বীজগাণিতিক সূত্রাবলি ও এর প্রয়োগ

x² + 1/x² 
= (x + 1/x)2 - 2.x.1/x
= (√3)² - 2
= 1

প্রশ্ন: যদি P² - 1 - 3P = 0 হয়, তবে P⁶ - 1 = ?

সমাধান:
P² - 1 - 3P = 0
⇒ P² - 1 = 3P
⇒ (P² - 1)/P = 3
⇒ P - (1/P) = 3
⇒ {P - (1/P)}³= 3³
⇒ P³ - (1/P³) - 3 × P × (1/P) × {P - (1/P)} = 27
⇒ P³ - (1/P³) - 3 × 3 = 27
⇒ P³ - (1/P³) = 27 + 9
⇒ P³ - (1/P³) = 36
⇒ (P⁶ - 1)/P³ = 36
⇒ P⁶ - 1 = 36P³

প্রদত্ত সমীকরণের মূলদ্বয়ের মান সমান হলে রাশিটি পূর্ণবর্গ হবে এবং নিশ্চায়কের মান শূন্য হবে।
অর্থাৎ p² - 4.1.9 = 0
বা, p² - 36 = 0
বা, p² = 36
বা, p = √36
বা, p = 6

a² + b² + 3ab
= a² + b² + 2ab + ab
= (a + b)² + ab
= (8)² + 12
= 64 + 12
= 76

প্রশ্ন: x + y = 17 এবং xy = 60 হলে, x - y = কত? 

সমাধান: 
আমরা জানি, 
(x - y)² = (x + y)² - 4xy 
বা, (x - y)² = (17)² - 4 × (60) 
বা, (x - y)² = 289 - 240 
বা, (x - y)² = 49 
বা, (x - y)² = (7)² 
∴ x - y = 7 

প্রশ্ন: যদি x - y = 4 এবং xy = 32 হয়, তাহলে x + y = কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
x - y = 4
xy = 32

আমরা জানি,
(x + y)² = (x - y)² + 4xy
⇒ (x + y)² = (4)² + 4 × 32
⇒ (x + y)² = 16 + 128
⇒ (x + y)² = 144
⇒ x + y = √144
∴ x + y = 12

প্রশ্ন: যদি a + b + c = 0 হয়, তাহলে a³ + b³ + c³ + 10abc এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে, a + b + c = 0
আমরা জানি, 
যদি a + b + c = 0 হয়, তাহলে a³ + b³ + c³ = 3abc হয়।

প্রদত্ত রাশি = a³ + b³ + c³ + 10abc
= 3abc + 10abc
∴ a³ + b³ + c³ + 10abc = 13abc

x² -2√6 -5 = 0
Or, x² = 5 + 2√6 = 3+ 2.√3.√2 +2
Or, x² = (√3 + √2)²
Or, x = √3 + √2
So, 1/x = √3 - √2
So, x +1/x = √3 + √2 + √3 - √2 = 2√3

সমাধান:

(x + 1/x)²
= (x - 1/x)² + 4.x.1/x
= 1² + 4 = 5
x + 1/x = √5 
∴ x² - 1/x²
= (x + 1/x)(x - 1/x)
= √5.1
= √5

x⁴ - x² + 1 = 0
⇒ x⁴ + 1 = x²
⇒ (x⁴ + 1)/x² = 1
⇒ x⁴/x² + 1/x² = 1
⇒ x² + 1/x² = 1
⇒ (x + 1/x)² - 2.x.1/x = 1
⇒ (x + 1/x)² = 3
⇒ x + 1/x = √3
এখন,
x³ + (1/x³)
= (x + 1/x)³ - 3.x.1/x (x + 1/x)
= (√3)³ - 3√3
= 3√3 - 3√3
= 0

প্রশ্ন: x - 1/x = 1 হলে x³ - 1/x³ এর মান কত?

সমাধান:
x - 1/x = 1

আমরা জানি,
x³ - 1/x³ = (x - 1/x)³ + 3.x.1/x(x - 1/x)
= 1³ + 3 × 1
= 1 + 3
= 4

প্রশ্ন: a + b = 25 এবং a - b = 5 হলে, ab এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
a + b = 25
a - b = 5

আমরা জানি,
4ab = (a + b)² - (a - b)²
⇒ 4ab = (25)² - (5)²
⇒ 4ab = 625 - 25
⇒ 4ab = 600
⇒ ab = 600/4
∴ ab = 150

প্রশ্ন:

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
(x² - 2 + 1/x²)7
= {x² - 2 × x × (1/x) + (1/x)²}⁷
= {(x - 1/x)²}⁷  ; [(a - b)² = a² - 2ab + b²]
= {x - (1/x)}¹⁴

এখন, (a + b)ⁿ হলে মোট পদের সংখ্যা = n + 1
∴ {x - (1/x)}¹⁴ এর মোট পদ সংখ্যা = 14 + 1 = 15 টি

মধ্যপদ নির্ণয়:
যেহেতু মোট পদের সংখ্যা বিজোড়, তাই মধ্যপদ হবে,
∴ মধ্যপদ = (n + 1)/2 তম পদ
= (15 + 1)/2 তম পদ
= 16/2 তম পদ
= 8 তম পদ

সুতরাং, (x² - 2 + 1/x²)⁷ এর বিস্তৃতিতে মধ্যপদ হলো 8 তম পদ।

প্রশ্ন: {a + (1/a)}² = 9 হলে, a³ + (1/a)³ এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
{a + (1/a)}² = 9 
⇒ a + (1/a) = √9
⇒ a + (1/a) = 3

∴ প্রদত্ত রাশি, a³ + (1/a³)
= {a + (1/a)}³ - 3 · a · (1/a) · {a + (1/a)}
= (3)³ - (3 × 3)
= 27 - 9
= 18

b = a - √3
a - b =√3
∴ ab = {(a + b) / 2}² - {(a - b) / 2}²
= {(√7)/2}² - {(√3)/2}²
= 7/4 - 3/4
= 4/4
= 1

প্রশ্ন: x - 1/x = 1 হলে, x³ - (1/x)³ এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
x - 1/x = 1

এখন, 
x³ - (1/x)³ = {x - (1/x)}³ + 3.x.(1/x) {x - (1/x)}
= 1³ + 3 × 1
= 4

দেওয়া আছে, x² + y² = 2 এবং x² - y² = 2
এখন, আমরা x² + y² কে (x²)² + (y²)² লিখতে পারি।
আমরা জানি, 2{(x²)² + (y²)²} = (x² + y²)² + (x² - y²)²
                                             = 2² + 2²
                                             = 4 + 4
                                             = 8
এখন, 2{(x²)² + (y²)²} = 8
বা, (x²)² + (y²)² = 8/2
সুতরাং, x⁴ + y⁴ = 4

প্রশ্ন: যদি x + (1/9x) = 2 হয়, তবে 27x³ + (1/27x³) এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
x + (1/9x) = 2
বা, 3x + (3/9x) = 6  [উভয় পক্ষকে 3 দ্বারা গুণ করে]
বা, 3x + (1/3x) = 6
বা, {3x + (1/3x)}³ = 6³
বা, (3x)³ + (1/3x)³ + 3 × 3x × (1/3x) {3x + (1/3x)} = 216
বা, 27x³ + (1/27x³) + 3 × 6 = 216
বা, 27x³ + (1/27x³) + 18 = 216
বা, 27x³ + (1/27x³) = 216 - 18
∴ 27x³ + (1/27x³) = 198

প্রশ্ন: {x - (1/x)}² = 2 হলে x³ - (1/x)³ এর মান কত? [ x - (1/x) > 0]

সমাধান:
দেওয়া আছে,
{x - (1/x)}² = 2
⇒ x - (1/x) = √2 [ বর্গমূল করে]

এখন,
x³ - (1/x)³
= {x - (1/x)}³ + 3.x.(1/x){x - (1/x)}
= (√2)³ + 3√2
= 2√2 + 3√2
= 5√2

প্রশ্ন: 9x² - 24xy + 16y² - 25z² এর একটি উৎপাদক নিচের কোনটি?

সমাধান:
9x² - 24xy + 16y² - 25z²
= (9x² - 24xy + 16y²) - 25z²
= {(3x)² - 2 . 3x . 4y + (4y)²} - (5z)²
= (3x - 4y)² - (5z)²
= (3x - 4y + 5z)(3x - 4y - 5z)

প্রশ্ন: যদি x = 5 এবং y = 2 হয়, তবে 9x² - 30xy + 25y² এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে, 
x = 5 এবং y = 2

প্রদত্ত রাশি, 
9x² - 30xy + 25y²
= (3x)² - 2 × (3x) × (5y) + (5y)²
= (3x - 5y)²
= [3(5) - 5(2)]² ; [x = 5, y = 2 বসিয়ে]
= (15 - 10)²
= 5²
= 25

প্রশ্ন: যদি x + y = 9 এবং xy = 14 হয়, তবে x - y এর মান কত?

সমাধান:
দেয়া আছে,
x + y = 9 এবং xy = 14

আমরা জানি,
(x - y)² = (x + y)² - 4xy
⇒ (x - y)² = (9)² - (4 × 14)
⇒ (x - y)² = 81 - 56
⇒ (x - y)² = 25
⇒ x - y = √25
∴ x - y = 5

প্রশ্ন: x = 1 + √5 হলে, x³ = কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
 x = 1 + √5

∴ x³ = (1 + √5)³
= 1³ + 3 × 1² ×√5 + 3 ×1 × (√5)² + (√5)³
= 1 + 3√5 + 3 × 5 + 5√5
= 16 + 8√5 

প্রশ্ন: যদি x + (1/x) = √5 হয়, তবে x³ + (1/x)³ এর মান কত?

সমাধান:
দেয়া আছে,
x + (1/x) = √5

প্রদত্ত রাশি = x³ + (1/x)³
= {x + (1/x)}³ - 3.x.(1/x){x + (1/x)}
= (√5)³ - 3 × √5
= 5√5 - 3√5
= 2√5

প্রশ্ন: যদি x + y = 9 এবং x - y = 3 হয়, তাহলে x³ + y³ এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে, 
x + y = 9 এবং x - y = 3

আমরা জানি, 
xy = {(x + y)² - (x - y)²}/4
= {(9)² - (3)²}/4
= (81 - 9)/4
= 72/4
= 18

আমরা জানি, 
x³ + y³ = (x + y)³ - 3xy(x + y)
= (9)³ - 3 × 18 × 9
= 729 - 486
= 243