৫,০০১.
কোনটি ভগ্নাংশটি ক্ষুদ্রতম?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: কোনটি ভগ্নাংশটি ক্ষুদ্রতম?
সমাধান:
২/১১ = ০.১৮
৪/১৫ = ০.২৭
৩/১১ = ০.২৭
২/১৩ = ০.১৫
∴ ক্ষুদ্রতম ভগ্নাংশটি = ২/১৩
সমাধান:
২/১১ = ০.১৮
৪/১৫ = ০.২৭
৩/১১ = ০.২৭
২/১৩ = ০.১৫
∴ ক্ষুদ্রতম ভগ্নাংশটি = ২/১৩
PrepBank · বিষয়ভিত্তিক প্রশ্ন
বাস্তব সংখ্যা, গড়, ভগ্নাংশ, ল.সা.গু ও গ.সা.গু
বাস্তব সংখ্যা, গড়, ভগ্নাংশ, ল.সা.গু ও গ.সা.গু
PrepBank · পাতা ৫১ / ৬৪ · ৫,০০১–৫,১০০ / ৬,৪০৪
৫,০০২.
নিচের কোনটি মূলদ সংখ্যা?
ব্যাখ্যা
মূলদ সংখ্যা:
- শূণ্য, সব স্বাভাবিক সংখ্যা ও ভগ্নাংশ মূলদ সংখ্যা।
- সব পূর্ণসংখ্যা মূলদ সংখ্যা।
- সব পূর্ণবর্গ সংখ্যার বর্গমূল মূলদ সংখ্যা। যেমন: √16, √36.
- সব পূর্ণ ঘন সংখ্যার ঘনমূল মূলদ সংখ্যা।
- দশমিকের পরের অঙ্কগুলো যদি সসীম আকারে থাকে তাহলে সংখ্যাটি মূলদ সংখ্যা। যেমন: 5.66, 7.75.
এখানে,
3√27 = 3 পূর্ণ সংখ্যা তাই এটি মূলদ সংখ্যা।
- শূণ্য, সব স্বাভাবিক সংখ্যা ও ভগ্নাংশ মূলদ সংখ্যা।
- সব পূর্ণসংখ্যা মূলদ সংখ্যা।
- সব পূর্ণবর্গ সংখ্যার বর্গমূল মূলদ সংখ্যা। যেমন: √16, √36.
- সব পূর্ণ ঘন সংখ্যার ঘনমূল মূলদ সংখ্যা।
- দশমিকের পরের অঙ্কগুলো যদি সসীম আকারে থাকে তাহলে সংখ্যাটি মূলদ সংখ্যা। যেমন: 5.66, 7.75.
এখানে,
3√27 = 3 পূর্ণ সংখ্যা তাই এটি মূলদ সংখ্যা।
৫,০০৩.
x, y ও z এর গড় 5 হলে x, y, z ও 9 এর গড় কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: x, y ও z এর গড় 5 হলে x, y, z ও 9 এর গড় কত?
সমাধান:
x, y ও z এর গড় 5
x, y ও z এর সমষ্টি = 5 × 3 = 15
x, y, z ও 9 এর সমষ্টি = 15 + 9 = 24
x, y, z ও 9 এর গড় = 24/4 = 6
সমাধান:
x, y ও z এর গড় 5
x, y ও z এর সমষ্টি = 5 × 3 = 15
x, y, z ও 9 এর সমষ্টি = 15 + 9 = 24
x, y, z ও 9 এর গড় = 24/4 = 6
৫,০০৪.
কোন সংখ্যার বর্গমূলের সাথে ১৮ যোগ করলে যোগফল ৫ এর বর্গ হবে?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: কোন সংখ্যার বর্গমূলের সাথে ১৮ যোগ করলে যোগফল ৫ এর বর্গ হবে?
সমাধান:
ধরি,
সংখ্যাটি = ক
শর্তমতে,
√ক + ১৮ = (৫)২
⇒ √ক + ১৮ = ২৫
⇒ √ক = ২৫ - ১৮
⇒ √ক = ৭
⇒ (√ক)২ = ৭২
∴ ক = ৪৯
∴ নির্ণেয় সংখ্যা ৪৯
সমাধান:
ধরি,
সংখ্যাটি = ক
শর্তমতে,
√ক + ১৮ = (৫)২
⇒ √ক + ১৮ = ২৫
⇒ √ক = ২৫ - ১৮
⇒ √ক = ৭
⇒ (√ক)২ = ৭২
∴ ক = ৪৯
∴ নির্ণেয় সংখ্যা ৪৯
৫,০০৫.
(.2 × .02 × .002)/(.3 × .03 × .003)- এর মান কত?
ব্যাখ্যা
(.2×.02×.002)/(.3×.03×.003)
= (2×2×2)/(3×3×3)
= 8/27
= (2×2×2)/(3×3×3)
= 8/27
৫,০০৬.
কোনটি অধিবর্ষ?
ব্যাখ্যা
২০২০ সাল অধিবর্ষ বা লিপ ইয়ার নয়। তাই, ২০২০ সালের ফেব্রুয়ারি মাস হবে ২৯ দিন।
অধিবর্ষ বের করার নিয়মঃ
শর্ত-১ঃ সালটি যদি ৪ দিয়ে নিঃশেষে বিভাজ্য হয় এবং ১০০ দিয়ে না হয় তাহলে অধিবর্ষ। যেমন, ২০১৬, ২০২০ এবং ২০২৪ ।
অথবা, শর্ত-২ঃ সালটি যদি ৪, ১০০ এবং ৪০০ সবগুলো দিয়েই নিঃশেষে বিভাজ্য হয় তাহলে অধিবর্ষ। যেমন, ১৬০০, ২০০০ এবং ২৪০০।
শর্ত-২ মানতে না পারায় কিছু সাল অধিবর্ষ নয়। যেমন- ১৭০০, ১৮০০, ১৯০০, ২১০০, ২২০০, ২৩০০ ইত্যাদি।
আমরা ছোটবেলা থেকেই জানি, শুধু ৪ দিয়ে নিঃশেষে বিভাজ্য হলেই কোন সাল অধিবর্ষ হয়। আসলে শুধু ৪ নয়, অধিবর্ষের সাথে ১০০ এবং ৪০০ সংখ্যাগুলোও জড়িত।
এখন আমরা এর “Behind the scene” জানবোঃ
আমরা সবাই জানি ৩৬৫ দিনে এক বছর ধরা হলেও, আরো ৫ ঘণ্টা ৪৯ মিনিট ১২ সেকেন্ড অবশিষ্ট থেকে যায়। এই অতিরিক্ত সময় যোগ হয়ে হয়ে ৪ বছর পর পর ফেব্রুয়ারি মাসের সাথে এক দিন যোগ হয়ে ২৯ দিন হয়।
এই ৩৬৫ দিন ৫ ঘণ্টা ৪৯ মিনিট ১২ সেকেন্ডকে যদি দশমিকে প্রকাশ করি তা হয় ৩৬৫.২৪২৫ দিন।
অর্থাৎ, ৩৬৫.২৪২৫ = ৩৬৫ + (১/৪) – (১/১০০) + (১/৪০০) ।
তাই দেখা গেছে যে, চার বছর পর পর লিপ-ইয়ার ধরলে প্রতি চারশ বছরে ৩ দিন (প্রায় ৭২ ঘন্টা) সময় বেশি ধরা হয়ে যায়। এই সমস্যার সমাধানের জন্য যেসব বছর ১০০ দ্বারা বিভাজ্য, কিন্তু ৪০০ দ্বারা নয় তাদের লিপ-ইয়ার বা অধিবর্ষের তালিকা থেকে বাদ দেয়া হয়।
উৎসঃ নাসা, মাইক্রোসফট, ব্রিটানিকা।
অধিবর্ষ বের করার নিয়মঃ
শর্ত-১ঃ সালটি যদি ৪ দিয়ে নিঃশেষে বিভাজ্য হয় এবং ১০০ দিয়ে না হয় তাহলে অধিবর্ষ। যেমন, ২০১৬, ২০২০ এবং ২০২৪ ।
অথবা, শর্ত-২ঃ সালটি যদি ৪, ১০০ এবং ৪০০ সবগুলো দিয়েই নিঃশেষে বিভাজ্য হয় তাহলে অধিবর্ষ। যেমন, ১৬০০, ২০০০ এবং ২৪০০।
শর্ত-২ মানতে না পারায় কিছু সাল অধিবর্ষ নয়। যেমন- ১৭০০, ১৮০০, ১৯০০, ২১০০, ২২০০, ২৩০০ ইত্যাদি।
আমরা ছোটবেলা থেকেই জানি, শুধু ৪ দিয়ে নিঃশেষে বিভাজ্য হলেই কোন সাল অধিবর্ষ হয়। আসলে শুধু ৪ নয়, অধিবর্ষের সাথে ১০০ এবং ৪০০ সংখ্যাগুলোও জড়িত।
এখন আমরা এর “Behind the scene” জানবোঃ
আমরা সবাই জানি ৩৬৫ দিনে এক বছর ধরা হলেও, আরো ৫ ঘণ্টা ৪৯ মিনিট ১২ সেকেন্ড অবশিষ্ট থেকে যায়। এই অতিরিক্ত সময় যোগ হয়ে হয়ে ৪ বছর পর পর ফেব্রুয়ারি মাসের সাথে এক দিন যোগ হয়ে ২৯ দিন হয়।
এই ৩৬৫ দিন ৫ ঘণ্টা ৪৯ মিনিট ১২ সেকেন্ডকে যদি দশমিকে প্রকাশ করি তা হয় ৩৬৫.২৪২৫ দিন।
অর্থাৎ, ৩৬৫.২৪২৫ = ৩৬৫ + (১/৪) – (১/১০০) + (১/৪০০) ।
তাই দেখা গেছে যে, চার বছর পর পর লিপ-ইয়ার ধরলে প্রতি চারশ বছরে ৩ দিন (প্রায় ৭২ ঘন্টা) সময় বেশি ধরা হয়ে যায়। এই সমস্যার সমাধানের জন্য যেসব বছর ১০০ দ্বারা বিভাজ্য, কিন্তু ৪০০ দ্বারা নয় তাদের লিপ-ইয়ার বা অধিবর্ষের তালিকা থেকে বাদ দেয়া হয়।
উৎসঃ নাসা, মাইক্রোসফট, ব্রিটানিকা।
৫,০০৭.
৯৫/৩৭ এর দশমিক ভগ্নাংশ কত হবে?
ব্যাখ্যা
৯৫/৩৭ এর দশমিক ভগ্নাংশ = ২.৫৬৭৫৬৭...... = ২.৫৬৭ [পৌনঃপুনিক হবে]
৫,০০৮.
দুইটি সংখ্যার গ.সা.গু. ১১ এবং ল.সা.গু. ৭৭০০। একটি সংখ্যা ২৭৫ হলে অপর সংখ্যাটি কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: দুইটি সংখ্যার গ.সা.গু ১১ এবং ল.সা.গু ৭৭০০। একটি সংখ্যা ২৭৫ হলে অপর সংখ্যাটি কত?
সমাধান:
একটি সংখ্যা × অপর সংখ্যা = ল.সা.গু × গ.সা.গু
∴ অপর সংখ্যা = ( ল.সা.গু × গ.সা.গু)/একটি সংখ্যা
= (১১ × ৭৭০০)/২৭৫
= ৮৪৭০০/২৭৫
= ৩০৮
∴ অপর সংখ্যাটি = ৩০৮।
সমাধান:
একটি সংখ্যা × অপর সংখ্যা = ল.সা.গু × গ.সা.গু
∴ অপর সংখ্যা = ( ল.সা.গু × গ.সা.গু)/একটি সংখ্যা
= (১১ × ৭৭০০)/২৭৫
= ৮৪৭০০/২৭৫
= ৩০৮
∴ অপর সংখ্যাটি = ৩০৮।
৫,০০৯.
কোনো ভগ্নাংশের লবের সাথে ১ যোগ করলে ১/২ হয় এবং হরের সাথে ১ যোগ করলে তা ১/৩ হয়, ভগ্নাংশটি = কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: কোনো ভগ্নাংশের লবের সাথে ১ যোগ করলে ১/২ হয় এবং হরের সাথে ১ যোগ করলে তা ১/৩ হয়, ভগ্নাংশটি = কত?
সমাধান:
ধরি,
ভগ্নাংশের লব x
ভগ্নাংশের হর y
১ম শর্তমতে
(x + ১)/y = ১/২
⇒ ২x + ২ = y
∴ ২x - y = - ২ ....................(১)
২য় শর্তমতে
x/(y + ১) = ১/৩
⇒ ৩x = y + ১
⇒ ৩x - y = ১ .....................(২)
(২) - (১) ⇒
৩x - y - ২x + y = ১ - (- ২)
⇒ x = ১ + ২
∴ x = ৩
(১) নং হতে পাই,
২ × ৩ - y = - ২
⇒ ৬ - y = - ২
⇒ - y = - ২ - ৬
⇒ - y = - ৮
∴ y = ৮
∴ ভগ্নাংশটি = ৩/৮
সমাধান:
ধরি,
ভগ্নাংশের লব x
ভগ্নাংশের হর y
১ম শর্তমতে
(x + ১)/y = ১/২
⇒ ২x + ২ = y
∴ ২x - y = - ২ ....................(১)
২য় শর্তমতে
x/(y + ১) = ১/৩
⇒ ৩x = y + ১
⇒ ৩x - y = ১ .....................(২)
(২) - (১) ⇒
৩x - y - ২x + y = ১ - (- ২)
⇒ x = ১ + ২
∴ x = ৩
(১) নং হতে পাই,
২ × ৩ - y = - ২
⇒ ৬ - y = - ২
⇒ - y = - ২ - ৬
⇒ - y = - ৮
∴ y = ৮
∴ ভগ্নাংশটি = ৩/৮
৫,০১০.
নিচের কোনটি অমূলদ সংখ্যা?
ব্যাখ্যা
√৭২ = √২×৩৬ = ৬√২ যা p/q আকারে লেখা যায় না।
৫,০১১.
১টি নার্সারিতে ১৬ জাতের ফুল গাছ আছে। ১/৪ অংশ জাতের ৫টি করে ও ৩/৪ অংশ জাতের ৪টি করে গাছে আছে। সর্বমোট কতটি গাছ আছে?
ব্যাখ্যা
১৬ জাতের ১/৪ অংশ = ৪ জাত। অবশিষ্ট থাকে (১৬-৪) = ১২
∴ মোট গাছের সংখ্যা (৪×৫ + ১২×৪) = ৬৮ টি।
৫,০১২.
কোন সংখ্যার চারগুনের সাথে ১ যোগ করলে যোগফল ঐ সংখ্যার ৩ গুন হতে ৫ বেশি হবে?
ব্যাখ্যা
মনে করি, সংখ্যাটি = ক
প্রশ্নমতে, ক × ৪ + ১ = ক × ৩ + ৫
বা, ৪ক + ১ = ৩ক + ৫
বা, ৪ক - ৩ক = ৫ - ১
বা, ক = ৪
∴ সংখ্যাটি = ৪
৫,০১৩.
৫টি সংখ্যার গড় ৪০। যদি আরও ২টি সংখ্যা যাদের গড় ২১, সংখ্যাগুলোর সাথে যোগ করা যায় তবে ৭টি সংখ্যার গড় কত হবে?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: ৫টি সংখ্যার গড় ৪০। যদি আরও ২টি সংখ্যা যাদের গড় ২১, সংখ্যাগুলোর সাথে যোগ করা যায় তবে ৭টি সংখ্যার গড় কত হবে?
সমাধান:
৫টি সংখ্যার গড় ৪০।
৫টি সংখ্যার সমষ্টি = ৪০ × ৫ = ২০০
২টি সংখ্যা গড় = ২১
২টি সংখ্যার সমষ্টি = ২১ × ২ = ৪২
৭টি সংখ্যার সমষ্টি = ২০০ + ৪২ = ২৪২
৭টি সংখ্যার গড় =২৪২/৭ = ৩৪.৫৭
সমাধান:
৫টি সংখ্যার গড় ৪০।
৫টি সংখ্যার সমষ্টি = ৪০ × ৫ = ২০০
২টি সংখ্যা গড় = ২১
২টি সংখ্যার সমষ্টি = ২১ × ২ = ৪২
৭টি সংখ্যার সমষ্টি = ২০০ + ৪২ = ২৪২
৭টি সংখ্যার গড় =২৪২/৭ = ৩৪.৫৭
৫,০১৪.
2, 3 এবং 4 দ্বারা তিন অংকের কতটি জোড় সংখ্যা গঠন করা যায়?
ব্যাখ্যা
2, 3 এবং 4 দ্বারা গঠিত তিন অংকের জোড় সংখ্যার শেষ অংকটি হবে 4 অথবা 2
সংখ্যাগুলো হবে - 234, 324, 342, 432
৫,০১৫.
কোন লঘিষ্ঠ সংখ্যাকে ৩০, ৪০ ও ৫০ দ্বারা ভাগ করলে প্রত্যেকবারই ৫ অবশিষ্ট থাকবে?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: কোন লঘিষ্ঠ সংখ্যাকে ৩০, ৪০ ও ৫০ দ্বারা ভাগ করলে প্রত্যেকবারই ৫ অবশিষ্ট থাকবে?
সমাধান:
যে লঘিষ্ঠ সংখ্যাকে ৩০, ৪০ ও ৫০ দ্বারা ভাগ করলে প্রত্যেকবারই ৫ অবশিষ্ট থাকবে, সেই সংখ্যাটি হবে ৩০, ৪০,৫০ এর ল.সা.গু অথবা ল.সা.গু এর গুনিতক অপেক্ষা ৫ বেশি।
৩০ , ৪০, ৫০ এর ল.সা.গু = ৬০০
∴ সংখ্যাটি হবে ৬০০ + ৫ = ৬০৫
সমাধান:
যে লঘিষ্ঠ সংখ্যাকে ৩০, ৪০ ও ৫০ দ্বারা ভাগ করলে প্রত্যেকবারই ৫ অবশিষ্ট থাকবে, সেই সংখ্যাটি হবে ৩০, ৪০,৫০ এর ল.সা.গু অথবা ল.সা.গু এর গুনিতক অপেক্ষা ৫ বেশি।
৩০ , ৪০, ৫০ এর ল.সা.গু = ৬০০
∴ সংখ্যাটি হবে ৬০০ + ৫ = ৬০৫
৫,০১৬.
১৫ জন ছাত্রের বয়সের গড় ২৯ বছর। তাদের মধ্যে দুজন ছাত্রের বয়সের গড় ৫৫ বছর। বাকি ১৩ জনের বয়সের গড় কত হবে?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: ১৫ জনের গড় বয়স ২৯ বছর। তাদের আবার দুজন। তাদের আবার দু’জন ছাত্রের বয়সের গড় ৫৫ বছর। তাহলে বাকি ১৩ জন ছাত্রের বয়সের গড় কত হবে?
সমাধান:
১৫ জন ছাত্রের বয়সের গড় ২৯ বছর
∴ ১৫ জন ছাত্রের মোট বয়স = (২৯ × ১৫) = ৪৩৫ বছর
দুজন ছাত্রের বয়সের গড় ৫৫ বছর
দুজন ছাত্রের মোট বয়স (৫৫ × ২) = ১১০ বছর
∴ ১৩ জন ছাত্রের মোট বয়স = (৪৩৫ - ১১০) বছর
= ৩২৫ বছর
∴ ১৩ জন ছাত্রের বয়সের গড় = (৩২৫/১৩) বছর
= ২৫ বছর
সমাধান:
১৫ জন ছাত্রের বয়সের গড় ২৯ বছর
∴ ১৫ জন ছাত্রের মোট বয়স = (২৯ × ১৫) = ৪৩৫ বছর
দুজন ছাত্রের বয়সের গড় ৫৫ বছর
দুজন ছাত্রের মোট বয়স (৫৫ × ২) = ১১০ বছর
∴ ১৩ জন ছাত্রের মোট বয়স = (৪৩৫ - ১১০) বছর
= ৩২৫ বছর
∴ ১৩ জন ছাত্রের বয়সের গড় = (৩২৫/১৩) বছর
= ২৫ বছর
৫,০১৭.
কতগুলাে ঘন্টা একসঙ্গে বাজার পর ১০ সে., ১৫ সে., ২০ সে. এবং ২৫ সে. পরপর বাজতে লাগল। এগুলো আবার কতক্ষণ পরে একত্রে বাজবে?
ব্যাখ্যা
১০ সে., ১৫ সে., ২০ সে. এবং ২৫ সে. এর ল.সা.গু. = ৩০০ সেকেন্ড = ৫ মিনিট
সুতরাং, ৫ মিনিট পরে একত্রে বাজবে।
৫,০১৮.
১৩ থেকে ৩০ পর্যন্ত কয়টি মৌলিক সংখ্যা রয়েছে?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন : ১৩ থেকে ৩০ পর্যন্ত কয়টি মৌলিক সংখ্যা রয়েছে? ?
সমাধান:
১ এর চেয়ে বড় যে সকল সংখ্যাকে শুধু ১ এবং ঐ সংখ্যা ছাড়া আর কোনো সংখ্যা দ্বারা ভাগ করা যায় না, তাদেরকে মৌলিক সংখ্যা বলে।
অর্থাৎ মৌলিক সংখ্যার উৎপাদক হবে দুইটি: ১ এবং শুধুমাত্র সেই সংখ্যাটি।
১৩ থেকে ৩০ পর্যন্ত মৌলিক সংখ্যা = ১৩ , ১৭ , ১৯ , ২৩ ও ২৯
মোট = ৫টি
সমাধান:
১ এর চেয়ে বড় যে সকল সংখ্যাকে শুধু ১ এবং ঐ সংখ্যা ছাড়া আর কোনো সংখ্যা দ্বারা ভাগ করা যায় না, তাদেরকে মৌলিক সংখ্যা বলে।
অর্থাৎ মৌলিক সংখ্যার উৎপাদক হবে দুইটি: ১ এবং শুধুমাত্র সেই সংখ্যাটি।
১৩ থেকে ৩০ পর্যন্ত মৌলিক সংখ্যা = ১৩ , ১৭ , ১৯ , ২৩ ও ২৯
মোট = ৫টি
৫,০১৯.
6a2bc, 8ab2c, 6a2b2c এর ল.সা.গু কোনটি?
ব্যাখ্যা
8 এবং 6 এর ল.সা.গু হচ্ছে 24 এবং a, b, c এর সর্বোচ্চ ঘাতগুলো হচ্ছে a2, b2, c.
৫,০২০.
কোনটি মূলদ সংখ্যা?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: কোনটি মূলদ সংখ্যা?
সমাধান:
• মূলদ সংখ্যা: p/q আকারের কোনো সংখ্যাকে মূলদ সংখ্যা বলা হয়, যখন p ও q পূর্ণসংখ্যা এবং q ≠ 0। যেমন: √25 = 5, 5/1 = 5, 5/6 ,1/2 ইত্যাদি।
• অমূলদ সংখ্যা: যে সংখ্যাকে p/q আকারে প্রকাশ করা যায় না, যেখানে p ও q পূর্ণসংখ্যা এবং q ≠ 0, সে সংখ্যাকে অমূলদ সংখ্যা বলা হয়।
- পূর্ণবর্গ নয় এরূপ যে কোনো স্বাভাবিক সংখ্যার বর্গমূল কিংবা তার ভগ্নাংশ একটি অমূলদ সংখ্যা। যেমন: √2 = 1.414213......, √3 = 1.732....., ইত্যাদি অমূলদ সংখ্যা।
এখানে,
ক) e = 2.71828...
এটি একটি অমূলদ ধ্রুবক। ∴অমূলদ সংখ্যা।
খ) π = 3.14159...
এটি একটি অমূলদ ধ্রুবক। ∴ অমূলদ সংখ্যা
গ) 1/√3 ; হরে মূলদ রাশি আছে। ∴ অমূলদ সংখ্যা।
ঘ) √3/√108 = √3/√(36×3)
= √3/(6√3)
= 1/6
এটি p/q আকারে আছে, যেখানে p = 1, q = 6
∴ এটি মূলদ সংখ্যা।
৫,০২১.
১.১, .০১ ও .০০১১-এর সমষ্টি কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: ১.১, .০১ ও .০০১১-এর সমষ্টি কত?
সমাধান:
১.১ + .০১ + .০০১১ = ১.১১১১
সমাধান:
১.১ + .০১ + .০০১১ = ১.১১১১
৫,০২২.
১ থেকে ৩০ পর্যন্ত মৌলিক সংখ্যাগুলোর যোগফল-
ব্যাখ্যা
১ থেকে ৩০ পর্যন্ত মৌলিক সংখ্যা ১০টি। যথা- ২, ৩, ৫, ৭, ১১, ১৩, ১৭, ১৯, ২৩ ও ২৯।
সংখ্যা গুলোর যোগফল = ২ + ৩ + ৫ + ৭ + ১১ + ১৩ + ১৭ + ১৯ + ২৩ + ২৯
= ৫২
৫,০২৩.
n একটি জোড় সংখ্যা হলে নিচের কোনটি বিজোড় সংখ্যা হবে?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: n একটি জোড় সংখ্যা হলে নিচের কোনটি বিজোড় সংখ্যা হবে?
সমাধান:
২ দ্বারা কোন সংখ্যাকে গুণ করলে গুণফল জোড় সংখ্যা হয়।
তাই, 2(5n + 3) ও 2(5n + 2) জোড় সংখ্যা।
এখন,
n জোড় বলে 5n জোড় হবে, তাহলে (5n + 2)ও জোড় হবে।
∴ 5n + 3 সংখ্যাটি n এর সকল মানের জন্য বিজোড় হবে।
সমাধান:
২ দ্বারা কোন সংখ্যাকে গুণ করলে গুণফল জোড় সংখ্যা হয়।
তাই, 2(5n + 3) ও 2(5n + 2) জোড় সংখ্যা।
এখন,
n জোড় বলে 5n জোড় হবে, তাহলে (5n + 2)ও জোড় হবে।
∴ 5n + 3 সংখ্যাটি n এর সকল মানের জন্য বিজোড় হবে।
৫,০২৪.
একটি সংখ্যা ৪৮০ যত বড় ৯৩০ থেকে তত ছোট সংখ্যাটি কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি সংখ্যা ৪৮০ যত বড় ৯৩০ থেকে তত ছোট সংখ্যাটি কত?
সমাধান:
সংখ্যাটি = সংখ্যা দুইটির সমষ্টি/২
= (৪৮০ + ৯৩০)/২
= ১৪১০/২
= ৭০৫
সমাধান:
সংখ্যাটি = সংখ্যা দুইটির সমষ্টি/২
= (৪৮০ + ৯৩০)/২
= ১৪১০/২
= ৭০৫
৫,০২৫.
√৩ + √৩ এর বর্গ কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: √৩ + √৩ এর বর্গ কত?
সমাধান:
=(√৩ + √৩)২
= (২√৩)২
= ২২× (√৩)২
= ৪ × ৩
= ১২
সমাধান:
=(√৩ + √৩)২
= (২√৩)২
= ২২× (√৩)২
= ৪ × ৩
= ১২
৫,০২৬.
পিতা ও দুই পুত্রের বয়সের গড় ৩০ বছর। দুই পুত্রের বয়সের গড় ২০ বছর। পিতার বয়স কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: পিতা ও দুই পুত্রের বয়সের গড় ৩০ বছর। দুই পুত্রের বয়সের গড় ২০ বছর। পিতার বয়স কত?
সমাধান:
দুই পুত্রের বয়সের গড় = ২০ বছর
∴ দুই পুত্রের বয়সের সমষ্টি = (২ × ২০) বছর
= ৪০ বছর
আবার,
পিতা ও দুই পুত্রের বয়সের গড় = ৩০ বছর
∴ পিতা ও দুই পুত্রের বয়সের সমষ্টি = (৩ × ৩০) বছর
= ৯০ বছর
∴ পিতার বয়স = (৯০ - ৪০) বছর
= ৫০ বছর ।
সমাধান:
দুই পুত্রের বয়সের গড় = ২০ বছর
∴ দুই পুত্রের বয়সের সমষ্টি = (২ × ২০) বছর
= ৪০ বছর
আবার,
পিতা ও দুই পুত্রের বয়সের গড় = ৩০ বছর
∴ পিতা ও দুই পুত্রের বয়সের সমষ্টি = (৩ × ৩০) বছর
= ৯০ বছর
∴ পিতার বয়স = (৯০ - ৪০) বছর
= ৫০ বছর ।
৫,০২৭.
কোন সংখ্যার (৩/৮) অংশ ৭২ এর সমান?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: কোন সংখ্যার (৩/৮) অংশ ৭২ এর সমান?
সমাধান:
ধরি,
সংখ্যাটি = ক
প্রশ্নমতে,
ক এর ৩/৮ = ৭২
বা, ৩ক/৮ = ৭২
বা, ৩ক = ৭২ × ৮
বা, ক = (৭২ × ৮)/৩
∴ ক = ১৯২
৫,০২৮.
কত টাকার ৩/৫ অংশ ৯০ টাকার ৫/৬ অংশের সমান?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: কত টাকার ৩/৫ অংশ ৯০ টাকার ৫/৬ অংশের সমান?
সমাধান:
ধরি,
ক টাকার ৩/৫ অংশ ৯০ টাকার ৫/৬ অংশের সমান।
∴ ক × (৩/৫) = ৯০ × (৫/৬)
⇒ (৩ক)/৫ = ৭৫
⇒ ৩ক = ৭৫ × ৫
⇒ ৩ক = ৩৭৫
∴ ক = ১২৫
সমাধান:
ধরি,
ক টাকার ৩/৫ অংশ ৯০ টাকার ৫/৬ অংশের সমান।
∴ ক × (৩/৫) = ৯০ × (৫/৬)
⇒ (৩ক)/৫ = ৭৫
⇒ ৩ক = ৭৫ × ৫
⇒ ৩ক = ৩৭৫
∴ ক = ১২৫
৫,০২৯.
১০০ থেকে ১৩০ এর মধ্যবর্তী সর্বোচ্চ ও সর্বনিম্ন মৌলক সংখার পার্থক্য কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: ১০০ থেকে ১৩০ এর মধ্যবর্তী সর্বোচ্চ ও সর্বনিম্ন মৌলক সংখার পার্থক্য কত?
সমাধান:
১০০ থেকে ১৩০ এর মধ্যবর্তী,
সর্বোচ্চ মৌলিক সংখ্যা = ১২৭
সর্বনিম্ন মৌলিক সংখ্যা = ১০১
∴ পার্থক্য = (১২৭ - ১০১)
= ২৬
সমাধান:
১০০ থেকে ১৩০ এর মধ্যবর্তী,
সর্বোচ্চ মৌলিক সংখ্যা = ১২৭
সর্বনিম্ন মৌলিক সংখ্যা = ১০১
∴ পার্থক্য = (১২৭ - ১০১)
= ২৬
৫,০৩০.
একটি সংখ্যা ২১০ থেকে যত বড় ৪৮০ থেকে তত ছোট। সংখ্যাটি কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি সংখ্যা ২১০ থেকে যত বড় ৪৮০ থেকে তত ছোট। সংখ্যাটি কত?
সমাধান:
ধরি,
সংখ্যাটি 'ক'
প্রশ্নমতে,
ক - ২১০ = ৪৮০ - ক
বা, ২ক = ২১০ + ৪৮০
বা, ২ক = ৬৯০
বা, ক = ৩৪৫
সমাধান:
ধরি,
সংখ্যাটি 'ক'
প্রশ্নমতে,
ক - ২১০ = ৪৮০ - ক
বা, ২ক = ২১০ + ৪৮০
বা, ২ক = ৬৯০
বা, ক = ৩৪৫
৫,০৩১.
When 18 is subtracted from 6 times a number, the result becomes 12 more than three times the same number.
ব্যাখ্যা
Question: When 18 is subtracted from 6 times a number, the result becomes 12 more than three times the same number.
Solution:
The equation:
6x - 18 = 3x + 12
⇒ 3x - 18 = 12
⇒ 3x = 30
⇒ x = 30/3
x = 10
∴ The number is 10
৫,০৩২.
5/12, 7/15, 11/25 এবং 3/8 এর মধ্যে বড় ভগ্নাংশটি-
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন : 5/12, 7/15, 11/25 এবং 3/8 এর মধ্যে বড় ভগ্নাংশটি-
সমাধান :
এখানে,
5/12 = 0.417
7/15 = 0.466
11/25 = 0.44
3/8 = 0.375
5/12 = 0.417
7/15 = 0.466
11/25 = 0.44
3/8 = 0.375
৫,০৩৩.
ab/xy এর সমতুল ভগ্নাংশ নিচের কোনটি?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: ab/xy এর সমতুল ভগ্নাংশ নিচের কোনটি?
সমাধান:
ভগ্নাংশের লব ও হরকে একই সংখ্যা দিয়ে গুণ করলে ভগ্নাংশের মানের কোন পরিবর্তন হয় না। এধরণের ভগ্নাংশগুলোকে সমতুল ভগ্নাংশ বলে।
ab/xy
= (2 × ab)/(2 × xy)
= 2ab/2xy
সমাধান:
ভগ্নাংশের লব ও হরকে একই সংখ্যা দিয়ে গুণ করলে ভগ্নাংশের মানের কোন পরিবর্তন হয় না। এধরণের ভগ্নাংশগুলোকে সমতুল ভগ্নাংশ বলে।
ab/xy
= (2 × ab)/(2 × xy)
= 2ab/2xy
৫,০৩৪.
নিচের কোনটি মূলদ সংখ্যা?
ব্যাখ্যা
মূলদ সংখ্যা : p/q আকারের কোনো সংখ্যাকে মূলদ সংখ্যা বলা হয়, যখন p ও q পূর্ণসংখ্যা এবং q ≠ 0।
সকল পূর্ণসংখ্যা ও ভগ্নাংশই মূলদ সংখ্যা।
অমূলদ সংখ্যা: যে সংখ্যাকে p/q আকারে প্রকাশ করা যায় না, যেখানে p ও q পূর্ণসংখ্যা এবং q ≠ 0, সে সংখ্যাকে অমূলদ সংখ্যা বলা হয়।
পূর্ণবর্গ নয় এরূপ যে কোনাে স্বাভাবিক সংখ্যার বর্গমূল কিংবা তার ভগ্নাংশ একটি অমূলদ সংখ্যা।
যেমন√2 = 1.414213..., √3 = 1.732 ..., ইত্যাদি অমূলদ সংখ্যা।
অপশন গ
√৬ × √২৪ = √(৬ × ২৪) = √১৪৪ = ১২ [মূলদ সংখ্যা]
সকল পূর্ণসংখ্যা ও ভগ্নাংশই মূলদ সংখ্যা।
অমূলদ সংখ্যা: যে সংখ্যাকে p/q আকারে প্রকাশ করা যায় না, যেখানে p ও q পূর্ণসংখ্যা এবং q ≠ 0, সে সংখ্যাকে অমূলদ সংখ্যা বলা হয়।
পূর্ণবর্গ নয় এরূপ যে কোনাে স্বাভাবিক সংখ্যার বর্গমূল কিংবা তার ভগ্নাংশ একটি অমূলদ সংখ্যা।
যেমন√2 = 1.414213..., √3 = 1.732 ..., ইত্যাদি অমূলদ সংখ্যা।
অপশন গ
√৬ × √২৪ = √(৬ × ২৪) = √১৪৪ = ১২ [মূলদ সংখ্যা]
৫,০৩৫.
দুইটি সংখ্যার ল.সা.গু ৭২ এবং গ.সা.গু ৬। একটি সংখ্যা অপর সংখ্যার ৩/৪ অংশ হলে, ছোট সংখ্যাটি কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: দুইটি সংখ্যার ল.সা.গু ৭২ এবং গ.সা.গু ৬। একটি সংখ্যা অপর সংখ্যার ৩/৪ অংশ হলে, ছোট সংখ্যাটি কত?
সমাধান:
ধরি,
বড় সংখ্যাটি = ৪ক
তাহলে ছোট সংখ্যাটি = ৩ক
আমরা জানি,
দুইটি সংখ্যার গুণফল = ল.সা.গু × গ.সা.গু
∴ ৪ক × ৩ক = ৭২ × ৬
⇒ ১২ক২ = ৪৩২
⇒ ক২ = ৪৩২/১২
⇒ ক২ = ৩৬
∴ ক = ৬
∴ ছোট সংখ্যাটি = ৩ক = ৩ × ৬ = ১৮
৫,০৩৬.
দুটি সংখ্যার সমষ্টি 16 এবং তাদের গুণফল 63 হলে সংখ্যাদ্বয়ের বিপরীত ভগ্নাংশের সমষ্টি কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: দুটি সংখ্যার সমষ্টি 16 এবং তাদের গুণফল 63 হলে সংখ্যাদ্বয়ের বিপরীত ভগ্নাংশের সমষ্টি কত?
সমাধান:
ধরি,
সংখ্যাদ্বয় a ও b
প্রশ্নমতে,
a + b = 16
ab = 63
এখন,
1/a + 1/b = (b + a)/ab
= (a + b)/ab
= 16/63
সমাধান:
ধরি,
সংখ্যাদ্বয় a ও b
প্রশ্নমতে,
a + b = 16
ab = 63
এখন,
1/a + 1/b = (b + a)/ab
= (a + b)/ab
= 16/63
৫,০৩৭.
দুটি সংখ্যার গুণফল ২৬৪ এবং ল.সা.গু ১৩২। সংখ্যা দুটির গ.সা.গু কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: দুটি সংখ্যার গুণফল ২৬৪ এবং ল.সা.গু ১৩২। সংখ্যা দুটির গ.সা.গু কত?
সমাধান:
আমরা জানি,
দুইটি সংখ্যার ল.সা.গু. × গ.সা.গু = সংখ্যা দুইটির গুণফল
∴ সংখ্যা দুইটির ল.সা.গু = সংখ্যা দুইটির গুণফল/সংখ্যা দুইটির গ.সা.গু
= ২৬৪/১৩২
= ২
সমাধান:
আমরা জানি,
দুইটি সংখ্যার ল.সা.গু. × গ.সা.গু = সংখ্যা দুইটির গুণফল
∴ সংখ্যা দুইটির ল.সা.গু = সংখ্যা দুইটির গুণফল/সংখ্যা দুইটির গ.সা.গু
= ২৬৪/১৩২
= ২
৫,০৩৮.
দুটি ক্রমিক সংখ্যার বর্গের অন্তর ৩৭। সংখ্যা দুটি কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: দুটি ক্রমিক সংখ্যার বর্গের অন্তর ৩৭। সংখ্যা দুটি কত?
সমাধান:
ছোট সংখ্যা = (বর্গের অন্তর - ১)/২
= (৩৭ - ১)/২
= ৩৬/২
= ১৮
আবার,
বড় সংখ্যা = (বর্গের অন্তর + ১)/২
= (৩৭ + ১)/২
= ৩৮/২
= ১৯
∴ সংখ্যা দুটি = ১৮, ১৯ ।
সমাধান:
ছোট সংখ্যা = (বর্গের অন্তর - ১)/২
= (৩৭ - ১)/২
= ৩৬/২
= ১৮
আবার,
বড় সংখ্যা = (বর্গের অন্তর + ১)/২
= (৩৭ + ১)/২
= ৩৮/২
= ১৯
∴ সংখ্যা দুটি = ১৮, ১৯ ।
৫,০৩৯.
ভাজক ভাগফলের এক-তৃতীয়াংশ এবং ভাগশেষ ভাজকের অর্ধেক। ভাগফল ৯০ হলে ভাজ্য কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: ভাজক ভাগফলের এক-তৃতীয়াংশ এবং ভাগশেষ ভাজকের অর্ধেক। ভাগফল ৯০ হলে ভাজ্য কত?
সমাধান:
দেওয়া আছে,
ভাগফল = ৯০
প্রশ্নমতে,
ভাজক = ভাগফল/৩ = ৯০/৩ = ৩০
এবং ভাগশেষ = ভাজক/২ = ৩০/২ = ১৫
আমরা জানি,
ভাজ্য = (ভাগফল × ভাজক) + ভাগশেষ
= (৯০ × ৩০) + ১৫
= ২৭০০ + ১৫
= ২৭১৫
৫,০৪০.
কমপক্ষে যতগুলো ক্রমিক পূর্ণসংখ্যা নিলে তার গুণফল অবশ্যই ৫০৪০ দ্বারা বিভাজ্য হবে?
ব্যাখ্যা
২ X ৩ X ৪ X ৫ X ৬ X ৭ = ৫০৪০
৫,০৪১.
M সংখ্যক সংখ্যার গড় A এবং N সংখ্যক সংখ্যার গড় B। সবগুলো সংখ্যার গড় কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: M সংখ্যক সংখ্যার গড় A এবং N সংখ্যক সংখ্যার গড় B। সবগুলো সংখ্যার গড় কত?
সমাধান:
দেওয়া আছে,
M সংখ্যক সংখ্যার গড় = A
∴ M সংখ্যক সংখ্যার সমষ্টি = AM
আবার,
N সংখ্যক সংখ্যার গড় = B
∴ N সংখ্যক সংখ্যার সমষ্টি = BN
মোট সংখ্যা = M + N
তাদের সমষ্টি = AM + BN
∴ তাদের গড় = (AM + BN)/(M + N)
সমাধান:
দেওয়া আছে,
M সংখ্যক সংখ্যার গড় = A
∴ M সংখ্যক সংখ্যার সমষ্টি = AM
আবার,
N সংখ্যক সংখ্যার গড় = B
∴ N সংখ্যক সংখ্যার সমষ্টি = BN
মোট সংখ্যা = M + N
তাদের সমষ্টি = AM + BN
∴ তাদের গড় = (AM + BN)/(M + N)
৫,০৪২.
১৮ নিচের কোন সংখ্যার ৮% এর সমান?
ব্যাখ্যা
ধরি,
x এর ৮% = ১৮
বা, x = (১৮ × ১০০)/৮
∴ x = ২২৫
x এর ৮% = ১৮
বা, x = (১৮ × ১০০)/৮
∴ x = ২২৫
৫,০৪৩.
কোন লঘিষ্ঠ সংখ্যার সাথে ৫ যোগ করলে যোগফল ৩৬, ৪৮,৭২ দ্বারা বিভাজ্য হবে?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন : কোন লঘিষ্ঠ সংখ্যার সাথে ৫ যোগ করলে যোগফল ৩৬, ৪৮,৭২ দ্বারা বিভাজ্য হবে?
সমাধান :
সংখ্যাটি হবে ৩৬, ৪৮, ৭২ এর ল.সা.গু অপেক্ষা ৫ কম।
এখন, ৩৬, ৪৮, ৭২ এর ল.সা.গু = ১৪৪
∴লঘিষ্ট সংখ্যাটি হচ্ছে = ১৪৪ - ৫ = ১৩৯
সমাধান :
সংখ্যাটি হবে ৩৬, ৪৮, ৭২ এর ল.সা.গু অপেক্ষা ৫ কম।
এখন, ৩৬, ৪৮, ৭২ এর ল.সা.গু = ১৪৪
∴লঘিষ্ট সংখ্যাটি হচ্ছে = ১৪৪ - ৫ = ১৩৯
৫,০৪৪.
{ - ৮ - (- ৪)} - { - ৮ + ( - ৬)} এর মান কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: { - ৮ - (- ৪)} - { - ৮ + ( - ৬)} এর মান কত?
সমাধান:
{ - ৮ - (- ৪)} - { - ৮ + ( - ৬)}
= {- ৮ + ৪} - {- ৮ - ৬}
= - ৪ - {- ১৪}
= - ৪ + ১৪
= ১০
সমাধান:
{ - ৮ - (- ৪)} - { - ৮ + ( - ৬)}
= {- ৮ + ৪} - {- ৮ - ৬}
= - ৪ - {- ১৪}
= - ৪ + ১৪
= ১০
৫,০৪৫.
পানিভর্তি একটি বালতির ওজন ১২ কেজি। বালতির অর্ধেক পানিভর্তি হলে তার ওজন ৭ কেজি। খালি বালতির ওজন কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: পানিভর্তি একটি বালতির ওজন ১২ কেজি। বালতির অর্ধেক পানিভর্তি হলে তার ওজন ৭ কেজি। খালি বালতির ওজন কত?
সমাধান:
ধরি,
খালি বালতির ওজন = x কেজি
পূর্ণ পানির ওজন = y কেজি
প্রথম শর্ত অনুসারে: x + y = ১২ ...... (1)
দ্বিতীয় শর্ত অনুসারে: x + y/২ = ৭ ...... (2)
সমীকরণ (1) - সমীকরণ (2) ⇒
(x + y) - (x + y/২) = ১২ - ৭
বা, y - y/২ = ৫
বা, y/২ = ৫
বা, y = ১০ কেজি
সমীকরণ (1) থেকে.
x + ১০ = ১২
বা, x = ২ কেজি
সুতরাং, খালি বালতির ওজন = ২ কেজি
৫,০৪৬.
১০ থেকে ৬৫ পর্যন্ত যে মৌলিক সংখ্যাগুলোর একক স্থানীয় অঙ্ক ৭, তাদের সমষ্টি কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: ১০ থেকে ৬৫ পর্যন্ত যে মৌলিক সংখ্যাগুলোর একক স্থানীয় অঙ্ক ৭, তাদের সমষ্টি কত?
সমাধান:
১০ থেকে ৬৫ পর্যন্ত একক অঙ্ক ৭ এমন মৌলিক সংখ্যা হলো,
১৭, ৩৭, ৪৭
তাদের সমষ্টি = ১৭ + ৩৭ + ৪৭ = ১০১
সমাধান:
১০ থেকে ৬৫ পর্যন্ত একক অঙ্ক ৭ এমন মৌলিক সংখ্যা হলো,
১৭, ৩৭, ৪৭
তাদের সমষ্টি = ১৭ + ৩৭ + ৪৭ = ১০১
৫,০৪৭.
৩০ থেকে ৫০ পর্যন্ত মৌলিক সংখ্যা কয়টি?
ব্যাখ্যা
৩০ থেকে ৫০ পর্যন্ত মৌলিক সংখ্যা হল - ৩১, ৩৭, ৪১, ৪৩, ৪৭. = ৫টি
৫,০৪৮.
চার অঙ্কের ক্ষুদ্রতম সংখ্যা হতে কোন লঘিষ্ঠ সংখ্যা বিয়োগ করলে বিয়োগফল ৪, ৬ ও ১২ দ্বারা বিভাজ্য হবে?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: চার অঙ্কের ক্ষুদ্রতম সংখ্যা হতে কোন লঘিষ্ঠ সংখ্যা বিয়োগ করলে বিয়োগফল ৪, ৬ ও ১২ দ্বারা বিভাজ্য হবে?
সমাধান:
চার অঙ্কের ক্ষুদ্রতম সংখ্যা = ১০০০
৪, ৬ ও ১২ এর ল.সা.গু = ১২
এখন,
১০০০ ÷ ১২ ⇒
ভাগফল = ৮৩
ভাগশেষ = ৪
নির্ণেয় লঘিষ্ঠ সংখ্যা = ৪
৫,০৪৯.
নিম্নলিখিত ভগ্নাংশগুলোর মধ্যে কোনটি বৃহত্তম?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: নিম্নলিখিত ভগ্নাংশগুলোর মধ্যে কোনটি বৃহত্তম?
৫/৬, ৭/৯, ৮/১১, ৯/১০
সমাধান:
প্রত্যেকটি ভগ্নাংশকে দশমিক আকারে রূপান্তর করি-
৫/৬ = ০.৮৩৩
৭/৯ ≈ ০.৭৭৭
৮/১১ ≈ ০.৭২৭
৯/১০ = ০.৯০০
তুলনা:
০.৮৩৩, ০.৭৭৭, ০.৭২৭, ০.৯০০
∴ ভগ্নাংশগুলোর মধ্যে ৯/১০ ভগ্নাংশটি বৃহত্তম।
৫,০৫০.
কোন স্কুলে ছাত্র সংখ্যাকে ৫, ৮, ২০ দ্বারা ভাগ করলে প্রতিবারই ২ জন ছাত্র অবশিষ্ট থাকে । ঐ স্কুলে ছাত্র সংখ্যা কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: কোন স্কুলে ছাত্র সংখ্যাকে ৫, ৮, ২০ দ্বারা ভাগ করলে প্রতিবারই ২ জন ছাত্র অবশিষ্ট থাকে । ঐ স্কুলে ছাত্র সংখ্যা কত?
সমাধান:
৫, ৮, ২০ এর ল.সা.গু = ৪০
কোন স্কুলে ছাত্র সংখ্যাকে ৫, ৮, ২০ দ্বারা ভাগ করলে প্রতিবারই ২ জন ছাত্র অবশিষ্ট থাকে।
∴ ঐ স্কুলে ছাত্র সংখ্যা = ৪০ + ২
= ৪২ জন
সমাধান:
৫, ৮, ২০ এর ল.সা.গু = ৪০
কোন স্কুলে ছাত্র সংখ্যাকে ৫, ৮, ২০ দ্বারা ভাগ করলে প্রতিবারই ২ জন ছাত্র অবশিষ্ট থাকে।
∴ ঐ স্কুলে ছাত্র সংখ্যা = ৪০ + ২
= ৪২ জন
৫,০৫১.
নিচের কোন সংখ্যাটি ৩ দ্বারা বিভাজ্য নয়?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: নিচের কোন সংখ্যাটি ৩ দ্বারা বিভাজ্য নয়?
সমাধান:
আমরা জানি,
কোন সংখ্যার অঙ্কদ্বয়ের যোগফল ৩ দ্বারা বিভাজ্য হলে , প্রদত্ত সংখ্যাটি ৩ দ্বারা বিভাজ্য হবে।
এখানে,
১২৯ -এ ১ + ২ + ৯ = ১২, যা ৩ দ্বারা বিভাজ্য
১৪৪ -এ ১ + ৪ + ৪ = ৯, যা ৩ দ্বারা বিভাজ্য
৩২৭ -এ ৩ + ২ + ৭ = ১২, যা ৩ দ্বারা বিভাজ্য
১৫৮ -এ ১ + ৫ + ৮ = ১৪, যা ৩ দ্বারা বিভাজ্য নয়।
∴ ১৫৮ সংখ্যাটি ৩ দ্বারা বিভাজ্য নয়।
৫,০৫২.
সর্বমোট কত সংখ্যক গাছ হলে একটি বাগানে ১৫, ২০, ২৫ এবং ৩০ সারিতে গাছ লাগালে একটিও কম বা বেশি হবে না?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: সর্বমোট কত সংখ্যক গাছ হলে একটি বাগানে ১৫, ২০, ২৫ এবং ৩০ সারিতে গাছ লাগালে একটিও কম বা বেশি হবে না?
সমাধান:
১৫, ২০, ২৫ এবং ৩০ এর ল.সা.গু'ই হবে নির্ণেয় গাছের সংখ্যা।
১৫, ২০, ২৫ এবং ৩০ এর ল.সা.গু = ৩০০
∴ সর্বমোট ৩০০ টি গাছ লাগাতে হবে।
সমাধান:
১৫, ২০, ২৫ এবং ৩০ এর ল.সা.গু'ই হবে নির্ণেয় গাছের সংখ্যা।
১৫, ২০, ২৫ এবং ৩০ এর ল.সা.গু = ৩০০
∴ সর্বমোট ৩০০ টি গাছ লাগাতে হবে।
৫,০৫৩.
দুটি সংখ্যার অনুপাত ৫ : ৬ এবং তাদের ল.সা.গু ১২০। সংখ্যা দুটির গ.সা.গু কত?
ব্যাখ্যা
ধরি, গ.সা.গু = x
অতএব সংখ্যা দুটি = ৫x, ৬x
আমরা জানি, ৫ ও ৬ এর ল.সা.গু = ৩০
প্রশ্নমতে, ৩০x = ১২০
অতএব x = ৪
৫,০৫৪.
684, 759, 413, 676 সংখ্যাগুলোর দশক স্থানীয় অংকগুলোর গুণফল কত?
ব্যাখ্যা
প্রদত্ত সংখ্যা গুলো = 684, 759, 413, 676
সংখ্যাগুলোর দশক স্থানীয় অংকগুলো হলো 8,5,1,7
এদের গুণফল = 8 × 5 × 1 × 7 = 280
সংখ্যাগুলোর দশক স্থানীয় অংকগুলো হলো 8,5,1,7
এদের গুণফল = 8 × 5 × 1 × 7 = 280
৫,০৫৫.
পাঁচটি ঘণ্টা একত্রে বেজে পরে যথাক্রমে ৩, ৫, ৮ ,১০ এবং ১২ সেকেন্ড অন্তর অন্তর বাজতে লাগল। কতক্ষণ পর ঘণ্টাগুলো আবার একত্রে বাজবে?
ব্যাখ্যা
পাঁচটি ঘণ্টা পুনরায় একত্রে বাজার সময় হবে ৩, ৫, ৮ ,১০ এবং ১২ সেকেন্ড এর ল.সা.গু
৩, ৫, ৮ ,১০ এবং ১২ এর ল.সা.গু = ১২০সেকেন্ড
পাঁচটি ঘণ্টা পুনরায় একত্রে বাজবে ১২০ সেকেন্ড পর।
৩, ৫, ৮ ,১০ এবং ১২ এর ল.সা.গু = ১২০সেকেন্ড
পাঁচটি ঘণ্টা পুনরায় একত্রে বাজবে ১২০ সেকেন্ড পর।
৫,০৫৬.
তিনটি সংখ্যার অনুপাত ১ : ২ : ৩ এবং গ.সা.গু ১২ হলে সংখ্যা তিনটি কী কী?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: তিনটি সংখ্যার অনুপাত ১ : ২ : ৩ এবং গ.সা.গু ১২ হলে সংখ্যা তিনটি কী কী?
সমাধান:
ধরি,
সংখ্যা তিনটি x, ২x এবং ৩x.
x, ২x এবং ৩x এর গ.সা.গু x
∴ x = ১২
∴ অন্য সংখ্যাগুলো হলো ২৪ এবং ৩৬
সমাধান:
ধরি,
সংখ্যা তিনটি x, ২x এবং ৩x.
x, ২x এবং ৩x এর গ.সা.গু x
∴ x = ১২
∴ অন্য সংখ্যাগুলো হলো ২৪ এবং ৩৬
৫,০৫৭.
কোন বইয়ের ৮৪ পৃষ্ঠা পড়ার পরেও তার ৩/১০ অংশ পড়তে বাকি থাকলে বইটির মোট পৃষ্ঠা সংখ্যা কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: কোন বইয়ের ৮৪ পৃষ্ঠা পড়ার পরেও তার ৩/১০ অংশ পড়তে বাকি থাকলে বইটির মোট পৃষ্ঠা সংখ্যা কত?
সমাধান:
পড়া হয়েছে = ১ - (৩/১০) = ৭/১০ অংশ
প্রশ্নমতে,
৭/১০ অংশ = ৮৪ পৃষ্ঠা
∴ ১ অংশ বা সম্পূর্ণ বইটি = (৮৪ × ১০)/৭ = ১২০ পৃষ্ঠা
৫,০৫৮.
2x + y = 7, 2x - y = 13 হলে x ও y এর মান কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 2x + y = 7, 2x - y = 13 হলে x ও y এর মান কত?
সমাধান:
দেওয়া আছে দুটি সমীকরণ,
(১) 2x + y = 7
(২) 2x - y = 13
দুটি সমীকরণ যোগ করলে:
(2x + y) + (2x - y) = 7 + 13
⇒ 4x = 20
⇒ x = 20/4
x = 5
এবার x = 5 মানটি (১) নম্বর সমীকরণে বসাই:
⇒ 2(5) + y = 7
⇒ 10 + y = 7
⇒ y = 7 - 10
y = - 3
∴ x = 5 এবং y = - 3
৫,০৫৯.
১০০ সংখ্যাটির কতটি ভাজক আছে?
ব্যাখ্যা
১০০ = ৪×২৫ = ২২×৫২
∴ ১০০ এর ভাজক সংখ্যা = (২+১)(২+১) = ৩×৩ = ৯
৫,০৬০.
কোন বৃহত্তম সংখ্যা দ্বারা ৩৬৭ এবং ৪৬১ কে ভাগ করলে ভাগশেষ যথাক্রমে ৭ ও ৫ থাকে?
ব্যাখ্যা
বৃহত্তম সংখ্যাটি হবে (৩৬৭ - ৭) = ৩৬০ এবং (৪৬১ - ৫) = ৪৫৬ এর গসাগু।
∴ ৩৬০ এবং ৪৫৬ এর গসাগু = ২৪
নির্ণেয় বৃহত্তম সংখ্যাটি ২৪
∴ ৩৬০ এবং ৪৫৬ এর গসাগু = ২৪
নির্ণেয় বৃহত্তম সংখ্যাটি ২৪
৫,০৬১.
৩, ৪ ও ৫ এর গ.সা.গু. কোনটি ?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: ৩, ৪ ও ৫ এর গ.সা.গু. কোনটি ?
সমাধান:
৩ = ৩ × ১
৪ = ২ × ২
৫ = ৫ × ১
৩, ৪ ও ৫ এর গ.সা.গু. = ১
সমাধান:
৩ = ৩ × ১
৪ = ২ × ২
৫ = ৫ × ১
৩, ৪ ও ৫ এর গ.সা.গু. = ১
৫,০৬২.
দুটি সংখ্যার অনুপাত ৩ : ৪ এবং তাদের ল.সা.গু. ২৪০ হলে সংখ্যা দুটি কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: দুটি সংখ্যার অনুপাত ৩ : ৪ এবং তাদের ল.সা.গু. ২৪০ হলে সংখ্যা দুটি কত?
সমাধান:
দেয়া আছে,
দুটি সংখ্যার অনুপাত = ৩ : ৪
ধরি,
সংখ্যা দুটি যথাক্রমে ৩ক এবং ৪ক
∴ তাদের ল.সা.গু = ৩ × ৪ × ক = ১২ক
প্রশ্নমতে,
১২ক = ২৪০
∴ ক = ২০
∴ সংখ্যা দুটি = ৩ × ২০ = ৬০
এবং ৪ × ২০ = ৮০
৫,০৬৩.
দুটি সংখ্যার ল.সা.গু এবং গ.সা.গু যথাক্রমে ১১৪ এবং ১৯। যদি একটি সংখ্যা ৩৮ হয়, তবে অন্য সংখ্যাটি কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: দুটি সংখ্যার ল.সা.গু এবং গ.সা.গু যথাক্রমে ১১৪ এবং ১৯। যদি একটি সংখ্যা ৩৮ হয়, তবে অপর সংখ্যাটি কত?
সমাধান:
দেওয়া আছে,
ল.সা.গু এবং গ.সা.গু যথাক্রমে ১১৪ এবং ১৯
এবং, একটি সংখ্যা ৩৮
আমরা জানি,
দুটি সংখ্যার গুণফল = তাদের ল.সা.গু × গ.সা.গু
⇒ একটি সংখ্যা × অপর সংখ্যা = তাদের ল.সা.গু × গ.সা.গু
⇒ ৩৮ × অপর সংখ্যা = ১১৪ × ১৯
⇒ অপর সংখ্যা = (১১৪ × ১৯)/৩৮
∴ অপর সংখ্যা = ৫৭
অতএব, অপর সংখ্যাটি হলো ৫৭।
৫,০৬৪.
কোন সংখ্যা ৬০% থেকে ৬০ বিয়োগ করলে ৬০ হবে। সংখ্যাটি কত?
ব্যাখ্যা
মনে করি, সংখ্যাটি ক।
শর্তমতে, ক এর ৬০% - ৬০ = ৬০
বা, ক এর ৬০/১০০ = ১২০
বা, ৬০ক = ১২০০০
বা, ক = ২০০
৫,০৬৫.
ঢাকা চট্টগ্রামের দূরত্ব ৩২০ কি.মি.। ঢাকা হতে একটি ট্রেন ভোর ৫ টায় ছেড়ে গিয়ে রাত ৯ টায় চট্টগ্রাম পৌঁছে। ট্রেনটির গড় গতিবেগ কত ছিল?
ব্যাখ্যা
ভোর ৫ টা হতে রাত ৯ টা পর্যন্ত সময়ের ব্যবধান
= ( ভোর ৫ টা হতে দুপুর ১২ টা + দুপুর ১২ টা হতে রাত ৯ টা )
= ৭ ঘণ্টা + ৯ ঘণ্টা
= ১৬ ঘণ্টা
গড় গতিবেগ = মোট দূরুত্ব / মোট সময়
= ৩২০/১৬ কিমি / ঘণ্টা
= ২০ কিমি / ঘণ্টা
= ( ভোর ৫ টা হতে দুপুর ১২ টা + দুপুর ১২ টা হতে রাত ৯ টা )
= ৭ ঘণ্টা + ৯ ঘণ্টা
= ১৬ ঘণ্টা
গড় গতিবেগ = মোট দূরুত্ব / মোট সময়
= ৩২০/১৬ কিমি / ঘণ্টা
= ২০ কিমি / ঘণ্টা
৫,০৬৬.
একটি সংখ্যার অর্ধেক তার এক তৃতীয়াংশের চেয়ে ১৭ বেশি। সংখ্যাটি কত?
ব্যাখ্যা
ধরি, সংখ্যাটি x
x/2 - x/3 = 17
⇒(3x-2x)/6 = 17
⇒x = 17×6 = 102
x/2 - x/3 = 17
⇒(3x-2x)/6 = 17
⇒x = 17×6 = 102
৫,০৬৭.
দুইটি সংখ্যার অনুপাত ২ : ৩ এবং গ.সা.গু ৭ হলে ক্ষুদ্রতম সংখ্যাটি কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: দুইটি সংখ্যার অনুপাত ২ : ৩ এবং গ.সা.গু ৭ হলে ক্ষুদ্রতম সংখ্যাটি কত?
সমাধান:
ধরি,
সংখ্যা দুইটি ২ক ও ৩ক
∴ এদের গ.সা.গু = ক
প্রশ্নমতে,
ক = ৭
∴ ক্ষুদ্রতম সংখ্যাটি = ২ × ৭ = ১৪
সমাধান:
ধরি,
সংখ্যা দুইটি ২ক ও ৩ক
∴ এদের গ.সা.গু = ক
প্রশ্নমতে,
ক = ৭
∴ ক্ষুদ্রতম সংখ্যাটি = ২ × ৭ = ১৪
৫,০৬৮.
যদি ৭২ ও ৪৮ এর ল.সা.গু-কে (৬৪ক - ৪৮) রাশির মাধ্যমে প্রকাশ করা যায়, তাহলে ক-এর মান কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: যদি ৭২ ও ৪৮ এর ল.সা.গু-কে (৬৪ক − ৪৮) রাশির মাধ্যমে প্রকাশ করা যায়, তাহলে ক-এর মান কত?
সমাধান:
এখানে,
৭২ ও ৪৮ এর ল.সা.গু হলো ১৪৪
প্রশ্নমতে,
৬৪ক - ৪৮ = ১৪৪
⇒ ৬৪ক = ১৯২
⇒ ক = ১৯২/৬৪
∴ ক = ৩
সমাধান:
এখানে,
৭২ ও ৪৮ এর ল.সা.গু হলো ১৪৪
প্রশ্নমতে,
৬৪ক - ৪৮ = ১৪৪
⇒ ৬৪ক = ১৯২
⇒ ক = ১৯২/৬৪
∴ ক = ৩
৫,০৬৯.
একটি সংখ্যার ৩ গুণ এর সাথে ১০ যোগ করা হলে উত্তর হয় সংখ্যাটির ৪ গুন অপেক্ষা ৪ কম। সংখ্যাটি কত?
ব্যাখ্যা
ধরি সংখ্যাটি 'ক'
প্রশ্নমতে, ৩ক+১০ = ৪ক-৪
বা, ৪ক - ৩ক = ১০+৪
বা, ক = ১৪
প্রশ্নমতে, ৩ক+১০ = ৪ক-৪
বা, ৪ক - ৩ক = ১০+৪
বা, ক = ১৪
৫,০৭০.
√০.০০০২৫৬ এর বর্গমূল কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: √০.০০০২৫৬ এর বর্গমূল কত?
সমাধান:
√০.০০০২৫৬ এর মান = ০.০১৬
√০.০০০২৫৬ এর বর্গমূল = ০.০১৬ এর বর্গমূল
= √০.০১৬
= ০.১২৬
সমাধান:
√০.০০০২৫৬ এর মান = ০.০১৬
√০.০০০২৫৬ এর বর্গমূল = ০.০১৬ এর বর্গমূল
= √০.০১৬
= ০.১২৬
৫,০৭১.
কোনো ভগ্নাংশের লবের সাথে ৫ যোগ করলে ভগ্নাংশের মান ৩ হয় এবং হর থেকে ৪ বাদ দিলে ভগ্নাংশের মান ৪ হয়। তাহলে ভগ্নাংশটি কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: কোনো ভগ্নাংশের লবের সাথে ৫ যোগ করলে ভগ্নাংশের মান ৩ হয় এবং হর থেকে ৪ বাদ দিলে ভগ্নাংশের মান ৪ হয়। তাহলে ভগ্নাংশটি কত?
সমাধান:
ধরি,
ভগ্নাংশটি = x/y ; [যেখানে x = লব, y = হর]
দেওয়া শর্ত দুটি, লবের সাথে ৫ যোগ করলে মান ৩ হয়
⇒ (x + ৫)/y = ৩
⇒ x + ৫ = ৩y
∴ x = ৩y - ৫ ……… (১)
এবং হর থেকে ৪ বাদ দিলে মান ৪ হয়
⇒ x/(y - ৪) = ৪
⇒ x = ৪(y - ৪)
⇒ ৩y - ৫ = ৪(y - ৪)
⇒ ৩y - ৫ = ৪y - ১৬
⇒ ৪y - ৩y = ১৬ - ৫
∴ y = ১১
(১) নং হতে পাই,
⇒ x = ৩y - ৫
⇒ x = ৩৩ - ৫
∴ x = ২৮
সুতরাং ভগ্নাংশটি = ২৮/১১
৫,০৭২.
কোনো শ্রেণীতে ২৫ জন ছাত্রের বয়সের গড় ১২ বছর। শিক্ষকসহ তাদের বয়সের গড় ১৩ বছর হলে, শিক্ষকের বয়স কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: কোনো শ্রেণীতে ২৫ জন ছাত্রের বয়সের গড় ১২ বছর। শিক্ষকসহ তাদের বয়সের গড় ১৩ বছর হলে, শিক্ষকের বয়স কত?
সমাধান:
দেওয়া আছে,
২৫ জন ছাত্রের বয়সের গড় = ১২ বছর
∴ ২৫ জন ছাত্রের মোট বয়স = (২৫ × ১২) বছর
= ৩০০ বছর
শিক্ষকসহ মোট সদস্য সংখ্যা = ২৫ জন ছাত্র + ১ জন শিক্ষক
= ২৬ জন
শিক্ষকসহ তাদের বয়সের গড় = ১৩ বছর
∴ শিক্ষকসহ ২৬ জনের মোট বয়স = (২৬ × ১৩) বছর
= ৩৩৮ বছর
∴ শিক্ষকের বয়স = (শিক্ষকসহ মোট বয়স) - (২৫ জন ছাত্রের মোট বয়স)
= (৩৩৮ - ৩০০) বছর
= ৩৮ বছর।
৫,০৭৩.
একটি সংখ্যা ২০১ থেকে যত বড় ৪২৫ থেকে তত ছোট। সংখ্যাটি কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি সংখ্যা ২০১ থেকে যত বড় ৪২৫ থেকে তত ছোট। সংখ্যাটি কত?
সমাধান:
ধরি,
সংখ্যাটি = ক
প্রশ্নমতে,
ক - ২০১ = ৪২৫ - ক
⇒ ক + ক = ৪২৫ + ২০১
⇒ ২ক = ৬২৬
⇒ ক = ৬২৬/২
∴ ক = ৩১৩
∴ সংখ্যাটি = ৩১৩
সমাধান:
ধরি,
সংখ্যাটি = ক
প্রশ্নমতে,
ক - ২০১ = ৪২৫ - ক
⇒ ক + ক = ৪২৫ + ২০১
⇒ ২ক = ৬২৬
⇒ ক = ৬২৬/২
∴ ক = ৩১৩
∴ সংখ্যাটি = ৩১৩
৫,০৭৪.
দুটি সংখ্যার অনুপাত ২ : ৩ এবং গ.সা.গু ৭ হলে বৃহত্তম সংখ্যাটি কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: দুটি সংখ্যার অনুপাত ২ : ৩ এবং গ.সা.গু ৭ হলে বৃহত্তম সংখ্যাটি কত?
সমাধান:
ধরি,
সংখ্যা দুইটি ২ক ও ৩ক
∴ এদের গ.সা.গু = ক
প্রশ্নমতে,
ক = ৭
∴ বৃহত্তম সংখ্যাটি ৩ × ৭ = ২১
সমাধান:
ধরি,
সংখ্যা দুইটি ২ক ও ৩ক
∴ এদের গ.সা.গু = ক
প্রশ্নমতে,
ক = ৭
∴ বৃহত্তম সংখ্যাটি ৩ × ৭ = ২১
৫,০৭৫.
নিচের জোড়াটি সহমৌলিক?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: নিচের জোড়াটি সহমৌলিক?
সমাধান:
• সহমৌলিক:
- দুই বা ততোধিক সংখ্যার সাধারণ গুণনীয়ক শুধু ১ হলে সংখ্যাগুলো পরস্পর সহমৌলিক।
৪ এর গুণনীয়কগুলো হচ্ছে: ১, ২, ৪
৯ এর গুণনীয়কগুলো হচ্ছে: ১, ৩, ৯
সুতরাং, (৪, ৯) পরস্পর সহমৌলিক।
সমাধান:
• সহমৌলিক:
- দুই বা ততোধিক সংখ্যার সাধারণ গুণনীয়ক শুধু ১ হলে সংখ্যাগুলো পরস্পর সহমৌলিক।
৪ এর গুণনীয়কগুলো হচ্ছে: ১, ২, ৪
৯ এর গুণনীয়কগুলো হচ্ছে: ১, ৩, ৯
সুতরাং, (৪, ৯) পরস্পর সহমৌলিক।
৫,০৭৬.
হিমেল সাহেব তার মোট সম্পত্তির ৩/৭ অংশ ব্যয় করার পরে অবশিষ্টের ৫/১২ অংশ ব্যয় করে দেখলেন যে তার নিকট ১৮০০ টাকা রয়েছে। তার মোট সম্পত্তির মূল্য কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: হিমেল সাহেব তার মোট সম্পত্তির ৩/৭ অংশ ব্যয় করার পরে অবশিষ্টের ৫/১২ অংশ ব্যয় করে দেখলেন যে তার নিকট ১৮০০ টাকা রয়েছে। তার মোট সম্পত্তির মূল্য কত?
সমাধান:
মোট সম্পত্তি = ১ অংশ
অবশিষ্ট রইলো = (১ - ৩/৭) = (৭ - ৩)/৭ = ৪/৭ অংশ
∴ ৪/৭ এর ৫/১২ অংশ = ৫/২১অংশ
প্রশ্নমতে,
(৪/৭) - (৫/২১)অংশ = ১৮০০
⇒ (১২ - ৫)/২১ অংশ = ১৮০০
⇒ ৭/২১ অংশ = ১৮০০
⇒ ১ অংশ = (২১ × ১৮০০) ÷ ৭ = ৫৪০০ টাকা
সমাধান:
মোট সম্পত্তি = ১ অংশ
অবশিষ্ট রইলো = (১ - ৩/৭) = (৭ - ৩)/৭ = ৪/৭ অংশ
∴ ৪/৭ এর ৫/১২ অংশ = ৫/২১অংশ
প্রশ্নমতে,
(৪/৭) - (৫/২১)অংশ = ১৮০০
⇒ (১২ - ৫)/২১ অংশ = ১৮০০
⇒ ৭/২১ অংশ = ১৮০০
⇒ ১ অংশ = (২১ × ১৮০০) ÷ ৭ = ৫৪০০ টাকা
৫,০৭৭.
ক্ষুদ্রতম কোন সংখ্যাকে 15, 25 এবং 35 দ্বারা ভাগ করলে যথাক্রমে 5, 15 এবং 25 ভাগশেষ থাকবে?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: ক্ষুদ্রতম কোন সংখ্যাকে 15, 25 এবং 35 দ্বারা ভাগ করলে যথাক্রমে 5, 15 এবং 25 ভাগশেষ থাকবে?
সমাধান:
আমরা পাই,
15 - 5 = 10
25 - 15 = 10
35 - 25 = 10
∴ ক্ষুদ্রতম সংখ্যাটি হবে 15, 25, 35 এর ল.সা.গু অপেক্ষা 10 কম।
15, 25, 35 এর ল.সা.গু = 525
∴ ক্ষুদ্রতম সংখ্যা = 525 - 10 = 515
সমাধান:
আমরা পাই,
15 - 5 = 10
25 - 15 = 10
35 - 25 = 10
∴ ক্ষুদ্রতম সংখ্যাটি হবে 15, 25, 35 এর ল.সা.গু অপেক্ষা 10 কম।
15, 25, 35 এর ল.সা.গু = 525
∴ ক্ষুদ্রতম সংখ্যা = 525 - 10 = 515
৫,০৭৮.
√- 8 × √- 2 = কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: √- 8 × √- 2 = কত?
সমাধান:
√- 8 × √- 2
= √{(- 1) 8} × √{(- 1) 2}
= √(i2 × 8) × √(i2 × 2)
= i√8 × i√2
= i2 × √(8 × 2)
= (- 1) × √16
= - 4
সমাধান:
√- 8 × √- 2
= √{(- 1) 8} × √{(- 1) 2}
= √(i2 × 8) × √(i2 × 2)
= i√8 × i√2
= i2 × √(8 × 2)
= (- 1) × √16
= - 4
৫,০৭৯.
কোনটি মৌলিক সংখ্যা নয়?
ব্যাখ্যা
২২৭, ২২৯ এবং ২২৩ সংখ্যাগুলো যথাক্রমে ১ এবং ঐ সংখ্যা ছাড়া অন্যকোন সংখ্যা দ্বারা বিভাজ্য নয় তাই এ ৩টি মৌলিক সংখ্যা।
অন্যদিকে ২২১ একুশ সংখ্যাটি ১, ১৩ এবং ১৭ দ্বারা বিভাজ্য হওয়ায় এটি মৌলিক সংখ্যা নয়।
অন্যদিকে ২২১ একুশ সংখ্যাটি ১, ১৩ এবং ১৭ দ্বারা বিভাজ্য হওয়ায় এটি মৌলিক সংখ্যা নয়।
৫,০৮০.
অপ্রকৃত ভগ্নাংশের ক্ষেত্রে-
ব্যাখ্যা
অপ্রকৃত ভগ্নাংশের ক্ষেত্রে লব হরের চেয়ে বড় হয়।
অপ্রকৃত ভগ্নাংশ = হর < লব
অপ্রকৃত ভগ্নাংশ = হর < লব
৫,০৮১.
x3 + x2y, x2y + xy2 এর ল.সা.গু কোনটি?
ব্যাখ্যা
x3 + x2y = x2(x + y)
x2y + xy2 = xy(x + y)
∴ রাশিদ্বয়ের লসাগু = x2y(x + y)
৫,০৮২.
৯৬ সংখ্যাটির মোট কয়টি ভাজক আছে?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: ৯৬ সংখ্যাটির মোট কয়টি ভাজক আছে?
সমাধান:
প্রথমে ৯৬ কে মৌলিক উৎপাদকে বিশ্লেষণ করে পাই,
৯৬ = ২ × ২ × ২ × ২ × ২ × ৩
= ২৫ × ৩১
এখন, ৯৬ ভাজক আছে = (৫ + ১) × (১ + ১)
= ৬ × ২
= ১২
সুতরাং, ৯৬ সংখ্যাটির মোট ১২টি ভাজক আছে।
৫,০৮৩.
৩/৫, ১/৪, ২/৩ এর ল.সা.গু কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: ৩/৫, ১/৪, ২/৩ এর ল.সা.গু কত?
সমাধান:
৩, ১, ২ এর ল. সা. গু = ৬
৫, ৪, ৩ এর গ. সা. গু = ১
∴ নির্ণেয় ল. সা. গু = ৬/১
= ৬
সমাধান:
৩, ১, ২ এর ল. সা. গু = ৬
৫, ৪, ৩ এর গ. সা. গু = ১
∴ নির্ণেয় ল. সা. গু = ৬/১
= ৬
৫,০৮৪.
কোন বৃহত্তম সংখ্যা দ্বারা ২৭, ৪০, ৬৫ কে ভাগ করলে যথাক্রমে ৩, ৪, ৫ ভাগশেষ থাকবে?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: কোন বৃহত্তম সংখ্যা দ্বারা ২৭, ৪০, ৬৫ কে ভাগ করলে যথাক্রমে ৩, ৪, ৫ ভাগশেষ থাকবে?
সমাধান:
দেওয়া আছে,
একটি বৃহত্তম সংখ্যা দ্বারা ২৭, ৪০ ও ৬৫ কে ভাগ করলে যথাক্রমে ৩, ৪, ৫ ভাগশেষ থাকবে।
এখানে,
২৭ - ৩ = ২৪
৪০ - ৪ = ৩৬
৬৫ - ৫ = ৬০
∴ বৃহত্তম সংখ্যাটি হবে ২৪, ৩৬ ও ৬০ এর গ. সা. গু।
২৪, ৩৬ ও ৬০ এর গ. সা. গু = ১২
∴ নির্ণেয় বৃহত্তম সংখ্যা = ১২।
সমাধান:
দেওয়া আছে,
একটি বৃহত্তম সংখ্যা দ্বারা ২৭, ৪০ ও ৬৫ কে ভাগ করলে যথাক্রমে ৩, ৪, ৫ ভাগশেষ থাকবে।
এখানে,
২৭ - ৩ = ২৪
৪০ - ৪ = ৩৬
৬৫ - ৫ = ৬০
∴ বৃহত্তম সংখ্যাটি হবে ২৪, ৩৬ ও ৬০ এর গ. সা. গু।
২৪, ৩৬ ও ৬০ এর গ. সা. গু = ১২
∴ নির্ণেয় বৃহত্তম সংখ্যা = ১২।
৫,০৮৫.
দুইটি সংখ্যার গ.সা.গু ও ল.সা.গু যথাক্রমে 5 ও 240. একটি সংখ্যা 15 হলে, অপর সংখ্যা কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: দুইটি সংখ্যার গ.সা.গু ও ল.সা.গু যথাক্রমে 5 ও 240. একটি সংখ্যা 15 হলে, অপর সংখ্যা কত?
সমাধান:
ধরি, অপর সংখ্যা = X
ল.সা.গু × গ.সা.গু = একটি সংখ্যা × অপর সংখ্যা
⇒ 240 × 5 = 15 × X
⇒ X = 80
৫,০৮৬.
নিচের কোনটি ভগ্নাংশটি বৃহত্তম?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন- নিচের কোনটি ভগ্নাংশটি বৃহত্তম?
সমাধান-
৭/১৭ = ০.৪১২
৯/১৯ = ০.৪৭৪
৩/৭ = ০.৪২৯
১২/২৩ = ০.৫২২
সমাধান-
৭/১৭ = ০.৪১২
৯/১৯ = ০.৪৭৪
৩/৭ = ০.৪২৯
১২/২৩ = ০.৫২২
৫,০৮৭.
একটি সংখ্যার অর্ধেক তার এক তৃতীয়াংশের চেয়ে ১৭ বেশী, সংখ্যাটি কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি সংখ্যার অর্ধেক তার এক তৃতীয়াংশের চেয়ে ১৭ বেশী, সংখ্যাটি কত?
সমাধান:
ধরি, সংখ্যাটি = ক
প্রশ্নমতে,
ক/২ = ক/৩ + ১৭
বা, ক/২ - ক/৩ = ১৭
বা, (৩ক - ২ক)/৬ = ১৭
বা, ক/৬ = ১৭
বা, ক = ১৭ × ৬
বা, ক = ১০২
সুতরাং, সংখ্যাটি = ১০২
৫,০৮৮.
কোন লঘিষ্ট সংখ্যার সাথে ৭ যোগ করলে যোগফল ১২,১৫ ও ৭৫ দ্বারা বিভাজ্য হবে?
ব্যাখ্যা
১২, ১৫ এবং ৭৫ এর ল. সা. গু = ৩০০
∴ নির্ণেয় লঘিষ্ঠ সংখ্যা = ৩০০ - ৭ = ২৯৩
∴ নির্ণেয় লঘিষ্ঠ সংখ্যা = ৩০০ - ৭ = ২৯৩
৫,০৮৯.
দুইটি ক্রমিক ধনাত্মক বিজোড় সংখ্যার গুণফল 195 হলে সংখ্যাদ্বয় কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: দুইটি ক্রমিক ধনাত্মক বিজোড় সংখ্যার গুণফল 195 হলে সংখ্যাদ্বয় কত?
সমাধান:
ধরি,
ক্রমিক ধনাত্মক বিজোড় সংখ্যাদ্বয় = a, a + 2
শর্তমতে,
a(a + 2) = 195
বা, a2 + 2a = 195
বা, a2 + 2a - 195 = 0
বা, a2 + 15a - 13a - 195 = 0
বা, a(a + 15) - 13(a + 15) = 0
বা, (a + 15)(a - 13) = 0
হয়,
a + 15 = 0
বা, a = - 15 (ঋণাত্মক মান গ্রহণযোগ্য নয়)
অথবা,
a - 13 = 0
∴ a = 13
অতএব,
ক্রমিক ধনাত্মক বিজোড় সংখ্যাদ্বয় a = 13
এবং a + 2 = 13 + 2 = 15
সমাধান:
ধরি,
ক্রমিক ধনাত্মক বিজোড় সংখ্যাদ্বয় = a, a + 2
শর্তমতে,
a(a + 2) = 195
বা, a2 + 2a = 195
বা, a2 + 2a - 195 = 0
বা, a2 + 15a - 13a - 195 = 0
বা, a(a + 15) - 13(a + 15) = 0
বা, (a + 15)(a - 13) = 0
হয়,
a + 15 = 0
বা, a = - 15 (ঋণাত্মক মান গ্রহণযোগ্য নয়)
অথবা,
a - 13 = 0
∴ a = 13
অতএব,
ক্রমিক ধনাত্মক বিজোড় সংখ্যাদ্বয় a = 13
এবং a + 2 = 13 + 2 = 15
৫,০৯০.
সাজ্জাদ সাহেবের ২৪০০০ টাকা ছিল। তিনি এই টাকার ৫/১২ অংশ এতিমখানায়, ৩/৮ অংশ শিক্ষা প্রতিষ্ঠানে দান করলেন। তার কাছে কত টাকা আছে?
ব্যাখ্যা
এতিমখানায় দান করলেন = ২৪০০০ টাকা এর ৫/১২ অংশ = ১০,০০০ টাকা
শিক্ষা প্রতিষ্ঠানে দান করলেন = ২৪,০০০ টাকা এর ৩/৮ অংশ = ৯,০০০ টাকা
তার কাছে রইল = ২৪০০০ - ( ১০,০০০ + ৯,০০০) = ৫,০০০ টাকা
শিক্ষা প্রতিষ্ঠানে দান করলেন = ২৪,০০০ টাকা এর ৩/৮ অংশ = ৯,০০০ টাকা
তার কাছে রইল = ২৪০০০ - ( ১০,০০০ + ৯,০০০) = ৫,০০০ টাকা
৫,০৯১.
নিচের কোন সংখ্যাটি ৮ এবং ১২ উভয়ের গুণিতক নয়?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: নিচের কোন সংখ্যাটি ৮ এবং ১২ উভয়ের গুণিতক নয়?
সমাধান:
অপশন থেকে পাই,
৮ এবং ১২ উভয়ই ২৪, ৪৮ এবং ৭২ দ্বারা বিভাজ্য, কিন্তু ৩২ শুধুমাত্র ৮ দ্বারা বিভাজ্য এবং ১২ দ্বারা নয়।
সমাধান:
অপশন থেকে পাই,
৮ এবং ১২ উভয়ই ২৪, ৪৮ এবং ৭২ দ্বারা বিভাজ্য, কিন্তু ৩২ শুধুমাত্র ৮ দ্বারা বিভাজ্য এবং ১২ দ্বারা নয়।
৫,০৯২.
একটি বাঁশের ১/৫ অংশ পানিতে, ২/৩ অংশ মাটিতে এবং অবশিষ্ট ২ মিটার পানির উপরে আছে। সম্পূর্ণ বাঁশটির দৈর্ঘ্য কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি বাঁশের ১/৫ অংশ পানিতে, ২/৩ অংশ মাটিতে এবং অবশিষ্ট ২ মিটার পানির উপরে আছে। সম্পূর্ণ বাঁশটির দৈর্ঘ্য কত?
সমাধান:
ধরি, সম্পূর্ণ বাঁশটির দৈর্ঘ্য = ক মিটার
পানিতে ও মাটিতে আছে= {(ক/৫) + (২ক/৩)} অংশ
= {(৩ক + ১০ক)/১৫} অংশ
= ১৩ক/১৫ অংশ
∴ পানির উপরে আছে = ক - (১৩ক/১৫)
= (১৫ক - ১৩ক)/১৫ অংশ
= ২ক/১৫ অংশ
প্রশ্নমতে,
২ক/১৫ = ২ মিটার
বা, ২ক = ২ × ১৫
বা, ২ক = ৩০
বা, ক = ৩০/২
বা, ক = ১৫
অর্থাৎ সম্পূর্ণ বাঁশটির দৈর্ঘ্য = ১৫ মিটার
৫,০৯৩.
√৩ কোন ধরনের সংখ্যা?
ব্যাখ্যা
যে সকল সংখ্যা পূর্ণবর্গ নয় তাদের বর্গমূল অমূলদ সংখ্যা হয়।
৫,০৯৪.
(৪০ ÷ ৫) ÷ ৪(৫ - ৩) =?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: (৪০ ÷ ৫) ÷ ৪(৫ - ৩) =?
সমাধান:
(৪০ ÷ ৫) ÷ ৪(৫ - ৩)
= ৮ ÷ ৪ এর ২
= ৮ ÷ ৮
= ১
সূত্র: গণিত, ৬ষ্ঠ শ্রেণি।
[তবে প্রশ্নটি নিয়ে যথেষ্ট বিতর্ক রয়েছে। অনেক ওয়েবসাইটে এবং কিছু ক্যালকুলেটরে বন্ধনীর আগে কোনো চিহ্ন না থাকলে সেখানে 'গুণ' ধরে সমাধান করা হয়েছে। তখন ফলাফল '৪' এসেছে। আবার কিছু সাইটে 'এর' ধরে সমাধান করার ফলে '১' এসেছে। যেহেতু আমাদের পাঠ্যবইয়ে সরাসরি 'এর' উল্লেখ আছে, সেটিকে প্রাধান্য দিয়ে আমরা উত্তর '১' গ্রহণ করেছি।]
সমাধান:
(৪০ ÷ ৫) ÷ ৪(৫ - ৩)
= ৮ ÷ ৪ এর ২
= ৮ ÷ ৮
= ১
সূত্র: গণিত, ৬ষ্ঠ শ্রেণি।
[তবে প্রশ্নটি নিয়ে যথেষ্ট বিতর্ক রয়েছে। অনেক ওয়েবসাইটে এবং কিছু ক্যালকুলেটরে বন্ধনীর আগে কোনো চিহ্ন না থাকলে সেখানে 'গুণ' ধরে সমাধান করা হয়েছে। তখন ফলাফল '৪' এসেছে। আবার কিছু সাইটে 'এর' ধরে সমাধান করার ফলে '১' এসেছে। যেহেতু আমাদের পাঠ্যবইয়ে সরাসরি 'এর' উল্লেখ আছে, সেটিকে প্রাধান্য দিয়ে আমরা উত্তর '১' গ্রহণ করেছি।]
৫,০৯৫.
ক এবং খ উভয়ই বিজোড় সংখ্যা হলে কোনটি জোড় সংখ্যা হবে?
ব্যাখ্যা
দুটি বিজোড় সংখ্যার যোগফল সবসময় জোড় সংখ্যা হবে। তাই (ক + খ) হবে সঠিক উত্তর।
৫,০৯৬.
(a + b), a2 - b2, a3 - b3 এর গ. সা. গু কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: (a + b), a2 - b2, a3 – b3 এর গ. সা. গু কত?
সমাধান
১ম রাশি =(a + b)
২য় রাশি = a2 - b2
=(a + b)(a - b)
৩য় রাশি = a3 – b3
=(a - b)(a2 + ab + b2)
নির্ণেয় গ. সা. গু = 1
সমাধান
১ম রাশি =(a + b)
২য় রাশি = a2 - b2
=(a + b)(a - b)
৩য় রাশি = a3 – b3
=(a - b)(a2 + ab + b2)
নির্ণেয় গ. সা. গু = 1
৫,০৯৭.
১২টি সংখ্যার যোগফল ৭২০। প্রথম ৫টি সংখ্যার গড় ৫০ এবং শেষ ৬টি সংখ্যার গড় ৬০। ষষ্ঠ সংখ্যাটি কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: ১২টি সংখ্যার যোগফল ৭২০। প্রথম ৫টি সংখ্যার গড় ৫০ এবং শেষ ৬টি সংখ্যার গড় ৬০। ষষ্ঠ সংখ্যাটি কত?
সমাধান:
দেওয়া আছে,
১২টি সংখ্যার যোগফল ৭২০
এখন,
প্রথম ৫টি সংখ্যার যোগফল = ৫ × ৫০ = ২৫০
শেষ ৬টি সংখ্যার যোগফল = ৬ × ৬০ = ৩৬০
প্রশ্নমতে,
মোট ১২টির যোগফল = প্রথম ৫টি + ষষ্ঠ + শেষ ৬টি
⇒ ৭২০ = ২৫০ + ষষ্ঠ + ৩৬০
⇒ ষষ্ঠ = ৭২০ - ৬১০
∴ ষষ্ঠ = ১১০
৫,০৯৮.
√০.০০০০১৬ এর মান কত?
ব্যাখ্যা
দশমিক এর পর যে কয়টি অংক থাকে বর্গমূল করার সময় তার অর্ধেক হয়। এখানে দশমিক এর পর ৬টি অংক আছে তাই বর্গমূল করলে ৩টি অংক হবে। ১৬ এর বর্গমূল ৪, তাই ৪ লিখে এর আগে দুইটি ০ লিখে তিনটি অংক পূর্ণ করতে হবে।
৫,০৯৯.
দুইটি সংখ্যার অনুপাত ৪ : ৯ এবং তাদের গ.সা.গু ২ হলে সংখ্যা দুইটির ল.সা.গু কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: দুইটি সংখ্যার অনুপাত ৪ : ৯ এবং তাদের গ.সা.গু ২ হলে সংখ্যা দুইটির ল.সা.গু কত?
সমাধান:
ধরি,
একটি সংখ্যা = ৪ক
অপরটি সংখ্যা = ৯ক
এবং গ.সা.গু = ২
প্রশ্নমতে,
ক = ২
সংখ্যা দুটি = (৪ × ২) = ৮ এবং (৯ × ২) = ১৮
এখন,
সংখ্যাদ্বয়ের গুণফল = ল.সা.গু × গ.সা.গু
⇒ ৮ × ১৮ = ক × ২
⇒ ক = ১৪৪/২
∴ ক = ৭২
সমাধান:
ধরি,
একটি সংখ্যা = ৪ক
অপরটি সংখ্যা = ৯ক
এবং গ.সা.গু = ২
প্রশ্নমতে,
ক = ২
সংখ্যা দুটি = (৪ × ২) = ৮ এবং (৯ × ২) = ১৮
এখন,
সংখ্যাদ্বয়ের গুণফল = ল.সা.গু × গ.সা.গু
⇒ ৮ × ১৮ = ক × ২
⇒ ক = ১৪৪/২
∴ ক = ৭২
৫,১০০.
এককের আন্তর্জাতিক পদ্ধতি
i. এর বৈশিষ্ট্য দশ গুণোত্তর
ii. অষ্টাদশ শতাব্দীতে ফ্রান্সে প্রথম চালু হয়
iii. বাংলাদেশে ১ লা জুলাই ১৯৮১ সালে চালু হয়
নিচের কোন উত্তরটি সঠিক?
i. এর বৈশিষ্ট্য দশ গুণোত্তর
ii. অষ্টাদশ শতাব্দীতে ফ্রান্সে প্রথম চালু হয়
iii. বাংলাদেশে ১ লা জুলাই ১৯৮১ সালে চালু হয়
নিচের কোন উত্তরটি সঠিক?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: এককের আন্তর্জাতিক পদ্ধতি
i. এর বৈশিষ্ট্য দশ গুণোত্তর
ii. অষ্টাদশ শতাব্দীতে ফ্রান্সে প্রথম চালু হয়
iii. বাংলাদেশে ১ লা জুলাই ১৯৮১ সালে চালু হয়
নিচের কোন উত্তরটি সঠিক?
সমাধান:
বিভিন্ন দেশে পরিমাপের জন্য বিভিন্ন পরিমাপ পদ্ধতি প্রচলিত থাকায় আন্তর্জাতিক ব্যবসাবাণিজ্যে ও আদানপ্রদানে অসুবিধা হয়। তাই ব্যবসাবাণিজ্যে ও আদানপ্রদানের ক্ষেত্রে পরিমাপ করার জন্য আন্তর্জাতিক রীতি তথা মেট্রিক পদ্ধতি ব্যবহৃত হয় ।
এ পরিমাপের বৈশিষ্ট্য হলো:
- এটা দশগুণোত্তর । দশমিক ভগ্নাংশের দ্বারা এ পদ্ধতিতে পরিমাপ সহজে প্রকাশ করা যায়।
- অষ্টাদশ শতাব্দীতে ফ্রান্সে প্রথম এ পদ্ধতির প্রবর্তন করা হয়।
- বাংলাদেশে ১লা জুলাই, ১৯৮২ সাল থেকে এ মেট্রিক পদ্ধতি চালু করা হয়।
এখন দৈর্ঘ্য, ক্ষেত্রফল, ওজন ও তরল পদার্থের আয়তন প্রতিটি পরিমাপেই এ পদ্ধতি পুরোপুরি প্রচলিত রয়েছে ।
উৎস: গণিত, অষ্টম শ্রেণি।