লগ ইননিবন্ধন
বিষয়সমূহ

PrepBank · বিষয়ভিত্তিক প্রশ্ন

বীজগাণিতিক সূত্রাবলি ও এর প্রয়োগ

মোট প্রশ্ন৩,৪০১এই পাতা১০০প্রতি পাতা১০০
প্রশ্ন দেখুনঅনুশীলন
ঘনত্ব
উত্তর
উত্তরিতবর্তমানপুনরায় দেখুনঅসম্পূর্ণ

বীজগাণিতিক সূত্রাবলি ও এর প্রয়োগ

PrepBank · পাতা ৩২ / ৩৪ · ৩,১০১–৩,২০০ / ৩,৪০১

৩,১০১.
দুইটি সংখ্যার বর্গের যোগফল 85 এবং গুণফল 42 হলে সংখ্যাদুটির বর্গের অন্তরফল কত?
  1. ক
    ক) 12
  2. খ
    খ) 13
  3. গ
    গ) 14
  4. ঘ
    ঘ) 15
ব্যাখ্যা

ধরি, সংখ্যা দুটি x ও y
প্রশ্নমতে, x²+y² = 85 এবং xy = 42
সূত্রানুসারে,
x²-y² = √{(x²+y²)² - 4x²y²}
⇒ x²-y² = √{(85)² - 4(42)²}
⇒ x²-y² = √(7225- 4×1764)
⇒ x²-y² = √(7225 -7056)
⇒ x²-y² = √169
∴ x²-y² = 13

৩,১০২.
x + y = 10 এবং xy = 24 হলে (x - y)2 এর মান কত?
  1. ক
    ক) 2
  2. খ
    খ) 3
  3. গ
    গ) 4
  4. ঘ
    ঘ) 9
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: x + y = 10 এবং xy = 24 হলে (x - y)2 এর মান কত?

সমাধান: 
দেওয়া আছে,
 x + y = 10 
xy = 24 

এখন 
(x - y)2 = (x + y)2 - 4xy
(x - y)2 = (10)2 - 4 × 24
= 100 - 96
= 4
৩,১০৩.
x - 1/x = 3 হলে {x2 + (1/x2)}{x4 + (1/x4)} এর মান কত?
  1. ক
    1309
  2. খ
    329
  3. গ
    2176
  4. ঘ
    1139
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: x - 1/x = 3 হলে {x2 + (1/x2)}{x4 + (1/x4)} এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
x - 1/x = 3
⇒ (x - 1/x)2 = 32
⇒ x2 - 2 . x . (1/x) + 1/x2 = 9
⇒ x2 + 1/x2 = 9 + 2
∴ x2 + 1/x2 = 11

আবার,
x2 + 1/x2 = 11
⇒ {x2 + (1/x2)}2 = 112
⇒ (x2)2 + 2 . x2 . (1/x2) + (1/x2)2 = 121
⇒ x4 + 1/x4 = 121 - 2
∴ x4 + 1/x4 = 119

সুতরাং,
{x2 + (1/x2)}{x4 + (1/x4)} = 11 × 119 = 1309

৩,১০৪.
যদি s এবং t দুটি সংখ্যা হয়, তাহলে s সংখ্যার পাঁচগুণ থেকে t সংখ্যার চারগুণ বিয়োগ করলে বিয়োগফল কী হবে?
  1. ক
    2t
  2. খ
    5s + 4t
  3. গ
    3s
  4. ঘ
    5s - 4t
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: যদি s এবং t দুটি সংখ্যা হয়, তাহলে s সংখ্যার পাঁচগুণ থেকে t সংখ্যার চারগুণ বিয়োগ করলে বিয়োগফল কী হবে?

সমাধান: 
দেওয়া আছে,
একটি সংখ্যা s, যার 5 গুণ 5s
এবং অপর একটি সংখ্যা t, যার 4 গুণ 4t

∴ নির্ণেয় বিয়োগফল = 5s - 4t 

৩,১০৫.
a2 - 1 = 3a হলে (a6 - 1)/a3 এর মান কত?
  1. ক
    ক) 18
  2. খ
    খ) 0
  3. গ
    গ) 36
  4. ঘ
    ঘ) 27
ব্যাখ্যা
দেয়া আছে,
a2 - 1 = 3a
(a2 - 1)/a = 3a/a
a2/a - 1/a = 3
a - 1/a = 3

এখানে 
(a6 - 1)/a3 = a6/a3 - 1/a3
                 = a3 - 1/a3 
                  = (a)3 - (1/a)3
                  = (a - 1/a)3 + 3a .1/a(a - 1/a)
                  = 33 + 3 . 3
                  = 27 + 9
                  = 36
৩,১০৬.
x + 1/x = √5 হলে, x3 + 1/x3 = কত?
  1. ক
    ক) 0
  2. খ
    খ) 3√5
  3. গ
    গ) 5
  4. ঘ
    ঘ) 2√5
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: x + 1/x = √5 হলে, x3 + 1/x3 = কত? 

সমাধান: 
x + 1/x = √5

 x3 + 1/x3 =(x + 1/x)3 - 3.x.1/x(x + 1/x)
= (√5)3 - 3√5
= 5√5 - 3√5
= 2√5
৩,১০৭.
a + b = 4 এবং a - b = 2 হলে, 6(a2 + b2) এর মান কত?
  1. ক
    50
  2. খ
    60
  3. গ
    20
  4. ঘ
    10
ব্যাখ্যা

2(a2 + b2)
= (a + b)2 + (a - b)2
= 42 + 22
= 20
সুতরাং 6(a2 + b2) = 3 × 20 = 60

৩,১০৮.
4a + (4/a) = 8 হলে, a এর মান কত?
  1. ক
    1
  2. খ
    0
  3. গ
    2
  4. ঘ
    1/2
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 4a + (4/a) = 8 হলে, a এর মান কত?

সমাধান:
4a + (4/a) = 8
⇒ 4{a + (1/a)} = 8
⇒ a + (1/a) = 8/4
⇒ a + (1/a) = 2
⇒ (a2 + 1)/a = 2
⇒ a2 + 1 = 2a
⇒ a2 - 2a + 1 = 0
⇒ (a + 1)2 = 0
⇒ a + 1 = 0
∴ a = 1
৩,১০৯.
a+b = 7 এবং a-b = 3 হলে 7ab/(a2-b2) = কত?
  1. ক
    ক) 3.33
  2. খ
    খ) 4.8
  3. গ
    গ) 8.43
  4. ঘ
    ঘ) 1.2
ব্যাখ্যা
7ab/(a2 - b2)
= 7[{(a+b)/2}2 - {(a-b)/2}2]/(a+b)(a-b)
= 7[{7/2}2 - {3/2}2]/(7)(3)
= (49/4 - 9/4)/3
= 3.33
৩,১১০.
a2 + b2 + c2 = 29, (a + b + c) = 9 হলে, ab + bc + ca এর মান কত?
  1. ক
    52
  2. খ
    26
  3. গ
    104
  4. ঘ
    84
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: a2 + b2 + c2 = 29, (a + b + c) = 9 হলে, ab + bc + ca এর মান কত?

সমাধান: 
(a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2(ab + bc + ca) 
⇒ 2(ab + bc + ca) = (a + b + c)2 - (a2 + b2 + c2)
⇒ 2(ab + bc + ca) = 92 - 29
⇒ 2(ab + bc + ca) = 81 - 29 
⇒ 2(ab + bc + ca) = 52
⇒ (ab + bc + ca) = 52/2
∴ (ab + bc + ca) = 26
৩,১১১.
a3 - b3 এবং a3 + b3 এর গ.সা.গু কত?
  1. ক
    ক) 0
  2. খ
    খ) 1
  3. গ
    গ) 3
  4. ঘ
    ঘ) (a + b)(a - b)
ব্যাখ্যা

প্রথম রাশি = a3 - b3
= (a - b) (a2 + ab + b2)
দ্বিতীয় রাশি = a3 + b3
= (a + b) (a2 - ab + b2)
∴ গ.সা.গু = 1

৩,১১২.
যদি a - b = 3 এবং a2 + b2 = 29 হয়, তাহলে ab এর মান নির্ণয় করুন.
  1. ক
    10
  2. খ
    12
  3. গ
    15
  4. ঘ
    18
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: যদি a - b = 3 এবং a2 + b2 = 29 হয়, তাহলে ab এর মান নির্ণয় করুন.

সমাধান:
a2 + b2 = 29
⇒ (a + b)2 - 2ab = 29
⇒ (a - b)2 + 4ab - 2ab = 29
⇒ 32 + 2ab = 29
⇒ 2ab = 20
∴ ab = 10
৩,১১৩.
m - 1/m = √3 হলে m3 - 1/m3 = কত?
  1. ক
    ক) 6√3
  2. খ
    খ) 0
  3. গ
    গ) 5√3
  4. ঘ
    ঘ) √3
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: m - 1/m = √3 হলে m3 - 1/m3 = কত?

সমাধান: 
দেয়া আছে 
m - 1/m = √3 
এখন
m3 - 1/m3 = (m - 1/m)3 + 3.m.(1/m).(m - 1/m)
                 = (√3)3 + 3 × √3
                 = 3√3 + 3√3 
                 = 6√3
৩,১১৪.
a2 + b2 = 13 এবং ab = 6 হলে (b - a)2 এর মান কত?
  1. ক
    1
  2. খ
    5
  3. গ
    13
  4. ঘ
    25
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: a2 + b2 = 13 এবং ab = 6 হলে (b - a)2 এর মান কত?

সমাধান:
(b - a)2 =  b2 - 2ba + a2
= a2 + b2 - 2ab
= 13 - (2 × 6)
= 13 - 12
= 1
৩,১১৫.
x + y = 8 এবং x2 + y2 = 34 হলে, x3 + y3 এর মান কত?
  1. ক
    152
  2. খ
    156
  3. গ
    154
  4. ঘ
    166
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: x + y = 8 এবং x2 + y2 = 34 হলে, x3 + y3 এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
x + y = 8
এবং x2 + y2 = 34
⇒ (x + y)2 - 2xy = 34
⇒ - 2xy = 34 - (x + y)2
⇒ - 2xy = 34 - (8)2
⇒ - 2xy = 34 - 64
⇒ - 2xy = -30
∴ xy = 15

প্রদত্ত রাশি = x3 + y3
= (x + y)3 - 3xy(x + y)
= 83 - 3 · 15 · 8
= 512 - 360
= 152
৩,১১৬.
4x2 - 2 হতে কত বিয়োগ করলে রাশিটি পূর্ণ বর্গ হবে?
  1. ক
    ক) - 1/4x2
  2. খ
    খ) - 1/2x2
  3. গ
    গ) 1/4x2
  4. ঘ
    ঘ) 1/2x2
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 4x2 - 2 হতে কত বিয়োগ করলে রাশিটি পূর্ণ বর্গ হবে?

সমাধান:
4x2 - 2
= (2x)2 - 2.2x.(1/2x) + (1/2x)2 - (1/2x)2
= (2x - 1/2x)2 - 1/4x2

 4x2 - 2 থেকে - (1/4x2) বিয়োগ করলে রাশিটি পূর্ণবর্গ হবে।
৩,১১৭.
a + b = 4, ab = 3 হলে, (a3 + b3)2 = কত?
  1. ক
    962
  2. খ
    784
  3. গ
    576
  4. ঘ
    836
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: a + b = 4, ab = 3 হলে, (a3 + b3)2 = কত?

সমাধান:
(a3 + b3)2 = {(a + b)3 - 3ab(a + b)}2
= {43 - (3 × 3 × 4)}2
= (64 - 36)2
= 282
= 784
৩,১১৮.
x = √4 + √3 হলে, x2 + 1/x2 এর মান কত?
  1. ক
    18
  2. খ
    12
  3. গ
    14
  4. ঘ
    16
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: x = 2 + √3 হলে, x2 + 1/x2 এর মান কত?

সমাধান:
x = 2 + √3

∴ 1/x = 1/(2 + √3)
= (2 - √3)/{(2 + √3)(2 - √3)}
= (2 - √3)/{(2)2 - (√3)2}
= (2 - √3)/(4 - 3)
= 2 - √3

x + 1/x
= 2 + √3 + 2 - √3
= 4

x2 + 1/x2
= (x + 1/x)2 - 2.x.(1/x)
= 42 - 2
= 16 - 2
= 14
৩,১১৯.
a−1/a = 4 হলে, a3−1/a3 এর মান-
  1. ক
    ক) 48
  2. খ
    খ) 76
  3. গ
    গ) 80
  4. ঘ
    ঘ) 96
ব্যাখ্যা
a3−1/a3
= (a - 1/a)3 + 3.a.1/a(a - 1/a)
= 43 + 3.4
= 64+12
= 76
৩,১২০.
যদি x + y = 11 এবং xy = 24 হয়, তবে x - y এর মান কত? 
  1. ক
    9
  2. খ
    7
  3. গ
    5
  4. ঘ
    6
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: যদি x + y = 11 এবং xy = 24 হয়, তবে x - y এর মান কত?

সমাধান:
দেয়া আছে,
x + y = 11 এবং xy = 24

আমরা জানি,
(x - y)2 = (x + y)2 - 4xy
= 112 - (4 × 24)
= 121 - 96
= 25
⇒ (x - y) = √25
∴ x - y = 5

৩,১২১.
যদি ‍a + b = √5 ও a − b = √3 তবে a2 + b2 = ?
  1. ক
    ক) 2
  2. খ
    খ) 6
  3. গ
    গ) 4
  4. ঘ
    ঘ) 8
ব্যাখ্যা

a2 + b2 = {(a + b)2 + (a − b)2}/2
= {(√5)2 + (√3)2}/2
= (5 + 3)/2
= 4

৩,১২২.
p + q = 5 এবং p - q = 3 হলে p2 + q2 এর মান কত?
  1. ক
    8
  2. খ
    17
  3. গ
    19
  4. ঘ
    34
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: p + q = 5 এবং p - q = 3 হলে p2 + q2 এর মান কত?

সমাধান:
p + q = 5 
p - q = 3

আমরা জানি 
2(p2 + q2) = (p + q)2 + (p - q)2
⇒ 2(p2 + q2) = 52 + 32
⇒ 2(p2 + q2) = 25 + 9
⇒ 2(p2 + q2) = 34
∴ (p2 + q2) = 17
৩,১২৩.
x + (1/x) = 2 হলে, x5 + (1/x5) = কত?
  1. ক
    4
  2. খ
    2
  3. গ
    8
  4. ঘ
    24
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: x + (1/x) = 2 হলে, x5 + (1/x5) = কত?

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
x + (1/x) = 2
বা, (x2 + 1)/x = 2
বা, x2 + 1 = 2x
বা, x2 - 2x + 1 = 0
বা, (x - 1)2 = 0
বা, x - 1 = 0 
∴ x = 1

এখন, 
x5 + (1/x5)
= (1)5 + {1/(1)5}
= 1 + (1/1)
= 1 + 1 
= 2
৩,১২৪.
a + b = 5, a - b = 3 হলে a8 - b8 = ?
  1. ক
    65534
  2. খ
    65535
  3. গ
    65536
  4. ঘ
    65537
ব্যাখ্যা

a + b = 5......(1)
a - b = 3.......(2)
(1)নং + (2) নং থেকে
2a = 8
∴ a = 4
(1)নং - (2)নং থেকে
2b = 2
∴ b = 1
∴ a8 - b8 = 48 - 18
= 65536 - 1
= 65535

৩,১২৫.
x − 1/x = 2 হলে x4 + 1/x4 = কত?
  1. ক
    ক) 32
  2. খ
    খ) 33
  3. গ
    গ) 34
  4. ঘ
    ঘ) 35
ব্যাখ্যা
x4 + 1/x4
= (x2)2 + (1/x2)2
= (x2 + 1/x2)2 - 2.x2.1/x2
= {(x -1/x)2 + 2.x.1/x}2 - 2
= {(2)2 + 2}2 - 2
= 62 - 2
= 34
৩,১২৬.
x - y = 3, xy = 10 হলে, x2 + y2 এর মান কত?
  1. ক
    ক) 39
  2. খ
    খ) 29
  3. গ
    গ) 19
  4. ঘ
    ঘ) 9
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: x - y = 3, xy = 10 হলে, x2 + y2 এর মান কত? 

সমাধান: 
x2 + y2 
= (x - y)2 + 2xy 
= 32 + (2 × 10)
= 9 + 20
= 29
৩,১২৭.
x4 - x2 - 1 = 0 হলে, x2 + (1/x2) এর মান কত?
  1. ক
    √3
  2. খ
    √4
  3. গ
    √5
  4. ঘ
    √7
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: x4 - x2 - 1 = 0 হলে, x2 + (1/x2) এর মান কত?

সমাধান:
x4 - x2 - 1 = 0 
⇒ x4 - 1 = x2
⇒ ( x4 - 1)/x2 = 1
⇒ x2 - (1/x2) = 1

∴ {x2 + (1/x2)}2
= {x2 - (1/x2)}2 + 4 × x2 × (1/x2)
= 12 + 4
= 5

∴ x2 + (1/x2) = √5
৩,১২৮.
যদি a - (1/a) = 4 হয়, তবে a + (1/a) এর মান কত? 
  1. ক
    2√5
  2. খ
    3√5
  3. গ
    0
  4. ঘ
    √5
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: যদি a - (1/a) = 4 হয়, তবে a + (1/a) এর মান কত? 

সমাধান:
{a + (1/a)}2
= {a - (1/a)}2 + 4.a.1/a
= 42 + 4
= 16 + 4 
= 20

a + (1/a) = √20
= √(2√5)2
= 2√5
৩,১২৯.
x = 2 + √3 হলে, x3 + 1/x3 = ?
  1. ক
    ক) 8 + 3√3
  2. খ
    খ) 52
  3. গ
    গ) 8 - 3√3
  4. ঘ
    ঘ) 50
ব্যাখ্যা

যেহেতু, x = 2 + √3
∴ 1/x = 2 - √3
∴ x + 1/x = 4

এখন, x3 + 1/x3
= (x + 1/x)3 - 3.x.1/x(x + 1/x)
= 43 - 3.4
= 64 - 12
= 52

৩,১৩০.
a - b = 6 এবং ab = 91 হলে, a + b এর মান কত?
  1. ক
    12
  2. খ
    16
  3. গ
    20
  4. ঘ
    15
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: a - b = 6 এবং ab = 91 হলে, a + b এর মান কত?

সমাধান:
দেয়া আছে,
a - b = 6
ab = 91

আমরা জানি,
(a + b)2 = (a - b)2 + 4ab
= (6)2 + (4 × 91)
= 36 + 364
= 400
⇒ a + b = √400
∴  a + b = 20

৩,১৩১.
a2 - 2ab এর সাথে কত যোগ করলে যোগফল একটি পূর্ণবর্গ হবে?
  1. ক
    ক) b2
  2. খ
    খ) a2
  3. গ
    গ) b3
  4. ঘ
    ঘ) ab
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: a2 - 2ab এর সাথে কত যোগ করলে যোগফল একটি পূর্ণবর্গ হবে?

সমাধান:
a2 - 2ab
= a2 - 2ab + b2 - b2
= (a - b)2 - b2

a2 - 2ab এর সাথে b2 যোগ করলে যোগফল একটি পূর্ণবর্গ হবে। 
৩,১৩২.
x + y = 12, x - y = 2 হলে, 4xy এর মান কত?
  1. ক
    124
  2. খ
    130
  3. গ
    136
  4. ঘ
    140
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: x + y = 12, x - y = 2 হলে, 4xy এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
x + y = 12
x - y = 2

আমরা জানি,
4xy = (x + y)2 - (x - y)2
= 122 - 22
= 144 - 4
= 140
৩,১৩৩.
a - (1/a) = 4 হলে, a + (1/a) এর মান কত?
  1. ক
    1/√2
  2. খ
    2√5
  3. গ
    6
  4. ঘ
    - 4
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: a - (1/a) = 4 হলে, a + (1/a) এর মান কত?

সমাধান:
a - (1/a) = 4
⇒ {a - (1/a)}2 = 16
⇒ a2 + (1/a2) - 2 = 16
⇒ a2 + (1/a2) = 18
⇒ a2 + (1/a2) + 2 - 2 = 18
⇒ a2 + 2 · a · (1/a2) + (1/a2) = 18 + 2
⇒ {a + (1/a)}2 = 20
⇒ a + (1/a) = √20
⇒ a + (1/a) = √(4 × 5)
∴ a + (1/a) = 2√5
৩,১৩৪.
a + b = 9m এবং ab = 18m2 হলে a - b এর মান কত?
  1. ক
    ± 2m
  2. খ
    ± 3m
  3. গ
    ± 5m
  4. ঘ
    ± 7m
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: a + b = 9m এবং ab = 18m2 হলে (a - b) এর মান কত? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে,
a + b = 9m
এবং ab = 18m2

আমরা জানি, 
(a - b)2 = (a + b)2 - 4ab
⇒ (a - b)2 = (9m)2 - 4. 18m2
⇒ (a - b)2 = 81m2 - 72m2
⇒ (a - b)2 = 9m2
⇒ (a - b) = √(9m2)
∴ a - b = ± 3m
৩,১৩৫.
x2 - 8x - 8y + 16 + y2 এর সঙ্গে কত বিয়োগ করলে বিয়োগফল পূর্ণ বর্গ হবে?
  1. ক
    ক) 2xy
  2. খ
    খ) -2xy
  3. গ
    গ) 4xy
  4. ঘ
    ঘ) -4xy
ব্যাখ্যা

x2 - 8x - 8y + 16 + y2
= x2 + y2 + 16 - 2.x.4 - 2.y.4 - 2xy
= (x + y - 4)2 - 2xy

৩,১৩৬.
যদি x - 1/x = √3 হয় তাহলে (x6 - 1)/x3 এর মান কত?
  1. ক
    9√3
  2. খ
    3√3
  3. গ
    6√3
  4. ঘ
    0
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: যদি x - 1/x = √3 হয় তাহলে (x6 - 1)/x3 এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
x - 1/x = √3

এখন,
(x6 - 1)/x3
= x6/x3 - 1/x3
= x3 - 1/x3
= (x - 1/x)3 + 3. x. (1/x)(x - 1/x)
= (√3)3 + 3√3
= 3√3 + 3√3
= 6√3
৩,১৩৭.
নিচের কোনটি x2 - y2 - 2y - 1 এর উৎপাদক?
  1. ক
    ক) x + y - 1
  2. খ
    খ) x - y + 1
  3. গ
    গ) - x + y + 1
  4. ঘ
    ঘ) x + y + 1
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: নিচের কোনটি x2 - y2 - 2y - 1 এর উৎপাদক?

সমাধান:
x2 - y2 - 2y - 1
= x2 - (y2 + 2y + 1)
= x2 - (y + 1)2
= (x + y + 1) (x - y - 1)
৩,১৩৮.
x2 + (1/x2) এর কোন মানের জন্য x3 - (1/x3) = 0 হবে?
  1. ক
    2
  2. খ
    0
  3. গ
    4
  4. ঘ
    8
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: x2 + (1/x2) এর কোন মানের জন্য x3 - (1/x3) = 0 হবে?

সমাধান:
x3 - (1/x3) = 0
বা, (x6 - 1)/x3 = 0
বা, x6 - 1 = 0
বা, x6 = 1
∴ x = 1

∴ x2 + (1/x2) = (1)2 + 1/(1)2
= 2
৩,১৩৯.
a + (1/a) = 4 হলে, a6 + (1/a6) এর মান কত?
  1. ক
    2665
  2. খ
    2684
  3. গ
    2702
  4. ঘ
    2710
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: a + (1/a) = 4 হলে, a6 + (1/a6) এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
a + (1/a) = 4

∴ প্রদত্ত রাশি = a6 + (1/a6)
= (a3)2 + (1/a3)2
= {a3 + (1/a3)}2 - 2 · a3 · (1/a3)
= [{a + (1/a)}3 - 3 · a · (1/a){a + (1/a)}]2 - 2
= {(4)3 - 3 · 4}2 - 2
= (64 - 12)2 - 2
= (52)2 - 2
= 2704 - 2
= 2702
৩,১৪০.
a = 15 এবং b = 6 হলে 9a2 - 48ab + 64b2 এর মান নির্ণয় করুন -
  1. ক
    4
  2. খ
    6
  3. গ
    8
  4. ঘ
    9
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: a = 15 এবং b = 6 হলে 9a2 - 48ab + 64b2 এর মান নির্ণয় করুন - 

সমাধান: 
9a2 - 48ab + 64b2 
= (3a)2 - 2. 3a. 8b + (8b)2 
= (3a - 8b)2 
= (3 × 15 - 8 × 6)2 
= (45 - 48)2 
= (- 3)2 
= 9
৩,১৪১.
(a - b)2 = ?
  1. ক
    ক) a2 − 2ab − b2
  2. খ
    খ) a2 − 2ab + b2
  3. গ
    গ) a2 + 2ab - b2
  4. ঘ
    ঘ) a2 + 2ab + b2
ব্যাখ্যা
(a - b)2 = a2 - 2ab + b2
৩,১৪২.
দুটি সংখ্যার সমষ্টি ৭৫ এবং তাদের পার্থক্য ২৫ হলে, তাদের গুণফল কত? 
  1. ক
    1325
  2. খ
    1000
  3. গ
    1125
  4. ঘ
    1250
ব্যাখ্যা
মনে করি
বড় সংখ্যাটি a ও
ছোট সংখ্যাটি b  

প্রশ্নমতে,
a + b = 75
a - b = 25 

 আমরা জানি, 
4ab= (a + b)2 - (a - b)2
4ab= 752 - 252
4ab= (75 + 25)(75 - 25)
4ab = 100 × 50
ab = (100 × 50)/4
ab = 1250
৩,১৪৩.
x4 - x2 + 1 = 0 হলে x3 + (1/x3) = কত?
  1. ক
    ক) 6√3
  2. খ
    খ) 0
  3. গ
    গ) √3
  4. ঘ
    ঘ) 3√3
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: x4 - x2 + 1 = 0 হলে x3 + (1/x3) = কত?

সমাধান:
x4 - x2 + 1 = 0 
বা, x4+ 1 = x2
বা, x4/x2 + 1/x2 = 1
বা, x2 + 1/x2 = 1
বা, (x + 1/x)2 - 2 . x . 1/x = 1
বা, (x + 1/x)2 - 2 = 1
বা, (x + 1/x)2 = 3
∴ x + 1/x = √3

এখন,
x3 + 1/x3 = (x + 1/x)3 - 3. x.1/x (x + 1/x)
= (√3)3 - 3√3
= 3√3 - 3√3
= 0
৩,১৪৪.
(√5 + 1)y + 4 = 4√5 হলে, y এর মান কত?
  1. ক
    6 + 2√5
  2. খ
    9 - 2√5
  3. গ
    6 - 2√5
  4. ঘ
    11 + 2√5
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: (√5 + 1)y + 4 = 4√5 হলে, y এর মান কত?

সমাধান:
(√5 + 1)y + 4 = 4√5
⇒ (√5 + 1)y = 4√5 - 4
⇒ (√5 + 1)y = 4(√5 - 1)
⇒ y = {4(√5 - 1)}/(√5 + 1)
⇒ y = {4(√5 - 1) (√5 - 1)}/{(√5 + 1) (√5 - 1)}
⇒ y = 4{(√5)2 - 2√5 + 1}/{(√5)2 - 1}
⇒ y = {4(6 - 2√5)}/4
∴ y = 6 - 2√5

৩,১৪৫.
a3 = 19 + b3 এবং (- b) = 1 - a হলে, ab = কত?
  1. ক
    4
  2. খ
    5
  3. গ
    6
  4. ঘ
    7
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: a3 = 19 + b3 এবং (- b) = 1 - a হলে, ab = কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
a3 = 19 + b3
বা, a3 - b3 = 19

এবং
- b = 1 - a
বা, a - b = 1

এখন,
a3 - b3 = (a - b)3 + 3ab(a - b)
বা, 19 = (1)3 + 3 ⋅ ab ⋅ 1
বা, 19 = 1 + 3ab
বা, 3ab = 19 - 1
বা, ab = 18/3
∴ ab = 6
৩,১৪৬.
√(a+3) = √a + √3 হলে a = কত?
  1. ক
    1
  2. খ
    1/2
  3. গ
    2
  4. ঘ
    0
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: √(a+3) = √a + √3 হলে a = কত?

সমাধান;
৩,১৪৭.
a(b - a) = b2 হলে, a3 + b3 এর মান কত?
  1. ক
    ক) 1
  2. খ
    খ) 2ab
  3. গ
    গ) 0
  4. ঘ
    ঘ) a + b
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: a(b - a) = b2 হলে, a3 + b3 এর মান কত? 

সমাধান: 
a(b - a) = b2
⇒ ab - a2 = b2 
∴ a2 + b2 = ab 

a3 + b3 
= (a + b) (a2 - ab + b2)
= (a + b) (ab - ab)
= (a + b) . 0
= 0
৩,১৪৮.
দুইটি ক্রমিক সংখ্যার বর্গের অন্তর 99 হলে, বড় সংখ্যাটি কত?
  1. ক
    ক) 48
  2. খ
    খ) 49
  3. গ
    গ) 50
  4. ঘ
    ঘ) 51
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: দুইটি ক্রমিক সংখ্যার বর্গের অন্তর 99 হলে, বড় সংখ্যাটি কত?

সমাধান: 
ধরি,
ছোট সংখ্যাটি = x 
বড় সংখ্যাটি = x + 1

প্রশ্নমতে,
(x + 1)2 - x2 = 99
⇒ x2 + 2x + 1 - x2 = 99
⇒ 2x = 99 - 1
⇒ x = 98/2
⇒ x = 49
∴ বড় সংখ্যাটি = 49 + 1 = 50
৩,১৪৯.
x + 1/x = 3 হলে,  x2 - 1/x2 এর মান কত?
  1. ক
    √5
  2. খ
    3√5
  3. গ
    2√5
  4. ঘ
    √3
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন:  x + 1/x = 3 হলে,  x2 - 1/x2  এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
x + 1/x = 3

আমরা জানি,
(x - 1/x)2 = (x + 1/x)2  - 4.x.(1/x)
= (3)2 - 4
= 9 - 4
= 5
∴√(x - 1/x)2 = √5
∴ x - 1/x =  √5

এখন,
x2  - 1/x2 = (x + 1/x) (x - 1/x)
= 3√5
৩,১৫০.
যদি P(x,y) = 8x2 + y2 + 12x2y + 6xy2 - 6x + 2 হয়, তবে P(1,0) এর মান কত?
  1. ক
    0
  2. খ
    1
  3. গ
    2
  4. ঘ
    4
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: যদি P(x,y) = 8x2 + y2 + 12x2y + 6xy2 - 6x + 2 হয়, তবে P(1,0) এর মান কত? 

সমাধান: 
প্রদত্ত বহুপদীতে (x,y) এর পরিবর্তে (1,0) বসিয়ে পাই, 
P(1,0) = 8 × (1)2 + (0)2 + 12 × (1)2 × (0) + 6 × (1) × (0)2 - 6 × (1) + 2 
= 8 + 0 + 0 + 0 - 6 + 2
= 10 - 6
= 4
৩,১৫১.
P = x2 - 8abx + 15a2b2,  Q = x - 3ab হলে, (P ÷ Q) এর মান কত?
  1. ক
    (x - 7ab)
  2. খ
    (x - 5ab)
  3. গ
    1
  4. ঘ
    (x + 5ab)
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: P = x2 - 8abx + 15a2b2,  Q = x - 3ab হলে, (P ÷ Q) এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
P = x2 - 8abx + 15a2b2
Q = x - 3ab

∴ (P ÷ Q) = (x2 - 8abx + 15a2b2) ÷ (x - 3ab)
= (x2 - 3abx - 5abx + 15a2b2) ÷ (x - 3ab)
= {x(x - 3ab) - 5ab(x - 3ab)} ÷ (x - 3ab)
= (x - 3ab)(x - 5ab) ÷ (x - 3ab)
= (x - 3ab)(x - 5ab) × 1/(x - 3ab)
= (x - 5ab)

৩,১৫২.
x√3 + 3 = 4 হয়, তবে x এর মান কত?
  1. ক
    ক) 1/√5
  2. খ
    খ) 1/√3
  3. গ
    গ) 1/√8
  4. ঘ
    ঘ) 3
ব্যাখ্যা
x√3 + 3 = 4
x√3 = 1
x = 1/√3
৩,১৫৩.
x2 - 1 - 6x = 0 হলে, (x2 + 1)2/x2 এর মান কত?
  1. ক
    35
  2. খ
    40
  3. গ
    41
  4. ঘ
    49
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: x2 - 1 - 6x = 0 হলে, (x2 + 1)2/x2 এর মান কত?

সমাধান:
দেয়া আছে,
x2 - 1 - 6x = 0
⇒ x2 - 1 = 6x
⇒ (x2 - 1)/x = (6x)/x
⇒ x - 1/x = 6

এখন,
(x2 + 1)2/x2
= {(x2 + 1)/x}2
= (x + 1/x)2
 = (x - 1/x)2 + 4 . x . 1/x
= 62 + 4
= 36 + 4
= 40

৩,১৫৪.
a + b = √25 এবং a - b = √16 হলে 4ab এর মান কত?
  1. ক
    ক) 7
  2. খ
    খ) 9
  3. গ
    গ) 11
  4. ঘ
    ঘ) 13
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: a + b = √25 এবং a - b = √16 হলে 4ab এর মান কত?

সমাধান:
দেয়া আছে 
a + b = √25
a - b = √16

4ab = (a + b)2 - (a - b)2
        = (√25)2 - (√16)2
         = 25 - 16
         = 9
৩,১৫৫.
a + b = 14, ab = 45 হলে ‍a - b এর মান কত?
  1. ক
    ± 6
  2. খ
    ± 4
  3. গ
    ± 5
  4. ঘ
    ± 8
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: a + b = 14, ab = 45 হলে ‍a - b এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
a + b = 14
ab = 45 

আমরা জানি 
(a - b)2 =(a + b)2 - 4ab
⇒ (a - b)2 = 142 - 4 × 45
⇒ (a - b)2 = 196 - 180
⇒ (a - b)2 = 16
⇒ (a - b) = √16
∴ a - b = ± 4
৩,১৫৬.
যদি x2 - 2x = - 1 হয়,
  1. ক
    0
  2. খ
    1
  3. গ
    2
  4. ঘ
    4
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: যদি x2 - 2x = - 1 হয়,

সমাধান:
দেওয়া আছে,
x2 - 2x = - 1
⇒ x2 + 1 = 2x
⇒ x + 1/x = 2

৩,১৫৭.
x + y = 5, xy = 6 হলে x3 + y3 = কত?
  1. ক
    ক) 30
  2. খ
    খ) 35
  3. গ
    গ) 215
  4. ঘ
    ঘ) 230
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: x + y = 5, xy = 6 হলে x3 + y3 = কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে, 
x + y = 5
xy = 6

প্রদত্ত রাশি, 
 x3 + y3 = (x + y)3 - 3xy(x + y)
 = 53 - 3 × 6  × 5
 = 125 - 90
 = 35
৩,১৫৮.
- 5 - y এর বর্গ নিচের কোনটি ?
  1. ক
    25 - 10y + y2
  2. খ
    y2 + 10y + 25
  3. গ
    25 - 10y - y2
  4. ঘ
    y2 + 10y - 25
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: - 5 - y এর বর্গ নিচের কোনটি ?

সমাধান:
- 5 - y এর বর্গ = ( - 5 - y)2
=(- 5)2- 2 . (-5) . y + y2
= 25 + 10y + y2
= y2 + 10y + 25
৩,১৫৯.
x + y + z = 7 এবং xy + yz + zx = 10 হলে x2 + y2 + z2 এর মান-
  1. ক
    29
  2. খ
    32
  3. গ
    35
  4. ঘ
    45
ব্যাখ্যা
 প্রশ্ন: x + y + z = 7 এবং xy + yz + zx = 10 হলে x2 + y2 + z2 এর মান-

সমাধান:
দেওয়া আছে
x + y + z = 7 
xy + yz + zx = 10

আমরা জানি
(x + y + z)2 = x2 + y2 + z2 + 2(xy + yz + zx)
⇒ 72 = x2 + y2 + z2 + 2 × 10
⇒ 49 = x2 + y2 + z2 + 20
⇒ x2 + y2 + z2 = 49 - 20 
∴ x2 + y2 + z2 = 29
৩,১৬০.
m + n = 12 এবং m - n = 2 হলে mn এর মান কত?
  1. ক
    35
  2. খ
    70
  3. গ
    140
  4. ঘ
    148
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: m + n = 12 এবং m - n = 2 হলে mn এর মান কত?

সমাধান: 
m + n = 12 
m - n = 2

আমরা জানি
4mn = (m + n)2 - (m - n)2
⇒ 4mn =(12)2 - 22
⇒ 4mn = 144 - 4
⇒ 4mn = 140
⇒ mn = 140/4
∴ mn = 35
৩,১৬১.
x + 1/x = 2 হলে x47 + 1/x47 এর মান কত?
  1. ক
    1
  2. খ
    47
  3. গ
    2
  4. ঘ
    - 1
ব্যাখ্যা
দেয়া আছে, 
x+ 1/x = 2
(x2 + 1)/x = 2 
x2 + 1 = 2x
x2 - 2x + 1 = 0
(x - 1)2 = 0 
x - 1 = 0
x = 1

এখন
  x47 + 1/x47 = 147 + 1/147
                     = 1 + 1/1
                     = 1 + 1
                     = 2
৩,১৬২.
a2 - 4a থেকে কত বিয়োগ করলে বিয়োগফল একটি পূর্ণবর্গ হবে?
  1. ক
    ক) -4
  2. খ
    খ) 4
  3. গ
    গ) 4a
  4. ঘ
    ঘ) a2
ব্যাখ্যা

a2 - 4a - (-4)
= a2 - 4a + 4
= (a - 2)2
∴ -4 বিয়োগ করতে হবে

৩,১৬৩.
t + 1/t = 2 হলে t5 - 1/t5 = ?
  1. ক
    0
  2. খ
    1
  3. গ
    2
  4. ঘ
    3
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: t + 1/t = 2 হলে t5 - 1/t5 = ?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
t + 1/t = 2
বা, t2 + 1 = 2t
বা, t2 - 2t + 1 = 0
বা, (t - 1)2 = 0
বা, t - 1 = 0
∴ t = 1

∴ ‍t5 - 1/t5
= 1 - 1/1
= 1 - 1
= 0

৩,১৬৪.
যদি x - y = 4 হয়, তবে x3 - y3 - 12xy এর মান কত?
  1. ক
    48
  2. খ
    80
  3. গ
    64
  4. ঘ
    108
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: যদি x - y = 4 হয়, তবে x3 - y3 - 12xy এর মান কত?

সমাধান:
দেয়া আছে,
x - y = 4

প্রদত্ত রাশি = x3 - y3 - 12xy
= (x - y)3 + 3xy(x - y) - 12xy
= 43 + 3xy × 4 - 12xy
= 64 + 12xy - 12xy
= 64

৩,১৬৫.
(p + 4)(p - 4) কে p2 - 5 দিয়ে ভাগ করলে ভাগ শেষ কত হবে?
  1. ক
    - 8
  2. খ
    9
  3. গ
    - 11
  4. ঘ
    7
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: (p + 4)(p - 4) কে p2 - 5 দিয়ে ভাগ করলে ভাগ শেষ কত হবে?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
p2 - 5 = 0
⇒ p2 = 5
⇒ p = √5

তাহলে,
f(p) = √5
∴ f(p) = (p + 4) (p - 4)
= p2 - 42
= (√5)2 - 16
= 5 - 16
= - 11

৩,১৬৬.
x + (1/x) = 2 হলে x/(x2 + x - 1) এর মান কত?
  1. ক
    ক) 1
  2. খ
    খ) 2
  3. গ
    গ) 3
  4. ঘ
    ঘ) 4
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: x + (1/x) = 2 হলে x/(x2 + x - 1) এর মান কত? 

সমাধান:
 x + (1/x) = 2
বা, x2 + 1/x = 2
বা, x2 + 1 = 2x
বা, x2 - 2x + 1 = 0
বা, (x - 1)2 = 0
বা, x - 1 = 0
x = 1

প্রদত্ত রাশি = x/(x2 + x - 1)
= 1/(12 + 1 - 1)
= 1/1
= 1 
৩,১৬৭.
9a3b2c2, 12a2bc ও 15ab3c3 এর গ.সা.গু কোনটি?
  1. ক
    abc
  2. খ
    6abc
  3. গ
    3abc
  4. ঘ
    9abc
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 9a3b2c2, 12a2bc ও 15ab3c3 এর গ.সা.গু কোনটি? 

সমাধান: 
9, 12 ও 15 এর গ.সা.গু = 3
a3, a2 ও a এর গ.সা.গু = a
b2, b, b3 এর গ.সা.গু = b
c2, c, c3 এর গ.সা.গু = c

∴ নির্ণেয় গ.সা.গু = 3abc  ।
৩,১৬৮.
a + b = √5, a - b = √3 হলে, 4ab = ?
  1. ক
    2
  2. খ
    4
  3. গ
    5
  4. ঘ
    3
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: a + b = √5, a - b = √3 হলে, 4ab = ?

সমাধান:
4ab = (a + b)2 - (a - b)2
= (√5)2 - (√3)2
= 5 - 3
= 2
৩,১৬৯.
a2 = 25, b2 = 36 এবং a > b হলে (a - b)2 = ?
  1. ক
    ক) 0
  2. খ
    খ) 1
  3. গ
    গ) 100
  4. ঘ
    ঘ) 11
ব্যাখ্যা

a2 = 25
∴ a = ±5
আবার,
b2 = 36
∴ b = ±6
∴ a > b
∴ a = ±5,
b = -6
∴ (a - b)2 = (-5 + 6)2
= 12
= 1

৩,১৭০.
  1. ক
    32
  2. খ
    16
  3. গ
    8p
  4. ঘ
    32/p
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 

সমাধান: 

৩,১৭১.
(3, 5) এবং (5, 4) বিন্দুগামী রেখার উপর লম্ব রেখার ঢালের মান কোনটি?
  1. ক
    2
  2. খ
    - 1/2
  3. গ
    - 1
  4. ঘ
    1/2
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: (3, 5) এবং (5, 4) বিন্দুগামী রেখার উপর লম্ব রেখার ঢালের মান কোনটি?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
বিন্দু দুটি (x1, y1) = (3, 5)
এবং (x2, y2) = (5, 4)

আমরা জানি,
ঢাল, m = (y2 - y1)/(x2 - x1)
= (4 - 5)/(5 - 3)
∴ m = - 1/2

∴ লম্ব রেখার ঢাল = - 1/m = - 1/(- 1/2) = 2

৩,১৭২.
x + 1/x = 5 হলে, x/(x2 + x + 1) এর মান কত?
  1. ক
    ক) 1/2
  2. খ
    খ) 1/3
  3. গ
    গ) 1/4
  4. ঘ
    ঘ) 1/6
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: x + 1/x = 5 হলে, x/(x2 + x + 1) এর মান কত? 

সমাধান: 
দেয়া আছে,
 x + 1/x = 5
(x2 + 1)/x = 5
x2 + 1 = 5x

x/(x2 + x + 1) = x/(5x + x) =x/6x = 1/6
৩,১৭৩.
(a + b) (a2 − ab + b2) = ?
  1. ক
    ক) a3 - b3
  2. খ
    খ) a3 + b3
  3. গ
    গ) a6 - b6
  4. ঘ
    ঘ) a6 + b6
ব্যাখ্যা
a3 + b3 = (a + b) (a2 − ab + b2).
৩,১৭৪.
m এর মান কত হলে 4x2 - mx + 9 একটি পূর্ণ বর্গ হবে?
  1. ক
    ক) 8
  2. খ
    খ) 10
  3. গ
    গ) 12
  4. ঘ
    ঘ) 16
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: m এর মান কত হলে 4x2 - mx + 9 একটি পূর্ণ বর্গ হবে?

সমাধান:
4x2 - mx + 9
= (2x)2 - 2.2x.3 + 32 - mx + 2.2x.3
= (2x - 3)2 + 12x - mx

রাশিটি পূর্ণবর্গ হলে,
12x - mx = 0
বা, mx = 12x
∴ m = 12
৩,১৭৫.
যদি x + 2/x = 3 হলে x3 + 8/x3 এর মান কত?
  1. ক
    ক) 10
  2. খ
    খ) 8
  3. গ
    গ) 9
  4. ঘ
    ঘ) 1
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: ‍যদি x + 2/x = 3 হলে x3 + 8/x3 এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
x + 2/x = 3

প্রদত্ত রাশি = x3 + 8/x3
= (x)3 + (2/x)3
= (x + 2/x)3 - 3 . x . 2/x (x + 2/x)
= (3)3 - 3 . 2 . 3
= 27 - 18
= 9
৩,১৭৬.
4a2 + 9b2 রাশিটির সাথে কত যোগ করলে যোগফল পূর্ণবর্গ হবে?
  1. ক
    ক) 6ab
  2. খ
    খ) 12ab
  3. গ
    গ) 18ab
  4. ঘ
    ঘ) 24ab
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 4a2 + 9b2 রাশিটির সাথে কত যোগ করলে যোগফল পূর্ণবর্গ হবে?

সমাধান:
4a² + 9b2
= (2a)2 + 2 . 2a . 3b + (3b)2 - 12ab
= (2a + 3b)2 - 12ab

অতএব, 4a2 + 9b2 রাশিটির সাথে 12ab যোগ করলে যোগফল পূর্ণ বর্গ হবে।
৩,১৭৭.
x/y এর সাথে কত যোগ করলে যোগফল 2y/x হবে?
  1. ক
    ক) (2y2 - x2)/xy
  2. খ
    খ) (x2 - 2y2)/xy
  3. গ
    গ) (x2 + 2y2)/xy
  4. ঘ
    ঘ) (x2 - y2)/xy
ব্যাখ্যা

2y/x - x/y
= (2y2 - x2)/xy

 
৩,১৭৮.
যদি a4 - 2a2 + 1 = 0 এবং a > 0 হয়, তাহলে a এর মান কত?
  1. ক
    0
  2. খ
    4
  3. গ
    1
  4. ঘ
    কোনটিই নয়
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: যদি a4 - 2a2 + 1 = 0 এবং a > 0 হয়, তাহলে a এর মান কত? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
a4 - 2a2 + 1 = 0
⇒ (a2)2 - 2 . a2 . 1 + 12 = 0
⇒ (a2 - 1)2 = 0
⇒ a2 - 1 = 0
⇒ a2 = 1
⇒ a = √1
∴ a = ± 1

যেহেতু প্রশ্নে বলা হয়েছে a > 0 (অর্থাৎ a ধনাত্মক),
∴ a = 1

৩,১৭৯.

  1. ক
    0
  2. খ
    2√2
  3. গ
    4
  4. ঘ
    √2
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন:

সমাধান: 

৩,১৮০.
p + q = 9 এবং p - q = 5 হলে p2 + q2 এর মান কত?
  1. ক
    84
  2. খ
    53
  3. গ
    23
  4. ঘ
    69
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: p + q = 9 এবং p - q = 5 হলে p2 + q2 এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
p + q = 9
এবং p - q = 5

: p2 + q2 = {(p + q)2 + (p - q)2}/2
={92 + 52}/2
= (81 + 25)/2
= 106/2
= 53

৩,১৮১.
x2+y2 = 8 & xy = 7 হলে (x+y)2 এর মান কত?
  1. ক
    ক) ১৪
  2. খ
    খ) ‌১৬
  3. গ
    গ) ২২
  4. ঘ
    ঘ) ৩০
ব্যাখ্যা

(x + y)2
= x2 + y2 + 2xy
= 8 + 2 X 7
= 22

৩,১৮২.
x/y এর সাথে কত যোগ করলে যোগফল y/x হবে?
  1. ক
    (y - x)/xy
  2. খ
    xy
  3. গ
    (y2 - x2)/(xy)
  4. ঘ
    (x2 - y2)/(y)
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: x/y এর সাথে কত যোগ করলে যোগফল y/x হবে?

সমাধান:
ধরি, (x/y) এর সাথে a যোগ করলে যোগফল (y/x) হবে।

প্রশ্নমতে,
(x/y) + a = (y/x)
⇒ a = (y/x) - (x/y)
= (y2 - x2)/(xy)
৩,১৮৩.
x2 - √7x + 1 = 0 হলে, x3 + 1/x3 এর মান কত?
  1. ক
    4√7
  2. খ
    10√7
  3. গ
    7√7
  4. ঘ
    49
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: x2 - √7x + 1 = 0 হলে, x3 + 1/x3 এর মান কত?

সমাধান:
x2 - √7x + 1 = 0
⇒ x2 + 1 = √7x
∴ x + 1/x = √7

x3 + 1/x3
= (x + 1/x)3 - 3.x.(1/x)(x + 1/x)
= (√7)3 - 3(√7)
= 7√7 - 3√7
= 4√7
৩,১৮৪.
2a + b = 7 এবং a - b = 2, হলে a + b এর মান কত? 
  1. ক
    ক) 2
  2. খ
    খ) 3
  3. গ
    গ) 4
  4. ঘ
    ঘ) 6
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 2a + b = 7 এবং a - b = 2, হলে a + b এর মান কত? 

সমাধান: 
দেয়া আছে,
2a + b = 7............(1)
a - b = 2............(2)

(1) + (2) ⇒
2a + b + a - b = 7 + 2
3a = 9
a = 3

(2) ⇒
3 - b = 2
- b = 2 - 3
- b = - 1
b = 1

a + b = 3 + 1 = 4


৩,১৮৫.
a4 + a2b2 + b4 = 21 এবং a2 - ab + b2 = 3 হলে, a2 + ab + b2 এর মান কত?
  1. ক
    63
  2. খ
    7
  3. গ
    9
  4. ঘ
    14
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: a4 + a2b2 + b4 = 21 এবং a2 - ab + b2 = 3 হলে, a2 + ab + b2 এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
a4 + a2b2 + b4 = 21
⇒ (a2)2 + 2a2b2 + (b2)2 - a2b2 = 21
⇒ (a2 + b2)2 - (ab)2 = 21
⇒ (a2 + b2 + ab)(a2 + b2 - ab) = 21
⇒ (a2 + ab + b2)(a2 - ab + b2) = 21
⇒ (a2 + ab+ b2). 3 = 21
⇒ a2 + ab + b2 = 21/3
∴ a2 + ab + b2 = 7
৩,১৮৬.
a = 3, b = 2 হলে, (a + b)3 এর মান কত?
  1. ক
    ক) 120
  2. খ
    খ) 100
  3. গ
    গ) 150
  4. ঘ
    ঘ) 125
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: a = 3, b = 2 হলে, (a + b)3 এর মান কত?

সমাধান:
a = 3, b = 2

এখন
(a + b)3 = (3 + 2)3
= 53
= 125
৩,১৮৭.
x/y = 2/3 হলে (6x + y)/(3x + 2y) = কত?
  1. ক
    ক) 5
  2. খ
    খ) 6
  3. গ
    গ) 5/4
  4. ঘ
    ঘ) 3/4
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: x/y = 2/3 হলে (6x + y)/(3x + 2y) = কত?

সমাধান: 
x/y = 2/3 

এখন 
(6x + y)/(3x + 2y)
= {(6 × 2) + 3}/{(3 × 2) + (2 × 3)}
= 15/12
= 5/4
৩,১৮৮.
a = 15 এবং b = 5 হলে (a - b)2/(a - b) = কত?
  1. ক
    30
  2. খ
    10
  3. গ
    15
  4. ঘ
    20
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: a = 15 এবং b = 5 হলে (a - b)2/(a - b) = কত?

সমাধান:
a = 15 এবং b = 5

প্রদত্ত রাশি = (a - b)2/(a - b) 
=(a - b)(a - b) /(a - b) 
= a - b
= 15 - 5
= 10
৩,১৮৯.
x - y = 2 এবং xy = 24 হলে, y এর ধনাত্মক মান কত?
  1. ক
    ক) 4
  2. খ
    খ) 6
  3. গ
    গ) 8
  4. ঘ
    ঘ) 10
ব্যাখ্যা

(x + y)2 = (x - y)2 + 4xy
⇒ (x + y2 = 22 + 4 × 24
⇒ (x + y)2 = 100
∴ x + y = 10 [ধনাত্মক মান ধরে]
এখন,
x + y - x + y = 10 - 2
⇒ 2y = 8
∴ y = 4

৩,১৯০.
p - √5 = - q এবং q = p - √3 হলে 2pq এর মান কত?
  1. ক
    1
  2. খ
    1/2
  3. গ
    2
  4. ঘ
    4
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: p - √5 = - q এবং q = p - √3 হলে 2pq এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
p - √5 = - q ⇒ p + q = √5
এবং, q = p - √3 ⇒ √3 = p - q ⇒ p - q = √3

এখন,
4pq = (p + q)2 - (p - q)2
⇒ 4pq = (√5)2 - (√3)2
⇒ 4pq = 5 - 3
⇒ 4pq = 2
⇒ 4pq/2 = 2/2
∴ 2pq = 1
৩,১৯১.
x = √4 + √3 হলে, (x6 + 1)/x3 এর মান কত ?
  1. ক
    25
  2. খ
    45√2
  3. গ
    52
  4. ঘ
    18
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: x = √4 + √3 হলে, (x6 + 1)/x3 এর মান কত ?

সমাধানঃ
দেয়া আছে,
x = √4 + √3

∴ 1/x = 1/(√4 + √3) [ব্যস্তানুপাত করে]
= (√4 - √3)/(√4 + √3)(√4 - √3) [হর ও লবকে (√4 - √3) দ্বারা গুণ করে]
= (√4 - √3)/{(√4)2 - (√3)2}
= (√4 - √3)/(4 - 3)
= √4 - √3

∴ x + (1/x) = √4 + √3 + √4 - √3
= 2√4
= 2√22
= 2 × 2 = 4

এখন,
(x6 + 1)/x3 
= (x6/x3) + (1/x3)
= x3 + (1/x3)
= {x + (1/x)}3 - 3 . x . 1/x(x + 1/x)
= 43 - 3 . 4
=64 - 12
= 52 

৩,১৯২.
a = 2x-3 এবং b = 2x+5 হলে, a2 এর মান কত?
  1. ক
    ক) 4x+12
  2. খ
    খ) 4x2-12x+9
  3. গ
    গ) 4x+12x
  4. ঘ
    ঘ) 4x2+12x+9
ব্যাখ্যা
দেওয়া আছে, a = 2x-3
∴a2 = (2x-3)2
=(2x)2-2.2x.3+(3)2
=4x2-12x+9
৩,১৯৩.
৬ বছর আগে রিটনের বয়স ছিল রাফির বয়সের ৫ গুণ। বর্তমানে রিটনের বয়স রাফির বয়সের ৩.৫ গুণ। তাহলে বর্তমানে রাফির বয়স কত?
  1. ক
    ১৪ বছর
  2. খ
    ১৬ বছর
  3. গ
    ১২ বছর
  4. ঘ
    ১৮ বছর
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: ৬ বছর আগে রিটনের বয়স ছিল রাফির বয়সের ৫ গুণ। বর্তমানে রিটনের বয়স রাফির বয়সের ৩.৫ গুণ। তাহলে বর্তমানে রাফির বয়স কত?

সমাধান:
ধরি,
বর্তমানে রাফির বয়স = ক বছর
বর্তমানে রিটনের বয়স = ৩.৫ক বছর

প্রশ্নমতে,
(৩.৫ক - ৬) = ৫(ক - ৬)
⇒ ৫ক - ৩০ = ৩.৫ক - ৬
⇒ ৫ক - ৩.৫ক = ৩০ - ৬
⇒ ১.৫ক = ২৪
⇒ ক = ২৪/১.৫
∴ ক = ১৬

∴ বর্তমানে রাফির বয়স = ১৬ বছর
৩,১৯৪.
দুইটি সংখ্যার বর্গের সমষ্টি 181 এবং সংখ্যা দুইটির গুণফল 90 হলে, সংখ্যা দুইটি কত?
  1. ক
    5, 18
  2. খ
    10, 9
  3. গ
    2, 45
  4. ঘ
    6, 15
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: দুইটি সংখ্যার বর্গের সমষ্টি 181 এবং সংখ্যা দুইটির গুণফল 90 হলে, সংখ্যা দুইটি কত?

সমাধান:
মনেকরি,
 সংখ্যা দুটি x  ও  y 

প্রশ্নমতে
x2 + y2 = 181
xy = 90

আমরা জানি
(x + y)2 = x2 + y2 + 2xy
(x + y)2 = 181 + 2 × 90
(x + y)2 = 181 + 180
(x + y)2 = 361
(x + y)2 = 192
(x + y) = 19..................(1)

আবার
(x - y)2 = x2 + y2 - 2xy
(x - y)2 = 181 - 2 × 90
(x - y)2 = 1
x - y = 1......................(2)

(1) + (2) ⇒
x + y + x - y = 19 + 1
2x = 20
x = 10

(1) ⇒
x + y = 19
10 + y = 19
y = 9

সংখ্যা দুইটি 10, 9
৩,১৯৫.
x4 + 2x2 + 1 = 5x2 হলে x + (1/x) = কত?
  1. ক
    ক) √3
  2. খ
    খ) 3
  3. গ
    গ) √5
  4. ঘ
    ঘ) 5
ব্যাখ্যা

দেওয়া আছে,
x4 + 2x2 + 1 = 5x2
বা, x4 +1 = 5x2 - 2x2
বা, , x4 + 1 = 3x2
বা, x2 +1/x2 = 3
বা, (x + 1/x)2 - 2 × x × 1/x = 3
বা, (x + 1/x)2 = 3 + 2
বা, (x + 1/x)2 = 5
সুতরাং, x + 1/x = √5

৩,১৯৬.
256(√2)4x = 1 হলে x এর মান কত?
  1. ক
    ক) 2
  2. খ
    খ) - 2
  3. গ
    গ) 4
  4. ঘ
    ঘ) - 4
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 256(√2)4x = 1 হলে x এর মান কত?

সমাধান:
256(√2)4x = 1
⇒ 28.(21/2)4x = 1
⇒ 28.22x = 1
⇒ 28 + 2x = 20
⇒ 8 + 2x = 0
⇒ 2x = - 8
⇒ x = - 4
৩,১৯৭.
x + y = 12 এবং x - y = 2 হলে xy এর মান কত?
  1. ক
    ক) 35
  2. খ
    খ) 40
  3. গ
    গ) 70
  4. ঘ
    ঘ) 144
ব্যাখ্যা

x + y + x - y = 12 + 2
বা, 2x = 14
বা, x = 7
∴ y = 5
So, xy = 35

৩,১৯৮.
যদি ‍a2 + b2 = 45 এবং ab = 18 হলে এর মান নিচের কোনটি?
  1. ক
    ক) 1
  2. খ
    খ) 1/2
  3. গ
    গ) 1/3
  4. ঘ
    ঘ) 2
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: যদি ‍a2 + b2 = 45 এবং ab = 18 হলে এর মান নিচের কোনটি?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
a2 + b2 = 45
ab = 18

এখন,

=
= √(a + b)2/ab
= √(a2 + b2 + 2ab)/ab
= √{45 + (2 × 18)}/18
= √81/18
= 9/18
= 1/2
৩,১৯৯.
a = √3 + √2 হলে, (a6 -1)/a3 এর মান কত?
  1. ক
    14√2
  2. খ
    22√2
  3. গ
    12√2
  4. ঘ
    28√2
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: a = √3 + √2 হলে, (a6 -1)/a3 এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে, a = √3 + √2
∴ (1/a) = 1/(√3 + √2)
= (√3 - √2)/(√3 + √2)(√3 - √2)
= (√3 - √2)/(3 - 2)
= √3 - √2

∴ a - (1/a) = √3 + √2 - √3 + √2 = 2√2

এখন, (a6 -1)/a3 = (a6/a3) - (1/a3)
= a3 - (1/a3)
= {a - (1/a)}3 + 3 ⋅ a ⋅ (1/a){a - (1/a)}
= (2√2)3 + 3 ⋅ 2√2
= 8 ⋅ 2√2 + 6√2
= 22√2
৩,২০০.
a³-b³ = 513 এবং a-b = 3 হলে ab এর মান কত?
  1. ক
    ক) 45
  2. খ
    খ) 48
  3. গ
    গ) 54
  4. ঘ
    ঘ) 60
ব্যাখ্যা

a³-b³ = 513
Or, (a-b)³+3ab(a-b) = 513
Or, 3³+ 3ab × 3 = 513
Or, 27 + 9ab = 513
Or, 9ab = 513-27 = 486
Or, ab = 486/9 = 54