৪,৯০১.
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন:
সমাধান:
PrepBank · বিষয়ভিত্তিক প্রশ্ন
বাস্তব সংখ্যা, গড়, ভগ্নাংশ, ল.সা.গু ও গ.সা.গু
বাস্তব সংখ্যা, গড়, ভগ্নাংশ, ল.সা.গু ও গ.সা.গু
PrepBank · পাতা ৫০ / ৬৪ · ৪,৯০১–৫,০০০ / ৬,৪০৪
৪,৯০২.
রুবেল তার সঞ্চয়ের ২/৫ অংশ দিয়ে একটি কম্পিউটার কিনে এবং সেই কম্পিউটারের দামের ১/২ অংশ দিয়ে একটি প্রিন্টার কিনে। তাহলে তার সঞ্চয়ের কত অংশ অবশিষ্ট রইল?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: রুবেল তার সঞ্চয়ের ২/৫ অংশ দিয়ে একটি কম্পিউটার কিনে এবং সেই কম্পিউটারের দামের ১/২ অংশ দিয়ে একটি প্রিন্টার কিনে। তাহলে তার সঞ্চয়ের কত অংশ অবশিষ্ট রইল?
সমাধান:
মনে করি,
রুবেলের মোট সঞ্চয়ের পরিমান = ১ অংশ।
তাহলে,
কম্পিউটার কিনে = ২/৫ অংশ টাকা দিয়ে
প্রিন্টার কিনে =(১/২) × (২/৫) = ১/৫ অংশ টাকা দিয়ে
∴ মোট খরচ = (২/৫) + (১/৫) = (২ + ১)/৫ = ৩/৫ অংশ
∴ অবশিষ্ট = ১ - (৩/৫) = (৫ - ৩)/৫ = ২/৫ অংশ
৪,৯০৩.
৮৮, ৯১, ৯৫ এবং ৯৯ সংখ্যাগুলোর মধ্যে কোন সংখ্যাটির সর্বোচ্চ সংখ্যক উৎপাদক রয়েছে?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: ৮৮, ৯১, ৯৫ এবং ৯৯ সংখ্যাগুলোর মধ্যে কোন সংখ্যাটির সর্বোচ্চ সংখ্যক উৎপাদক রয়েছে?
সমাধান:
৮৮ = ২ × ২ × ২ × ১১
= ২৩ × ১১
∴ ভাজক সংখ্যা = ( ৩ + ১) × (১ + ১) = ৮
৯১ = ৭ × ১৩
∴ ভাজক সংখ্যা = ( ১ + ১) × (১ + ১) = ৪
৯৫ = ৫ × ১৯
∴ ভাজক সংখ্যা = ( ১ + ১) × (১ + ১) = ৪
৯৯ = ৩ × ৩ × ১১
= ৩২ × ১১
∴ ভাজক সংখ্যা = ( ২ + ১) × (১ + ১) = ৬
সুতরাং ৮৮ এর সর্বোচ্চ ভাজক সংখ্যা আছে।
সমাধান:
৮৮ = ২ × ২ × ২ × ১১
= ২৩ × ১১
∴ ভাজক সংখ্যা = ( ৩ + ১) × (১ + ১) = ৮
৯১ = ৭ × ১৩
∴ ভাজক সংখ্যা = ( ১ + ১) × (১ + ১) = ৪
৯৫ = ৫ × ১৯
∴ ভাজক সংখ্যা = ( ১ + ১) × (১ + ১) = ৪
৯৯ = ৩ × ৩ × ১১
= ৩২ × ১১
∴ ভাজক সংখ্যা = ( ২ + ১) × (১ + ১) = ৬
সুতরাং ৮৮ এর সর্বোচ্চ ভাজক সংখ্যা আছে।
৪,৯০৪.
x ও y উভয়ই জোড় সংখ্যা হলে কোনটি বিজোড় সংখ্যা হবে?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: x ও y উভয়ই জোড় সংখ্যা হলে কোনটি বিজোড় সংখ্যা হবে?
সমাধান:
দুইটি বিজোড় সংখ্যার যোগফল সর্বদাই জোড় সংখ্যা হয়।
ধরি,
বিজোড় সংখ্যা দুইটি x = 2 এবং y = 4,
অপশন অনুসারে,
ক) x + 2y + 1 = (2 + 2 × 4 + 1) = 11 (বিজোড় সংখ্যা)।
খ) xy = (2 × 4) = 8 (জোড় সংখ্যা)।
গ) xy + 2 = (2 × 4) + 2 = 8 + 2 = 10 (জোড় সংখ্যা)।
ঘ) 2(x + 1) = 2(2 + 1) = 6 (জোড় সংখ্যা)।
সমাধান:
দুইটি বিজোড় সংখ্যার যোগফল সর্বদাই জোড় সংখ্যা হয়।
ধরি,
বিজোড় সংখ্যা দুইটি x = 2 এবং y = 4,
অপশন অনুসারে,
ক) x + 2y + 1 = (2 + 2 × 4 + 1) = 11 (বিজোড় সংখ্যা)।
খ) xy = (2 × 4) = 8 (জোড় সংখ্যা)।
গ) xy + 2 = (2 × 4) + 2 = 8 + 2 = 10 (জোড় সংখ্যা)।
ঘ) 2(x + 1) = 2(2 + 1) = 6 (জোড় সংখ্যা)।
৪,৯০৫.
নিম্নলিখিত ভগ্নাংশগুলির মধ্যে কোনটির মান সবচেয়ে বড়?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: নিম্নলিখিত ভগ্নাংশগুলির মধ্যে কোনটির মান সবচেয়ে বড়?
সমাধান:
সমাধান:
ক) ১/২ = ০.৫০
খ) ১৩/১৫ = ০.৮৬৬
গ) ৪/৫ = ০.৮০
ঘ) ২৩/৩০ = ০.৭৭
৪,৯০৬.
৬জন পুরুষ, ৮ জন স্ত্রীলোক এবং ১জন বালকের বয়সের গড় ৩৬ বছর। পুরুষদের বয়সের গড় ৪১ বছর এবং স্ত্রীলোকদের বয়সের গড় ৩৫ বছর। বালকের বয়স কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: ৬জন পুরুষ, ৮ জন স্ত্রীলোক এবং ১জন বালকের বয়সের গড় ৩৬ বছর। পুরুষদের বয়সের গড় ৪১ বছর এবং স্ত্রীলোকদের বয়সের গড় ৩৫ বছর। বালকের বয়স কত?
সমাধান:
দেওয়া আছে,
৬জন পুরুষ, ৮ জন স্ত্রীলোক এবং ১ জন বালকের বয়সের গড় ৩৬ বছর।
∴ ৬জন পুরুষ, ৮ জন স্ত্রীলোক এবং ১জন বালকের বয়সের সমষ্টি = ৩৬ × ১৫ = ৫৪০ বছর
আবার,
পুরুষদের বয়সের গড় ৪১ বছর
∴ পুরুষদের বয়সের সমষ্টি = ৪১ × ৬ = ২৪৬ বছর
এবং,
স্ত্রীলোকদের বয়সের গড় ৩৫ বছর
∴ স্ত্রীলোকদের বয়সের সমষ্টি = ৩৫ × ৮ = ২৮০ বছর
∴ বালকের বয়স = ৫৪০ - (২৪৬ + ২৮০) = ১৪ বছর
৪,৯০৭.
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন:
সমাধান:
= (১/২) ÷ (৩/৪) এর (৮/৯) × (৯/৫)
= (১/২) ÷ (২/৩) × (৯/৫)
= (১/২) × (৩/২) × (৯/৫)
= ২৭/২০
সমাধান:
= (১/২) ÷ (৩/৪) এর (৮/৯) × (৯/৫)
= (১/২) ÷ (২/৩) × (৯/৫)
= (১/২) × (৩/২) × (৯/৫)
= ২৭/২০
৪,৯০৮.
কতজন বালককে 125 টি কমলা লেবু এবং 145 টি কলা সমানভাবে ভাগ করে দেয়া যায়?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: কতজন বালককে 125 টি কমলা লেবু এবং 145 টি কলা সমানভাবে ভাগ করে দেয়া যায়?
সমাধান:
এখানে,
125 ও 145 এর গ.সা.গু'ই হবে নির্ণেয় বালকের সংখ্যা।
125 ও 145 এর গ.সা.গু = 5
∴ 5 জন বালককে 125 টি আপেল ও 145 টি কমলা সমানভাবে ভাগ করে দেয়া যাবে।
৪,৯০৯.
নিচের ভগ্নাংশের মধ্যে কোনটি বৃহত্তম?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: নিচের ভগ্নাংশের মধ্যে কোনটি বৃহত্তম?
সমাধান:
0.3 = 0.3
√0.3 = .54
1/3 = 0.33
2/5 = 0.4
সমাধান:
0.3 = 0.3
√0.3 = .54
1/3 = 0.33
2/5 = 0.4
৪,৯১০.
15, 30 এবং 6 এর ল.সা.গু ও গ.সা.গু হল-
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 15, 30 এবং 6 এর ল.সা.গু ও গ.সা.গু হল-
সমাধান:
মৌলিক উৎপাদক বের করা
15 এর মৌলিক উৎপাদক:
15 = 3 × 5
30 এর মৌলিক উৎপাদক:
30 = 2 × 3 × 5
6 এর মৌলিক উৎপাদক:
6 = 2 × 3
গ.সা.গু বের করার জন্য প্রতিটি মৌলিক সংখ্যার সর্বনিম্ন ঘাত বের করতে হবে।
3 এর সর্বনিম্ন ঘাত হল 31
5 এর সর্বনিম্ন ঘাত হল 50 (যেহেতু 6 এ 5 এর কোন উৎপাদক নেই)
2 এর সর্বনিম্ন ঘাত হল 20 (যেহেতু 15 এ 2 এর কোন উৎপাদক নেই)
তাহলে, গ.সা.গু হবে:
31 × 50 × 20 = 3
ল.সা.গু বের করার জন্য প্রতিটি মৌলিক সংখ্যার সর্বোচ্চ ঘাত বের করতে হবে।
3 এর সর্বোচ্চ ঘাত হল 31
5 এর সর্বোচ্চ ঘাত হল 51
2 এর সর্বোচ্চ ঘাত হল 21
তাহলে, ল.সা.গু হবে:
31 × 51 × 21 = 30
সমাধান:
মৌলিক উৎপাদক বের করা
15 এর মৌলিক উৎপাদক:
15 = 3 × 5
30 এর মৌলিক উৎপাদক:
30 = 2 × 3 × 5
6 এর মৌলিক উৎপাদক:
6 = 2 × 3
গ.সা.গু বের করার জন্য প্রতিটি মৌলিক সংখ্যার সর্বনিম্ন ঘাত বের করতে হবে।
3 এর সর্বনিম্ন ঘাত হল 31
5 এর সর্বনিম্ন ঘাত হল 50 (যেহেতু 6 এ 5 এর কোন উৎপাদক নেই)
2 এর সর্বনিম্ন ঘাত হল 20 (যেহেতু 15 এ 2 এর কোন উৎপাদক নেই)
তাহলে, গ.সা.গু হবে:
31 × 50 × 20 = 3
ল.সা.গু বের করার জন্য প্রতিটি মৌলিক সংখ্যার সর্বোচ্চ ঘাত বের করতে হবে।
3 এর সর্বোচ্চ ঘাত হল 31
5 এর সর্বোচ্চ ঘাত হল 51
2 এর সর্বোচ্চ ঘাত হল 21
তাহলে, ল.সা.গু হবে:
31 × 51 × 21 = 30
৪,৯১১.
পিতা ও দুই পুত্রের বয়সের গড় ২০ বৎসর। ২ বৎসর পূর্বে দুই পুত্রের বয়সের গড় ছিল ১২ বৎসর। পিতার বর্তমান বয়স কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: পিতা ও দুই পুত্রের বয়সের গড় ২০ বৎসর। ২ বৎসর পূর্বে দুই পুত্রের বয়সের গড় ছিল ১২ বৎসর। পিতার বর্তমান বয়স কত?
সমাধান:
পিতা ও দুই পুত্রের বর্তমান গড় বয়স ২০ বছর
পিতা ও দুই পুত্রের বর্তমান বয়সের সমষ্টি = (২০ × ৩) বছর
= ৬০ বছর
২ বছর পূর্বে দুই পুত্রের গড় বয়স ১২ বছর
২ বছর পূর্বে দুই পুত্রের মোট বয়স = ১২ × ২ বছর
= ২৪ বছর
বর্তমানে দুই পুত্রের মোট বয়স = ২৪ + (২ + ২) বছর
= (২৪ + ৪) বছর
= ২৮ বছর
∴ পিতার বর্তমান বয়স = (৬০ - ২৮) = ৩২ বছর
সমাধান:
পিতা ও দুই পুত্রের বর্তমান গড় বয়স ২০ বছর
পিতা ও দুই পুত্রের বর্তমান বয়সের সমষ্টি = (২০ × ৩) বছর
= ৬০ বছর
২ বছর পূর্বে দুই পুত্রের গড় বয়স ১২ বছর
২ বছর পূর্বে দুই পুত্রের মোট বয়স = ১২ × ২ বছর
= ২৪ বছর
বর্তমানে দুই পুত্রের মোট বয়স = ২৪ + (২ + ২) বছর
= (২৪ + ৪) বছর
= ২৮ বছর
∴ পিতার বর্তমান বয়স = (৬০ - ২৮) = ৩২ বছর
৪,৯১২.
৮৮, ৯১, ৯৫ এবং ৯৯ সংখ্যাগুলোর মধ্যে কোন সংখ্যাটির সর্বোচ্চ সংখ্যক উৎপাদক রয়েছে?
ব্যাখ্যা
৮৮ = ২ × ২ × ২ × ১১
= ২৩ × ১১
∴ ভাজক সংখ্যা = ( ৩ + ১) × (১ + ১) = ৮
৯১ = ৭ × ১৩
∴ ভাজক সংখ্যা = ( ১ + ১) × (১+১) = ৪
৯৫ = ৫ × ১৯
∴ ভাজক সংখ্যা = ( ১ + ১) × (১+১) = ৪
৯৯ = ৩ × ৩ × ১১
= ৩২ × ১১
∴ ভাজক সংখ্যা = ( ২ + ১) × (১ + ১) = ৬
সুতরাং ৮৮ এর সর্বোচ্চ ভাজক সংখ্যা আছে।
= ২৩ × ১১
∴ ভাজক সংখ্যা = ( ৩ + ১) × (১ + ১) = ৮
৯১ = ৭ × ১৩
∴ ভাজক সংখ্যা = ( ১ + ১) × (১+১) = ৪
৯৫ = ৫ × ১৯
∴ ভাজক সংখ্যা = ( ১ + ১) × (১+১) = ৪
৯৯ = ৩ × ৩ × ১১
= ৩২ × ১১
∴ ভাজক সংখ্যা = ( ২ + ১) × (১ + ১) = ৬
সুতরাং ৮৮ এর সর্বোচ্চ ভাজক সংখ্যা আছে।
৪,৯১৩.
তিনটি পূর্ণ সংখ্যার গড় ১৪০ এবং ক্ষুদ্রতম সংখ্যা দুইটির গড় ১২০ বৃহত্তম সংখ্যাটি কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: তিনটি পূর্ণ সংখ্যার গড় ১৪০ এবং ক্ষুদ্রতম সংখ্যা দুইটির গড় ১২০ বৃহত্তম সংখ্যাটি কত?
সমাধান:
তিনটি পূর্ণ সংখ্যার গড় ১৪০
তিনটি পূর্ণ সংখ্যার সমষ্টি (১৪০ × ৩) = ৪২০
ক্ষুদ্রতম সংখ্যা দুইটির গড় ১২০
ক্ষুদ্রতম সংখ্যা দুইটির সমষ্টি (১২০ × ২) = ২৪০
∴ বৃহত্তম সংখ্যাটি (৪২০ - ২৪০) = ১৮০
সমাধান:
তিনটি পূর্ণ সংখ্যার গড় ১৪০
তিনটি পূর্ণ সংখ্যার সমষ্টি (১৪০ × ৩) = ৪২০
ক্ষুদ্রতম সংখ্যা দুইটির গড় ১২০
ক্ষুদ্রতম সংখ্যা দুইটির সমষ্টি (১২০ × ২) = ২৪০
∴ বৃহত্তম সংখ্যাটি (৪২০ - ২৪০) = ১৮০
৪,৯১৪.
a ও b বিজোড় সংখ্যা হলে নিচের কোনটি জোড়?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: a ও b বিজোড় সংখ্যা হলে নিচের কোনটি জোড়?
সমাধান:
যেহেতু, a ও b বিজোড় সংখ্যা তাই a ও b এর মান 5 ধরে
ab = 5 . 5 = 25
ab + 1 = 5 . 5 + 1 = 26
ab + 2 = 5 . 5 + 2 = 27
ab + 4 = 5 . 5 + 4 = 29
সমাধান:
যেহেতু, a ও b বিজোড় সংখ্যা তাই a ও b এর মান 5 ধরে
ab = 5 . 5 = 25
ab + 1 = 5 . 5 + 1 = 26
ab + 2 = 5 . 5 + 2 = 27
ab + 4 = 5 . 5 + 4 = 29
৪,৯১৫.
নিচের কোনটি মূলদ সংখ্যা?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: নিচের কোনটি মূলদ সংখ্যা?
সমাধান:
√২৭ / √৪৮
= √(২৭/৪৮)
= √(৯/১৬)
= ৩/৪
∴ √২৭ / √৪৮ মূলদ সংখ্যা।
√২৭, √৪ × √৯০, √৫০ × √৮০ সংখ্যাগুলোকে ভগ্নাংশ আকারে প্রকাশ করা যায় না।
সমাধান:
√২৭ / √৪৮
= √(২৭/৪৮)
= √(৯/১৬)
= ৩/৪
∴ √২৭ / √৪৮ মূলদ সংখ্যা।
√২৭, √৪ × √৯০, √৫০ × √৮০ সংখ্যাগুলোকে ভগ্নাংশ আকারে প্রকাশ করা যায় না।
৪,৯১৬.
৫০ সংখ্যাটি a হতে ১১ কম। গাণিতিক আকারে প্রকাশ করলে কী হবে?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: ৫০ সংখ্যাটি a হতে ১১ কম। গাণিতিক আকারে প্রকাশ করলে কী হবে?
সমাধান:
৫০ = a - ১১
⇒ a = ৫০ + ১১
সমাধান:
৫০ = a - ১১
⇒ a = ৫০ + ১১
৪,৯১৭.
অপ্রকৃত ভগ্নাংশ + অপ্রকৃত ভগ্নাংশ ≠ ?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: অপ্রকৃত ভগ্নাংশ + অপ্রকৃত ভগ্নাংশ ≠ ?
সমাধান :
প্রকৃত ভগ্নাংশ + অপ্রকৃত ভগ্নাংশ = অপ্রকৃত ভগ্নাংশ। যেমন -
(১/৩)(প্রকৃত ভগ্নাংশ) + (৩/২)(অপ্রকৃত ভগ্নাংশ) = (২ + ৯)/৬ = ৯১১/৬)(অপ্রকৃত ভগ্নাংশ)
অপ্রকৃত ভগ্নাংশ + অপ্রকৃত ভগ্নাংশ = অপ্রকৃত ভগ্নাংশ বা পূর্ণ সংখ্যা। যেমন -
(১৭/১০)(অপ্রকৃত ভগ্নাংশ) + (১৩/১০)(অপ্রকৃত ভগ্নাংশ) = ৩; এক্ষেত্রে ৩ হচ্ছে পূর্ণ সংখ্যা।
আবার,
(১৫/১০)(অপ্রকৃত ভগ্নাংশ) + (১৩/১০)(অপ্রকৃত ভগ্নাংশ) = ২৮/২০ = (৭/৫) (অপ্রকৃত ভগ্নাংশ) = ১(২/৫) (মিশ্র ভগ্নাংশ)
সমাধান :
প্রকৃত ভগ্নাংশ + অপ্রকৃত ভগ্নাংশ = অপ্রকৃত ভগ্নাংশ। যেমন -
(১/৩)(প্রকৃত ভগ্নাংশ) + (৩/২)(অপ্রকৃত ভগ্নাংশ) = (২ + ৯)/৬ = ৯১১/৬)(অপ্রকৃত ভগ্নাংশ)
অপ্রকৃত ভগ্নাংশ + অপ্রকৃত ভগ্নাংশ = অপ্রকৃত ভগ্নাংশ বা পূর্ণ সংখ্যা। যেমন -
(১৭/১০)(অপ্রকৃত ভগ্নাংশ) + (১৩/১০)(অপ্রকৃত ভগ্নাংশ) = ৩; এক্ষেত্রে ৩ হচ্ছে পূর্ণ সংখ্যা।
আবার,
(১৫/১০)(অপ্রকৃত ভগ্নাংশ) + (১৩/১০)(অপ্রকৃত ভগ্নাংশ) = ২৮/২০ = (৭/৫) (অপ্রকৃত ভগ্নাংশ) = ১(২/৫) (মিশ্র ভগ্নাংশ)
৪,৯১৮.
তিনটি ক্রমিক সংখ্যার যোগফল ১২৩। ক্ষুদ্রতম সংখ্যা দুইটির গুণফল কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: তিনটি ক্রমিক সংখ্যার যোগফল ১২৩। ক্ষুদ্রতম সংখ্যা দুইটির গুণফল কত?
সমাধান:
ধরি,
তিনটি ক্রমিক সংখ্যা যথাক্রমে x - ১, x এবং x + ১
প্রশ্নমতে,
x - ১ + x + x + ১ = ১২৩
বা, ৩x = ১২৩
বা, x = ১২৩/৩
∴ x = ৪১
তিনটি ক্রমিক সংখ্যা যথাক্রমে ৪০, ৪১ এবং ৪২
∴ ক্ষুদ্রতম সংখ্যা দুইটির গুণফল = (৪০ × ৪১)
= ১৬৪০ ।
সমাধান:
ধরি,
তিনটি ক্রমিক সংখ্যা যথাক্রমে x - ১, x এবং x + ১
প্রশ্নমতে,
x - ১ + x + x + ১ = ১২৩
বা, ৩x = ১২৩
বা, x = ১২৩/৩
∴ x = ৪১
তিনটি ক্রমিক সংখ্যা যথাক্রমে ৪০, ৪১ এবং ৪২
∴ ক্ষুদ্রতম সংখ্যা দুইটির গুণফল = (৪০ × ৪১)
= ১৬৪০ ।
৪,৯১৯.
একটি সংখ্যা থেকে ৪০% বিয়োগ করলে ৪৫ থাকে। সংখ্যাটি কত?
ব্যাখ্যা
অর্থাৎ, সংখ্যাটির (১০০ - ৪০)% = ৬০% = ৪৫
∴ সংখ্যাটি, ১০০% = (৪৫/৬০%) × ১০০% = ৭৫
৪,৯২০.
একটি বাক্সে ১২০টি লাল মার্বেল এবং ১৬৮টি সবুজ মার্বেল আছে। কোনো মার্বেল না ভেঙে সর্বাধিক কতগুলি প্যাকেটে এমনভাবে রাখা যাবে যেন প্রতিটি প্যাকেটে সমান সংখ্যক লাল ও সবুজ মার্বেল থাকে?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি বাক্সে ১২০টি লাল মার্বেল এবং ১৬৮টি সবুজ মার্বেল আছে। কোনো মার্বেল না ভেঙে সর্বাধিক কতগুলি প্যাকেটে এমনভাবে রাখা যাবে যেন প্রতিটি প্যাকেটে সমান সংখ্যক লাল ও সবুজ মার্বেল থাকে?
সমাধান:
১২০ = ২ × ২ × ২ × ৩ × ৫
১৬৮ = ২ × ২ × ২ × ৩ × ৭
∴ ১২০ ও ১৬৮ এর গ.সা.গু = ২৪
∴ মার্বেলগুলো সর্বাধিক ২৪টি প্যাকেটে রাখা যাবে।
৪,৯২১.
যদি দুইটি পর্যায় ক্রমিক ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যার গুণফল 210 হয়, তবে বৃহত্তম সংখ্যাটি কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: যদি দুইটি পর্যায় ক্রমিক ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যার গুণফল 210 হয়, তবে বৃহত্তম সংখ্যাটি কত?
সমাধান:
ধরি, দুটি পর্যায়ক্রমিক ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা হল x ও x + 1
প্রশ্নমতে,
x(x + 1) = 210
⇒ x2 + x = 210
⇒ x2 + x - 210 = 0
⇒ x2 + 15x - 14x - 210 = 0
⇒ x(x + 15) - 14(x + 15) = 0
⇒ (x + 15)(x - 14) = 0
হয়, x + 15 = 0
∴ x = - 15 [নেগেটিভ মান গ্রহণযোগ্য নয়]
অথবা,
x - 14 = 0
∴ x = 14
∴ বৃহত্তম সংখ্যাটি = x + 1 = 14 + 1 = 15
সমাধান:
ধরি, দুটি পর্যায়ক্রমিক ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা হল x ও x + 1
প্রশ্নমতে,
x(x + 1) = 210
⇒ x2 + x = 210
⇒ x2 + x - 210 = 0
⇒ x2 + 15x - 14x - 210 = 0
⇒ x(x + 15) - 14(x + 15) = 0
⇒ (x + 15)(x - 14) = 0
হয়, x + 15 = 0
∴ x = - 15 [নেগেটিভ মান গ্রহণযোগ্য নয়]
অথবা,
x - 14 = 0
∴ x = 14
∴ বৃহত্তম সংখ্যাটি = x + 1 = 14 + 1 = 15
৪,৯২২.
একটি কেক এর ৩/৪ অংশ একজন ছেলে আর ১/৪ অংশ একজন মেয়ে খায়। যদি মেয়েটি ৩০ গ্রাম খায়, কেকের মোট ওজন কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্নঃ একটি কেক এর ৩/৪ অংশ একজন ছেলে আর ১/৪ অংশ একজন মেয়ে খায়। যদি মেয়েটি ৩০ গ্রাম খায়, কেকের মোট ওজন কত?
সমাধানঃ
মেয়ের অংশ = ১/৪,
খাওয়া = ৩০ গ্রাম
১/৪ অংশ কেক = ৩০ গ্রাম
১ অংশ কেক = ৩০ × ৪ গ্রাম = ১২০ গ্রাম
∴ কেকের মোট ওজন ১২০ গ্রাম
৪,৯২৩.
প্রথম ৫টি বিজোড় স্বাভাবিক সংখার যোগফল নিচের কোনটি?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: প্রথম ৫টি বিজোড় স্বাভাবিক সংখার যোগফল নিচের কোনটি?
সমাধান:
প্রথম ৫টি বিজোড় স্বাভাবিক সংখ্যা হলো:
১, ৩, ৫, ৭, ৯
এগুলোর যোগফল:
১ + ৩ + ৫ + ৭ + ৯ = ২৫
২৫ = ৫ × ৫
∴ ৫ × ৫
৪,৯২৪.
নিচের কোনটি প্রকৃত ভগ্নাংশ?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: নিচের কোনটি প্রকৃত ভগ্নাংশ?
সমাধান:
প্রকৃত ভগ্নাংশ: যে ভগ্নাংশের লব হর অপেক্ষা ছোট তাকে প্রকৃত ভগ্নাংশ বলে।
এখানে,
১.৮ = ১৮/১০ = ৯/৫ [অপ্রকৃত ভগ্নাংশ]
১.০৫ = ১০৫/১০০ = ২১/২০ [অপ্রকৃত ভগ্নাংশ]
১.৯ = ১৯/১০ [অপ্রকৃত ভগ্নাংশ]
০.০৮ = ৮/১০০ = ২/২৫ [প্রকৃত ভগ্নাংশ]
∴ প্রকৃত ভগ্নাংশ = ২/২৫
৪,৯২৫.
একটি রাস্তায় ১২৫ মিটার অন্তর বৈদ্যুতিক খুঁটি পোঁতা হচ্ছে। ৮ কি.মি. দীর্ঘ রাস্তায় কতগুলো খুঁটির প্রয়োজন হবে?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি রাস্তায় ১২৫ মিটার অন্তর বৈদ্যুতিক খুঁটি পোঁতা হচ্ছে। ৮ কি.মি. দীর্ঘ রাস্তায় কতগুলো খুঁটির প্রয়োজন হবে?
সমাধান:
১ কি.মি. = ১০০০ মিটার
৮ কি.মি. = (১০০০ × ৮) মিটার
= ৮০০০ মিটার
১২৫ মিটার অন্তর বৈদ্যুতিক খুঁটির প্রয়োজন হবে = ৮০০০/১২৫ টি
= ৬৪ টি
শুরুতে ১টি খুঁটির প্রয়োজন
মোট খুঁটির প্রয়োজন = (৬৪ + ১)টি = ৬৫টি
সমাধান:
১ কি.মি. = ১০০০ মিটার
৮ কি.মি. = (১০০০ × ৮) মিটার
= ৮০০০ মিটার
১২৫ মিটার অন্তর বৈদ্যুতিক খুঁটির প্রয়োজন হবে = ৮০০০/১২৫ টি
= ৬৪ টি
শুরুতে ১টি খুঁটির প্রয়োজন
মোট খুঁটির প্রয়োজন = (৬৪ + ১)টি = ৬৫টি
৪,৯২৬.
৫০ সংখ্যাটির চেয়ে ছোট কতটি মৌলিক সংখ্যা আছে?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: ৫০ সংখ্যাটির চেয়ে ছোট কতটি মৌলিক সংখ্যা আছে?
সমাধান:
১ এর চেয়ে বড় যে সকল সংখ্যাকে শুধু ১ এবং ঐ সংখ্যা ছাড়া আর অন্য কোনো সংখ্যা দ্বারা ভাগ করা যায় না, তাদেরকে মৌলিক সংখ্যা বলে।
অর্থাৎ মৌলিক সংখ্যার উৎপাদক হবে দুইটি: ১ এবং শুধুমাত্র সেই সংখ্যাটি।
আমরা জানি,
১ থেকে ৫০ পর্যন্ত ১৫ টি মৌলিক সংখ্যা রয়েছে।
যথা - ২, ৩, ৫, ৭, ১১, ১৩, ১৭, ১৯, ২৩, ২৯, ৩১, ৩৭, ৪১, ৪৩ এবং ৪৭।
সমাধান:
১ এর চেয়ে বড় যে সকল সংখ্যাকে শুধু ১ এবং ঐ সংখ্যা ছাড়া আর অন্য কোনো সংখ্যা দ্বারা ভাগ করা যায় না, তাদেরকে মৌলিক সংখ্যা বলে।
অর্থাৎ মৌলিক সংখ্যার উৎপাদক হবে দুইটি: ১ এবং শুধুমাত্র সেই সংখ্যাটি।
আমরা জানি,
১ থেকে ৫০ পর্যন্ত ১৫ টি মৌলিক সংখ্যা রয়েছে।
যথা - ২, ৩, ৫, ৭, ১১, ১৩, ১৭, ১৯, ২৩, ২৯, ৩১, ৩৭, ৪১, ৪৩ এবং ৪৭।
৪,৯২৭.
নিচের কোন সংখ্যাটি বৃহত্তম?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: নিচের কোন সংখ্যাটি বৃহত্তম?
সমাধান:
এখানে,
৩/৪ = ০.৭৫০
৪/৫ = ০.৮০০
৬/৭ = ০.৮৫৭
৭/৮ = ০.৮৭৫
∴ সংখ্যা গুলোর মধ্যে ৭/৮ সংখ্যাটি বৃহত্তম।
সমাধান:
এখানে,
৩/৪ = ০.৭৫০
৪/৫ = ০.৮০০
৬/৭ = ০.৮৫৭
৭/৮ = ০.৮৭৫
∴ সংখ্যা গুলোর মধ্যে ৭/৮ সংখ্যাটি বৃহত্তম।
৪,৯২৮.
৬০ থেকে ৮০ পর্যন্ত মৌলিক সংখ্যাগুলোর যোগফল কত?
ব্যাখ্যা
- ৬৯ থেকে ৮০ পর্যন্ত মৌলিক সংখ্যা ৫টি।
যথা- ৬১, ৬৭, ৭১, ৭৩ ও ৭৯।
- সুতরাং সংখ্যা পাঁচটির যোগফল = ৬১ + ৬৭ + ৭১ + ৭৩ + ৭৯
= ৩৫১।
যথা- ৬১, ৬৭, ৭১, ৭৩ ও ৭৯।
- সুতরাং সংখ্যা পাঁচটির যোগফল = ৬১ + ৬৭ + ৭১ + ৭৩ + ৭৯
= ৩৫১।
৪,৯২৯.
১ ÷ ০ = কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্নঃ ১ ÷ ০ = কত?
সমাধান:
১ ÷ ০ = অনির্ণেয়
তবে অপশনে অনির্ণেয় না থাকলে যদি অসীম থাকে তাহলে অসীম উত্তর হবে।
অসীম হওয়ার যুক্তি হলো:
1 ÷ 0.1 = 10
1 ÷ 0.01 = 100
1 ÷ 0.001 = 1000
1 ÷ 0.0001 = 10000
1 ÷ 0.00..................1 ≈ 0 = 100............................... ≈ অসীম
অতএব
১ ÷ ০ = অসীম বলা যায়।
সমাধান:
১ ÷ ০ = অনির্ণেয়
তবে অপশনে অনির্ণেয় না থাকলে যদি অসীম থাকে তাহলে অসীম উত্তর হবে।
অসীম হওয়ার যুক্তি হলো:
1 ÷ 0.1 = 10
1 ÷ 0.01 = 100
1 ÷ 0.001 = 1000
1 ÷ 0.0001 = 10000
1 ÷ 0.00..................1 ≈ 0 = 100............................... ≈ অসীম
অতএব
১ ÷ ০ = অসীম বলা যায়।
৪,৯৩০.
অপ্রকৃত ভগ্নাংশের মান সবসময় কত হয়?
ব্যাখ্যা
প্রকৃত ভগ্নাংশ:
- যে ভগ্নাংশের লব অপেক্ষা হর বড় তাকে প্রকৃত ভগ্নাংশ বলে।
অর্থাৎ, প্রকৃত ভগ্নাংশের ক্ষেত্রে, লব < হর
যেমন- ৩/৪, ৭/১৮ ইত্যাদি।
সুতরাং, প্রকৃত ভগ্নাংশ < ১ ।
অপ্রকৃত ভগ্নাংশ:
- যে ভগ্নাংশের লব অপেক্ষা হর ছোট তাকে অপ্রকৃত ভগ্নাংশ বলে।
অর্থাৎ, অপ্রকৃত ভগ্নাংশের ক্ষেত্রে, লব > হর
যেমন- ৪/৩, ১৮/৭ ইত্যাদি।
সুতরাং, অপ্রকৃত ভগ্নাংশ > ১ ।
- যে ভগ্নাংশের লব অপেক্ষা হর বড় তাকে প্রকৃত ভগ্নাংশ বলে।
অর্থাৎ, প্রকৃত ভগ্নাংশের ক্ষেত্রে, লব < হর
যেমন- ৩/৪, ৭/১৮ ইত্যাদি।
সুতরাং, প্রকৃত ভগ্নাংশ < ১ ।
অপ্রকৃত ভগ্নাংশ:
- যে ভগ্নাংশের লব অপেক্ষা হর ছোট তাকে অপ্রকৃত ভগ্নাংশ বলে।
অর্থাৎ, অপ্রকৃত ভগ্নাংশের ক্ষেত্রে, লব > হর
যেমন- ৪/৩, ১৮/৭ ইত্যাদি।
সুতরাং, অপ্রকৃত ভগ্নাংশ > ১ ।
৪,৯৩১.
৬৫১২০১ এর সাথে কোন ক্ষুদ্রতম সংখ্যা যোগ করলে যোগফল একটি পূর্ণ বর্গসংখ্যা হবে?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: ৬৫১২০১ এর সাথে কোন ক্ষুদ্রতম সংখ্যা যোগ করলে যোগফল একটি পূর্ণ বর্গসংখ্যা হবে?
সমাধান:
যেহেতু, সংখ্যাটির বর্গমূল নির্ণয় করার সময় ভাগশেষ ১৫৬৫ আছে। কাজেই প্রদত্ত সংখ্যাটি পূর্ণ বর্গসংখ্যা নয়।
৬৫১২০১ এর সাথে কোনো ক্ষুদ্রতম সংখ্যা যোগ করলে যোগফল পূর্ণবর্গ হবে এবং তখন এর বর্গমূল হবে ৮০৬ + ১ = ৮০৭৮০৭ এর বর্গ = ৮০৭ × ৮০৭ = ৬৫১২৪৯
∴ নির্ণেয় ক্ষুদ্রতম সংখ্যাটি = ৬৫১২৪৯ - ৬৫১২০১
= ৪৮ ।
সমাধান:
যেহেতু, সংখ্যাটির বর্গমূল নির্ণয় করার সময় ভাগশেষ ১৫৬৫ আছে। কাজেই প্রদত্ত সংখ্যাটি পূর্ণ বর্গসংখ্যা নয়।
৬৫১২০১ এর সাথে কোনো ক্ষুদ্রতম সংখ্যা যোগ করলে যোগফল পূর্ণবর্গ হবে এবং তখন এর বর্গমূল হবে ৮০৬ + ১ = ৮০৭৮০৭ এর বর্গ = ৮০৭ × ৮০৭ = ৬৫১২৪৯
∴ নির্ণেয় ক্ষুদ্রতম সংখ্যাটি = ৬৫১২৪৯ - ৬৫১২০১
= ৪৮ ।
৪,৯৩২.
কোন বৃহত্তম সংখ্যা দিয়ে ৭/২৪, ৫/৩২ এবং ৮৩/১৬ কে ভাগ করলে প্রত্যেক ক্ষেত্রে ভাগফল পূর্ণসংখ্যা হবে?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: কোন বৃহত্তম সংখ্যা দিয়ে ৭/২৪, ৫/৩২ এবং ৮৩/১৬ কে ভাগ করলে প্রত্যেক ক্ষেত্রে ভাগফল পূর্ণসংখ্যা হবে?
সমাধান:
নির্ণেয় সংখ্যাটি হবে ৭/২৪, ৫/৩২ এবং ৮৩/১৬ এর গ.সা.গু.।
ভগ্নাংশগুলোর লব ৭, ৫, ৮৩ এর গ.সা.গু. = ১
এবং হর ২৪, ৩২, ১৬ এর ল.সা.গু. = ৯৬
∴ ভগ্নাংশগুলোর গ.সা.গু = লবগুলোর গ.সা.গু/হরগুলোর ল.সা.গু.
= ১/৯৬
অতএব, নির্ণেয় বৃহত্তম সংখ্যাটি হলো ১/৯৬।
৪,৯৩৩.
দুটি সংখ্যার গ.সা.গু. এবং ল.সা.গু. যথাক্রমে ১২ এবং ১৮০। প্রথম সংখ্যাটিকে ৩ দ্বারা ভাগ করলে ভাগফল ২০ হয়। দ্বিতীয় সংখ্যাটি কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: দুটি সংখ্যার গ.সা.গু. এবং ল.সা.গু. যথাক্রমে ১২ এবং ১৮০। প্রথম সংখ্যাটিকে ৩ দ্বারা ভাগ করলে ভাগফল ২০ হয়। দ্বিতীয় সংখ্যাটি কত?
সমাধান:
দেওয়া আছে,
গ.সা.গু. এবং ল.সা.গু. যথাক্রমে ১২ এবং ১৮০
আমরা জানি,
দুটি সংখ্যার গুণফল = গ.সা.গু. × ল.সা.গু.
= ১২ × ১৮০
= ২১৬০
এখন,
প্রথম সংখ্যাটিকে ৩ দ্বারা ভাগ করলে ভাগফল ২০ হয়।
∴ প্রথম সংখ্যা = ২০ × ৩ = ৬০
ধরি, দ্বিতীয় সংখ্যা = ক
সুতরাং, ৬০ × ক = ২১৬০
⇒ ক = ২১৬০/৬০
∴ ক = ৩৬
সুতরাং, দ্বিতীয় সংখ্যা ৩৬
৪,৯৩৪.
নিচের কোনটি বিজোড় পূর্ণসংখ্যা?
ব্যাখ্যা
অপশন যাচাই করে পাই,
x = 1 ধরে,
4x(x - 1) + 1 = 4.1(1 - 1) + 1 = 4.1.0 + 1 = 1
4x(x + 1) - 2 = 4.1(1 + 1) - 2 = 4.1.2 - 2 = 6
4x(x - 1) + 2 = 4.1(1 - 1) + 2 = 4.1.0 + 2 = 2
4x(x - 1) + 4 = 4.1(1 - 1) + 4= 4.1.0 + 4= 4
x = 1 ধরে,
4x(x - 1) + 1 = 4.1(1 - 1) + 1 = 4.1.0 + 1 = 1
4x(x + 1) - 2 = 4.1(1 + 1) - 2 = 4.1.2 - 2 = 6
4x(x - 1) + 2 = 4.1(1 - 1) + 2 = 4.1.0 + 2 = 2
4x(x - 1) + 4 = 4.1(1 - 1) + 4= 4.1.0 + 4= 4
৪,৯৩৫.
১/৩, ২/৯ ও ১/৬ এর ল.সা.গু কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন : ১/৩, ২/৯ ও ১/৬ এর ল.সা.গু কত?
সমাধান :
১/৩, ২/৯ ও ১/৬
ভগ্নাংশের ল.সা.গু = লব গুলোর ল.সা.গু / হর গুলোর গ.সা.গু
এখানে,
লব = ১, ২ ও ১ এর ল.সা.গু = ২
হর = ৩, ৯ ও ৬ এর গ.সা.গু = ৩
∴ ১/৩, ২/৯ ও ১/৬ এর ল.সা.গু = ২/৩
সমাধান :
১/৩, ২/৯ ও ১/৬
ভগ্নাংশের ল.সা.গু = লব গুলোর ল.সা.গু / হর গুলোর গ.সা.গু
এখানে,
লব = ১, ২ ও ১ এর ল.সা.গু = ২
হর = ৩, ৯ ও ৬ এর গ.সা.গু = ৩
∴ ১/৩, ২/৯ ও ১/৬ এর ল.সা.গু = ২/৩
৪,৯৩৬.
কোন সংখ্যার 60% থেকে 60 বিয়োগ করলে ফলাফল হবে 60। তবে সংখ্যাটি হত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: কোন সংখ্যার 60% থেকে 60 বিয়োগ করলে ফলাফল হবে 60। তবে সংখ্যাটি হত?
সমাধান:
ধরি,
সংখ্যাটি = ক
প্রশ্নমতে,
∴ ক এর ৬০% - ৬০ = ৬০
বা, ক এর (৬০/১০০) - ৬০ = ৬০
বা, ৬০ক/১০০ = ৬০ + ৬০
বা, ৬০ক/১০০ = ১২০
বা, ৬০ক = ১২০ × ১০০
বা, ৬০ক = ১২০০০
বা, ক = ১২০০০/৬০
∴ ক = ২০০
∴ সংখ্যাটি = ২০০
সমাধান:
ধরি,
সংখ্যাটি = ক
প্রশ্নমতে,
∴ ক এর ৬০% - ৬০ = ৬০
বা, ক এর (৬০/১০০) - ৬০ = ৬০
বা, ৬০ক/১০০ = ৬০ + ৬০
বা, ৬০ক/১০০ = ১২০
বা, ৬০ক = ১২০ × ১০০
বা, ৬০ক = ১২০০০
বা, ক = ১২০০০/৬০
∴ ক = ২০০
∴ সংখ্যাটি = ২০০
৪,৯৩৭.
২৪ জন ছাত্র এবং একজন শিক্ষকের বয়সের গড় ১৫ বছর। শিক্ষকের বাদ দিয়ে ছাত্রদের বয়সের গড় করলে গড় ১ বছর কমে যায়। শিক্ষকের বয়স কত?
ব্যাখ্যা
ছাত্র ও শিক্ষকের বয়সের সমষ্টি = (২৪+১)×১৫ = ৩৭৫ বছর।
ছাত্রদের বয়সের সমষ্টি ২৪×(১৫-১) = ৩৩৬ বছর।
∴ শিক্ষকের বয়স = (৩৭৫ - ৩৩৬) = ৩৯
ছাত্রদের বয়সের সমষ্টি ২৪×(১৫-১) = ৩৩৬ বছর।
∴ শিক্ষকের বয়স = (৩৭৫ - ৩৩৬) = ৩৯
৪,৯৩৮.
কোন প্রকৃত ভগ্নাংশের লব ও হরের যোগফল 14 এবং বিয়োগফল 8 হলে ভগ্নাংশটি = কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: কোন প্রকৃত ভগ্নাংশের লব ও হরের যোগফল 14 এবং বিয়োগফল 8 হলে ভগ্নাংশটি = কত?
সমাধান:
মনে করি,
প্রকৃত ভগ্নাংশটির লব = x
প্রকৃত ভগ্নাংশটির হর = y
∴ ভগ্নাংশটি = x/y
প্রশ্নমতে,
x + y = 14...........(1)
y - x = 8 ..........(2)
(1) + (2) পাই
2y = 22
y = 11
y এর মান (1) বসিয়ে পাই,
x + 11 =14
x = 14 - 11
x = 3
ভগ্নাংশটি = x/y = 3/11
সমাধান:
মনে করি,
প্রকৃত ভগ্নাংশটির লব = x
প্রকৃত ভগ্নাংশটির হর = y
∴ ভগ্নাংশটি = x/y
প্রশ্নমতে,
x + y = 14...........(1)
y - x = 8 ..........(2)
(1) + (2) পাই
2y = 22
y = 11
y এর মান (1) বসিয়ে পাই,
x + 11 =14
x = 14 - 11
x = 3
ভগ্নাংশটি = x/y = 3/11
৪,৯৩৯.
দুইটি ধনাত্মক সংখ্যার ল.সা.গু ও গ.সা.গু এর গুণফল ৪৫। সংখ্যা দুইটির পার্থক্য ৪। বড় সংখ্যাটি কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: দুইটি ধনাত্মক সংখ্যার ল.সা.গু ও গ.সা.গু এর গুণফল ৪৫। সংখ্যা দুইটির পার্থক্য ৪। বড় সংখ্যাটি কত?
সমাধান:
ধরি,
সংখ্যা দুইটি যথাক্রমে ক ও (ক + ৪)
প্রশ্নমতে,
দুইটি সংখ্যার গুণফল = এদের ল. সা .গু × গ. সা .গু
⇒ ক(ক + ৪) = ৪৫
⇒ ক২ + ৪ক - ৪৫ = ০
⇒ ক২ + ৯ক - ৫ক - ৪৫ = 0
⇒ ক(ক + ৯) - ৫ ( ক + ৯) = 0
⇒ (ক + ৯)(ক - ৫) = ০
⇒ ক = - ৯ , ৫ [- ৯ গ্রহনযোগ্য নয়]
সুতরাং, ছোট সংখ্যাটি = ৫
বড় সংখ্যাটি = (৫ + ৪) = ৯
সমাধান:
ধরি,
সংখ্যা দুইটি যথাক্রমে ক ও (ক + ৪)
প্রশ্নমতে,
দুইটি সংখ্যার গুণফল = এদের ল. সা .গু × গ. সা .গু
⇒ ক(ক + ৪) = ৪৫
⇒ ক২ + ৪ক - ৪৫ = ০
⇒ ক২ + ৯ক - ৫ক - ৪৫ = 0
⇒ ক(ক + ৯) - ৫ ( ক + ৯) = 0
⇒ (ক + ৯)(ক - ৫) = ০
⇒ ক = - ৯ , ৫ [- ৯ গ্রহনযোগ্য নয়]
সুতরাং, ছোট সংখ্যাটি = ৫
বড় সংখ্যাটি = (৫ + ৪) = ৯
৪,৯৪০.
3a2b এবং -4ab2 এর গুণফল কত?
ব্যাখ্যা
(3a2b) × (-4ab2)
= -12a2+1b1+2
= -12a3b3
= -12a2+1b1+2
= -12a3b3
৪,৯৪১.
একটি স্কুলে ছাত্রদের ড্রিল করার সময় ৮, ১০ এবং ১২ সারিতে সাজানো যায়। আবার বর্গাকারেও সাজানো যায়। ঐ স্কুলে কমপক্ষে কতজন ছাত্র আছে?
ব্যাখ্যা
8, 10, 12 এর ল.সা.গু = 2 × 2 × 2 × 5 × 3 = 120
এতে ছাত্রদের 8, 10, 12 সারিতে সাজানো যাবে।
এখন, ছাত্রদের বর্গাকারে সাজাতে হলে ল.সা.গু কে 2 × 5 × 3 দ্বারা গুণ করতে হবে।
সুতরাং ছাত্রদের বর্গাকারে সাজানো যাবে যদি ছাত্র সংখ্যা হয় = (2 × 2) × (2 × 2) × (5 × 5) × (3 × 3)
= 3600 জন।
এতে ছাত্রদের 8, 10, 12 সারিতে সাজানো যাবে।
এখন, ছাত্রদের বর্গাকারে সাজাতে হলে ল.সা.গু কে 2 × 5 × 3 দ্বারা গুণ করতে হবে।
সুতরাং ছাত্রদের বর্গাকারে সাজানো যাবে যদি ছাত্র সংখ্যা হয় = (2 × 2) × (2 × 2) × (5 × 5) × (3 × 3)
= 3600 জন।
৪,৯৪২.
একটি সংখ্যার ৫ গুণের সাথে ১২ যোগ করলে যে উত্তর পাওয়া যায়, সংখ্যাটির ৭ গুণ থেকে ৪৮ বিয়োগ করলে একই ফল পাওয়া যায়। সংখ্যাটি কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি সংখ্যার ৫ গুণের সাথে ১২ যোগ করলে যে উত্তর পাওয়া যায়, সংখ্যাটির ৭ গুণ থেকে ৪৮ বিয়োগ করলে একই ফল পাওয়া যায়। সংখ্যাটি কত?
সমাধান:
সমাধান:
ধরি,
সংখ্যাটি = ক
প্রশ্নমতে,
৫ক + ১২ = ৭ক - ৪৮
⇒ ১২ + ৪৮ = ৭ক - ৫ক
⇒ ৬০ = ২ক
⇒ ক = ৬০/২
∴ ক = ৩০
সমাধান:
সমাধান:
ধরি,
সংখ্যাটি = ক
প্রশ্নমতে,
৫ক + ১২ = ৭ক - ৪৮
⇒ ১২ + ৪৮ = ৭ক - ৫ক
⇒ ৬০ = ২ক
⇒ ক = ৬০/২
∴ ক = ৩০
৪,৯৪৩.
পিতা ও দুই পুত্রের গড় বয়স ২৪ বছর। তিন বছর পূর্বে দুই পুত্রের গড় বয়স ছিল ১৫ বছর। পিতার বর্তমান বয়স কত?
ব্যাখ্যা
পিতা ও দুই পুত্রের বয়সের সমষ্টি = ২৪ × ৩ = ৭২ বছর।
৩ বছর পূর্বে দুই পুত্রের বয়সের সমষ্টি = ১৫ × ২ = ৩০ বছর।
দুই পুত্রের বর্তমান বয়স = ৩০ + (৩+৩) = ৩৬ বছর।
সুতরাং পিতার বর্তমান বয়স = (৭২ - ৩৬) = ৩৬ বছর।
৪,৯৪৪.
নিচের কোনটি সত্য?
ব্যাখ্যা
যে ভগ্নাংশের লব অপেক্ষা হর বড় তাকে প্রকৃত ভগ্নাংশ বলে।
অর্থাৎ প্রকৃত ভগ্নাংশের ক্ষেত্রে, লব< হর
সুতরাং প্রকৃত ভগ্নাংশ < ১
যে ভগ্নাংশের লব অপেক্ষা হর ছোট তাকে অপ্রকৃত ভগ্নাংশ বলে।
অর্থাৎঅওপ্রকৃত ভগ্নাংশের ক্ষেত্রে, লব> হর
সুতরাং অপ্রকৃত ভগ্নাংশ > ১
অপ্রকৃত ভগ্নাংশ থেকে মিশ্র ভগ্নাংশ পাওয়া যায়।
মিশ্র ভগ্নাংশ থেকে অপ্রকৃত ভগ্নাংশ পাওয়া যায়।
অর্থাৎ প্রকৃত ভগ্নাংশের ক্ষেত্রে, লব< হর
সুতরাং প্রকৃত ভগ্নাংশ < ১
যে ভগ্নাংশের লব অপেক্ষা হর ছোট তাকে অপ্রকৃত ভগ্নাংশ বলে।
অর্থাৎঅওপ্রকৃত ভগ্নাংশের ক্ষেত্রে, লব> হর
সুতরাং অপ্রকৃত ভগ্নাংশ > ১
অপ্রকৃত ভগ্নাংশ থেকে মিশ্র ভগ্নাংশ পাওয়া যায়।
মিশ্র ভগ্নাংশ থেকে অপ্রকৃত ভগ্নাংশ পাওয়া যায়।
৪,৯৪৫.
কোন ক্ষুদ্রতম সংখ্যাকে ৫, ১০, ১৫ দ্বারা ভাগ করলে ৪ অবশিষ্ট থাকবে?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: কোন ক্ষুদ্রতম সংখ্যাকে ৫, ১০, ১৫ দ্বারা ভাগ করলে ৪ অবশিষ্ট থাকবে?
সমাধান:
৫, ১০, ১৫ এর ল.সা.গু = ৩০
∴ সর্বনিম্ন সংখ্যাটি = ৩০ + ৪ = ৩৪
সমাধান:
৫, ১০, ১৫ এর ল.সা.গু = ৩০
∴ সর্বনিম্ন সংখ্যাটি = ৩০ + ৪ = ৩৪
৪,৯৪৬.
দুইটি ধনাত্মক সংখ্যার ল.সা.গু ও গ.সা.গু এর গুণফল ২৪। সংখ্যা দুইটির পার্থক্য ২। বড় সংখ্যাটি কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: দুইটি ধনাত্মক সংখ্যার ল.সা.গু ও গ.সা.গু এর গুণফল ২৪। সংখ্যা দুইটির পার্থক্য ২। বড় সংখ্যাটি কত?
সমাধান:
ধরি,
সংখ্যা দুইটি যথাক্রমে x ও (x + 2)
প্রশ্নমতে,
দুইটি সংখ্যার গুণফল = এদের ল. সা .গু × গ. সা .গু
বা, x(x + 2) = 24
বা, x2 + 2x - 24 = 0
বা, x2 + 6x - 4x - 24 = 0
বা, x(x + 6) - 4 ( x + 6) = 0
বা, (x + 6)(x - 4) = ০
∴ x = - 6 , 4
ছোট সংখ্যাটি = 4
বড় সংখ্যাটি = 4 + 2 = 6
সমাধান:
ধরি,
সংখ্যা দুইটি যথাক্রমে x ও (x + 2)
প্রশ্নমতে,
দুইটি সংখ্যার গুণফল = এদের ল. সা .গু × গ. সা .গু
বা, x(x + 2) = 24
বা, x2 + 2x - 24 = 0
বা, x2 + 6x - 4x - 24 = 0
বা, x(x + 6) - 4 ( x + 6) = 0
বা, (x + 6)(x - 4) = ০
∴ x = - 6 , 4
ছোট সংখ্যাটি = 4
বড় সংখ্যাটি = 4 + 2 = 6
৪,৯৪৭.
রমজান আলীর গত তিন বছরের গড় আয় ১১০০০০ টাকা। দ্বিতীয় বছরে প্রথম বছরের ১.৫ গুণ আয় এবং তৃতীয় বছরে দ্বিতীয় বছরের ২ গুণ আয়। দ্বিতীয় ও তৃতীয় বছরের গড় আয় কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: রমজান আলীর গত তিন বছরের গড় আয় ১১০০০০ টাকা। দ্বিতীয় বছরে প্রথম বছরের ১.৫ গুণ আয় এবং তৃতীয় বছরে দ্বিতীয় বছরের ২ গুণ আয়। দ্বিতীয় ও তৃতীয় বছরের গড় আয় কত?
সমাধান:
ধরি,
প্রথম বছরের আয় = ক টাকা।
দ্বিতীয় বছরের আয় = ১.৫ক টাকা।
তৃতীয় বছরের আয় = ২ × ১.৫ক = ৩ক টাকা।
∴ তিন বছরের মোট আয় = ক + ১.৫ক + ৩ক = ৫.৫ক টাকা।
প্রশ্নমতে,
৫.৫ক/৩ = ১১০০০০
⇒ ক = (১১০০০০ × ৩)/৫.৫
∴ ক = ৬০০০০ টাকা
এখন,
দ্বিতীয় বছরের আয় = ১.৫ × ৬০০০০ = ৯০০০০ টাকা।
তৃতীয় বছরের আয় = ৩ × ৬০০০০ = ১৮০০০০ টাকা।
∴ দ্বিতীয় ও তৃতীয় বছরের গড় আয় = (৯০০০০ + ১৮০০০০)/২ = ২৭০০০০/২ = ১৩৫০০০ টাকা
৪,৯৪৮.
১০ হতে ৪০ পর্যন্ত মোট কতটি মৌলিক সংখ্যা আছে?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: ১০ হতে ৪০ পর্যন্ত মোট কতটি মৌলিক সংখ্যা আছে?
সমাধান:
মৌলিক সংখ্যা: যেসব সংখ্যা কেবলমাত্র ১ এবং ঐ সংখ্যা ছাড়া অন্য কোনো সংখ্যা দ্বারা ভাগ করা যায় না, তাদেরকে মৌলিক সংখ্যা বলে।
অর্থাৎ, মৌলিক সংখ্যার উৎপাদক হবে দুইটি । ১ এবং শুধুমাত্র সেই সংখ্যাটি।
১০ থেকে ৪০ পর্যন্ত মৌলিক সংখ্যা গুলো হলো:
১১, ১৩, ১৭, ১৯, ২৩, ২৯, ৩১, ৩৭
∴ মোট মৌলিক সংখ্যা = ৮টি
৪,৯৪৯.
এক ব্যক্তি তার মোট সম্পত্তির ৪/৯ অংশ ব্যয় করার পরে অবশিষ্ট সম্পত্তির ৩/৮ অংশ ব্যয় করে দেখলেন যে তার নিকট ২০০০ টাকা রয়েছে। তার মোট সম্পত্তির মূল্য কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: এক ব্যক্তি তার মোট সম্পত্তির ৪/৯ অংশ ব্যয় করার পরে অবশিষ্ট সম্পত্তির ৩/৮ অংশ ব্যয় করে দেখলেন যে তার নিকট ২০০০ টাকা রয়েছে। তার মোট সম্পত্তির মূল্য কত?
সমাধান:
মোট সম্পত্তি = ১ অংশ
অবশিষ্ট রইলো = (১ - ৪)/৯
= (৯ - ৪)/৯
= ৫/৯ অংশ
৫/৯ এর ৩/৮ অংশ = ১৫/৭২ অংশ
প্রশ্নমতে,
(৫/৯) - (১৫/৭২) অংশ = ২০০০
(৪০/৭২ - ১৫/৭২) অংশ = ২০০০
২৫/৭২ অংশ = ২০০০
∴ ১ অংশ বা, মোট সম্পত্তি = (২০০০ × ৭২)/২৫
= ৫৭৬০ টাকা
৪,৯৫০.
০.১ × ১/২ = কত?
ব্যাখ্যা
০.১ × ১/২
= ১/১০ × ১/২
= ১/২০
= ০.০৫
৪,৯৫১.
এক ব্যক্তি তার স্ত্রীর চেয়ে ৬ বছরের বড়। তার স্ত্রীর বয়স ছেলের বয়সের ৫ গুণ। ৪ বছর পরে ছেলের বয়স ১৬ বছর হলে ঐ ব্যক্তির বর্তমান বয়স কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: এক ব্যক্তি তার স্ত্রীর চেয়ে ৬ বছরের বড়। তার স্ত্রীর বয়স ছেলের বয়সের ৫ গুণ। ৪ বছর পরে ছেলের বয়স ১৬ বছর হলে ঐ ব্যক্তির বর্তমান বয়স কত?
সমাধান:
যেহেতু,
৪ বছর পরে ছেলের বয়স ১৬ বছর
∴ ছেলের বর্তমান বয়স = (১৬ - ৪) বছর
= ১২ বছর
আবার,
স্ত্রীর বয়স ছেলের বয়সের ৫ গুণ
∴ স্ত্রীর বয়স = (১২ × ৫) বছর
= ৬০ বছর
∴ ঐ ব্যক্তির বয়স = (৬০ + ৬) বছর
= ৬৬ বছর
সমাধান:
যেহেতু,
৪ বছর পরে ছেলের বয়স ১৬ বছর
∴ ছেলের বর্তমান বয়স = (১৬ - ৪) বছর
= ১২ বছর
আবার,
স্ত্রীর বয়স ছেলের বয়সের ৫ গুণ
∴ স্ত্রীর বয়স = (১২ × ৫) বছর
= ৬০ বছর
∴ ঐ ব্যক্তির বয়স = (৬০ + ৬) বছর
= ৬৬ বছর
৪,৯৫২.
পরপর তিনটি ক্রমিক সংখ্যার যোগফল ১৮ হলে তাদের গুণফল কত?
ব্যাখ্যা
মনেকরি
ক্রমিক সংখ্যা তিনটি যথাক্রমে ক , ক + ১ , ক + ২
শর্তমতে,
ক +ক + ১ + ক + ২ = ১৮
৩ক + ৩ = ১৮
৩ক = ১৮ - ৩
৩ক = ১৫
ক = ৫
ক্রমিক সংখ্যা তিনটি যথাক্রমে ৫, ৬, ৭
সংখ্যা তিনটির গুণফল = ৫ × ৬ × ৭= ২১০
ক্রমিক সংখ্যা তিনটি যথাক্রমে ক , ক + ১ , ক + ২
শর্তমতে,
ক +ক + ১ + ক + ২ = ১৮
৩ক + ৩ = ১৮
৩ক = ১৮ - ৩
৩ক = ১৫
ক = ৫
ক্রমিক সংখ্যা তিনটি যথাক্রমে ৫, ৬, ৭
সংখ্যা তিনটির গুণফল = ৫ × ৬ × ৭= ২১০
৪,৯৫৩.
সমাধান কর-
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: সমাধান কর-
সমাধান:
সমাধান:
৪,৯৫৪.
কোন লঘিষ্ঠ সংখ্যার সাথে ৩ যোগ করলে যোগফল ২৪, ৩৬ এবং ৪৮ দ্বারা বিভাজ্য হবে?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: কোন লঘিষ্ঠ সংখ্যার সাথে ৩ যোগ করলে যোগফল ২৪, ৩৬ এবং ৪৮ দ্বারা বিভাজ্য হবে?
সমাধান:
সংখ্যাটি হবে ২৪, ৩৬, ৪৮ এর ল.সা.গু. থেকে ৩ কম।
এখন,
২৪ = ২ × ২ × ২ × ৩
৩৬ = ২ × ২ × ৩ × ৩
৪৮ = ২ × ২ × ২ × ২ × ৩
২৪, ৩৬, ৪৮ এর ল.সা.গু. = ২ × ২ × ২ × ২ × ৩ × ৩ = ১৪৪
∴ সংখ্যাটি হবে = (১৪৪ - ৩) = ১৪১
সমাধান:
সংখ্যাটি হবে ২৪, ৩৬, ৪৮ এর ল.সা.গু. থেকে ৩ কম।
এখন,
২৪ = ২ × ২ × ২ × ৩
৩৬ = ২ × ২ × ৩ × ৩
৪৮ = ২ × ২ × ২ × ২ × ৩
২৪, ৩৬, ৪৮ এর ল.সা.গু. = ২ × ২ × ২ × ২ × ৩ × ৩ = ১৪৪
∴ সংখ্যাটি হবে = (১৪৪ - ৩) = ১৪১
৪,৯৫৫.
পরীক্ষায় ক এর প্রাপ্ত নম্বর যথাক্রমে ৭০, ৮৫ ও ৭৫ । চতুর্থ পরীক্ষায় তাকে কত নম্বর পেতে হবে যেন তার গড় প্রাপ্ত নম্বর ৮০ হয়?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: পরীক্ষায় ক এর প্রাপ্ত নম্বর যথাক্রমে ৭০, ৮৫ ও ৭৫ । চতুর্থ পরীক্ষায় তাকে কত নম্বর পেতে হবে যেন তার গড় প্রাপ্ত নম্বর ৮০ হয়?
সমাধান:
দেওয়া আছে,
ক এর প্রথম তিনটি পরীক্ষার প্রাপ্ত নম্বর = ৭০, ৮৫ ও ৭৫
∴ ক এর প্রথম তিনটি পরীক্ষার প্রাপ্ত নম্বররের সমষ্টি = (৭০ + ৮৫ + ৭৫)
= ২৩০
আবার,
ক এর চারটি পরীক্ষার নম্বরের সমষ্টি = (৪ × ৮০)
= ৩২০
∴ চতুর্থ পরীক্ষায় পেতে হবে = (৩২০ - ২৩০) নম্বর
= ৯০ নম্বর ।
সমাধান:
দেওয়া আছে,
ক এর প্রথম তিনটি পরীক্ষার প্রাপ্ত নম্বর = ৭০, ৮৫ ও ৭৫
∴ ক এর প্রথম তিনটি পরীক্ষার প্রাপ্ত নম্বররের সমষ্টি = (৭০ + ৮৫ + ৭৫)
= ২৩০
আবার,
ক এর চারটি পরীক্ষার নম্বরের সমষ্টি = (৪ × ৮০)
= ৩২০
∴ চতুর্থ পরীক্ষায় পেতে হবে = (৩২০ - ২৩০) নম্বর
= ৯০ নম্বর ।
৪,৯৫৬.
নিচের কোন ভগ্নাংশটি সবচেয়ে ছোট?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: নিচের কোন ভগ্নাংশটি সবচেয়ে ছোট?
সমাধান:
৭/৮ = ০.৮৭৫
১১/১২ = ০.৯১৬
৫/৬ = ০.৮৩৩
৯/১০ = ০.৯
∴ ৫/৬ < ৭/৮ < ৯/১০ < ১১/১২
∴ সবচেয়ে ছোট ভগ্নাংশটি হলো- ৫/৬
সমাধান:
৭/৮ = ০.৮৭৫
১১/১২ = ০.৯১৬
৫/৬ = ০.৮৩৩
৯/১০ = ০.৯
∴ ৫/৬ < ৭/৮ < ৯/১০ < ১১/১২
∴ সবচেয়ে ছোট ভগ্নাংশটি হলো- ৫/৬
৪,৯৫৭.
প্রথম ও দ্বিতীয় সংখ্যার গুণফল ৩৫ এবং দ্বিতীয় ও তৃতীয় সংখ্যার গুণফল ৮৪ হলে, দ্বিতীয় সংখ্যাটি কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: প্রথম ও দ্বিতীয় সংখ্যার গুণফল ৩৫ এবং দ্বিতীয় ও তৃতীয় সংখ্যার গুণফল ৮৪ হলে, দ্বিতীয় সংখ্যাটি কত?
সমাধান:
প্রথম ও দ্বিতীয় সংখ্যার গুণফল ৩৫ এবং দ্বিতীয় ও তৃতীয় সংখ্যার গুণফল ৮৪ হলে
অর্থাৎ, দ্বিতীয় সংখ্যাটি ৩৫ ও ৮৪ এর সাধারণ গুণনীয়ক।
৩৫
= ১ × ৩৫
= ৫ × ৭
৮৪
= ১ × ৮৪
= ২ × ৪২
= ৩ × ২৮
= ৪ × ২১
= ৬ × ১৪
= ৭ × ১২
৩৫ ও ৮৪ এর সাধারণ গুণনীয়ক ১ ও ৭
এখানে
২য় সংখ্যাটি ১ বা ৭
অপশনে ৭ থাকায় সঠিক উত্তর ৭
যদি দ্বিতীয় সংখ্যা ১ ধরা হয় তাহলে সংখ্যা তিনটি যথাক্রমে ৩৫, ১, ৮৪
যদি দ্বিতীয় সংখ্যা ৭ ধরা হয় তাহলে সংখ্যা তিনটি যথাক্রমে ৫, ৭, ১২
সমাধান:
প্রথম ও দ্বিতীয় সংখ্যার গুণফল ৩৫ এবং দ্বিতীয় ও তৃতীয় সংখ্যার গুণফল ৮৪ হলে
অর্থাৎ, দ্বিতীয় সংখ্যাটি ৩৫ ও ৮৪ এর সাধারণ গুণনীয়ক।
৩৫
= ১ × ৩৫
= ৫ × ৭
৮৪
= ১ × ৮৪
= ২ × ৪২
= ৩ × ২৮
= ৪ × ২১
= ৬ × ১৪
= ৭ × ১২
৩৫ ও ৮৪ এর সাধারণ গুণনীয়ক ১ ও ৭
এখানে
২য় সংখ্যাটি ১ বা ৭
অপশনে ৭ থাকায় সঠিক উত্তর ৭
যদি দ্বিতীয় সংখ্যা ১ ধরা হয় তাহলে সংখ্যা তিনটি যথাক্রমে ৩৫, ১, ৮৪
যদি দ্বিতীয় সংখ্যা ৭ ধরা হয় তাহলে সংখ্যা তিনটি যথাক্রমে ৫, ৭, ১২
৪,৯৫৮.
২০ সংখ্যাটি a হতে ৫ কম। গাণিতিক আকারে প্রকাশ করলে কী হবে?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: ২০ সংখ্যাটি a হতে ৫ কম। গাণিতিক আকারে প্রকাশ করলে কী হবে?
সমাধান:
দেওয়া আছে,
২০ সংখ্যাটি a হতে ৫ কম।
প্রশ্নমতে,
২০ = a - ৫
∴ a = ২০ + ৫
৪,৯৫৯.
একটি প্যাকেটে ৫২০টি মার্বেল আছে। এতে কমপক্ষে আরও কতগুলো মার্বেল যোগ করা হলে সেগুলো ৩, ৪ অথবা ৬ জন বালকের মধ্যে সমানভাবে ভাগ করে দেয়া যাবে?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি প্যাকেটে ৫২০টি মার্বেল আছে। এতে কমপক্ষে আরও কতগুলো মার্বেল যোগ করা হলে সেগুলো ৩, ৪ অথবা ৬ জন বালকের মধ্যে সমানভাবে ভাগ করে দেয়া যাবে?
সমাধান:
৩, ৪ এবং ৬ এর ল.সা.গু. = ১২
৫২০ ÷ ১২ = ভাগফল ৪৩, ভাগশেষ ৪
অর্থাৎ, আরো ১২ - ৪ = ৮টি মার্বেল যোগ করলে ৩, ৪, অথবা ৬ জন বালকের মধ্যে সমানভাবে ভাগ করে দেয়া যাবে।
সমাধান:
৩, ৪ এবং ৬ এর ল.সা.গু. = ১২
৫২০ ÷ ১২ = ভাগফল ৪৩, ভাগশেষ ৪
অর্থাৎ, আরো ১২ - ৪ = ৮টি মার্বেল যোগ করলে ৩, ৪, অথবা ৬ জন বালকের মধ্যে সমানভাবে ভাগ করে দেয়া যাবে।
৪,৯৬০.
দুটি সংখ্যার অনুপাত 5 : 3 এবং গ.সা.গু 7 হলে, তাদের ল.সা.গু কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: দুটি সংখ্যার অনুপাত 5 : 3 এবং গ.সা.গু 7 হলে, তাদের ল.সা.গু কত?
সমাধান:
ধরি,
সংখ্যা দুইটি 5x ও 3x
∴ 5x ও 3x এর গ.সা.গু. = x
5x ও 3x এর ল.সা.গু. = 15x
প্রশ্নমতে,
x = 4
∴ সংখ্যা দুটির ল.সা.গু =15x = 15 × 7 = 105
সমাধান:
ধরি,
সংখ্যা দুইটি 5x ও 3x
∴ 5x ও 3x এর গ.সা.গু. = x
5x ও 3x এর ল.সা.গু. = 15x
প্রশ্নমতে,
x = 4
∴ সংখ্যা দুটির ল.সা.গু =15x = 15 × 7 = 105
৪,৯৬১.
১/২, ৫/৬, ৩/৪, ৫/১২ এর গড় কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: ১/২, ৫/৬, ৩/৪, ৫/১২ এর গড় কত?
সমাধান:
সংখ্যাগুলোর সমষ্টি = ১/২ + ৫/৬ + ৩/৪ + ৫/১২
= (৬ + ১০ + ৯ + ৫)/১২
= ৩০/১২
= ৫/২
∴ সংখ্যাগুলোর গড় = (৫/২)/৪
= (৫/২) × (১/৪)
= ৫/৮।
সমাধান:
সংখ্যাগুলোর সমষ্টি = ১/২ + ৫/৬ + ৩/৪ + ৫/১২
= (৬ + ১০ + ৯ + ৫)/১২
= ৩০/১২
= ৫/২
∴ সংখ্যাগুলোর গড় = (৫/২)/৪
= (৫/২) × (১/৪)
= ৫/৮।
৪,৯৬২.
ভগ্নাংশগুলোর মধ্যে কোনটি সবচেয়ে বড়?
ব্যাখ্যা
১৯/২২ = ০.৮৬৪; ১৩/১৫ = ০.৮৬৭; ১৫/১৭ = ০.৮৮২; ২৩/২৬ = ০.৮৮৫
∴বড় ভগ্নাংশটি = ২৩/২৬ = ০.৮৮৫
∴বড় ভগ্নাংশটি = ২৩/২৬ = ০.৮৮৫
৪,৯৬৩.
কোন একটি সংখ্যার সাথে ৬ যোগ করলে যে উত্তর পাওয়া যায়, সংখ্যাটির দ্বিগুন থেকে ২১ বিয়োগ করলে একই উত্তর পাওয়া যায়। সংখ্যাটি কত?
ব্যাখ্যা
ধরি, সংখ্যাটি x
প্রশ্নমতে,
x+6 = 2x - 21
∴ x = 27
৪,৯৬৪.
একটি বাক্সে ক টি কমলা আছে। কমলা গুলো ১৬ শিক্ষার্থীর মধ্যে সমানভাবে ভাগ করে দেওয়ার পর ৬টি অবশিষ্ট থাকে। নিচের কোনটি সত্য?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি বাক্সে ক টি কমলা আছে। কমলা গুলো ১৬ শিক্ষার্থীর মধ্যে সমানভাবে ভাগ করে দেওয়ার পর ৬টি অবশিষ্ট থাকে। নিচের কোনটি সবসময় সত্য?
সমাধান:
ধরি , প্রত্যেক শিক্ষার্থী xটি করে কমলা পেয়েছে।
প্রশ্নমতে
ক = ১৬x + ৬
ক - ২ = ১৬x + ৬ - ২
∴ ক - ২ = ১৬x + ৪
এখন, x = ১ ধরে পাই, ১৬ × ১ + ৪ = ২০, যা ৪ এবং ৫ দ্বারা বিভাজ্য।
x = ২ ধরে পাই, ১৬ × ২ + ৪ = ৩৬, যা ৩, ৪ এবং ৬ দ্বারা বিভাজ্য।
x = ৩ ধরে পাই, ১৬ × ৩ + ৪ = ৫২, যা ৪ দ্বারা বিভাজ্য।
x = ৪ ধরে পাই, ১৬ × ৪ + ৪ = ৬৮, যা ৪ দ্বারা বিভাজ্য।
অর্থাৎ দেখা যাচ্ছে যে, রাশিটি বিভিন্ন মানের জন্য ৩, ৪, ৫ এবং ৬ দ্বারা বিভাজ্য, কিন্তু সবসময় ৪ দ্বারা বিভাজ্য।
[লাইভ পরীক্ষার প্রশ্নে 'সবসময়' কথাটি উল্লেখ থাকা প্রয়োজন ছিল। 'সবসময় সত্য' কথাটি বিবেচনা করে উত্তরটি গ্রহণ করা হয়েছে।]
সমাধান:
ধরি , প্রত্যেক শিক্ষার্থী xটি করে কমলা পেয়েছে।
প্রশ্নমতে
ক = ১৬x + ৬
ক - ২ = ১৬x + ৬ - ২
∴ ক - ২ = ১৬x + ৪
এখন, x = ১ ধরে পাই, ১৬ × ১ + ৪ = ২০, যা ৪ এবং ৫ দ্বারা বিভাজ্য।
x = ২ ধরে পাই, ১৬ × ২ + ৪ = ৩৬, যা ৩, ৪ এবং ৬ দ্বারা বিভাজ্য।
x = ৩ ধরে পাই, ১৬ × ৩ + ৪ = ৫২, যা ৪ দ্বারা বিভাজ্য।
x = ৪ ধরে পাই, ১৬ × ৪ + ৪ = ৬৮, যা ৪ দ্বারা বিভাজ্য।
অর্থাৎ দেখা যাচ্ছে যে, রাশিটি বিভিন্ন মানের জন্য ৩, ৪, ৫ এবং ৬ দ্বারা বিভাজ্য, কিন্তু সবসময় ৪ দ্বারা বিভাজ্য।
[লাইভ পরীক্ষার প্রশ্নে 'সবসময়' কথাটি উল্লেখ থাকা প্রয়োজন ছিল। 'সবসময় সত্য' কথাটি বিবেচনা করে উত্তরটি গ্রহণ করা হয়েছে।]
৪,৯৬৫.
নিচের কোনটি ক্ষুদ্রতম ভগ্নাংশ?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: নিচের কোনটি ক্ষুদ্রতম ভগ্নাংশ?
সমাধান:
২/৯ = ০.২২২ (বৃহত্তম)
৫/২৭ = ০.১৮৫ (ক্ষুদ্রতম)
৭/৩৬ = ০.১৯৪ (বৃহত্তম)
১১/৪৫ = ০.২৪৪ (বৃহত্তম)
∴ ক্ষুদ্রতম সংখ্যা = ৫/২৭।
সমাধান:
২/৯ = ০.২২২ (বৃহত্তম)
৫/২৭ = ০.১৮৫ (ক্ষুদ্রতম)
৭/৩৬ = ০.১৯৪ (বৃহত্তম)
১১/৪৫ = ০.২৪৪ (বৃহত্তম)
∴ ক্ষুদ্রতম সংখ্যা = ৫/২৭।
৪,৯৬৬.
৪ ÷ ০.১২৫ = কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: ৪ ÷ ০.১২৫ = কত?
সমাধান:
৪ ÷ ০.১২৫ =৪/০.১২৫
= (৪ × ১০০০)/১২৫
= ৩২
সমাধান:
৪ ÷ ০.১২৫ =৪/০.১২৫
= (৪ × ১০০০)/১২৫
= ৩২
৪,৯৬৭.
তিনটি ধারাবাহিক জোড় সংখ্যার যোগফল ২৪৬ হলে, বৃহত্তম সংখ্যাটি কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: তিনটি ধারাবাহিক জোড় সংখ্যার যোগফল ২৪৬ হলে, বৃহত্তম সংখ্যাটি কত?
সমাধান:
ধরি,
ছোট সংখ্যাটি = ক
∴ ২য় সংখ্যাটি = ক + ২
∴ ৩য় সংখ্যাটি = ক + ২ + ২
= ক + ৪
প্রশ্নমতে,
ক + ক + ২ + ক + ৪ = ২৪৬
⇒ ৩ক + ৬ = ২৪৬
⇒ ৩ক = ২৪৬ - ৬
⇒ ৩ক = ২৪০
⇒ ক = ২৪০ ÷ ৩
∴ ক = ৮০
∴ ৩য় বা বৃহত্তম সংখ্যাটি = ৮০ + ৪
= ৮৪
সমাধান:
ধরি,
ছোট সংখ্যাটি = ক
∴ ২য় সংখ্যাটি = ক + ২
∴ ৩য় সংখ্যাটি = ক + ২ + ২
= ক + ৪
প্রশ্নমতে,
ক + ক + ২ + ক + ৪ = ২৪৬
⇒ ৩ক + ৬ = ২৪৬
⇒ ৩ক = ২৪৬ - ৬
⇒ ৩ক = ২৪০
⇒ ক = ২৪০ ÷ ৩
∴ ক = ৮০
∴ ৩য় বা বৃহত্তম সংখ্যাটি = ৮০ + ৪
= ৮৪
৪,৯৬৮.
5√3 কোন ধরনের সংখ্যা?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 5√3 কোন ধরনের সংখ্যা?
সমাধান:
অমূলদ সংখ্যা: যে সংখ্যাকে p/q আকারে প্রকাশ করা যায় না, যেখানে p ও q পূর্ণসংখ্যা এবং q ≠ 0, সে সংখ্যাকে অমূলদ সংখ্যা বলা হয়।
পূর্ণবর্গ নয় এরূপ যেকোনাে স্বাভাবিক সংখ্যার বর্গমূল কিংবা তার ভগ্নাংশ একটি অমূলদ সংখ্যা।
যেমন√2 = 1.414213..., √3 = 1.732 ..., ইত্যাদি অমূলদ সংখ্যা।
কোনাে অমূলদ সংখ্যাকে দুইটি পূর্ণ সংখ্যার অনুপাত হিসেবে প্রকাশ করা যায় না।
∴ 5√3 একটি অমূলদ সংখ্যা।
সমাধান:
অমূলদ সংখ্যা: যে সংখ্যাকে p/q আকারে প্রকাশ করা যায় না, যেখানে p ও q পূর্ণসংখ্যা এবং q ≠ 0, সে সংখ্যাকে অমূলদ সংখ্যা বলা হয়।
পূর্ণবর্গ নয় এরূপ যেকোনাে স্বাভাবিক সংখ্যার বর্গমূল কিংবা তার ভগ্নাংশ একটি অমূলদ সংখ্যা।
যেমন√2 = 1.414213..., √3 = 1.732 ..., ইত্যাদি অমূলদ সংখ্যা।
কোনাে অমূলদ সংখ্যাকে দুইটি পূর্ণ সংখ্যার অনুপাত হিসেবে প্রকাশ করা যায় না।
∴ 5√3 একটি অমূলদ সংখ্যা।
৪,৯৬৯.
নিচের ভগ্নাংশগুলির মধ্যে কোনটি বৃহত্তম?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: নিচের ভগ্নাংশগুলির মধ্যে কোনটি বৃহত্তম?
সমাধান:
১৫/১৭ = ০.৮৮২
১১/১৫ = ০.৭৩৩
৭৫/৮৩ = ০.৯০৩
১০/১১ = ০.৯০৯
সমাধান:
১৫/১৭ = ০.৮৮২
১১/১৫ = ০.৭৩৩
৭৫/৮৩ = ০.৯০৩
১০/১১ = ০.৯০৯
৪,৯৭০.
০, ১, ৩, ৫ অঙ্কগুলো একবার ব্যবহার করে গঠিত বৃহত্তম ও ক্ষুদ্রতম সংখ্যার পাথর্ক্য কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: ০, ১, ৩, ৫ অঙ্কগুলো একবার ব্যবহার করে গঠিত বৃহত্তম ও ক্ষুদ্রতম সংখ্যার পাথর্ক্য কত?
সমাধান:
০, ১, ৩, ৫ অঙ্কগুলো দ্বারা গঠিত বৃহত্তম সংখ্যা = ৫৩১০
০, ১, ৩, ৫ অঙ্কগুলো দ্বারা গঠিত ক্ষুদ্রতম সংখ্যা = ১০৩৫
∴ বৃহত্তম ও ক্ষুদ্রতম সংখ্যার পাথর্ক্য = ৫৩১০ - ১০৩৫
= ৪২৭৫
সমাধান:
০, ১, ৩, ৫ অঙ্কগুলো দ্বারা গঠিত বৃহত্তম সংখ্যা = ৫৩১০
০, ১, ৩, ৫ অঙ্কগুলো দ্বারা গঠিত ক্ষুদ্রতম সংখ্যা = ১০৩৫
∴ বৃহত্তম ও ক্ষুদ্রতম সংখ্যার পাথর্ক্য = ৫৩১০ - ১০৩৫
= ৪২৭৫
৪,৯৭১.
কোন ভগ্নাংশের লব ও হরের যোগফল 17। যদি লবের সাথে 3 যোগ করা হয়, তবে ভগ্নাংশটির মান 1 হয়। ভগ্নাংশটি কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: কোন ভগ্নাংশের লব ও হরের যোগফল 17। যদি লবের সাথে 3 যোগ করা হয়, তবে ভগ্নাংশটির মান 1 হয়। ভগ্নাংশটি কত?
সমাধান:
ধরি,
ভগ্নাংশটি = a/b (যেখানে a = লব, b = হর, এবং a ও b পূর্ণসংখ্যা, b ≠ 0)
শর্তমতে,
a + b = 17
⇒ b = 17 - a .......(1)
আবার,
লবের সাথে 3 যোগ করলে ভগ্নাংশটির মান 1 হয়, অর্থাৎ
(a + 3)/b = 1
⇒ a + 3 = b
⇒ a + 3 = 17 - a ; [(1) নং হতে]
⇒ 2a = 17 - 3
⇒ 2a = 14
∴ a = 7
a এর মান (1) নং হতে পাই,
b = 17 - a = 17 - 7 = 10
∴ b = 10
∴ ভগ্নাংশটি = 7/10
৪,৯৭২.
৫৬৭২৮ জন সৈন্য থেকে কমপক্ষে কত জন সৈন্য সারিয়ে রাখলে সৈন্য দলকে বর্গকারে সাজানো যায়?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: ৫৬৭২৮ জন সৈন্য থেকে কমপক্ষে কত জন সৈন্য সারিয়ে রাখলে সৈন্য দলকে বর্গকারে সাজানো যায়?
সমাধান:
মোট সৈন্য সংখ্যা = ৫৬৭২৮
এর বর্গমূল:
৫৬৭২৮ । ২৩৮
৪
__________
৪৩। ১৬৭
। ১২৯
__________
৪৬৮।৩৮২৮
।৩৭৪৪
___________
। ৮৪
৮৪ অবশিষ্ট থাকে।
সুতরাং, ৮৪ জন সৈন্যকে সরিয়ে রাখলে সৈন্যদলকে বর্গাকারে সাজানো যাবে।
৪,৯৭৩.
তিনটি ক্রমিক বিজোড় সংখ্যার যোগফল ৫৭। ৩য় সংখ্যাটি কত?
ব্যাখ্যা
সংখ্যা তিনটির গড় হবে মধ্যবর্তী সংখ্যার মান।
∴ মধ্যবর্তী সংখ্যা = ৫৭/৩ = ১৯
তাহলে, পরবর্তী তথা ৩য় সংখ্যা = ১৯ + ২ = ২১
৪,৯৭৪.
x ও y-এর মানের গড় ৯ এবং z = ১২ হলে, x, y এবং z এর মানের গড় কত হবে?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: x ও y এর মানের গড় ৯ এবং z = ১২ হলে, x, y এবং z এর মানের গড় কত হবে?
সমাধান:
দেওয়া আছে,
x ও y এর মানের গড় = ৯
∴ x ও y এর মানের সমষ্টি = ৯ × ২
∴ x + y = ১৮
এখন,
x, y ও z এর মানের সমষ্টি = x + y + z
= ১৮ + ১২
= ৩০
∴ x, y ও z এর মানের গড় = ৩০/৩
= ১০
সমাধান:
দেওয়া আছে,
x ও y এর মানের গড় = ৯
∴ x ও y এর মানের সমষ্টি = ৯ × ২
∴ x + y = ১৮
এখন,
x, y ও z এর মানের সমষ্টি = x + y + z
= ১৮ + ১২
= ৩০
∴ x, y ও z এর মানের গড় = ৩০/৩
= ১০
৪,৯৭৫.
কোন সংখ্যার এক-তৃতীয়াংশ ও এক-চতুর্থাংশের পার্থক্য ৬?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: কোন সংখ্যার এক-তৃতীয়াংশ ও এক-চতুর্থাংশের পার্থক্য ৬?
সমাধান:
ধরি,
সংখ্যাটি = ক
প্রশ্নমতে,
(ক/৩) - (ক/৪) = ৬
⇒ (৪ক - ৩ক)/১২ = ৬
⇒ ক/১২ = ৬
∴ ক = ৭২
সমাধান:
ধরি,
সংখ্যাটি = ক
প্রশ্নমতে,
(ক/৩) - (ক/৪) = ৬
⇒ (৪ক - ৩ক)/১২ = ৬
⇒ ক/১২ = ৬
∴ ক = ৭২
৪,৯৭৬.
পাঁচটি সংখ্যার গড় ২৮ । একটি সংখ্যা বাদ দিলে তাদের গড় হয় ২০ । বাদ দেওয়া সংখ্যাটি কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: পাঁচটি সংখ্যার গড় ২৮ । একটি সংখ্যা বাদ দিলে তাদের গড় হয় ২০ । বাদ দেওয়া সংখ্যাটি কত?
সমাধান:
পাঁচটি সংখ্যার গড় = ২৮
∴ পাঁচটি সংখ্যার সমষ্টি = (২৮ × ৫)
= ১৪০
ধরি,
বাদ দেয়া সংখ্যাটি = ক
প্রশ্নমতে,
(১৪০ - ক)/৪ = ২০
⇒ ১৪০ - ক = ৮০
⇒ ক = ১৪০ - ৮০
∴ ক = ৬০
∴ বাদ দেয়া সংখ্যাটি = ৬০ ।
সমাধান:
পাঁচটি সংখ্যার গড় = ২৮
∴ পাঁচটি সংখ্যার সমষ্টি = (২৮ × ৫)
= ১৪০
ধরি,
বাদ দেয়া সংখ্যাটি = ক
প্রশ্নমতে,
(১৪০ - ক)/৪ = ২০
⇒ ১৪০ - ক = ৮০
⇒ ক = ১৪০ - ৮০
∴ ক = ৬০
∴ বাদ দেয়া সংখ্যাটি = ৬০ ।
৪,৯৭৭.
৯ জন ছাত্রের বয়সের গড় ১৫ বছর। তাদের মধ্যে ৩ জন ছাত্রের বয়সের গড় ১৭ বছর হলে, বাকি ৬ জন ছাত্রের বয়সের গড় কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: ৯ জন ছাত্রের বয়সের গড় ১৫ বছর। তাদের মধ্যে ৩ জন ছাত্রের বয়সের গড় ১৭ বছর হলে, বাকি ৬ জন ছাত্রের বয়সের গড় কত?
সমাধান:
৯ জন ছাত্রের গড় বয়স ১৫ বছর
∴ ৯ জন ছাত্রের বয়সের সমষ্টি = (১৫ × ৯) বছর
= ১৩৫ বছর
আবার,
৩ জন ছাত্রের বয়সের গড় ১৭ বছর
∴ ৩ জন ছাত্রের বয়সের সমষ্টি = (১৭ × ৩) বছর
= ৫১ বছর
∴ বাকি ৬ জন ছাত্রের বয়সের সমষ্টি = (১৩৫ - ৫১) বছর = ৮৪ বছর
∴ বাকি ৬ জন ছাত্রের বয়সের গড় = (৮৪/৬) বছর
= ১৪ বছর
সমাধান:
৯ জন ছাত্রের গড় বয়স ১৫ বছর
∴ ৯ জন ছাত্রের বয়সের সমষ্টি = (১৫ × ৯) বছর
= ১৩৫ বছর
আবার,
৩ জন ছাত্রের বয়সের গড় ১৭ বছর
∴ ৩ জন ছাত্রের বয়সের সমষ্টি = (১৭ × ৩) বছর
= ৫১ বছর
∴ বাকি ৬ জন ছাত্রের বয়সের সমষ্টি = (১৩৫ - ৫১) বছর = ৮৪ বছর
∴ বাকি ৬ জন ছাত্রের বয়সের গড় = (৮৪/৬) বছর
= ১৪ বছর
৪,৯৭৮.
দু’টি সংখ্যার একটি অপরটির 5/7 গুণ, এবং তাদের ল.সা.গু. 175 হলে গ.সা.গু. কত?
ব্যাখ্যা
মনেকরি,
সংখ্যাদ্বয় 7a, 5a
∴ ল.সা.গু. = 35a
= 175
বা, a = 5
∴ 7a, 5a এর গ.সা.গু. a = 5
৪,৯৭৯.
চারটি ঘন্টা একত্রে বেজে যথাক্রমে ১২, ১৮, ২০ ও ২৫ সেকেন্ড অন্তর অন্তর বাজতে লাগল। কতক্ষণ পরে ঘন্টাগুলো পুনরায় একত্রে বাজবে?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: চারটি ঘন্টা একত্রে বেজে যথাক্রমে ১২, ১৮, ২০ ও ২৫ সেকেন্ড অন্তর অন্তর বাজতে লাগল। কতক্ষণ পরে ঘন্টাগুলো পুনরায় একত্রে বাজবে?
সমাধান:
১২ = ২২ × ৩
১৮ = ২ × ৩২
২০ = ২২ × ৫
২৫ = ৫২
∴ ল.সা.গু. = ২২ × ৩২ × ৫২
= ৪ × ৯ × ২৫
= ৯০০ সেকেন্ড
আমরা জানি, ৬০ সেকেন্ড = ১ মিনিট।
∴ সময় = ৯০০/৬০ মিনিট = ১৫ মিনিট।
∴ ১৫ মিনিট পরে ঘন্টাগুলো পুনরায় একত্রে বাজবে।
৪,৯৮০.
০.০২৫ এর শতকরা ১ ভাগ এর মান কত?
ব্যাখ্যা
০.০২৫ × ১% = ০.০২৫ × ১/১০০ = ০.০০০২৫।
৪,৯৮১.
কোন সংখ্যাকে ৫ দ্বারা ভাগ করলে ভাগশেষ ৩ হয়। এখন যদি ঐ সংখ্যার বর্গটিকে ৫ দ্বারা ভাগ করা হয় তখন কত অবশিষ্ট থাকবে?
ব্যাখ্যা
৮ কে ৫ দ্বারা ভাগ করলে ৩ অবশিষ্ট থাকে।
৮২ = ৬৪ কে ৫ দিয়ে ভাগ করলে ভাগশেষ থাকে ৪।
৮২ = ৬৪ কে ৫ দিয়ে ভাগ করলে ভাগশেষ থাকে ৪।
৪,৯৮২.
কোনো সংখ্যার ৪০% এর সাথে ৪২ যোগ করলে যোগফল ঐ সংখ্যাটি। সংখ্যাটি কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: কোনো সংখ্যার ৪০% এর সাথে ৪২ যোগ করলে যোগফল ঐ সংখ্যাটি। সংখ্যাটি কত?
সমাধান:
ধরি,
সংখ্যাটি ক
ক এর ৪০% + ৪২ = ক
⇒ ০.৪ক + ৪২ = ক
⇒ ক - ০.৪ক = ৪২
⇒ ০.৬ক = ৪২
⇒ ক = ৪২/০.৬
∴ ক = ৭০
৪,৯৮৩.
দুইটি সংখ্যার অনুপাত ৩ : ৪। তাদের ল.সা.গু ১০৮। ছোট সংখ্যাটি কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: দুইটি সংখ্যার অনুপাত ৩ : ৪। তাদের ল.সা.গু ১০৮। ছোট সংখ্যাটি কত?
সমাধান:
ধরি,
ছোট সংখ্যাটি = ৩ক
বর সংখ্যাটি = ৪ক
এদের ল.সা.গু = ১২ক
প্রশ্নমতে,
১২ক = ১০৮
∴ ক = ৯
∴ ছোট সংখ্যাটি = ৩ × ৯ = ২৭
সমাধান:
ধরি,
ছোট সংখ্যাটি = ৩ক
বর সংখ্যাটি = ৪ক
এদের ল.সা.গু = ১২ক
প্রশ্নমতে,
১২ক = ১০৮
∴ ক = ৯
∴ ছোট সংখ্যাটি = ৩ × ৯ = ২৭
৪,৯৮৪.
পাঁচ অঙ্কের কোন বৃহত্তম সংখ্যাকে ১২, ১৮, ২০ ও ৩৫ দিয়ে ভাগ করলে প্রত্যেকবার ভাগশেষ ৫ হবে?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: পাঁচ অঙ্কের কোন বৃহত্তম সংখ্যাকে ১২, ১৮, ২০ ও ৩৫ দিয়ে ভাগ করলে প্রত্যেকবার ভাগশেষ ৫ হবে?
সমাধান:
১২, ১৮, ২০ ও ৩৫ এর ল.সা.গু = ১২৬০
পাঁচ অঙ্কের বৃহত্তম সংখ্যা = ৯৯৯৯৯
৯৯৯৯৯ কে ১২৬০ দিয়ে ভাগ করলে ভাগশেষ হবে ৪৫৯
তাহলে সংখ্যাটি হবে ৯৯৯৯৯ - ৪৫৯ = ৯৯৫৪০
∴ ৫ ভাগশেষ থাকবে যদি সংখ্যাটি = (৯৯৫৪০ + ৫) = ৯৯৫৪৫ হয়।
পাঁচ অঙ্কের ৯৯৫৪৫ এই বৃহত্তম সংখ্যাকে ১২, ১৮, ২০ ও ৩৫ দিয়ে ভাগ করলে প্রত্যেকবার ভাগশেষ ৫ হবে।
সমাধান:
১২, ১৮, ২০ ও ৩৫ এর ল.সা.গু = ১২৬০
পাঁচ অঙ্কের বৃহত্তম সংখ্যা = ৯৯৯৯৯
৯৯৯৯৯ কে ১২৬০ দিয়ে ভাগ করলে ভাগশেষ হবে ৪৫৯
তাহলে সংখ্যাটি হবে ৯৯৯৯৯ - ৪৫৯ = ৯৯৫৪০
∴ ৫ ভাগশেষ থাকবে যদি সংখ্যাটি = (৯৯৫৪০ + ৫) = ৯৯৫৪৫ হয়।
পাঁচ অঙ্কের ৯৯৫৪৫ এই বৃহত্তম সংখ্যাকে ১২, ১৮, ২০ ও ৩৫ দিয়ে ভাগ করলে প্রত্যেকবার ভাগশেষ ৫ হবে।
৪,৯৮৫.
মাতা ও কন্যার বয়সের অনুপাত ১১ : ৪। মাতার বয়স ৫৫ বছর হলে, মাতা ও কন্যার বয়সের সমষ্টি কত?
ব্যাখ্যা
মাতা ও কন্যার বয়সের অনুপাত ১১ : ৪
মাতার বয়স = ১১ক
কন্যার বয়স = ৪ক
প্রশ্নমতে
১১ক = ৫৫
ক = ৫
কন্যার বয়স = ৪ × ৫ = ২০ বছর
মাতা ও কন্যার বয়সের সমষ্টি = (৫৫ + ২০) বছর = ৭৫ বছর
মাতার বয়স = ১১ক
কন্যার বয়স = ৪ক
প্রশ্নমতে
১১ক = ৫৫
ক = ৫
কন্যার বয়স = ৪ × ৫ = ২০ বছর
মাতা ও কন্যার বয়সের সমষ্টি = (৫৫ + ২০) বছর = ৭৫ বছর
৪,৯৮৬.
দুইটি সংখ্যার ল.সা.গু. ৩৬ ও গ.সা.গু ৬। একটি সংখ্যা ১২ হলে, অপর সংখ্যাটি কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: দুইটি সংখ্যার ল.সা.গু. ৩৬ ও গ.সা.গু ৬। একটি সংখ্যা ১২ হলে, অপর সংখ্যাটি কত?
সমাধান:
একটি সংখ্যা × অপর সংখ্যা = ল.সা.গু × গ.সা.গু
বা, ১২ × অপর সংখ্যা = ৩৬ × ৬
বা, অপর সংখ্যা = (৩৬ × ৬)/১২
∴ অপর সংখ্যা = ১৮ ।
সমাধান:
একটি সংখ্যা × অপর সংখ্যা = ল.সা.গু × গ.সা.গু
বা, ১২ × অপর সংখ্যা = ৩৬ × ৬
বা, অপর সংখ্যা = (৩৬ × ৬)/১২
∴ অপর সংখ্যা = ১৮ ।
৪,৯৮৭.
সরল করুন: ৭ + [{৪৫ ÷ ৯ + ৩} × {(১২ - ৭) × ২ - ৫} - ১] ÷ ১৩
ব্যাখ্যা
সরল করুন: ৭ + [{৪৫ ÷ ৯ + ৩} × {(১২ - ৭) × ২ - ৫} - ১] ÷ ১৩
সমাধান:
৭ + [{৪৫ ÷ ৯ + ৩} × {(১২ - ৭) × ২ - ৫} - ১] ÷ ১৩
= ৭ + [{৫ + ৩} × {৫ × ২ - ৫} - ১] ÷ ১৩
= ৭ + [৮ × {১০ - ৫} - ১] ÷ ১৩
= ৭ + [৮ × ৫ - ১] ÷ ১৩
= ৭ + [৪০ - ১] ÷ ১৩
= ৭ + ৩৯ ÷ ১৩
= ৭ + ৩
= ১০
৪,৯৮৮.
তিনটি ক্রমিক বিজোড় সংখ্যার প্রথমটির তিন গুণ, তৃতীয় সংখ্যাটির দ্বিগুণের থেকে ৩ বেশি। তৃতীয় সংখ্যাটি কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: তিনটি ক্রমিক বিজোড় সংখ্যার প্রথমটির তিন গুণ, তৃতীয় সংখ্যাটির দ্বিগুণের থেকে ৩ বেশি। তৃতীয় সংখ্যাটি কত?
সমাধান:
ধরি,
১ম বিজোড় সংখ্যা = ক
২য় বিজোড় সংখ্যা = (ক + ২)
৩য় বিজোড় সংখ্যা = (ক + ৪)
প্রশ্নমতে,
৩ক = ২(ক + ৪) + ৩
⇒ ৩ক = ২ক + ৮ + ৩
⇒ ৩ক - ২ক = ১১
∴ ক = ১১
অর্থাৎ তৃতীয় সংখ্যাটি হবে = ১১ + ৪ = ১৫
সমাধান:
ধরি,
১ম বিজোড় সংখ্যা = ক
২য় বিজোড় সংখ্যা = (ক + ২)
৩য় বিজোড় সংখ্যা = (ক + ৪)
প্রশ্নমতে,
৩ক = ২(ক + ৪) + ৩
⇒ ৩ক = ২ক + ৮ + ৩
⇒ ৩ক - ২ক = ১১
∴ ক = ১১
অর্থাৎ তৃতীয় সংখ্যাটি হবে = ১১ + ৪ = ১৫
৪,৯৮৯.
দুইটি সংখ্যার অনুপাত 5 : 7 এবং তাদের ল.সা.গু 140 হলে, সংখ্যা দুইটির গ.সা.গু কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: দুইটি সংখ্যার অনুপাত 5 : 7 এবং তাদের ল.সা.গু 140 হলে, সংখ্যা দুইটির গ.সা.গু কত?
সমাধান:
সংখ্যা দুটি যথাক্রমে, 5x ও 7x হলে,
ল.সা.গু = 35x এবং গ.সা.গু = x
প্রশ্নমতে,
35x = 140
বা, x = 140/35
∴ x = 4
∴ গ.সা.গু = 4
সমাধান:
সংখ্যা দুটি যথাক্রমে, 5x ও 7x হলে,
ল.সা.গু = 35x এবং গ.সা.গু = x
প্রশ্নমতে,
35x = 140
বা, x = 140/35
∴ x = 4
∴ গ.সা.গু = 4
৪,৯৯০.
18a³b4c5, 42a4c³d4, 60b³c4d5 এবং 78a²b4d³ এর গ.সা.গু-
ব্যাখ্যা
এখানে, 18, 42, 60, 78 এর গ.সা.গু. = 6
এবং a³, a4, 1, a² এর গ.সা.গু. = 1
b4, 1, b³, b4 এর গ.সা.গু. = 1
c5, c³, c4, 1 এর গ.সা.গু. = 1
1, d4, d5, d³ এর গ.সা.গু. = 1
∴ নির্ণেয় গ.সা.গু = 6.
এবং a³, a4, 1, a² এর গ.সা.গু. = 1
b4, 1, b³, b4 এর গ.সা.গু. = 1
c5, c³, c4, 1 এর গ.সা.গু. = 1
1, d4, d5, d³ এর গ.সা.গু. = 1
∴ নির্ণেয় গ.সা.গু = 6.
৪,৯৯১.
০.১% কে দশমিকে প্রকাশ করুন।
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: ০.১% কে দশমিকে প্রকাশ করুন।
সমাধান :
দেয়া আছে,
০.১% = ০.১ × (১/১০০)
= ০.০০১
সমাধান :
দেয়া আছে,
০.১% = ০.১ × (১/১০০)
= ০.০০১
৪,৯৯২.
২/৭ এর ৫৮১% = ?
ব্যাখ্যা
২/৭ এর ৫৮১%
= ২/৭ এর ৫৮১/১০০
= ২ × ৮৩/১০০
= ১৬৬/১০০
= ১.৬৬
= ২/৭ এর ৫৮১/১০০
= ২ × ৮৩/১০০
= ১৬৬/১০০
= ১.৬৬
৪,৯৯৩.
দুইটি সংখ্যার অনুপাত ৫ : ৬ এবং তাদের গ.সা.গু ৪ হলে সংখ্যা দুইটির ল.সা.গু কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: দুইটি সংখ্যার অনুপাত ৫ : ৬ এবং তাদের গ.সা.গু ৪ হলে সংখ্যা দুইটির ল.সা.গু কত?
সমাধান:
দেওয়া আছে,
দুইটি সংখ্যার অনুপাত = ৫ : ৬
গ.সা.গু = ৪
আমরা জানি,
অনুপাতদ্বয়ের গুণফল = ল.সা.গু./গ.সা.গু.
⇒ ল.সা.গু. = অনুপাতদ্বয়ের গুনফল × গ.সা.গু
= (৫ × ৬ × ৪)
= ১২০
সমাধান:
দেওয়া আছে,
দুইটি সংখ্যার অনুপাত = ৫ : ৬
গ.সা.গু = ৪
আমরা জানি,
অনুপাতদ্বয়ের গুণফল = ল.সা.গু./গ.সা.গু.
⇒ ল.সা.গু. = অনুপাতদ্বয়ের গুনফল × গ.সা.গু
= (৫ × ৬ × ৪)
= ১২০
৪,৯৯৪.
পাঁচটি ক্রমিক সংখ্যার সমষ্টি ৩৬০ হলে বড় সংখ্যাটি কত?
ব্যাখ্যা
মনে করি,
১ম সংখ্যাটি = ক
সুতরাং,
২য় সংখ্যাটি = ক + ১ ৩য় সংখ্যাটি
= ক + ২
৪র্থ সংখ্যাটি = ক + ৩
এবং ৫ম সংখ্যাটি = ক + ৪
শর্তমতে,
ক + ক + ১ + ক + ২ + ক + ৩ + ক + ৪ = ৩৬০
বা, ৫ক = ৩৬০ - ১০
বা, ক = ৩৫০/৫
বা, ক = ৭০
অতএব,
বড় সংখ্যাটি = ক + ৪ = ৭০ + ৪
= ৭৪
৪,৯৯৫.
একটি সংখ্যার বর্গ তার বর্গমূলের চেয়ে ৭৮ বেশি হলে সংখ্যাটি-
ব্যাখ্যা
সঠিক উত্তরঃ খ) ৯
খ) ৯২ - √৯ = ৮১ - ৩ = ৭৮
অন্যান্য অপশনঃ
ক) ৬২ - √৬ ≠ ৭৮
গ) ১২২ - √১২ ≠ ৭৮
ঘ) ৮৮২ - √৮৮ ≠ ৭৮
৪,৯৯৬.
Z1 = 5 + 3i এবং Z2 = 3 - 2i হলে Z1Z2 মান কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: Z1 = 5 + 3i এবং Z2 = 3 - 2i হলে Z1Z2 মান কত?
সমাধান:
Z1 = 5 + 3i
Z2 = 3 - 2i
Z1Z2 = (5 + 3i)(3 - 2i)
= 15 - 10i + 9i - 6i2
= 15 - i - 6(- 1)
= 15 - i + 6
= 21 - i
সমাধান:
Z1 = 5 + 3i
Z2 = 3 - 2i
Z1Z2 = (5 + 3i)(3 - 2i)
= 15 - 10i + 9i - 6i2
= 15 - i - 6(- 1)
= 15 - i + 6
= 21 - i
৪,৯৯৭.
নিচের কোনটি মৌলিক সংখ্যা?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: নিচের কোনটি মৌলিক সংখ্যা?
সমাধান:
মৌলিক সংখ্যা:
১ এর চেয়ে বড় যে সকল সংখ্যাকে শুধু ১ এবং ঐ সংখ্যা ছাড়া আর কোনো সংখ্যা দ্বারা ভাগ করা যায় না, তাদেরকে মৌলিক সংখ্যা বলে।
অর্থাৎ, মৌলিক সংখ্যার উৎপাদক হবে দুইটি ১ এবং শুধুমাত্র সেই সংখ্যাটি।
১ থেকে ১০০ পর্যন্ত মোট মৌলিক সংখ্যা ২৫টি।
যথা- ২, ৩, ৫, ৭, ১১, ১৩, ১৭, ১৯, ২৩, ২৯, ৩১, ৩৭, ৪১, ৪৩, ৪৭, ৫৩, ৫৯, ৬১, ৬৭, ৭১, ৭৩, ৭৯, ৮৩, ৮৯, ৯৭।
∴ ৪৭ একটি মৌলিক সংখ্যা।
সমাধান:
মৌলিক সংখ্যা:
১ এর চেয়ে বড় যে সকল সংখ্যাকে শুধু ১ এবং ঐ সংখ্যা ছাড়া আর কোনো সংখ্যা দ্বারা ভাগ করা যায় না, তাদেরকে মৌলিক সংখ্যা বলে।
অর্থাৎ, মৌলিক সংখ্যার উৎপাদক হবে দুইটি ১ এবং শুধুমাত্র সেই সংখ্যাটি।
১ থেকে ১০০ পর্যন্ত মোট মৌলিক সংখ্যা ২৫টি।
যথা- ২, ৩, ৫, ৭, ১১, ১৩, ১৭, ১৯, ২৩, ২৯, ৩১, ৩৭, ৪১, ৪৩, ৪৭, ৫৩, ৫৯, ৬১, ৬৭, ৭১, ৭৩, ৭৯, ৮৩, ৮৯, ৯৭।
∴ ৪৭ একটি মৌলিক সংখ্যা।
৪,৯৯৮.
১০০ হতে বড় দুইটি পূর্ণসংখ্যার যোগফল ৩০০ হলে, সংখ্যা দুইটির অনুপাত কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: ১০০ হতে বড় দুইটি পূর্ণসংখ্যার যোগফল ৩০০ হলে, সংখ্যা দুইটির অনুপাত কত?
সমাধান:
এই ধরণের প্রশ্নগুলো অপশন টেস্ট করে করা তুলনামূলক সহজ।
অপশন (গ): ২ : ৩
ধরি,
একটি সংখ্যা ২ক এবং অপর সংখ্যা ৩ক
এখন
২ক + ৩ক = ৩০০
৫ক = ৩০০
ক = ৬০
একটি সংখ্যা = ২ × ৬০ = ১২০
অপর সংখ্যাটি = ৩ × ৬০ = ১৮০
সংখ্যা দুইটির অনুপাত = ১২০ : ১৮০ = ২ : ৩
যেহেতু পূর্ণসংখ্যা দুইটি ১০০ হতে বড়।
তাই সঠিক উত্তর: অপশন (গ)
বাকি অপশনগুলো গ্রহণযোগ্য নয়।
সমাধান:
এই ধরণের প্রশ্নগুলো অপশন টেস্ট করে করা তুলনামূলক সহজ।
অপশন (গ): ২ : ৩
ধরি,
একটি সংখ্যা ২ক এবং অপর সংখ্যা ৩ক
এখন
২ক + ৩ক = ৩০০
৫ক = ৩০০
ক = ৬০
একটি সংখ্যা = ২ × ৬০ = ১২০
অপর সংখ্যাটি = ৩ × ৬০ = ১৮০
সংখ্যা দুইটির অনুপাত = ১২০ : ১৮০ = ২ : ৩
যেহেতু পূর্ণসংখ্যা দুইটি ১০০ হতে বড়।
তাই সঠিক উত্তর: অপশন (গ)
বাকি অপশনগুলো গ্রহণযোগ্য নয়।
৪,৯৯৯.
কোন বৃহত্তম সংখ্যা দিয়ে ১০২ ও ১৮৬ কে ভাগ করলে প্রত্যেক বার ৬ অবশিষ্ট থাকবে?
ব্যাখ্যা
১০২ এবং ১৮৬ কে নির্ণেয় সংখ্যা দিয়ে ভাগ করলে প্রত্যেকবার ৬ অবশিষ্ট থাকবে।
সুতরাং ১০২ - ৬ = ৯৬ এবং ১৮৬ - ৬ = ১৮০ কে ভাগ করলে অবশিষ্ট থাকবে না।
অর্থাৎ বৃহত্তম সংখ্যা এমন নির্ণয় করতে হবে যা দ্বারা ৯৬ এবং ১৮০ নিঃশেষে বিভাজ্য হবে।
সুতরাং নির্ণেয় সংখ্যাটি হবে ৯৬ এবং ১৮০ এর গ.সা.গু = ১২।
৫,০০০.
কোনো বিক্রেতাকে ৩.২৫ টাকা, ৪.৭৫ টাকা ও ১১.৫০ টাকা একই ধরণের মুদ্রা দ্বারা পরিশোধ করতে হলে সবচেয়ে বড় কত পয়সার মুদ্রা প্রয়োজন?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: কোনো বিক্রেতাকে ৩.২৫ টাকা, ৪.৭৫ টাকা ও ১১.৫০ টাকা একই ধরণের মুদ্রা দ্বারা পরিশোধ করতে হলে সবচেয়ে বড় কত পয়সার মুদ্রা প্রয়োজন?
সমাধান:
আমরা জানি,
১ টাকা = ১০০ পয়সা
সুতরাং,
৩.২৫ টাকা = ৩২৫ পয়সা
৪.৭৫ টাকা = ৪৭৫ পয়সা
১১.৫০ টাকা = ১১৫০ পয়সা
এখন,
মৌলিক উৎপাদকে বিশ্লেষণ
৩২৫ = ৫ × ৫ × ১৩
৪৭৫ = ৫ × ৫ × ১৯
১১৫০ = ২ × ৫ × ৫ × ২৩
∴ ৩২৫, ৪৭৫ ও ১১৫০ এর গ.সা.গু = ২৫
অতএব, সবচেয়ে বড় ২৫ পয়সার মুদ্রার প্রয়োজন।