বাস্তব সংখ্যা, গড়, ভগ্নাংশ, ল.সা.গু ও গ.সা.গু

2, 7, 21, 11 এর ল.সা.গু. = 462
462 ÷ 2 = 231 ∴ 1/2 = 231 / 2×231 = 231/462
462 ÷ 7 = 66 ∴ 2/7 = 2 × 66 / 7×66 = 132/462
462 ÷ 21 = 22 ∴ 5/21 = 5×22 / 21×22 = 110/462
462 ÷ 11 = 42 ∴ 3/11 = 3×42 / 11×42 = 126/462

০.৪৭˙
= (৪৭-৪)/৯০
=৪৩/৯০

প্রশ্ন: দুইটি ভগ্নাংশের গুণফল ২/৯। একটি ভগ্নাংশ ৪/৩ হলে অপর ভগ্নাংশটি কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
দুইটি ভগ্নাংশের গুণফল = ২/৯
একটি ভগ্নাংশ = ৪/৩

∴ অপর ভগ্নাংশ = (২/৯) ÷ (৪/৩)
= (২/৯) × (৩/৪)
= ৬/৩৬
= ১/৬

ধরি,
পিতা, পূত্র এবং মাতার বয়স যথাক্রমে ক, খ এবং গ বছর।
তাহলে প্রথম শর্তানুযায়ী,
ক + খ = ৬০
ক = ৬০ - খ
দ্বিতীয় শর্তানুযায়ী,
গ = খ + ২০
সুতরাং, ক ও গ, তথা পিতা ও মাতার বয়সের গড়,
= (৬০ - খ + খ + ২০)/২
= ৮০/২
= ৪০

Back Solving Method/Option Test:
18+9 = 27 ≠ 30
10+3 = 13 ≠ 30
63+3= 66 ≠ 30
অপশন গুলোর কোনটিই প্রশ্নের দ্বিতীয় শর্ত মানছে না। তাই সঠিক উত্তর কোনটিই নয়।

প্রশ্ন: একটি ভগ্নাংশের হর ও লবের অনুপাত ৭ : ৪। হর থেকে ১০ বাদ দিলে যে ভগ্নাংশটি পাওয়া যায় সেটি মূল ভগ্নাংশের ৭/৫ গুণ। ভগ্নাংশটির লব কত?

সমাধান:
ধরি,
ভগ্নাংশের হর = ৭ক
ভগ্নাংশের লব = ৪ক
∴ ভগ্নাংশটি = ৪ক/৭ক

প্রশ্নমতে,
৪ক/(৭ক - ১০) = (৪ক/৭ক) × (৭/৫)
⇒ ৪ক/(৭ক - ১০) = ৪/৫
⇒ ৪(৭ক - ১০) = ২০ক
⇒ ২৮ক - ৪০ = ২০ক
⇒ ২৮ক - ২০ক = ৪০
⇒ ৮ক = ৪০
⇒ ক = ৪০/৮
⇒ ক = ৫

∴ ভগ্নাংশটির লব = ৪ × ৫ = ২০

প্রশ্ন: তিনটি ক্রমিক পূর্ণসংখ্যার গুণফল ৬০ হলে সংখ্যা তিনটির যোগফল কত?

সমাধান: 
এখানে, ৬০ = ২ × ২ × ৩ × ৫ = ৩ × ৪ × ৫
∴ সংখ্যা তিনটি যোগফল = ৩ + ৪ + ৫ = ১২ 

৭ জনের মোট ওজন = ৬৫ × ৭
= ৪৫৫ কেজি
৫০ কেজির একজন চলে গেলে ৬ জনের মোট ওজন (৪৫৫ - ৫০) কেজি = ৪০৫ কেজি
আবার,
৮৫ কেজির একজন দলে যোগ দিলে ৭ জনের মোট ওজন = ৪০৫ + ৮৫ = ৪৯০ কেজি
∴ ৭ জনের গড় ওজন = ৪৯০/৭
= ৭০ কেজি

হাসান ১ ঘন্টায় যায় ৩ মাইল। এবং আগে রওনা দেওয়ায় বাকি থাকে = (৪৫ - ৩) = ৪২ মাইল
উভয়ে একত্রে ১ ঘন্টায় অতিক্রম করে (৩ + ৪) = ৭ মাইল
উভয়ে একত্রে ৪২ মাইল অতিক্রম করে ৪২/৭ = ৬ ঘন্টায়
∴ ৬ ঘন্টায় শাহীনের অতিক্রান্ত দূরত্ব = ৬ × ৪ = ২৪ মাইল 
অর্থাৎ, শাহীন ২৪ মাইল হাটার পরে হাসানের সাথে দেখা হবে। 

প্রশ্ন: দুটি সংখ্যার ল.সা.গু ৪৮ এবং গ.সা.গু ৪। একটি সংখ্যা ১৬ হলে, অপর সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
দুটি সংখ্যার ল.সা.গু ৪৮ এবং গ.সা.গু ৪

∴ অপর সংখ্যা = (গ.সা.গু × ল.সা.গু)/একটি সংখ্যা 
= (৪৮ × ৪)/১৬
= ৪ × ৩
= ১২ 

প্রশ্ন: পরপর চারটি মৌলিক সংখ্যার গড় ২৫.৫ হয়, তবে সংখ্যা চারটি কত?
​
​সমাধান:
​মৌলিক সংখ্যা চারটি সমষ্টি = ২৫.৫ × ৪ = ১০২
​
​এখন,
ক) ১৭ + ১৯ + ২৩ + ২৯​ = ৮৮
​খ) ২৯ + ৩১ + ৩৭ +  ৪১ = ১৩৮
​গ) ১৯ + ২৩ + ২৯ + ৩১ = ১০২
​ঘ) ২৩ + ২৯ + ৩১ + ৩৭ = ১২০
​
​∴ সঠিক উত্তর: গ) ১৯, ২৩, ২৯, ৩১

প্রশ্ন: শূন্য অপেক্ষা বড় যে কোনো পূর্ণ সংখ্যাকে বলা হয়?

সমাধান:
শূন্য অপেক্ষা বড় পূর্ণ সংখ্যাগুলো (যেমন: ১, ২, ৩, ...) কে স্বাভাবিক সংখ্যা (Natural Number) বলা হয়।

অন্য দিকে,
অমূলদ সংখ্যা: এগুলো হলো এমন সংখ্যা যেগুলোকে p/q​ আকারে প্রকাশ করা যায় না (যেমন: √2, π)।
মূলদ সংখ্যা: এগুলোকে p/q​ আকারে লেখা যায় (যেমন: 3 = 3/1​)।
বাস্তব সংখ্যা: সমস্ত স্বাভাবিক, পূর্ণ, মূলদ ও অমূলদ সংখ্যা বাস্তব সংখ্যার অন্তর্ভুক্ত।

প্রশ্ন: ১৫৬৮ সংখ্যাটিকে কত দ্বারা গুণ করলে সংখ্যাটি পূর্ণবর্গ হবে?

সমাধান:
১৫৬৮ = ২ × ২ × ২ × ২ × ২ × ৭ × ৭
= ২^৫ × ৭^২

পূর্ণবর্গ হওয়ার জন্য প্রত্যেক মৌলিক গুণনীয়কের ঘাত জোড় সংখ্যা হতে হবে। এখানে ২ এর ঘাত ৫ (বিজোড়)।

তাই ২ দ্বারা গুণ করতে হবে।
অর্থাৎ, ১৫৬৮ × ২ = ৩১৩৬ পূর্ণবর্গ হবে।

∴ সংখ্যাটিকে  ২ দ্বারা গুণ করতে হবে। 

০.৩
১/৩ = ০.৩৩৩৩
√(০.৩) = ০.৫৪৭
২/৫ = ০.৪০

প্রশ্ন: ছয়জন পুরুষ, আটজন নারী এবং একটি বালকের গড় বয়স ৩৬ বছর। পুরুষদের গড় বয়স ৪১ এবং নারীদের ৩৫। বালকের বয়স কত?

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
৬জন পুরুষ, ৮ জন স্ত্রীলোক এবং ১ জন বালকের বয়সের গড় ৩৬ বছর।
∴ ৬জন পুরুষ, ৮ জন স্ত্রীলোক এবং ১জন বালকের বয়সের সমষ্টি = ৩৬ × ১৫ = ৫৪০ বছর

আবার, 
পুরুষদের বয়সের গড় ৪১ বছর
∴ পুরুষদের বয়সের সমষ্টি = ৪১ × ৬ = ২৪৬ বছর

এবং, 
স্ত্রীলোকদের বয়সের গড় ৩৫ বছর
∴ স্ত্রীলোকদের বয়সের সমষ্টি = ৩৫ × ৮ = ২৮০ বছর

∴ বালকের বয়স = ৫৪০ - (২৪৬ + ২৮০) = ১৪ বছর

প্রশ্ন: ৪/৯ এবং ৮/১৫ এর ল.সা.গু কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
ভগ্নাংশের ল.সা.গু = লবগুলোর ল.সা.গু/হরগুলোর গ.সা.গু

লব (৪, ৮)-এর ল.সা.গু নির্ণয়:
৪ = ২ × ২ = ২^২
৮ = ২ × ২ × ২ = ২^৩
∴ ল.সা.গু = = ২^৩ = ৮

হর (৯, ১৫)-এর গ.সা.গু নির্ণয়:
৯ = ৩ × ৩ = ৩^২
১৫ = ৩ × ৫ = ৩^১ × ৫^১
∴ গ.সা.গু = ৩^১ = ৩

∴ ৪/৯ এবং ৮/১৫ এর ল.সা.গু = ৮/৩

প্রশ্ন: চারটি সাইরেন একত্রে বেজে যথাক্রমে ১০, ১৫, ২০ ও ২৫ সেকেন্ড অন্তর অন্তর বাজতে লাগল। কতক্ষণ পরে সাইরেনগুলো পুনরায় একত্রে বাজবে?

সমাধান:
১০ = ২ × ৫
১৫ = ৫ × ৩
২০ = ২ × ২ × ৫
২৫ = ৫ × ৫

∴ ল.সা.গু. =  ২ × ২ × ৩ × ৫ × ৫ = ৩০০ সেকেন্ড

আমরা জানি,
৬০ সেকেন্ড = ১ মিনিট।

সময় = ৩০০/৬০ মিনিট
= ৫ মিনিট।

∴ ৫ মিনিট পরে সাইরেনগুলো পুনরায় একত্রে বাজবে।

প্রশ্ন: যদি দুইটি সংখ্যার অনুপাত ৫ : ৬, সংখ্যাদ্বয়ের গ.সা.গু এবং ল.সা.গু এর গুণফল ১০৮০ হয়, তবে (সংখ্যা দুইটির সমষ্টি)^২ =  কত?

সমাধান:
ধরি,
সংখ্যা দুইটি = ৫ক ও ৬ক
সংখ্যা দুইটির গুণফল = ৩০ক^২

আমরা জানি,
সংখ্যা দুইটির গুণফল = ল.সা.গু × গ.সা.গু
⇒ ৩০ক^২ = ১০৮০
⇒ ক^২ = ৩৬
⇒ ক = √৩৬
⇒ ক = ৬

∴ সংখ্যা দুইটির সমষ্টি = ৬ক + ৫ক
= (৬ × ৬) + (৫ × ৬)
= ৩৬ + ৩০
= ৬৬

∴ (সংখ্যা দুইটির সমষ্টি)^২ = (৬৬)^২ = ৪৩৫৬ 

মৌলিক সংখ্যা বের করার সহজ নিয়মঃ
1) সংজ্ঞাঃ যে সকল সংখ্যাকে কেবল ঐ সংখ্যা এবং 1 ছাড়া অন্য কোন সংখ্যা দ্বারা নিঃশেষে ভাগ করা যায় না তাদেরকে মৌলক সংখ্যা বলে।
2) সূত্রঃ 6n ± 1 = মৌলিক সংখ্যা (ব্যতিক্রম- 01 এবং 02 দেখুন)।
6X1 ± 1 = 5, 7
6X2 ± 1 = 11, 13
6X3 ± 1 = 17, 19
6X4 ± 1 = 23
6X5 ± 1 = 29, 31
6X6 ± 1 = 37
6X7 ± 1 = 41, 43
6X8 ± 1 = 47
6X9 ± 1 = 53
6X10 ± 1 = 59, 61
6X11 ± 1 = 67
6X12 ± 1 = 71, 73
6X13 ± 1 = 79
6X14 ± 1 = 83
6X15 ± 1 = 89
6X16 ± 1 = 97
ব্যতিক্রম-01: সূত্রের সাথে কোন ধরণের সামঞ্জস্যা না থাকলেও 2 এবং 3 মৌলিক সংখ্যা। এই দুইটি মৌলিক সংখ্যা সহ 1-100 পর্যন্ত মোট মৌলিক সংখ্যা 25 টি।
ব্যতিক্রম-02: 25, 35, 49, 55, 65, 77, 85, 91 এবং 95 প্রভৃতি সূত্রটির আওতাভুক্ত হলেও এরা মৌলিক সংখ্যা নয় অর্থাৎ এরা যৌগিক সংখ্যা।

প্রশ্ন: দুইটি সংখ্যার অনুপাত ৫ : ৬ এবং তাদের ল.সা.গু. ১২০ হলে, সংখ্যা দুইটির গ.সা.গু. কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
দুটি সংখ্যার অনুপাত = ৫ : ৬
এবং ল.সা.গু. = ১২০

ধরি, দুটি সংখ্যা = ৫ক এবং ৬ক ; [যেখানে ক = গ.সা.গু.] 
এখন, দুটি সংখ্যার ল.সা.গু. = ৫ক × ৬ক = ৩০ক 

সুতরাং, ৩০ক = ১২০
ক = ১২০/৩০
ক = ৪

অতএব, দুটি সংখ্যার গ.সা.গু. = ৪

x – 5 = 0
Or, x = 5
অতএব, x² + 7x + p
Or, 5² + 7.5 + P = 0
Or, 25 + 35 = p
Or, p = - 60

5/27 = 0.185
7/36 = 0.194
11/45 = 0.244
2/9 = 0.222

প্রথম + দ্বিতীয় + তৃতীয় = 33 × 3 = 99
প্রথম + দ্বিতীয় = 27 × 2 = 54
(বিয়োগ করে) তৃতীয় সংখ্যাটি হবে = 45

পদ সংখ্যা = (শেষ সংখ্যা - ১ম সংখ্যা / সাধারণ অন্তর) + ১
= (53 - 1/1) + 1
= 53
∴ সমষ্টি = (১ম সংখ্যা+শেষ সংখ্যা / 2) × পদসংখ্যা
= (1+53)/2 ×53
= 27 × 53
গড় = (27 × 53) / 53
= 27

প্রশ্ন: নিচের কোনটি মূলদ সংখ্যা?

সমাধান:
মূলদ সংখ্যা:  p/q  আকারের কোনো সংখ্যাকে মূলদ সংখ্যা বলা হয়, যখন p ও q  পূর্ণসংখ্যা এবং q ≠ 0।
যেমন: √16 = 4 ,3/1 = 3,  11/2= 5.5, 5/ 3 = 1.666... ইত্যাদি মূলদ সংখ্যা।

এখন অপশন যাচাই করে পাই, 
ক) √১০/√২ = √(১০/২) = √৫ ; যা অমূলদ

খ) √৮/৩ = √(৪ × ২)/৩ = ২√২/৩ ; যা অমূলদ

গ) √১২/√৩ = √(৪ × ৩)/√৩ = (√৪ × √৩)/√৩ = ২ ; যা মূলদ

ঘ) √৩/২ ; যা অমূলদ

সুতরাং, সঠিক উত্তর: গ) √১২/√৩ 

প্রশ্ন: ১ থেকে ১০ পর্যন্ত যে মৌলিক সংখ্যাগুলো আছে তাদের যোগফল কত? 

সমাধান: 
১ থেকে ১০ পর্যন্ত সংখ্যার মধ্যে মৌলিক সংখ্যা = ২, ৩, ৫, ৭ 
∴ তাদের যোগফল = ২ + ৩ + ৫ + ৭ 
= ১৭ ।

প্রশ্ন: ৭টি সংখ্যার গড় ১২। একটি সংখ্যা বাতিল করলে গড় হয় ১১। বাতিলকৃত সংখ্যাটি কত ? 

সমাধান:
দেওয়া আছে,
৭টি সংখ্যার গড় = ১২
∴ মোট যোগফল = ৭ × ১২ = ৮৪

আবার, 
একটি সংখ্যা বাদ দিলে বাকি থাকে ৬টি সংখ্যা, নতুন গড় = ১১
∴ নতুন যোগফল = ৬ × ১১ = ৬৬

সুতরাং বাতিলকৃত সংখ্যাটি = পূর্বের মোট যোগফল - নতুন যোগফল
= ৮৪ - ৬৬
= ১৮

প্রশ্ন: পাঁচটি সংখ্যার গড় ৬। তিনটি সংখ্যার গড় ৮। অবশিষ্ট দুটি সংখ্যার গড় কত?


সমাধান:
পাঁচটি সংখ্যার সমষ্টি = (৫ × ৬) = ৩০
তিনটি সংখ্যার সমষ্টি = (৩ × ৮) = ২৪
অবশিষ্ট দুইটি সংখ্যার সমষ্টি = (৩০ - ২৪) = ৬

∴ অবশিষ্ট দুটি সংখ্যার গড় = ৬/২
= ৩

প্রশ্ন: একটি খুঁটির ১/৪ অংশ কাঁদায়, ১/২ অংশ পানিতে এবং অবশিষ্ট ১২ মিটার পানির উপরে আছে। খুঁটিটির দৈর্ঘ্য কত? 

সমাধান: 
একটি খুঁটির = ১/৪ অংশ কাঁদায়
একটি খুঁটির = ১/২ অংশ পানিতে
∴ কাঁদায় ও পানিতে আছে খুঁটিটির = {(১/৪) + (১/২)} অংশ
= ৩/৪ অংশ 

এখন,
অবশিষ্ট আছে খুঁটিটির = {১ - (৩/৪)} অংশ
= ১/৪ অংশ 

খুঁটিটির ১/৪ অংশ = ১২ মিটার
∴ খুঁটিটির সম্পূর্ণ বাঁশটির দৈর্ঘ্য = (১২ × ৪) মিটার
= ৪৮ মিটার। 

আমরা জানি,
ভগ্নাংশের ল.সা.গু = লবগুলোর ল.সা.গু / হরগুলোর গ.সা.গু।
এখানে, ২, ৩, ২ লবগুলোর ল.সা.গু = ৬ এবং ৫, ৪, ৩ হরগুলোর গ.সা.গু = ১
সুতরাং ২/৫, ৩/৪, ২/৩ ভগ্নাংশ গুলোর ল.সা.গু = ৬/১ = ৬

যেহেতু, প্রশ্নে কোন ধরনের ভগ্নাংশ তা উল্লেখ নেই, তাই আমরা এটিকে প্রকৃত ভগ্নাংশ হিসাবে ধরে নিচ্ছি।

মনেকরি,
ভগ্নাংশটির হর = x
এবং লব = y [যেখানে x > y]
∴ ভগ্নাংশটি = y/x

প্রশ্নমতে, x - y = ২.........(i)
এবং x + y = ১৬.............(ii)
(i) + (ii),
⇒ ২x = ১৮
⇒ x = ৯
(ii) নং এ বসিয়ে পাই, y = ৭

∴ ভগ্নাংশটি = ৭/৯

ধরি,
a = ২, b = ২,
ক, ২ + (২ × ২) = ৬ জোড়
খ, ২ × ২ + ১ = ৫ বিজোড়
গ, ২ + ২ = ৪ জোড়
ঘ, ২ + ২ + ২ = ৬ জোড়

17, 14, 8, 20, এর ল. সা. গু. = 4760
4760 ÷ 17 = 280
∴ 12/17 = (12 × 280)/(17 × 280) = 3360/4760
4760 ÷ 14 = 340
∴ 11/14 = (11 × 340)/(14 × 340) = 3740/4760
4760 ÷ 8 = 595
∴ 5/8 = (5 × 595)/(8 × 595) = 2975/4760
4760 ÷ 20 = 238
∴ 15/20 = (15 × 238)/(20 × 238) = 3570/4760

প্রশ্ন: ২, ০, ৭, ৯ দ্বারা গঠিত চার অঙ্কের বৃহত্তম সংখ্যা এবং ক্ষুদ্রতম সংখ্যার বিয়োগফল কত?

সমাধান:
২, ০, ৭, ৯ দ্বারা গঠিত চার অঙ্কের,
বৃহত্তম সংখ্যা = ৯৭২০
এবং ক্ষুদ্রতম সংখ্যা = ২০৭৯

∴ এদের পার্থক্য = ৯৭২০ - ২০৭৯ = ৭৬৪১

প্রশ্ন: একটি ভগ্নাংশের লব ও হরের সমষ্টি ১২। যদি হর থেকে ২ বিয়োগ করলে তা লব এর সমান হয়, তাহলে ভগ্নাংশটি কত?

সমাধান:
ধরি,
ভগ্নাংশটির লব = ক
∴  হর = ১২ - ক

প্রশ্নমতে,
(১২ - ক) - ২ = ক
⇒ ১২ - ২ = ক + ক
⇒ ১০ = ২ক
⇒ ক = ৫

∴ নির্ণেয় ভগ্নাংশ = ৫/(১২- ৫)
= ৫/৭

প্রশ্ন: দুটি সংখ্যার গ.সা.গু. ৬ এবং ল.সা.গু. ১০৮। একটি সংখ্যা ৫৪ হলে, অপর সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
ধরি,
অপর সংখ্যা = ক

আমরা জানি,
দুটি সংখ্যার গুণফল = গ.সা.গু. × ল.সা.গু.
⇒ ৫৪ × ক = ৬ × ১০৮
⇒ ৫৪ × ক = ৬৪৮
⇒ ক = ৬৪৮/৫৪
∴ ক = ১২

অতএব, অপর সংখ্যাটি হলো ১২।

প্রশ্ন: নিচের কোন দুইটি সংখ্যা পরস্পর সহমৌলিক?

সমাধান:
আমরা জানি, দুই বা ততোধিক সংখ্যার মধ্যে ১ ছাড়া অন্য কোনো সাধারণ গুণনীয়ক (Common Factor) না থাকলে সংখ্যাগুলো পরস্পর সহমৌলিক। অর্থাৎ এদের গরিষ্ঠ সাধারণ গুণনীয়ক (গ.সা.গু) হবে ১।

এখানে, 
ক) ১২ = ১, ২, ৩, ৪, ৬, ১২ এবং ১৮ = ১, ২, ৩, ৬, ৯, ১৮।
এদের সাধারণ গুণনীয়ক ২, ৩, ৬; তাই এগুলো সহমৌলিক নয়।

খ) ১৬ = ১, ২, ৪, ৮, ১৬ এবং ৩৫ = ১, ৫, ৭, ৩৫।
এখানে ১ ছাড়া অন্য কোনো সাধারণ গুণনীয়ক নেই। অর্থাৎ এদের গ.সা.গু ১। সুতরাং ১৬ এবং ৩৫ পরস্পর সহমৌলিক।

গ) ২১ = ১, ৩, ৭, ২১ এবং ২৮ = ১, ২, ৪, ৭, ১৪, ২৮।
এখানে ৭ একটি সাধারণ গুণনীয়ক; তাই এগুলো সহমৌলিক নয়।

ঘ) ২৭ = ১, ৩, ৯, ২৭ এবং ৪৫ = ১, ৩, ৫, ৯, ১৫, ৪৫।
এখানে ৩ এবং ৯ সাধারণ গুণনীয়ক; তাই এগুলো সহমৌলিক নয়।

∴ সঠিক উত্তর হলো খ) ১৬, ৩৫