বাস্তব সংখ্যা, গড়, ভগ্নাংশ, ল.সা.গু ও গ.সা.গু

প্রশ্ন: ২/৩ এর লব এবং হরের সাথে কোন একই সংখ্যা যোগ করলে ভগ্নাংশটির মান ৩/৪ হয়? 

সমাধান: 
ধরি,
সংখ্যাটি = x 

প্রশ্নমতে, 
(২ + x)/(৩ + x) = ৩/৪
বা, ৮ + ৪x = ৯ + ৩x 
বা, ৪x - ৩x = ৯ - ৮
∴ x = ১

∴ সংখ্যাটি = ১ । 

প্রশ্ন: নিচের কোন ভগ্নাংশটি ২/৩ থেকে ছোট?

সমাধান:
৩/৫ = ০.৬০
৩/৪ = ০.৭৫
৫/৬ = ০.৮৩
৭/৮ = ০.৮৭৫

এখানে,
২/৩ = ০.৬৭
সুতরাং, ৩/৫ এর মান ২/৩ এর মানের চেয়ে ছোট।

প্রশ্ন: দুইটি সংখ্যার ল.সা.গু. ৩৬ এবং গ.সা.গু. ০৬। একটি সংখ্যা ১২ হলে অপরটি কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
দুইটি সংখ্যার ল.সা.গু. = ৩৬
ও গ.সা.গু = ৬

আমরা জানি,
একটি সংখ্যা × অপর সংখ্যা = ল.সা.গু × গ.সা.গু
⇒ ১২ × অপর সংখ্যা = ৩৬ × ৬
⇒ অপর সংখ্যা = (৩৬ × ৬)/১২
∴ অপর সংখ্যা = ১৮

আমরা জানি,
দুইটি সংখ্যার গুণফল = সংখ্যা দুইটির ল.সা.গু × গ.সা.গু
বা, ৩৩৮০ = ল.সা.গু × ১৩
বা, ল.সা.গু = ৩৩৮০/১৩
বা, ল.সা.গু = ৩৩৮০/১৩
বা, ল.সা.গু = ২৬০

প্রশ্ন: কোন শ্রেণীর ২৪ জন ছাত্রের বয়সের গড় ১৪ বছর। যদি একজন শ্রেণী শিক্ষকের বয়স তাদের বয়সের সাথে যোগ করা হয় তবে বয়সের গড় এক বছর বৃদ্ধি পায়। শিক্ষকের বয়স কত?

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
২৪ জন ছাত্রের বয়সের গড় ১৪ বছর
∴ ২৪ জন ছাত্রের বয়সের সমষ্টি = ১৪ × ২৪ = ৩৩৬ বছর।

আবার, 
যদি একজন শ্রেণী শিক্ষকের বয়স তাদের বয়সের সাথে যোগ করা হয় তবে বয়সের গড় হয় = ১৪ + ১ = ১৫ বছর।
যদি একজন শ্রেণী শিক্ষকের বয়স তাদের বয়সের সাথে যোগ করা হয় তবে তাদের বয়সের সমষ্টি হয় = ১৫ × ২৫ = ৩৭৫ বছর

∴ শিক্ষকের বয়স = ৩৭৫ - ৩৩৬ = ৩৯ বছর

১ম রাশি,
x² - 11x + 30
= x² - 6x - 5x + 30
= x(x - 6) - 5(x - 6)
= (x - 6)(x - 5)
২য় রাশি,
x³ - 4x² -2x - 15
=x³ - 5x² + x² - 5x + 3x - 15
= x²(x - 5) + x(x - 5) + 3(x - 5)
= (x - 5)(x² + x + 3)
∴ নির্ণেয় গ.সা.গু. = (x - 5)

- ৩০ থেকে ৫০ পর্যন্ত মৌলিক সংখ্যা ৫টি।
যথা: ৩১, ৩৭, ৪১, ৪৩, ৪৭।
- মৌলিক সংখ্যা গুলোর যোগফল = ৩১ + ৩৭ + ৪১ + ৪৩ + ৪৭ = ১৯৯

প্রশ্ন: একটি প্রকৃত ভগ্নাংশের লব ও হরের অন্তর ২। লব থেকে ৩ বিয়োগ ও হরের সাথে ৩ যোগ করলে যে ভগ্নাংশ পাওয়া যাবে তা ১/৩ এর সমান।

সমাধান:
মনে করি, প্রকৃত ভগ্নাংশটির লব = x এবং হর = x + ২

প্রশ্নমতে,
(x - ৩)/(x + ২ + ৩) = ১/৩
⇒ (x - ৩)/(x + ৫) = ১/৩
⇒ ৩(x - ৩) = x + ৫
⇒ ৩x - ৯ = x + ৫
⇒ ৩x - x = ৫ + ৯
⇒ ২x = ১৪
⇒ x = ৭

∴ ভগ্নাংশটির লব = ৭ এবং হর = (৭ + ২) = ৯

অতএব, ভগ্নাংশটি = ৭/৯

প্রশ্ন: তিন অঙ্কের ক্ষুদ্রতম সংখ্যা হতে কোন লঘিষ্ঠ সংখ্যা বিয়োগ করলে বিয়োগফল ৫, ১০ ও ১৫ দ্বারা বিভাজ্য হবে?

সমাধান:
আমরা জানি, 
তিন অঙ্কের ক্ষুদ্রতম সংখ্যা = ১০০
এবং, 
৫, ১০ ও ১৫ ল.সা.গু = ৩০

এখন,
১০০ ÷ ৩০ ⇒ 
ভাগফল = ৩
ভাগশেষ = ১০

∴ নির্ণেয় লঘিষ্ঠ সংখ্যা = ১০

প্রশ্ন: ১৫ এর ০.২ ÷ ০.৩ = কত?

সমাধান:
১৫ এর ০.২ ÷ ০.৩
= ১৫ এর (২/১০) ÷ ৩/১০
= ৩ ÷ ৩/১০
= ৩ × (১০/৩)
= ১০

এখানে, ১৩^২ + ৯^২
= ১৬৯ + ৮১
= ২৫০ (১ম শর্ত)
আবার,
১৩ × ৯ = ১১৭

∴ সঠিক উত্তর - ঘ) ১৩ ও ৯।

প্রশ্ন: একটি সংখ্যা ১১৫ থেকে যত বড়, ২০৫ থেকে তত ছোট। সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
মনে করি, সংখ্যাটি ক।

প্রশ্নমতে,
ক - ১১৫ = ২০৫ - ক
বা, ক + ক = ২০৫ + ১১৫
বা, ২ক = ৩২০
বা, ক = ৩২০ / ২
∴ ক = ১৬০

অতএব, সংখ্যাটি হলো ১৬০।

২, ৩, ৪, ৫, ৬এর ল.সা.গু = ৬০

তাহলে, (৯৯৯৯৯৯ ÷ ৬০) = ভাগফল ১৬৬৬৬ এবং ভাগশেষ ৩৯

সুতারাং, নির্ণেয় ক্ষুদ্রতম সংখ্যা = (৬০ - ৩৯) = ২১

প্রশ্ন: তিনটি ঘণ্টা যথাক্রমে ২০ মিনিট, ৩০ মিনিট ও ৪০ মিনিট অন্তর বাজে। দুপুর ১২:০০ টায় তিনটি ঘণ্টা একবার একত্রে বাজলে আবার কখন তারা একত্রে বাজবে?

সমাধান:
২০, ৩০ ও ৪০ এর ল.সা.গু হলো ঘণ্টাগুলোর পরবর্তী একত্রে বাজার সময়।
২০ = ২ × ২ × ৫
৩০ = ২ × ৩ × ৫
৪০ = ২ × ২ × ২ × ৫

∴ ২০, ৩০ ও ৪০ এর ল.সা.গু = ২ × ২ × ২ × ৩ × ৫
= ১২০

অর্থাৎ, ঘণ্টাগুলো ১২০ মিনিট পর আবার একত্রে বাজবে।
এখন, ১২০ মিনিট = ২ ঘণ্টা [ ১ ঘণ্টা = ৬০ মিনিট]

∴ ঘণ্টাগুলো পুনরায় একত্রে বাজবে = (১২ : ০০ + ২ ঘণ্টা)
= ০২ : ০০ টায়।

২, ৩, ৪, ৫ এবং ৬ এর ল.সা.গু. = ৬০
৯৯৯৯ কে ৬০ দ্বারা ভাগ করলে ভাগফল হয় ১৬৬ এবং ভাগশেষ হয় ৩৯।
ভাজক ও ভাগশেষের পার্থক্যই হবে নির্ণেয় ক্ষুদ্রতম সংখ্যা।
∴ নির্ণেয় ক্ষুদ্রতম সংখ্যা (৬০-৩৯) = ২১

প্রশ্ন:

সমাধান: 

প্রশ্ন: দুইটি সংখ্যার ল.সা.গু ও গ.সা.গু যথাক্রমে ২০০ এবং ৫। একটি সংখ্যা ৪০ হলে অপর সংখ্যাটি কত?

সমাধান: 
অপর সংখ্যাটি = (ল.সা.গু × গ.সা.গু)/একটি সংখ্যা
= (২০০ × ৫)/৪০
= ২৫

∴ অপর সংখ্যাটি = ২৫

প্রশ্ন: (.০০৯/?) = .০১ হলে, প্রশ্নবোধক চিহ্নের স্থানে কত বসবে?

সমাধান:
মনে করি,
(.০০৯/P) = .০১
⇒ P = ০.০০৯/০.০১
= P = ০.৯

3x + 3y + 3z = 90
⇒ 3(x + y + z) = 90
⇒ (x + y + z) = 30

∴ x, y, z এর গড় = 30/3 = 10

প্রশ্ন: কোন বৃহত্তম সংখ্যা দ্বারা ৫৭, ৯৩, ১৮৩ কে ভাগ করলে ভাগশেষ থাকবে না। 

সমাধান: 
নির্ণেয় বৃহত্তম সংখ্যা হবে ৫৭, ৯৩ ও ১৮৩ এর গ.সা.গু।
৫৭ = ৩ × ১৯
৯৩ = ৩ × ৩১
১৮৩ = ৩ × ৬১

∴ ৫৭, ৯৩ ও ১৮৩ এর গসাগু ৩।

সুতরাং নির্ণেয় বৃহত্তম সংখ্যা ৩।

Option 1: The range of values that x takes is infinite.
Option 2: An infinite range of values.
Option 3: An infinite range of values.
Option 4: Finite range of values for 'x'.

Factorizing x² - 4x + 3 < 0 we get, (x - 3)(x - 1) < 0.
This inequality will hold good when one of the terms (x - 3) or (x - 1) is positive and the other is negative.

Possibility 1: (x -3) is positive and (x - 1) is negative.
i.e., x - 3 > 0 AND x -1 < 0
i.e., x > 3 AND x < 1
Such a number DOES NOT exist. It is an infeasible solution.

Possibility 2: (x - 3) is negative and (x - 1) is positive.
i.e., x - 3 < 0 AND x - 1 > 0
i.e., x < 3 AND x > 1
Essentially translates to 1 < x < 3

প্রশ্ন: কোন লঘিষ্ঠ সংখ্যাকে ৯, ১৩ ও ১৭ দ্বারা ভাগ করলে যথাক্রমে ৫, ৯ ও ১৩ অবশিষ্ট থাকবে?

সমাধান:
এখানে,
৯ - ৫ = ৪
১৩ - ৯ = ৪
১৭ - ১৩ = ৪

∴ নির্ণেয় সংখ্যাটি হবে ৯, ১৩ ও ১৭ এর ল.সা.গু অপেক্ষা ৪ কম।

৯ = ৩ × ৩
১৩ = ১ × ১৩
১৭ = ১ × ১৭

এখন, ৯, ১৩ ও ১৭ এর ল.সা.গু = ৩ × ৩ × ১৩ × ১৭ = ১৯৮৯

∴ নির্ণেয় সংখ্যাটি হবে = ১৯৮৯ - ৪ = ১৯৮৫

প্রশ্ন: ০.০১ এর বর্গমূল কত?

সমাধান:
০.০১ = ১/১০০

∴ ০.০১ এর বর্গমূল = √(১/১০০)
= ১/১০ = ০.১০ 

প্রশ্ন: নিচের কোনটি মূলদ সংখ্যা?

সমাধান:
এখানে,
√7/√63
= √(7/63)
= √(1/9)
= 1/3

∴ 1/3 = √7/√63  মূলদ সংখ্যা। 

মানের ক্রম: ০.৬ > ০.৫০. > ০.০৬ > ০.০০৬

প্রশ্ন: নিচের কোনটি প্রকৃত ভগ্নাংশ?

সমাধান:
প্রকৃত ভগ্নাংশে লব হরের চেয়ে ছোট হয়।

এখানে,
৩/৮ ভগ্নাংশে লব (৩) হর (৮)-এর চেয়ে ছোট, তাই এটি প্রকৃত ভগ্নাংশ।

অন্যদিকে,
৯/৭, ১১/৯, ৭/৫ ভগ্নাংশগুলোর লব হরের চেয়ে বড়, তাই এগুলো অপ্রকৃত ভগ্নাংশ।