Algebra

Question: What should be the value of "P" so that the expression (9 - 12x + Px²) becomes a perfect square?

Solution:
(9 - 12x + Px²)
= (3)² - 2 × 3 × 2x + (2x)² + Px² - (2x)²
= (3 - 2x)² + Px² - 4x²

The expression becomes a perfect square if:
Px² - 4x² = 0
⇒ Px² = 4x² 
∴ P = 4

Question: If A is a zero matrix, then A + B = ?
(Senior Officer 2022 অনুযায়ী)

Solution:
যদি A একটি শূন্য ম্যাট্রিক্স (zero matrix) হয়, তবে এর সব উপাদান শূন্য।
ম্যাট্রিক্স যোগ করার সময় প্রতিটি অবস্থানের উপাদানগুলি যথাক্রমে যোগ করা হয়।

তাই A + B মানে প্রতিটি অবস্থানে A-এর উপাদান এবং B-এর উপাদান যোগ করা।
যেহেতু A-এর সব উপাদান শূন্য, প্রতিটি অবস্থানে যোগফল শুধু B-এর উপাদানই থাকবে। তাই A + B = B.

এটি একটি মৌলিক বৈশিষ্ট্য যা শূন্য ম্যাট্রিক্সের সাথে যে কোনো ম্যাট্রিক্স যোগ করলে মূল ম্যাট্রিক্স অপরিবর্তিত থাকে।
সুতরাং সঠিক উত্তর হলো Matrix B।

- উত্তর: খ) Matrix B

Question: If x = 2y = 4z and xyz = 64, find the value of x.

Solution:
Given,
x = 2y = 4z
So, y = x / 2 and z = x / 4

Now,
xyz = 64
⇒ x × (x/2) × (x/4) = 64
⇒ x³/8 = 64
⇒ x³ = 64 × 8
⇒ x³ = 512
⇒ x³ = 8³
∴ x = 8

যেহেতু ধারাটি একটি সমান্তর ধারা তাই সব পদের ব্যবধান সমান
(2a + 1) - (a + 1) = (4a - 1) - (2a + 1)
⇒ 2a + 1 - a - 1 = 4a - 1 - 2a - 1
⇒ a = 2a - 2
∴ a = 2

Question: If x/y = 1/3,  then (x² + y²)/(x² - y²) = ?

Solution:
(x² + y²)/(x² - y²) 
= {(x² + y²)/y²}/{x² - y²)/y² [Dividing the numerator and denominator by y²]
= {(x²/y²) + 1}/{(x²/y²) - 1}
= {(x/y)² + 1}/{(x/y)² - 1)}
= {(1/3)² + 1}/{(1/3)² - 1} [given, x/y = 1/3]
= {(1/9) + 1}/{(1/9} - 1}
= (10/9)/(-8/9)
= (10/9) × (9/-8)
= - 5/4

Shortcut:
Take x = 1, y = 3 (because 1/3 = 1/3)
∴ (x² + y²)/(x² - y²) = (1² + 3² )/(1² - 3²)
= (1 + 9)/(1 - 9) = - 5/4

Question: The second term of a geometric progression is 10 and the fifth term is 80. What is the common ratio?

Solution: 
Let the first term = a
Common ratio = r

We know,
n term of geometric progression = ar^{n - 1}
∴ Second term = ar = 10
And fifth term   = ar⁴ = 80

Now, divide the second equation by the first. Then we get,
(ar⁴)/(ar) = 80/10
⇒ r³ = 8
⇒ r³ = 2³
∴ r = 2

So the common ratio is 2.

Question:

Solution:
আমরা জানি, কোনো বর্গ ম্যাট্রিক্সের প্রধান কর্ণের ভুক্তিগুলোর সমষ্টিকে ওই ম্যাট্রিক্সের ট্রেস (trace) বলা হয়।

প্রদত্ত ম্যাট্রিক্সটির প্রধান কর্ণের ভুক্তিগুলো হলো: 2, 5, 8.
অতএব, A ম্যাট্রিক্সের ট্রেস, Tr(A) = 2 + 5 + 8 = 15

∴ ম্যাট্রিক্সটির ট্রেস, Tr(A) = 15

Question: In a class of 98 students, 41 are taking Bengali, 22 are taking English and 9 are taking both courses. How many students are not enrolled in either course?
(Officer Cash 2022 অনুযায়ী)

Solution:
Total students = 98
Students taking Bengali n(B) = 41
Students taking English n(E) = 22
Students taking both Bengali and English = 9

We know,
n(B ∪ E) = n(B) + n(E) - n(B ∩ E)
n(B ∪ E) = 41 + 22 - 9 = 54

∴ Not enrolled = Total students - n(B ∪ E) = 98 - 54 = 44

প্রশ্ন: যদি P = 5 + √2  হয়, তবে P² এর মান কত?

সমাধান:
P = 5 + √2
∴ P² = (5 + √2)² 
⇒ P² = 5² + 2 . 5 . √2 + (√2)²
⇒ P² = 25 + 10√2 + 2
∴ P² = 27 + 10√2

যেহতু 1.5 সমীকরণটির একটি মূল সেহেতু (1.5)² + 1.5m + 24 = 0
⇒ 2.25 + 1.5m + 24 =0
⇒ m = - 26.25/1.5
⇒ m = - 17.5

Question: In a class of 40 students, 18 study French, 15 study Spanish, and 7 study both languages. How many students study neither language?

Solution:
Given that,
Total students = 40
Study French = 18
Study Spanish = 15
Study both = 7

Students studying at least one language = F + S - Both
= 18 + 15 - 7
= 26

Therefore, Students who study neither language = Total students - at least one language
= 40 - 26 = 14

∴ 14 students study neither language.

Question: If α and β are the zeros of the polynomial f(x) = x² - 5x + k such that α - β = 1, find the value of k.

Solution:
Given,
f(x) = x² - 5x + k
α - β = 1 .................... (1)
α and β are the zeros of the polynomial.
α + β = - (- 5)
∴ α + β = 5......................... (2)

(1) + (2)
α - β = 1
α + β = 5
2α = 6
∴ α = 3

From equ. (2) 
β = 5 - 3
∴ β = 2

Now, αβ = k
⇒ k = 3 × 2
∴ k = 6

Question: If x² + yz + zx + xy is divided by x + y, the result is-

Solution:
x² + yz + zx + xy
= x² + xy + zx + yz
= x(x + y) + z(x + y)
= (x + y)(x + z)

∴ divided by (x + y) the result = (x + y)(x + z)/(x +y) = (x + z)

2 - [2 - {2 - 2(2 + 2)}]
= 2 - [2 - {2 - 2 × 4}]
= 2 - [2 - {2 - 8}]
= 2 - [2 + 6]
= 2 - 8 
= -6 

Question: If n(U) = 150, n(A) = 55, n(B) = 48, and n(A ∩ B) = 18, then what is n(A ∪ B)'?

Solution:
Given that,
n(U) = 150
n(A) = 55
n(B) = 48
n(A ∩ B) = 18

We know, n(A ∪ B) = n(A) + n(B) - n(A ∩ B)
⇒ n(A ∪ B) = 55 + 48 - 18
⇒ n(A ∪ B) = 103 - 18
⇒ n(A ∪ B) = 85

Now, n(A ∪ B)' = n(U) - n(A ∪ B)
⇒ n(A ∪ B)' = 150 - 85
∴ n(A ∪ B)' = 65

Question: Solution set of inequality: 2x + 5 < 5x - 4 is

Solution: 
Given that, 
2x + 5 < 5x - 4
⇒ 2x + 5 + 4 < 5x - 4 + 4
⇒ 2x + 9 < 5x
⇒ 2x + 9 - 2x < 5x - 2x
⇒ 3x > 9
∴ x > 3
This can also be written as x > 3

So the set of inequality is (3, + ∞)

Question: What is the solution of the inequality, 
- 12 < 4x - 8 ≤ 20 ?
​
​Solution:
- 12 < 4x - 8 ≤ 20
⇒ - 12 + 8 < 4x - 8 + 8 ≤ 20 + 8
⇒ - 4 < 4x ≤ 28
⇒ - 4/4 < 4x/4 ≤ 28/4
⇒ - 1 < x ≤ 7

ব্যবধি আকারে লিখলে হয়: (- 1, 7]

(- 1, 7] বলতে বোঝায় যে, - 1 এর চেয়ে বড় এবং 7 বা তার চেয়ে ছোট সব বাস্তব সংখ্যা এই সমাধানের অন্তর্ভুক্ত।

এখানে, |x - 1| = 2x
যদি x এর মান ধনাত্মক হয়, x - 1 = 2x
বা, 2x - x = -1
বা, x = -1 [গ্রহণযোগ্য নয়, কারণ এতে করে পরম মান ঋণাত্মক হয়, যা অসম্ভব] 
যদি x এর মান ঋণাত্মক হয়, -(x - 1) = 2x 
বা, - x + 1 = 2x
বা, 3x = 1
বা, x = 1/3

Question: Which of the following is the smallest given that x > y > 1 ?

Solution:
Given that,  x > y > 1,
Consider the expressions,
∴ (x/y) >1 (since x > y)

Adding the same positive number to numerator and denominator reduces the fraction when numerator > denominator.
Thus,
(x/y) > (x+1)/(y+1) > (x + 2)/(y + 2)
Also, (x + 1)/y > (x+1)/(y+1)​ (larger denominator)
and xy > x > y > 1

∴ The smallest is (x + 2)/(y + 2)​

Question: If |x - 2| < 5, what are the values of a and b for which a < 2x + 9 < b?

Solution:
|x - 2| < 5
⇒ - 5 < x - 2 < 5
⇒ - 5 + 2 < x - 2 + 2 < 5 + 2
⇒ - 3 < x < 7
⇒ - 6 < 2x < 14
⇒ - 6 + 9 < 2x + 9 < 14 + 9
∴ 3 < 2x + 9 < 23

Compare with a < 2x + 9 < b.
We get, a = 3 and b = 23

Question: In a class, 25 students play football, 15 students play cricket, and 5 students play both. 10 students play neither football nor cricket. What is the total number of students in the class?

Solution:
Number of students who play football, n(F) = 25
Number of students who play cricket, n(C) = 15
Number of students who play both football and cricket, n(F ∩ C) = 5
Number of students who play neither = 10

n(F ∪ C) = n(F) + n(C) - n(F ∩ C)
= 25 + 15 - 5
= 35

Total students in the class = students who play football or cricket + students who play neither
= 35 + 10
= 45

∴ There are 45 students in the class.

Question:

Solution:

Question: If m is the average of the first 7 positive multiples of 4 and if M is the median of the first 7 positive multiples of 4, what is the value of M - m?

Solution:
4-এর প্রথম 7টি ধনাত্মক গুণিতক হলো= {4, 8, 12, 16, 20, 24, 28}
(এখানে পদের সংখ্যা, n = 7)

ধাপ 1: গড় (m) নির্ণয়:
যেহেতু এটি একটি সমান্তর ধারা (Arithmetic Progression), গড় হলো প্রথম ও শেষ পদের গড়।
m = (প্রথম পদ + শেষ পদ)/2
∴ m = (4 + 28)/2 = 32/2 = 16

ধাপ 2: মধ্যমা (M) নির্ণয়:
যেহেতু পদসংখ্যা বিজোড় (n = 7),
∴ মধ্যমা হবে (7 + 1)/2 বা 4র্থ পদ।
4র্থ পদ = 16
∴ M = 16

ধাপ 3: M - m এর মান নির্ণয়:
M - m = 16 - 16
∴ M - m = 0

অতএব, M - m এর মান হলো 0।

Shortcut:
যেহেতু 4-এর গুণিতকগুলো একটি সমান্তর ধারা (Arithmetic Progression) তৈরি করে, তাই যেকোনো সমান্তর ধারার ক্ষেত্রে গড় (m) এবং মধ্যমা (M) সর্বদা সমান হয়। অতএব, M - m = 0 হবে।

Question: If P = 5 + √3, then find the value of P² ?

Solution:
Given that,
P = 5 + √3
∴ P²= (5 + √3)²
= 5² + 2 × 5 × √3 + (√3)²
= 25 + 10√3 + 3
= 28 + 10√3

Question:

Solution:
দেয়া আছে,
 

- ট্রেস(Trace): Matrix এর trace হলো একটি বর্গাকার ম্যাট্রিক্সের প্রধান কর্ণের উপাদানগুলোর যোগফল।
- প্রধান কর্ণ হলো ম্যাট্রিক্সের উপরের বাম কোণ থেকে নিচের ডান কোণ পর্যন্ত উপাদানগুলো।
প্রদত্ত ম্যাট্রিক্স A এর প্রধান কর্ণের উপাদানগুলো হলো 5, 2, 3
তাহলে, প্রদত্ত ম্যাট্রিক্সের ট্রেস (Trace) B = 5 + 2 + 3 = 10

Question: The 2nd term of a geometric sequence is 4/3, and the 5th term is 32/81. What is the common ratio?

Solution:
আমরা জানি, একটি গুণোত্তর ধারার n-তম পদ, a_n = a.r^{n - 1}
দেওয়া আছে,
2য় পদ, a₂ = 4/3
⇒ ar = 4/3 …...(1)

5ম পদ, a₅ = 32/81
⇒ ar⁴ = 32/81 …....(2)

এখন, সমীকরণ (2) ÷ সমীকরণ (1) ⇒
(ar⁴)/(ar) = (32/81)/(4/3)
⇒ r³ = (32/81) × (3/4)
⇒ r³ = 8/27
⇒ r³ = (2/3)³
⇒ r = 2/3

∴ সাধারণ অনুপাত (common ratio) হলো 2/3

Question: Find the lowest value of x if lx - 3l ≤ 7?

Solution: 
Given that, 
lx - 3l ≤ 7
⇒ - 7 ≤ x - 3 ≤ 7
⇒ - 7 + 3 ≤ x - 3 + 3 ≤ 7 + 3  
⇒ - 4 ≤ x ≤ 10

This means that the value of x is between - 4 and 10, 

So the lowest value of x that satisfies the inequality is - 4.

Question: If A = {1, 4, 5, 6, 7, 9}, then the number of proper subsets of A is-

Solution:
কোন সেটের উপাদান n সংখ্যক হলে, ঐ সেটের প্রকৃত উপসেটের সংখ্যা = 2ⁿ - 1

এখানে, 
n = 6
∴ প্রকৃত উপসেটের সংখ্যা = 2⁶ - 1
= 64 - 1
= 63

Question: In the sequence (1/√2), 1, √2............... which term is 8√2?

Solution:
দেওয়া আছে,
অনুক্রমটির প্রথম পদ, a = 1/√2
সাধারন অনুপাত, r = 1/(1/√2) = √2
n তম পদ = ar^{n - 1}

প্রশ্নমতে,
ar^{n - 1} = 8√2
⇒ (1/√2) × (√2)^{n - 1} = 8√2
⇒ (√2)^{n - 1} = 8√2 × √2
⇒ (√2)^{n - 1} = 16
⇒ (√2)^{n - 1} = (√2)⁸
⇒ n - 1 = 8 
⇒ n = 8 + 1 = 9 

অর্থাৎ অনুক্রমটির 9-তম পদ হলো 8√2

Question: If A is a zero matrix, then A + B = ?

Solution:
যদি A একটি শূন্য ম্যাট্রিক্স (zero matrix) হয়, তবে এর সব উপাদান শূন্য।
ম্যাট্রিক্স যোগ করার সময় প্রতিটি অবস্থানের উপাদানগুলি যথাক্রমে যোগ করা হয়।

তাই A + B মানে প্রতিটি অবস্থানে A-এর উপাদান এবং B-এর উপাদান যোগ করা।
যেহেতু A-এর সব উপাদান শূন্য, প্রতিটি অবস্থানে যোগফল শুধু B-এর উপাদানই থাকবে। তাই A + B = B.

এটি একটি মৌলিক বৈশিষ্ট্য যা শূন্য ম্যাট্রিক্সের সাথে যে কোনো ম্যাট্রিক্স যোগ করলে মূল ম্যাট্রিক্স অপরিবর্তিত থাকে।
সুতরাং সঠিক উত্তর হলো Matrix B।

- উত্তর: খ) Matrix B

(a - b)² = a² - 2ab + b²
⇒ 6² = (a² + b²) - 2ab
⇒ 6² = 116 - 2ab
⇒ 36 = 116 - 2ab
⇒ 2ab = 116 - 36
⇒ 2ab = 80
⇒ ab = 40.

Let, first number be x and second number be y
Here,
x + y = 36 .... (i)
and, 5x + 3y = 142 ...(ii)

by multiplying the first equation by 3
3x + 3y = 108
5x + 3y = 142

by subtraction the second equation from the first
(3–5)x + (3–3)y = 108–142
Or, -2x = -34
Or, x = 17

by substituting x in the first equation
17 + y = 36
Or, y = 19

As we know,
a³ + b³ + c³ - 3abc = a² + b² + c² - ab - bc - ca(a + b + c)
when (a + b + c) = 0
Then a³ + b³ + c³ - 3abc = 0
When x + y + z = 0
⇒ x³ + y³ + z³ = 3xyz
⇒ x³ + y³ + z³ + 3xyz = 3xyz +3xyz
= 6xyz.

ATQ, ar^2-1 = ar = 9 ......(i)
ar^3-1 = 3 ..... (ii)  
(ii)/(i) = r = 1/3
from (i) we get, a = 9×3 = 27
∴ ar^5-1 = 27×(1/3)4 
= 27×(1/81)
= 1/3 

Question: If p + q + r = 10 and p² + q² + r² = 38, then what is the value of pq + qr + rp?

Solution:
We know the identity:
(p + q + r)² = p² + q² + r² + 2(pq + qr + rp)
⇒ 10² = 38 + 2(pq + qr + rp)
⇒ 100 = 38 + 2(pq + qr + rp)
⇒ 2(pq + qr + rp) = 100 - 38 = 62
⇒ pq + qr + rp = 62/2
∴ pq + qr + rp = 31

Question: If the sum of two numbers is 20 and the sum of their squares is 208, then what is the product of the two numbers?

Solution:
ধরি, সংখ্যা দুটি যথাক্রমে x এবং y।
দেওয়া আছে,
x + y = 20
x² + y² = 208

আমরা জানি,
(x + y)² = x² + y² + 2xy
⇒ (20)² = 208 + 2xy
⇒ 400 = 208 + 2xy
⇒ 2xy = 400 - 208
⇒ 2xy = 192
⇒ xy = 192 / 2
∴ xy = 96

সুতরাং, সংখ্যা দুটির গুণফল হলো 96.