ল.সা.গু ও গ.সা.গু

প্রশ্ন: দুইটি সংখ্যার অনুপাত 7 : 5 এবং তাদের ল.সা.গু 140 হলে সংখ্যা দুইটির গ.সা.গু কত?

সমাধান:
মনে করি,
সংখ্যা দুইটি যথাক্রমে 7x এবং 5x 
∴সংখ্যা দুইটির গ.সা.গু = x
এবং ল.সা.গু = 35x

প্রশ্নমতে,
35x = 140
⇒ x = 140/35
∴ x = 4

অতএব, সংখ্যা দুইটির গ.সা.গু 4

প্রশ্ন: একটি ঝুড়িতে ৩৮৫টি আম আছে। এর সাথে আরো কমপক্ষে কতগুলো আম যোগ করলে সেগুলো ৫, ৮ এবং ১০ জন শিশুর মধ্যে সমানভাবে ভাগ করে দেওয়া যাবে?

সমাধান:
আমের মোট সংখ্যা এমন হবে যাতে তা ৫, ৮ ও ১০ দ্বারা নিঃশেষে বিভাজ্য হয়।
অর্থাৎ ৫, ৮ ও ১০ এর ল.সা.গু বের করতে হবে।

এখন,
৫ = ৫
৮ = ২ × ২ × ২
১০ = ২ × ৫

∴ নির্ণেয় ল.সা.গু = ২ × ২ × ২ × ৫ = ৪০

এখন ৩৮৫ কে ৪০ দ্বারা ভাগ করি,
৪০ × ৯ = ৩৬০
অবশিষ্ট = ৩৮৫ - ৩৬০ = ২৫

যেহেতু ৪০ দ্বারা নিঃশেষে বিভাজ্য করতে হবে,
তাই যোগ করতে হবে = ৪০ - ২৫ = ১৫

∴ কমপক্ষে ১৫টি আম যোগ করতে হবে।

প্রশ্ন: দুটি সংখ্যার ল.সা.গু ১০৮ এবং গ.সা.গু ১৮। একটি সংখ্যা অপর সংখ্যার দুই তৃতীয়াংশ হলে ছোট সংখ্যাটি কত?

সমধান:
ধরি,
বড় সংখ্যাটি ৩ক
ছোট সংখ্যাটি ২ক

আমরা জানি,
দুইটি সংখ্যার গুণফল = ল.সা.গু × গ.সা.গু
⇒ ৩ক × ২ক = ১০৮ × ১৮
⇒ ৬ক^২ = ১৯৪৪
⇒  ক^২ = ১৯৪৪/৬
⇒ ক^২ = ৩২৪
⇒ ক = ১৮

∴ ছোট সংখ্যাটি = ২ × ১৮ = ৩৬

প্রশ্ন: দুইটি সংখ্যার অনুপাত ৪ : ৫ এবং এদের গ.সা.গু. ৬ হলে সংখ্যা দুইটির ল.সা.গু কত?

​সমাধান: 
​ধরি,
​সংখ্যা দুইটি ৪ক এবং ৫ক

​∴ এদের গ.সা.গু. = ক
এবং ​ল.সা.গু = ২০ক

​প্রশ্নমতে,
​ক = ৬

​​∴ ল.সা.গু = ২০ক
​= ২০ × ৬ = ১২০

প্রশ্ন: একটি সৈন্যদলকে ৯, ১২ ও ১৫ সারিতে সাজানো যায়। আবার তাদেরকে বর্গাকারে সাজানো যায়। ঐ দলে কমপক্ষে কতজন সৈন্য ছিল?

সমাধান:
সৈন্যদলকে ৯, ১২ ও ১৫ সারিতে সাজানো যায়।  
ফলে সৈন্যদের সংখ্যা ৯, ১২ ও ১৫ দ্বারা বিভাজ্য।

এমন ক্ষুদ্রতম সংখ্যা হবে ৯, ১২ ও ১৫ এর ল.সা.গু।
৯ = ৩ × ৩  
১২ = ২ × ২ × ৩  
১৫ = ৩ × ৫  

∴ ৯, ১২ ও ১৫ এর ল.সা.গু 
= ২ × ২ × ৩ × ৩ × ৫  
= ১৮০ (যা বর্গাকার সংখ্যা নয়)

১৮০ = ২ × ২ × ৩ × ৩ × ৫  
এটিকে বর্গাকার সংখ্যা করতে হলে কমপক্ষে ৫ দ্বারা গুণ করতে হবে।

৯, ১২ ও ১৫ সারিতে এবং বর্গাকারে সাজানোর জন্য সৈন্যদের সংখ্যা হবে  
= (২ × ২ × ৩ × ৩ × ৫) × ৫ জন  
= ৯০০ জন

∴ সৈন্যের সংখ্যা = ৯০০ জন।

প্রশ্ন: দুইটি সংখ্যার ল.সা.গু ১৮০। সংখ্যাদ্বয়ের অনুপাত ৪ : ৯ হলে, সংখ্যাদ্বয়ের অন্তর কত?

সমাধান:
মনে করি, সংখ্যা দুইটি = ৪ক ও ৯ক
∴ সংখ্যা দুইটির ল.সা.গু = ৩৬ক

প্রশ্নমতে,
৩৬ক = ১৮০
⇒ ক = ১৮০/৩৬
⇒ ক = ৫

∴ প্রথম সংখ্যা = ৪ক = ৪ × ৫ = ২০
দ্বিতীয় সংখ্যা = ৯ক = ৯ × ৫ = ৪৫

∴ সংখ্যাদ্বয়ের অন্তর = ৪৫ − ২০ = ২৫

প্রশ্ন: ২/৯ এবং ৪/১৫ এর ল.সা.গু কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
ভগ্নাংশের ল.সা.গু = লবগুলোর ল.সা.গু/হরগুলোর গ.সা.গু

লব (২, ৪)-এর ল.সা.গু নির্ণয়:
২ = ২
৪ = ২^২
∴ ল.সা.গু = ৪

হর (৯, ১৫)-এর গ.সা.গু নির্ণয়:
৯ = ৩^২
১৫ = ৩ × ৫
∴ গ.সা.গু = ৩

∴ ২/৯ এবং ৪/১৫ এর ল.সা.গু = ৪/৩

প্রশ্ন: কোন বৃহত্তম সংখ্যা দ্বারা ৫২, ৭০ ও ৮৮ কে ভাগ করলে যথাক্রমে ৪, ৬ ও ৮ ভাগশেষ থাকবে?

সমাধান:
যেহেতু ৫২, ৭০ ও ৮৮ কে ভাগ করলে যথাক্রমে ৪, ৬ ও ৮ অবশিষ্ট থাকে তাই,
৫২ - ৪ = ৪৮
৭০ - ৬ = ৬৪
৮৮ - ৮ = ৮০

এখন, ৪৮, ৬৪ ও ৮০ এর গ.সা.গু নির্ণয় করতে হবে।
৪৮ = ২ × ২ × ২ × ২ × ৩ = ২^৪ × ৩
৬৪ = ২ × ২ × ২ × ২ × ২ × ২ = ২^৬
৮০ = ২ × ২ × ২ × ২ × ৫ = ২^৪ × ৫

∴ সংখ্যাগুলোর গ.সা.গু = ২^৪ = ১৬

∴ নির্ণেয় বৃহত্তম সংখ্যাটি হলো ১৬

প্রশ্ন: দুইটি সংখ্যার অনুপাত ৫ : ৬ এবং তাদের গ.সা.গু ৪ হলে সংখ্যা দুইটির ল.সা.গু কত? 

সমাধান: 
ধরি, 
সংখ্যা দুটি যথাক্রমে ৫ক ও ৬ক 
∴ ৫ক ও ৬ক এর গ.সা.গু = ক 

প্রশ্নমতে, 
গ.সা.গু = ক 
∴ ক = ৪ 

∴ সংখ্যা দুটি যথাক্রমে- 
৫ক = ৫ × ৪ = ২০
এবং
৬ক = ৬ × ৪ = ২৪ 

এখন, 
২০ ও ২৪ এর ল.সা.গু = ১২০

সুতরাং, সংখ্যা দুইটির ল.সা.গু = ১২০ ।

প্রশ্ন: সর্বনিম্ন কত সংখ্যক ছাত্রকে ৬, ১০, ১৫ এবং ২০ জনের দলে ভাগ করে এবং তাদেরকে বর্গাকৃতিতে সাজানো সম্ভব?

সমাধান:
৬, ১০, ১৫ এবং ২০ এর ল.সা.গু নির্ণয় করি:
৬ = ২ × ৩
১০ = ২ × ৫
১৫ = ৩ × ৫
২০ = ২ × ২ × ৫

∴ ৬, ১০, ১৫ এবং ২০ এর ল.সা.গু. = ২ × ২ × ৩ × ৫ = ৬০

- এখানে ২ এর সূচক জোড়, কিন্তু ৩ এবং ৫ এর সূচক বিজোড় (১)।
- বর্গাকৃতিতে সাজাতে হলে সংখ্যাটিকে পূর্ণবর্গ হতে হবে। পূর্ণবর্গ করতে হলে আরও একটি ৩ এবং একটি ৫ দিয়ে গুণ করতে হবে।

∴ ছাত্রসংখ্যা = ৬০ × ৩ × ৫
= ৬০ × ১৫
= ৯০০ জন

প্রশ্ন: কোন সংখ্যার সাথে ৫ যোগ করলে প্রাপ্ত সংখ্যা ১৫, ২০ ও ২৫ দ্বারা নিঃশেষে বিভাজ্য হবে?

সমাধান:
সংখ্যাটি হবে ১৫, ২০ ও ২৫ এর ল.সা.গু অপেক্ষা ৫ কম।
এখন, ১৫, ২০ এবং ২৫ এর ল.সা.গু = ৩০০

∴ সংখ্যাটি = ৩০০ - ৫ = ২৯৫

প্রশ্ন: দুটি সংখ্যার ল.সা.গু ৭৫ এবং গ.সা.গু ৫। একটি সংখ্যার দ্বিগুণ ৩০ হলে অপর সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
এখানে,
একটি সংখ্যার দ্বিগুণ = ৩০
বা, একটি সংখ্যা = ৩০ ÷ ২ = ১৫

ধরি, অপর সংখ্যাটি = ক

আমরা জানি,
দুটি সংখ্যার গুণফল = সংখ্যা দুটির ল.সা.গু × গ.সা.গু
⇒ ১৫ × ক = ৭৫ × ৫
বা, ১৫ক = ৩৭৫
বা, ক = ৩৭৫ ÷ ১৫
বা, ক = ২৫

সুতরাং, অপর সংখ্যাটি = ২৫

প্রশ্ন: দুইটি সংখ্যার অনুপাত ৫: ১২ এবং তাদের ল.সা.গু ৩০০ হলে বৃহত্তম সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
ধরি, সংখ্যা দুটি যথাক্রমে ৫ক ও ১২ক
∴ সংখ্যা দুটির ল.সা.গু = (৫ × ১২)ক = ৬০ক

প্রশ্নমতে,
৬০ক = ৩০০
⇒ ক = ৩০০/৬০
⇒ ক = ৫

∴ বৃহত্তম সংখ্যা = ১২ × ক = ১২ × ৫ = ৬০

প্রশ্ন: ২৩৪ এর সাথে কত যোগ করলে সংখ্যাটি ৮, ১২ এবং ১৮ দ্বারা নিঃশেষে বিভাজ্য হবে?

সমাধান:

সংখ্যাটি এমন হবে যাতে ২৩৪ এর সাথে যোগ করলে প্রাপ্ত সংখ্যা ৮, ১২ ও ১৮ দ্বারা বিভাজ্য হয়।
অর্থাৎ ৮, ১২ ও ১৮ এর ল.সা.গু বের করে ২৩৪ এর সাথে তার নিকটবর্তী গুণিতকের পার্থক্য নির্ণয় করতে হবে।

এখন, ৮, ১২ এবং ১৮ এর ল.সা.গু = ৭২

২৩৪ কে ৭২ দ্বারা ভাগ করলে,
৭২ × ৩ = ২১৬
অবশিষ্ট = ২৩৪ - ২১৬ = ১৮

যেহেতু ৭২ দ্বারা নিঃশেষে বিভাজ্য করতে হবে,
তাই যোগ করতে হবে = ৭২ - ১৮ = ৫৪

∴ নির্ণেয় সংখ্যা = ৫৪ ।

প্রশ্ন: দুটি সংখ্যার গ.সা.গু ৬ এবং ল.সা.গু ১৮০। একটি সংখ্যা ৩০ হলে, অপর সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
ধরি, অপর সংখ্যাটি হলো ক।

আমরা জানি, দুটি সংখ্যার গুণফল = সংখ্যা দুটির ল.সা.গু × গ.সা.গু।
⇒ ৩০ × ক = ১৮০ × ৬
⇒ ক = (১৮০ × ৬) / ৩০
⇒ ক = ৬ × ৬
⇒ ক = ৩৬

অতএব, অপর সংখ্যাটি হলো ৩৬

প্রশ্ন: কোনো সেনাবাহিনীতে যদি আরো ১১ জন সৈন্য নিয়োগ করা যেত তবে তাদেরকে ২০, ৩০, ৪০, ৫০ ও ৬০ সারিতে দাঁড় করানো যেত। ঐ সেনাবাহিনীতে কত জন সৈন্য ছিল? 

সমাধান: 
২০, ৩০, ৪০, ৫০ ও ৬০ সংখ্যাগুলোর ল.সা.গু = ৬০০
∴ নির্ণেয় সৈন্য সংখ্যা = (৬০০ - ১১) জন
= ৫৮৯ জন।

প্রশ্ন: চারটি ঘণ্টা একই সময়ে বাজতে শুরু করে। ঘণ্টা চারটি যথাক্রমে প্রতি ৮ সেকেন্ড, ১২ সেকেন্ড, ১৮ সেকেন্ড এবং ২৪ সেকেন্ডের ব্যবধানে বাজে। ঘণ্টা চারটি ৩ ঘণ্টার মধ্যে কতবার একসাথে বাজবে?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
ঘণ্টাগুলির সময়কাল যথাক্রমে ৮, ১২, ১৮ ও ২৪ সেকেন্ড।

৮ = ২ × ২ × ২
১২ = ২ × ২ × ৩
১৮ = ২ × ৩ × ৩
২৪ = ২ × ২ × ২ × ৩

∴ ল.সা.গু = ২ × ২ × ২ × ৩ × ৩ = ৭২ সেকেন্ড
অর্থাৎ, ঘণ্টাগুলো প্রতি ৭২ সেকেন্ড অন্তর একত্রে বাজে।

এখন,
৩ ঘণ্টা = ৩ × ৬০ × ৬০ = ১০৮০০ সেকেন্ড
∴ ৩ ঘণ্টায় ঘণ্টাগুলো একত্রে বাজবে = (১০৮০০ / ৭২) বার + ১ বার (শুরুতে বাজার জন্য)
= ১৫০ + ১
= ১৫১ বার

∴ ৩ ঘণ্টার মধ্যে ঘণ্টা চারটি একত্রে ১৫১ বার বাজবে।

প্রশ্ন: দুইটি সংখ্যার অনুপাত ৩: ৮ এবং তাদের ল.সা.গু. ১৬৮ হলে বৃহত্তম সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
ধরি, সংখ্যা দুটি যথাক্রমে ৩ক ও ৮ক

∴ সংখ্যা দুটির ল.সা.গু. = (৩ × ৮)ক = ২৪ক

প্রশ্নমতে,
২৪ক = ১৬৮
⇒ ক = ১৬৮/২৪
⇒ ক = ৭

∴ বৃহত্তম সংখ্যা = ৮ × ক = ৮ × ৭ = ৫৬

প্রশ্ন: দুইটি সংখ্যার ল.সা.গু ৪৮ এবং সংখ্যাদ্বয়ের অনুপাত ২ : ৩ হলে সংখ্যাদ্বয়ের সমষ্টি কত? 

সমাধান: 
মনে করি,
সংখ্যা দুইটি ২x ও ৩x
∴ সংখ্যা দুইটির ল.সা.গু = ৬x

প্রশ্নমতে, 
৬x = ৪৮
বা, x = ৪৮/৬
∴ x = ৮

∴ সংখ্যাদ্বয়ের সমষ্টি = ২x + ৩x
= ৫x
= ৫ × ৮
= ৪০ 

প্রশ্ন: কতজন ছাত্রকে ১১২ টি কলা ও ১৪০ টি আপেল সমান ভাবে ভাগ করে দেওয়া যাবে যাতে প্রত্যেকে সমান সংখ্যক কলা ও আপেল পায়?

সমাধান:
এখানে, ১১২ ও ১৪০ এর গ.সা.গু'ই হবে নির্ণেয় ছাত্রের সংখ্যা।
১১২ = ২ × ২ × ২ × ২ × ৭
১৪০ = ২ × ২ × ৫ × ৭

∴ ১১২ ও ১৪০ এর গ.সা.গু = ২ × ২ × ৭ = ২৮

∴ ২৮ জন ছাত্রকে ১১২ টি কলা ও ১৪০ টি আপেল সমানভাবে ভাগ করে দেয়া যাবে।

প্রশ্ন: ৩/৪, ৬/৮, ৯/১২ এর গ.সা.গু কত?

আমরা জানি,
ভগ্নাংশের গ.সা.গু =  লবগুলোর গ.সা.গু/হরের ল.সা.গু

এখানে, 
ভগ্নাংশের লব = ৩, ৬, ৯
ভগ্নাংশের হর = ৪, ৮, ১২

লব ৩, ৬, ৯ এর গসাগু = ৩
হর ৪, ৮, ১২ এর লসাগু = ২৪

∴ ভগ্নাংশের গ.সা.গু = ৩/২৪
= ১/৮

প্রশ্ন: একটি স্কুলে ছাত্রদের ড্রিল করার সময় ৮, ১২ ও ১৬ সারিতে সাজানো যায়, আবার বর্গাকারেও সাজানো যায়। এ স্কুলের ছাত্রসংখ্যা কমপক্ষে কত হবে?

সমাধান:
৮ = ২ × ২ × ২
১২ = ২ × ২ × ৩
১৬ = ২ × ২ × ২ × ২

∴ ৮, ১২ ও ১৬ এর ল.সা.গু = ২ × ২ × ২ × ২ × ৩

৪৮ সংখ্যাটি বর্গ নয়। বর্গ আকারে সাজাতে হলে সংখ্যাটিকে ৩ দ্বারা গুণ করতে হবে।

∴ ৪৮ × ৩ = ১৪৪

∴ এ স্কুলের ছাত্রসংখ্যা কমপক্ষে কত হবে ১৪৪

প্রশ্ন: পাঁচ অংকের কোন ক্ষুদ্রতম সংখ্যা 12, 15 এবং 18 দ্বারা বিভাজ্য হবে? 

সমাধান:
12, 15, 18 এর ল.সা.গু = 180
পাঁচ অংকের ক্ষুদ্রতম সংখ্যা = 10000

10000 কে 180 দিয়ে ভাগ করলে অবশিষ্ট থাকে 100 

নির্ণেয় ক্ষুদ্রতম সংখ্যা = 10000 + (180 - 100)
= 10000 + 80
= 10080

প্রশ্ন: তিনজন মেয়ে একটি বৃত্তাকার মাঠের চারিদিক বরাবর একটি নির্দিষ্ট স্থান থেকে দৌড়ানো শুরু করল এবং প্রত্যেকে একটি পাক যথাক্রমে 24 সেকেন্ড, 36 সেকেন্ড এবং 48 সেকেন্ড পূর্ণ করে। কত সময় পর তারা একই স্থানে মিলিত হবে?

সমাধান:

প্রথম মেয়ে এক পাক সম্পন্ন করে = 24 সেকেন্ডে
দ্বিতীয় মেয়ে এক পাক সম্পন্ন করে = 36 সেকেন্ডে
তৃতীয় মেয়ে এক পাক সম্পন্ন করে = 48 সেকেন্ডে

24, 36 এবং 48 এর ল.সা.গু (LCM) বের করতে হবে। 

প্রথমে মৌলিক উৎপাদকে বিশ্লেষণ:
24 = 2³ × 3
36 = 2² × 3²
48 = 2⁴ × 3

LCM (ল.সা.গু) = সর্বোচ্চ ঘাতসহ সকল মৌলিক উৎপাদকের গুণফল

LCM(ল.সা.গু) = 2⁴ × 3² = 16 × 9 = 144

অতএব, 144 সেকেন্ড বা 2 মিনিট 24 সেকেন্ড পর তারা একই স্থানে মিলিত হবে।

প্রশ্ন: দুইটি সংখ্যার অনুপাত ৩ : ৫ এবং তাদের গ.সা.গু ৪ হলে সংখ্যা দুইটির ল.সা.গু কত? 

সমাধান: 
ধরি, 
সংখ্যা দুটি যথাক্রমে ৩ক ও ৫ক 
∴ ৩ক ও ৫ক এর গ.সা.গু = ক 

প্রশ্নমতে, 
গ.সা.গু = ক 
∴ ক = ৪ 

∴ সংখ্যা দুটি যথাক্রমে- 
৩ক = ৩ × ৪ = ১২
এবং
৫ক = ৫ × ৪ = ২০ 

এখন, 
১২ ও ২০ এর ল.সা.গু = ৬০

সুতরাং, সংখ্যা দুইটির ল.সা.গু = ৬০

প্রশ্ন: দুটি সংখ্যার গ.সা.গু ১২ এবং ল.সা.গু ২৪০। একটি সংখ্যা ৪৮ হলে অপর সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
দুটি সংখ্যার গুণফল = ল.সা.গু × গ.সা.গু

ধরি,
অপর সংখ্যা = ক

প্রশ্নমতে,
ক × ৪৮ = ১২ × ২৪০
⇒ ক = (১২ × ২৪০)/৪৮
∴ ক = ৬০

∴ অপর সংখ্যাটি = ৬০

প্রশ্ন: চারটি ঘণ্টা যথাক্রমে ৬ মিনিট, ৯ মিনিট, ১২ মিনিট ও ১৫ মিনিট পরপর বাজে। যদি দুপুর ১২ : ৪০ টায় ঘণ্টাগুলো একবার একত্রে বাজে, তাহলে ঘণ্টাগুলো পুনরায় কখন একত্রে বাজবে?

সমাধান:
ঘণ্টাগুলো একবার একত্রে বাজার পর ৬, ৯, ১২, ১৫ এর ল.সা.গুর সমান সময়ের পর আবার একত্রে বাজবে।

সংখ্যা গুলোর মৌলিক উৎপাদক,
৬ = ২ × ৩
৯ = ৩ × ৩
১২ = ২ × ২ × ৩
১৫ = ৫ × ৩

∴ ৬, ৯, ১২, ১৫ এর ল.সা.গু = ২ × ২ × ৩ × ৩ × ৫ = ১৮০ মিনিট = ৩ ঘণ্টা

সুতরাং, ঘণ্টাগুলো একবার দুপুর ১২.৪০ টায় বাজার পর পুনরায় একত্রে বাজবে= ১২.৪০ টা + ৩ ঘণ্টা
= ৩ টা ৪০ মিনিটে

প্রশ্ন: 18 ফুট x 12 ফুট মাপের ফ্লোর সর্বোচ্চ বর্গাকৃতির (বর্গফুট) মাপের কতটি টাইলসে ঢাকা যাবে?

সমাধান: 
ফ্লোরের মাপ: 18 ফুট × 12 ফুট
আমরা চাই, সর্বোচ্চ বর্গাকার টাইলসের সংখ্যা, মানে আমরা বড় বর্গাকার টাইল ব্যবহার করতে চাই যাতে পুরো ফ্লোর ঠিকভাবে ঢেকে যায়।
এজন্য আমাদের 18 এবং 12 এর সর্বোচ্চ সাধারণ গুণক (HCF) বের করতে হবে।

18 এর গুণক: 1, 2, 3, 6, 9, 18
12 এর গুণক: 1, 2, 3, 4, 6, 12

সাধারণ গুণক: 1, 2, 3, 6

সর্বোচ্চ সাধারণ গুণক = 6 ফুট

এখন প্রতিটি টাইলসে 6 ফুট × 6 ফুট।

ফ্লোরে টাইলসের সংখ্যা:
দৈর্ঘ্যে: 18 ÷ 6 = 3
প্রস্থে: 12 ÷ 6 = 2

মোট টাইলস: 3 × 2 = 6
সঠিক উত্তর: ঘ) 6 টি

প্রশ্ন: x² - 9, x² + 6x + 9, এবং x³ - 27 রাশিগুলোর ল.সা.গু কত?

সমাধান:
১ম রাশি = x² - 9
= x² - 3²
= (x + 3)(x - 3)

২য় রাশি = x² + 6x + 9
= x² + 2 . x . 3 + 3² 
= (x + 3)²
= (x + 3)(x + 3)

৩য় রাশি = x³ - 27
= x³ - 3³
= (x - 3)(x² + 3x + 9)

∴ নির্ণেয় লসাগু = (x + 3)(x + 3)(x - 3)(x² + 3x + 9)
= (x + 3)²(x³ - 27)

প্রশ্ন: দুইটি সংখ্যার ল.সা.গু. ৩০ এবং গ.সা.গু. ৫। একটি সংখ্যা অপর সংখ্যার দুই-তৃতীয়াংশ হলে সংখ্যাদ্বয়ের অন্তর কত?

সমাধান:
ধরি,
বড় সংখ্যাটি = ক
∴ ছোট সংখ্যাটি = ২ক/৩ 

প্রশ্নমতে,
ক × (২ক/৩) =  ৩০ × ৫
⇒ ২ক^২ = ৩০ × ৫ × ৩
⇒ ক^২ = ৪৫০/২
⇒ ক^২ = ২২৫
⇒ ক = ১৫

∴ বড় সংখ্যাটি = ১৫ 
ছোট সংখ্যাটি = (২ × ১৫)/৩ = ৩০/৩ = ১০ 

∴ সংখ্যাদ্বয়ের অন্তর = ১৫ - ১০ = ৫

প্রশ্ন: দুইটি সংখ্যার গুণফল ২৫২০ এবং সংখ্যা দুইটির ল.সা.গু ১৬৮ হলে গ.সা.গু কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
দুইটি সংখ্যার গুণফল = সংখ্যাদ্বয়ের ল.সা.গু × গ.সা.গু
∴ গ.সা.গু = গুণফল/ল.সা.গু 
= ২৫২০/১৬৮
= ১৫

প্রশ্ন: কোন ক্ষুদ্রতম সংখ্যাকে ১৬, ২৪, ৩৬ এবং ৫৪ দ্বারা ভাগ করলে প্রত্যেকবার ভাগশেষ ১০ হবে?

সমাধান: প্রদত্ত সংখ্যাগুলো দ্বারা বিভাজ্য ক্ষুদ্রতম সংখ্যা হলো সংখ্যাগুলোর ল.সা.গু.।
সুতরাং ১৬, ২৪, ৩৬ ও ৫৪ এর ল.সা.গু. এর সাথে ভাগশেষ ১০ (দশ) যোগ করলে নির্ণেয় ক্ষুদ্রতম সংখ্যাটি পাওয়া যাবে।

সংখ্যাগুলোর মৌলিক উৎপাদক বিশ্লেষণ:
১৬ = ২^৪
২৪ = ২^৩ × ৩
৩৬ = ২^২ × ৩^২
৫৪ = ২ × ৩^৩

ল.সা.গু. = ২^৪ × ৩^৩
= ৪৩২

∴ নির্ণেয় ক্ষুদ্রতম সংখ্যা = ল.সা.গু. + ভাগশেষ
= ৪৩২ + ১০
= ৪৪২

প্রশ্ন: দুইটি সংখ্যার গ.সা.গু. 3 এবং ল.সা.গু. 11880। একটি সংখ্যা 120 হলে, অপর সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
আমরা জানি, 
দুইটি সংখ্যার গুণফল = ল.সা.গু × গ.সা.গু
বা, একটি সংখ্যা × অপর সংখ্যা = 11880 × 3
বা, 120 × অপর সংখ্যা = 35640
বা, অপর সংখ্যা = 35640 ÷ 120 = 297

∴ অপর সংখ্যা = 297

প্রশ্ন: ১২, ১৮ এবং ৩০ এর গ.সা.গু কত?

সমাধান:
১২ = ২ × ২ × ৩
১৮ = ২ × ৩ × ৩
৩০ = ২ × ৩ × ৫

তিনটি সংখ্যার মধ্যে ২ এবং ৩ সাধারণ গুণনীয়ক

∴ নির্ণেয় গ.সা.গু = ২ × ৩ = ৬

প্রশ্ন: দুইটি সংখ্যার ল.সা.গু. ৩৬ এবং গ.সা.গু. ০৬। একটি সংখ্যা ১২ হলে অপরটি কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
দুইটি সংখ্যার ল.সা.গু. = ৩৬
ও গ.সা.গু = ৬

আমরা জানি,
একটি সংখ্যা × অপর সংখ্যা = ল.সা.গু × গ.সা.গু
⇒ ১২ × অপর সংখ্যা = ৩৬ × ৬
⇒ অপর সংখ্যা = (৩৬ × ৬)/১২
∴ অপর সংখ্যা = ১৮

প্রশ্ন: তিনটি ঘণ্টা যথাক্রমে ২০ মিনিট, ৩০ মিনিট ও ৪০ মিনিট অন্তর বাজে। দুপুর ১২:০০ টায় তিনটি ঘণ্টা একবার একত্রে বাজলে আবার কখন তারা একত্রে বাজবে?

সমাধান:
২০, ৩০ ও ৪০ এর ল.সা.গু হলো ঘণ্টাগুলোর পরবর্তী একত্রে বাজার সময়।
২০ = ২ × ২ × ৫
৩০ = ২ × ৩ × ৫
৪০ = ২ × ২ × ২ × ৫

∴ ২০, ৩০ ও ৪০ এর ল.সা.গু = ২ × ২ × ২ × ৩ × ৫
= ১২০

অর্থাৎ, ঘণ্টাগুলো ১২০ মিনিট পর আবার একত্রে বাজবে।
এখন, ১২০ মিনিট = ২ ঘণ্টা [ ১ ঘণ্টা = ৬০ মিনিট]

∴ ঘণ্টাগুলো পুনরায় একত্রে বাজবে = (১২ : ০০ + ২ ঘণ্টা)
= ০২ : ০০ টায়।

প্রশ্ন: কোন লঘিষ্ঠ সংখ্যাকে ৯, ১৩ ও ১৭ দ্বারা ভাগ করলে যথাক্রমে ৫, ৯ ও ১৩ অবশিষ্ট থাকবে?

সমাধান:
এখানে,
৯ - ৫ = ৪
১৩ - ৯ = ৪
১৭ - ১৩ = ৪

∴ নির্ণেয় সংখ্যাটি হবে ৯, ১৩ ও ১৭ এর ল.সা.গু অপেক্ষা ৪ কম।

৯ = ৩ × ৩
১৩ = ১ × ১৩
১৭ = ১ × ১৭

এখন, ৯, ১৩ ও ১৭ এর ল.সা.গু = ৩ × ৩ × ১৩ × ১৭ = ১৯৮৯

∴ নির্ণেয় সংখ্যাটি হবে = ১৯৮৯ - ৪ = ১৯৮৫

প্রশ্ন: কোন ক্ষুদ্রতম সংখ্যাকে ২৫ ও ৩৫ দ্বারা ভাগ করলে যথাক্রমে ৫ ও ১৫ অবশিষ্ট থাকবে?

সমাধান: 
২৫ - ৫ = ২০
৩৫ - ১৫ = ২০

২৫ = ৫ × ৫
৩৫ = ৫ × ৭ 
∴ ২৫ ও ৩৫ এর লসাগু = ৫ × ৫ × ৭ = ১৭৫

∴ নির্ণেয় ক্ষুদ্রতম সংখ্যা = ১৭৫ - ২০ = ১৫৫

প্রশ্ন: চার অংকের ক্ষুদ্রতম সংখ্যার সাথে কোন ক্ষুদ্রতম সংখ্যা যোগ করলে যোগফল ৮, ১০, ১৫ ও ২০ দ্বারা নিঃশেষে বিভাজ্য হবে?

সমাধান:
চার অংকের ক্ষুদ্রতম সংখ্যা = ১০০০
৮ = ২ × ২ × ২ = ২^৩
১০ = ২ × ৫
১৫ = ৩ × ৫
২০ = ২ × ২ × ৫ = ২^২ × ৫

∴ ৮, ১০, ১৫ ও ২০ এর ল.সা.গু = ২^৩ × ৩ × ৫
= ৮ × ৩ × ৫ = ১২০

এখন ১০০০ কে ১২০ দিয়ে ভাগ করি,
১০০০ ÷ ১২০ = ৮ ভাগফল
১২০ × ৮ = ৯৬০
∴ ভাগশেষ = ১০০০ - ৯৬০ = ৪০

∴ নির্ণেয় ক্ষুদ্রতম সংখ্যা = ১২০ - ৪০ = ৮০

অর্থাৎ, ১০০০ এর সাথে ৮০ যোগ করলে প্রাপ্ত সংখ্যা (১০৮০) ১২০ দ্বারা নিঃশেষে বিভাজ্য হবে।

প্রশ্ন: ২/৫, ৩/৪, ৫/৭ ভগ্নাংশগুলোর ল.সা.গু কত?

সমাধান: 
আমরা জানি, 
ভগ্নাংশগুলোর ল.সা.গু = লবগুলোর ল.সা.গু/হরগুলোর গ.সা.গু
এখানে,
২, ৩, ৫ লবগুলোর ল.সা.গু = ৩০
এবং
৫, ৪, ৭ হরগুলোর গ.সা.গু = ১ 

∴ ২/৫, ৩/৪, ৫/৭ ভগ্নাংশগুলোর ল.সা.গু = ৩০/১ 
= ৩০ ।

প্রশ্ন: পাঁচটি ঘণ্টা একত্রে বেজে যথাক্রমে ৩, ৫, ৭, ৮ ও ১০ সেকেন্ড অন্তর অন্তর বাজতে লাগল। কতক্ষণ পরে ঘণ্টাগুলো পুনরায় একত্রে বাজবে?

সমাধান:
৩, ৫, ৭, ৮ ও ১০ এর ল.সা.গু = ৮৪০
এখন,
৮৪০/৬০ = ১৪ মিনিট

∴ ১৪ মিনিট পরে ঘণ্টাগুলো পুনরায় একত্রে বাজবে।

প্রশ্ন: দুটি সংখ্যার ল.সা.গু ১৪৪ এবং গ.সা.গু ১২। একটি সংখ্যা অপর সংখ্যার ৪/৩ অংশ হলে, সংখ্যা দুইটি কত?

সমাধান:
ধরি,
ছোট সংখ্যাটি = ক
বড় সংখ্যাটি = ৪ক/৩

আমরা জানি,
দুইটি সংখ্যার গুণফল = সংখ্যা দুইটির ল.সা.গু × সংখ্যা দুইটির গ.সা.গু
⇒ ক × (৪ক/৩) = ১৪৪ × ১২
⇒ (৪/৩)ক^২ = ১৭২৮
⇒ ক^২ = ১৭২৮ × ৩/৪
⇒ ক^২ = ১২৯৬
⇒ ক = √১২৯৬
∴ ক = ৩৬

∴ ছোট সংখ্যাটি = ৩৬
∴ বড় সংখ্যাটি = (৩৬ × ৪)/৩ = ৪৮

সুতরাং সংখ্যা দুটি = ৩৬ এবং ৪৮

প্রশ্ন: একটি স্কুলের ছাত্রদেরকে ৬, ৮, ১২, ও ১৫ জন করে সারিতে দাঁড় করালে প্রতিবারই ১০ জন ছাত্র অবশিষ্ট থাকে। স্কুলের মোট ছাত্রসংখ্যা কত?

সমাধান:
৬ = ২ × ৩
৮ = ২ × ২ × ২
১২ = ২ × ২ × ৩
১৫ = ৩ × ৫

৬, ৮, ১২, ও ১৫ এর লসাগু = ২ × ২ × ২ × ৩ × ৫ = ১২০

∴ ছাত্রসংখ্যা = ১২০ + ১০ = ১৩০

প্রশ্ন: চার অংকের ক্ষুদ্রতম সংখ্যার সাথে কোন ক্ষুদ্রতম সংখ্যা যোগ করলে যোগফল ৯, ১২, ১৫ ও ২৪ দ্বারা নিঃশেষে বিভাজ্য হবে?

সমাধান:
চার অংকের ক্ষুদ্রতম সংখ্যা = ১০০০।

৯ = ৩^২
১২ = ২^২ × ৩
১৫ = ৩ × ৫
২৪ = ২^৩ × ৩

∴ ল.সা.গু = ২^৩ × ৩^২ × ৫
= ৮ × ৯ × ৫ = ৩৬০

এখন ১০০০ কে ৩৬০ দিয়ে ভাগ করি,
১০০০ ÷ ৩৬০ = ২ ভাগফল,
৩৬০ × ২ = ৭২০
∴ ভাগশেষ = ১০০০ - ৭২০ = ২৮০

∴ নির্ণেয় ক্ষুদ্রতম সংখ্যা = ৩৬০ - ২৮০ = ৮০

অর্থাৎ, ১০০০ এর সাথে ৮০ যোগ করলে ফলাফল হবে ৩৬০ এর গুণিতক, যা ৯, ১২, ১৫ ও ২৪ দ্বারা নিঃশেষে বিভাজ্য।