বীজগাণিতিক সূত্রাবলি ও এর প্রয়োগ

ভাগশেষ উপপাদ্য মতে,
ƒ (x) = x³ - x²
x = 3 হলে,
ƒ ( 3 ) = 3³ - 3² = 18
ভাগশেষ = 18

প্রশ্ন: দুইটি সংখ্যার ল.সা.গু a²b(a + b) এবং গ.সা.গু a(a + b)। একটি সংখ্যা (a³ + a²b) হলে অপরটি কত?

সমাধান: 
আমরা জানি, 
দুটি সংখ্যার গুণফল = ল.সা.গু × গ.সা.গু
= a²b(a + b) × a(a + b)
= a³b(a + b)(a + b) 

ধরি, অপর সংখ্যা = x

∴ x × (a³ + a²b) = a³b(a + b)(a + b)
⇒ x × a²(a + b) = a³b(a + b)(a + b)
⇒ x = {a³b(a + b)(a + b)}/a²(a + b)
⇒ x = ab(a + b)
∴ x = a²b + ab²

যখন x ও y এর মান সমান হবে তখন xy এর মান সর্বোচ্চ হবে।
অর্থাৎ, x = 7 এবং y = 7.
সুতরাং, xy = 7×7 = 49

x+1/x = 4
∴ x² + 1 = 4x
∴ x/(x²-3x+1) = x/(4x - 3x) = x/x = 1

প্রশ্ন: যদি x = √3 + √2 হয়, তাহলে ,  এর মান কত? 

সমাধান:
দেয়া আছে,

এখন,
x + (1/x) = √3 + √2 + √3 - √2
∴ x + (1/x) = 2√3

প্রদত্ত রাশি = x³ + (1/x³)
= {x + (1/x)}³ - 3.x.(1/x){x + (1/x)}
= (2√3)3 - 3(2√3)
= 24√3 - 6√3
= 18√3

x + y + x - y = 12 + 2
বা, 2x = 14
বা, x = 7
∴ y = 5
So, XY = 35

প্রশ্ন: যদি p + q + r = 5 হয়; p³ + q³ + r³ = 35 এবং p² + q² + r² = 13 হয়, তবে 3pqr = ?

সমাধান: 
দেওয়া আছে,
p + q + r = 5;
p³ + q³ + r³ = 35
p² + q² + r² = 13

আমরা জানি, 
p³ + r³ + q³ = (p + q + r) (p² + q² + r² - pq - qr - pr) + 3pqr

আবার,
আমরা জানি,
(p + q + r)² = p² + q² + r² + 2(pq + qr + pr)
⇒ 25 = 13 + 2 × (pq + qr + rq)
⇒ 2(pq + qr + pr) = 25 - 13
⇒ (pq + qr + pr) = 12/2
∴ (pq + qr + pr) = 6

এখন, p³ + r³ + q³ = (p + q + r)(p² + q² + r² - pq - qr - pr) + 3pqr
⇒ 35 = 5(13 - 6) + 3pqr
⇒ 3pqr = 35 - 35
∴ 3pqr = 0

দেওয়া আছে,
a²-√3a+1 = 0
a²+1 = √3a
a+1/a = √3
(a+1/a)³ = (√3)³
a³+1/a³+3.a.(1/a) (a+1/a) = 3√3
a³+1/a³+3√3 = 3√3
a³+1/a³ = 0

প্রশ্ন: x − 1/x = 5√3 হলে x² + 1/x² = কত? 

সমাধান: 
x² + 1/x²
= (x − 1/x)² + 2.x .1/x 
= (5√3)² + 2
= (5)² . (√3)² + 2
= (25 × 3) + 2
= 75 + 2 
= 77

Question: What is the value(s) of p such that 4x² - px + 9 is a perfect square?

Solution:
সমাধান: 
4x² - px + 9
= (2x)² - 2.2x.3 + 3² - px + 2.2x.3
= (2x - 3)² + 12x - px

রাশিটি পূর্ণবর্গ হলে,
12x - px = 0
বা, px = 12x
∴ p = 12

প্রশ্ন: গ.সা.গু. নির্ণয় করুন: 4a² - 1, 2a² + a - 1

সমাধান:
১ম রাশি = 4a² - 1
= (2a)² - 1²
= (2a - 1)(2a + 1)

২য় রাশি = 2a² + a - 1
= 2a² + 2a - a - 1
= 2a(a + 1) - 1(a + 1)
= (2a - 1)(a + 1)

∴ নির্ণেয় গ.সা.গু = (2a - 1)

প্রশ্ন: 25x² - 20x এর সাথে কত যোগ করলে যোগফল একটি পূর্ণবর্গ সংখ্যা হবে?

সমাধান:
25x² - 20x
= (5x)² - 2 × 5x × 2 + (2)² - 4
= (5x - 2)² - 4

∴ 4 যোগ করলে যোগফল একটি পূর্ণবর্গ সংখ্যা হবে।

প্রশ্ন: যদি x + y + z = 0 হয়, তবে x³ + y³ + z³ এর মান কত?

সমাধান:
দেয়া আছে,
x + y + z = 0

আমরা জানি,
x³ + y³ + z³ - 3xyz = (x + y + z)(x² + y² + z² - xy - yz - zx)
⇒ x³ + y³ + z³ - 3xyz = 0 × (x² + y² + z² - xy - yz - zx)
⇒ x³ + y³ + z³ - 3xyz = 0
∴ x³ + y³ + z³ = 3xyz

প্রশ্ন:

সমাধান:

প্রশ্ন: q = 2 এবং p = 7 হলে, 25q² - 70qp + 49p² এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে, 
q = 2 এবং p = 7

প্রদত্ত রাশি,
= 25q² - 70qp + 49p²
= (5q)² - 2 × 5q × 7p + (7p)²
= (5q - 7p)²
= (5 × 2 - 7 × 7)²   ; [q ও p এর মান বসিয়ে]
= (10 - 49)²
= (- 39)²
= 1521

প্রশ্ন: যদি x = a + b, y = b + c, z = c + a হয়, তবে (x - y + z) এর মান নির্ণয় করুন।

সমাধান:
দেওয়া আছে,
x = a + b
y = b + c
z = c + a

∴ (x - y + z) = (a + b) - (b + c) + (c + a)
= a + b - b - c + c + a
= 2a

প্রশ্ন: a⁴ + a²b² + b⁴ = 8 এবং a² + ab + b² = 4 হলে, a² - ab + b² এর মান কত?

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
a⁴ + a²b² + b⁴ = 8
a² + ab + b² = 4

এখন, 
a⁴ + a²b² + b⁴ = 8
⇒ (a²)² + 2 . a² . b² + (b²)² - a² . b² = 8
⇒ (a² + b²)²  - (ab)² = 8
⇒ (a² + b² + ab)(a² + b² - ab) = 8
⇒ 4(a² - ab + b²) = 8
⇒ (a² - ab + b²) = 8/4
∴ a² - ab + b² = 2

প্রশ্ন: P + 3/P = 4 হলে, P⁶ - 28P³ + 27 = কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
P + 3/P = 4
⇒ (P + 3/P)³ = 4³
⇒ P³ + (3/P)³ + 3 × P × 3/P × (P + 3/P) = 64
⇒ P³ + (27/P³) + 9 × 4 = 64
⇒ P³ + (27/P³) + 36 = 64
⇒ P³ + (27/P³) = 64 - 36
⇒ P³ + (27/P³) = 28
⇒ P⁶ + 27 = 28P³
∴ P⁶ - 28P³ + 27 = 0

প্রশ্ন: a + b + c = 15 এবং a² + b² + c² = 83 হলে, ab + bc + ac এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
a + b + c = 15
a² + b² + c² = 83

আমরা জানি,
(a + b + c)² = a² + b² + c² + 2(ab + bc + ac)
⇒ 2(ab + bc + ac) = (a + b + c)² - (a² + b² + c²)
⇒ 2(ab + bc + ac) = (15)² - 83
⇒ 2(ab + bc + ac) = 225 - 83
⇒ 2(ab + bc + ac) = 142
⇒ ab + bc + ac = 142/2
∴ ab + bc + ac = 71

প্রশ্ন: x + y = 3 এবং x² + y² = 9 হলে, x³ + y³ এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
x² + y² = 9
⇒ (x + y)² - 2xy = 9
 ⇒ (3)² - 2xy = 9
 ⇒ 2xy = 0 
∴ xy = 0

এখন,
x³ + y³
= (x + y)³ - 3.x.y (x +y)
= (3)³ - 3.0.2
= 27 - 0
= 27

2x - 2/x = 3.....(1)
বা, (2x - 2/x)² = 9
বা, (2x + 2/x)² - 4.2x.2/x = 9
বা, (2x + 2/x)² = 9 + 16 = 25
বা, 2x + 2/x = 5.....(2)

(1) নং × (2) নং করে পাই,
(2x + 2/x)(2x - 2/x) = 15
4x² - 4/x² = 15

প্রশ্ন: y = - 4 হলে, y³ + 2y² - 1 এর মান কত? 

সমাধান:
দেওয়া আছে, 
y = - 4

প্রদত্ত রাশি,  
y³ + 2y² - 1
= (- 4)³ + 2(- 4)² - 1
= - 64 + 2 × 16 - 1
= - 65 + 32
= - 33

∴ y³ + 2y² - 1 = - 33

প্রশ্ন: যদি a⁴ - 10a² + 1 = 0 হয়, তবে a - (1/a) এর মান কত?

সমাধান:
a⁴ - 10a² + 1 = 0
⇒ a⁴ + 1 = 10a²
⇒ (a⁴ + 1)/a² = 10
⇒ a² + 1/a² = 10
⇒ {a - (1/a)}² + 2 . a .(1/a) = 10
⇒ {a - (1/a)}² + 2 = 10
⇒ {a - (1/a)}² = 8
⇒ a - (1/a) = √8
∴ a - (1/a) = 2√2

প্রশ্ন: a⁵ + (1/a⁵) = 6 হলে, a⁵ - (1/a⁵) = ?

সমাধান:
আমরা জানি,
(a⁵ - 1/a⁵)² = (a⁵ + 1/a⁵)² - 4.a⁵.(1/a⁵) [∵ (m - n)² = (m + n)² - 4mn]
⇒ (a⁵ - 1/a⁵)² = (6)² - 4
⇒ (a⁵ - 1/a⁵)² = 36 - 4
⇒ (a⁵ - 1/a⁵)² = 32
⇒ a⁵ - 1/a⁵ = √32
⇒ a⁵ - 1/a⁵ = √(16 × 2)
∴ a⁵ - 1/a⁵ = 4√2

a(a - b)/(a + b) ÷  (a - b)/(a³ + b³)
= {a(a - b)/(a + b)} × {(a³ + b³)/(a - b)}
= {a(a - b)/(a + b)} × {(a + b)(a² - ab + b²)/(a - b)}
= a(a² - ab + b²)

x + 1/(x + 2) = 0
=> (x² + 2x + 1)/(x + 2) = 0
=> x² + 2x + 1 = 0
=> x² + 2.x.1 + 1² = 0
=> (x + 1)² = 0
=> x + 1 = 0
=> x = -1
তাহলে,
x² + 1/x³
= (-1)² + 1/(-1)³
= 1 + (-1)
= 1 - 1
= 0