is the value of 8ab(a² + b²)?

Solution:
দেওয়া আছে,
a + b = √13
a - b = √5

আমরা জানি,
2(a² + b²) = (a + b)² + (a - b)²
4ab = (a + b)² - (a - b)²

এখন,
8ab(a² + b²) = (4ab) × 2(a² + b²)
= [(a + b)² - (a - b)²][(a + b)² + (a - b)²]
= [(√13)² - (√5)²][(√13)² + (√5)²]
= (13 - 5)(13 + 5)
= (8)(18)
= 144

Question: If Nita is 15 ahead in rank of Mita who ranks 13th from the last, then how many students are there in the class if Nita ranks 5th in order of merit?

Solution:
Let the total number of students = n

Now,
Mita’s position from the last = 13th
∴ Mita’s position from the front = n - 13 + 1 = n - 12

Again,
Nita’s position from the front = 5th.

And, Nita is 15 ranks ahead of Mita.
∴ Mita’s position = Nita’s position + 15.

According to the problem,
n - 12 = 5 + 15
⇒ n - 12 = 20
⇒ n = 20 + 12
∴ n = 32 

Therefore, the total number of students in the class = 32.

Question: Solution set of the inequality, 4x - 7 ≤ 2x + 5 is-

Solution:
Given that,
4x - 7 ≤ 2x + 5
⇒ 4x - 2x ≤ 7 + 5
⇒ 2x ≤ 12
⇒ x ≤ 6
∴ x ≤ 6

∴ Solution set of the inequality is (- ∞, 6]

Question: The 2nd term of a geometric sequence is 27/8, and the 5th term is 1. What is the common ratio?

Solution:
আমরা জানি, একটি গুণোত্তর ধারার n-তম পদ, a_n = a.r^{n - 1}

দেয়া আছে,
2য় পদ, a₂ = 27/8
⇒ ar = 27/8 …...(1)

5ম পদ, a₅ = 1
⇒ a.r⁴ = 1 …....(2)

এখন, সমীকরণ (2) ÷ সমীকরণ (1) ⇒
(ar⁴)/(ar) = 1/(27/8)
⇒ r³ = 8/27
⇒ r³ = (2/3)³
⇒ r = 2/3

∴ সাধারণ অনুপাত (common ratio) হলো 2/3

Given,
y₁ = 2x - 5 and y₂ = - x + 10
As, y₂ > y₁
Or, - x + 10 > 2x - 5
Or, 15 > 3x
Or, 3x < 15
Or, x<5

Question: If 2x + 3y = 24 and y = 2x, then find y - x.

Solution:
দেওয়া আছে, 2x + 3y = 24 এবং y = 2x
⇒ 2x + 3(2x) = 24
⇒ 2x + 6x = 24
⇒ 8x = 24
⇒ x = 3

∴ y = 2×3 = 6
তাহলে, y - x = 6 - 3 = 3

Question: If (a/b) + (b/a) = 4, find the value of (a³/b³) + (b³/a³).

Solution:
দেওয়া আছে, (a/b) + (b/a) = 4

প্রদত্ত রাশি = (a³/b³) + (b³/a³)
= (a/b)³ + (b/a)³
= {(a/b) + (b/a)}³ - 3 (a/b)(b/a) . {(a/b) + (b/a)}
= 4³ - (3 × 1 × 4)
= 64 - 12
= 52

∴ প্রদত্ত রাশির মান 52

Question: Solution set of the inequality: 3y + 4 ≥ 2y - 5 is-

Solution:
Given that,
3y + 4 ≥ 2y - 5
⇒ 3y + 4 - 2y ≥ 2y - 5 - 2y
⇒ y + 4 ≥ - 5
⇒ y ≥ - 5 - 4
⇒ y ≥ - 9

∴ Solution set of the inequality is  [- 9,  ∞)

Question: What is the solution set of the inequality, - 2x + 11 ≥ 5?

Solution:
Given that, 
- 2x + 11 ≥ 5
⇒ - 2x + 11 - 11 ≥ 5 - 11 ; [Subtract 11 from both sides]
⇒ - 2x ≥ - 6
∴ x ≤ 3  ; [Divide both sides by - 2]

Solution set: x ≤ 3
or in interval notation: (- ∞, 3]

1²  + 2²  + 3²  + ........ + 9² 
n সংখ্যক স্বাভাবিক সংখ্যার বর্গের সমষ্টি  = n(n + 1)(2n + 1)/6
= 9(9 + 1)(2×9 + 1)/6
= (9×10×19)/6
= 285

√{(16)(20) + (8)(32)} 
= √{(320) + (256)} 
= √(576)
= 24

Question: Find the first term of an arithmetic progression(A.P.) whose 8^th and 12^th terms are respectively 39 and 59.

Solution:
We know,
Arithmetic progression, n^th term is  = a + (n - 1)d,
where a is the first term and d is the common difference.
Given that, 
8^th term = 39 and 12^th term = 59

Now,
8^th term = a + 7d = 39 ........... (i)
12^th term = a + 11d = 59 ........... (ii)
(i) - (ii) ⇒ a + 7d - a - 11d = 39 - 59
⇒ 4d = 20
 ∴ d = 5
Hence, a + 7 × 5 = 39
Thus, a = 39 - 35 = 4

 so the first term of the A.P. is 4.

Question: If x - y = 15 and xy = 54, then what is the value of x + y?

Solution:
দেওয়া আছে,
x - y = 15
xy = 54

আমরা জানি,
(x + y)² = (x - y)² + 4xy
⇒ (x + y)² = (15)² + 4 × 54
⇒ (x + y)² = 225 + 216
⇒ (x + y)² = 441
⇒ x + y = √441
⇒ x + y = 21

সুতরাং, x + y এর মান হলো 21।

Question: Find the equation of the vertical line passing through the point (7, - 4).

Solution:
একটি উল্লম্ব রেখা (vertical line) হলো এমন একটি সরলরেখা যা Y-অক্ষের সমান্তরাল। এই ধরনের রেখার একটি বিশেষ বৈশিষ্ট্য হলো, এই রেখার উপর অবস্থিত প্রতিটি বিন্দুর x-স্থানাঙ্ক (x-coordinate) একই থাকে, কিন্তু y-স্থানাঙ্ক (y-coordinate) পরিবর্তিত হতে পারে।

উল্লম্ব রেখার (vertical line) সাধারণ সমীকরণ হলো: x = a
যেখানে a একটি ধ্রুবক সংখ্যা এবং রেখার প্রতিটি বিন্দুর x এর মান একই থাকে।

প্রশ্নে বলা হয়েছে রেখাটি (7, - 4) বিন্দুর মধ্য দিয়ে যায়।
যেহেতু, আমরা জানি, একটি উল্লম্ব রেখার প্রতিটি বিন্দুর x-স্থানাঙ্ক একই থাকে, এবং এই বিন্দুর x-স্থানাঙ্ক হলো 7, সুতরাং, রেখাটির সমীকরণ হবে:
x = 7

Given, 2x - 3y = 6 .... (i)
Lets (i) × (-2),
So, - 4x + 6y = - 12
Or, 6y - 4x = - 12

Question: To fill a tank, 28 buckets of water are required. How many buckets of water will be required to fill the same tank if the capacity of the bucket is reduced to four-fifth of its present?

Solution: 

ধরি,
বালতির ধারণক্ষমতা x
ট্যাঙ্কের ধারণক্ষমতা 28x

আবার,
বালতির নতুন ধারণক্ষমতা (4x/5) 

∴ প্রয়োজনীয় বালতির সংখ্যা = 28x/(4x/5) 
= 28x × (5/4x) 
= (7 × 5) টি
= 35 টি

Let, the numbers be x and y
According to the question, x  +  y = 21 ......(i) and x²  +  y²  =  333 ......(ii) 
∴ (x + y)² = x² + y² + 2xy
⇒ (21)² = 333 + 2xy
⇒ 441 = 333 + 2xy
⇒ 2xy = 108
⇒ xy = 54

Question: Which of the following is equivalent to the pair of inequalities 2x - 5 > 3 and x + 4 ≤ 12?

Solution:
প্রথম অসমতাটি হলো:
⇒ 2x - 5 > 3
⇒ 2x > 3 + 5
⇒ 2x > 8
⇒ x > 4

দ্বিতীয় অসমতাটি হলো:
⇒ x + 4 ≤ 12
⇒ x ≤ 12 - 4
⇒ x ≤ 8

এখন প্রাপ্ত ফলাফল দুটিকে একত্রে সাজালে পাই:
4 < x এবং x ≤ 8
∴ 4 < x ≤ 8

Question: If a + b + c = 15 and a² + b² + c² = 77, what is the value of ab + bc + ca = ?

Solution:
Given that, 
a + b + c = 15 and a² + b² + c² = 77

We know,
(a + b + c)² = a² + b² + c² + 2(ab + bc + ca)
⇒ 15² = 77 + 2(ab + bc + ca) ; [Substitute the given values]
⇒ 225 = 77 + 2(ab + bc + ca)
⇒ 2(ab + bc + ca) = 225 - 77
⇒ 2(ab + bc + ca) = 148
⇒ ab + bc + ca = 148/2
∴ ab + bc + ca = 74

a b c d e f G h i j k l m N o p q r s t u v w x y z

Question: If |2x + 5| < 3, then for what values of p and q will p < 3x - 2 < q hold?

Solution:
Given that, 
|2x + 5| < 3
⇒ - 3 < 2x + 5 < 3
⇒ - 3 - 5 < 2x + 5 - 5 < 3 - 5
⇒ - 8 < 2x < -2
⇒ - 4 < x < -1    ; [dividing by 2]
⇒ - 12 < 3x < - 3  ; [Now multiply all parts by 3]
⇒ - 12 - 2 < 3x - 2 < - 3 - 2  ; [Subtract 2 from all parts]
⇒ - 14 < 3x - 2 < - 5

Now comparing with p < 3x - 2 < q, Then we get,
∴ p = - 14 and q = - 5

Question: If 2x - 7 ≤ 11, then-

Solution:
Given, 
⇒ 2x - 7 ≤ 11
⇒ 2x - 7 + 7 ≤ 11 + 7
⇒ 2x ≤ 18
∴ x ≤ 9 

Question: If a² - 4a + 1 = 0, then the value of a³ + 1/a³ = ?

Solution: 
Given that, 
a² - 4a + 1 = 0
⇒ a² + 1 = 4a
⇒ (a²/a) + 1/a = 4a/a
∴ a + 1/a = 4

Now, 
a³ + 1/a³
= (a + 1/a)³ - 3 × a × (1/a) (a + 1/a)
= 4³ - (3  × 4)
= 64 - 12
= 52

Question: If 0 ≤ x ≤ 4 and y < 6, which of the following cannot be the value of xy?

Solution:
0 ≤ x ≤ 4; x = 0, 1, 2, 3, 4 এবং y < 6

এখন,
x = 2 হলে,
a) xy = 2 × (- 1) = - 2   [y = - 1]
b) xy = 2 × 0 = 0          [y = 0]
c) xy = 2 × 5 = 10          [y = 5]

কিন্তু,
d) xy = 24 
= 1 × 24
= 2 × 12
= 3 × 8
= 4 × 6 

সুতরাং, 24 সম্ভব নয়। কারণ, প্রশ্নমতে y < 6.

Question: Find the midpoint of the line segment joining the points P₁ = (4, -3) and P₂ = (6, 1).

Solution: 
দেওয়া আছে, 
P₁ = (4, -3) এবং P₂ = (6, 1)

আমরা জানি, 
দুটি বিন্দু (x₁, y₁) এবং (x₂, y₂)-এর জন্য মধ্যবিন্দু,
M = {(x₁​ + x₂)/2​​, (y₁​ + y₂​​)/2}

যেখানে, x₁​ = 4, y₁​ = - 3, x₂ ​= 6, y₂ ​= 1

এখন, 
M_x​ = (4 + 6)/2​ = 10​/2 = 5
এবং,
M_y ​= (- 3 + 1​)/2 = - 2​/2 = - 1 

∴ মধ্যবিন্দু = (5, - 1) 

Cost of 21 pencils and 9 clippers = Tk. 819
Cost of 7 pencils and 3 clippers = 819/3 = Tk. 273

Question: State the order of the matrix-

Solution:
ম্যাট্রিক্সের মাত্রা বা ক্রম(Order of Matrix): একটি ম্যাট্রিক্সের সারি ও কলামের সংখ্যা যথাক্রমে m ও n হলে, ঐ ম্যাট্রিক্সকে m × n ক্রমের বা আকারের ম্যাট্রিক্স বলা হয়।
অর্থাৎ ম্যাট্রিক্সের আকার বা মাত্রা বোঝাতে প্রথমে সারি এবং পরে কলাম উল্লেখ করা হয়।
প্রদত্ত ম্যাট্রিক্সটি একটি আয়তাকার ম্যাট্রিক্স কারণ এর সারি ও কলাম অসমান।
এখানে,
সারি m = 3 এবং কলাম n = 2

∴ প্রদত্ত ম্যাট্রিক্সটি একটি 3 × 2 আকারের ম্যাট্রিক্স।

Question: The sum of three consecutive multiples of 4 is 300. What is the largest number?

Solution: 
Let,
First multiple 4x
Second multiple 4(x + 1) = 4x + 4
Third multiple 4(x + 2) = 4x + 8

ATQ,
4x + 4x + 4 + 4x + 8 = 300
⇒ 12x + 12 = 300
⇒ 12x = 288
⇒ x = 288/12
∴ x = 24

So, largest number = 4x + 8
= (4 × 24) + 8
= 104

Question: Let U = {1,2,3,4,5,6,7,8}, A = {2,3,6}, and B = {1,4,5}. Find A^c ∪ B^c.

Solution:
Complement of A:
A = {2,3,6}
U = {1,2,3,4,5,6,7,8}
A^c = U - A = {1,4,5,7,8}

Complement of B:
B = {1,4,5}
B^c = U - B = {2,3,6,7,8}

Union of Complements:
A^c ∪ B^c = {1,4,5,7,8} ∪ {2,3,6,7,8} = {1,2,3,4,5,6,7,8} = U

∴A^c ∪ B^c = {1,2,3,4,5,6,7,8}

যদি দুটি দ্বিঘাত সমীকরণের উভয় উৎপাদক সাধারণ হয়, তাহলে তাদের সহগগুলি সমানুপাতিক হবে। অর্থাৎ
a₁/a₂ = b₁/b₂ = c₁/c₂ .......(3)

এখন,
1 নং সমীকরণ হতে সহগগুলির তুলনা করে পাই,
a₁ = 2 , b₁ = - 5, c₁ = 3
এবং 2 নং সমীকরণ হতে সহগগুলির তুলনা করে পাই,
a₂ = 4, b₂ = - (k + 1), c₂ = 6

এখন,
3 নং সমীকরণ হতে সমানুপাতিকতার শর্ত ব্যবহার করে,
2/4 = - 5/- (k + 1) = 3/6

প্রথম দুইটি অনুপাত হতে পাই,
⇒ 2/4 = - 5/- (k + 1)
⇒ 2k + 2 = 20
⇒ 2k = 18
∴ k = 9

আবার, শেষ দুইটি অনুপাত হতে পাই,
⇒ - 5/- (k + 1) = 3/6
⇒ 3k + 3 = 30
⇒ 3k = 27
∴ k = 9

∴ উভয় সমীকরণে একটি সাধারণ মূল 9 থাকবে।

Question: What should be the value of "P" so that the expression (9 − 24x + Px²) becomes a perfect square?

Solution:
(9 − 24x + Px²)
= (3)² − 2 × 3 × 4x + (4x)² + Px² - (4x)²
= (3 - 4x)² + Px² - 16x²

∴ the expression becomes a perfect square if,
Px² - 16x² = 0
⇒ Px² = 16x²
∴ P = 16

Question: If (a - 18)² + (b - 12)² + (c - 6)² = 0 then, What is the value of (a + b + c)^1/2 = ?
​
​Solution:
​দেওয়া আছে,
​(a - 18)² + (b - 12)² + (c - 6)² = 0
​
​আমরা জানি, যেকোনো বর্গের যোগফল শূন্য হলে প্রতিটি বর্গই শূন্য হবে।
​সুতরাং,
​​(a - 18)² = 0
⇒ ​a - 18 = 0
∴ ​a = 18
​
​আবার,
​(b - 12)² = 0
⇒ ​​b - 12 = 0
∴ ​​b = 12
​
​এবং
​(c - 6)² = 0
⇒ ​​c - 6 = 0
∴ ​c = 6
​
​প্রদত্ত রাশি,
​ (a + b + c)^1/2
​= (18 + 12 + 6)^1/2
​= (36)^1/2
​= 6

Let,
x/2 = y/3 = z/4 = m
Then, x = 2m, y = 3m, z = 4m
∴ x/2 = (2x - 3y + 5z)/k = 2m/2
⇒ (2 × 2m - 3 × 3m + 5 × 4m)/k = m
⇒ k = 4 - 9 + 20
= 15.

Question: If x = 2y = 4z and xyz = 64, find the value of x.

Solution:
Given,
x = 2y = 4z
So, y = x / 2 and z = x / 4

Now,
xyz = 64
⇒ x × (x/2) × (x/4) = 64
⇒ x³/8 = 64
⇒ x³ = 64 × 8
⇒ x³ = 512
⇒ x = ∛512
∴ x = 8

Question: What is the sum of the first 20 terms of the series 6, 11, 16, 21, ...?

Solution:
এটি একটি সমান্তর ধারা (arithmetic series)।
এখানে,
​প্রথম পদ, a = 6
সাধারণ অন্তর, d = 11 - 6 = 5
পদের সংখ্যা, n = 20

সমান্তর ধারার n-সংখ্যক পদের সমষ্টি সূত্র:
S_n = (n/2) [2a + (n - 1)d]

∴ প্রথম 20টি পদের সমষ্টি:
S₂₀ = (20/2) [2 × 6 + (20 - 1) × 5]
= 10 [12 + 19 × 5]
= 10 [12 + 95]
= 10 × 107
= 1070

∴ প্রথম 20টি পদের সমষ্টি = 1070

Given, ar⁰ = 1/2
Or, a = 1/2
And, ar⁵ = 1/64
Or, r⁵ = 1/32
Or, r⁵ = (1/2)⁵
∴ Ratio, r = 1/2

Given,
a - (1/a) = 2
On cubing both of the sides,
a³ - (1/a³) - 3 × a × (1/a) (a - 1/a) = 2³
⇒ a³ - (1/a³) - 3(a - 1/a) = 8
⇒ a³ - (1/a³) - 3 × 2 = 8
⇒ a³ - (1/a³) = 8 + 6
∴ a³ - (1/a³) = 14.