বাস্তব সংখ্যা, গড়, ভগ্নাংশ, ল.সা.গু ও গ.সা.গু

(15/28)/(5/7)
= (15/28) X (7/5)
= 3/4

প্রশ্ন: দুটি সংখ্যার গ.সা.গু ১০ এবং ল.সা.গু ৮৩৭০ । একটি সংখ্যা ২৭০ হলে, অপর সংখ্যাটি কত? 

সমাধান: 
আমরা জানি, 
দুটি সংখ্যার গুণফল = সংখ্যা দুটির ল.সা.গু × সংখ্যা দুটির গ.সা.গু 
⇒ ২৭০ × অপর সংখ্যা = ৮৩৭০ × ১০ 
⇒ অপর সংখ্যা = (৮৩৭০ × ১০)/২৭০ 
∴ অপর সংখ্যা = ৩১০ । 

১ থেকে ১৯ পর্যন্ত সংখ্যা গুলোর গড় = (১ + ১৯) / ২ = ১০

প্রশ্ন: দুইটি ভগ্নাংশের গুণফল ২/৯। একটি ভগ্নাংশ ৪/৩ হলে অপর ভগ্নাংশটি কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
দুইটি ভগ্নাংশের গুণফল = ২/৯
একটি ভগ্নাংশ = ৪/৩

∴ অপর ভগ্নাংশ = (২/৯) ÷ (৪/৩)
= (২/৯) × (৩/৪)
= ৬/৩৬
= ১/৬

প্রশ্ন: কোন ক্ষুদ্রতম সংখ্যাকে ৮, ১২, ১৬ এবং ২০ দ্বারা ভাগ করলে সর্বদা ৫ অবশিষ্ট থাকবে?

সমাধান:
সংখ্যাটি হবে ৮, ১২, ১৬ এবং ২০ এর ল.সা.গু অপেক্ষা ৫ বেশি

৮, ১২, ১৬ এবং ২০ এর ল.সা.গু = ২৪০

∴ ক্ষুদ্রতম সংখ্যা = ২৪০ + ৫ = ২৪৫

প্রশ্ন: x, y ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা। যখন x কে y দ্বারা ভাগ করা হয় তখন 5 অবশিষ্ট থাকে । যদি x/y = 5.20 হয়, x এর মান কত?

সমাধান: 
ধরি, 
x = ny + 5 .......... (1) [যখন x কে y দ্বারা ভাগ করা হয়, 5 অবশিষ্ট থাকে]
এবং
x/y = 5.2
⇒ x =  5.2y
∴ x = 5y + 0.2y .......(2)
এখন, (1) এবং (2) তুলনা করে পাই, 
n = 5 এবং
 ⇒ 0.2y = 5
⇒ y = 5/0.2 = 25
∴ y = 25

(1) নং হতে পাই, 
x = ny + 5 = 5 × 25 + 5 = 125 + 5 = 130
∴ x = 130

প্রশ্ন: দুটি সংখ্যার গ.সা.গু ১২ এবং ল.সা.গু ১৮০। একটি সংখ্যা ৩৬ হলে, অপর সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
একটি সংখ্যা × অপর সংখ্যা = ল.সা.গু × গ.সা.গু
⇒ ৩৬ × অপর সংখ্যা = ১৮০ × ১২
⇒ অপর সংখ্যা = (১৮০ × ১২)/৩৬
⇒ অপর সংখ্যা = ৬০

∴ অপর সংখ্যাটি হলো ৬০

প্রশ্ন: কোন ক্ষুদ্রতম সংখ্যাকে ১৬, ২৪, ৩৬ এবং ৪৮ দ্বারা ভাগ করলে প্রত্যেকবার ভাগশেষ ১১ হবে?

সমাধান:
প্রদত্ত সংখ্যাগুলো দ্বারা বিভাজ্য ক্ষুদ্রতম সংখ্যা হলো সংখ্যাগুলোর ল.সা.গু।
সুতরাং ১৬, ২৪, ৩৬ এবং ৪৮ এর ল.সা.গু এর সাথে ভাগশেষ ১১ যোগ করলে নির্ণেয় ক্ষুদ্রতম সংখ্যাটি পাওয়া যাবে।

সংখ্যাগুলোর মৌলিক উৎপাদক বিশ্লেষণ:
১৬ = ২ × ২ × ২ × ২ 
২৪ = ২ × ২ × ২ × ৩
৩৬ = ২ × ২ × ৩ × ৩
৪৮ = ২ × ২ × ২ × ২ × ৩

∴ ল.সা.গু = ২^৪ × ৩^২ = ১৬ × ৯ = ১৪৪

∴ নির্ণেয় ক্ষুদ্রতম সংখ্যা = ল.সা.গু + ভাগশেষ
= ১৪৪ + ১১ 
= ১৫৫ 

প্রশ্ন: যদি x একটি জোড় সংখ্যা হয়, তাহলে নিচের কোনটি জোড় সংখ্যা হতে পারে না?

সমাধান:
ধরি,
x = 4 (জোড় সংখ্যা)
ক) x³ = 4³ = 64 ; যা জোড় সংখ্যা

খ) 5(x + 2) = 5 × (4 + 2) = 40 ; যা জোড় সংখ্যা

গ) (2x + 2) = 2 × 4 + 2 = 10 ; যা জোড় সংখ্যা

ঘ) (7x + 3) = 7 × 4 + 3 = 31  ইহা জোড় সংখ্যা নয়।

সঠিক উত্তর ঘ) (7x + 3)

প্রশ্ন: কোন সংখ্যার এক-চতুর্থাংশের সাথে ৪ যোগ করলে সংখ্যাটির মান ঐ সংখ্যার এক-তৃতীয়াংশের চেয়ে ১ কমে যাবে?

সমাধান: 
ধরি,
সংখ্যাটি ক

শর্ত অনুযায়ী:
⇒ ক/৪ + ৪ = ক/৩ - ১
⇒ ক/৩ - ক/৪ = ৪ + ১
⇒ (৪ক - ৩ক)/১২ = ৫
ক = ৬০  

প্রশ্ন: ৫৬০৫ এর সাথে কোন ক্ষুদ্রতম সংখ্যা যোগ করলে যোগফল পূর্ণবর্গ সংখ্যা হবে?

সমাধান:
প্রথমে ৫৬০৫-এর কাছাকাছি পূর্ণবর্গ সংখ্যা নির্ণয় করি।
৭৪^২ = ৫৪৭৬
৭৫^২ = ৫৬২৫
∴ ৫৬২৫ - ৫৬০৫ = ২০ 
অর্থাৎ, যদি আমরা ২০ যোগ করি, তাহলে ৫৬০৫ + ২০ = ৫৬২৫ হবে।
এবং ৫৬২৫ = ৭৫^২, যা একটি পূর্ণবর্গ সংখ্যা।

প্রশ্ন: কোনো সংখ্যার ১/৩ অংশের সাথে 4 যোগ করলে সংখ্যাটির ১/২ অংশ হবে। সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
ধরি, সংখ্যাটি = ক

প্রশ্নমতে,
(ক/৩) + ৪ = (ক/২)
⇒ (ক/২) - (ক/৩) = ৪
⇒ (৩ক - ২ক)/৬ = ৪
⇒ ক/৬ = ৪
⇒ ক = ২৪

অতএব, সংখ্যাটি = ২৪।

দেওয়া আছে, পরপর দশটি সংখ্যার প্রথম পাঁচটির যোগফল 560।
সুতরাং, সংখ্যা গুলোর গড় = 560 ÷ 5 = 112
সুতরাং, সংখ্যাগুলো হবে যথাক্রমে, 110, 111, 112, 113, 114 (যেহেতু বিজোড় সংখ্যক ক্রমিক সংখ্যার গড় সর্বদা মধ্যম সংখ্যা)।
সুতরাং, পরবর্তী পাঁচটি সংখ্যার যোগফল = 115 + 116 + 117 + 118 + 119 = 585

আমরা জানি,
ভগ্নাংশের ল.সা.গু = (লবগুলোর ল.সা.গু)/(হরগুলোর গ.সা.গু)
বা, ভগ্নাংশের ল.সা.গু = ১২/১ = ১২

প্রশ্ন: ৬ টাকার ৩/৪ অংশ এবং ৫ টাকার ২/৫ অংশের মধ্যে পার্থক্য কত?

সমাধান:
৬ টাকার ৩/৪ অংশ = (৬ × ৩/৪) টাকা = ৪.৫ টাকা
আবার,
৫ টাকার ২/৫ অংশ = (৫ × ২/৫) টাকা = ২ টাকা

∴ নির্ণেয় পার্থক্য = ৪.৫ - ২ = ২.৫ টাকা

∴ পার্থক্য = ২.৫ টাকা

• পূর্ণবর্গ সংখ্যার বর্গমূল মূলদ সংখ্যা।
• যেহেতু √২২৫ = ১৫
• সুতরাং √২২৫ একটি মূলদ সংখ্যা।

৯ টি সংখ্যার গড় ৪৩ হলে এদের সমষ্টি ৯×৪৩ = ৩৮৭ 
আবার ২ টি সংখ্যার সমষ্টি ২×১০ = ২০
সুতরাং ৯ + ২ = ১১ টি সংখ্যার সমষ্টি  ৩৮৭ + ২০ = ৪০৭ 
অর্থাৎ, এদের গড় = ৪০৭/১১ = ৩৭

৪ অংকের বৃহত্তম সংখ্যা ৯৯৯৯
১৫, ২৫, ৪০ এবং ৭৫ এর ল.সা.গু. = ৬০০
৯৯৯৯ কে ৬০০ দ্বারা ভাগ করলে ভাগশেষ ৩৯৯ থাকে।
তাহলে, নির্ণেয় সংখ্যা = (৯৯৯৯ - ৩৯৯) = ৯৬০০

প্রশ্ন: ০.০২৮৯ এর বর্গমূল কত?

সমাধান:
√(০.০২৮৯)
= √{(০.০২৮৯ × ১০০০০)/১০০০০}
= √(২৮৯/১০০০০)
= ১৭/১০০
= ০.১৭ 

প্রশ্ন: সরল করুন:  {(৯/১৮) ÷ (৪/৮)} × {(১৫/৫) ÷ (৯/৩)}

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
 {(৯/১৮) ÷ (৪/৮)} × {(১৫/৫) ÷ (৯/৩)}
= {(১/২) ÷ (১/২)} × {৩ ÷ ৩}
= {(১/২) × (২/১)} × ১
= ১ × ১ 
= ১

ধরি,
সংখ্যা দু'টি ৫a, ৬a
∴ গ.সা.গু. a = ৪
∴ ল.সা.গু. = ৫ × ৬ × a
= ৩০ × ৪
= ১২০

প্রশ্ন: কোন ক্ষুদ্রতম সংখ্যাকে 12, 20, 28, 40 দ্বারা ভাগ করলে প্রতিক্ষেত্রে 7 অবশিষ্ট থাকবে?

সমাধান:
এখানে,
12, 20, 28, 40 এর ল. সা. গু এর সাথে 7 যোগ করলে সংখ্যাটি পাওয়া যাবে।

12 = 2 × 2 × 3
20 = 2 × 2 × 5
28 = 2 × 2 × 7
40 = 2 × 2 × 2 × 5

2 এর সর্বোচ্চ ঘাত = 2³
3 এর সর্বোচ্চ ঘাত = 3¹
5 এর সর্বোচ্চ ঘাত = 5¹
7 এর সর্বোচ্চ ঘাত = 7¹
ল. সা. গু = 2³ × 3 × 5 × 7 = 840

∴ সংখ্যাটি = 840 + 7 = 847

প্রশ্ন: নিচের কোন সংখ্যা দুটি সহমৌলিক সংখ্যা?

সমাধান:
দুই বা ততোধিক সংখ্যার সাধারণ গুণনীয়ক কেবল ১ হলে, ঐ সংখ্যাগুলো পরস্পর সহমৌলিক।

এখানে,
১৪ = ২ × ৭
২৫ = ৫ × ৫ 

১৪ এবং ২৫ এর মধ্যে ১ ব্যতীত অন্য কোনো সাধারণ গুণনীয়ক নেই।
∴ ১৪, ২৫ সংখ্যা দুটি সহমৌলিক সংখ্যা।

3x + 3y + 3z = 90
⇒ 3(x + y + z) = 90
⇒ (x + y + z) = 30

∴ x, y, z এর গড় = 30/3 = 10

প্রশ্ন: (2/7), (3/7) ও (5/14) ভগ্নাংশগুলোর লঘিষ্ঠ সাধারণ গুণিতক (ল.সা.গু) হবে- 

সমাধান: 
আমরা জানি, 
ভগ্নাংশের ল.সা.গু = (লবগুলোর ল.সা.গু)/(হরগুলোর গ.সা.গু) 

এখন, 
ভগ্নাংশগুলোর লব(2, 3, 5) এর ল.সা.গু = 30
ভগ্নাংশগুলোর হর(7, 7, 14) এর গ.সা.গু = 7

∴ ভগ্নাংশগুলোর ল.সা.গু = 30/7

অতএব, (2/7), (3/7) ও (5/14) ভগ্নাংশগুলোর লঘিষ্ঠ সাধারণ গুণিতক (ল.সা.গু) = 30/7

প্রশ্ন: দুটি সংখ্যার গ.সা.গু ১৮ এবং ল.সা.গু ৫০৪০। একটি সংখ্যা ৬৩০ হলে, অপর সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
দুটি সংখ্যার গুণফল = সংখ্যা দুটির ল.সা.গু × গ.সা.গু
⇒ ৬৩০ × অপর সংখ্যা = ৫০৪০ × ১৮
⇒ অপর সংখ্যা = (৫০৪০ × ১৮)/৬৩০
∴ অপর সংখ্যা = ১৪৪

∴ অপর সংখ্যাটি হলো ১৪৪।

প্রশ্ন: ২৮৮ কে কত দ্বারা গুণ করলে গুণফল পূর্ণবর্গ সংখ্যা হবে? 

সমাধান:
২৮৮ = ২ × ২ × ২ × ২ × ২ × ৩ × ৩
= ( ২ × ২) × (২ × ২) × ২ × (৩ × ৩)

এখানে, ২ জোড়া বিহীন
∴ ২ দ্বারা গুণ করলে সংখ্যাটি পূর্ণ বর্গ সংখ্যা হবে।

৩২ = ২ × ২ × ২ × ২ × ২
৪৮ = ২ × ২ × ২ × ২ × ৩
৮০ = ২ × ২ × ২ × ২ × ৫
১১২ = ২ × ২ × ২ × ২ × ৭
∴ গ.সা.গু. = ২ × ২ × ২ × ২ = ১৬

১২- ৫ = ৭; ১৬ - ৯ = ৭
এখন,
১২ = ২ × ২ × ৩
১৬ = ২ × ২ × ২ × ২
∴ ১২, ১৬ এর লসাগু = ২ × ২ × ৩ × ২ × ২ = ৪৮
সুতরাং, নির্ণেয় সংখ্যা = ৪৮ - ৭ = ৪১

প্রশ্ন: দুইটি সংখ্যার অনুপাত ৯ : ১২ এবং ল.সা.গু. ২১৬। ছোট সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
ধরি, ১ম সংখ্যা = ৯ক
২য় সংখ্যা = ১২ক
∴ সংখ্যা দুইটির ল.সা.গু. = ৩৬ক

প্রশ্নমতে,
৩৬ক = ২১৬
⇒ ক = ২১৬/৩৬
⇒ ক = ৬

অর্থাৎ ১ম সংখ্যা = ৯ × ৬ = ৫৪
২য় সংখ্যা = ১২ × ৬ = ৭২

∴ ছোট সংখ্যাটি = ৫৪

নিয়ম-১ঃ
৩৬ = ২ × ২ × ৩ × ৩ = ২² × ৩²
৩৬ সংখ্যাটির ভাজক = (২ + ১) × (২ + ১) = ৯টি।
নিয়ম-২ঃ
৩৬ = ১ × ৩৬ = ২ × ১৮ = ৩ × ১২ = ৪ × ৯ = ৬ × ৬
৩৬ সংখ্যাটির ভাজক = ১, ২, ৩, ৪, ৬, ৯, ১২, ১৮, ৩৬ = ৯টি।

৫৬ মিটার দৈর্ঘ্যের ১/৪ হলো বিস্তার।
∴বিস্তার= ৫৬/৪ = ১৪ মিটার।
∴ পরিসীমা = ২(৫৬+১৪) = ১৪০ মিটার।