বাস্তব সংখ্যা, গড়, ভগ্নাংশ, ল.সা.গু ও গ.সা.গু

সমাধান:
ধরি,
সম্পূর্ণ বাঁশটির দৈর্ঘ্য = ক মিটার

প্রশ্নমতে,
ক - (ক/৪) - (৩ক/৫) = ৬
⇒(২০ক - ৫ক - ১২ক)/২০ = ৬
⇒ ৩ক/২০ = ৬
⇒ ৩ক = ১২০
∴ ক = ৪০

সুতরাং সম্পূর্ণ বাঁশের দৈর্ঘ্য = ৪০ মিটার

প্রশ্ন:

সমাধান: 

= (৫২ + ৩)/৪
= ৫৫/৪

তাহলে, 
(৫৫/৪)%
= (৫৫/৪) × (১/১০০)
= ৫৫/৪০০
= ১১/৮০

∴ এর সমান ১১/৮০

প্রশ্ন:

সমাধান:

আমরা জানি, দুইটি সংখ্যার গুণফল = সংখ্যাদ্বয়ের ল.সা.গু × গ.সা.গু
বা, ৩৩৬০ = ল.সা.গু × ৩২
বা, ল.সা.গু = ৩৩৬০ ÷ ৩২
বা, ল.সা.গু = ১০৫

প্রশ্ন: কোন ভগ্নাংশটি ২/৩ থেকে বড়?

সমাধান:
২/৩ ​= ০.৬৬৬৬…

প্রতিটি ভগ্নাংশ দশমিক আকারে রূপান্তর:
৩৩/৫৫ = ০.৬ <০.৬৬৬৬
৩/৫  = ০.৬ <০.৬৬৬৬
৮/১১ ≈ ০.৭২৭২৭২ >০.৬৬৬৬
১৩/২৭ ≈ ০.৪৮১৫ <০.৬৬৬৬

∴ ৮/১১ ভগ্নংশটি ২/৩ থেকে। 

প্রশ্ন: ২০ থেকে ৮০ পর্যন্ত যে সকল মৌলিক সংখ্যার একক স্থানীয় অংক ৭ তাদের সমষ্টি কত?

সমাধান:
২০ থেকে ৮০ পর্যন্ত যে সকল মৌলিক সংখ্যার একক স্থানীয় অংক ৭, সেগুলো হলো:
৩৭, ৪৭, এবং ৬৭।

সুতরাং, নির্ণেয় সমষ্টি = ৩৭ + ৪৭ + ৬৭ = ১৫১

প্রশ্ন: ০, ৩, ৫, ৭ দ্বারা গঠিত চার অঙ্কের বৃহত্তম এবং ক্ষুদ্রতম সংখ্যার মধ্যে পার্থক্য কত?

সমাধান:
বৃহত্তম সংখ্যা = ৭৫৩০ (বড় থেকে ছোট ক্রমে অঙ্কগুলো সাজানো)
ক্ষুদ্রতম সংখ্যা = ৩০৫৭ (ছোট থেকে বড় ক্রমে অঙ্কগুলো সাজানো; প্রথম অঙ্ক ০ হতে পারে না)

∴ পার্থক্য = ৭৫৩০ - ৩০৫৭ = ৪৪৭৩

প্রশ্ন: কোন বৃহত্তম সংখ্যা দ্বারা ৬৩, ১০৮ ও ১৩৫-কে ভাগ করলে কোনো ভাগশেষ থাকবে না?

সমাধান: 
৬৩, ১০৮ ও ১৩৫-এর গ.সা.গু.ই হবে নির্ণেয় বৃহত্তম সংখ্যা।

এখন, মৌলিক উৎপাদকে বিশ্লেষণ করে পাই,
৬৩ = ৩ × ৩ × ৭  
১০৮ = ২ × ২ × ৩ × ৩ × ৩  
১৩৫ = ৩ × ৩ × ৩ × ৫  

৬৩, ১০৮ ও ১৩৫-এর গ.সা.গু. = ৩ × ৩ = ৯ 

প্রশ্ন: চার বিষয়ের কোনো একটি পরীক্ষায় একজন পরীক্ষার্থীর বাংলা, ইংরেজি ও গণিতে প্রাপ্ত নম্বর যথাক্রমে ৭৮, ৮১ ও ৯৪। বিজ্ঞানে কত নম্বর পেলে তার গড় নম্বর ৮২ হবে?

সমাধান:
ধরি,
বিজ্ঞানে প্রাপ্ত নম্বর = ক

প্রশ্নমতে,
(৭৮ + ৮১ + ৯৪ + ক)/৪ = ৮২
বা, (২৫৩+ ক)/৪ = ৮২
বা, ২৫৩ + ক = ৮২ × ৪
বা, ২৫৩ + ক = ৩২৮
বা, ক = ৩২৮ - ২৫৩
বা, ক = ৭৫

∴ বিজ্ঞানে প্রাপ্ত নম্বর = ৭৫ 

প্রশ্ন: প্রথম ২৫ টি জোড় সংখ্যার যোগফল কত?

সমাধান:
প্রথম ২৫ টি জোড় সংখ্যা:
২, ৪, ৬, ৮, ১০, ১২, ১৪........

আমরা জানি,
প্রথম n টি জোড় সংখ্যার যোগফল = n(n + ১)

এখানে, n = ২৫
∴ যোগফল = ২৫(২৫ + ১)
= ২৫ × ২৬
= ৬৫০

∴ প্রথম ২৫টি জোড় সংখ্যার যোগফল = ৬৫০

১২, ১৮, ২৪ এর ল.সা.গু. = ৭২
সুতরাং, নির্ণেয় লঘিষ্ট সংখ্যা = ৭২ - ২ = ৭০

প্রশ্ন: নিচের কোন পূর্ণ সংখ্যাকে ৭, ৯ এবং ১১ দ্বারা ভাগ করলে যথাক্রমে ৩, ৫ এবং ৭ অবশিষ্ট থাকবে?

সমাধান:
এখানে,
৭ - ৩ = ৪
৯ - ৫ = ৪
১১ - ৭ = ৪
∴ নির্ণেয় সংখ্যাটি হবে ৭, ৯ ও ১১ এর ল.সা.গু অপেক্ষা ৪ কম।

৭, ৯, ১১ এর ল.সা.গু নির্ণয় করি:
৭ = ৭
৯ = ৩ × ৩
১১ = ১১

∴ ল.সা.গু = ৩ × ৩ × ৭ × ১১
= ৯ × ৭ × ১১
= ৬৯৩

∴ নির্ণেয় সংখ্যা = ৬৯৩ - ৪ = ৬৮৯

প্রশ্ন: ১৪৩ মিটার, ৭৮ মিটার এবং ১১৭ মিটার দীর্ঘ তিনটি কাঠের টুকরোকে একই দৈর্ঘ্যের তক্তায় বিভক্ত করতে হবে। প্রতিটি তক্তার সর্বাধিক সম্ভাব্য দৈর্ঘ্য কত হবে?

সমাধান:
প্রত্যেক সংখ্যার মৌলিক উৎপাদক বিশ্লেষণ করে পাই, 
১৪৩ = ১১ × ১৩
৭৮  = ২ × ৩ × ১৩
১১৭ = ৩ × ৩ × ১৩

∴ ১৪৩, ৭৮ এবং ১১৭ সাধারণ উৎপাদক = ১৩ 

অতএব, প্রতিটি তক্তার সর্বাধিক সম্ভাব্য দৈর্ঘ্য হবে ১৩ মিটার।

প্রশ্ন: কোন সংখ্যার চারগুণের সঙ্গে ৬ যোগ করলে যোগফল সংখ্যাটির চেয়ে ১৮ বেশি হবে?

সমাধান: 
ধরি,
সংখ্যাটি = ক

প্রশ্নমতে, 
বা, ৪ক + ৬ = ক + ১৮
বা, ৪ক - ক = ১৮ - ৬
বা, ৩ক = ১২
বা, ক = ১২/৩
∴  ক = ৪

∴ সংখ্যাটি = ৪ ।

৬ জন পুরুষ, ৮ জন স্ত্রী লোক এবং ১ জন বালকের বয়সের সমষ্টি = ১৫ × ৩৫ = ৫২৫ বছর
∴ বালকের বয়স = ৫২৫ - (৬ × ৪০ + ৮ × ৩৪)
= ৫২৫ - (২৪০ + ২৭২)
= ৫২৫ - ৫১২
= ১৩ বছর।

Let the ten's digit be x and the unit's digit be y
Then, number = 10x + y
∴ 10x+y = 7(x+y) ⇔ 3x = 6y ⇔ x = 2y
Number formed by reversing the digits = 10y + x
∴ (10x+y)−(10y+x) = 18 ⇔ 9x−9y = 18 ⇔ x−y = 2 ⇔ 2y−y = 2 ⇔ y = 2
So, x = 2y = 4.

যদি P³ বিজোড় হয়,
তাহলে P এবং P² বিজোড় হবে।
ধরি,
P = 3,
∴ P² = 3² = 9
এবং, P³ = 3³ = 27

প্রশ্ন: ১৩টি সংখ্যার যোগফল ৬৯৫। প্রথম ৭টির গড় ৫২ এবং শেষ ৭টির গড় ৫৮ হলে সপ্তম সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
প্রথম ৭টি সংখ্যার গড় = ৫২
∴ প্রথম ৭টি সংখ্যার যোগফল = (৫২ × ৭) = ৩৬৪

শেষ ৭টি সংখ্যার গড় = ৫৮
∴ শেষ ৭টি সংখ্যার যোগফল = (৫৮ × ৭) = ৪০৬

∴ প্রথম ৭ ও শেষ ৭ সংখ্যার যোগফলের সমষ্টি = (৩৬৪ + ৪০৬)
= ৭৭০

∴ ৭ম সংখ্যাটি = (৭৭০ - ৬৯৫)
= ৭৫

প্রশ্ন ১৪৪০০- এর বর্গমূল কত?

সমাধান
√১৪৪০০ 
= √(১২ × ১২ × ১০০)
= √( ১২^২ × ১০^২)
= ১২ × ১০
= ১২০

প্রশ্ন: নিচের কোনটি মূলদ সংখ্যা?

সমাধান: 
মূলদ সংখ্যা: যেসব সংখ্যাকে p/q আকারে প্রকাশ করা যায় যেখানে p, q স্বাভাবিক সংখ্যা এবং q ≠ 0 তাদেরকে মূলদ সংখ্যা বলে।
- শূণ্য, সব স্বাভাবিক সংখ্যা ও ভগ্নাংশ মূলদ সংখ্যা।
- সব পূর্ণসংখ্যা মূলদ সংখ্যা।
- সব পূর্ণবর্গ সংখ্যার বর্গমূল মূলদ সংখ্যা। যেমন: √4, √36.
- সব পূর্ণ ঘন সংখ্যার ঘনমূল মূলদ সংখ্যা।
- দশমিকের পরের অঙ্কগুলো যদি সসীম আকারে থাকে তাহলে সংখ্যাটি মূলদ সংখ্যা। যেমন: 5.66, 7.75.

এখন, 
√৭২৯
= √(২৭ × ২৭) 
= √(২৭)^২ 
= ২৭
 যা মূলদ সংখ্যা।

অন্য অপশন গুলো অমূলদ সংখ্যা। 

1/2 + 3/4 - 5/16 এর 4/25
= 1/2 + 3/4 - 1/20
= (10 + 15 - 1)/20
= 24/20
= 6/5

১) ১.৯৮ = ১.৯৮
২) ৩ এর ৬০% = ৩ X ০.৬ = ১.৮
৩) √৩ = ১.৭৩
সুতরাং মানের উর্ধবক্রমানুসারে সাজালে পাই, √৩, ৩ এর ৬০%, ১.৯৮।

(x - 1)(x² + x + 1) = x³ - 1 
∴ বিয়োগফল = x³ - 1 - x³
= -1

মনে করি,সংখ্যাটি = x 
প্রশ্নমতে, x-৫০১=৫৮১-x বা,২x=১০৮২
সুতরাং, x=৫৪১

2, 3 এবং 4 দ্বারা তিন অংকের কতটি বিজোড় সংখ্যার শেষ অংকটি হবে 3
তাহলে প্রথম দুইটি অংক হয় 2, 4 অথবা 4, 2 দিয়ে পূরণ করতে হবে
অর্থাৎ, 2, 3 এবং 4 দিয়ে তিন অংকের দুইটি বিজোড় সংখ্যা তৈরী করা যাবে

প্রশ্ন: প্রদত্ত 

সমাধান:

এখানে,
২৭ - ৩ = ২৪
৪০ - ৪ = ৩৬
৬৫ - ৫ = ৬০
সুতরাং ২৪, ৩৬, ৬০ এর গ.সা.গু = ১২
∴ বৃহত্তম সংখ্যাটি = ১২

এখানে সংখ্যাগুলো এভাবে নির্ণয় করা হয়েছে
২+৩ = ৫
৩+৫ = ৮
৫+৮ = ১৩
অর্থাৎ, প্রতিটি সংখ্যা তার আগের সংখ্যাদ্বয়ের যোগফল।
সেহেতু উক্ত ধারার পরবর্তী সংখ্যাটি হবে ১৩ + ২১ = ৩৪

প্রশ্ন:

সমাধান:

আমরা জানি, যে সব সংখ্যার বর্গমূল করা যায়, তার ভাজক সংখ্যা বিজোড় হয়।
এখানে, √১০২৪ = ৩২
সুতরাং, ১০২৪ এর ভাজক সংখ্যা বিজোড়।

ধরি x ও y প্রত্যেকের মান ১ ; ৩×১+৩×১=৬

88 = 2 × 2 × 2 × 11
Divisors= 2, 4, 8, 11, 22, 44, 88
91 = 7 × 13
Divisors = 7, 13, 91
95 = 5 × 19
Divisors = 5, 19, 95
99 = 3 × 3 × 11
Divisors = 3, 9, 11, 33, 99

প্রশ্ন: একটি ৪০ ফুট লম্বা বাঁশ এমনভাবে কেটে দু'ভাগ করা হল যেন ছোট অংশ বড় অংশের দুই-তৃতীয়াংশ হয়, ছোট অংশের দৈর্ঘ্য কত? 

সমাধান: 
মনে করি, 
বড় অংশ = ক ফুট
∴ ছোট অংশ = (ক এর ২/৩)
= ২ক/৩ ফুট 

প্রশ্নমতে, 
ক + (২ক/৩) = ৪০
বা, (৩ক + ২ক)/৩ = ৪০
বা, ৫ক = ১২০
বা, ক = ১২০/৫
∴ ক = ২৪

∴ ছোট অংশের দৈর্ঘ্য = (২ × ২৪)/৩
= ১৬ ফুট ।

প্রশ্ন: m ও n দুটি বিজোড় সংখ্যা হলে, নিচের কোন সংখ্যাটি অবশ্যই বিজোড় হবে?

সমাধান:
ধরা যাক, m = 1 এবং n = 3 (যেকোনো দুটি বিজোড় সংখ্যা)

এখন,
ক) m + n = 1 + 3 = 4 (জোড়)
খ) m² + n² = 1² + 3² = 1 + 9 = 10 (জোড়)
গ) (m + n)² = (1 + 3)² = 4² = 16 (জোড়)
ঘ) mn + 2 = (1 × 3) + 2 = 3 + 2 = 5 (বিজোড়)

∴ সঠিক উত্তর হলো ঘ) mn + 2

প্রশ্ন: ৪৫, ৬০ ও ৭৫ এর গ.সা.গু কত?

সমাধান:
৪৫ = ৩ × ৩ × ৫
৬০ = ২ × ২ × ৩ × ৫
৭৫ =  ৩ × ৫

∴ নির্ণেয় গ.সা.গু = ৩ × ৫ = ১৫