লগ ইননিবন্ধন
বিষয়সমূহ

PrepBank · বিষয়ভিত্তিক প্রশ্ন

বীজগাণিতিক সূত্রাবলি ও এর প্রয়োগ

মোট প্রশ্ন৩,৪০১এই পাতা১০০প্রতি পাতা১০০
প্রশ্ন দেখুনঅনুশীলন
ঘনত্ব
উত্তর
উত্তরিতবর্তমানপুনরায় দেখুনঅসম্পূর্ণ

বীজগাণিতিক সূত্রাবলি ও এর প্রয়োগ

PrepBank · পাতা ৩১ / ৩৪ · ৩,০০১–৩,১০০ / ৩,৪০১

৩,০০১.
x = √(2+1) হলে x2 + 1/x2 এর মান কত?
  1. ক
    ক) 0.3
  2. খ
    খ) 2.97
  3. গ
    গ) 3.33
  4. ঘ
    ঘ) 4
ব্যাখ্যা
x = √(2+1)
⇒ x = √3
∴ x2 + 1/x2 = (√3)2 + (1/√3)2
= 3 + 1/3
= 3.33
৩,০০২.
= ?
  1. ক
    ক) 12x2
  2. খ
    খ) 81x2
  3. গ
    গ) 121x2
  4. ঘ
    ঘ) 144x2
৩,০০৩.
a + b = c হলে a3 + b3 + 3abc এর মান কত?
  1. ক
    3a2b2c2
  2. খ
    a3
  3. গ
    b3
  4. ঘ
    c3
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: a + b = c হলে a3 + b3 + 3abc এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
a + b = c

a3 + b3 + 3abc
= (a + b)3 - 3ab(a + b) + 3abc
= (c)3 - 3abc + 3abc
= c3
৩,০০৪.
  1. ক
    27
  2. খ
    54√6
  3. গ
    72
  4. ঘ
    18√6
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন:

সমাধান:
৩,০০৫.
(a+1/a)² = 3 হলে, a³+1/a³ এর মান কত?
  1. ক
    ক) 0
  2. খ
    খ) 3
  3. গ
    গ) 9
  4. ঘ
    ঘ) 1
ব্যাখ্যা

(a+1/a)² = 3
∴ a+1/a = √3
এখন,
a³+1/a³ = (a+1/a)³ -3.a.1/a. (a+1/a)
= √3³ - 3√3
= 3√3 - 3√3
= 0

৩,০০৬.
x - 1/x = 1 হলে x3 - 1/x3  এর মান কত?
  1. ক
    ক) 2
  2. খ
    খ) 4
  3. গ
    গ) 6
  4. ঘ
    ঘ) 8
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: x - 1/x = 1 হলে x3 - 1/x3 এর মান কত?

সমাধান: 
x - 1/x = 1

এখন,
 x3 - 1/x3 = (x - 1/x)3 + 3 . x .1/x(x - 1/x)
= 13 + 3 . 1
= 1 + 3
= 4
৩,০০৭.
a + b + c = 6 এবং a2 + b2 + c² = 14 হলে, (a - b)2 + (b - c)2 + (c - a)2 = কত?
  1. ক
    38
  2. খ
    36
  3. গ
    6
  4. ঘ
    0
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: a + b + c = 6 এবং a2 + b2 + c² = 14 হলে, (a - b)2 + (b - c)2 + (c - a)2 = কত?

সমাধান:

দেওয়া আছে,
a + b + c = 6
a2 + b2 + c2 = 14

প্রদত্ত রাশি = (a - b)2 + (b - c)2 + (c - a)2
= a2 + 2ab + b2 + b2 - 2bc + c2 + c2 - 2ca + a2
= 2a2 + 2b2 + 2c2 - 2(ab + bc + ca)
= 2(a2 + b2 + c2) - {(a + b + c)2 - (a2 + b2 + c2)}
= (2 × 14) - {(6)2 - 14}
= (2 × 14) - (36 - 14)
= 28 - 22
= 6
৩,০০৮.
a + 1/a = √5 হলে, 3(a2 + 1/a2) এর মান বের করুন।
  1. ক
    0
  2. খ
    3√5
  3. গ
    1
  4. ঘ
    9
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: a + 1/a = √5 হলে, 3(a2 + 1/a2) এর মান বের করুন।

সমাধান:
দেওয়া আছে, a + 1/a = √5
আমরা জানি, (a2 + 1/a2) = (a + 1/a)2 - 2a(1/a)

∴ 3(a2 + 1/a2) = 3(a + 1/a)2 - 2a(1/a)
= 3{(√5)2 - 2}
= 3(5 - 2)
= 3 × 3
= 9 

৩,০০৯.
a = √11 - (1/a) হলে, a2 + (1/a2) এর মান কত?
  1. ক
    7
  2. খ
    8
  3. গ
    9
  4. ঘ
    5
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: a = √11 - (1/a) হলে, a2 + (1/a2) এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
a = √11 - (1/a)
⇒ a + (1/a) = √11

∴ প্রদত্ত রাশি = a2 + (1/a2)
= {a + (1/a)}2 - 2 · a · (1/a)
= (√11)2 - 2
= 11 - 2
= 9
৩,০১০.
x + (1/x) = 5 হলে, x/(x2 + x + 1) এর মান কত?
  1. ক
    1/6
  2. খ
    1/3
  3. গ
    1/4
  4. ঘ
    1/2
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: x + (1/x) = 5 হলে, x/(x2 + x + 1) এর মান কত?

সমাধান: 
দেওয়া আছে,
x + (1/x) = 5
বা, x2 +1 = 5x

এখন, 
 x/(x2 + x + 1)
= x/(x2 + 1 + x)
= x/(5x + x)
= x/6x 
= 1/6
৩,০১১.
যদি a + b + c = 8, a2 + b2 + c2 = 18 এবং (1/a) + (1/b) + (1/c) = 23/11 হয়, তাহলে abc = কত?
  1. ক
    78
  2. খ
    23
  3. গ
    55
  4. ঘ
    11
  5. ঙ
    110
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: যদি a + b + c = 8, a2 + b2 + c2 = 18 এবং (1/a) + (1/b) + (1/c) = 23/11 হয়, তাহলে abc = কত?


সমাধান:
দেওয়া আছে,
a + b + c = 8
a2 + b2 + c2 = 18
এবং
(1/a) + (1/b) + (1/c) = 23/11
(ab + bc + ca)/abc = 23/11 ......... (1)

আমরা জানি,
(a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2(ab + bc + ca)
⇒ 64 = 18 + 2(ab + bc + ca)
⇒ 2(ab + bc + ca) = 64 - 18 = 46
⇒ ab + bc + ca = 23

(1) নং হতে পাই,
⇒ (ab + bc + ca)/abc = 2311
⇒ 23/abc = 23/11
∴ abc = 11
৩,০১২.
x + (1/x) = 2 এবং y - (1/y) = 3 হলে x2 + y2 + (1/x2) + (1/y2) এর মান কত?
  1. ক
    ক) 11
  2. খ
    খ) 13
  3. গ
    গ) 15
  4. ঘ
    ঘ) 17
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: x + (1/x) = 2 এবং y - (1/y) = 3 হলে x2 + y2 + (1/x2) + (1/y2) এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
x + (1/x) = 2
y - (1/y) = 3

প্রদত্ত রাশি = x2 + y2 + (1/x2) + (1/y2)
= x2 + (1/x2) + y2 + (1/y2)
= {(x + 1/x)2 - 2 . x . 1/x} + {(y - 1/y)2 + 2 . y . 1/y}
= (22 - 2) + (32 + 2)
= (4 - 2) + (9 + 2)
= 2 + 11
= 13
৩,০১৩.
2x + (2/x) = 6 হলে, x4 + (1/x4) এর মান কত?
  1. ক
    51
  2. খ
    47
  3. গ
    119
  4. ঘ
    54
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 2x + (2/x) = 6 হলে, x4 + (1/x4) এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
2x + (2/x) = 6
⇒ x + (1/x) = 3

∴ প্রদত্ত রাশি = x4 + (1/x4)
= (x2)2 + (1/x2)2
= {x2 + (1/x2)}2 - 2 · x2 · 1/x2 
= [{x + (1/x)}2 - 2 · x · (1/x)]2 - 2
= (32 - 2)2 - 2
= (9 - 2)2 - 2
= 72 - 2
= 49 - 2
= 47
৩,০১৪.
যদি (x - 11)(a + x) = x2 - 121 হয়, তবে a এর মান কত?
  1. ক
    - 11
  2. খ
    11
  3. গ
    13
  4. ঘ
    - 13
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন:  যদি (x - 11)(a + x) = x2 - 121 হয়, তবে a এর মান কত?

সমাধান:
(x - 11) (a + x) = x2 - 121
(x - 11) (a + x) = x2 - 112
(x - 1) (a + x) = (x - 11)(x + 11)
a + x = x + 11
a = 11 
৩,০১৫.
x - (8/x) = 1 হলে, 8/(x2 - x - 1) এর মান কত?
  1. ক
    6/7
  2. খ
    8/7
  3. গ
    5/4
  4. ঘ
    1/4
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: x - (8/x) = 1 হলে, 8/(x2 - x - 1) এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
x - (8/x) = 1
⇒ (x2 - 8)/x = 1
⇒ x2 - 8 = x
⇒ x2 - x = 8

এখন,
8/(x2 - x - 1)
= 8/(8 - 1)
= 8/7
৩,০১৬.
যদি a - (1/a) = 2 হয় তবে a4 + (1/a4) = কত?
  1. ক
    36
  2. খ
    32
  3. গ
    34
  4. ঘ
    40
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: যদি a - (1/a) = 2 হয় তবে a4 + (1/a4) = কত?

সমাধান:
 a - (1/a) = 2

এখানে
a4 + (1/a4) 
= (a2)2 + (1/a2)2
= (a2 + 1/a2)2 - 2.a2.(1/a2)
= {(a - 1/a)2 + 2a.1/a}2 - 2
= {22 + 2}2 - 2
= (4 + 2)2 - 2
= 62 - 2
= 36 - 2
= 34
৩,০১৭.
x3 - x2 কে x - 2 দ্বারা ভাগ করলে ভাগশেষ কত?
  1. ক
    ক) 2
  2. খ
    খ) 4
  3. গ
    গ) -6
  4. ঘ
    ঘ) -8
ব্যাখ্যা

x - 2)x3 - x2(x2 + x + 2
        x3 - 2x2
                x2
         x2 - 2x
                2x
           2x - 4
                 4 (ভাগশেষ)

৩,০১৮.
x - 1/x = 2 হলে, x4 + 1/x4 = কত?
  1. ক
    ক) 38
  2. খ
    খ) 36
  3. গ
    গ) 34
  4. ঘ
    ঘ) 32
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: x - 1/x = 2 হলে, x4 + 1/x4 = কত?

সমাধান: 
x - 1/x = 2

এখন 
x4 + 1/x4 = (x2)2 + (1/x2)2
= (x2 + 1/x2)2 - 2.x2.1/x2
= {(x - 1/x)2 + 2x.1/x}2 - 2
= (22 + 2)2 - 2
= 62 - 2
= 36 - 2
= 34 
৩,০১৯.
a + 1, a2 - 1 এবং a3 + 1 এর গ.সা.গু কত?
  1. ক
    (a - 1)
  2. খ
    a2 - 1
  3. গ
    (a + 1)
  4. ঘ
    a3 + 1
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: a + 1, a2 - 1 এবং a3 + 1 এর গ.সা.গু কত?

সমাধান: 
১ম রাশি = a + 1

২য় রাশি = a2 - 1
= a2 - 12
= (a + 1)(a - 1)

এবং
৩য় রাশি = a3 + 1
= a3 + 13
= (a + 1)(a2 - a + 1)

∴ নির্ণেয় গ.সা.গু = (a + 1)

৩,০২০.
a + b + c = 12 এবং ab + bc + ca = 47 হলে, a2 + b2 + c2 = ?
  1. ক
    24
  2. খ
    31
  3. গ
    36
  4. ঘ
    50
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: a + b + c = 12 এবং ab + bc + ca = 47 হলে, a2 + b2 + c2 = ?

সমাধান:
আমরা জানি,
(a + b + c)2 = (a2 + b2 + c2) + 2(ab + bc + ca)
⇒ (12)2 = (a2 + b2 + c2)+ (2 × 47)
⇒ 144 = (a2 + b2 + c2) + 94
⇒ a2 + b2 + c2 = 144 - 94
⇒ a2 + b2 + c2 = 50
৩,০২১.
x2 + y2 = 18 এবং xy = 7 হলে (x - y)2 এর মান কত? 
  1. ক
    4
  2. খ
    5
  3. গ
    6
  4. ঘ
    7
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: x2 + y2 = 18 এবং xy = 7 হলে (x - y)2 এর মান কত? 

সমাধান: 
x2 + y2 = 18 
xy = 7 

প্রদত্ত রাশি = (x - y)2 
= x2 + y2 - 2xy
= 18 - 2 × 7
= 18 - 14
= 4
৩,০২২.
x = √7 + √6 হলে, x2 + (1/x)2 এর মান কত?
  1. ক
    30
  2. খ
    26
  3. গ
    24
  4. ঘ
    18
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: x = √7 + √6 হলে, x2 + (1/x)2 এর মান কত?

সমাধান: 
দেয়া আছে,
x = √7 + √6
বা, 1/x = 1/(√7 + √6)
বা, 1/x = (√7 - √6)/(√7 + √6)(√7 - √6)
বা, 1/x = (√7 - √6)/{(√7)2 - (√6)2}
বা, 1/x = (√7 - √6)/(7 - 6)
বা, 1/x = (√7 - √6)/1
∴ 1/x = √7 - √6

এখন
x + 1/x = √7 + √6  + √7 - √6 
= 2√7 

প্রদত্ত রাশি = x2 + 1/x2
= (x)2 + (1/x)2
= (x + 1/x)2 - 2 . x . (1/x)
= (2√7)2 - 2
= 28 - 2
= 26
৩,০২৩.
যদি m − n = 5 এবং m2 − n2 = 25 হয়, তবে (m + n) এর মান কত?
  1. ক
    5
  2. খ
    17
  3. গ
    21
  4. ঘ
    11
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: যদি m − n = 5 এবং m2 − n2 = 25 হয়, তবে (m + n) এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
m − n = 5
m2 − n2 = 25

আমরা জানি, 
m2 − n2 = (m + n) (m - n)
⇒ (m + n) = (m2 − n2)/(m - n)
⇒ (m + n) = 25/5 = 5

∴ (m + n) = 5

৩,০২৪.
a + b + c = 7 এবং a2 + b2 + c2 = 27 হলে, ab + bc + ca এর মান কত?
  1. ক
    11
  2. খ
    17
  3. গ
    34
  4. ঘ
    41
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: a + b + c = 7 এবং a2 + b2 + c2 = 27 হলে, ab + bc + ca এর মান কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
(a + b + c)2 = (a2 + b2 + c2) + 2(ab + bc + ca)
⇒ (7)2 = 27 + 2(ab + bc + ca)
⇒ 49 - 27 = 2(ab + bc + ca)
⇒ ab + bc + ca = 22/2
∴ ab + bc + ca = 11
৩,০২৫.
যদি a + b = 5 এবং ab = 10 হয়, তাহলে a2 + b2 এর মান কত?
  1. ক
    ক) 5
  2. খ
    খ) 10
  3. গ
    গ) 45
  4. ঘ
    ঘ) 50
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: যদি a + b = 5 এবং ab = 10 হয়, তাহলে a2 + b2 এর মান কত?

সমাধান: 
দেওয়া আছে
a + b = 5
ab = 10

এখন
a2 + b2
= (a + b)2 - 2ab
= (5)2 - 2.10
= 25 - 20
= 5

৩,০২৬.
যদি (x-y)² = 14 এবং xy=2 হয় তবে x²+y² = কত?
  1. ক
    ক) 200
  2. খ
    খ) 196
  3. গ
    গ) 96
  4. ঘ
    ঘ) 18
ব্যাখ্যা

আমরা জানি,
x²+y² = (x-y)² + 2xy
= 14+2×2
= 18

৩,০২৭.
f(x) = x3 + kx2 - 6x - 9, k এর মান কত হলে f(3) = 0 হবে?
  1. ক
    1
  2. খ
    - 1
  3. গ
    2
  4. ঘ
    0
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: f(x) = x3 + kx2 - 6x - 9, k এর মান কত হলে f(3) = 0 হবে?

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
f(3) = 0 

এখন
f(x) = x3 + kx2 - 6x - 9 
∴ f(3) = (3)3 + k(3)2 - 6 × 3 - 9 = 0 
⇒ 27 + 9k - 18 - 9 = 0 
⇒ 27 + 9k - 27 = 0 
⇒ 9k = 0 
⇒ k = 0/9 
∴ k = 0 

৩,০২৮.
x2 - 3x + 1 = 0 হলে x2 - 1/x2 = ?
  1. ক
    ক) √5
  2. খ
    খ) 2√5
  3. গ
    গ) 3√5
  4. ঘ
    ঘ) 4√5
ব্যাখ্যা
x2 - 3x + 1 = 0
বা, x - 3 + 1/x = 0
∴ x + 1/x = 3
এখন,
(x - 1/x)2 = (x + 1/x)2 - 4.x.1/x
= 32 - 4
= 5
∴ x - 1/x = √5
∴ x2 - 1/x2 = (x + 1/x) (x - 1/x) = 3√5
৩,০২৯.
P এর মান কত হলে, 4x2 - px + 9 একটি পূর্ণবর্গ হবে?
  1. ক
    8
  2. খ
    12
  3. গ
    10
  4. ঘ
    15
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: P এর মান কত হলে 4x2 - px + 9 একটি পূর্ণবর্গ হবে?

সমাধান:
4x2 - px + 9
= (2x)2 - px + 32
= (2x)2 - 2 × 2x × 3 + 32  [ ধরি, p = 2 × 2 × 3 = 12]
= (2x - 3)2, যা একটি পূর্ণবর্গ রাশি। 

∴ p এর মান 12 হলে 4x2 - px + 9 একটি পূর্ণবর্গ হবে।
৩,০৩০.
x + y = 5 হলে, x3 + y3 + 15xy = কত হবে?
  1. ক
    ক) 115
  2. খ
    খ) 43
  3. গ
    গ) 125
  4. ঘ
    ঘ) 40
ব্যাখ্যা

x³ + y³ + 15xy
= (x + y) ³ - 3xy(x + y) + 15xy
= 5³ - 15xy + 15xy
= 5³ = 125

৩,০৩১.
যদি
  1. ক
    48√6
  2. খ
    54√6
  3. গ
    18√6
  4. ঘ
    24√6
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: যদি

সমাধান:

৩,০৩২.
x2 + y2 = 8 এবং xy = 7 হলে (x + y)2 এর মান কত?
  1. ক
    14
  2. খ
    20
  3. গ
    22
  4. ঘ
    25
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: x2 + y2 = 8 এবং xy = 7 হলে (x + y)2 এর মান কত?

সমাধান: 
দেওয়া আছে, x2 + y2 = 8 এবং xy = 7
আমরা জানি, (x + y)2 = x2 + y2 + 2xy
= 8 + 2 × 7
= 8 + 14
= 22
৩,০৩৩.
যদি a + b + c = 0 হলে, a3 + b3 + c3 এর মান নিচের কোনটি?
  1. ক
    ক) 0
  2. খ
    খ) abc
  3. গ
    গ) 3abc
  4. ঘ
    ঘ) - 3abc
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: যদি a + b + c = 0 হলে, a3 + b3 + c3 এর মান নিচের কোনটি?

সমাধান: 
দেওয়া আছে,
a + b + c = 0
⇒ a + b = - c
⇒ (a + b)3 = (- c)3 
⇒ a3 + b3 + 3ab(a + b) = - c3
⇒ a3 + b3 + 3ab(- c) = - c3
⇒ a3 + b3 - 3abc = - c3
∴ a3 + b3 + c3 = 3abc 
৩,০৩৪.
a - b = 2 এবং ab = 24 হলে, b এর ঋণাত্মক মানটি কত?
  1. ক
    - 4
  2. খ
    - 6
  3. গ
    - 3
  4. ঘ
    - 5
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: a - b = 2 এবং ab = 24 হলে, b এর ঋণাত্মক মানটি কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
a - b = 2 ⇒ a = 2 + b
এবং, ab = 24
⇒ b = 24/a
⇒ b = 24/(2 + a)
⇒ 2b + b2 = 24
⇒ b2 + 2b - 24 = 0
⇒ b2 + 6b - 4b - 24 = 0
⇒ b(b + 6) - 4(b + 6) = 0
⇒ (b + 6)(b - 4) = 0

হয়, b + 6 = 0 ⇒ b = - 6
অথবা, b - 4 = 0 ⇒ b = 4
∴ b এর ঋণাত্মক মানটি হবে - 6
৩,০৩৫.
a2 - 2a - 1 = 0 হলে a3 - 1/a3 = ?
  1. ক
    8
  2. খ
    4
  3. গ
    14
  4. ঘ
    2
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: a2 - 2a - 1 = 0 হলে a3 - 1/a3 = ?

সমাধান:
দেয়া আছে,
a2 - 2a - 1 = 0
বা, a2 - 1 = 2a
বা, (a2 - 1)a = 2a/a [ উভয়পক্ষে a দ্বারা ভাগ করে ]
বা, a - 1/a = 2 ....... ( 1 )
বা, (a - 1/a)3 = 23 [ ঘন করে ]
বা, a3 - (1/a)3 - 3 × a × 1/a × (a - 1/a) = 8 [ ( 1 ) নং থেকে ]
বা, a3 - 1/a3 - 3 × (a - 1/a) = 8
বা, a3 - 1/a3 - 3 × 2 = 8 [ ( 1 ) নং থেকে ]
বা, a3 - 1/a3 = 8 + 6
বা, a3 - 1/a3 = 14
৩,০৩৬.
2x2 - 3x = 2 হলে (x - 1/x)2 এর মান কত?
  1. ক
    ক) 3/2
  2. খ
    খ) 1/2
  3. গ
    গ) 4/3
  4. ঘ
    ঘ) 9/4
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 2x2 - 3x = 2 হলে (x - 1/x)2 এর মান কত? 

সমাধান: 
2x2 - 3x = 2
2x2 - 2 = 3x
2(x2 -1) = 3x
x2 - 1 = 3x/2
x2/x - 1/x = 3x/2x
x - 1/x = 3/2
(x - 1/x)2 = (3/2)2
(x - 1/x)2 = 9/4
৩,০৩৭.
p এর মান কত হলে 16x2 - xp + 25 একটি পূর্ণবর্গ হবে?
  1. ক
    ক) 25
  2. খ
    খ) 40
  3. গ
    গ) 45
  4. ঘ
    ঘ) 50
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: p এর মান কত হলে 16x2 - xp + 25 একটি পূর্ণবর্গ হবে?

সমাধান:
16x2 - px + 25
= (4x)2 - 2.4x.5 + 52 + 40x - px
= (4x - 5)2 + 40x - px

40x - px = 0
⇒ x(40 - p) = 0
⇒ 40 - p = 0
∴ p = 40

অতএব, p এর মান 40 হলে 16x2 - xp + 25 একটি পূর্ণবর্গ হবে।
৩,০৩৮.
x = 1 + √3 হলে, x3 = কত?
  1. ক
    4 + 3√3
  2. খ
    5 + 6√3
  3. গ
    10 + 9√3
  4. ঘ
    10 + 6√3
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: x = 1 + √3 হলে, x3 = কত?

সমাধান:
x = 1 + √3
⇒ x3 = (1 + √3)3
= 13 + 3.12.√3 + 3.1.(√3)2 + (√3)3
= 1 + 3√3 + 9 + 3√3
= 10 + 6√3
৩,০৩৯.
যদি a3 - b3 = 387 এবং a - b = 3 হয়, তবে ab এর মান কত?
  1. ক
    30
  2. খ
    35
  3. গ
    40
  4. ঘ
    45
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: যদি a3 - b3 = 387 এবং a - b = 3 হয়, তবে ab এর মান কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
a3 - b3 = (a - b)3 + 3ab(a - b)
⇒ 387 = 33 + 3ab × 3
⇒ 387 = 27 + 9ab
⇒ 387 - 27 = 9ab
⇒ 360 = 9ab
⇒ ab = 360/9
∴ ab = 40
৩,০৪০.
x + y = ১২ এবং x - y = ২ হলে xy এর মান কত?
  1. ক
    ক) ৭০
  2. খ
    খ) ৩৫
  3. গ
    গ) ১৪০
  4. ঘ
    ঘ) ১৪৪
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: x + y = ১২ এবং x - y = ২ হলে xy এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
x + y = 12
 x - y = 2

আমরা জানি,
xy = {(x + y)/2}2 - {(x + y)/2}2
= (12/2)2 - (2/2)2
= 36 - 1
∴ xy = 35
৩,০৪১.
x4 - x2 + 1 = 0 হলে, x3 + 1/x3 =?
  1. ক
    0
  2. খ
    1
  3. গ
    - 1
  4. ঘ
    - 8
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: x4 - x2 + 1 = 0 হলে, x3 + 1/x3 =?

সমাধান:
x4 - x2 + 1 = 0 
বা, x4 + 1 = x2
বা, x4/x2 + 1/x2 = 1
বা, x2 + 1/x2 = 1
বা, (x + 1/x)2 - 2 . x . (1/x) = 1
বা, (x + 1/x)2 - 2 = 1
বা, (x + 1/x)2 = 3
∴ x + 1/x = √3

এখন,
x3 + 1/x3 = (x + 1/x)3 - 3. x.(1/x). (x + 1/x)
= (√3)3 - 3√3
= 3√3 - 3√3
= 0
৩,০৪২.
x + y = - 2, x2 + y2 = 4 হলে x3 + y3 এর মান কত?
  1. ক
    ক) 6
  2. খ
    খ) - 6
  3. গ
    গ) 8
  4. ঘ
    ঘ) - 8
ব্যাখ্যা
দেয়া আছে,
x + y = - 2
x2 + y2  = 4

আমরা জানি,
বা, (x + y)2 = x2 + y2 + 2xy 
বা, (- 2)2 = 4 + 2xy 
বা, 4 - 4 = 2xy 
বা, 2xy = 0
বা, xy = 0/2
বা, xy = 0

x3 + y3 = (x + y)3 - 3xy(x + y)
            = (- 2)3 + 3.0.(- 2)
            = - 8 + 0
            = - 8
৩,০৪৩.
x2 - 8x + 12 এবং x3 - x2 + x - 6 এর গ.সা.গু কত?
  1. ক
    ক) x - 2
  2. খ
    খ) x - 3
  3. গ
    গ) x - 4
  4. ঘ
    ঘ) x - 6
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: x2 - 8x + 12 এবং x3 - x2 + x - 6 এর গ.সা.গু কত?

সমাধান: 
১ম রাশি = x2 - 8x + 12
= x2 - 6x - 2x + 12
= x(x - 6) - 2(x - 6)
= (x - 6)(x - 2)

২য় রাশি = x3 - x2 + x - 6
f(x) = x3 - x2 + x - 6
f(2) = 23 - 22 + 2 - 6
      = 8 - 4 + 2 - 6
      = 10 - 10
      = 0
(x - 2), f(x) এর একটি উৎপাদক 
 f(x) = x3 - x2 + x - 6
        =x3 - 2x2 + x2 - 2x + 3x - 6
          = x2(x - 2) + x(x - 2) + 3 (x - 2)
          = (x - 2)(x2 + x + 3)

∴ নির্ণেয় গ.সা.গু = x - 2
৩,০৪৪.
x5 + (1/x5) = 2√5 হলে, {x5 - (1/x5)}2 এর মান বের করুন।
  1. ক
    1
  2. খ
    5√2
  3. গ
    4
  4. ঘ
    16
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: x5 + (1/x5) = 2√5 হলে, {x5 - (1/x5)}2 এর মান বের করুন।

সমাধান:
আমরা জানি, {x5 - (1/x5)}2 = {x5 + (1/x5)}2 - 4 × x5 × 1/x5
= (2√5)2 - 4
= (4 × 5) - 4
= 20 - 4
= 16

৩,০৪৫.
(4m + 2n)3 + 3(4m + 2n)2(m - 2n) + 3(4m + 2n)(m - 2n)2 + (m - 2n)3 = ?
  1. ক
    125n3
  2. খ
    125m3
  3. গ
    81m3
  4. ঘ
    64m3 + 8n3
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: (4m + 2n)3 + 3(4m + 2n)2(m - 2n) + 3(4m + 2n)(m - 2n)2 + (m - 2n)3 = ? 

সমাধান:
ধরি,
4m + 2n = a
এবং m - 2n = b

প্রদত্ত রাশি,
a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 
= (a + b)3
= {(4m + 2n) + (m - 2n)}3
= (4m + 2n + m - 2n)3
= (5m)3
= 125m3

৩,০৪৬.
(a/b) + (b/a) = 6 হলে, (a2/b2) + (b2/a2) + 1 এর মান কত?
  1. ক
    29
  2. খ
    31
  3. গ
    35
  4. ঘ
    37
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: (a/b) + (b/a) = 6 হলে, (a2/b2) + (b2/a2) + 1 এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
(a/b) + (b/a) = 6

এখন,
(a2/b2) + (b2/a2) + 1
= (a/b)2 + (b/a)2  + 1
= {(a/b) + (b/a)}2 - 2 .(a/b). (b/a) + 1
= {(a/b) + (b/a)}2 - 2 + 1
= 62 - 2 + 1
= 36 - 2 + 1
= 35

৩,০৪৭.
√3 - (1/a) = a হলে, a3 + a + (1/a) + (1/a3) এর মান কত?
  1. ক
    2√3
  2. খ
    1
  3. গ
    0
  4. ঘ
    √3
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: √3 - (1/a) = a হলে, a3 + a + (1/a) + (1/a3) এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
√3 - (1/a) = a
⇒ a + (1/a) = √3

প্রদত্ত রাশি = a3 + a + (1/a) + (1/a3)
= a3 + (1/a3) + a + (1/a)
= {a + (1/a)}3 - 3 · a · (1/a){a + (1/a)} + {a + (1/a)}
= (√3)3 - 3√3 + √3
= 3√3 - 3√3 + √3
= √3
৩,০৪৮.
x-y = 4 এবং xy = 60 হলে, x+y এর মান কত?
  1. ক
    ক) 16
  2. খ
    খ) ±16
  3. গ
    গ) 4
  4. ঘ
    ঘ) ±64
ব্যাখ্যা

আমরা জানি,
(x + y)2 = (x - y)2 + 4xy
বা, (x + y)2 = (4)2 + 4 × 60
বা, (x + y)2 = 256
বা, x + y = ±√256
∴ x + y = ±16

৩,০৪৯.
9a2 + 16b2 এর সাথে কত যোগ করলে যোগফল একটি পূর্ণবর্গ রাশি হবে?
  1. ক
    16ab
  2. খ
    24ab
  3. গ
    27ab
  4. ঘ
    36ab
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 9a2 + 16b2 এর সাথে কত যোগ করলে যোগফল একটি পূর্ণবর্গ রাশি হবে?

সমাধান:
9a2 + 16b2
= (3a)2 + 2 . 3a . 4b + (4b)2 - 24ab
= (3a + 4b)2 - 24ab

∴ 9a2 + 16b2 এর সাথে 24ab যোগ করলে যোগফল একটি পূর্ণবর্গ রাশি হবে।

৩,০৫০.
a2 - √3a + 1 = 0 হলে a3 + 1/a3 এর মান কত?
  1. ক
    0
  2. খ
    1
  3. গ
    2
  4. ঘ
    3
ব্যাখ্যা

দেওয়া আছে,
a2 - √3a + 1 = 0
বা, a2 + 1 = √3a
বা, a + 1/a = √3 [উভয় পক্ষে a দ্বারা ভাগ করে]
বা, (a + 1/a)3 = (√3)3 [ঘন করে]
বা, a3 + 1/a3 + 3 . a .1/a (a + 1/a) = 3√3
বা, a3 + 1/a3 + 3√3 = 3√3
বা, a3 + 1/a3 = 3√3 - 3√3
সুতরাং a3 + 1/a3 = 0

৩,০৫১.
যদি x2 - √20x + 1 = 0 হয়, তবে x - (1/x) এর মান কত? 
  1. ক
    12
  2. খ
    16
  3. গ
    2√5
  4. ঘ
    4
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: যদি x2 - √20x + 1 = 0 হয়, তবে x - (1/x) এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
x2 - √20x + 1 = 0
⇒ x2 + 1 = √20x
⇒ x + (1/x) = √20 [উভয়পাশে x দ্বারা ভাগ করে]

 আমরা জানি, 
{x - (1/x)}2 = {x + (1/x)}2 - 4 . x . (1/x)
⇒ {x - (1/x)}2 = (√20)2 - 4
⇒ {x - (1/x)}2 = 20 - 4
⇒ {x - (1/x)}2 = 16
⇒ x - (1/x) = √16
∴ x - (1/x) = 4

৩,০৫২.
x + 4/x = 4 হলে, x + 1/x এর মান কত? 
  1. ক
    ক) 1
  2. খ
    খ) 5/2 
  3. গ
    গ) 2
  4. ঘ
    ঘ) 0
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: x + 4/x = 4 হলে, x + 1/x এর মান কত? 

সমাধান: 
দেয়া আছে,
x + 4/x = 4
x2 + 4 = 4x
x2 - 4x + 4= 0
x2 - 2.x. 2 + 22 = 0
(x - 2)2 = 0
x - 2 = 0
x = 2

x+ 1/x = 2 + 1/2
           = (4 + 1)/2
           = 5/2 
৩,০৫৩.
a + b + c = 6 এবং a2 + b2 + c2 = 12 হলে, (a - b)2 + (b - c)2 + (c - a)2 = কত?
  1. ক
    0
  2. খ
    1
  3. গ
    2
  4. ঘ
    3
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: a + b + c = 6 এবং a2 + b2 + c2 = 12 হলে, (a - b)2 + (b - c)2 + (c - a)2 = কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
a + b + c = 6
a2 + b2 + c2 = 12

প্রদত্ত রাশি = (a - b)2 + (b - c)2 + (c - a)2
= a2 - 2ab + b2 + b2 - 2bc + c2 + c2 - 2ca + a2
= 2a2 + 2b2 + 2c2 - 2(ab + bc + ca)
= 2(a2 + b2 + c2) - {(a + b + c)2 - (a2 + b2 + c2)}
= (2 × 12) - {(6)2 - 12}
= (2 × 12) - (36 - 12)
= 24 - 24
= 0
৩,০৫৪.
যদি a = 1 + √3 এবং b = 1 - √3 হয়, তাহলে a2 + b2 = ?
  1. ক
    12
  2. খ
    8
  3. গ
    16
  4. ঘ
    24
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: যদি a = 1 + √3 এবং b = 1 - √3 হয়, তাহলে a2 + b2 = ?

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
a = 1 + √3 এবং b = 1 - √3

এখন,
a + b = 1 + √3 + 1 - √3 = 2
এবং ab = (1 + √3)(1 - √3) = 12 - (√3)2 = 1 - 3 = - 2

প্রদত্ত রাশি,
a2 + b2 = (a + b)2 - 2ab
= 22 - 2(- 2)
= 4 + 4
= 8
∴ a2 + b2 = 8

৩,০৫৫.
a2 + b2 = 45 এবং ab = 18 হলে, (a - b)2 এর মান কত?
  1. ক
    6
  2. খ
    9
  3. গ
    12
  4. ঘ
    15
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: a2 + b2 = 45 এবং ab = 18 হলে, (a - b)2 এর মান কত? 

সমাধান:
(a - b)2 = a2 - 2 · a · b + b2
= a2 + b2 - 2ab
= 45 - (2 × 18)
= 45 - 36
= 9

৩,০৫৬.
2(x - y) = 4 এবং xy/2 = 12 হলে, x এর মান কত?
  1. ক
    ক) 3
  2. খ
    খ) 4
  3. গ
    গ) 6
  4. ঘ
    ঘ) 8
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 2(x - y) = 4 এবং xy/2 = 12 হলে, x এর মান কত?

সমাধান: 
দেওয়া আছে,
2(x - y) = 4 
⇒ x - y = 2 ............. (1)
xy/2 = 12
⇒ xy = 24

এখানে 
(x + y)2 = (x - y)2 + 4xy 
⇒ (x + y)2 = (2)2 + 4 × 24
⇒ (x + y)2 = 4 + 96
⇒ (x + y)2 = 100
⇒ (x + y)2 = 102
x + y = 10..................(2)

(1) নং + (2) নং যোগ করে পাই, 
x + y + x - y = 2 + 10
⇒ 2x = 12
∴ x = 6
৩,০৫৭.
x2 - √5x + 1 = 0 হলে x5 + 1/x5 এর মান কত?
  1. ক
    2√5
  2. খ
    4√5
  3. গ
    6√5
  4. ঘ
    উপরের কোনটিই নয়
ব্যাখ্যা
x2 - √5x + 1 = 0
বা, x2 + 1 = √5x
বা, (x2 +1)/x = √5
বা, x + 1/x = √5

x5 + 1/x5
= (x2 + 1/x2)(x3 + 1/x3) - (x + 1/x)
= {(x + 1/x)2 - 2.x.1/x}{(x + 1/x)3 - 3.x.1/x(x + 1/x)} - (x + 1/x)
= {(√5)2 - 2}{(√5)3 - 3.√5} - √5
= 3 × 2√5 - √5
= 6√5 - √5
= 5√5
৩,০৫৮.
a = √6 + √5  হলে, ( a6 - 1 )/ a3 এর মান কত?
  1. ক
    ক) 46√5 
  2. খ
    খ) 46
  3. গ
    গ) 46√9 
  4. ঘ
    ঘ) 40√5 
ব্যাখ্যা

a = √6 + √5  হলে, 1/a = 1/( √6 + √5 ) = (√6 - √5)/{(√6)2 - (√5)2} = √6 - √5
a - 1/a = 2√5 
∴ ( a6 - 1 )/a3 = a3 - 1/a3
= ( a - 1/a )3 + 3 . a . 1/a ( a - 1/a )
= (2√5)3 + 3 × 2√5 = 46√5 

৩,০৫৯.
a + b = √10 এবং a - b = √6 হলে, 8ab(a2 + b2) = কত?
  1. ক
    32
  2. খ
    64
  3. গ
    80
  4. ঘ
    96
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: a + b = √10 এবং a - b = √6 হলে, 8ab(a2 + b2) = কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
a + b = √10
a - b = √6

আমরা জানি,
(a + b)2 - (a - b)² = 4ab
(a + b)2 + (a - b)2 = 2(a2 + b2)

এখন,
8ab(a2 + b2)
= 4ab × 2(a2 + b2)
= {(a + b)2 - (a - b)2} × {(a + b)2 + (a - b)2}
= {(√10)2 - (√6)2} × {(√10)2 + (√6)2}
= (10 - 6) × (10 + 6)
= 4 × 16
= 64

৩,০৬০.
x = 5 এবং y = 2 হলে 16x2 - 56xy + 49y2 এর মান কত?
  1. ক
    ক) 6
  2. খ
    খ) 18
  3. গ
    গ) 36
  4. ঘ
    ঘ) 72
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: x = 5 এবং y = 2 হলে 16x2 - 56xy + 49y2 এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
x = 5
y = 2

এখন,
16x2 + 56xy + 49y2
= (4x)2 - 2 . 4x . 7y + (7y)2
= (4x - 7y)2
= (4 . 5 - 7 . 2)2
= (20 - 14)2
= 62
= 36
৩,০৬১.
a3 - 1, 1 + a3 এবং 1 + a2 + a4 রাশির ল.সা.গু. কত?
  1. ক
    a6 - 1
  2. খ
    a6 + 1
  3. গ
    a2 - 1
  4. ঘ
    a2 - 3
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: a3 - 1, 1 + a3 এবং 1 + a2 + a4 রাশির ল.সা.গু. কত?
 
সমাধান:
১ম রাশি,
a3 - 1 = (a - 1)(a2 + a + 1)
 
২য় রাশি,
a3 + 1 = (a + 1)(a2 - a + 1)
 
৩য় রাশি,
1 + a2 + a4
= 1 + 2. 1. a2 + (a2)2 - a2
= (a2 + 1)2 - a2
= (a2 + a + 1) (a2 - a + 1)
 
∴ নির্ণেয় ল.সা.গু. = (a - 1)(a2 + a + 1)(a + 1)(a2 - a + 1)
= (a3 + 1)(a3 - 1)
= a6 - 1
৩,০৬২.
  1. ক
    1
  2. খ
    5
  3. গ
    6
  4. ঘ
    9/4
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন:

সমাধান:
৩,০৬৩.
x3 + x2y, x2y + xy2 এর ল.সা.গু কোনটি?
  1. ক
    ক) x + y
  2. খ
    খ) xy(x + y)
  3. গ
    গ) x2y (x + y)
  4. ঘ
    ঘ) xy
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: x3 + x2y, x2y + xy2 এর ল.সা.গু কোনটি?

সমাধান:
 ১ম রাশি = x3 +x2y
= x2(x + y)

২য় রাশি = x2y + xy2
= xy(x + y)

নির্ণেয়  ল.সা.গু = x2y(x + y)
৩,০৬৪.
যদি x2 + 1/x2 = 98 হয়, তাহলে x + 1/x এর মান কত?
  1. ক
    10
  2. খ
    9
  3. গ
    8
  4. ঘ
    7
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: যদি x2 + 1/x2 = 98 হয়, তাহলে x + 1/x এর মান কত?

সমাধান:
x2 + 1/x2 = 98
⇒ (x + 1/x)2 - 2.x.(1/x) = 98
⇒ (x + 1/x)2 = 100
∴ x + 1/x = 10
৩,০৬৫.
x + y = 3, x - y = 1 হলে, x2 + y2 এর মান কত?
  1. ক
    5
  2. খ
    10
  3. গ
    - 5
  4. ঘ
    13
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: x + y = 3, x - y = 1 হলে, x2 + y2 এর মান কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
2(x2 + y2) = (x + y)2 + (x - y)2
= 32 + 12
= 9 + 1
= 10 

∴ (x2 + y2) = 10/2 = 5
৩,০৬৬.
a4 + a2b2 + b4 = 8 এবং a2 + ab + b2 = 4 হলে, ab = কত?
  1. ক
    1
  2. খ
    6
  3. গ
    9
  4. ঘ
    12
ব্যাখ্যা

দেওয়া আছে, a4 + a2b2 + b4 = 8 এবং a2 + ab + b2 = 4 
a4 + a2b2 + b4 = 8
(a2 + ab + b2)(a2 - ab + b2) = 8
(a2 - ab + b2) = 8/4 = 2
সুতরাং, (a2 + ab + b2) - (a2 - ab + b2) = 4 - 2
বা, 2ab = 2
বা, ab = 1

৩,০৬৭.
{(x + y)/x} + {(x - y)/y} - {(x2 - y2)/xy} = কত?
  1. ক
    y/x
  2. খ
    x/y
  3. গ
    2x/y
  4. ঘ
    2y/x
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: {(x + y)/x} + {(x - y)/y} - {(x2 - y2)/xy} = কত? 

সমাধান: 
{(x + y)/x} + {(x - y)/y} - {(x2 - y2)/xy}
= (xy + y2 + x2 - xy - x2 - y2)/xy
= 2y2/xy
= 2y/x
৩,০৬৮.
যদি x + 1/x = 5 হলে 2x/(3x2 - 4x + 3) এর মান কত?
  1. ক
    ক) 1/2
  2. খ
    খ) 3/8
  3. গ
    গ) 2/11
  4. ঘ
    ঘ) 1/5
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: যদি x + 1/x = 5 হলে 2x/(3x2 - 4x + 3) এর মান কত? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে 
x + 1/x = 5 
x2 + 1 = 5x
3x2 + 3 = 15x

প্রদত্তরাশি,
2x/(3x2 - 4x + 3)
= 2x/(3x2 + 3 - 4x)
= 2x/(15x - 4x)
= 2x/11x
= 2/11
৩,০৬৯.
  1. ক
    35
  2. খ
    32
  3. গ
    30
  4. ঘ
    37
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন:

​সমাধান:
দেওয়া আছে,
(a/b) + (b/a) = 6

এখন,
(a2/b2) + (b2/a2) + 1
= (a/b)2 + (b/a)2  + 1
= {(a/b) + (b/a)}2 - 2 .(a/b). (b/a) + 1
= {(a/b) + (b/a)}2 - 2 + 1
= 62 - 2 + 1
= 36 - 2 + 1
= 35

৩,০৭০.
a + 1/a = 2 হলে a4 + 1/a4 এর মান কত?
  1. ক
    2
  2. খ
    6
  3. গ
    34
  4. ঘ
    38
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: a + 1/a = 2 হলে a4 + 1/a4 এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে
 a + 1/a = 2

এখানে
a4  + 1/a4
= (a2)2 + (1/a2)2
= (a2 + 1/a2)2 - 2.a2.1/a2
= {(a + 1/a)2 - 2.a.1/a}2 - 2
= {(2)2 - 2}2 - 2
= (4 - 2)2 - 2
= (2)2 - 2
= 4 - 2
= 2
৩,০৭১.
যদি x2 + (1/x2) = 7 হয়, তবে  x3+ (1/x3) এর মান কত?
  1. ক
    18
  2. খ
    24
  3. গ
    30
  4. ঘ
    36
  5. ঙ
    48
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: যদি x2 + (1/x2) = 7 হয়, তবে  x3+ (1/x3) এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
{x + (1/x​)}2 = x2 + (1/x2) ​+ 2 (x)(1/x)
⇒ {x + (1/x​)}2 = 7 + 2 = 9
⇒ √{x + (1/x​)}2 = √9
⇒ x + (1/x) ​= 3

∴ x3 + (1/x3)
= {x + (1/x​)}3 − 3 (x)(1/x){x + (1/x​)}
= 33 - (3 × 3)
= 27 - 9
= 18
৩,০৭২.
যদি a + b = 10 এবং ab = 21 হয়, তবে a - b এর মান কত?
  1. ক
    12
  2. খ
    8
  3. গ
    4
  4. ঘ
    6
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: যদি a + b = 10 এবং ab = 21 হয়, তবে a - b এর মান কত?

সমাধান:
দেয়া আছে,
a + b = 10 এবং ab = 21

আমরা জানি,
(a - b)2 = (a + b)2 - 4ab
= 102 - (4 × 21)
= 100 - 84
= 16
⇒ (a - b) = √16
∴ a - b = 4

৩,০৭৩.
a = 17 এবং b = 9 হলে, (a2 - b2)/(a + b) = কত?
  1. ক
    ক) 6
  2. খ
    খ) 8
  3. গ
    গ) 5
  4. ঘ
    ঘ) 10
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: a = 17 এবং b = 9 হলে, (a2 - b2)/(a + b) = কত?

সমাধান:
a = 17
b = 9

(a2 - b2)/(a + b) =(a - b)(a + b)/(a + b)
= (a - b)
=17 - 9
= 8
৩,০৭৪.
যদি a + b = √3 এবং a - b = √2 হয়, তাহলে 8ab(a2 + b2) =?
  1. ক
    6
  2. খ
    √6
  3. গ
    5
  4. ঘ
    8√5
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: যদি a + b = √3 এবং a - b = √2 হয়, তাহলে 8ab(a2 + b2) =?

সমাধান:
8ab(a2 + b2)
= 4ab × 2(a2 + b2)
= {(a + b)2 - (a - b)2}{(a + b)2 + (a - b)2}
= (√32 - √22)(√32 + √22)
= 1 × 5
= 5
৩,০৭৫.
(x + 6)2 = x2 + px + q সমীকরণে p ও q এর মান কত হলে সমীকরণটি অভেদ হবে?
  1. ক
    6, 36
  2. খ
    12, 30
  3. গ
    12, 36
  4. ঘ
    24, 36
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: (x + 6)2 = x2 + px + q সমীকরণে p ও q এর মান কত হলে সমীকরণটি অভেদ হবে?

সমাধান:
(x + 6)2 = x2 + px + q
⇒ x2 + 2.x.6 + 62 = x2 + px + q
⇒ x2 + 12x + 36 = x2 + px + q 

x ও ধ্রবক পদের সহগ সমীকৃত করে পাই 
p = 12
q = 36
৩,০৭৬.
3x - 2y = 7 এবং 4x + 2y = 28 হলে (x, y) এর মান-
  1. ক
    (7, 3)
  2. খ
    (5, 4)
  3. গ
    (4, 3)
  4. ঘ
    (7, 5)
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 3x - 2y = 7 এবং 4x + 2y = 28 হলে (x, y) এর মান-

সমাধান:
দেওয়া আছে,
3x - 2y = 7.............(1)
4x + 2y = 28.........(2)

(1) + (2) নং হতে পাই,
3x + 4x = 35
⇒ 7x = 35
∴ x = 5

(2) নং এ x এর মান বসিয়ে পাই,
(4 × 5) + 2y = 28
বা, 20 + 2y = 28
বা, 2y = 28 - 20
বা, 2y = 8
∴ y = 4

∴ নির্ণেয় সমাধান (x, y) = (5, 4)
৩,০৭৭.
1 - (1/x) = 3 হলে, (x2 + 1)/x2 এর মান কত?
  1. ক
    5
  2. খ
    10
  3. গ
    9
  4. ঘ
    7
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 1 - (1/x) = 3 হলে, (x2 + 1)/x2 এর মান কত?

সমাধান:
1 - 1/x = 3
1 - 3 = 1/x
- 2 = 1/x
x = 1/- 2

(x2 + 1)/x2 = {(1/- 2)2 + 1}/(1/- 2)2
= {(1/4) + 1}/(1/4)
= (5/4)/(1/4)
= 5/4 × 4/1
= 5 
৩,০৭৮.
x2 - 3x + 1 = 0 হলে x2 - (1/x2) এর মান কত?
  1. ক
    7
  2. খ
    2√5
  3. গ
    3
  4. ঘ
    3√5
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: x2 - 3x + 1 = 0 হলে x2 - (1/x2) এর মান কত?

সমাধান: 
x2 - 3x + 1 = 0
⇒ x2 +1 = 3x
⇒ (x2 +1)/x = 3x/x
∴ x + 1/x = 3

সূত্রানুসারে,
(x - 1/x)2 = (x + 1/x)2 - 4.x.1/x
⇒ x - 1/x = √{(3)2 - 4}
∴ x - 1/x = √5

এখন,
(x2 - 1/x2) = (x + 1/x)(x - 1/x)
= 3√5
৩,০৭৯.
x = 10 হলে নিচের কোন অপশনের মানটি সর্বনিম্ন হবে?
  1. ক
    2/x
  2. খ
    x/2
  3. গ
    2 - x
  4. ঘ
    (2 - x)2
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: x = 10 হলে নিচের কোন অপশনের মানটি সর্বনিম্ন হবে?

সমাধান: 
অপশন অনুযায়ী, 
(ক) 2/x = 2/10 = 0.5 (বৃহত্তম), 
(খ) x/2 = 10/2 = 5 (বৃহত্তম), 
(গ) 2 - x = 2 - 10 = - 8 (ক্ষুদ্রতম) এবং 
(ঘ) (2 - x)2 = (2 - 10)2 = (- 8)2 = 64 (বৃহত্তম) 

∴ 2 - x এর মানটি সর্বনিম্ন হবে। 
৩,০৮০.
x = 1 + √2 হলে 1/x2 = কত?
  1. ক
    ক) 3 + 2√2
  2. খ
    খ) 3 - 2√3
  3. গ
    গ) 2 - 2√2
  4. ঘ
    ঘ) 3 - 2√2
ব্যাখ্যা
x = 1 + √2
বা, 1/x = 1/(√2 + 1)
= (√2 - 1)/((√2 +1)(√2 - 1))
= (√2 -1)/(2-1) = √2 -1
∴ (1/x)2 = (√2 - 1)2
= 2 - 2√2 + 1
= 3 - 2√2
৩,০৮১.
a2 + b2 = 29 এবং ab = 10 হলে, a + b এর মান কত?
  1. ক
    5
  2. খ
    7
  3. গ
    12
  4. ঘ
    24
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: a2 + b2 = 29 এবং ab = 10 হলে,  a + b এর মান কত?

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
a2 + b2= 29
ab = 10

আমরা জানি, 
a2 + b2 = (a + b)2 - 2ab
⇒ 29 = (a + b)2 - (2 × 10)
⇒ (a + b)2 = 29 + 20
⇒ (a + b)2 = 49
⇒ √(a + b)2 = √49
⇒ a + b = 7
৩,০৮২.
p = √6 + √5 হলে, (p9 - p3)/p6 এর মান কত?
  1. ক
    40√5
  2. খ
    56
  3. গ
    46√5
  4. ঘ
    23√5
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: p = √6 + √5 হলে, (p9 - p3)/p6 এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
p = √6 + √5
⇒ 1/p = 1/(√6 + √5)
⇒ 1/p = (√6 - √5)/{(√6 + √5)(√6 - √5)}
⇒ 1/p = (√6 - √5)/{(√6)2 - (√5)2}
⇒ 1/p = (√6 - √5)/1
⇒ 1/p = (√6 - √5)

∴ p - (1/p) = √6 + √5 - √6 + √5
= 2√5

এখন, (p9 - p3)/p6
= (p9/p6) - (p3/p6)
= p3 - (1/p3)
= {p - (1/p)}3 + 3 · p · (1/p){p - (1/p)}
= (2√5)3 + 3 · 2√5
= 8 · 5√5 + 6√5
= 46√5
৩,০৮৩.
5b4a3c, 10ab² এবং 15abc5 এর গ.সা.গু কত?
  1. ক
    30abc
  2. খ
    30a3b4c3
  3. গ
    5ab
  4. ঘ
    5a2b4c5
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 5b4a3c, 10ab² এবং 15abc5 এর গ.সা.গু কত?

সমাধান:
এখানে,
5,10 ও 15 এর গ.সা.গু = 5
প্রদত্ত রাশিগুলোর ক্ষুদ্রতম ঘাতের সাধারণ উৎপাদক যথাক্রমে, ab [যেহেতু ২য় রাশিতে c নেই, তাই গ.সা.গু তে থাকবে না] 

∴ গ.সা.গু= 5ab
৩,০৮৪.
x2 - √3x + 1 = 0 হলে x3 + (1/x3) এর মান কত?
  1. ক
    ক) 6√3
  2. খ
    খ) 3√3
  3. গ
    গ) 7
  4. ঘ
    ঘ) 0
ব্যাখ্যা

দেওয়া আছে
x2 - √3x + 1 = 0
x(x - √3 + (1/x)) = 0
x + (1/x) = √3

প্রদত্ত রাশি,
x3 + (1/x)3
= (x + (1/x))3 - 3 x.(1/x).(x + (1/x))
=(√3)3 - 3√3 [x + (1/x) = √3 বসিয়ে]
= √3(√3)2 - 3√3
=3√3 - 3√3
= 0

৩,০৮৫.
x = √3+√2 হলে, x³+(1/x³)
  1. ক
    ক) 3√2
  2. খ
    খ) 18√3
  3. গ
    গ) 12√3
  4. ঘ
    ঘ) 8
ব্যাখ্যা

x = √3 + √2
1/x =  √3 - √2
∴x+1/x = 2√3 
x3+1/x3 = (x+1/x)3 - 3.x.1/x(x+1/x)
= (2√3)3 -6√3
=24√3 - 6√3
= 18√3

৩,০৮৬.
যদি 2x - 2/x = 2 হলে, x3 - (1/x3) এর মান কত?
  1. ক
    0
  2. খ
    1
  3. গ
    2
  4. ঘ
    4
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: ‍যদি 2x - 2/x = 2 হলে, x3 - (1/x3) এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
2x - (2/x) = 2
⇒ 2{x - (1/x)} = 2
∴ x - (1/x) = 1

প্রদত্ত রাশি = x3 - 1/x3
= (x)3 - (1/x)3
= {(x - (1/x)}3 + 3. x. (1/x){x - (1/x)}
= (1)3 + 3. 1
= 1 + 3
= 4
৩,০৮৭.
x = 5 + 2√6 হলে, (x - 1)/√x এর মান কত? 
  1. ক
    ক) 2√3
  2. খ
    খ) 2√2
  3. গ
    গ) 4√6
  4. ঘ
    ঘ) 3√3
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: x = 5 + 2√6 হলে, (x - 1)/√x এর মান কত? 

সমাধান: 
x = 5 + 2√6
x = 3 + 2√6 + 2 
x = (√3)2 + 2√3.√2 + (√2)2
x = (√3 + √2)2
√x =  (√3 + √2)

x - 1 = 5 + 2√6 - 1
         = 4 + 2√6
         = 2(2 + √6)
         = 2√2(√2 + √3)

(x - 1)/√x = 2√2(√2 + √3)/(√3 + √2)
                 = 2√2
৩,০৮৮.
a = 15 এবং b = 6 হলে 9a2 - 48ab + 64b2 এর মান কত?
  1. ক
    9
  2. খ
    5
  3. গ
    6
  4. ঘ
    8
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: a = 15 এবং b = 6 হলে 9a2 - 48ab + 64b2 এর মান কত? 

সমাধান: 
9a2 - 48ab + 64b2 
= (3a)2 - 2. (3a). (8b) + (8b)2 
= (3a - 8b)2 
= {3 × (15) - 8 × (6)}2 
= (45 - 48)2 
= (- 3)2 
= 9
৩,০৮৯.
যদি x - 1/x = √11 হয়, তাহলে x + 1/x এর মান কত?
  1. ক
    √7
  2. খ
    √15
  3. গ
    √12
  4. ঘ
    √13
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: যদি x - 1/x = √11 হয়, তাহলে x + 1/x এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
x - 1/x = √11

(x + 1/x)2 = (x - 1/x)2 + 4.x.(1/x)
= (√11)2 + 4
= 11 + 4
= 15

∴ x + 1/x = √15
৩,০৯০.
x + y = 2, x2 + y2 = 4 হলে, x3 + y3 এর মান কত?
  1. ক
    2
  2. খ
    4
  3. গ
    8
  4. ঘ
    16
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: x + y = 2, x2 + y2 = 4 হলে, x3 + y3 এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
x + y = 2
বা, (x + y)2 = 22
বা, x2 + 2xy + y2 = 4
বা, x2 + y2 + 2xy = 4
বা, 4 + 2xy = 4
বা, 2xy = 0
∴ xy = 0

প্রদত্ত রাশি = x3 + y3
= (x + y)3 - 3xy (x + y)
= (2)3 - 3 . 0 . 2
= 8
৩,০৯১.
a = 4 এবং b = 2 হলে, 8a3 - 36a2b + 54ab2 - 27b3 এর মান কত?
  1. ক
    8
  2. খ
    27
  3. গ
    64
  4. ঘ
    0
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: a = 4 এবং b = 2 হলে, 8a3 - 36a2b + 54ab2 - 27b3 এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
a = 4 এবং b = 2

প্রদত্ত রাশি
= 8a3 - 36a2b + 54ab2 - 27b3
=(2a)3 - 3 · (2a)2 · 3b + 3 · 2a · (3b)2 - (3b)3
= (2a - 3b)3
= {2(4) + 3(2)}3
= (8 - 6)3
=(2)3
= 8
৩,০৯২.
x + 1/x = 4 হলে, x3 + 1/x3 = কত?
  1. ক
    ক) 147
  2. খ
    খ) 52
  3. গ
    গ) 70
  4. ঘ
    ঘ) 76
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: x + 1/x = 4 হলে, x3 + 1/x3 = কত?

সমাধান: 
দেয়া আছে,
 x + 1/x = 4 

প্রদত্ত রাশি = x3 + 1/x3 
                = (x)3 + (1/x)3
                 = (x + 1/x)3 - 3x.(1/x).(x + 1/x)
                  = 43 - 3 × 4
                 = 64 - 12
                 = 52
৩,০৯৩.
a + b + c = 17 এবং a2 + b2 + c2 = 77 হলে, ab + bc + ca = কত?
  1. ক
    ক) 102
  2. খ
    খ) 72
  3. গ
    গ) 106
  4. ঘ
    ঘ) 98
ব্যাখ্যা

(a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ca
172 - 77 = 2(ab + bc + ca)
∴ (ab + bc + ca) = 212/2 = 106

৩,০৯৪.
x + y = 17 এবং xy = 60 হলে x - y = কত?
  1. ক
    ক) 7
  2. খ
    খ) 8
  3. গ
    গ) 9
  4. ঘ
    ঘ) 10
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: x + y = 17 এবং xy = 60 হলে x - y = কত?

সমাধান:
x + y = 17
 xy = 60

আমরা জানি
(x - y)2 = (x + y )2 - 4xy
(x - y)2 = 172 - 4 × 60
(x - y)2 =  289 - 240
(x - y)2 = 49
(x - y)2 = 72 
(x - y) = 7
৩,০৯৫.
a = 9 এবং b = 5 হলে 16a2 - 40ab + 25b2 এর মান নির্ণয় করুন -
  1. ক
    ক) 118
  2. খ
    খ) 121
  3. গ
    গ) 125
  4. ঘ
    ঘ) 130
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: a = 9 এবং b = 5 হলে 16a2 - 40ab + 25b2 এর মান নির্ণয় করুন - 

সমাধান: 
16a2 - 40ab + 25b2
= (4a)2 - 2(4a)(5b) + (5b)2 
= (4a - 5b)2
= ((4 × 9) - (5 × 5))2
= (36 - 25)2
= (11)2
= 121
৩,০৯৬.
যদি a + (4/a) = 4 হয়, তবে a/(a2 + a - 2) এর মান কত?
  1. ক
    1/2
  2. খ
    1
  3. গ
    2
  4. ঘ
    - 1
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: যদি a + (4/a) = 4 হয়, তবে a/(a2 + a - 2) এর মান কত?

সমাধান:
a + (4/a) = 4
⇒ (a2 + 4)/a = 4
⇒ a2 - 4a + 4 = 0
⇒ a2 - 2 · a · 2 + 22 = 0
⇒ (a - 2)2 = 0
⇒ a - 2 = 0
∴ a = 2

∴ a/(a2 + a - 2) = 2/(22 + 2 - 2) = 2/4 = 1/2

৩,০৯৭.
(x + 6)(x - 6) কে x2 - 34 দিয়ে ভাগ করলে ভাগশেষ কত হবে?
  1. ক
    2
  2. খ
    - 2
  3. গ
    1
  4. ঘ
    - 1
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: (x + 6)(x - 6) কে x2 - 34 দিয়ে ভাগ করলে ভাগশেষ কত হবে?

সমাধান:
(x + 6) (x - 6)
= x2 - 62
= x2 - 36

এখন,
x2 - 34) x2 - 36 (1
            x2 - 34
______-_____+__
                 - 2

∴ ভাগশেষ = - 2
৩,০৯৮.
a3bc, ab3c এবং abc3 এর ল.সা.গু কত?
  1. ক
    1
  2. খ
    abc
  3. গ
    a2b2c2
  4. ঘ
    a3b3c3
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: a3bc, ab3c এবং abc3 এর ল.সা.গু কত? 

সমাধান: 
a3bc, ab3c এবং abc3 রাশি তিনিটিতে,
a, b এবং c গুণনীয়ক সমূহের সর্বোচ্চ ঘাত যথাক্রমে a3, b3 এবং c3
∴ ল.সা.গু = a3b3c3.
৩,০৯৯.
যদি x4 - x2 + 1 = 0 হয়, তবে x3 + (1/x3) = কত?
  1. ক
    0
  2. খ
    1
  3. গ
    2
  4. ঘ
    3
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: যদি x4 - x2 + 1 = 0 হয়, তবে x3 + (1/x3) = কত? 

সমাধান:
দেওয়া আছে, 
x4 - x2 + 1 = 0
⇒ x4 + 1 = x2
⇒ (x4 + 1)/x2 = 1
⇒ x2 + 1/x2 = 1
⇒ (x + 1/x)2 - 2 . x . 1/x = 1
⇒ (x + 1/x)2 = 2 + 1
∴ x + (1/x) = √3

প্রদত্ত রাশি = x3 + (1/x3)
= {(x)3 + (1/x)3}
= [{x + (1/x)}3 - 3. x. 1/x {x + (1/x)}]
= {(√3)3 - 3 . √3}
= 3√3 - 3√3
= 0
৩,১০০.
X + Y = 6 এবং XY = ৪ হলে (X - Y)2 এর মান কত?
  1. ক
    4
  2. খ
    6
  3. গ
    8
  4. ঘ
    12
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: X + Y = 6 এবং XY = ৪ হলে (X - Y)2 এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে
X + Y = 6 
XY = ৪

আমরা জানি
(X - Y)2 = (X + Y)2 - 4XY
(X - Y)2 =62 - 4 × 8
(X - Y)2 = 36 - 32
(X - Y)2 = 4