বাস্তব সংখ্যা, গড়, ভগ্নাংশ, ল.সা.গু ও গ.সা.গু

প্রশ্ন: ১ থেকে ১০০ এর মধ্যে কতটি সংখ্যাকে দুইটি বর্গের যোগফল আকারে প্রকাশ করা যায়? 

সমাধান:
১০০ এর চেয়ে ক্ষুদ্র পূর্ণ বর্গ সংখ্যা ১, ৪, ৯, ১৬, ২৫, ৩৬, ৪৯, ৬৪, ৮১ 

একটি সংখ্যা ১ হলে অপরটি ৮ টির (৪, ৯, ১৬, ২৫, ৩৬, ৪৯, ৬৪, ৮১) যেকোন একটি হতে পারে।  
একটি সংখ্যা ৪ হলে অপরটি ৭ (৯, ১৬, ২৫, ৩৬, ৪৯, ৬৪, ৮১ ) টির যেকোন একটি হতে পারে। 
একটি সংখ্যা ৯ হলে অপরটি ৬ (১৬, ২৫, ৩৬, ৪৯, ৬৪, ৮১) টির যেকোন একটি হতে পারে।  
একটি সংখ্যা ১৬ হলে অপরটি ৫ (২৫, ৩৬, ৪৯, ৬৪, ৮১) টির যেকোন একটি হতে পারে। 
একটি সংখ্যা ২৫ হলে অপরটি ৩ টির (৩৬, ৪৯, ৬৪) যেকোন একটি হতে পারে। 
একটি সংখ্যা ৩৬ হলে অপরটি ১ টি (৪৯) হতে পারে। 
আবার, (১ + ১), (৪ + ৪), (৯ + ৯), (১৬ + ১৬), (২৫ + ২৫), (৩৬ + ৩৬), (৪৯+৪৯) এই ৭ টি সংখ্যা ১০০ অপেক্ষা ছোট।  

মোট = ৮ + ৭ + ৬ + ৫ + ৩ + ১ + ৭ = ৩৭ টি

৩টি সংখ্যা ৫০,৬৫,৮৫ দুইবার গণনা করা হয়েছে। 
অতএব, সঠিক উত্তর ৩৭ - ৩ = ৩৪ টি। 

প্রশ্ন: ৪০ থেকে ১০০ পর্যন্ত বৃহত্তম ও ক্ষুদ্রতম মৌলিক সংখ্যার গড় কত? 

সমাধান: 
৪০ থেকে ১০০ এর মধ্যে বৃহত্তম মৌলিক সংখ্যা = ৯৭
আবার, 
৪০ থেকে ১০০ এর মধ্যে ক্ষুদ্রতম মৌলিক সংখ্যা = ৪১
∴ ৪০ থেকে ১০০ পর্যন্ত বৃহত্তম ও ক্ষুদ্রতম মৌলিক সংখ্যার যোগফল = (৯৭ + ৪১)
= ১৩৮

∴ ৪০ থেকে ১০০ পর্যন্ত বৃহত্তম ও ক্ষুদ্রতম মৌলিক সংখ্যার গড় = ১৩৮/২
= ৬৯ ।

প্রশ্ন: ৪/৯, ৬/১৫ ও ৮/২১ এর ল.সা.গু নিচের কোনটি?

সমাধান:
আমরা জানি, ভগ্নাংশের ল.সা.গু. = (লব গুলোর ল.সা.গু.)/(হর গুলোর গ.সা.গু.)

এখানে, লব ৪, ৬ ও ৮ এর ল.সা.গু. = ২৪
এবং হর ৯, ১৫ ও ২১ এর গ.সা.গু. = ৩

∴ ল.সা.গু. = ২৪/৩ = ৮

প্রশ্ন: দুইটি সংখ্যার অনুপাত ৫ : ৬ এবং গ.সা.গু ৮ হলে, সংখ্যা দুইটির ল.সা.গু কত? 

সমাধান: 
আমরা জানি, 
সংখ্যা দুইটির ল.সা.গু = সংখ্যা দুইটির অনুপাতের গুণফল × গ.সা.গু 
= (৫ × ৬) × ৮ 
= ৩০ × ৮ 
= ২৪০ 

∴ নির্ণেয় ল.সা.গু = ২৪০ ।

ধরি, সংখ্যা দুইটি ৪x ও ৯x।
প্রশ্নমতে,
(৪x+২) : (৯x+২) = ১:২
বা, (৪x+২)/(৯x+২) = ১/২
বা, ৮x + ৪ = ৯x + ২
∴ x = ২
সুতরাং সংখ্যা দুইটি (৪×২) = ৮ এবং (৯×২) = ১৮।

প্রশ্ন: কোনটি মূলদ সংখ্যা?

সমাধান:
• মূলদ সংখ্যা: p/q আকারে প্রকাশযোগ্য সংখ্যা যা p ও q পূর্ণসংখ্যা এবং q ≠ 0। উদাহরণ: √25 = 5, 5/1 = 5, 5/6, 1/2 ইত্যাদি।

• অমূলদ সংখ্যা: এমন সংখ্যা যা p/q আকারে প্রকাশ করা যায় না (p ও q পূর্ণসংখ্যা ও q ≠ 0)। উদাহরণ: √2 ≈ 1.414213......,  √3 ≈ 1.732...... ইত্যাদি।

এখানে,
ক) e = 2.71828...
এটি একটি অমূলদ ধ্রুবক।
∴ অমূলদ সংখ্যা।

খ) π = 3.14159...
এটি একটি অমূলদ ধ্রুবক।
∴ অমূলদ সংখ্যা।

গ) 1/√5
√5 অমূলদ, ফলে 1/√5 ও অমূলদ।
∴ অমূলদ সংখ্যা।

ঘ) √3/√108 = √3/√(36 × 3)
= √3/(6√3) = 1/6
এটি p/q আকারে আছে, যেখানে p = 1, q = 6।
∴ এটি মূলদ সংখ্যা।

উত্তর: ঘ) √3/√108

ধরি,
একটি সংখ্যা = x
এবং অপর সংখ্যাটি = y
১ম শর্তমতে,
x + y = 65 ------- (i)
২য় শর্তমতে,
x - y = 5 -------- (ii)
(i) + (ii) ⇒
2x = 70
∴ x = 35
x এর মান (i) নং এ বসিয়ে -
y = 30

ধরি,
m = 5
n = 3
∴ m²n² = 25 × 9 = 225

প্রশ্ন: পাঁচটি সংখ্যার গড় ৪৬। সংখ্যাগুলোর প্রথম চারটি সংখ্যার গড় ৪৫। পঞ্চম সংখ্যাটি কত?

সমাধান: 
পাঁচটি সংখ্যার গড় = ৪৬
পাঁচটি সংখ্যার সমষ্টি = (৫ × ৪৬) = ২৩০

চারটি সংখ্যার গড় = ৪৫
চারটি সংখ্যার সমষ্টি = (৪ × ৪৫) = ১৮০।
পঞ্চম সংখ্যাটি = ২৩০ - ১৮০ = ৫০

প্রশ্ন: P সংখ্যক সংখ্যার গড় A এবং Q সংখ্যক সংখ্যার গড় B হলে, সবগুলো সংখ্যার গড় কত? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
P সংখ্যক সংখ্যার গড় = A 
∴ P সংখ্যক সংখ্যার সমষ্টি = PA

আবার, 
Q সংখ্যক সংখ্যার গড় = B 
∴ Q সংখ্যক সংখ্যার সমষ্টি = QB

মোট সংখ্যা = P + Q 
∴ তাদের সমষ্টি = PA + QB
∴ তাদের গড় = (PA + QB)/(P + Q)।

প্রশ্ন: এক ক্লাসে ১০ জন শিক্ষার্থীর গড় বয়স ১৫ বছর। যদি আরও ৫ জন শিক্ষার্থী যোগ করা হয় এবং নতুন গড় হয় ১৬ বছর, নতুন যোগকৃত ৫ জনের গড় বয়স কত?

 সমাধান:
প্রথমে,
১০ জনের মোট বয়স = ১০ × ১৫ = ১৫০ বছর

আবার,
৫ জন শিক্ষার্থী যোগ করা হয় নতুন শিক্ষার্থী = ১০ + ৫ = ১৫ জন 
∴ ১৫ জনের মোট বয়স = ১৫ × ১৬ = ২৪০ বছর

∴ নতুন ৫ জনের মোট বয়স = ২৪০ - ১৫০ = ৯০ বছর

∴ নতুন ৫ জনের গড় বয়স = ৯০/৫ = ১৮ বছর

প্রশ্ন: দুটি সংখ্যার গ.সা.গু. ১২ এবং ল.সা.গু. ১৮০। একটি সংখ্যা ৬০ হলে, অপর সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
ধরি,
অপর সংখ্যা = ক

আমরা জানি,
দুটি সংখ্যার গুণফল = গ.সা.গু. × ল.সা.গু.
প্রথম সংখ্যা × অপর সংখ্যা = গ.সা.গু. × ল.সা.গু.
⇒ ৬০ × ক = ১২ × ১৮০
⇒ ৬০ × ক = ২১৬০
⇒ ক = ২১৬০/৬০
∴ ক = ৩৬

অতএব, অপর সংখ্যাটি হলো ৩৬

প্রশ্ন: দুটি সংখ্যার ল.সা.গু তাদের গ.সা.গু এর ১৬ গুণ। সংখ্যাদ্বয়ের গুণফল ১০২৪ হলে ল.সা.গু কত?

সমাধান: 
ধরি,
দুটি সংখ্যার গ.সা.গু = x
দুটি সংখ্যার ল.সা.গু  = ১৬x 

আমরা জানি, 
দুটি সংখ্যার ল.সা.গু ও গ.সা.গুর গুণফল = দুটি সংখ্যার গুণফল 
∴ ১৬x × x = ১০২৪ 
⇒  ১৬x^২ = ১০২৪ 
⇒ x^২ = ১০২৪/১৬
⇒  x^২ = ৬৪  
⇒ x^২ = ৮^২  
∴ x = ৮

∴ ল.সা.গু = ১৬ × ৮ 
= ১২৮ ।

প্রশ্ন: পাঁচটি ঘণ্টা একত্রে বেজে যথাক্রমে ৩, ৫, ৭, ৮ ও ১০ সেকেন্ড অন্তর অন্তর বাজতে লাগল। কতক্ষণ পরে ঘণ্টাগুলো পুনরায় একত্রে বাজবে?

সমাধান:
৩, ৫, ৭, ৮ ও ১০ এর ল.সা.গু = ৮৪০
এখন,
৮৪০/৬০ = ১৪ মিনিট

∴ ১৪ মিনিট পরে ঘণ্টাগুলো পুনরায় একত্রে বাজবে।

ভগ্নাংশগুলো = ২(২/৫), ৩/৫, ৬/১৫
= ১২/৫, ৩/৫, ৬/১৫

∴ গ.সা.গু. = লবগুলোর গ.সা.গু/হরগুলোর ল.সা.গু
= ৩/১৫
= ১/৫

৪/৭ = ০.৫৭
৫/৮ = ০.৬৩
৭/১১ = ০.৬৪
২/৩ = ০.৬৭
সুতরাং, ২/৩ হচ্ছে বৃহত্তম ভগ্নাংশ।

প্রশ্ন: দুইটি সংখ্যার ল.সা.গু ১৮০ এবং সংখ্যাদ্বয়ের অনুপাত ৪ : ৫ হলে সংখ্যাদ্বয়ের সমষ্টি কত?

সমাধান:
মনে করি, সংখ্যা দুইটি ৪ক ও ৫ক
∴ সংখ্যা দুইটির ল.সা.গু = ২০ক

প্রশ্নমতে,
২০ক = ১৮০
বা, ক = ১৮০/২০
∴ ক = ৯

∴ সংখ্যাদ্বয়ের সমষ্টি = ৪ক + ৫ক = ৯ক
= ৯ × ৯ = ৮১

সংখ্যা দু'টি = x,y
∴ x² + y² = 5 এবং x² - y² = 3
∴ 4x²y² = (x²+y²)² - (x²-y²)² = 5² - 3² = 16
বা, x²y² = 4
∴ xy = 2

- ২ এবং ৪২ এর মধ্যে মৌলিক সংখ্যা ১২টি।
- সংখ্যাগুলো হলো: ৩, ৫, ৭, ১১, ১৩, ১৭, ১৯, ২৩, ২৯, ৩১, ৩৭, ৪১।
- কিন্তু যদি বলা হতো ২ থেকে ৪২ পর্যন্ত মৌলিক সংখ্যা তাহলে ২ অন্তর্ভূক্ত হতো এবং সংখ্যা হতো ১৩টি।

প্রশ্ন: ০.৯৬০৪ এর বর্গমূল নির্ণয় করুন।

সমাধান:
√০.৯৬০৪
= √(৯৬০৪/১০০০০)
= √(৯৮^২/১০০^২)
= ৯৮/১০০
= ০.৯৮

প্রশ্ন: একটি সংখ্যা ৮৪২ থেকে যত ছোট, ৬১২ থেকে তত বড়। সংখ্যাটি কত?

Solution:
ধরি, সংখ্যাটি = ক

প্রশ্নমতে,
৮৪২ - ক = ক - ৬১২
⇒ ৮৪২ + ৬১২ = ক + ক
⇒ ১৪৫৪ = ২ক
⇒ ক = ১৪৫৪/২
∴ ক = ৭২৭

বিকল্প পদ্ধতি:
সংখ্যাটি হলো প্রদত্ত সংখ্যা দুটির গড় বা মধ্যবর্তী মান।
সংখ্যাটি = (৮৪২ + ৬১২)/২
= ১৪৫৪/২
= ৭২৭

∴ সংখ্যাটি হলো ৭২৭

প্রশ্ন: নিচের কোন সংখ্যাটি সবচেয়ে বড়? 

সমাধান: 
ক) √০.৩ = ০.৫৪৭৭

খ) ০.৩ = ০.৩

গ) ০.২ = ০.২

ঘ) √০.২ = ০.৪৪৭২

 সবচেয়ে বড় সংখ্যাটি = √০.৩

প্রশ্ন: যদি m একটি বিজোড় সংখ্যা হয়, তবে নিচের কোনটি বিজোড়?

সমাধান:
ধরি, m = 1 (একটি বিজোড় সংখ্যা)

ক) 2m = 2 × 1 = 2 (জোড় সংখ্যা)
খ) m² + 1 = (1)² + 1 = 1 + 1 = 2 (জোড় সংখ্যা)
গ) 3m = 3 × 1 = 3 (বিজোড় সংখ্যা)
ঘ) 3m + 1 = (3 × 1) + 1 = 3 + 1 = 4 (জোড় সংখ্যা)

যেহেতু 3m এর মান বিজোড় এসেছে,
∴ 3m হলো বিজোড় সংখ্যা।

• ৪৩ থেকে ৬০ পর্যন্ত মৌলিক সংখ্যা ৪টি।
• ৪৩, ৪৭, ৫৩, ৫৯ মৌলিক সংখ্যা।

প্রশ্ন: ১২০ সংখ্যাটির মোট ভাজক সংখ্যা কত?

সমাধান:
প্রথমে সংখ্যাটির মৌলিক উৎপাদকগুলো বের করতে হবে।
১২০  = ২ × ২ × ২ × ৩ × ৫
= ২^৩ × ৩^১ × ৫^১

আমরা জানি, 
কোনো সংখ্যার মোট ভাজক সংখ্যা বের করতে হলে এর মৌলিক উৎপাদকগুলোর সূচকের সাথে ১ যোগ করে গুণ করতে হয়।

∴ ১২০-এর মোট ভাজক সংখ্যা = (৩ + ১) × (১ + ১) × (১ + ১)
= ৪ × ২ × ২
= ১৬

প্রশ্ন: দুটি সংখ্যার ল.সা.গু ৬০ এবং গ.সা.গু ১০। একটি সংখ্যা ৩০ হলে, অপর সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে, 
ল.সা.গু = ৬০
গ.সা.গু = ১০
এবং একটি সংখ্যা ৩০

আমরা জানি,
দুটি সংখ্যার গুণফল = ল.সা.গু × গ.সা.গু
∴ অপর সংখ্যা = (৬০ × ১০)/৩০
= ৬০০/৩০
= ২০

সুতরাং, অপর সংখ্যাটি ২০

প্রশ্ন: তিনটি ধারাবাহিক বিজোড় সংখ্যার যোগফল ১৭৭। মধ্যম সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
তিনটি ধারাবাহিক বিজোড় সংখ্যা ধরি
ক - ২, ক , ক + ২

এগুলোর যোগফল
⇒ (ক - ২) + ক + (ক + ২) = ১৭৭
⇒ ৩ক = ১৭৭
⇒  ক = ১৭৭/৩
∴ ক = ৫৯

∴ মধ্যম সংখ্যা = ৫৯

প্রশ্ন: ১৫, ২৫ এবং ৪০ এর গ.সা.গু কত? 

সমাধান: 
১৫ = ৩ × ৫
২৫ = ৫ × ৫
৪০ = ২ × ২ × ২ × ৫ 
তিনটি সংখ্যার মধ্যে শুধু ৫-ই একটি মাত্র সাধারণ গুণনীয়ক 

∴ নির্ণেয় গ.সা.গু = ৫ । 

প্রশ্ন: একটি সংখ্যাকে তিনগুণ করে তার থেকে 15 বিয়োগ করা হলো। উক্ত ফলাফলকে 4 দ্বারা ভাগ করলে 9 পাওয়া যায়। সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
ধরি, সংখ্যাটি = x

প্রশ্নানুসারে, 
(3x - 15)/4 = 9
⇒ 3x - 15 = 9 × 4
⇒ 3x - 15 = 36
⇒ 3x = 36 + 15
⇒ 3x = 51
⇒ x = 51/3
∴ x = 17

সুতরাং, সংখ্যাটি 17.

(3x/8)+(2x×(2/5)) = x+21
Or, (15x+32x)/40 = x+21
Or, 47x-40x = 840
Or, 7x = 840
Or, x = 120
সংখ্যাটির তিন-পঞ্চমাংশ= (3/5)×120 = 72

প্রশ্ন: ৩/৫ এর লব এবং হরের সাথে কোন একই সংখ্যা যোগ করলে ভগ্নাংশটির মান ৪/৫ হয়? 

সমাধান: 
ধরি,
সংখ্যাটি = x 

প্রশ্নমতে, 
(৩ + x)/(৫ + x) = ৪/৫
বা, ১৫ + ৫x = ২০ + ৪x 
বা, ৫x - ৪x = ২০ - ১৫ 
∴ x = ৫

∴ সংখ্যাটি = ৫ ।