PrepBank · বিষয়ভিত্তিক প্রশ্ন
PrepBank · পাতা ১০ / ৩৪ · ৯০১–১,০০০ / ৩,৪০১
(x + y)2
= x2 + y2 + 2xy
= 13 + 2 × 6
= 25
প্রশ্ন: যদি a + b = 4 এবং ab = 3 হয়, তবে a3+ b3 + 4(a - b)2 এর মান কত?
সমাধান:
দেওয়া আছে,
a + b = 4
এবং ab = 3
∴ প্রদত্ত রাশি = a3 + b3 + 4(a - b)2
= (a + b)3 - 3ab (a + b) + 4{(a + b)2 - 4ab}
= (4)3 - 3.3.4 + 4 (42 - 4.3) [মান বসিয়ে]
=64 - 36 + 4. (16 - 12)
= 64 - 36 + 4 × 4
= 64 - 36 + 16
= 44
:. নির্ণেয় মান 44
প্রশ্ন: 16x2 + 9y2 এর সাথে কত যোগ করলে পূর্ণবর্গ হবে?
সমাধান:
আমরা জানি পূর্ণবর্গের রূপ,
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
এখানে দেওয়া রাশি,
16x2 + 9y2 = (4x)2 + (3y)2
= (4x)2 + 2 × (4x) × (3y) + (3y)2
= 16x2 + 24xy + 9y2
অর্থাৎ,
16x2 + 9y2 + 24xy = (4x + 3y)2
সুতরাং, পূর্ণবর্গ হওয়ার জন্য 24xy যোগ করতে হবে।
প্রশ্ন: যদি a + b = 9 এবং a2 + b2 = 45 হয়, তবে ab এর মান কত?
সমাধান:
দেয়া আছে,
a + b = 9
a2 + b2 = 45
আমরা জানি,
(a + b)2 = a2 + b2 + 2ab
⇒ 92 = 45 + 2ab
⇒ 81 = 45 + 2ab
⇒ 2ab = 81 - 45 = 36
⇒ 2ab = 36
∴ ab = 18
প্রশ্ন: p√3 + p√3 এর বর্গ কত?
সমাধান:
p√3 + p√3
= 2p√3
এখন বর্গ করে পাই-
= (2p√3)2
= (2√3p)2
= 12p2
∴ p√3 + p√3 এর বর্গ = 12p2
প্রশ্ন: (2, 3) এবং (4, 9) বিন্দুগামী সরলরেখার ঢাল কত?
সমাধান:
বিন্দু দুইটি (x1, y1) = (2, 3)
এবং (x2, y2) = (4, 9)
আমরা জানি,
সরলরেখার ঢাল m = (y2 - y1)/(x2 - x1)
= (9 - 3)/(4 - 2)
= 6/2
= 3
প্রশ্ন: যদি x - y = 4 এবং xy = 5 হয়, তবে x2 + y2 = কত?
সমাধান:
দেওয়া আছে,
x - y = 4
(x - y)2 = 42
(x - y)2 = 16
এবং xy = 5
আমরা জানি,
x2 + y2 = (x - y)2 + 2xy
= 16 + (2 × 5)
= 26
প্রশ্ন: x3 - 3x2, x2 - 9, xy - 3y রাশিগুলোর গ.সা.গু. (H.C.F) কত?
সমাধান:
১ম রাশি = x3 - 3x2
= x2(x - 3)
২য় রাশি = x2 - 9
= x2 - 32
= (x + 3)(x - 3)
৩য় রাশি = xy - 3y
= y(x - 3)
∴ নির্ণেয় গ.সা.গু = (x - 3)
প্রশ্ন: যদি x2 + y2 + z2 + 3 = 2(x + y + z) হয়, তাহলে (x + y + z) = ?
সমাধান:
দেওয়া আছে,
x2 + y2 + z2 + 3 = 2(x + y + z)
⇒ x2 + y2 + z2 + 3 = 2x + 2y + 2z
⇒ (x2 - 2x + 1) + (y2 - 2y + 1) + (z2 - 2z + 1) = 0
⇒ (x - 1)2 + (y - 1)2 + (z - 1)2 = 0
আমরা জানি,
কতগুলো রাশির বর্গের সমষ্টি যদি শূন্য হয়, তাহলে প্রত্যেক পদের বর্গও শূন্য হবে। অর্থাৎ,
(x - 1)2 = 0
⇒ x - 1 = 0
∴ x = 1
একইভাবে, y = 1, z = 1
প্রদত্ত রাশি,
x + y + z = 1 + 1 + 1 = 3
∴ x + y + z = 3
সমাধান:
প্রশ্ন: দুইটি সংখ্যার গুণফল 45 এবং বর্গের যোগফল 106। সংখ্যা দুইটির যোগফল কত?
সমাধান:
ধরি, সংখ্যা দুইটি = x ও y
দেওয়া আছে, xy = 45 এবং x2 + y2 = 106
আমরা জানি,
(x + y)2 = x2 + y2 + 2xy
⇒ (x + y)2 = 106 + 2 × 45
⇒ (x + y)2 = 106 + 90
⇒ (x + y)2 = 196
⇒ x + y = √196
∴ x + y = 14
∴ সংখ্যা দুইটির যোগফল = 14
a8 + 1/a8 + 2 . a4 . 1/a4
= (a4 + 1/a4)2 যা পূর্ণবর্গ
প্রশ্ন: যদি a3 + b3 = 341 এবং a + b = 11 হয় তবে ab এর মান কত?
সমাধান:
দেয়া আছে,
a3 + b3 = 341 এবং a + b = 11
আমরা জানি,
a3 + b3 = (a + b)3 - 3ab(a + b)
⇒ 341 = 113 - 3ab × 11
⇒ 341 = 1331 - 33ab
⇒ 33ab = 1331 - 341
⇒ 33ab = 990
⇒ ab = 990/33
∴ ab = 30
প্রশ্ন: a + b + c = 6 এবং a2+ b2+ c2 = 14 , ab + bc + ca = কত?
সমাধান:
দেওয়া আছে,
a + b + c = 6
a2 + b2+ c2 = 14
আমরা জানি,
(a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2(ab + bc + ca)
বা, 62 = 14 + 2(ab + bc + ca)
বা, 36 = 14 + 2(ab + bc + ca)
বা, 2(ab + bc + ca) = 36 - 14
বা, 2(ab + bc + ca) = 22
বা, ab + bc + ca = 22/2
∴ ab + bc + ca = 11
প্রশ্ন: x + 1/x = 2 হলে, (x2 + 1/x2)(x4 + 1/x4) এর মান কত?
সমাধান:
দেওয়া আছে,
x + 1/x = 2
⇒ (x + 1/x)2 = 22
⇒ x2 + 1/x2 + 2.x.1/x = 4 [বর্গ করে]
⇒ x2 + 1/x2 = 4 - 2
⇒ x2 + 1/x2 = 2 ......(1)
⇒ x4 + 1/x4 + 2.x2.1/x2 = 4 [আবার বর্গ করে]
⇒ x4 + 1/x4 = 4 - 2
⇒ x4 + 1/x4 = 2 .....(2)
∴ প্রদত্ত রাশি,
(x2 + 1/x2)(x4 + 1/x4) = (2)(2) = 4
প্রশ্ন: s + 1/s = 2 হলে s5 - 1/s5 = ?
সমাধান:
দেওয়া আছে,
s + 1/s = 2
বা, s2 + 1 = 2s
বা, s2 - 2s + 1 = 0
বা, (s - 1)2 = 0
বা, s - 1 = 0
∴ s = 1
∴ s5 - 1/s5
= 1 - 1/1
= 1 - 1
= 0
প্রশ্ন: x2 − 1 − y(y − 2) এর উৎপাদক কত?
সমাধান:
x2 − 1 − y(y − 2)
= x2 − 1 − y2 + 2y
= x2 − (y2 − 2y + 1)
= x2 − (y − 1)2
= (x + y − 1) (x − y + 1)
প্রশ্ন: যদি a + b + c = 0 হয়, তাহলে (a3 + b3 + c3 )2 = ?
সমাধান:
দেওয়া আছে,
a + b + c = 0
আমরা জানি,
a3 + b3 + c3 - 3abc = (a + b + c)(a2 + b2 + c2 - ab - bc - ca)
⇒ a3 + b3 + c3 - 3abc = 0
∴ a3 + b3 + c3 = 3abc
প্রদত্ত রাশি,
(a3 + b3 + c3)2 = (3abc)2 = 9a2b2c2
প্রশ্ন: যদি x + y = √11 এবং x - y = √7 হয়, তবে xy এর মান কত?
সমাধান:
দেওয়া আছে,
x + y = √11
x - y = √7
আমরা জানি,
xy = {(x + y)/2}2 - {(x - y)/2}2
= (√11/2)2 - (√7/2)2
= (11/4) - (7/4)
= (11 - 7)/4
= 4/4
= 1
প্রশ্ন: যদি x + y = √13 এবং x - y = √5 হয়, তবে xy এর মান কত?
সমাধান:
দেওয়া আছে,
x + y = √13
x - y = √5
আমরা জানি,
xy = {(x + y)/2}2 - {(x - y)/2}2
= (√13/2)2 - (√5/2)2
= (13/4) - (5/4)
= (13 - 5)/4
= 8/4
= 2
প্রশ্ন: যদি x2 + (1/x)2 = 10 হয়, তাহলে x + (1/x) এর মান কত?
সমাধান:
দেওয়া আছে,
x2 + (1/x)2 = 10
∴ {x + (1/x)}2 = x2 + (1/x)2 + 2 × x × (1/x)
= 10 + 2
= 12
∴ x + (1/x) = √12
Given, a - (1/a) = 2
∴ a + (1/a) = √[{(a - (1/a)}2 + 4.a.(1/a)}]
= √{(2)2 + 4}
= √8
= 2√2
∴ a4 + (1/a4) = (a2)2 + (1/a2)2
= {a2 + (1/a2)}2 - 2.a2.(1/a2)
= {a2 + (1/a2)}2 - 2
= {(a + 1/a)2 - 2.a.(1/a)}2 - 2
= {(2√2)2 - 2}2 - 2
= 36 - 2
= 34
x + y = 3, x - y = 1 হলে x² + y² এর মান কত?
2(x² + y²) = (x + y)² + (x - y)²
= 3² + 1²
= 9 + 1
2(x² + y²) = 10
∴ x² + y² = 10/2
=5
প্রশ্ন: যদি x = √6 এবং y = √3 হয়, তবে (x - y)2 + 2xy এর মান কত?
সমাধান:
দেওয়া আছে,
x = √6 এবং y = √3
প্রদত্ত রাশি,
(x - y)2 + 2xy
= x2 - 2xy + y2 + 2xy
= x2 + y2
= (√6)2 + (√3)2
= 6 + 3
= 9
প্রশ্ন: মকবুল ছয়টি কলম ও তিনটি খাতা এবং বুলবুল চারটি কলম ও পাঁচটি খাতা ক্রয় করে। একটি কলমের মূল্য x টাকা এবং একটি খাতার মূল্য y টাকা হলে মকবুলের মোট খরচ বীজগণিতীয় রাশির মাধ্যমে প্রকাশ করুন?
সমাধান:
1 টি কলমের দাম = x টাকা
∴ 6 টি কলমের দাম = 6x টাকা
আবার,
1 টি খাতার দাম = y টাকা
∴ 3 টি খাতার দাম = 3y টাকা
∴ মকবুলের মোট খরচের বীজগণিতীয় রাশি = 6x + 3y
x2-8x-8y+16+y2
= x2+y2+(-4)2+2xy+2y(-4)+2(-4)x-2xy
= (x+y-4)2-2xy
প্রশ্ন: a + b = 5 এবং ab = 6 হলে, a3 + b3 + 4(a - b)2 এর মান নির্ণয় করুন-
সমাধান:
দেওয়া আছে,
a + b = 5 এবং ab = 6
আমরা জানি,
(a - b)2 = (a + b)2 - 4ab = 52 - 4 × 6 = 25 - 24 = 1
∴ (a - b)2 = 1
এবং,
a3 + b3 = (a + b)3 - 3ab(a + b)
= 53 - 3 × 6 × 5 = 125 - 90 = 35
∴ a3 + b3 = 35
প্রদত্ত রাশি,
a3 + b3 + 4(a - b)2
= 35 + 4 × 1
= 39
( √5 + √( 5 - x ))/( √5 - √( 5 - x )) = 5
[ যোজন-বিয়োজন করে পায় ]
⇒√5/√(5 - x ) = 6/4
উভয় পাশে বর্গ করে পায়,
⇒ 5/( 5- x ) = 36/16
⇒ 5/( 5 - x ) = 9/4
⇒ x = 25/9
x2 + 4y2 + 8x - 16y + 16
= x2 + (2y)2 + (4)2 - 2.x.2y + 2.x.4 - 2.2y.4 + 4xy
=(x - 2y + 4)2 + 4xy