ল.সা.গু ও গ.সা.গু

PrepBank · পাতা ৩ / ৭ · ২০১–৩০০ / ৬৬৫

২০১.

দুটি সংখ্যার ল.সা.গু ৬০ এবং গ.সা.গু ১০। একটি সংখ্যা অপর সংখ্যার দুই-তৃতীয়াংশ হলে, ছোট সংখ্যাটি কত?

ক
২০
খ
১০
গ
৩০
ঘ
১৫

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: দুটি সংখ্যার ল.সা.গু ৬০ এবং গ.সা.গু ১০। একটি সংখ্যা অপর সংখ্যার দুই-তৃতীয়াংশ হলে, ছোট সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
ধরি,
বড় সংখ্যাটি = x
ছোট সংখ্যাটি = ২x/৩

আমরা জানি,
দুইটি সংখ্যার গুণফল = সংখ্যা দুইটির ল.সা.গু × সংখ্যা দুইটি গ.সা.গু
⇒ x. (২x/৩) = ৬০ × ১০
⇒ ২x^২ = ৬০০ × ৩
⇒ x^২ = ১৮০০/২
⇒ x^২ = √৯০০
∴ x = ৩০
বড় সংখ্যাটি = ৩০

∴ ছোট সংখ্যাটি = (৩০ × ২)/৩
= ২০ ।

২০২.

দুটি সংখ্যার গ.সা.গু., বিয়োগফল এবং ল.সা.গু যথাক্রমে ১২, ৬০ এবং ২৪৪৮। সংখ্যা দুটি কত?

ক
১৮৪ ও ১০০
খ
২০৪ ও ১৪৪
গ
২৩৪ ও ১৬৯
ঘ
২৫২ ও ১৮৯

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: দুটি সংখ্যার গ.সা.গু., বিয়োগফল এবং ল.সা.গু যথাক্রমে ১২, ৬০ এবং ২৪৪৮। সংখ্যা দুটি কত?

সমাধান:
ধরি,
সংখ্যা দুটি = ১২x ও ১২y

তাহলে,
১২x - ১২y = ৬০
∴ ১২(x - y) = ৬০
⇒ x - y = ৫ .......... (১)

এবং,
সংখ্যা দুটির ল.সা.গু = ১২xy
∴ ১২xy = ২৪৪৮
⇒ xy = ২৪৪৮/১২
⇒ xy = ২০৪

আমরা জানি,
(x + y)^২ = (x - y)^২ + ৪xy

∴ (x + y)^২ = ৫^২ + ৪ × ২০৪
= ২৫ + ৮১৬
= ৮৪১

⇒ x + y = ২৯ .......... (২)

এখন, (১) + (২) করলে পাই,
২x = ৩৪
⇒ x = ১৭

এবং, (২) - (১) করলে পাই,
২y = ২৪
⇒ y = ১২

অতএব,
সংখ্যা দুটি = ১২ × ১৭ এবং ১২ × ১২
= ২০৪ ও ১৪৪

২০৩.

দুটি সংখ্যার গুণফল ১৩৪৪। সংখ্যা দুটির গ. সা. গু ১৬ হলে ল. সা. গু কত?

ক
৯৬
খ
৮৪
গ
৭২
ঘ
৬৪

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: দুটি সংখ্যার গুণফল ১৩৪৪। সংখ্যা দুটির গ. সা. গু ১৬ হলে ল. সা. গু কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
দুটি সংখ্যার গুণফল = ১৩৪৪
সংখ্যা দুটির গ. সা. গু = ১৬

আমরা জানি,
দুটি সংখ্যার ল. সা. গু = দুটি সংখ্যার গুণফল/সংখ্যা দুটির গ. সা. গু
= ১৩৪৪/১৬
= ৮৪

২০৪.

যদি a + b + c = 6 এবং a² + b² + c² = 14 হয়, তবে ab + bc + ca = কত?

ক
9
খ
11
গ
15
ঘ
22

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: যদি a + b + c = 6 এবং a² + b² + c² = 14 হয়, তবে ab + bc + ca = কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
a + b + c = 6 এবং a² + b² + c² = 14

আমরা জানি,
2(ab + bc + ca) = (a + b + c)² - (a² + b² + c²)
⇒ (ab + bc + ca) = {(a + b + c)² - (a² + b² + c²)}/2
= (6² - 14)/2
= (36 - 14)/2
= 22/2
= 11

২০৫.

দুইটি সংখ্যার ল.সা.গু ৭২০ এবং গ.সা.গু ৪। একটি সংখ্যা ৮০ হলে, অপর সংখ্যাটি কত?

ক
৩৬
খ
৪২
গ
৪৮
ঘ
৫৬

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: দুইটি সংখ্যার ল.সা.গু ৭২০ এবং গ.সা.গু ৪। একটি সংখ্যা ৮০ হলে, অপর সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
ল.সা.গু = ৭২০
গ.সা.গু = ৪
একটি সংখ্যা = ৮০

ধরি,
অপর সংখ্যাটি = a

আমরা জানি,
দুটি সংখ্যার গুণফল = ল.সা.গু × গ.সা.গু
বা, ৮০ × a = ল.সা.গু × গ.সা.গু
বা, ৮০ × a = ৭২০ × ৪
বা, a = (৭২০ × ৪)/৮০
∴ a = ৩৬
∴ অপর সংখ্যাটি ৩৬।

২০৬.

দুইটি সংখ্যার গ.সা.গু. ৬ এবং ল.সা.গু. ৩৬০০। একটি সংখ্যা ১৫০ হলে অপর সংখ্যাটি কত?

ক
১৯৬
খ
১৮২
গ
১৪৪
ঘ
১১২

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: দুইটি সংখ্যার গ.সা.গু. ৬ এবং ল.সা.গু. ৩৬০০। একটি সংখ্যা ১৫০ হলে অপর সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
দুইটি সংখ্যার গ.সা.গু. = ৬
ল.সা.গু. = ৩৬০০

এবং
একটি সংখ্যা = ১৫০

আমরা জানি,
দুইটি সংখ্যার গুণফল = সংখ্যা দুইটির ল.সা.গু. × সংখ্যা দুইটির গ.সা.গু
∴ অপর সংখ্যা = (ল.সা.গু. × গ.সা.গু)/একটি সংখ্যা
= (৩৬০০ × ৬)/১৫০
= ১৪৪

∴ অপর সংখ্যাটি = ১৪৪

২০৭.

(x² + x), (x² + 2x + 1) এবং (x² - 1) এর গ.সা.গু কত?

ক
x(x² - 1)(x + 1)
খ
1
গ
(x + 1)
ঘ
কোনটিই নয়

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: (x² + x ), (x² + 2x + 1) এবং (x² - 1 ) এর গ.সা.গু কত?

সমাধান :
১ম রাশি = (x² + x)
= x(x + 1)

২য় রাশি = (x² + 2x + 1)
= (x + 1)²

৩য় রাশি = (x² - 1)
= (x + 1)(x - 1)

রাশি তিনটির গ.সা.গু = (x + 1)

২০৮.

দুটি সংখ্যার ল.সা.গু তাদের গ.সা.গু এর ১২ গুণ। দুটি সংখ্যার গুণফল ৭৬৮ হলে, তাদের ল.সা.গু কত?

ক
৫৬
খ
৭৮
গ
৮৪
ঘ
৯৬

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: দুটি সংখ্যার ল.সা.গু তাদের গ.সা.গু এর ১২ গুণ। দুটি সংখ্যার গুণফল ৭৬৮ হলে, তাদের ল.সা.গু কত?

সমাধান:
ধরি,
দুটি সংখ্যার গ.সা.গু = ক
দুটি সংখ্যার ল.সা.গু = ১২ক

আমরা জানি,
দুটি সংখ্যার ল.সা.গু ও গ.সা.গুর গুণফল = দুটি সংখ্যার গুণফল
∴ ১২ক × ক = ৭৬৮
⇒ ১২ক^২ = ৭৬৮
⇒ ক^২ = ৭৬৮/১২
⇒ ক^২= ৬৪
⇒ ক^২ = ৮^২
∴ ক = ৮

∴ ল.সা.গু = ১২ × ৮
= ৯৬

২০৯.

দুটি সংখ্যার গ.সা.গু ৮ এবং ল.সা.গু ৯৬। যদি একটি সংখ্যা ৩২ হয়, তবে অপর সংখ্যাটি কত?

ক
১২
খ
২৪
গ
৪৮
ঘ
৬৪

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: দুটি সংখ্যার গ.সা.গু ৮ এবং ল.সা.গু ৯৬। যদি একটি সংখ্যা ৩২ হয়, তবে অপর সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
দুটি সংখ্যার গ.সা.গু = ৮ এবং ল.সা.গু = ৯৬
একটি সংখ্যা = ৩২
অপর সংখ্যাটি = কত?

আমরা জানি,
দুটি সংখ্যার গ.সা.গু × ল.সা.গু = প্রথম সংখ্যা × অপর সংখ্যা
বা, ৮ × ৯৬ = ৩২ × অপর সংখ্যা
বা,অপর সংখ্যা = (৮ × ৯৬)/৩২
∴ অপর সংখ্যা = ২৪ ।

২১০.

কত জনের মধ্যে ১২৫টি কমলা ও ১৪৫ টি কলা সমানভাবে ভাগ করে দেয়া যায়?

ক
২৫ জন
খ
৫ জন
গ
৩৫ জন
ঘ
১৫ জন

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: কত জনের মধ্যে ১২৫টি কমলা ও ১৪৫ টি কলা সমানভাবে ভাগ করে দেয়া যায়?

সমাধান:
১২৫ ও ১৪৫ এর গ.সা.গু. উত্তর হবে।
১২৫ এর গুণনীয়ক = ১, ৫, ২৫, ১২৫
১৪৫ এর গুণনীয়ক = ১, ৫, ২৯, ১৪৫
১২৫ এবং ১৪৫ এর গরিষ্ঠ গুণনীয়ক হচ্ছে ৫

সুতরাং ৫ জনের মধ্যে কমলা ও কলা সমানভাবে ভাগ করে দেওয়া যাবে।

২১১.

কোন বৃহত্তম সংখ্যা দ্বারা ২৮, ৪১ ও ৬৬ কে ভাগ করলে যথাক্রমে ৪, ৫, ৬ ভাগশেষ থাকবে?

ক
৮
খ
১২
গ
১৬
ঘ
১৮

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: কোন বৃহত্তম সংখ্যা দ্বারা ২৮, ৪১ ও ৬৬ কে ভাগ করলে যথাক্রমে ৪, ৫, ৬ ভাগশেষ থাকবে?

সমাধান:
এখানে,
২৮ - ৪ = ২৪,
৪১ - ৫ = ৩৬ এবং
৬৬ - ৬ = ৬০

বৃহত্তম সংখ্যাটি হবে ২৪, ৩৬ এবং ৬০ এর গ.সা.গু
∴ ২৪, ৩৬ ও ৬০ এর গ.সা.গু = ১২

∴ বৃহত্তম সংখ্যা = ১২ ।

২১২.

কোন লঘিষ্ঠ সংখ্যার সাথে ৪ যোগ করলে যোগফল ২০, ২৪ ও ৪৮ দ্বারা বিভাজ্য হবে?

ক
১৪২
খ
১৯০
গ
২২২
ঘ
২৩৬

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: কোন লঘিষ্ঠ সংখ্যার সাথে ৪ যোগ করলে যোগফল ২০, ২৪ ও ৪৮ দ্বারা বিভাজ্য হবে?

সমাধান:
নির্ণেয় সংখ্যাটি হবে ২০, ২৪ ও ৪৮ এর ল.সা.গু অপেক্ষা ৪ কম।
এখন, ২০, ২৪ ও ৪৮ এর ল.সা.গু = ২৪০

∴ লঘিষ্ট সংখ্যাটি হচ্ছে = ২৪০ - ৪ = ২৩৬

২১৩.

(x² + x), (x² + 2x + 1) এবং (x² - 1) এর গ.সা.গু কত?

ক
x(x² - 1)(x + 1)
খ
1
গ
(x + 1)
ঘ
কোনটিই নয়

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন : (x² + x), (x² + 2x + 1) এবং (x² - 1) এর গ.সা.গু কত?

সমাধান :
১ম রাশি = (x² + x)
= x (x + 1)

২য় রাশি = (x² + 2x + 1)
= (x + 1)²

৩য় রাশি = (x² - 1)
= (x + 1)(x - 1)

∴ রাশি তিনটির গ.সা.গু = ( x + 1 )

২১৪.

কোন সংখ্যার ৩/৮ অংশ ৭৫ এর সমান?

ক
১৮০
খ
১৯৬
গ
২০০
ঘ
২১০

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: কোন সংখ্যার ৩/৮ অংশ ৭৫ এর সমান?

সমাধান:
মনে করি,
সংখ্যাটি = ক

প্রশ্নমতে,
ক এর (৩/৮) = ৭৫
⇒ ৩ক = ৭৫ × ৮
⇒ ৩ক = ৬০০
⇒ ক = ৬০০/৩
∴ ক = ২০০

২১৫.

দুইটি সংখ্যার গ.সা.গু ১৬ এবং ল.সা.গু ৯৬। একটি সংখ্যা অপর সংখ্যার ১.৫ গুণ হলে বড় সংখ্যাটি কত?

ক
32
খ
36
গ
42
ঘ
48

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: দুইটি সংখ্যার গ.সা.গু ১৬ এবং ল.সা.গু ৯৬। একটি সংখ্যা অপর সংখ্যার ১.৫ গুণ হলে বড় সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
ধরি,
একটি সংখ্যা x
অপর সংখ্যা 1.5x
সংখ্যা দুইটির গুণফল = 1.5x²

আমরা জানি,
দুইটি সংখ্যার গুণফল = ল.সা.গু × গ.সা.গু
1.5x² = 96 × 16
বা, 1.5x² = 1536
বা, x² = 1536/1.5
বা, x² = 1024
বা, x = √1024
∴ x = 32

∴ বড় সংখ্যাটি = 1.5 × 32 = 48

২১৬.

একটি লোহার পাত ও একটি তামার পাতের দৈর্ঘ্য যথাক্রমে ২২৪ সে.মি. ও ৩২০ সে.মি. । পাত দুইটি থেকে কেটে নেওয়া একই মাপের সবচেয়ে বড় টুকরার দৈর্ঘ্য কত হবে?

ক
১৬ সে.মি.
খ
৩২ সে.মি.
গ
৬৪ সে.মি.
ঘ
৯৬ সে.মি.

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি লোহার পাত ও একটি তামার পাতের দৈর্ঘ্য যথাক্রমে ২২৪ সে.মি. ও ৩২০ সে.মি. । পাত দুইটি থেকে কেটে নেওয়া একই মাপের সবচেয়ে বড় টুকরার দৈর্ঘ্য কত হবে?

সমাধান:
একই মাপের সবচেয়ে বড় টুকরার দৈর্ঘ্য হবে ২২৪ সে.মি. ও ৩২০ সে.মি. এর গ.সা.গু।
২২৪ ও ৩২০ এর গ.সা.গু = ৩২

∴ সবচেয়ে বড় টুকরার দৈর্ঘ্য হবে = ৩২ সে.মি.

২১৭.

দুটি সংখ্যার ল.সা.গু. এবং গ.সা.গু. যথাক্রমে ৯০ এবং ৬। একটি সংখ্যা অপর সংখ্যার তিন-পঞ্চমাংশ হলে, সংখ্যা দুইটির অন্তরফল কত?

ক
১০
খ
১২
গ
১৫
ঘ
১৮

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: দুটি সংখ্যার ল.সা.গু. এবং গ.সা.গু. যথাক্রমে ৯০ এবং ৬। একটি সংখ্যা অপর সংখ্যার তিন-পঞ্চমাংশ হলে, সংখ্যা দুইটির অন্তরফল কত?

সমাধান:
ধরি,
বড় সংখ্যাটি = ৫ক
∴ ছোট সংখ্যাটি = ৫ক × (৩/৫) = ৩ক

আমরা জানি,
দুইটি সংখ্যার গুণফল = ল.সা.গু × গ.সা.গু
⇒ ৫ক × ৩ক = ৯০ × ৬
⇒ ১৫ক^২ = ৫৪০
⇒ ক^২ = ৫৪০/১৫
⇒ ক^২ = ৩৬
⇒ ক = ৬

অর্থাৎ
ছোট সংখ্যাটি = (৩ × ৬) = ১৮
এবং বড় সংখ্যাটি = (৫ × ৬) = ৩০

∴ সংখ্যা দুইটির অন্তরফল = (৩০ - ১৮) = ১২

২১৮.

কোন বৃহত্তম সংখ্যা দ্বারা ৩৬, ৫১ ও ৬৬ কে ভাগ করলে যথাক্রমে ১, ২ ও ৩ ভাগশেষ থাকবে?

ক
৫
খ
৬
গ
৭
ঘ
৯

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: কোন বৃহত্তম সংখ্যা দ্বারা ৩৬, ৫১ ও ৬৬ কে ভাগ করলে যথাক্রমে ১, ২ ও ৩ ভাগশেষ থাকবে?

সমাধান:
এখানে,
৩৬ - ১ = ৩৫
৫১ - ২ = ৪৯
৬৬ - ৩ = ৬৩
∴ ৩৫, ৪৯ ও ৬৩ এর গ.সা.গু'ই হবে নির্ণেয় বৃহত্তম সংখ্যা।

∴ ৩৫, ৪৯ ও ৬৩ এর গ.সা.গু = ৭

অতএব, নির্ণেয় বৃহত্তম সংখ্যা = ৭

২১৯.

৪০টি আম এবং ৪৬টি লিচু সর্বোচ্চ কতজন বালকের মধ্যে সমান ভাগে ভাগ করা যেতে পারে?

ক
২ জন
খ
৩ জন
গ
৪ জন
ঘ
৫ জন

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ৪০টি আম এবং ৪৬টি লিচু সর্বোচ্চ কতজন বালকের মধ্যে সমান ভাগে ভাগ করা যেতে পারে?

সমাধান:
৪০ এবং ৪৬ এর গ. সা. গু. ই হবে নির্ণেয় বালকের সংখ্যা হবে।
∴ ৪০ এবং ৪৬ এর গ. সা. গু. = ২

∴ নির্ণেয় বালকের সংখ্যা = ২ জন।

২২০.

দুটি সংখ্যার গ.সা.গু ১৫ এবং ল.সা.গু ৯০০। একটি সংখ্যা ৭৫ হলে, অপর সংখ্যাটি কত?

ক
১২০
খ
২২৫
গ
৩০০
ঘ
১৮০

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: দুটি সংখ্যার গ.সা.গু ১৫ এবং ল.সা.গু ৯০০। একটি সংখ্যা ৭৫ হলে, অপর সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
দুটি সংখ্যার গুণফল = সংখ্যা দুটির ল.সা.গু × গ.সা.গু
⇒ ৭৫ × অপর সংখ্যা = ৯০০ × ১৫
⇒ অপর সংখ্যা = (৯০০ × ১৫)/৭৫
⇒ অপর সংখ্যা = ৯০০/৫
⇒ অপর সংখ্যা = ১৮০

∴ অপর সংখ্যাটি হলো ১৮০।

২২১.

x² - 4x + 3 এবং x² - 5x + 6 এর ল.সা.গু কত?

ক
(x - 2)(x - 3)
খ
1
গ
(x - 1)(x - 2)(x - 3)
ঘ
(x - 1)(x - 3)

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: x² - 4x + 3 এবং x² - 5x + 6 এর ল.সা.গু কত?

সমাধান:

১ম রাশি = x² - 4x + 3
= x² - 3x - x + 3
= x(x - 3) - 1(x - 3)
= (x - 3)(x - 1)

২য় রশি = x² - 5x + 6
= x²- 2x - 3x + 6
= x(x - 2) - 3(x - 2)
= (x - 2)(x - 3)

নির্ণেয় ল.সা.গু = (x - 1)(x - 2)(x - 3)

২২২.

৩০, ৭০ ও ৩৮৫ এর ল.সা.গু নির্ণয় করুন।

ক
১২৪০
খ
১৭২০
গ
২৩১০
ঘ
২৫২০

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ৩০, ৭০ ও ৩৮৫ এর ল.সা.গু নির্ণয় করুন।

সমাধান:
৩০ = ১ × ২ × ৩ × ৫
৫০ = ১ × ২ × ৫ × ৭
৩৮৫ = ১ × ৫ × ৭ × ১১

∴ নির্ণেয় ল.সা.গু = ১ × ২ × ৩ × ৫ × ৭ × ১১
= ৬ × ৫ × ৭ × ১১
= ৩০ × ৭ × ১১
= ২১০ × ১১
= ২৩১০

২২৩.

৩/৪ এবং ৪/৭ এর ল.সা.গু কত?

ক
১২
খ
১০
গ
১৫
ঘ
১৮

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ৩/৪ এবং ৪/৭ এর ল.সা.গু কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
ভগ্নাংশের ল.সা.গু = লব এর ল.সা.গু/হর এর গ.সা.গু

∴ লব ৩ ও ৪ এর ল.সা.গু = ১২
হর ৪ ও ৭ এর গ.সা.গু = ১

∴ ৩/৪ এবং ৪/৭ এর ল.সা.গু = ১২/১
= ১২ ।

২২৪.

দুটি সংখ্যার ল. সা. গু. ১৩৫ এবং গ. সা. গু. ৯। একটি সংখ্যা অপর সংখ্যার তিন-পঞ্চমাংশ হলে ছোট সংখ্যাটি কত?

ক
৪২
খ
২৭
গ
৪৫
ঘ
২৮

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: দুটি সংখ্যার ল. সা. গু. ১৩৫ এবং গ. সা. গু. ৯। একটি সংখ্যা অপর সংখ্যার তিন-পঞ্চমাংশ হলে ছোট সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
ধরি,
বড় সংখ্যাটি = ৫ক
∴ ছোট সংখ্যাটি = ৩ক

আমরা জানি,
দুইটি সংখ্যার গুণফল = দুইটি সংখ্যার ল. সা. গু × দুইটি সংখ্যার গ. সা. গু
বা, ৩ক × ৫ক = ১৩৫ × ৯
বা, ১৫ক^২ = ১৩৫ × ৯
বা, ক^২ = (১৩৫ × ৯ )/১৫
বা, ক^২ = ৮১
বা, ক^২ = ৯^২
∴ ক = ৯

∴ ছোট সংখ্যাটি = ৩ক
= ৩ × ৯
= ২৭

২২৫.

৩/৪ এবং ৪/৭ এর ল.সা.গু কত?

ক
৬/১১
খ
৬/৯
গ
১২/১৭
ঘ
১২

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ৩/৪ এবং ৪/৭ এর ল.সা.গু কত?

সমাধান:
ভগ্নাংশের লসাগু = লব এর ল.সা.গু/হর এর গ.সা.গু

লব এর ল.সা.গু = ৩ ও ৪ এর ল.সা.গু = ১২
হর এর গ.সা.গু = ৪ ও ৭ এর গ.সা.গু = ১

তাহলে ৩/৪ এবং ৪/৭ এর ল.সা.গু = ১২/১
= ১২

২২৬.

দুটি সংখ্যার ল.সা.গু ৪০ এবং গ.সা.গু ১০। একটি সংখ্যা অপর সংখ্যার এক-চতুর্থাংশ হলে বড় সংখ্যাটি কত?

ক
৩০
খ
৩৫
গ
২০
ঘ
৪০

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: দুটি সংখ্যার ল.সা.গু ৪০ এবং গ.সা.গু ১০। একটি সংখ্যা অপর সংখ্যার এক-চতুর্থাংশ হলে বড় সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
ধরি,
ছোট সংখ্যাটি = ক
বড় সংখ্যাটি = ৪ক

আমরা জানি,
দুটি সংখ্যার গুণফল = ল.সা.গু × গ.সা.গু
⇒ ৪ক × ক = ৪০ × ১০
⇒ ৪ক^২ = ৪০০
⇒ ক^২ = (৪০০/৪)
⇒ ক^২ = ১০০
∴ ক = ১০
সুতরাং, বড় সংখ্যাটি = ৪ × ১০ = ৪০

২২৭.

P = x² - 16, Q = x² + 7x + 12, R = 4x + 16 হলে, P, Q ও R এর গ.সা.গু নির্ণয় করুন।

ক
x + 3
খ
x + 5
গ
x + 4
ঘ
1

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: P = x² - 16, Q = x² + 7x + 12, R = 4x + 16 হলে, P, Q ও R এর গ.সা.গু নির্ণয় করুন।

সমাধান:
দেওয়া আছে,
P = x² - 16
Q = x² + 7x + 12
R = 4x + 16

∴ P = x² - 16
= x² - 4²
= (x + 4) (x - 4)

∴ Q = x² + 7x + 12
= x² + 4x + 3x + 12
= x(x + 4) + 3(x + 4)
= (x + 4) (x + 3)

∴ R = 4x + 16
= 4(x + 4)

∴ P, Q ও R এর গ.সা.গু = (x + 4)

২২৮.

দুইটি সংখ্যার গ.সা.গু ও ল.সা.গু যথাক্রমে ৪ এবং ২২৮। একটি সংখ্যা ১২ হলে, অপর সংখ্যাটি কত?

ক
৬৮
খ
৭২
গ
৭৬
ঘ
৮২

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: দুইটি সংখ্যার গ.সা.গু ও ল.সা.গু যথাক্রমে ৪ এবং ২২৮। একটি সংখ্যা ১২ হলে, অপর সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
দুইটি সংখ্যার গ.সা.গু = ৪
ল.সা.গু = ২২৮
এবং একটি সংখ্যা = ১২

আমরা জানি,
গ.সা.গু × ল.সা.গু = ১ম সংখ্যা × ২য় সংখ্যা
⇒ (৪ × ২২৮) = (১২ × ২য় সংখ্যা)
⇒ ২য় সংখ্যা = (৪ × ২২৮)/১২
= ৭৬

২২৯.

৪/৫, ৮/৯ এবং ২/৫ এর গ.সা.গু কত?

ক
৪৫/২
খ
২/৪৫
গ
৪/৪৫
ঘ
১/৪৫

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ৪/৫, ৮/৯ এবং ২/৫ এর গ.সা.গু কত?

সমাধান:
৪, ৮, ২ এর গ.সা.গু = ২
৫, ৯, ৫ এর ল.সা.গু = ৪৫

আমরা জানি,
ভগ্নাংশের গ.সা.গু = লবগুলোর গ.সা.গু/হরগুলোর ল.সা.গু
= ২/৪৫

২৩০.

দুইটি সংখ্যার গ.সা.গু ১৩ এবং তাদের ল.সা.গু ৫২০। একটি সংখ্যা ৬৫ হলে অপর সংখ্যাটি কত?

ক
১০৪
খ
৯৬
গ
৮৫
ঘ
৭২

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: দুইটি সংখ্যার গ.সা.গু ১৩ এবং তাদের ল.সা.গু ৫২০। একটি সংখ্যা ৬৫ হলে অপর সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
সংখ্যাদ্বয়ের গুণফল = ল.সা.গু × গ.সা.গু
বা, একটি সংখ্যা × অপর সংখ্যা = ৫২০ × ১৩
বা, ৬৫ × অপর সংখ্যা = ৫২০ × ১৩
বা, অপর সংখ্যা = (৫২০ × ১৩)/৬৫

∴ অপর সংখ্যা = ৫২০/৫ = ১০৪

২৩১.

৮টি কলম ও ১২টি পেন্সিল সমানসংখ্যক করে প্যাকেটে রাখতে হলে কতটি প্যাকেট বানানো যাবে?

ক
৪ টি
খ
৮ টি
গ
২৪ টি
ঘ
৯৬ টি

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ৮টি কলম ও ১২টি পেন্সিল সমানসংখ্যক করে প্যাকেটে রাখতে হলে কতটি প্যাকেট বানানো যাবে?

সমাধান:
নির্ণেয় প্যাকেটের সংখ্যা হবে ৮ ও ১২ এর গ.সা.গু এর সমান।

এখন,
৮ ও ১২ এর গ.সা.গু = ৪

∴ নির্ণেয় প্যাকেটের সংখ্যা = ৪ টি

২৩২.

দুইটি সংখ্যার অনুপাত ৯ : ১২ এবং ল.সা.গু. ২১৬। বড় সংখ্যাটি কত?

ক
২৪
খ
৪৮
গ
৬০
ঘ
৭২

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: দুইটি সংখ্যার অনুপাত ৯ : ১২ এবং ল.সা.গু. ২১৬। বড় সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
ধরি, ১ম সংখ্যা = ৯ক
২য় সংখ্যা = ১২ক

∴ সংখ্যা দুইটির ল.সা.গু. = ৩৬ক

প্রশ্নমতে, ৩৬ক = ২১৬
⇒ ক = ২১৬/৩৬
⇒ ক = ৬

অর্থাৎ ১ম সংখ্যা = ৯ × ৬ = ৫৪
২য় সংখ্যা = ১২ × ৬ = ৭২

∴ বড় সংখ্যাটি = ৭২

২৩৩.

দুইটি সংখ্যার গুণফল ১৫৩৬ সংখ্যা দুইটির ল. সা. গু. ৯৬ হলে গ. সা. গু. কত?

ক
২৪
খ
৩২
গ
১৬
ঘ
১২

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: দুইটি সংখ্যার গুণফল ১৫৩৬, সংখ্যা দুটির ল. সা. গু. ৯৬ হলে গ. সা. গু. কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
দুটি সংখ্যার গুণফল = গ. সা. গু × ল.সা.গু
⇒ ১৫৩৬ = ৯৬ × গ. সা. গু.
গ.সা.গু. = ১৫৩৬/৯৬ = ১৬

২৩৪.

কতজন বালকের মধ্যে ১২৫টি আম ও ১৪৫টি লিচু সমানভাবে ভাগ করে দেওয়া যায়?

ক
২৫ জন
খ
১৫ জন
গ
১০ জন
ঘ
০৫ জন

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: কতজন বালকের মধ্যে ১২৫ টি আম ও ১৪৫ টি লিচু সমানভাবে ভাগ করে দেওয়া যায়?

সমাধান:
বালকের সংখ্যা হবে ১২৫ এবং ১৪৫ এর গ.সা.গু.
১২৫ এবং ১৪৫ এর গ.সা.গু. হলো ৫
তাই সর্বোচ্চ ৫ জনের মধ্যে সমান ভাগে ভাগ করা যাবে।

২৩৫.

কোন ক্ষুদ্রতম সংখ্যাকে ৮, ১৬, ২০ দ্বারা ভাগ করলে প্রত্যেকবার ৭ অবশিষ্ট থাকবে-

ক
৭৩
খ
৮০
গ
৮৭
ঘ
৯২

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: কোন ক্ষুদ্রতম সংখ্যাকে ৮, ১৬, ২০ দ্বারা ভাগ করলে প্রত্যেকবার ৭ অবশিষ্ট থাকবে-

সমাধান:
ক্ষুদ্রতম সংখ্যাটি হবে ৮, ১৬, ২০ এর ল.সা.গু থেকে ৭ বেশি

৮, ১৬, ২০ এর ল.সা.গু = ৮০

∴ নির্ণেয় ক্ষুদ্রতম সংখ্যা = ৮০ + ৭ = ৮৭

২৩৬.

নিচের কোন পূর্ণ সংখ্যাটি ৪, ৫, ৬ এবং ৮ দ্বারা ভাগ করলে যথাক্রমে ২, ৩, ৪ ও ৬ অবশিষ্ট থাকে?

ক
১১৬
খ
১২০
গ
১২২
ঘ
১১৮

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: নিচের কোন পূর্ণ সংখ্যাটি ৪, ৫, ৬ এবং ৮ দ্বারা ভাগ করলে যথাক্রমে ২, ৩, ৪ ও ৬ অবশিষ্ট থাকে?

সমাধান:
৪, ৫, ৬ এবং ৮ এর ল.সা.গু = ১২০
৪ - ২ = ২;
৫ - ৩ = ২;
৬ - ৪ = ২
৮ - ৬ = ২

∴ নির্ণেয় সংখ্যা = ১২০ - ২ = ১১৮

২৩৭.

তিনটি সংখ্যার অনুপাত ৩ : ৪ : ৫ এবং তাদের ল.সা.গু ২৪০০ হলে, তাদের গ.সা.গু কত?

ক
৪০
খ
৬০
গ
৮০
ঘ
৫৪

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: তিনটি সংখ্যার অনুপাত ৩ : ৪ : ৫ এবং তাদের ল.সা.গু ২৪০০ হলে, তাদের গ.সা.গু কত?

সমাধান:
ধরি, তিনটি সংখ্যা যথাক্রমে ৩ক, ৪ক এবং ৫ক

এখন, ৩ক, ৪ক, ৫ক এর ল.সা.গু = ৬০ক

শর্তমতে,
৬০ক = ২৪০০
⇒ ক = ২৪০০/৬০
⇒ ক = ৪০

∴ প্রথম সংখ্যা = ৩ক = ৩ × ৪০ = ১২০
দ্বিতীয় সংখ্যা = ৪ক = ৪ × ৪০ = ১৬০
তৃতীয় সংখ্যা = ৫ক = ৫ × ৪০ = ২০০

এখন গ.সা.গু নির্ণয় করি:
১২০ = ২^৩ × ৩ × ৫
১৬০ = ২^৫ × ৫
২০০ = ২^৩ × ৫²

∴ গ.সা.গু = ২^৩ × ৫ = ৮ × ৫ = ৪০

অতএব, তাদের গ.সা.গু = ৪০

২৩৮.

তিনটি সংখ্যার অনুপাত ৩ : ৪ : ৫ এবং তাদের ল.সা.গু ২৪০০ হলে গ.সা.গু কত?

ক
৬০
খ
৪০
গ
৩০
ঘ
২৫

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: তিনটি সংখ্যার অনুপাত ৩ : ৪ : ৫ এবং তাদের ল.সা.গু ২৪০০ হলে গ.সা.গু কত?

সমাধান:
ধরি,
সংখ্যাগুলো যথাক্রমে ৩ক, ৪ক এবং ৫ক
∴ তাদের ল.সা.গু = ৬০ক
এবং গ.সা.গু = ক
∴ ৬০ক = ২৪০০
বা, ক = ২৪০০/৬০ = ৪০

∴ গ.সা.গু = ৪০

২৩৯.

x² - 9 এবং x² - 6x + 9 এর ল.সা.গু নির্ণয় করুন।

ক
(x + 3)(x - 3)
খ
(x - 3)²
গ
(x² - 9)(x - 3)
ঘ
কোনটিই নয়

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: x² - 9 এবং x² - 6x + 9 এর ল.সা.গু নির্ণয় করুন।

সমাধান:
১ম রাশি = x² - 9
= x² - 3²
= (x + 3)(x - 3)

২য় রাশি = x² - 6x + 9
= x² - 2. x. 3 + 3²
= (x - 3)²
= (x - 3)(x - 3)

∴ ল.সা.গু = (x + 3)(x - 3)(x - 3)
= (x² - 9)(x - 3)

২৪০.

১২/৩৫, ১৮/৪২ ও ২৪/৪৯ এর গ.সা.গু নিচের কোনটি?

ক
১/১৪৫
খ
১/৮৪
গ
১/৩৫
ঘ
১/২৪৫

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ১২/৩৫, ১৮/৪২ ও ২৪/৪৯ এর গ.সা.গু নিচের কোনটি?

সমাধান: আমরা জানি,
ভগ্নাংশের গ.সা.গু. = (লব গুলোর গ.সা.গু.)/(হর গুলোর ল.সা.গু.)

এখানে,
লব ১২, ১৮ ও ২৪ এর গ.সা.গু. নির্ণয়:
১২ = ২^২ × ৩
১৮ = ২ × ৩^২
২৪ = ২^৩ × ৩

∴ গ.সা.গু. = ২ × ৩ = ৬

হর ৩৫, ৪২ ও ৪৯ এর ল.সা.গু. নির্ণয়:
৩৫ = ৫ × ৭
৪২ = ২ × ৩ × ৭
৪৯ = ৭^২

∴ ল.সা.গু. = ২ × ৩ × ৫ × ৭^২
= ২ × ৩ × ৫ × ৪৯ = ১৪৭০

∴ ভগ্নাংশের গ.সা.গু. = ৬/১৪৭০
= ১/২৪৫

২৪১.

দুটি সংখ্যার ল.সা.গু. ৬০ এবং গ. সা.গু. ১০। একটি সংখ্যা অপর সংখ্যার দুই-তৃতীয়াংশ হলে, ছোট সংখ্যাটি কত?

ক
১৮
খ
৩০
গ
১৫
ঘ
২০

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: দুটি সংখ্যার ল.সা.গু ৬০ এবং গ.সা.গু ১০। একটি সংখ্যা অপর সংখ্যার দুই-তৃতীয়াংশ হলে, ছোট সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
ধরি,
বড় সংখ্যাটি = x
ছোট সংখ্যাটি = ২x/৩

আমরা জানি,
দুইটি সংখ্যার গুণফল = সংখ্যা দুইটির ল.সা.গু × সংখ্যা দুইটি গ.সা.গু
⇒ x. ২x/৩ = ৬০ × ১০
⇒ ২x^২ = ৬০০ × ৩
⇒ x^২ = ১৮০০/২
⇒ x২ = √৯০০
∴ x = ৩০
বড় সংখ্যাটি = ৩০

∴ ছোট সংখ্যাটি = (৩০ × ২)/৩
= ২০ ।

২৪২.

পাঁচ অংকের ক্ষুদ্রতম সংখ্যার সাথে কোন ক্ষুদ্রতম সংখ্যা যোগ করলে যোগফল ৪, ৬, ৮, ১০ ও ১২ দ্বারা বিভাজ্য হবে?

ক
৬০
খ
৪০
গ
৮০
ঘ
৭০

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: পাঁচ অংকের ক্ষুদ্রতম সংখ্যার সাথে কোন ক্ষুদ্রতম সংখ্যা যোগ করলে যোগফল ৪, ৬, ৮, ১০ ও ১২ দ্বারা বিভাজ্য হবে?

সমাধান:
৪, ৬, ৮, ১০, ১২ এর ল.সা.গু = ১২০
পাঁচ অংকের ক্ষুদ্রতম সংখ্যা = ১০০০০

এখানে,
ভাজক = ১২০
ভাজ্য = ১০০০০
ভাগফল = ৮৩
ভাগশেষ = ৪০

অতএব, নির্ণেয় ক্ষুদ্রতম সংখ্যা = ১২০ - ৪০ = ৮০

২৪৩.

কোন বৃহত্তম সংখ্যা দ্বারা ২৭, ৪০ ও ৬৫ কে ভাগ করলে যথাক্রমে ৩, ৪ ও ৫ ভাগশেষ থাকবে?

ক
১২
খ
১৫
গ
১৮
ঘ
২১

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: কোন বৃহত্তম সংখ্যা দ্বারা ২৭, ৪০ ও ৬৫ কে ভাগ করলে যথাক্রমে ৩, ৪ ও ৫ ভাগশেষ থাকবে?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
একটি বৃহত্তম সংখ্যা দ্বারা ২৭, ৪০ ও ৬৫ কে ভাগ করলে যথাক্রমে ৩, ৪, ৫ ভাগশেষ থাকবে।
এখানে,
২৭ - ৩ = ২৪
৪০ - ৪ = ৩৬
৬৫ - ৫ = ৬০

এখন,
২৪, ৩৬ ও ৬০ এর গ.সা.গু ই হবে নির্ণেয় বৃহত্তম সংখ্যা ।
∴ ২৪, ৩৬ ও ৬০ এর গ.সা.গু = ১২

∴ নির্ণেয় বৃহত্তম সংখ্যা = ১২ ।

২৪৪.

চার অংকের কোন বৃহত্তম সংখ্যাকে ১২, ২৪, ৩০ এবং ৩৬ দ্বারা নিঃশেষে ভাগ করা যায়?

ক
৯৩৬৩
খ
৯১৬০
গ
৯৭২০
ঘ
৯৩৬০

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: চার অংকের কোন বৃহত্তম সংখ্যাকে ১২, ২৪, ৩০ এবং ৩৬ দ্বারা নিঃশেষে ভাগ করা যায়?

সমাধান:
চার অংকের বৃহত্তম সংখ্যা = ৯৯৯৯
আবার,
১২, ২৪, ৩০, ৩৬ এর ল.সা.গু = ৩৬০

৯৯৯৯ কে ৩৬০ দ্বারা ভাগ করলে ২৭৯ অবশিষ্ট থাকে।

∴ বৃহত্তম সংখ্যাটি = ৯৯৯৯ - ২৭৯ = ৯৭২০

২৪৫.

দুইটি সংখ্যার অনুপাত ৩ : ৪ এবং তাদের গ.সা.গু ৫ হলে সংখ্যা দুইটির ল.সা.গু কত?

ক
৪৮
খ
৫৬
গ
৬০
ঘ
১২০

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: দুইটি সংখ্যার অনুপাত ৩ : ৪ এবং তাদের গ.সা.গু ৫ হলে সংখ্যা দুইটির ল.সা.গু কত?

সমাধান:
ধরি,
একটি সংখ্যা = ৩ক
অপর সংখ্যা = ৪ক

সংখ্যাদ্বয়ের গ.সা.গু = ক
সংখ্যাদ্বয়ের ল.সা.গু = ১২ক

প্রশ্নমতে,
ক = ৫

∴ সংখ্যাদ্বয়ের ল.সা.গু = ১২ক
= ১২ × ৫
= ৬০

∴ সংখ্যা দুইটির ল.সা.গু = ৬০

২৪৬.

দুইটি সংখ্যার গ.সা.গু. 11 এবং ল.সা.গু. 7700। একটি সংখ্যা 275 হলে, অপর সংখ্যাটি -

ক
318
খ
308
গ
283
ঘ
279

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: দুইটি সংখ্যার গ.সা.গু. 11 এবং ল.সা.গু. 7700। একটি সংখ্যা 275 হলে, অপর সংখ্যাটি -

সমাধান:
আমরা জানি,
দুইটি সংখ্যার গুণফল = দুইটি সংখ্যার ল. সা. গু. × দুইটি সংখ্যার গ. সা. গু.
বা, একটি সংখ্যা × অপর সংখ্যা = দুইটি সংখ্যার ল. সা. গু. × দুইটি সংখ্যার গ. সা. গু.
বা, 275 × অপর সংখ্যা = 11 × 770
বা, অপর সংখ্যা = (11 × 770)/275
∴ অপর সংখ্যা = 308

∴ অপর সংখ্যাটি = 308

২৪৭.

p³, p², p²q² এর গ.সা.গু

ক
p
খ
q²
গ
p²
ঘ
q

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: p³, p², p²q² এর গ.সা.গু

সমাধান:

১ম রাশি = p³

২য় রাশি = p²

৩য় রাশি = p²q²

নির্ণেয় গ.সা.গু = p²

২৪৮.

৭৬ টি আপেল ও ৫৬ টি আম সর্বোচ্চ কতজন বালকের মধ্যে নিঃশেষে ভাগ করে দেয়া যাবে?

ক
২ জন
খ
৪ জন
গ
৬ জন
ঘ
৮ জন

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ৭৬ টি আপেল ও ৫৬ টি আম সর্বোচ্চ কতজন বালকের মধ্যে নিঃশেষে ভাগ করে দেয়া যাবে?

সমাধান:
৭৬ ও ৫৬ এর গ.সা.গু = ৪
অতএব, সর্বোচ্চ ৪ জন বালকের মধ্যে ৭৬ টি আপেল ও ৫৬ টি আম নিঃশেষে ভাগ করে দেয়া যাবে।

২৪৯.

২/৫, ৩/৪, ৫/৭ ভগ্নাংশগুলোর ল.সা.গু কত?

ক
১০
খ
১৫
গ
৩০
ঘ
৪৫

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ২/৫, ৩/৪, ৫/৭ ভগ্নাংশগুলোর ল.সা.গু কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
ভগ্নাংশগুলোর ল.সা.গু = (লবগুলোর ল.সা.গু)/(হরগুলোর গ.সা.গু)
এখানে,
২, ৩, ৫ লবগুলোর ল.সা.গু = ৩০
এবং
৫, ৪, ৭ হরগুলোর গ.সা.গু = ১

∴ ২/৫, ৩/৪, ৫/৭ ভগ্নাংশগুলোর ল.সা.গু = ৩০/১
= ৩০ ।

২৫০.

দুটি সংখ্যার গুণফল ১৫৩৬ । সংখ্যা দুটির ল.সা.গু ৯৬ হলে গ.সা.গু কত?

ক
১৬
খ
১২
গ
২৪
ঘ
৩২

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: দুটি সংখ্যার গুণফল ১৫৩৬ । সংখ্যা দুটির ল.সা.গু ৯৬ হলে গ.সা.গু কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
দুটি সংখ্যার গুণফল = ১৫৩৬
সংখ্যা দুটির ল.সা.গু = ৯৬

আমরা জানি,
সংখ্যাদ্বয়ের গুণফল = ল.সা.গু × গ.সা.গু
বা, ১৫৩৬ = ৯৬ × গ.সা.গু
বা, গ.সা.গু = ১৫৩৬/৯৬
∴ গ.সা.গু = ১৬ ।

২৫১.

দুইটি সংখ্যার অনুপাত ৫ : ৬ এবং তাদের ল.সা.গু. ৩০০ হলে, বৃহত্তম সংখ্যাটি কত?

ক
৬০
খ
৮০
গ
৯০
ঘ
১২০

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: দুইটি সংখ্যার অনুপাত ৫ : ৬ এবং তাদের ল.সা.গু. ৩০০ হলে, বৃহত্তম সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
ধরি, সংখ্যা দুটি যথাক্রমে ৫ক এবং ৬ক।
∴ সংখ্যা দুটির ল.সা.গু. = (৫ × ৬) × ক = ৩০ক

প্রশ্নমতে,
৩০ক = ৩০০
⇒ ক = ১০

∴ বৃহত্তম সংখ্যাটি = ৬ক = ৬ × ১০ = ৬০

২৫২.

৮/১৫, ১২/২৫ ও ১৬/৩৫ এর গ.সা.গু নিচের কোনটি?

ক
৮/১৮৯
খ
২/৬৩
গ
২/৩
ঘ
৪/৫২৫

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ৮/১৫, ১২/২৫ ও ১৬/৩৫ এর গ.সা.গু নিচের কোনটি?

সমাধান:
আমরা জানি, ভগ্নাংশের গ.সা.গু = (লব গুলোর গ.সা.গু)/(হর গুলোর ল.সা.গু)

লব ৮, ১২ ও ১৬ এর গ.সা.গু নির্ণয়:
৮ = ২^৩
১২ = ২^২ × ৩
১৬ = ২^৪∴ গ.সা.গু = ২^২ = ৪

হর ১৫, ২৫ ও ৩৫ এর ল.সা.গু নির্ণয়:
১৫ = ৩ × ৫
২৫ = ৫^২
৩৫ = ৫ × ৭
∴ ল.সা.গু = ৩ × ৫^২ × ৭ = ৫২৫

∴ ভগ্নাংশের গ.সা.গু = ৪/৫২৫

২৫৩.

দুইটি সংখ্যার অনুপাত ৪ : ৫ এবং তাদের ল.সা.গু. ১৬০ হলে ক্ষুদ্রতর সংখ্যাটি কত?

ক
৩২
খ
৪০
গ
৪২
ঘ
৪৫

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: দুইটি সংখ্যার অনুপাত ৪ : ৫ এবং তাদের ল.সা.গু. ১৬০ হলে ক্ষুদ্রতর সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
দুইটি সংখ্যার অনুপাত ৪ : ৫

মনেকরি
একটি সংখ্যা = ৪ক
অপর সংখ্যা = ৫ক
৪ক ও ৫ক এর ল.সা.গু. = ২০ক

প্রশ্নমতে
২০ক = ১৬০
বা, ক = ১৬০/২০
ক = ৮

ক্ষুদ্রতর সংখ্যাটি = ৪ × ৮ = ৩২

২৫৪.

দুইটি সংখ্যার ল.সা.গু. ৩০ এবং গ.সা.গু. ১৫ । একটি সংখ্যা অপর সংখ্যার অর্ধেক হলে ছোট সংখ্যাটি কত?

ক
৮
খ
১২
গ
১৫
ঘ
২৫

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: দুইটি সংখ্যার ল.সা.গু. ৩০ এবং গ.সা.গু. ১৫ । একটি সংখ্যা অপর সংখ্যার অর্ধেক হলে ছোট সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
ধরি,
একটি সংখ্যা = ক
অপর সংখ্যা = ক/২

প্রশ্নমতে,
ক × (ক/২) = ৩০ × ১৫
⇒ ক^২/২ = ৪৫০
⇒ ক^২ = ৪৫০ × ২
⇒ ক^২ = ৯০০
⇒ ক = ৩০ [ বর্গমূল করে ]

∴ ছোট সংখ্যাটি = ৩০/২ = ১৫

২৫৫.

১০/৩ এবং ১৫/৪ এর ল.সা.গু কত?

ক
২০/৩
খ
৫/৮
গ
৩০
ঘ
২৪

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ১০/৩ এবং ১৫/৪ এর ল.সা.গু কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
ভগ্নাংশের ল.সা.গু = লবগুলোর ল.সা.গু/হরগুলোর গ.সা.গু

লব ১০ ও ১৫ এর ল.সা.গু = ৩০
হর ৩ ও ৪ এর গ.সা.গু = ১

∴ ১০/৩ এবং ১৫/৪ এর ল.সা.গু = ৩০/১
= ৩০

২৫৬.

দুইটি সংখ্যার অনুপাত ৮ : ৯ এবং তাদের ল.সা.গু ৩৬০ হলে, সংখ্যা দুইটির গ.সা.গু কত?

ক
৫
খ
৬
গ
৭
ঘ
৯

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: দুইটি সংখ্যার অনুপাত ৮ : ৯ এবং তাদের ল.সা.গু ৩৬০ হলে, সংখ্যা দুইটির গ.সা.গু কত?

সমাধান:
মনে করি,
একটি সংখ্যা = ৮ক
এবং অপর সংখ্যাটি = ৯ক

সংখ্যা দুটির গ.সা.গু = ক
এবং ল.সা.গু = ৭২ক

শর্তমতে,
৭২ক = ৩৬০
⇒ ক = ৩৬০/৭২
⇒ ক = ৫

∴ সংখ্যা দুটির গ.সা.গু = ৫

২৫৭.

৪টি ঘড়ির ঘণ্টার কাঁটা যথাক্রমে প্রতি ঘণ্টায় ৪, ৬, ৮ ও ১২ বার আবর্তন করে। সকাল ৯টায় কাঁটাগুলো একই অবস্থানে ছিল। কত ঘণ্টা পর কাঁটাগুলো আবার একই অবস্থানে আসবে?

ক
২৪ ঘণ্টা
খ
১২ ঘণ্টা
গ
১৬ ঘণ্টা
ঘ
৬ ঘণ্টা

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ৪টি ঘড়ির ঘণ্টার কাঁটা যথাক্রমে প্রতি ঘণ্টায় ৪, ৬, ৮ ও ১২ বার আবর্তন করে। সকাল ৯টায় কাঁটাগুলো একই অবস্থানে ছিল। কত ঘণ্টা পর কাঁটাগুলো আবার একই অবস্থানে আসবে?

সমাধান:
কাঁটাগুলো একসাথে একই অবস্থানে আসার জন্য, ৪, ৬, ৮, এবং ১২-এর ল.সা.গু বের করতে হবে।
৪, ৬, ৮ ও ১২ এর ল.সা.গু = ২৪

অর্থাৎ, কাঁটাগুলো ২৪ ঘণ্টা পর আবার একই অবস্থানে আসবে।

২৫৮.

a³ - 1, 1 + a³ এবং 1 + a² + a⁴ রাশির ল.সা.গু. কত?

ক
a² - 3
খ
a² - 2
গ
a⁶ + 3
ঘ
a⁶ - 1

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: a³ - 1, 1 + a³ এবং 1 + a² + a⁴ রাশির ল.সা.গু. কত?

সমাধান:

১ম রাশি,

a³ - 1 = (a - 1)(a² + a + 1)

২য় রাশি,

a³ + 1 = (a + 1)(a² - a + 1)

৩য় রাশি,

1 + a² + a⁴

= 1 + 2. 1. a² + (a²)² - a²

= (a² + 1)² - a²

= (a² + a + 1) (a² - a + 1)

∴ নির্ণেয় ল.সা.গু. = (a - 1)(a² + a + 1)(a + 1)(a² - a + 1)

= (a³ + 1)(a³ - 1)

= a⁶ - 1

২৫৯.

দুটি সংখ্যার গ.সা.গু ১০ এবং ল.সা.গু ৮৩৭০ । একটি সংখ্যা ২৭০ হলে, অপর সংখ্যাটি কত?

ক
৩১০
খ
৩০০
গ
৩২০
ঘ
৩৬০

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: দুটি সংখ্যার গ.সা.গু ১০ এবং ল.সা.গু ৮৩৭০ । একটি সংখ্যা ২৭০ হলে, অপর সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
দুটি সংখ্যার গুণফল = সংখ্যা দুটির ল.সা.গু × সংখ্যা দুটির গ.সা.গু
⇒ ২৭০ × অপর সংখ্যা = ৮৩৭০ × ১০
⇒ অপর সংখ্যা = (৮৩৭০ × ১০)/২৭০
∴ অপর সংখ্যা = ৩১০ ।

২৬০.

দুটি সংখ্যার গ.সা.গু ১২ এবং ল.সা.গু ১৮০। একটি সংখ্যা ৩৬ হলে, অপর সংখ্যাটি কত?

ক
৭২
খ
৮৪
গ
৬০
ঘ
৯০

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: দুটি সংখ্যার গ.সা.গু ১২ এবং ল.সা.গু ১৮০। একটি সংখ্যা ৩৬ হলে, অপর সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
একটি সংখ্যা × অপর সংখ্যা = ল.সা.গু × গ.সা.গু
⇒ ৩৬ × অপর সংখ্যা = ১৮০ × ১২
⇒ অপর সংখ্যা = (১৮০ × ১২)/৩৬
⇒ অপর সংখ্যা = ৬০

∴ অপর সংখ্যাটি হলো ৬০

২৬১.

দুইটি ধনাত্মক সংখ্যার ল.সা.গু ও গ.সা.গু এর গুণফল ৫৪। সংখ্যা দুইটির পার্থক্য ৩। বড় সংখ্যাটি কত?

ক
৬
খ
৯
গ
১২
ঘ
৫

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: দুইটি ধনাত্মক সংখ্যার ল.সা.গু ও গ.সা.গু এর গুণফল ৫৪। সংখ্যা দুইটির পার্থক্য ৩। বড় সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
ধরি,
সংখ্যা দুইটি যথাক্রমে ক ও (ক + ৩)

প্রশ্নমতে,
দুইটি সংখ্যার গুণফল = এদের ল. সা .গু × গ. সা .গু
⇒ ক(ক + ৩) = ৫৪
⇒ ক^২ + ৩ক - ৫৪ = ০
⇒ ক^২ + ৯ক - ৬ক - ৫৪ = 0
⇒ ক(ক + ৯) - ৬( ক + ৯) = 0
⇒ (ক + ৯)(ক - ৬) = ০
⇒ ক = - ৯ , ৬ [- ৯ গ্রহনযোগ্য নয়]

সুতরাং, ছোট সংখ্যাটি = ৬
∴ বড় সংখ্যাটি = (৬ + ৩) = ৯

২৬২.

দুটি সংখ্যার ল.সা.গু তাদের গ.সা.গু এর ২৫ গুণ। দুটি সংখ্যার গুণফল ২০২৫ হলে তাদের ল.সা.গু কত?

ক
২৫৫
খ
২২৫
গ
৫২৫
ঘ
৪৬৫

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: দুটি সংখ্যার ল.সা.গু তাদের গ.সা.গু এর ২৫ গুণ। দুটি সংখ্যার গুণফল ২০২৫ হলে তাদের ল.সা.গু কত?

সমাধান:
ধরি,
দুটি সংখ্যার গ.সা.গু = x
দুটি সংখ্যার ল.সা.গু = ২৫x

আমরা জানি,
দুটি সংখ্যার ল.সা.গু ও গ.সা.গুর গুণফল = দুটি সংখ্যার গুণফল
∴ ২৫x × x = ২০২৫
⇒ ২৫x^২ = ২০২৫
⇒ x^২ = ৮১
⇒ x^২ = ৯^২
∴ x = ৯

∴ ল.সা.গু = ২৫ × ৯
= ২২৫ ।

২৬৩.

সর্বনিম্ন কত সংখ্যক সৈন্যকে ১২, ১৫, ১৮ এবং ২০ জনের দলে এবং তাদেরকে বর্গ আকারে সাজানো সম্ভব?

ক
১৮০ জন
খ
৯০০ জন
গ
১৬০০ জন
ঘ
২৫০০ জন

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: সর্বনিম্ন কত সংখ্যক সৈন্যকে ১২, ১৫, ১৮ এবং ২০ জনের দলে এবং তাদেরকে বর্গ আকারে সাজানো সম্ভব?

সমাধান:
১২, ১৫, ১৮ এবং ২০ এর ল.সা.গু নির্ণয় করি,
১২ = ২ × ২ × ৩
১৫ = ৩ × ৫
১৮ = ২ × ৩ × ৩
২০ = ২ × ২ × ৫

∴ ল.সা.গু = ২ × ২ × ৩ × ৫ × ৩

যেহেতু সৈন্যদেরকে বর্গের আকারে সাজানো যায় তাই ল.সা.গু এর সাথে ৫ দ্বারা গুণ করতে হবে।
∴ সৈন্য সংখ্যা = ২ × ২ × ৩ × ৫ × ৩ × ৫
= ৯০০ জন

২৬৪.

দুটি সংখ্যার অনুপাত ৩ : ২ এবং তাদের গ.সা.গু ১৪ হলে সংখ্যা দুটির ল.সা.গু কত?

ক
৭৬
খ
৮৪
গ
৯২
ঘ
৯৮

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: দুটি সংখ্যার অনুপাত ৩ : ২ এবং তাদের গ.সা.গু ১৪ হলে সংখ্যা দুটির ল.সা.গু কত?

সমাধান:
ল.সা.গু = অনুপাতের গুণফল × গ.সা.গু
= ২ × ৩ × ১৪
= ৮৪

২৬৫.

৩/১০০, ৩/১০, ৯/১০০ এর ল.সা.গু কত?

ক
০.০৯
খ
০.৩
গ
০.০৩
ঘ
০.৯

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ৩/১০০, ৩/১০, ৯/১০০ এর ল.সা.গু কত?

সমাধান:
৩/১০০
৩/১০
৯/১০০

এখানে, লব গুলোর ল.সা.গু = ৯
হর গুলোর গ.সা.গু = ১০

ভগ্নাংশগুলোর ল.সা.গু = (লবগুলোর ল.সা.গু)/(হরগুলোর গ.সা.গু)
= ৯/১০
= ০.৯

২৬৬.

দুটি সংখ্যার অনুপাত ৪ : ৫ এবং তাদের ল.সা.গু ৪৮০ হলে সংখ্যা দুটি কত?

ক
৭৫, ৯০
খ
৬০, ৭২
গ
৯৬, ৭২
ঘ
১২০, ৯৬

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: দুটি সংখ্যার অনুপাত ৪ : ৫ এবং তাদের ল.সা.গু ৪৮০ হলে সংখ্যা দুটি কত?

সমাধান:
মনে করি,
ছোট সংখ্যাটি = ৪ক
এবং বড় সংখ্যাটি = ৫ক

∴ ৪ক এবং ৫ক এর ল.সা.গু = ২০ক
প্রশ্নমতে,
২০ক = ৪৮০
⇒ ক = ৪৮০/২০
⇒ ক = ২৪

∴ ছোট সংখ্যাটি = (৪ × ২৪) = ৯৬
বড় সংখ্যাটি = (৫ × ২৪) = ১২০

২৬৭.

কোন ক্ষুদ্রতম সংখ্যাকে ৩, ৪, ৫ এবং ৬ দ্বারা ভাগ করলে যথাক্রমে ১, ২, ৩ ও ৪ অবশিষ্ট থাকে?

ক
৪৮
খ
৫২
গ
৫৮
ঘ
৬২

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: কোন ক্ষুদ্রতম সংখ্যাকে ৩, ৪, ৫ এবং ৬ দ্বারা ভাগ করলে যথাক্রমে ১, ২, ৩ ও ৪ অবশিষ্ট থাকে?

সমাধান:
এখানে,
৩ - ১ = ২
৪ - ২ = ২
৫ - ৩ = ২
৬ - ৪ = ২

∴ ৩, ৪, ৫ ও ৬ সংখ্যাগুলো থেকে ১, ২, ৩ ও ৪ সংখ্যাগুলো বিয়োগ করলে প্রতিক্ষেত্রে ২ অবশিষ্ট থাকে।

এখন,
৩, ৪, ৫ ও ৬ সংখ্যাগুলোর ল.সা.গু = ৬০
∴ নির্ণেয় সংখ্যা = ৬০ - ২ = ৫৮

২৬৮.

২, ৬ এবং ১০ এর ল. সা. গু. কত?

ক
২
খ
৩০
গ
৬০
ঘ
৮০
ঙ
কোনোটিই নয়

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ২, ৬ এবং ১০ এর ল. সা. গু. কত?

সমাধান:
২ = ১ × ২
৬ = ২ × ৩
১০ = ২ × ৫
২, ৬ এবং ১০ এর ল. সা. গু. = ২ × ৩ × ৫
= ৩০

২৬৯.

দুইটি সংখ্যার অনুপাত ৯ : ১২ এবং ল.সা.গু. ২১৬। ছোট সংখ্যাটি কত?

ক
৩৬
খ
৪৬
গ
৫৪
ঘ
৭২

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: দুইটি সংখ্যার অনুপাত ৯ : ১২ এবং ল.সা.গু. ২১৬। ছোট সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
ধরি, ১ম সংখ্যা = ৯ক
২য় সংখ্যা = ১২ক
∴ সংখ্যা দুইটির ল.সা.গু. = ৩৬ক

প্রশ্নমতে,
৩৬ক = ২১৬
⇒ ক = ২১৬/৩৬
⇒ ক = ৬

অর্থাৎ ১ম সংখ্যা = ৯ × ৬ = ৫৪
২য় সংখ্যা = ১২ × ৬ = ৭২

∴ ছোট সংখ্যাটি = ৫৪

২৭০.

দুইটি সংখ্যার গ.সা.গু. ১১ এবং ল.সা.গু. ৭৭০০। একটি সংখ্যা ২৭৫ হলে অপর সংখ্যাটি কত?

ক
৩০৮
খ
৩১৮
গ
২৮৯
ঘ
২৮৩

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: দুইটি সংখ্যার গ.সা.গু ১১ এবং ল.সা.গু ৭৭০০। একটি সংখ্যা ২৭৫ হলে অপর সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
একটি সংখ্যা × অপর সংখ্যা = ল.সা.গু × গ.সা.গু
∴ অপর সংখ্যা = ( ল.সা.গু × গ.সা.গু)/একটি সংখ্যা
= (১১ × ৭৭০০)/২৭৫
= ৮৪৭০০/২৭৫
= ৩০৮

∴ অপর সংখ্যাটি = ৩০৮।

২৭১.

দুইটি সংখ্যার অনুপাত ৭ : ৫ এবং তাদের ল.সা.গু ১৪০ হলে, সংখ্যা দুইটি কত?

ক
৩৫, ২৫
খ
২৮, ২০
গ
৪৯, ৩৫
ঘ
৪২, ৩০

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: দুইটি সংখ্যার অনুপাত ৭: ৫ এবং তাদের ল.সা.গু ১৪০ হলে, সংখ্যা দুইটি কত?

সমাধান:
মনে করি, সংখ্যা দুইটি যথাক্রমে ৭ক এবং ৫ক
∴ সংখ্যা দুটির ল.সা.গু ৩৫ক

প্রশ্নমতে,
৩৫ক = ১৪০
⇒ ক = ১৪০/৩৫
⇒ ক = ৪

সুতরাং, প্রথম সংখ্যাটি = ৭ × ৪ = ২৮
এবং দ্বিতীয় সংখ্যাটি = ৫ × ৪ = ২০

∴ সংখ্যা দুইটি হলো ২৮ ও ২০

২৭২.

একটি ঘোড়ার গাড়ির সামনের চাকার পরিধি ৫ মিটার এবং পিছনের চাকার পরিধি ৬ মিটার। গাড়িটি কতটুকু পথ অতিক্রম করলে সামনের চাকা পিছনের চাকার চেয়ে ৩০ বার বেশি ঘুরবে?

ক
৩০০ মিটার
খ
৬০০ মিটার
গ
৯০০ মিটার
ঘ
১২০০ মিটার

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি ঘোড়ার গাড়ির সামনের চাকার পরিধি ৫ মিটার এবং পিছনের চাকার পরিধি ৬ মিটার। গাড়িটি কতটুকু পথ অতিক্রম করলে সামনের চাকা পিছনের চাকার চেয়ে ৩০ বার বেশি ঘুরবে?

সমাধান:
৫ ও ৬ এর ল.সা.গু = ৫ × ৬ = ৩০

৩০ মিটার পথ চলতে সামনের চাকাকে ঘুরতে হয় = ৩০/৫ = ৬ বার
৩০ মিটার পথ চলতে পিছনের চাকাকে ঘুরতে হয় = ৩০/৬ = ৫ বার

∴ সামনের চাকা পিছনের চাকা থেকে ১ বার বেশি ঘুরে = ৩০ মিটারে
∴ সামনের চাকা পিছনের চাকা থেকে ৩০ বার বেশি ঘুরে = ৩০ × ৩০ মিটারে
= ৯০০ মিটারে

∴ গাড়িটি ৯০০ মিটার পথ অতিক্রম করলে সামনের চাকা পিছনের চাকার চেয়ে ৩০ বার বেশি ঘুরবে।

২৭৩.

কোন ক্ষুদ্রতম সংখ্যাকে ১২, ১৮ ও ২৪ দ্বারা ভাগ করলে প্রতিক্ষেত্রে ভাগশেষ ৫ থাকবে ?

ক
৭৭
খ
৬৭
গ
১৪৪
ঘ
৭২

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: কোন ক্ষুদ্রতম সংখ্যাকে ১২, ১৮ ও ২৪ দ্বারা ভাগ করলে প্রতিক্ষেত্রে ভাগশেষ ৫ থাকবে ?

সমাধান:
ক্ষুদ্রতম সংখ্যাটি হবে ১২, ১৮ ও ২৪ এর ল.সা.গু অপেক্ষায় ৫ বেশি।

১২, ১৫, ১৮ ও ২৪ এর ল.সা.গু -
১২ = ২ × ২ × ৩
১৮ = ২ × ৩ × ৩
২৪ = ২ × ২ × ২ × ৩

∴ ১২, ১৫, ২০ ও ২৪ এর ল.সা.গু = ২ × ২ × ২ × ৩ × ৩
= ৭২

∴ ক্ষুদ্রতম সংখ্যাটি হবে =( ৭২ + ৫ )
= ৭৭

২৭৪.

১০০০ এর সঙ্গে কোন ক্ষুদ্রতম সংখ্যা যোগ করলে যোগফল ৩, ৪, ৬ এবং ১২ দ্বারা নিঃশেষে বিভাজ্য হবে?

ক
৪
খ
৫
গ
৮
ঘ
১০

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ১০০০ এর সঙ্গে কোন ক্ষুদ্রতম সংখ্যা যোগ করলে যোগফল ৩, ৪, ৬ এবং ১২ দ্বারা নিঃশেষে বিভাজ্য হবে?

সমাধান:
৩, ৪, ৬ এবং ১২ এর লসাগু ১২
১২ দ্বারা ১০০০ কে ভাগ করলে ভাগশেষ ৪ হয়।

∴ ভাগশেষ ও ভাজকের পার্থক্যই হবে নির্ণেয় ক্ষুদ্রতম সংখ্যা।

∴ নির্ণেয় ক্ষুদ্রতম সংখ্যা = ১২ - ৪
= ৮

২৭৫.

কোন ক্ষুদ্রতম সংখ্যাকে ১২, ১৮, ২৪ এবং ৩২ দ্বারা ভাগ করলে প্রত্যেকবার ভাগশেষ ৮ হবে?

ক
২৮০
খ
২৯৬
গ
২৮৮
ঘ
৩০০

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: কোন ক্ষুদ্রতম সংখ্যাকে ১২, ১৮, ২৪ এবং ৩২ দ্বারা ভাগ করলে প্রত্যেকবার ভাগশেষ ৮ হবে?

সমাধান:
প্রদত্ত সংখ্যাগুলো দ্বারা বিভাজ্য ক্ষুদ্রতম সংখ্যা হলো সংখ্যাগুলোর ল.সা.গু।
সুতরাং ১২, ১৮, ২৪ ও ৩২ এর ল.সা.গু এর সাথে ভাগশেষ ৮ যোগ করলে নির্ণেয় ক্ষুদ্রতম সংখ্যাটি পাওয়া যাবে।

সংখ্যাগুলোর মৌলিক উৎপাদক বিশ্লেষণ:
১২ = ২^২ × ৩
১৮ = ২ × ৩^২
২৪ = ২^৩ × ৩
৩২ = ২^৫

ল.সা.গু = ২^৫ × ৩^২ = ২৮৮

∴ নির্ণেয় ক্ষুদ্রতম সংখ্যা = ল.সা.গু + ভাগশেষ
= ২৮৮ + ৮
= ২৯৬

২৭৬.

চারটি সাইরেন একত্রে বেজে যথাক্রমে ২৫, ৩০, ৪০ ও ৪৫ সেকেন্ড অন্তর অন্তর বাজতে লাগল। কতক্ষণ পরে সাইরেনগুলো পুনরায় একত্রে বাজবে?

ক
১২ মিনিট
খ
১৬ মিনিট
গ
২০ মিনিট
ঘ
৩০ মিনিট

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: চারটি সাইরেন একত্রে বেজে যথাক্রমে ২৫, ৩০, ৪০ ও ৪৫ সেকেন্ড অন্তর অন্তর বাজতে লাগল। কতক্ষণ পরে সাইরেনগুলো পুনরায় একত্রে বাজবে?

সমাধান:
২৫ = ৫^২
৩০ = ২ × ৩ × ৫
৪০ = ২^৩ × ৫
৪৫ = ৩^২ × ৫

∴ ল.সা.গু. = ২^৩ × ৩^২ × ৫^২
= ১৮০০ সেকেন্ড

আমরা জানি, ৬০ সেকেন্ড = ১ মিনিট।
∴ সময় = ১৮০০/৬০ মিনিট = ৩০ মিনিট।

∴ ৩০ মিনিট পরে সাইরেনগুলো পুনরায় একত্রে বাজবে।

২৭৭.

দুইটি সংখ্যার ল.সা.গু ৭০ এবং গ.সা.গু ৭। একটি সংখ্যা ৩৫ হলে অপরটি কত?

ক
১৪
খ
১৫
গ
৭
ঘ
২১

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: দুইটি সংখ্যার ল.সা.গু ৭০ এবং গ.সা.গু ৭। একটি সংখ্যা ৩৫ হলে অপরটি কত?

সমাধান:
একটি সংখ্যা ৩৫
ধরি,
অপর সংখ্যা, ক

আমরা জানি,
দুটি সংখ্যার গুণফল = দুটি সংখ্যার ল.সা.গু × দুটি সংখ্যার গ.সা.গু

শর্তমতে,
ক × ৩৫ = ৭০ × ৭
বা, ক = ৪৯০/৩৫
∴ ক = ১৪

অপর সংখ্যা = ১৪

২৭৮.

(২/৩), (৪/৫), (৫/৬) ভগ্নাংশগুলোর গ.সা.গু নিচের কোনটি?

ক
১/৩০
খ
১/১৫
গ
১/২০
ঘ
১/৬০

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: (২/৩), (৪/৫), (৫/৬) ভগ্নাংশগুলোর গ.সা.গু নিচের কোনটি?

সমাধান:
(২/৩), (৪/৫), (৫/৬) ভগ্নাংশগুলোর গ.সা.গু = লব গুলোর গ.সা.গু/হর গুলোর ল.সা.গু

এখন,
২, ৪ ও ৫ এর গ.সা.গু = ১
৩, ৫ ও ৬ এর ল.সা.গু = ৩০

∴ নির্ণেয় গ.সা.গু = ১/৩০।

২৭৯.

কোন বৃহত্তম সংখ্যা দিয়ে ১০২ ও ১৮৬ কে ভাগ করলে, প্রত্যেকবার ৬ অবশিষ্ট থাকবে?

ক
১২
খ
১৫
গ
১৬
ঘ
২২

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন:কোন বৃহত্তম সংখ্যা দিয়ে ১০২ ও ১৮৬ কে ভাগ করলে, প্রত্যেকবার ৬ অবশিষ্ট থাকবে?

সমাধান:
১০২ এবং ১৮৬ কে যে সংখ্যা দিয়ে ভাগ করলে প্রত্যেকবার ৬ অবশিষ্ট থাকবে।
সেই সংখ্যা দিয়ে ১০২ - ৬ = ৯৬ এবং ১৮৬ - ৬ = ১৮০ কে ভাগ করলে অবশিষ্ট থাকবে না।
অর্থাৎ বৃহত্তম সংখ্যাটি এমন হতে হবে যা দ্বারা ৯৬ এবং ১৮০ এর গ.সা.গু-এর সমান
৯৬ এবং ১৮০ এর গ.সা.গু = ১২

∴ নির্ণেয় বৃহত্তম সংখ্যা ১২।

২৮০.

x² - 25, x² + 5x, x² + 7x + 10 এর গ. সা. গু. কত?

ক
x + 5
খ
x - 5
গ
x + 3
ঘ
x

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: x² - 25, x² + 5x, x² + 7x + 10 এর গ. সা. গু. কত?

সমাধান:

১ম রাশি = x² - 25

= (x)² - (5)²

= (x + 5)(x - 5)

২য় রাশি = x² + 5x

= x(x + 5)

৩য় রাশি = x² + 7x + 10

= x² + 2x + 5x + 10

= x(x + 2) + 5(x + 2)

= (x + 2)(x + 5)

∴ নির্ণেয় গ. সা. গু. = (x + 5)

২৮১.

x² - 3x, x² - 9, x² - 4x + 3 এর ল.সা.গু কত?

ক
x(x - 3) (x - 1)
খ
x(x² - 9) (x - 1)
গ
x(x - 3)
ঘ
x² - 9

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: x² - 3x, x² - 9, x² - 4x + 3 এর ল.সা.গু কত?

সমাধান:

১ম রাশি = x² - 3x
= x(x - 3)

২য় রাশি = x² - 9
= x² - 3²
= (x + 3)(x - 3)

৩য় রাশি = x² - 4x + 3
= x² - 3x - x + 3
= x(x - 3) - 1(x - 3)
= (x - 3)(x - 1)

নির্ণেয় ল.সা.গু = x(x - 3)(x - 1)(x + 3)
= x(x² - 9) (x - 1)

২৮২.

কোন ক্ষুদ্রতম সংখ্যাকে ৩, ৫, ৬ দ্বারা ভাগ করলে ভাগশেষ ১ হবে?

ক
৩১
খ
৩৯
গ
৪১
ঘ
৭১

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: কোন ক্ষুদ্রতম সংখ্যাকে ৩, ৫, ৬ দ্বারা ভাগ করলে ভাগশেষ ১ হবে?

সমাধান:
৩, ৫ ও ৬ এর ল.সা.গু. = ৩০
∴ ক্ষুদ্রতম সংখ্যাটি হবে (৩০ + ১)
= ৩১ ।

২৮৩.

x² - 8x + 15, x² - 25, x² + 2x - 15 এর গ.সা.গু নির্ণয় করুন।

ক
(x + 5)
খ
(x - 5)
গ
(x - 3)
ঘ
1

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: x² - 8x + 15, x² - 25, x² + 2x - 15 এর গ.সা.গু নির্ণয় করুন।

সমাধান:
১ম রাশি = x² - 8x + 15
= x² - 8x + 15
= x² - 3x - 5x + 15
= x(x - 3) - 5(x - 3)
= (x - 3) (x - 5)

২য় রাশি = x² - 25
= x² - 5²
= (x - 5) (x + 5)

৩য় রাশি = x² + 2x - 15
= x² + 5x - 3x - 15
= x(x + 5) - 3(x + 5)
= (x + 5) (x - 3)

নির্ণেয় গ.সা.গু = 1

২৮৪.

একটি স্বেচ্ছাসেবী দলে যদি নতুন ১৩ জন সদস্য যোগ দেয়, তবে তাদেরকে ২০, ৪০ ও ৭০ সারিতে দাঁড় করানো যাবে। ঐ স্বেচ্ছাসেবী দলের সদস্য সংখ্যা কত?

ক
১৯৩ জন
খ
২২৫ জন
গ
২৬৭ জন
ঘ
২৭৩ জন

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি স্বেচ্ছাসেবী দলে যদি নতুন ১৩ জন সদস্য যোগ দেয়, তবে তাদেরকে ২০, ৪০ ও ৭০ সারিতে দাঁড় করানো যাবে। ঐ স্বেচ্ছাসেবী দলের সদস্য সংখ্যা কত?

সমাধান:
প্রশ্নমতে,
স্বেচ্ছাসেবী দলের সদস্য সংখ্যা = (২০, ৪০ ও ৭০ এর ল.সা.গু) - ১৩
২০, ৪০ ও ৭০ সংখ্যাগুলোর ল.সা.গু = ২৮০

∴ স্বেচ্ছাসেবী দলের সদস্য সংখ্যা = ২৮০ - ১৩
= ২৬৭ জন

২৮৫.

৩০টি আম ও ৩৬টি লিচু সর্বোচ্চ কতজন বালকের মধ্যে সমান ভাগে ভাগ করা যেতে পারে?

ক
৫ জন
খ
৩ জন
গ
৬ জন
ঘ
৯ জন

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ৩০টি আম ও ৩৬টি লিচু সর্বোচ্চ কতজন বালকের মধ্যে সমান ভাগে ভাগ করা যেতে পারে?

সমাধান:
নির্ণেয় বালকের সংখ্যা হবে ৩০ ও ৩৬ এর গ. সা. গু
∴ ৩০ ও ৩৬ এর গ. সা. গু = ৬

∴ নির্ণেয় বালকের সংখ্যা = ৬ জন।

২৮৬.

x³ + 2x² - 3x এবং 2x³ + 5x² - 3x এর ল.সা.গু নিচের কোনটি?

ক
x(x + 1)(x + 2)(2x - 3)
খ
x(x + 3)(x - 1)(2x - 1)
গ
x(x - 3)(x + 2)(2x + 1)
ঘ
x(x - 1)(x - 2)(2x + 3)

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: x³ + 2x² - 3x এবং 2x³ + 5x² - 3x এর ল.সা.গু নিচের কোনটি?

সমাধান:
১ম রাশি = x³ + 2x² - 3x
= x(x² + 2x - 3)
= x(x² + 3x - x - 3)
= x{x(x + 3) - 1(x + 3)}
= x(x + 3)(x - 1)

২য় রাশি = 2x³ + 5x² - 3x
= x(2x² + 5x - 3)
= x(2x² + 6x - x - 3)
= x{2x(x + 3) - 1(x + 3)}
= x(x + 3)(2x - 1)

∴ ল.সা.গু = x(x + 3)(x - 1)(2x - 1)

২৮৭.

দুটি সংখ্যার গুণফল ১৫৩৬। সংখ্যা দুটোর ল.সা.গু ৯৬ হলে গ.সা.গু. কত?

ক
১৬
খ
২৪
গ
৩২
ঘ
১২

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: দুটি সংখ্যার গুণফল ১৫৩৬। সংখ্যা দুটোর ল.সা.গু ৯৬ হলে গ.সা.গু. কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
দুইটি সংখ্যার গুণফল ১৫৩৬
সংখ্যা দুইটির ল.সা.গু ৯৬

আমরা জানি,
দুইটি সংখ্যার গুণফল = সংখ্যা দুইটির ল.সা.গু × গ.সা.গু
⇒ ১৫৩৬ = ৯৬ × গ.সা.গু
⇒ গ.সা.গু = ১৫৩৬/৯৬
∴ গ.সা.গু = ১৬

২৮৮.

কোন ক্ষুদ্রতম সংখ্যার সাথে ১ যোগ করলে যোগফল ৩, ৬, ৯, ১২ এবং ১৫ দ্বারা নিঃশেষে বিভাজ্য হবে?

ক
১৭৯
খ
৩৬১
গ
৩৫৯
ঘ
৭২১

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: কোন ক্ষুদ্রতম সংখ্যার সাথে ১ যোগ করলে যোগফল ৩, ৬, ৯, ১২ এবং ১৫ দ্বারা নিঃশেষে বিভাজ্য হবে?

সমাধান:
৩, ৬, ৯, ১২ এবং ১৫ এর ল.সা.গু = ১৮০

∴ নির্ণেয় ল.সা.গু = (১৮০ - ১)
= ১৭৯ ।

২৮৯.

৩০টি আম ও ৩৬টি লিচু সর্বোচ্চ কতজন বালকের মধ্যে সমান ভাগে ভাগ করা যেতে পারে?

ক
৩ জন
খ
৫ জন
গ
৬ জন
ঘ
৮ জন

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ৩০টি আম ও ৩৬টি লিচু সর্বোচ্চ কতজন বালকের মধ্যে সমান ভাগে ভাগ করা যেতে পারে?

সমাধান:
নির্ণেয় বালকের সংখ্যা হবে ৩০ ও ৩৬ এর গ. সা. গু
∴ ৩০ ও ৩৬ এর গ. সা. গু. = ৬

∴ নির্ণেয় বালকের সংখ্যা = ৬ জন।

২৯০.

দুইটি সংখ্যার অনুপাত ৫ : ৭ এবং তাদের ল.সা.গু ৩১৫ হলে, সংখ্যা দুইটির গ.সা.গু কত?

ক
৭
খ
৯
গ
১৫
ঘ
২১

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: দুইটি সংখ্যার অনুপাত ৫ : ৭ এবং তাদের ল.সা.গু ৩১৫ হলে, সংখ্যা দুইটির গ.সা.গু কত?

সমাধান:
মনে করি,
একটি সংখ্যা = ৫ক
এবং অপর সংখ্যাটি = ৭ক

সংখ্যা দুটির গ.সা.গু = ক
এবং ল.সা.গু = ৩৫ক

শর্তমতে,
৩৫ক = ৩১৫
⇒ ক = ৩১৫/৩৫
⇒ ক = ৯

∴ সংখ্যা দুটির গ.সা.গু = ৯

২৯১.

কোন বৃহত্তম সংখ্যা দ্বারা ২৬, ৩৯ এবং ৬৪ কে ভাগ করলে যথাক্রমে ২, ৩ এবং ৪ ভাগশেষ থাকবে?

ক
১২
খ
১৪
গ
১৬
ঘ
১৮

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: কোন বৃহত্তম সংখ্যা দ্বারা ২৬, ৩৯ এবং ৬৪ কে ভাগ করলে যথাক্রমে ২, ৩ এবং ৪ ভাগশেষ থাকবে?

সমাধান:
এখানে,
২৬ - ২ = ২৪
৩৯ - ৩ = ৩৬
৬৪ - ৪ = ৬০

২৪, ৩৬ এবং ৬০ এর গ.সা.গু = ১২

সুতরাং, নির্ণেয় বৃহত্তম সংখ্যাটি = ১২

২৯২.

দুইটি সংখ্যার অনুপাত ১ : ২, তাদের গ.সা.গু ৯ হলে, সংখ্যা দুইটির ল.সা.গু কত?

ক
১২
খ
১৬
গ
১৮
ঘ
২৭

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: দুইটি সংখ্যার অনুপাত ১ : ২, তাদের গ.সা.গু ৯ হলে, সংখ্যা দুইটির ল.সা.গু কত?

সমাধান:
ধরি,
একটি সংখ্যা ক
অপর সংখ্যা ২ক
∴ সংখ্যা দুটির গ.সা.গু = ক
এবং, সংখ্যা দুটির ল.সা.গু = ২ক

শর্তমতে,
ক = ৯

∴ ল.সা.গু = ২ × ৯ = ১৮

২৯৩.

দুটি সংখ্যার গ.সা.গু, বিয়োগফল এবং ল.সা.গু যথাক্রমে ১২, ৬০ এবং ২৪৪৮ । সংখ্যা দুটি কত?

ক
১০৮, ১৪৪
খ
১১২, ১৪৮
গ
১৪৪, ২০৮
ঘ
১৪৪, ২০৪

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: দুটি সংখ্যার গ.সা.গু, বিয়োগফল এবং ল.সা.গু যথাক্রমে ১২, ৬০ এবং ২৪৪৮ । সংখ্যা দুটি কত?

সমাধান:
ধরি,
সংখ্যা দুটি = ১২x ও ১২y
১২x - ১২y = ৬০
∴ x - y = ৫ .............. (1)

এবং ১২xy = ২৪৪৮
xy = ২০৪

(x + y) = √[(x - y)²+ ৪xy]
(x + y) = √[৫^২ + ৪ × ২০৪]
x + y = √৮৪১
x + y = ২৯ ......... (2)

x = ১৭, y = ১২

∴ সংখ্যা দুটি ১৪৪ ও ২০৪

২৯৪.

১৮, ৪২, ১০২ এর গ.সা.গু কত?

ক
২
খ
৩
গ
৬
ঘ
৯

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ১৮, ৪২, ১০২ এর গ.সা.গু কত?

সমাধান:
১৮ = ১ × ২ × ৩ × ৩
৪২ = ১ × ২ × ৩ × ৭
১০২ = ১ × ২ × ৩ × ১৭

∴ নির্ণেয় গ.সা.গু = ১ × ২ × ৩
= ৬ ।

২৯৫.

জাবির, নাবিল ও নকিব একত্রে ১টি করে চকলেট খাওয়ার পর ৩, ৭ ও ৯ মিনিট অন্তর অন্তর একটি চকলেট খায়। কতক্ষণ পর তারা আবার একত্রে চকলেট খাবে?

ক
১ ঘণ্টা ১৩ মিনিট
খ
১ ঘণ্টা
গ
১ ঘণ্টা ১ মিনিট
ঘ
১ ঘণ্টা ৩ মিনিট

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: জাবির, নাবিল ও নকিব একত্রে ১টি করে চকলেট খাওয়ার পর ৩, ৭ ও ৯ মিনিট অন্তর অন্তর একটি চকলেট খায়। কতক্ষণ পর তারা আবার একত্রে চকলেট খাবে?

সমাধান:
৩, ৭ ও ৯ এর ল.সা.গু- ই হবে নির্ণেয় সময়।
৩, ৭ ও ৯ এর ল.সা.গু = ৬৩

অতএব, জাবির, নাবিল ও নকিব ৬৩ মিনিট বা ১ ঘণ্টা ৩ মিনিট পর পুনরায় একত্রে চকলেট খাবে।

২৯৬.

একটি সৈন্যদলে যদি নতুন ১৩ জন সদস্য নিয়োগ দেয়া হতো, তবে তাদেরকে ২০, ৪০, ৫০ ও ৬০ সারিতে দাঁড় করানো যেত। ঐ সৈন্যদলের সদস্য সংখ্যা কত?

ক
৩৮৩ জন
খ
৪১৩ জন
গ
৪৭৭ জন
ঘ
৫৮৭ জন

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি সৈন্যদলে যদি নতুন ১৩ জন সদস্য নিয়োগ দেয়া হতো, তবে তাদেরকে ২০, ৪০, ৫০ ও ৬০ সারিতে দাঁড় করানো যেত। ঐ সৈন্যদলের সদস্য সংখ্যা কত?

সমাধান:
সৈন্যদলের সদস্য সংখ্যা = (২০, ৪০, ৫০ ও ৬০ এর ল. সা. গু) - ১৩

সংখ্যাগুলোর ল. সা. গু = ৬০০

∴ সৈন্যদলের সদস্য সংখ্যা = ৬০০ - ১৩ জন
= ৫৮৭ জন

২৯৭.

দুইটি সংখ্যার ল. সা. গু ১৪৪ এবং গ. সা. গু ১২ । একটি সংখ্যা ৪৮ হলে অপর সংখ্যাটি কত?

ক
২৪
খ
৩৬
গ
৪৮
ঘ
১৮

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: দুইটি সংখ্যার ল. সা. গু ১৪৪ এবং গ. সা. গু ১২ । একটি সংখ্যা ৪৮ হলে অপর সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
দুইটি সংখ্যার গুণফল = দুইটি সংখ্যার ল. সা. গু × দুইটি সংখ্যার গ. সা. গু
বা, একটি সংখ্যা × অপর সংখ্যা = দুইটি সংখ্যার ল. সা. গু × দুইটি সংখ্যার গ. সা. গু
বা, ৪৮ × অপর সংখ্যা = ১৪৪ × ১২
বা, অপর সংখ্যা = (১৪৪ × ১২)/৪৮
∴ অপর সংখ্যা = ৩৬

∴ অপর সংখ্যাটি = ৩৬ ।

২৯৮.

কোন ক্ষুদ্রতম সংখ্যাকে ৮, ১২, ১৮ এবং ২৪ দ্বারা ভাগ করলে প্রত্যেকবার ভাগশেষ ৫ হবে?

ক
৬০
খ
৬৫
গ
৭৭
ঘ
৮৫

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: কোন ক্ষুদ্রতম সংখ্যাকে ৮, ১২, ১৮ এবং ২৪ দ্বারা ভাগ করলে প্রত্যেকবার ভাগশেষ ৫ হবে?

সমাধান:
প্রদত্ত সংখ্যাগুলো দ্বারা বিভাজ্য ক্ষুদ্রতম সংখ্যা হলো সংখ্যাগুলোর ল.সা.গু.।
সুতরাং ৮, ১২, ১৮ ও ২৪ এর ল.সা.গু. এর সাথে ৫ যোগ করলে ক্ষুদ্রতম সংখ্যাটি পাওয়া যাবে।

এখন,
৮ = ২ × ২ × ২
১২ = ২ × ২ × ৩
১৮ = ২ × ৩ × ৩
২৪ = ২ × ২ × ২ × ৩

৮, ১২, ১৮ ও ২৪ এর ল.সা.গু. = ২ × ২ × ২ × ৩ × ৩ = ৭২

∴ নির্ণেয় সংখ্যা = ৭২ + ৫ = ৭৭

২৯৯.

চার অংকের ক্ষুদ্রতম সংখ্যার সাথে কোন ক্ষুদ্রতম সংখ্যা যোগ করলে যোগফল ১০, ১৫, ২০ ও ৩০ দ্বারা নিঃশেষে বিভাজ্য হবে?

ক
১৫
খ
২০
গ
২৫
ঘ
৩০

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: চার অংকের ক্ষুদ্রতম সংখ্যার সাথে কোন ক্ষুদ্রতম সংখ্যা যোগ করলে যোগফল ১০, ১৫, ২০ ও ৩০ দ্বারা নিঃশেষে বিভাজ্য হবে?

সমাধান:
চার অংকের ক্ষুদ্রতম সংখ্যা = ১০০০।

১০ = ২ × ৫
১৫ = ৩ × ৫
২০ = ২ × ২ × ৫
৩০ = ২ × ৩ × ৫

∴ ল.সা.গু = ২ × ২ × ৩ × ৫
= ৬০

১০০০ কে ৬০ দিয়ে ভাগ করি,
১০০০ ÷ ৬০ = ১৬ (ভাগফল),
১৬ × ৬০ = ৯৬০
১০০০ - ৯৬০ = ৪০ (ভাগশেষ)

∴ নির্ণেয় ক্ষুদ্রতম সংখ্যা = ৬০ - ৪০ = ২০

অর্থাৎ, ১০০০ এর সাথে ২০ যোগ করলে যোগফল হবে ৬০ এর গুণিতক, যা ১০, ১৫, ২০ ও ৩০ দ্বারা নিঃশেষে বিভাজ্য।

৩০০.

ন্যূনতম কতটি লজেন্স ৬, ১০ বা ১৮ জন শিশুর মধ্যে সমানভাবে ভাগ করে দেয়া যাবে?

ক
৭৪ টি
খ
৮৮ টি
গ
৯০ টি
ঘ
১০২ তি

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ন্যূনতম কতটি লজেন্স ৬, ১০ বা ১৮ জন শিশুর মধ্যে সমানভাবে ভাগ করে দেয়া যাবে?

সমাধান:
৬, ১০ ও ১৮ এর ল.সা.গু'ই হবে নির্ণেয় শিশুর সংখ্যা।

৬, ১০ বা ১৮ এর ল.সা.গু = ৯০ টি

অতএব, ন্যূনতম ৯০টি লজেন্স ৬, ১০ বা ১৮ জন শিশুর মধ্যে সমানভাবে ভাগ করে দেয়া যাবে।