বীজগাণিতিক সূত্রাবলি ও এর প্রয়োগ

x³ + 1/x³ = 0
বা, (x + 1/x)³ - 3.x.1/x(x + 1/x) = 0
বা, (x + 1/x)³ - 3(x + 1/x) = 0
বা, (x + 1/x) {(x + 1/x)² - 3} = 0
বা, (x + 1/x)² - 3 = 0
বা, x² + 1/x² + 2.x.1/x - 3 = 0
বা, x² + 1/x² + 2 - 3 = 0
বা, x² + 1/x² = 1
∴ x⁴ + 1 = x²

প্রশ্ন: a + b + c = 0 হলে a³ + b³ + c³ এর মান কত?

সমাধান:
দেয়া আছে,
a + b + c = 0
আমরা জানি,
a³ + b³ + c³ - 3abc = (a + b + c) (a² + b² + c² - ab - bc - ca)
⇒ a³ + b³ + c³ - 3abc = 0 [a + b + c = 0; মান বসিয়ে]
⇒ a³ + b³ + c³ = 3abc

প্রশ্ন: যদি x² + y² + 2x + 1 = 0 হয়, তাহলে x³¹ + y³⁶ এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে, 
x² + y² + 2x + 1 = 0
⇒ x² + 2x + 1 + y² = 0
⇒ (x + 1)² + y² = 0
দুটি বর্গের সমষ্টি শূন্য হলে, প্রতিটি বর্গের মান পৃথকভাবে শূন্য হতে হয়।
অর্থাৎ,
(x + 1)² = 0  
⇒ x + 1 = 0  
⇒ x = - 1
এবং y² = 0  
⇒ y = 0
সুতরাং, x = - 1 এবং y = 0

প্রদত্ত রাশি, 
x³¹ + y³⁶
= (- 1)³¹ + (0)³⁶
= - 1 + 0
= - 1

প্রশ্ন: দুইটি সংখ্যার গুণফল 48 এবং বর্গের যোগফল 160। সংখ্যা দুইটির যোগফল কত?

সমাধান:
ধরি ,
সংখ্যা দুইটি = x ও y

দেয়া আছে,
xy = 48
x² + y² = 160

আমরা জানি,
(x + y)²
= x² + y² + 2xy
= 160 + (2 × 48)
= 160 + 96
= 256
⇒ x + y = √256
∴ x + y = 16

প্রশ্ন: যদি x + (1/x) = 3 হয়, তবে (x)⁵ + (1/x)⁵ এর মান কত?

সমাধান:

প্রশ্ন: x + (3/x) = 5 হলে x³ + (27/x³) = কত? 

সমাধান: 
প্রদত্ত রাশি = x³ + (27/x³) 
= {x + (3/x)}³ - 3.x.3/x {x + (3/x)} 
= (5)³ - 9 × 5 
= 125 - 45 
= 80

0.1, 0.1 দশমিকের পর মোট দু'টি অংক।
∴ ফলাফলে ও তাই হবে।
∴ 0.1 × 0.1 = 0.01

প্রশ্ন: x + (1/x) = 5 হলে, (x⁴ + 1)/x² এর মান কত?

সমাধান:
দেয়া আছে, 
​x + (1/x) = 5

প্রদত্ত রাশি = (x⁴ + 1)/x² 
​= x² + (1/x²)
= (x + 1/x)² - 2 . x . 1/x
​= (5)² - 2
​= 25 - 2
​= 23

প্রশ্ন:

সমাধান:

প্রশ্ন: যদি a + b = 7 এবং a² + b² = 25 হয়, তাহলে ab এর মান কত?

সমাধান: 
আমরা জানি, 
(a + b)² = (a² + b²) + 2ab 
বা, 2ab = (a + b)² - (a² + b²)
বা, 2ab = (7)² - 25
বা, 2ab = 49 - 25
বা, 2ab = 24
বা, ab = 24/2
∴ ab = 12

দেওয়া আছে,
a + b + c = 6 এবং
ab + bc + ca = 14

আমরা জানি,
(a + b + c)² = a² + b² + c² + 2(ab + bc + ca)
বা, a² + b² + c² = (a + b + c)² - 2(ab + bc + ca)
বা, a² + b² + c² = 6² - 2 . 14
বা, a² + b² + c² = 36 - 28
সুতরাং a² + b² + c² = 8

প্রশ্ন: x + 4/x = 4 হলে x/(x² + x - 1) এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে
x + 4/x = 4
(x² + 4)/x = 4
x² + 4 = 4x
x² - 4x + 4 = 0
(x - 2)² = 0
x - 2 = 0
x = 2

প্রদত্ত রাশি
x/(x² + x - 1)
= 2(2² + 2 - 1)
= 2/(4 + 2 - 1)
= 2/5

প্রশ্ন: a + b = 8 এবং a - b = 4 হলে ab = কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
a + b = 8 এবং a - b = 4

প্রদত্ত রাশি,
ab = {(a + b)/2}² - {(a - b)/2}²
= (8/2)² - (4/2)²
= 4² - 2²
= 16 - 4
= 12

প্রশ্ন: (0, - 4) বিন্দুগামী এবং 3 ঢালযুক্ত সরলরেখার সমীকরণ কী ?

সমাধান:
দেওয়া আছে, 
(0, -4) বিন্দুগামী এবং 3 ঢালযুক্ত

আমরা জানি,
y - y1 = m(x - x1)
যেখানে (x₁, y₁) একটি বিন্দু এবং m হল ঢাল।
⇒ y - (- 4) = 3(x - 0)
⇒ y + 4 = 3x
∴ y = 3x - 4

প্রশ্ন: যদি p - q = 5 এবং pq = 84, তবে p² - q² = ?
​
​সমাধান:
​দেওয়া আছে,
​p - q = 5 এবং pq = 84
​
​আমরা জানি,
​(p + q)² = (p - q)² + 4pq
⇒ ​(p + q)² ​= (5)² + 4 × 84
⇒ ​​(p + q)² = 25 + 336
⇒ ​​(p + q)² = 361
⇒ ​p + q = √361 = 19
∴ ​​p + q = 19​
​
​এখন,
​ p² - q² = (p + q)(p - q) = 19 × 5 = 95

প্রশ্ন: x² - y², 2(x + y) এবং 2x²y + 2xy² এর ল.সা.গু কত? 

সমাধান:
১ম রাশি,
x² - y²
= (x - y)(x + y)

২য় রাশি, 
2(x + y)

৩য় রাশি,
2x²y + 2xy²
= 2xy(x + y)

সুতরাং, রাশি তিনটি ল.সা.গু = 2xy(x + y)(x - y)

4ab = (a + b)² - (a - b)²
= 6² - 4²
= 20
Or, ab = 20/4 = 5

প্রশ্ন: a - 1/a = 3 হলে a² + (1/a²) = ?

সমাধান:
দেওয়া আছে, a - 1/a = 3

এখন,
a² + 1/a²
= (a - 1/a)² + 2 . a . (1/a)
= (3)² + 2
= 9 + 2
= 11

x + y + x - y = 14 + 2
বা, 2x = 16
বা, x =8
∴ y = 6
So, xy = 48

প্রশ্ন: x + y = √7 এবং x - y = √5 হলে, 8xy(x² + y²) =?

সমাধান: 
8xy(x² + y²)
= 4xy × 2(x² + y²)
= {(x + y)² - (x - y)²}{(x + y)² + (x - y)²}
= {(√7)² - (√5)²}{(√7)² + (√5)²}
= (7 - 5)(7 + 5)
= 2 × 12
= 24

লাইভ পরীক্ষায় টাইপের ভুলে রুট দ্বিতীয় বন্ধনীর ভেতরে ছিল। তবে, উত্তর বাতিল হবে না। অপশনে যেহেতু 'কোনটিই নয়' ছিল না তাই উত্তর কোনটি হতে পারে বুঝতে সমস্যা হওয়ার কথা না।

2(x² + y²)
= (x + y)² + (x - y)²
= 8² + 6²
= 64 + 36
= 100

√{2(x² + y²)}
= √100
= 10

প্রশ্ন: যদি b + (1/b) = 7 হয়, তবে b/(b² + b + 1) এর মান হচ্ছে:

সমাধান:
দেয়া আছে,
b + (1/b) = 7
⇒ (b² + 1)/b = 7
⇒ (b² + 1) = 7b

এখন,
b/(b² + b + 1)
= b/(7b + b)
= b/8b
= 1/8

প্রশ্ন: x² - a² + 2ab - b² এর উৎপাদক কত?

সমাধান: 
x² - a² + 2ab - b²
= x² - (a² - 2ab + b²)
= x² - (a - b)²
= (x + a - b)(x - a + b)

প্রশ্ন: x + (1/x) = 3 হলে, x⁴ + (1/x⁴) এর মান কত?

সমাধান:
{x⁴ + (1/x⁴)}
= (x²)² + (1/x²)²
= {x² + (1/x²)}² - 2 · x² . (1/x²)
= [{x + (1/x)}² - 2 · a · (1/x)]² - 2
= {(3)² - 2}² - 2
= (7)² - 2
= 49 - 2
= 47

(a² - b²)
= (a² + b²)² - 4a²b²
= {(a + b)² - 2ab} - 4(ab)²
= (7² - 2.12)² - 4(12)²
= 625 - 576
= 49

প্রশ্ন: (a/b) + (b/a) = 4 হলে (a²/b²) + (b²/a²) এর মান কত?

সমাধান,
দেওয়া আছে,
(a/b) + (b/a) = 4 

এখন,
(a²/b²) + (b²/a²)
= (a/b)² + (b/a)²
= {(a/b) + (b/a)}² - 2(a/b)(b/a)
= (4)² - 2
= 16 - 2
= 14

a³ + 3a²b + 3ab² + b³
= (a + b)³
সুতরাং (a + b)³ এর ঘনমূল {(a + b)³}^1/3
= (a + b)^{(3 × 1/3)}
= a + b