বাস্তব সংখ্যা, গড়, ভগ্নাংশ, ল.সা.গু ও গ.সা.গু

পাঁচ অংকের বৃহত্তম সংখ্যা = ৯৯৯৯৯
২, ৩, ৪, ৫, ৬ এর ল.সা.গু = ৬০

এখন, ৬০)৯৯৯৯৯(১৬৬৬
                ৯৯৯৬০
                ------------
                        ৩৯

∴ বৃহত্তম সংখ্যার সাথে = ৬০ - ৩৯
= ২১ যোগ করতে হবে।

২০ জন ছাত্রীর মোট বয়স = (২০ x ১২) বছর।
= ২৪০ বছর।
২৪ জন ছাত্রীর বয়সের গড় = (১২ - ৪/১২) বছর।
= ৩৫ / ৩ বছর।
২৪ জন ছাত্রীর মোট বয়স = (৩৫/৩ x ২৪) বছর।
= ২৮০ বছর।
৪ জন ছাত্রীর মোট বয়স = (২৮০ - ২৪০) বছর।
= ৪০ বছর।
৪ জন ছাত্রীর গড় বয়স = ৪০/৪ বছর।
= ১০ বছর।

প্রশ্ন: তিনটি সংখ্যার অনুপাত ৩ : ৪ : ৫ এবং তাদের ল.সা.গু ২৪০০ হলে, তাদের গ.সা.গু কত?

সমাধান:
ধরি, তিনটি সংখ্যা যথাক্রমে ৩ক, ৪ক এবং ৫ক

এখন, ৩ক, ৪ক, ৫ক এর ল.সা.গু = ৬০ক

শর্তমতে,
৬০ক = ২৪০০
⇒ ক = ২৪০০/৬০
⇒ ক = ৪০

∴ প্রথম সংখ্যা = ৩ক = ৩ × ৪০ = ১২০
দ্বিতীয় সংখ্যা = ৪ক = ৪ × ৪০ = ১৬০
তৃতীয় সংখ্যা = ৫ক = ৫ × ৪০ = ২০০

এখন গ.সা.গু নির্ণয় করি:
১২০ = ২^৩ × ৩ × ৫
১৬০ = ২^৫ × ৫
২০০ = ২^৩ × ৫²

∴ গ.সা.গু = ২^৩ × ৫ = ৮ × ৫ = ৪০

অতএব, তাদের গ.সা.গু = ৪০

প্রশ্ন: ৩২৪১৬ টি গাছের চারাকে বর্গাকারে রোপণ করতে গিয়ে দেখা যায় ১৬ চারা অবশিষ্ট আছে। প্রতি সারিতে কতটি করে গাছ রোপণ করা হয়েছে?

সমাধান:
যেহেতু ১৬ টি চারা অবশিষ্ট রয়েছে, 
সুতরাং রোপণ করা চারার সংখ্যা = ৩২৪১৬ - ১৬ = ৩২৪০০ টি 

আবার,
চারাগুলো বর্গাকারে রোপণ করায় সারির সমান সংখ্যক চারা রোপণ করা হয়েছে।
ধরি,
প্রতি সারিতে রোপণ করা চারার সংখ্যা = ক টি 

∴ ক^২ = ৩২৪০০
⇒ ক = ১৮০ টি 

প্রশ্ন: এক ব্যক্তি তার সম্পত্তির ১/৪ অংশ স্ত্রীকে দিলেন এবং অবশিষ্ট সম্পত্তি তার ২ মেয়ের মধ্যে সমানভাবে ভাগ করে দিলেন। যদি স্ত্রী ও ১ মেয়ের প্রাপ্ত সম্পত্তির মোট মূল্য ৩,৭৫,০০০ টাকা হয়, তবে মোট সম্পত্তির মূল্য কত?

সমাধান:
ধরি, মোট সম্পত্তি = ক টাকা
স্ত্রী পান = ক/৪ টাকা
∴ অবশিষ্ট = (ক) - (ক/৪) = ৩ক/৪ টাকা
∴ প্রত্যেক মেয়ে পায় = (৩ক/৪) ÷ ২ = ৩ক/৮ টাকা

প্রশ্নমতে,
(ক/৪) + (৩ক/৮) = ৩,৭৫,০০০
⇒ (২ক + ৩ক)/৮ = ৩,৭৫,০০০
⇒ ৫ক/৮ = ৩,৭৫,০০০
⇒ ৫ক = ৩,৭৫,০০০ × ৮
⇒ ক = (৩,৭৫,০০০ × ৮)/৫
⇒ ক = ৬,০০,০০০

∴ মোট সম্পত্তির পরিমাণ ৬,০০,০০০ টাকা।

১০১ থেকে ১১০ পর্যন্ত মৌলিক সংখ্যা ৪টি। সংখ্যাগুলো হচ্ছে - ১০১, ১০৩, ১০৭, ১০৯।

প্রশ্ন: রোমান সংখ্যায় MMDCCL = ?

সমাধান:
রোমান সংখ্যায়, 
M = 1000
D = 500
C = 100
L = 50

∴ সমষ্টি = (2 × 1000) + 500 + (2 × 100) + 50
= 2000 + 500 + 200 + 50
= 2750

এখানে,
৬৩ = ২১ × ৩,
৬৯ = ২৩ × ৩,
৮৭ = ২৯ × ৩,
৯৭ = ৯৭ × ১
∴ ৯৭ মৌলিক সংখ্যা।

০, ১, ২, ৩ এবং ৪ দ্বারা গঠিত,
পাঁচ অংকের বৃহত্তম সংখ্যা = ৪৩২১০
এবং পাঁচ অংকের ক্ষদ্রতম সংখ্যা = ১০২৩৪
∴ বিয়োগফল = ৩২৯৭৬

মনে করি, সংখ্যাটি ক
∴৪ক+২ক=৯০
বা,৬ক=৯০
∴ক=১৫

প্রশ্ন: নিচের কোনটি অমূলদ সংখ্যা?

সমাধান:
• মূলদ সংখ্যা: যে সকল সংখ্যাকে দুইটি অখণ্ড সংখ্যা p ও q এর অনুপাত p/q রূপে প্রকাশ করা যায় সেগুলোকে মূলদ সংখ্যা বলা হয়।
- শূন্য, স্বাভাবিক সংখ্যা, প্রকৃত ভগ্নাংশ, অপ্রকৃত ভগ্নাংশ অর্থাৎ সাধারণ ভগ্নাংশ সবই মূলদ সংখ্যা। যেমন: 3/2, 3/4 1.3333... ইত্যাদি

• অমূলদ সংখ্যা:
- যে সকল সংখ্যাকে p/q আকারে প্রকাশ করা যায় না অর্থাৎ সাধারণ ভগ্নাংশ আকারে লেখা যায় না এবং পূর্ণবর্গ নয় এমন সকল স্বাভাবিক সংখ্যার বর্গমূলকে অমূলদ সংখ্যা বলা হয়। যেমন: √2, √3, π ... ইত্যাদি।

এখানে,
ক) ০.৭৫ = ৭৫/১০০ = ৩/৪ → একটি সসীম দশমিক, তাই এটি মূলদ সংখ্যা।
খ) √২৮৯ = ১৭, একটি পূর্ণসংখ্যা, তাই মূলদ।
গ) ৩/৫ → এটি একটি ভগ্নাংশ যা মূলদ সংখ্যা।
ঘ) √১২ = √(৪ × ৩) = ২√৩; এটি পূর্ণসংখ্যা নয় এবং p/q আকারে প্রকাশ করা যায় না। সুতরাং √১২ একটি অমূলদ সংখ্যা।

∴ √১২ অমূলদ সংখ্যা।

প্রশ্ন: পাঁচটি ঘণ্টা একসাথে বাজা শুরু করে এবং যথাক্রমে ৩, ৬, ৯, ১২ এবং ১৫ সেকেন্ড পর পর বাজে। ৬৬ মিনিটে, তারা একসাথে কতবার বাজবে?

সমাধান:
৩ = ৩
৬ = ২ × ৩
৯ = ৩ × ৩
১২ = ২ × ২ × ৩
১৫ = ৩ × ৫

∴ ৩, ৬, ৯, ১২, ১৫ এর ল.সা.গু = ২ × ২ × ৩ × ৩ × ৫ = ১৮০

তাহলে, ঘণ্টাগুলো প্রতি ১৮০ সেকেন্ড বা ৩ মিনিট পর একসাথে বাজবে।

∴ ৬৬ মিনিটে, তারা একসাথে বাজবে (৬৬/৩) + ১ = ২২ + ১
= ২৩ বার

প্রশ্ন: ১২/৩৫, ১৮/৪২ ও ২৪/৪৯ এর গ.সা.গু নিচের কোনটি?

সমাধান: আমরা জানি,
ভগ্নাংশের গ.সা.গু. = (লব গুলোর গ.সা.গু.)/(হর গুলোর ল.সা.গু.)

এখানে,
লব ১২, ১৮ ও ২৪ এর গ.সা.গু. নির্ণয়:
১২ = ২^২ × ৩
১৮ = ২ × ৩^২
২৪ = ২^৩ × ৩

∴ গ.সা.গু. = ২ × ৩ = ৬

হর ৩৫, ৪২ ও ৪৯ এর ল.সা.গু. নির্ণয়:
৩৫ = ৫ × ৭
৪২ = ২ × ৩ × ৭
৪৯ = ৭^২

∴ ল.সা.গু. = ২ × ৩ × ৫ × ৭^২
= ২ × ৩ × ৫ × ৪৯ = ১৪৭০

∴ ভগ্নাংশের গ.সা.গু. = ৬/১৪৭০
= ১/২৪৫

প্রশ্ন: ১০টি সংখ্যার গড় ৫৮। প্রথম চারটি সংখ্যার গড় ৭২ এবং শেষ পাঁচটি সংখ্যার গড় ৩৮। পঞ্চম সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
১০টি সংখ্যার গড় = ৫৮
∴ ১০টি সংখ্যার সমষ্টি (৫৮ × ১০) = ৫৮০

প্রথম ৪টি সংখ্যার গড় = ৭২
প্রথম ৪টি সংখ্যার সমষ্টি = (৭২ × ৪) = ২৮৮

শেষ ৫টি সংখ্যার গড় = ৩৮
শেষ ৫টি সংখ্যার সমষ্টি = (৫ × ৩৮) = ১৯০

এখন,
১০টি সংখ্যার মোট সমষ্টি = (প্রথম ৪টির সমষ্টি + পঞ্চম সংখ্যা + শেষ ৫টির সমষ্টি)

∴ পঞ্চম সংখ্যা = (মোট সমষ্টি -  প্রথম ৪টির সমষ্টি - শেষ ৫টির সমষ্টি)
= ৫৮০ - ২৮৮ - ১৯০
= ৫৮০ - ৪৭৮
= ১০২

অতএব, পঞ্চম সংখ্যাটি হলো ১০২।

প্রশ্ন: চার অঙ্কের ক্ষুদ্রতম সংখ্যার সাথে কত যোগ করলে যোগফল ৫ ও ৭ দ্বারা নিঃশেষে বিভাজ্য হবে।

সমাধান: 
আমরা জানি, 
৪ অঙ্কের ক্ষুদ্রতম সংখ্যা = ১০০০ 
৫ ও ৭ এর লসাগু = ৩৫

এখন, 
১০০০ কে ৩৫ দিয়ে ভাগ করলে ভাগফল হয় ২৮ এবং ভাগশেষ থাকে ২০

৪ অঙ্কের ক্ষুদ্রতম সংখ্যা ১০০০ এর সাথে ৩৫ - ২০ = ১৫ যোগ করলে তা ৫ ও ৭ দ্বারা নিঃশেষ বিভাজ্য হবে।

যেমন, ১০১৫ ÷ ৫ = ২০৩ বা ১০১৫ ÷ ৭ = ১৪৫ 

প্রশ্ন: একটি তেলের ট্যাংকের ১/৬ অংশ পূর্ণ আছে। ট্যাংকের ৪/৬ অংশ পূর্ণ করতে আরও ৩০ লিটার তেল প্রয়োজন। ট্যাংকের মোট ধারণক্ষমতা কত লিটার?

সমাধান:
৩০ লিটার তেল দ্বারা পূর্ণ হয় ট্যাংকের (৪/৬ - ১/৬) অংশ
= ৩/৬ অংশ

ট্যাংকের ৩/৬ অংশের ধারণক্ষমতা = ৩০ লিটার
∴ সম্পূর্ণ ১ অংশের ধারণক্ষমতা = (৩০ × ৬)/৩ লিটার
= ৬০ লিটার

অতএব, ট্যাংকের মোট ধারণক্ষমতা = ৬০ লিটার।

প্রশ্ন: (৩/৪) এর (২/৫) ÷ (৬/৫) এর সাথে কত যোগ করলে যোগফল ১ হবে?

সমাধান: 
ধরি, সংখ্যাটি = ক

এখন,
৩/৪ এর ২/৫ ÷ ৬/৫
= ৩/১০ ÷ ৬/৫
= ৩/১০ × ৫/৬
= ১/৪

প্রশ্নমতে,
১/৪ + ক = ১
বা, (১ + ৪ক)/৪ = ১
বা, ১ + ৪ক = ৪
বা, ৪ক = ৩
∴ ক = ৩/৪

ধরি, গ.সা.গু = ক
সুতরাং ল.সা.গু = ৩ক
প্রশ্নমতে,
ক × ৩ক = ১০৮
বা, ক = ৬
সুতরাং গ.সা.গু = ৬

প্রশ্ন: এক ব্যক্তি তার আয়ের ১/৩ অংশ খাবারে এবং ১/৬ অংশ যাতায়াতে ব্যয় করার পর তার কাছে আরও ৩০০০ টাকা অবশিষ্ট আছে। তার মোট আয় কত?

সমাধান: 
ধরি মোট আয় = ক টাকা
খাবারে খরচ = ক/৩
এবং যাতায়াতে খরচ = ক/৬

প্রশ্নমতে, 
ক - (ক/৩ + ক/৬) = ৩০০০ 
⇒ (৬ক - ২ক - ক)/৬ = ৩০০০ 
⇒ ৩ক/৬ = ৩০০০
⇒ ক/২ = ৩০০০
⇒ ক = ৩০০০ × ২ 
∴ ক = ৬০০০ টাকা 

সুতরাং, তার মোট আয় ৬০০০ টাকা

প্রশ্ন: √10 এবং 7 এর মধ্যে কয়টি পূর্ণসংখ্যা আছে?

সমাধান: 
পূর্ণসংখ্যা: পূর্ণসংখ্যা হলো এমন সব সংখ্যা যার কোনো ভগ্নাংশ বা দশমিক অংশ নেই। এতে ধনাত্মক সংখ্যা, ঋণাত্মক সংখ্যা এবং শূন্য অন্তর্ভুক্ত থাকে। পূর্ণসংখ্যার সেট অসীম এবং এটিকে সাধারণত 'Z' অক্ষর দিয়ে বোঝানো হয়। 
যেমন, ....- 2, - 1, 0 , 1, 2, ......

আমরা জানি, 
√10 = 3.162

সুতরাং, √10 এবং 7 এর মাঝে থাকা পূর্ণসংখ্যাগুলো হলো, 
4, 5, 6

অর্থাৎ মোট 3টি পূর্ণসংখ্যা আছে।

প্রশ্ন: (২৪ + ৬) ÷ ৫ × ৩ - (২৮ - ৪ × ৩) = কত?

সমাধান:
(২৪ + ৬) ÷ ৫ × ৩ - (২৮ - ৪ × ৩)
= ৩০ ÷ ৫ × ৩ - (২৮ - ১২)
= ৬ × ৩ - ১৬
= ১৮ - ১৬
= ২

√60 + √15 - √135
= √(4 × 15) + √15 - √(9 × 15)
= √15 (√4 + 1 - √9)
= √15 (2 + 1 - 3)
= √15 × 0
= 0

প্রশ্ন:

সমাধান:

প্রশ্ন: কোন সংখ্যার ৮.৫ শতাংশ সমান ৬৮?

সমাধান:
ধরি, সংখ্যাটি = ক

প্রশ্নমতে,
ক এর ৮.৫% = ৬৮
⇒ ক × (৮.৫/১০০) = ৬৮
⇒ ক × (৮৫/১০০০) = ৬৮
⇒ ক = (৬৮ × ১০০০)/৮৫
∴ ক = ৮০০

প্রশ্ন: ৭/৯, ২/৩ এবং ১৪/১৫ এর গ.সা.গু কত?

সমাধান: 
আমরা জানি, 
ভগ্নাংশের গ.সা.গু = (লবগুলোর গ.সা.গু)/(হরগুলোর ল.সা.গু) 

এখন, লবগুলো হলো ২, ৭, ১৪ এর গ.সা.গু = ১ 
হরগুলো ৩, ৯, ১৫ এর ল.সা.গু = ৪৫ 

∴ ভগ্নাংশের গ.সা.গু = (লবগুলোর গ.সা.গু)/(হরগুলোর ল.সা.গু)
= ১/৪৫ 

৪×৫×৬ = ১২০
৪+৫+৬ = ১৫

প্রশ্ন: জাকির ও রুবেলের বেতনের অনুপাত = ৩ : ৪। জাকিরের বেতন ২৫% বৃদ্ধি এবং রুবেলের বেতন ১০% বৃদ্ধি করলে নতুন অনুপাত কত হবে? 

সমাধান:
জাকির : রুবেল = ৩ : ৪
জাকিরের বেতন ২৫% বৃদ্ধি, রুবেলের ১০%
ধরি,
বেতন = ৩x এবং ৪x
তাহলে বৃদ্ধি,
জাকির = 3x × 1.25 = 3.75
রুবেল = 4x × 1.10 = 4.4

নতুন অনুপাত = 3.75 : 4.4 = 375 : 440 = 75 : 88

∴ নতুন অনুপাত = ৭৫ : ৮৮

প্রশ্ন: ৩২০ সংখ্যাটিকে কত দ্বারা গুণ করলে সংখ্যাটি পূর্ণ বর্গ সংখ্যা হবে?

সমাধান:
• কোনো সংখ্যাকে পূর্ণ বর্গ সংখ্যা হতে হলে, তার মৌলিক উৎপাদকগুলোর ঘাত (power) অবশ্যই জোড় সংখ্যা হতে হবে।

৩২০ = ২ × ২ × ২ × ২ × ২ × ২ × ৫
= ২^৬ × ৫^১

এখানে, ২-এর ঘাত হলো ৬, যা একটি জোড় সংখ্যা। কিন্তু ৫-এর ঘাত হলো ১, যা একটি বিজোড় সংখ্যা।

৫-এর ঘাত জোড় করতে হলে আরও একটি ৫ দিয়ে গুণ করতে হবে।
৩২০ × ৫ = ১৬০০ = ৪০^২

সুতরাং, ৫ দ্বারা গুণ করলে সংখ্যাটি পূর্ণবর্গ হবে।

প্রশ্ন: যদি n একটি স্বাভাবিক সংখ্যা হয়, তবে নিচের কোনটি অবশ্যই বিজোড় সংখ্যা হবে?

সমাধান:
যেহেতু n একটি স্বাভাবিক সংখ্যা, সুতরাং 2n অবশ্যই জোড় স্বাভাবিক সংখ্যা হবে। 

∴ 2n + 1 হবে বিজোড় পূর্ণসংখ্যা। 

উদাহরণ:
2 × 3 + 1 = 6 + 1 = 7
2 × 4 + 1 = 8 + 1 = 9

প্রশ্ন: কোন বৃহত্তম সংখ্যা দ্বারা ২৭, ৪০ ও ৬৫ কে ভাগ করলে যথাক্রমে ৩, ৪ ও ৫ ভাগশেষ থাকবে? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে,
একটি বৃহত্তম সংখ্যা দ্বারা ২৭, ৪০ ও ৬৫ কে ভাগ করলে যথাক্রমে ৩, ৪, ৫ ভাগশেষ থাকবে। 
এখানে, 
২৭ - ৩ = ২৪ 
৪০ - ৪ = ৩৬ 
৬৫ - ৫ = ৬০ 

এখন,
২৪, ৩৬ ও ৬০ এর গ.সা.গু ই হবে নির্ণেয় বৃহত্তম সংখ্যা । 
∴ ২৪, ৩৬ ও ৬০ এর গ.সা.গু = ১২

∴ নির্ণেয় বৃহত্তম সংখ্যা = ১২ ।

প্রশ্ন: আটটি সংখ্যার গড় ২০। যদি তাদের মধ্যে থেকে একটি সংখ্যা বাদ দেওয়া হয়, তবে অবশিষ্ট সংখ্যাগুলোর গড় ১৮ হয়। যে সংখ্যাটি বাদ দেওয়া হয়েছিল সেটি কত?

সমাধান:
আটটি সংখ্যার মোট সমষ্টি = ৮ × ২০ = ১৬০ 

আবার, 
একটি সংখ্যা বাদ দেওয়ার পর সাতটি সংখ্যার মোট সমষ্টি = ৭ × ১৮ = ১২৬

∴ বাদ দেওয়া সংখ্যাটি = (আটটি সংখ্যার মোট সমষ্টি) - (সাতটি সংখ্যার মোট সমষ্টি)
= ১৬০ - ১২৬ = ৩৪

∴ যে সংখ্যাটি বাদ দেওয়া হয়েছিল সেটি হলো ৩৪।

প্রদত্ত অপশনগুলোতে √9 একটি মূলদ সংখ্যা।
= √9
= 3