বাস্তব সংখ্যা, গড়, ভগ্নাংশ, ল.সা.গু ও গ.সা.গু

প্রশ্ন: নিচের কোনটি ক্ষুদ্রতম ভগ্নাংশ? 

সমাধান: 
ক) ২/৯ = ০.২২২ (বৃহত্তম)
খ) ৭/৩৬ = ০.১৯৪ (বৃহত্তম) 
গ) ৫/২৭ = ০.১৮৫ (ক্ষুদ্রতম) 
ঘ) ১১/৪৫ = ০.২৪৪ (বৃহত্তম) 

∴ ক্ষুদ্রতম সংখ্যা = ৫/২৭ । 

প্রশ্ন: নিচের কোন সংখ্যাটি ৬ দ্বারা বিভাজ্য?

সমাধান:
• কোনো সংখ্যা ৬ দ্বারা বিভাজ্য হতে হলে তা অবশ্যই ২ এবং ৩ উভয় সংখ্যা দ্বারা বিভাজ্য হতে হবে।

ক) ২৫৪৬১২: জোড় সংখ্যা, তাই ২ দ্বারা বিভাজ্য। অঙ্কগুলোর যোগফল = ২ + ৫ + ৪ + ৬ + ১ + ২ = ২০, যা ৩ দ্বারা বিভাজ্য নয়। সুতরাং এটি ৬ দ্বারা বিভাজ্য নয়।

খ) ৩৪৭৮১০: জোড় সংখ্যা, তাই ২ দ্বারা বিভাজ্য। অঙ্কগুলোর যোগফল = ৩ + ৪ + ৭ + ৮ + ১ + ০ = ২৩, যা ৩ দ্বারা বিভাজ্য নয়। সুতরাং এটি ৬ দ্বারা বিভাজ্য নয়।

গ) ৪২১৫৩০: জোড় সংখ্যা, তাই ২ দ্বারা বিভাজ্য। অঙ্কগুলোর যোগফল = ৪ + ২ + ১ + ৫ + ৩ + ০ = ১৫, যা ৩ দ্বারা বিভাজ্য (১৫ ÷ ৩ = ৫)। যেহেতু সংখ্যাটি ২ এবং ৩ উভয় দ্বারা বিভাজ্য, তাই এটি ৬ দ্বারা বিভাজ্য।

ঘ) ৫৬২৭১৪: জোড় সংখ্যা, তাই ২ দ্বারা বিভাজ্য। অঙ্কগুলোর যোগফল = ৫ + ৬ + ২ + ৭ + ১ + ৪ = ২৫, যা ৩ দ্বারা বিভাজ্য নয়। সুতরাং এটি ৬ দ্বারা বিভাজ্য নয়।

∴ সঠিক উত্তর: গ) ৪২১৫৩০

প্রশ্ন: একটি সংখ্যা ও তার গুণাত্বক বিপরীতের সমষ্টি 2 হলে, সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
ধরি,
সংখ্যাটি = x
গুণাত্বক বিপরীত সংখ্যা = 1/x

প্রশ্নমতে,
x + 1/x = 2
⇒ (x² + 1)/x = 2
⇒ x² + 1 = 2x
⇒ x² - 2x + 1 = 0
⇒ (x - 1)² = 0
⇒ x - 1 = 0
∴ x = 1

∴ নির্ণেয় সংখ্যাটি 1

প্রশ্ন: কোনো শ্রেণীতে শিক্ষক ও ২০ জন ছাত্রের বয়সের গড় ১২ বছর। ২০ জন ছাত্রের বয়সের গড় ১০ বছর হলে, শিক্ষকের বয়স কত? 

সমাধান: 
শিক্ষক + ২০ জন ছাত্র = ২১ জন 
২১ জনের বয়সের গড় = ১২ বছর
∴ ২১ জনের মোট বয়স = (২১ × ১২) বছর
= ২৫২ বছর

আবার, 
২০ জন ছাত্রের বয়সের গড় = ১০ বছর
∴ ২০ জন ছাত্রের মোট বয়স = (২০ × ১০) বছর
= ২০০ বছর

∴ শিক্ষকের বয়স = (২৫২ - ২০০) বছর
= ৫২ বছর।

প্রশ্ন: নিচের ক্রমজোড়গুলোর মধ্যে কোনটি সহমৌলিক?

সমাধান:
সহমৌলিক: দুই বা ততোধিক সংখ্যার সাধারণ গুণনীয়ক কেবল ১ হলে, ঐ সংখ্যাগুলো পরস্পর সহমৌলিক।

এখানে, 
১৫ = ১ × ৩ × ৫
২৬ = ১ × ২ × ১৩
১৫ ও ২৬ ক্রমজোড়টি সহমৌলিক। 
কারণ, (১৫, ২৬)  ক্রমজোড়টির সাধারণ গুণনীয়ক ১,
∴ (১৫, ২৬) ক্রমজোড়টি সহমৌলিক।

প্রশ্ন: কোন সংখ্যার এক-দ্বিতীয়াংশ ও এক-পঞ্চমাংশের পার্থক্য ১৫?

সমাধান:
ধরি, সংখ্যা = ক

শর্তমতে,
ক/২ - ক/৫ = ১৫
বা, (৫ক - ২ক)/১০ = ১৫
বা, ৩ক/১০ = ১৫
বা, ক = ১৫ × ১০/৩
∴ ক = ৫০

∴ সংখ্যা = ৫০

প্রশ্ন: দুইটি সংখ্যার গুণফল ৭২০। সংখ্যা দুইটির ল.সা.গু ২৪০ হলে, গ.সা.গু কত?

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
দুইটি সংখ্যার গুণফল = ৭২০
সংখ্যা দুইটির ল.সা.গু = ২৪০

আমরা জানি, 
দুইটি সংখ্যার গুণফল = সংখ্যা দুইটির ল.সা.গু × গ.সা.গু
⇒ ৭২০ = ২৪০ × গ.সা.গু
⇒ গ.সা.গু = ৭২০/২৪০
∴ গ.সা.গু = ৩

প্রশ্ন: তিনটি ক্রমিক সংখ্যার যোগফল ১২৩ হলে, ছোট সংখ্যাটি কত? 

সমাধান: 
ধরি,
তিনটি ক্রমিক সংখ্যা যথাক্রমে x, x + ১ ও x + ২
∴ তাদের যোগফল = x + (x + ১) + (x + ২) 
= ৩x + ৩ 

প্রশ্নমতে, 
৩x + ৩ = ১২৩ 
বা, ৩x = ১২৩ - ৩ 
বা, ৩x = ১২০ 
বা, x = ১২০/৩ 
∴ x = ৪০ 

∴ ছোট সংখ্যাটি = ৪০ । 

ধরি,
সংখ্যা দুটি = ১২x ও ১২y
১২x - ১২y = ৬০
∴ x - y = ৫ ........ (1)
এবং ১২xy = ২৪৪৮
xy = ২০৪
(x + y) = √[(x - y)²+ ৪xy] = √[৫^২ + ৪×২০৪]
x + y = ২৯ .... (2)
x = ১৭, y = ১২
∴ সংখ্যা ২টি ১৪৪ ও ২০৪

 2 ÷ 0.002 = 1000

বিপরীতক্রমে , 1000 × 0.002 = 2

প্রশ্ন:

সমাধান:

এখানে,
শতক, দশক ও একক স্থানীয় অঙ্ক যথাক্রমে ক, খ, গ হলে,
সংখ্যাটি = ১০০ × ক + ১০ × খ + ১ × গ
= ১০০ক + ১০খ + গ

প্রশ্ন: ১০৮ সংখ্যাটির মোট কতটি ভাজক আছে?

সমাধান: 
১০৮ = ২ × ২ × ৩ × ৩ × ৩ 
= ২^২ × ৩^৩
এখানে,
২ এর সূচক ২ এবং ৩ এর সূচক ৩

এখন,
প্রত্যেক সূচকের মানের সাথে ১ যোগ করে তাদের গুণ করলে যে গুণফল পাওয়া যাবে তাই হবে নির্ণেয় ভাজক সংখ্যা।
∴ নির্ণেয় ভাজক সংখ্যা = (২ + ১) (৩ + ১)
= ৩ × ৪ = ১২

∴ নির্ণেয় ভাজক সংখ্যা = ১২ 

প্রশ্ন: কোনো বাসস্ট্যান্ড থেকে ৪টি বাস একত্রে যাত্রা শুরু করার একটি নির্দিষ্ট সময় পর যথাক্রমে ৭ কি.মি., ১৪ কি.মি., ২১ কি.মি. ও ৩৫ কি.মি. পথ অতিক্রম করে। কমপক্ষে কত দূরত্ব অতিক্রম করার পর বাস চারটি একত্রে মিলিত হবে?

সমাধান:
৭, ১৪, ২১ ও ৩৫ এর ল.সা.গু.র সমান দূরত্ব অতিক্রম করার পর বাস চারটি একত্রে মিলিত হবে।

এখন,
৭  = ১ × ৭ 
১৪ = ২ × ৭
২১ =  ৭ × ৩
৩৫ = ৫ × ৭

৭, ১৪, ২১ ও ৩৫ এর ল.সা.গু. = ৩ × ৫ × ৭ × ২  = ২১০ 

অর্থাৎ বাস চারটি পুনরায় একত্রে মিলিত হবে = ২১০ কি.মি. দূরত্ব অতিক্রম করার পর।

ধরি, খুটির দৈর্ঘ্য x মিটার
তাহলে, মাটির নিচে ও পানির উপরে আছে (১/২ + ১/৩)x অংশ = (৫/৬)x অংশ।
এবং পানির উপরে আছে (১ - ৫/৬)x = x/৬ অংশ।
প্রশ্নমতে,
x/৬ = ৩
∴ x = ১৮

প্রশ্ন: √(- 2) × √(- 18) এর মান কত?

সমাধান:
√(- 2) × √(- 18)
= √(- 1 × 2) × √(- 1 × 18)
= (√(- 1) × √2) × (√(- 1) × √18)
= i√2 × i√18   ; [যেহেতু √(- 1) = i]
= i² × √(2 × 18)
= (- 1) × √36    ; [যেহেতু i² = - 1]
= (- 1) × 6
= - 6

প্রশ্ন: রাকিব ইংরেজি ও গণিতে মোট ১৭৬ নম্বর পেয়েছে। সে ইংরেজি অপেক্ষা গণিতে ১০ নম্বর বেশি পেয়েছে। সে গণিতে কত পেয়েছে?

সমাধান:
ধরি,
ইংরেজিতে পেয়েছে ক নম্বর।
তাহলে গণিতে পেয়েছে = ক + ১০ নম্বর।

প্রশ্নমতে,
ক + (ক + ১০) = ১৭৬
⇒ ২ক  + ১০  = ১৭৬ 
⇒ ২ক = ১৬৬
∴ ক = ৮৩ 

∴ গণিতে নম্বর = ৮৩  + ১০ = ৯৩ 

প্রশ্ন: কোন সংখ্যার দ্বিগুণের সঙ্গে ৭ যোগ করলে ফলাফল সংখ্যাটির তিনগুণের সমান হবে?

সমাধান: 
ধরি,
সংখ্যাটি = ক

প্রশ্নমতে, 
বা, ২ক + ৭ = ক × ৩
বা, ২ক + ৭ = ৩ক
বা, ৩ক - ২ক = ৭
∴  ক = ৭

∴ সংখ্যাটি = ৭ ।

প্রশ্ন: ৮৪০ সংখ্যাটির মোট ভাজক সংখ্যা কত?

সমাধান:
প্রথমে সংখ্যাটির মৌলিক উৎপাদকগুলো বের করতে হবে।
৮৪০  = ২ × ২ × ২ × ৩ × ৫ × ৭ 
= ২^৩ × ৩^১ × ৫^১ × ৭^১

আমরা জানি, 
কোনো সংখ্যার মোট ভাজক সংখ্যা বের করতে হলে এর মৌলিক উৎপাদকগুলোর সূচকের সাথে ১ যোগ করে গুণ করতে হয়।

∴ ৮৪০ -এর মোট ভাজক সংখ্যা = (৩ + ১) × (১ + ১) × (১ + ১)× (১ + ১)
= ৪ × ২ × ২ × ২
= ৩২ 

সুতরাং, ৮৪০ সংখ্যার মোট ভাজক সংখ্যা = ৩২

প্রশ্ন: ১৩৫০ সংখ্যাটিকে কত দ্বারা গুণ করলে গুণফলটি পূর্ণ বর্গ সংখ্যা হবে?

সমাধান:
১৩৫০ এর মৌলিক গুণনীয়ক বিশ্লেষণ করলে পাই, 
১৩৫০ = ২ × ৩ × ৩ × ৩ × ৫ × ৫
 = ২ × ৩^৩  × ৫^২ 
জোড়া গঠন করে পাই = ২ × (৩ × ৩) × ৩ × (৫ × ৫)

এখানে, জোড়া বিহীন সংখ্যা = ২ × ৩ = ৬ 
সুতরাং পূর্ণ বর্গ সংখ্যা পেতে, ১৩৫০ কে ৬ দ্বারা গুণ করতে হবে।

∴ ৬ দ্বারা গুণ করলে গুণফলটি পূর্ণ বর্গ সংখ্যা হবে।

প্রশ্ন: দুটি সংখ্যার ল.সা.গু এবং গ.সা.গু-এর গুণফল 240। সংখ্যা দুটির পার্থক্য 8 হলে, সংখ্যা দুটি কত?

সমাধান:
ধরি,
সংখ্যা দুটি x এবং y

প্রশ্নমতে,
xy = 240 (ল.সা.গু * গ.সা.গু = সংখ্যা দুটির গুণফল)
এবং
সংখ্যা দুটির পার্থক্য, x - y = 8 .........(1) 

আমরা জানি,
(x + y)² = (x - y)² + 4xy
= 8² + 4 × 240 = 64 + 960 = 1024
⇒ (x + y)² = 32²
∴ x + y = 32 .......... (2)

এখন,
(1) + (2)
⇒ x + y + x - y = 32 + 8
⇒ 2x = 40
∴ x = 20
(2) নং এ x এর মান বসিয়ে পাই,
y = 32 - 20
∴  y = 12

সংখ্যা দুটি 20 ও 12

প্রশ্ন: নিচের কোনটি মৌলিক সংখ্যা? 

সমাধান: 
মৌলিক সংখ্যা: 
১ এর চেয়ে বড় যে সকল সংখ্যাকে শুধু ১ এবং ঐ সংখ্যা ছাড়া আর কোনো সংখ্যা দ্বারা ভাগ করা যায় না, তাদেরকে মৌলিক সংখ্যা বলে। 
অর্থাৎ, মৌলিক সংখ্যার উৎপাদক হবে দুইটি ১ এবং শুধুমাত্র সেই সংখ্যাটি। 
১ থেকে ১০০ পর্যন্ত মোট মৌলিক সংখ্যা ২৫ টি। যথা- ২, ৩, ৫, ৭, ১১, ১৩, ১৭, ১৯, ২৩, ২৯, ৩১, ৩৭, ৪১, ৪৩, ৪৭, ৫৩, ৫৯, ৬১, ৬৭, ৭১, ৭৩, ৭৯, ৮৩, ৮৯, ৯৭। 

∴ ৪৭ একটি মৌলিক সংখ্যা।

পাস করতে পারে নি (১০০-৫০)% = ৫০%
৫০% পরীক্ষার্থী(যারা পাশ করে নি+যারা অংশগ্রহণ করে নি) = ৩০+১০= ৪০জন
∴১০০% = (৪০х১০০)/৫০ = ৮০
∴পাস করেছে ৮০ এর ৫০% = ৪০ জন

প্রশ্ন: ২২০ সংখ্যাটির ভাজকের সংখ্যা কত?

সমাধান:
২২০ এর মৌলিক উৎপাদকসমূহ = ২ × ২ × ৫ × ১১
= ২^২ × ৫^১ × ১১^১ 

আমরা জানি, কোনো সংখ্যার মোট ভাজক সংখ্যা বের করার সূত্র হলো এর মৌলিক উৎপাদকগুলোর ঘাত বা পাওয়ারের সাথে ১ যোগ করে তাদের গুণফল নির্ণয় করা।
এখানে ঘাতসমূহ হলো ২, ১ এবং ১।

∴ ভাজক সংখ্যা = (২ + ১) × (১ + ১) × (১ + ১)
= ৩ × ২ × ২
= ১২ টি

প্রশ্ন: ২০/২১ এর মধ্যে ২০/৬৩ কতবার আছে?

সমাধান:
(২০/২১) ÷ (২০/৬৩)
= (২০/২১) × (৬৩/২০)
= ৬৩/২১
= ৩

প্রশ্ন: নিচের কোনটি অমূলদ সংখ্যা?

সমাধান:
মূলদ সংখ্যা:
- যে সকল সংখ্যাকে দুইটি অখণ্ড সংখ্যা p ও q এর অনুপাত p/q রূপে প্রকাশ করা যায় সেগুলোকে মূলদ সংখ্যা বলা হয়।
- শূন্য, স্বাভাবিক সংখ্যা, প্রকৃত ভগ্নাংশ, অপ্রকৃত ভগ্নাংশ অর্থাৎ সাধারণ ভগ্নাংশ সবই মূলদ সংখ্যা। যেমন: ৩/২, ৩/৪, ১.৩ ইত্যাদি

অমূলদ সংখ্যা:
- যে সকল সংখ্যাকে p/q আকারে প্রকাশ করা যায় না অর্থাৎ সাধারণ ভগ্নাংশ আকারে লেখা যায় না এবং পূর্ণবর্গ নয় এমন সকল স্বাভাবিক সংখ্যার বর্গমূলকে অমূলদ সংখ্যা বলা হয়। যেমন: √২, √৩, π ইত্যাদি।

এখানে,
ক) ২/৭ এটি p/q আকারে আছে। সুতরাং এটি মূলদ সংখ্যা।
খ) √১৪৪ = ১২ এটি একটি পূর্ণসংখ্যা। সুতরাং এটি মূলদ সংখ্যা।
গ) ৭/৩ এটি p/q আকারে আছে। সুতরাং এটি মূলদ সংখ্যা।
ঘ) √৫; ৫ একটি মৌলিক সংখ্যা এবং পূর্ণবর্গ নয়। √৫ = ২.২৩৬০৬৭৯৭৭........... এটি একটি অসীম অনাবৃত্ত দশমিক। এটিকে p/q আকারে প্রকাশ করা যায় না। সুতরাং এটি অমূলদ সংখ্যা।

সুতরাং, √৫ অমূলদ সংখ্যা।

প্রশ্ন: m ও n উভয়ে বিজোড় সংখ্যা হলে নিচের কোনটি বিজোড়?

সমাধান:
ধরি, m = 1 এবং n = 3, দুটোই বিজোড় সংখ্যা।
এখন,
ক) mn = 1 × 3 = 3  ⇒ বিজোড়
খ) mn + 2 = (1 × 3) + 2 = 5  ⇒ বিজোড়
গ) mn + 4 = (1 × 3) + 4 = 7  ⇒ বিজোড়
অতএব 
সঠিক উত্তর: ঘ)সবকটি