লগ ইননিবন্ধন
বিষয়সমূহ

PrepBank · বিষয়ভিত্তিক প্রশ্ন

বীজগাণিতিক সূত্রাবলি ও এর প্রয়োগ

মোট প্রশ্ন৩,৪০১এই পাতা১০০প্রতি পাতা১০০
প্রশ্ন দেখুনঅনুশীলন
ঘনত্ব
উত্তর
উত্তরিতবর্তমানপুনরায় দেখুনঅসম্পূর্ণ

বীজগাণিতিক সূত্রাবলি ও এর প্রয়োগ

PrepBank · পাতা ৩ / ৩৪ · ২০১–৩০০ / ৩,৪০১

২০১.
x - 1/x = 2 হলে x4 + 1/x4 = কত?
  1. ক
    ক) 30
  2. খ
    খ) 31
  3. গ
    গ) 32
  4. ঘ
    ঘ) 34
ব্যাখ্যা

x4 + 1/x4
= (x2)2 + (1/x2)2
= (x2 + 1/x2)2 - 2.x2.1/x2
= {(x - 1/x)2 + 2.x.1/x}2 - 2
= (22 + 2)2 - 2
= 36 - 2 = 34

২০২.
x3 - 3x2 - 10x এবং x3 + 6x2 + 8x এর গ.সা.গু কত?
  1. ক
    x(x + 4)
  2. খ
    x(x + 2)
  3. গ
    x(x + 2)(x + 4)
  4. ঘ
    x(x + 2)(x + 4)(x - 5)
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: x3 - 3x2 - 10x এবং x3 + 6x2 + 8x এর গ.সা.গু কত? 

সমাধান: 
১ম রাশি = x3 - 3x2 - 10x
= x(x2 - 3x - 10)
= x(x2 - 5x + 2x - 10)
= x {x(x - 5) + 2(x - 5)}
= x(x + 2)(x - 5) 

২য় রাশি = x3 + 6x2 + 8x
= x(x2 + 6x + 8)
= x(x2 + 2x + 4x + 8)
= x {x(x + 2) + 4(x + 2)}
= x(x + 2)(x + 4) 

∴ নির্ণেয় গ.সা.গু = x(x + 2)  ।
২০৩.
a + b + c = 11 এবং ab + bc + ca = 42 হলে a2 + b2 + c2 এর মান কত?
  1. ক
    34
  2. খ
    35
  3. গ
    37
  4. ঘ
    36
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: a + b + c = 11 এবং ab + bc + ca = 42 হলে a2 + b2 + c2 এর মান কত? 

সমাধান: 
a + b + c = 11 
ab + bc + ca = 42

আমরা জানি,
(a + b + c)2 = a2 + b2 +c2 + 2(ab + bc + ca)
112 = a2 + b2 +c2 + 2 × 42
121 = a2 + b2 +c2 + 84
121 - 84 = a2 + b2 + c2 
a2 + b2 + c2 = 37 

২০৪.
x + (1/x) = 2 হলে, x5 + (1/x5) = কত?
  1. ক
    ক) 2
  2. খ
    খ) 4
  3. গ
    গ) 27
  4. ঘ
    ঘ) 64
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: x + (1/x) = 2 হলে, x5 + (1/x5) = কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে, 
x + (1/x) = 2
বা, (x2 + 1)/x = 2
বা, x2 + 1 = 2x
বা, x2 - 2x + 1 = 0
বা, (x - 1)2 = 0
বা, x - 1 = 0 
∴ x = 1

এখন, 
x5 + (1/x5)
= (1)5 + {1/(1)5}
= 1 + (1/1)
= 1 + 1 
= 2 
২০৫.
a + b = √8, a - b = √5 হলে, 8ab(a2 + b2) এর মান কত?
  1. ক
    ক) 24
  2. খ
    খ) 28
  3. গ
    গ) 39
  4. ঘ
    ঘ) 36
ব্যাখ্যা
দেয়া আছে,
a + b = √8,
a - b = √5

8ab(a2 + b2) = 4ab. 2(a2 + b2)
                     = {(a + b)2 - (a - b)2}{(a + b)2 + (a - b)2}
                     = {(√8)2 - (√5)2 }{(√8)2 + (√5)2 }
                     = (8 - 5)(8 + 5)
                     = 3 × 13
                     = 39 
২০৬.
যদি x + y = 12 , xy = 35 হয়, তবে (x - y)2 এর মান কত?
  1. ক
    4
  2. খ
    3
  3. গ
    6
  4. ঘ
    10
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: যদি x + y = 12 , xy = 35 হয়, তবে (x - y)2 এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
 x + y = 12
xy = 35

(x - y)2 = (x + y)2 - 4xy
= 122 - 4 × 35
= 144 - 140
= 4
২০৭.
যদি x = 5a + 7b + 9c,  y = b - 3a - 4c,  z = c - 2b + a হয়, তবে  (x + y + z) এর মান নির্ণয় করুন।
  1. ক
    3(a + 3b + 2c)
  2. খ
    7(a + 2b + 3c)
  3. গ
    3(a + 2b + 2c)
  4. ঘ
    3(a + 2b + 15c)
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: যদি x = 5a + 7b + 9c,  y = b - 3a - 4c,  z = c - 2b + a হয়, তবে  (x + y + z) এর মান নির্ণয় করুন।

সমাধান:
দেওয়া আছে,
x = 5a + 7b + 9c
y = b - 3a - 4c
z = c - 2b + a

∴  x + y + z = 5a + 7b + 9c + b - 3a - 4c + c - 2b + a
= 3a + 6b + 6c
= 3(a + 2b + 2c)

২০৮.
(x2 + 1)2 = 3x2 হলে, x3 + (1/x3) এর মান কত? 
  1. ক
    √3
  2. খ
    0
  3. গ
    2√3
  4. ঘ
    3√3
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: (x2 + 1)2 = 3x2 হলে, x3 + (1/x3) এর মান কত? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে,
(x2 + 1)2 = 3x2 
বা, x2 + 1 = √3.x 
বা, (x2 + 1)/x = √3 
∴ x + (1/x) = √3 

∴ প্রদত্ত রাশি = x3 + (1/x3) 
= {x + (1/x)}3 - 3 . x. 1/x {x + (1/x)} 
= (√3)3 - 3. √3 
= 3√3 - 3√3 
= 0

২০৯.
a + b = 5 এবং ab = 4 হলে a2 + b2 এর মান কত?
  1. ক
    10
  2. খ
    15
  3. গ
    17
  4. ঘ
    12
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: a + b = 5 এবং ab = 4 হলে a2 + b2 এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
a + b = 5
ab = 4

প্রদত্ত রাশি,
a2 + b2
= (a + b)2 - 2ab
= (5)2 - 2 × 4
= 25 - 8
= 17
২১০.
x + 1/x = 2 হলে (x2 + 1/x2)(x4 + 1/x4) এর মান কত?
  1. ক
    2
  2. খ
    4
  3. গ
    8
  4. ঘ
    16
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: x + 1/x = 2 হলে (x2 + 1/x2)(x4 + 1/x4) এর মান কত?

সমাধান: 
x + 1/x = 2
⇒ (x + 1/x)2 = 22
⇒ x2 + 2x.(1/x) + (1/x)2 = 4
⇒ x2 + 2 + 1/x2 = 4
⇒ x2 + 1/x2 = 4 - 2
∴ x2 + 1/x2 = 2

এখন,
(x2 + 1/x2)2 = (2)2
⇒ (x2)2 + 2.x2.(1/x2) + (1/x2)2 = 4
⇒ x4 + 2 + 1/x4 = 4
⇒ x4 + 1/x4 = 4 - 2
∴ x4 + 1/x4 = 2

∴ (x2 + 1/x2)(x4 + 1/x4) 
= 2 × 2
= 4
২১১.
x2 + y2 = 8 এবং xy = 7 হলে (x + y)2 এর মান কত?
  1. ক
    ক) 14
  2. খ
    খ) 16
  3. গ
    গ) 22
  4. ঘ
    ঘ) 30
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: x2 + y2 = 8 এবং xy = 7 হলে (x + y)2 এর মান কত?

সমাধান:
x2 + y2 = 8 
xy = 7

আমরা জানি
(x + y)2 = x2 + y2 + 2xy
বা, (x + y)2 = 8 + 7 × 2
বা, (x + y)2 = 8 + 14 
(x + y)2 = 22
২১২.
যদি a + b + c = 6 এবং a2 + b2 + c2 = 12 হয়, তবে ab + bc + ca এর মান কত?
  1. ক
    12
  2. খ
    16
  3. গ
    24
  4. ঘ
    32
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: যদি a + b + c = 6 এবং a2 + b2 + c2 = 12 হয়, তবে ab + bc + ca এর মান কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
2(ab + bc + ca) = (a + b + c)2 - (a2 + b2 + c2)
⇒ 2(ab + bc + ca) = 62 - 12
⇒ 2(ab + bc + ca) = 24
⇒ 2(ab + bc + ca) = 24/2
∴ ab + bc + ca = 12
২১৩.
x6+ 64 = 16x3 হলে x এর মান কত?
  1. ক
    2
  2. খ
    4
  3. গ
    8
  4. ঘ
    16
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন : x6+ 64 = 16x3 হলে x এর মান কত? 

সমাধান : 

দেয়া আছে,
x6 + 64 = 16x3
বা, x6 -16x3 + 64 = 0
বা, (x3)2 - 2.8.x3+ 82 = 0
বা, (x3 - 8)2 = 0
বা, (x3 - 8) = 0
বা,  x3 = 8
বা,  x3 = 23
∴ x = 2

উত্তর : 2
২১৪.
x2 - 8x - 8y + y2 + 16 এর সাথে কত যোগ করলে যোগফল একটি পূর্ণবর্গ সংখ্যা হবে?
  1. ক
    ক) 4xy
  2. খ
    খ) - 4xy
  3. গ
    গ) 2xy
  4. ঘ
    ঘ) - 2xy
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন- x2 - 8x - 8y + y2 + 16 এর সাথে কত যোগ করলে যোগফল একটি পূর্ণবর্গ সংখ্যা হবে?

সমাধান-
= x2 - 8x - 8y + y2 + 16
= (-x)2 + (-y)2 + 42 + 2.(-x).(-y) + 2.(-y).4 + 2.(-x).4 - 2xy
= (- x - y + 4)2 - 2xy
= (x + y - 4)2 - 2xy

সুতরাং প্রদত্তরাশির সাথে 2xy যোগ করলে যোগফল একটি পূর্ণবর্গ সংখ্যা হবে।
২১৫.
a - 1/a = 3 হলে a4 + (1/a)4 এর মান কত?
  1. ক
    ক) 114
  2. খ
    খ) 119
  3. গ
    গ) 121
  4. ঘ
    ঘ) 132
ব্যাখ্যা

দেওয়া আছে, a - 1/a = 2
এখন, a2 + (1/a)2
= (a - 1/a)2 + 2. a. 1/a
= 32 + 2
= 9 + 2
∴ a2 + (1/a)2 = 11
বাঁ, {(a2 + (1/a)2}2= 112
বাঁ, a4 + 2.a2.1/a2 + (1/a)4 = 121
∴ a4 + (1/a)4 = 121 - 2 = 119

২১৬.
যদি x = a + 1/a এবং y = a - 1/a হয়, তাহলে x2 - y2 = কত?
  1. ক
    2a2
  2. খ
    2
  3. গ
    4
  4. ঘ
    16
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: যদি x = a + 1/a এবং y = a - 1/a হয়, তাহলে x2 - y2 = কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে
x = a + 1/a
y = a - 1/a

x + y = a + (1/a) + a - (1/a) = 2a
x - y = a + (1/a) - a + (1/a) = 2/a

এখন
x2 - y2
= (x + y)(x - y)
= (2a)(2/a)
= 4
২১৭.
a + b = 7, ab = 10 হলে a2 + b2 + 3ab = কত?
  1. ক
    ক) 29
  2. খ
    খ) 49
  3. গ
    গ) 59
  4. ঘ
    ঘ) 69
ব্যাখ্যা
দেয়া আছে,
a + b = 7,
ab = 10

এখন,
a2 + b2 + 3ab = (a + b)2 - 2ab + 3ab
                       = (a + b)2 + ab
                       = 72 + 10
                       = 49 + 10
                       = 59
২১৮.
p + (1/p) = 4 হলে p4 + (1/p4) = কত?
  1. ক
    ক) 194
  2. খ
    খ) 119
  3. গ
    গ) 147
  4. ঘ
    ঘ) 149
ব্যাখ্যা

দেওয়া আছে,
p + 1/p = 4
এখন,
p4 + (1/p4)
= (p2 + 1/p2)2 - 2.p2.1/p2
= [(p + 1/p)2 - 2.p.1/p]2 - 2
= [42 - 2]2 - 2
= [16 - 2]2 - 2
= 142 - 2
= 196 - 2
= 194
∴ p4 + (1/p4) = 194

২১৯.
y2 - x(x - 2) - 1 এর উৎপাদক নিচের কোনটি?
  1. ক
    ক) (y - x - 1)
  2. খ
    খ) (y - x + 1)
  3. গ
    গ) (y + x + 1)
  4. ঘ
    ঘ) (y - x)
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: y2 - x(x - 2) - 1 এর উৎপাদক নিচের কোনটি?

সমাধান:
 y2 - x(x - 2) - 1 
= y2 - x2 + 2x - 1
= y2 - (x2 - 2x + 1)
= y2 - (x - 1)2
= (y + x -1) (y - x +1)
২২০.
যদি A = a2 + ab + b2 এবং B = a2 + b2 - ab হয় তবে A - B = কত?
  1. ক
    2ab
  2. খ
    a2 − b2
  3. গ
    ab
  4. ঘ
    a2 + b2
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: যদি A = a2 + ab + b2 এবং B = a2 + b2 - ab হয় তবে A - B = কত?

সমাধান:
দেয়া আছে,
A = a2 + ab + b2
B = a2 - ab + b2

∴ A - B
= (a2 + ab + b2) - (a2 - ab + b2)
= a2 + ab + b2 - a2 + ab - b2
= 2ab

২২১.
x + (1/x) = 2 হলে, x5 + (1/x5) = কত?
  1. ক
    2
  2. খ
    4
  3. গ
    27
  4. ঘ
    64
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: x + (1/x) = 2 হলে, x5 + (1/x5) = কত? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
x + (1/x) = 2 
বা, (x2 + 1)/x = 2 
বা, x2 + 1 = 2x 
বা, x2 - 2x + 1 = 0 
বা, (x - 1)2 = 0 
বা, x - 1 = 0 
∴ x = 1 

এখন, 
x5 + (1/x5) 
= (1)5 + {1/(1)5} 
= 1 + (1/1) 
= 1 + 1 
= 2
২২২.
1/2 {(a + b)2 + (a - b)2}= কত?
  1. ক
    ক) a2 + b2
  2. খ
    খ) a2 - b2
  3. গ
    গ) (a + b)2/2 - (a - b)2/2
  4. ঘ
    ঘ) (a + b)2 + (a - b)2
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 1/2 {(a + b)2 + (a - b)2} = কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
2(a2 + b2) = (a + b)2 + (a - b)2
বা, a2 + b2 = 1/2 {(a + b)2 + (a - b)2}
২২৩.
x যদি - 1 হয়, তা হলে 3x3 + 2x2 + x + 1 = ?
  1. ক
    - 5
  2. খ
    1
  3. গ
    - 1
  4. ঘ
    2
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: x যদি - 1 হয়, তা হলে 3x3 + 2x2 + x + 1 = ?

সমাধান:
 3x3 + 2x2 + x + 1
= 3(- 1)3 + 2(- 1)2 + (- 1) + 1
= 3(- 1) + 2 × 1 - 1 + 1
= - 3 + 2 - 1 +  1
= - 1
২২৪.
a + b + c = 12 এবং a2 + b2 + c2 = 50 হলে, ab + bc + ac = ?
  1. ক
    32
  2. খ
    47
  3. গ
    52
  4. ঘ
    41
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: a + b + c = 12 এবং a2 + b2 + c2 = 50 হলে, ab + bc + ac = ?

সমাধন:
দেওয়া আছে, 
a + b + c = 12
a2 + b2 + c2 = 50

আমরা জানি, 
(a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2(ab + bc + ac)
⇒ 122 = 50 + 2(ab + bc + ac)
⇒ 144 = 50 + 2(ab + bc + ac)
⇒ 2(ab + bc + ac) = 144 - 50
⇒ 2(ab + bc + ac) = 94
⇒ ab + bc + ac = 94/2 = 47
∴ ab + bc + ac = 47

২২৫.
একটি শ্রেণিতে প্রতি বেঞ্চে 4 জন করে শিক্ষার্থী বসলে 5 জনকে দাঁড়িয়ে থাকতে হয় কিন্তু 5 জন করে বসলে 4টি বেঞ্চ খালি থাকে। ঐ শ্রেণিতে শিক্ষার্থী সংখ্যা কত?
  1. ক
    84 জন
  2. খ
    92 জন
  3. গ
    105 জন
  4. ঘ
    112 জন
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি শ্রেণিতে প্রতি বেঞ্চে 4 জন করে শিক্ষার্থী বসলে 5 জনকে দাঁড়িয়ে থাকতে হয় কিন্তু 5 জন করে বসলে 4টি বেঞ্চ খালি থাকে। ঐ শ্রেণিতে শিক্ষার্থী সংখ্যা কত?  

সমাধান: 
ধরি,
বেঞ্চের সংখ্যা x টি

4 জন করে বসলে শিক্ষার্থীর সংখ্যা = 4x + 5 জন।

5 জন করে বসলে শিক্ষার্থীর সংখ্যা 5(x - 4) জন। 

প্রশ্নমতে,
5(x - 4) = 4x + 5 
⇒ 5x - 20 = 4x + 5
∴ x = 25

∴ শিক্ষার্থীর সংখ্যা = 4 × 25 + 5 জন
= 105 জন
২২৬.
a2 + 1 - √3a = 0 হলে, a2 + (1/a2) = ?
  1. ক
    0
  2. খ
    2
  3. গ
    1
  4. ঘ
    3
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: a2 + 1 - √3a = 0 হলে, a2 + (1/a2) = ?

সমাধান:
a2 + 1 - √3a = 0
⇒ a2 + 1 = √3a
⇒ (a2/a) + (1/a) = √3a/a
⇒ a + (1/a) = √3

∴ a2 + (1/a2) = {a + (1/a)}2 - 2 · a · (1/a)
= (√3)2 - 2
= 3 - 2
= 1
২২৭.
x - (1/x) = 2 হলে x4 + (1/x)4 = কত?
  1. ক
    ক) 30
  2. খ
    খ) 31
  3. গ
    গ) 32
  4. ঘ
    ঘ) 34
ব্যাখ্যা
যুক্তিঃ x4 + 1/x4
= (x2 + 1/x2)2 - 2.x2.1/x2
= {(x + (1/x))2 + 2.x.1/x}2 - 2
= {22 + 2}2 - 2
= 62 - 2
= 34
২২৮.
4a + (4/a) + 8 = 0 হলে, a2 + 2a + 1 এর মান কত?
  1. ক
    - 1
  2. খ
    0
  3. গ
     1
  4. ঘ
    2
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 4a + (4/a) + 8 = 0 হলে, a2 + 2a + 1 এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
 4a + (4/a) + 8 = 0
 4a + (4/a) = - 8
⇒ 4{a + (1/a)} = - 8
⇒ a + (1/a = - (8/4)
⇒ (a2 +1)/a = - 2
⇒ a2 + 1 = - 2a
∴ a2 + 2a + 1 = 0

২২৯.
a4 - 51a2 + 1 = 0 হলে a - (1/a) এর মান কত?
  1. ক
    ± 3
  2. খ
    ± 5
  3. গ
    ± 7
  4. ঘ
    ± 9
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: a4 - 51a2 + 1 = 0 হলে a - (1/a) এর মান কত?

সমাধান: 
দেওয়া আছে,
a4 - 51a2 + 1 = 0
⇒ a4 + 1 = 51a2
⇒ (a4 + 1)/a2 = 51
⇒ a2 + (1/a2) = 51
⇒ {a - (1/a)}2 + 2(a)(1/a) = 51
⇒ {a - (1/a)}2 = 51 - 2 = 49
⇒ {a - (1/a)}2 = 72
⇒ a - (1/a) = ± 7 [ বর্গমূল করে ]
২৩০.
x + y + z = 6 এবং x2 + y2 + z2 = 14 হলে, (x - y)2 + (y - z)2 + (z - x)2 এর মান কত?
  1. ক
    1
  2. খ
    3
  3. গ
    4
  4. ঘ
    6
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: x + y + z = 6 এবং x2 + y2 + z2 = 14 হলে, (x - y)2 + (y - z)2 + (z - x)2 এর মান কত?

সমাধান:
(x - y)2 + (y - z)2 + (z - x)2
= x² - 2xy + y² + y² - 2yz + z² + z² - 2zx + x² [∵ (a - b)² = a² - 2ab + b²]
= 2x² + 2y² + 2z² - 2xy - 2yz - 2zx
= 2(x² + y² + z²) - 2(xy + yz + zx)
= 2 ⋅ 14 - 2(xy + yz + zx)
= 28 - {(x + y + z)² - (x² + y² + z²)} [∵ 2(ab + bc + ca) = (a + b + c)² - (a² + b² + c²)]
= 28 - (6² - 14)
= 28 - (36 - 14)
= 28 - 22
= 6
২৩১.
p - (1/p) = 5 হলে {p + (1/p)}2 = কত?
  1. ক
    ক) 29
  2. খ
    খ) 27
  3. গ
    গ) 25
  4. ঘ
    ঘ) 21
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: p - (1/p) = 5 হলে {p + (1/p)}2 = কত? 

সমাধান:
{p + (1/p)}2 = {p - (1/p)}2 + 4. p. 1/p 
= (5)2 + 4 
= 25 + 4 
= 29 
২৩২.
x + y = √3 এবং x - y = 1 হলে, 2x2 + 2y2 এর মান -
  1. ক
    ক) 2
  2. খ
    খ) 3
  3. গ
    গ) 4
  4. ঘ
    ঘ) 6
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: x + y = √3 এবং x - y = 1 হলে, 2x2 + 2y2 এর মান -

সমাধান:
দেওয়া আছে
x + y = √3
x - y = 1

এখন,
2x2 + 2y2
= 2(x2 + y2)
= (x + y)2 + (x + y)2
= √32 + 12
= 3 + 1
= 4
২৩৩.
x+y = 12 এবং x-y = 2 হলে xy = ?
  1. ক
    ক) 35
  2. খ
    খ) 140
  3. গ
    গ) 70
  4. ঘ
    ঘ) 144
ব্যাখ্যা

x+y+x-y = 12+2
বা, 2x = 14
বা, X = 7
∴ y = 5
So, xy = 35

২৩৪.
যদি x = √9 + √8 হয়, তাহলে (x3 + 1/x3) এর মান কত?
  1. ক
    176
  2. খ
    184
  3. গ
    190
  4. ঘ
    198
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: যদি x = √9 + √8 হয়, তাহলে (x3 + 1/x3) এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
x = √9 + √8
⇒ 1/x = 1/(√9 + √8)
⇒ 1/x = (√9 - √8)/(√9 - √8)(√9 + √8)
⇒ 1/x = (√9 - √8)/{(√9)2 - (√8)2}
⇒ 1/x = (√9 - √8)/(9 - 8)
⇒ 1/x = (√9 - √8)/1
∴ 1/x = (√9 - √8)

এখন,
x + (1/x) = √9 + √8 + √9 - √8
= 2√9
= 2 × 3
= 6

আমরা জানি,
x3 + (1/x3) = {x + (1/x)}3 - 3 . x . (1/x){x + (1/x)}
= 63 - (3 × 6)
= 216 - 18
= 198
২৩৫.
A(1, 2), B(4, 5) এবং C(7, k) বিন্দুত্রয় সমরেখ হলে k এর মান কত?
  1. ক
    11
  2. খ
    2
  3. গ
    - 4
  4. ঘ
    8
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: A(1, 2), B(4, 5) এবং C(7, k) বিন্দুত্রয় সমরেখ হলে k এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
A(1, 2), B(4, 5) এবং C(7, k)

আমরা জানি,
(X1, Y1) ও (X2, Y2) বিন্দুগামী রেখার ঢাল = (y2​ - y1​​)/(x2​ - x1​)
তিনটি বিন্দু A(1, 2), B(4, 5) এবং C(7, k) সমরেখ হলে, তাদের মধ্যে যেকোনো দুইটি বিন্দু দ্বারা নির্ধারিত সরলরেখার ঢাল এবং তৃতীয় বিন্দুর সাথে অন্য একটি বিন্দুর মধ্যকার ঢাল সমান হবে।
এখন,
AB এর ঢাল,
mAB​ = (y2​ - y1​​)/(x2​ - x1​)
= (5 - 2)/(4 - 1)
= 3/3
= 1

আবার,
BC এর ঢাল
mBC = (y2​ - y1​​)/(x2​ - x1​)
= (k - 5)/(7 - 4)
= (k - 5)/3

∴ তিনটি বিন্দু সমরেখ হলে ঢাল দুটি সমান হবে।
∴ (k - 5)/3 = 1
⇒ k - 5 = 3
⇒ k = 5 + 3
⇒ k = 8

সুতরাং, k এর মান 8

২৩৬.
x + y = 12 এবং x - y = 2 হলে xy এর মান কত? 
  1. ক
    ক) 70
  2. খ
    খ) 35
  3. গ
    গ) 140
  4. ঘ
    ঘ) 144
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: x + y = 12 এবং x - y = 2 হলে xy এর মান কত? 

সমাধান: 
আমরা জানি, 
4xy = (x + y)2 - (x - y)2 
বা, 4xy = (12)2 - (2)2 
বা, 4xy = 144 - 4 
বা, 4xy = 140 
বা, xy = 140/4 
∴ xy = 35 
২৩৭.
a - [a - {a - (a + 1)}] = ?
  1. ক
    ক) -1
  2. খ
    খ) 0
  3. গ
    গ) 1
  4. ঘ
    ঘ) a + 1
ব্যাখ্যা

a - [a - {a - (a + 1)}]
= a - [a - {a - a - 1}]
= a - [a - {-1}]
= a - [a + 1]
= a - a - 1
= -1

২৩৮.
x - (1/x) = 2 হলে, x4 + (1/x4) = কত?
  1. ক
    30
  2. খ
    34
  3. গ
    36
  4. ঘ
    32
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: x - (1/x) = 2 হলে, x4 + (1/x4) = কত? 

সমাধান: 
 x4 + (1/x4)
= {(x2 + (1/x2)}2 - 2. x2. 1/x2 
= {x2 + (1/x2)}2 - 2
= [{x - (1/x)}2 + 2. x. 1/x]2 - 2 
= {(2)2+ 2}2 - 2 
= (4 + 2)2 - 2 
= (6)2 - 2 
= 36 - 2 
= 34 
২৩৯.
F(x) = (x - 1)253 হলে, F(2) = কত?
  1. ক
    ক) 0
  2. খ
    খ) 225359
  3. গ
    গ) 1
  4. ঘ
    ঘ) কোনটিই নয়
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: F(x) = (x - 1)253 হলে, F(2) = কত?

সমাধান:
 F(x) = (x - 1)253

∴ F(2) = (2 - 1)253
= 1253
= 1
২৪০.
  1. ক
    0
  2. খ
    12
  3. গ
    10
  4. ঘ
    6√3
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন:

সমাধান:
২৪১.
a + b = 10 এবং a - b = 6 হলে ‍ab = কত?
  1. ক
    ক) 20
  2. খ
    খ) 18
  3. গ
    গ) 16
  4. ঘ
    ঘ) 12
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: a + b = 10 এবং a - b = 6 হলে ‍ab = কত?

সমাধান:
a + b = 10 
a - b = 6

আমরা জানি
4ab = (a + b)2 - (a - b)2
বা, 4ab = 102 - 62
বা, 4ab = 100 - 36
বা, 4ab = 64
ab = 16
২৪২.
a2 - √7a + 1 = 0 হলে, a2 + (1/a2) এর মান কত?
  1. ক
    1
  2. খ
    3
  3. গ
    4
  4. ঘ
    5
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: a2 - √7a + 1 = 0 হলে, a2 + (1/a2) এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
a2 - √7a + 1 = 0
⇒ a2 + 1 = √7a
⇒ a2/a + (1/a) = √7a/a
⇒ a + (1/a) = √7

∴ প্রদত্ত রাশি, a2 + (1/a2)
= {a + (1/a)}2 - 2 · a · (1/a)
= (√7)2 - 2
= 7 - 2
= 5
২৪৩.
x + 1/x = 2 হলে, x - 1/x এর মান কত?
  1. ক
    ক) 1
  2. খ
    খ) -1
  3. গ
    গ) 0
  4. ঘ
    ঘ) 2
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: x + 1/x = 2 হলে, x - 1/x এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
x + 1/x = 2

আমরা জানি,
(x - 1/x)2 = (x + 1/x)2 - 4 . x . 1/x
= (2)2 - 4
= 4 - 4
= 0
∴ x - 1/x = 0
২৪৪.
x + (1/x) = 2 হলে, x6 + (1/x6) = কত?
  1. ক
    0
  2. খ
    1
  3. গ
    3
  4. ঘ
    2
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: x + (1/x) = 2 হলে, x6 + (1/x6) = কত?

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
x + (1/x) = 2
⇒ (x2 + 1)/x = 2
⇒ x2 + 1 = 2x
⇒ x2 - 2x + 1 = 0
⇒ (x - 1)2 = 0
⇒ x - 1 = 0 
∴ x = 1

এখন, 
x6 + (1/x6)
= (1)6 + {1/(1)6}
= 1 + (1/1)
= 1 + 1 
= 2
২৪৫.
m + (1/m) = r হলে, m3 + m-3 এর মান কত?
  1. ক
    r3 - 3r
  2. খ
    1/r3
  3. গ
    r3 + 1
  4. ঘ
    1 + r3
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: m + (1/m) = r হলে, m3 + m-3 এর মান কত?

সমাধান:
m3 + m-3
= m3 + (1/m3)
= {m + (1/m)}3 - 3 · m · (1/m) {m + (1/m)}
= {m + (1/m)}3 - 3 {m + (1/m)}
= r3 - 3r
২৪৬.
a + b = 6, ab = 4 হলে, a3 + b3 = কত?
  1. ক
    ক) 216
  2. খ
    খ) 144
  3. গ
    গ) 136
  4. ঘ
    ঘ) 120
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: a + b = 6, ab = 4 হলে,  a3 + b3 = কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে
a + b = 6
ab = 4

আমরা জানি
a3 + b3 = (a + b)3 - 3ab(a + b)
= 63 - 3 × 4 × 6
= 216 - 72
= 144
২৪৭.
2x + (2/x) = 3 হলে x2 + (1/x2) এর মান কত?
  1. ক
    1/4
  2. খ
    2/3
  3. গ
    1/3
  4. ঘ
    3
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 2x + (2/x) = 3 হলে x2 + (1/x2) এর মান কত?

সমাধান:
২৪৮.
x = 8 এবং y = 7 হলে, 9x2 - 30xy + 25y2 এর মান নির্ণয় করুন।
  1. ক
    141
  2. খ
    152
  3. গ
    185
  4. ঘ
    121
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: x = 8 এবং y = 7 হলে, 9x2 - 30xy + 25y2 এর মান নির্ণয় করুন।

সমাধান:
দেওয়া আছে,
x = 8 এবং y = 7 

প্রদত্ত রাশি = 9x2 - 30xy + 25y2
= (3x)2 - 2.3x.5y + (5y)2 
= (3x - 5y)2
= {(3 x 8) - (5 x 7)}2   [x ও y এর মান বসিয়ে]
= (24 - 35)2
= (- 11)2
= 121

২৪৯.
x2 + y2 = 8 এবং xy = 7 হলে, (x + y)2 এর মান কত?
  1. ক
    14
  2. খ
    16
  3. গ
    22
  4. ঘ
    30
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: x2 + y2 = 8 এবং xy = 7 হলে, (x + y)2 এর মান কত?

সমাধান:
 x2 + y2 = 8 
xy = 7

আমরা জানি
(x + y)2 = x2 + y2 + 2xy
= 8 + 2 × 7
= 8 + 14
= 22
২৫০.
2y/x থেকে কত বিয়োগ করলে x/y হবে?
  1. ক
    ক) 2x2 + y2
  2. খ
    খ) (x2 - y2)/xy
  3. গ
    গ) (2y2 - x2)/xy
  4. ঘ
    ঘ) (x2 - 2y2)/xy
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 2y/x থেকে কত বিয়োগ করলে x/y হবে?

সমাধান:
মনে করি,
2y/x থেকে P বিয়োগ করলে x/y হবে।

প্রশ্নমতে,
(2y/x) - P = (x/y) 
⇒ (2y/x) - (x/y) = P
⇒ P = (2y/x) - (x/y)
∴ P = (2y2 - x2)/xy

∴ 2y/x থেকে (2y2 - x2)/xy বিয়োগ করলে x/y হবে।
২৫১.
যদি x + 1/x = 2 হয়, তাহলে x6 - 1/x6 এর মান কত? 
  1. ক
    0
  2. খ
    1
  3. গ
    - 1
  4. ঘ
    2
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: যদি x + 1/x = 2 হয়, তাহলে x6 - 1/x6 এর মান কত? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
x + 1/x = 2
বা, (x2 + 1)/x = 2 
বা, x2 + 1 = 2x 
বা, x2 - 2. x . 1 + 12 = 0
বা, (x - 1)2 = 0
বা, x - 1 = 0
∴ x = 1

এখন, 
x6 - 1/x6
= (1)6 - {1/(1)6}
= 1 - 1/1
= 1 - 1
= 0

২৫২.
a + b = 8 এবং a2 + b2 = 34 হলে, ab এর মান কত?
  1. ক
    10
  2. খ
    12
  3. গ
    15
  4. ঘ
    18
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: a + b = 8 এবং a2 + b2 = 34 হলে, ab এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
a + b = 8
এবং a2 + b2 = 34

এখন,
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
⇒ 82 = 34 + 2ab
⇒ 64 = 34 + 2ab
⇒ 2ab = 64 - 34
⇒ 2ab = 30
∴ ab = 15
২৫৩.
x + y = 12 এবং xy = 35 হলে, x - y এর মান কত ?
  1. ক
    2
  2. খ
    3
  3. গ
    4
  4. ঘ
    6
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: x + y = 12 এবং xy = 35 হলে, x - y এর মান কত ?

সমাধান: 
x + y = 12 
xy = 35

আমরা জানি 
4xy = (x + y)2 - (x - y)2
⇒ (x - y)2 = 122 - 4xy
⇒ (x - y)2 = 144 - 4 × 35
⇒ (x - y)2 = 144 - 140
⇒ (x - y)2 = 4
∴ x - y = 2
২৫৪.
যদি a + b + c = 5 এবং a2 + b2 + c2 = 9 হয়, তবে ab + bc + ca = কত? 
  1. ক
    4
  2. খ
    8
  3. গ
    12
  4. ঘ
    16
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: যদি a + b + c = 5 এবং a2 + b2 + c2 = 9 হয়, তবে ab + bc + ca = কত? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
a + b + c = 5
এবং 
a2 + b2 + c2 = 9 

আমরা জানি, 
(a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2(ab + bc + ca) 
বা, 2(ab + bc + ca) = (a + b + c)2 - (a2 + b2 + c2) 
বা, 2(ab + bc + ca) = {(5)2 - 9}
বা, 2(ab + bc + ca) = (25 - 9)
বা, 2(ab + bc + ca) = 16
বা, (ab + bc + ca) = 16/2
∴ (ab + bc + ca) = 8

২৫৫.
যদি a + b = 9 এবং a2 + b2 = 41 হয়, তবে a3 + b3 এর মান কত?
  1. ক
    189
  2. খ
    343
  3. গ
    690
  4. ঘ
    232
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: যদি a + b = 9 এবং a2 + b2 = 41 হয়, তবে a3 + b3 এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
a2 + b2 = 41 এবং a + b = 9

আমরা জানি,
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
⇒ (9)2 = 41 + 2ab
⇒ 81 = 41 + 2ab
⇒ 2ab = 81 - 41
⇒ 2ab = 40
⇒ ab = 40/2
⇒ ab = 20

এখন,
a3 + b3 = (a + b)3 - 3ab(a + b)
= (9)3 - (3 × 20 × 9)
= 729 - 540
= 189

২৫৬.
যদি (x + y) = 7 এবং xy = 10 হয়, তবে (x - y) এর মান কত?
  1. ক
    4
  2. খ
    7
  3. গ
    3
  4. ঘ
    5
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: যদি (x + y) = 7 এবং xy = 10 হয়, তবে (x - y) এর মান কত?

সমাধান:
দেয়া আছে,
(x + y) = 7 এবং xy = 10

আমরা জানি,
(x - y)2 = (x + y)2 - 4xy
⇒ (x - y)2 = 72 - (4 × 10)
⇒ (x - y)2 = 49 - 40
⇒ (x - y)2 = 9
⇒ x - y = √9
∴ x - y = 3

২৫৭.
a + b = √7 a - b= √5 হলে 8ab(a2 + b2) এর মান কত?
  1. ক
    ক) 36
  2. খ
    খ) 24
  3. গ
    গ) 32
  4. ঘ
    ঘ) 28
ব্যাখ্যা
দেওয়া আছে
a + b = √7,   
a - b  = √5

এখন,
8ab(a²+b²) = 4ab. 2(a²+b²)
                  = {(a+b)² - (a - b)² }.{(a+b)² + (a - b)² }
                  = {(√7)² - (√5)²}.{(√7)² + (√5)²}
                  = (7 - 5) .( 7 + 5)
                  = 24
২৫৮.
xy + yz + zx = 6 এবং x2 + y2 + z2 = 14 হলে, x + y + z = কত?
  1. ক
    2√6
  2. খ
    √26
  3. গ
    √18
  4. ঘ
    3√2
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: xy + yz + zx = 6 এবং x2 + y2 + z2 = 14 হলে, x + y + z = কত?

সমাধান:
(x + y + z)2 = x2 + y2 + z2 + 2(xy + yz + zx)
= x2 + y2 + z2 + 2(6)
= 14 + (2 × 6)
= 14 + 12
= 26
∴ x + y + z = √26
২৫৯.
যদি x3 - y3 = 189 এবং x - y = 3 হয়, তবে xy এর মান কত?
  1. ক
    12
  2. খ
    15
  3. গ
    18
  4. ঘ
    16
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: যদি x3 - y3 = 189 এবং x - y = 3 হয়, তবে xy এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
x3 - y3 = 189
বা, (x - y)3 + 3xy(x - y) = 189
বা, 33 + 3xy · 3 = 189
বা, 27 + 9xy = 189
বা, 9xy = 162
∴ xy = 18
২৬০.
x2 - 2x + 1 = 0 হলে x2 - 1/x2 এর মান-
  1. ক
    0
  2. খ
    4
  3. গ
    √21
  4. ঘ
    25
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: x2 - 2x + 1 = 0 হলে x2 - 1/x2 এর মান-

সমাধান:
দেওয়া আছে,
x2 - 2x + 1 = 0
⇒ x2 + 1 = 2x
⇒ x + 1/x = 2

এখন,
(x - 1/x)2 = {x + (1/x)}2 - 4.x.(1/x)
= (2)2 - 4
= 4 - 4
= 0
∴ ‍x - 1/x = 0

প্রদত্ত রাশি,
x2 - 1/x2 = (x + 1/x)(x - 1/x)
= 2 × 0
= 0

২৬১.
x + y = 5; xy = 4 হলে, x5 + y5 এর মান কত?
  1. ক
    1200
  2. খ
    890
  3. গ
    560
  4. ঘ
    1025
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: x + y = 5; xy = 4 হলে,  x5 + y5 এর মান কত?

সমাধান:

x + y = 5
⇒ (x + y)2 = 52
⇒ (x - y)2 + 4xy = 25
⇒ (x - y)2 + 4.4=25
⇒ (x - y)2 = 25 - 16
⇒ (x - y)2= 9
⇒ (x - y) = √9
∴ (x - y) = 3

এখন,
x + y = 5 ................ (1)
x - y = 3 ....................... (2)

(1) ও (2) নং সমীকরণ যোগ করে পাই,
x + y + x - y = 5 + 3
⇒ 2x = 8
⇒ x = 8/2
∴ x = 4
x এর মান (1) সমীকরণে বসিয়ে পাই,
4 + y = 5
⇒ y = 5 - 4
∴ y = 1

এখন,
x5 + y5
= (4)5 + (1)5
= 1024 +1
 = 1025

২৬২.
3x + 3/x​ = 6 হলে, x3 + 1/x3 এর মান কত?
  1. ক
    2
  2. খ
    3
  3. গ
    4
  4. ঘ
    5
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 3x + 3/x​ = 6 হলে, x3 + 1/x3 এর মান কত?

সমাধান:
প্রদত্ত রাশি,
3x + 3/x​ = 6
⇒ 3(x + 1/x) = 6
⇒ x + 1/x = 2
⇒ (x + 1/x)3 = 23 [উভয় পক্ষকে ঘন করে]
⇒ x3 + 1/x3​ + 3 × (x + 1/x) = 8
⇒ x3 + 1/x3 + 3 × 2 = 8 [প্রাপ্ত (x + 1/x) = 2]
⇒ x3 + 1/x3 + 6 = 8
⇒ x3 + 1/x3 = 8 - 6
∴ x3 + 1/x3 = 2

২৬৩.
যদি x2 - x - 12 এবং x2 - 16 এর গ.সা.গু x - a হয়, তাহলে a এর মান কত?
  1. ক
    2
  2. খ
    4
  3. গ
    6
  4. ঘ
    3
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: যদি x2 - x - 12 এবং x2 - 16 এর গ.সা.গু x - a হয়, তাহলে a এর মান কত?

সমাধান: 
১ম রাশি, 
x2 - x - 12
= x2 - 4x + 3x - 12
= x(x - 4) + 3(x - 4)
= (x - 4)(x + 3)

এবং
২য় রাশি,
x2 - 16
= x2 - 42
= (x + 4)(x - 4)

∴ গ.সা.গু = x - 4

প্রশ্নমতে, 
x - a = x - 4
∴ a = 4

২৬৪.
যদি x2 - √7x + 1 = 0 হয়, তবে  {5x + (5/x)} =?
  1. ক
    3√7
  2. খ
    √7
  3. গ
    5√7
  4. ঘ
    7
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: যদি x2 - √7x + 1 = 0 হয়, তবে  {5x + (5/x)} =? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
x2 - √7x + 1 = 0
⇒ x2 + 1 = √7x
⇒ (x2/x) + (1/x) = √7x/x ; [x দ্বারা ভাগ করে]
⇒ 5{x + (1/x)} = 5√7
∴ 5x + (5/x)} = 5√7

২৬৫.
x - y = 1, xy = 56 হলে, x + y = কত ?
  1. ক
    ক) 16
  2. খ
    খ) 15
  3. গ
    গ) 225
  4. ঘ
    ঘ) 221
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: x - y = 1, xy = 56 হলে, x + y = কত ?

সমাধান: 
x - y = 1
xy = 56

(x + y)2= (x - y)2 + 4xy 
(x + y)2= 12 + 4 × 56
(x + y)2 = 1 + 224
(x + y)2 = 225
(x + y)2  = 152
x + y = 15
২৬৬.
  1. ক
    ক) 1
  2. খ
    খ) m - 1
  3. গ
    গ) -1
  4. ঘ
    ঘ) m +1
ব্যাখ্যা

= m - [m - {m - (-1)}]
= m - [m - {m + 1}]
= m - [m - m - 1]
= m - [-1]
= m + 1

২৬৭.
x2 = 5 + 2√6 হলে, x এর মান কত?
  1. ক
    ক) √3 + √2 
  2. খ
    খ) √3 - √2 
  3. গ
    গ) √6 - √3 
  4. ঘ
    ঘ) √5 + √3 
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: x2 = 5 + 2√6 হলে, x এর মান কত? 

সমাধান: 
x2 = 5 + 2√6
⇒ x2 = 3 + 2√(3 × 2) + 2
⇒ x2 = (√3)2 + 2.√3.√2 + (√2)2
⇒ x2 = (√3 + √2)2 
∴ x = √3 + √2
২৬৮.
যদি x2 + 1/x2 = 47 হয়, তাহলে x + 1/x = কত?
  1. ক
    5
  2. খ
    6
  3. গ
    7
  4. ঘ
    8
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: যদি x2 + 1/x2 = 47 হয়, তাহলে x + 1/x = কত?

সমাধান:
x2 + 1/x2 = 47
⇒ (x + 1/x)2 - 2.x.(1/x) = 47
⇒ (x + 1/x)2 = 49
∴ (x +1/x) = ± 7
২৬৯.
  1. ক
    18√5
  2. খ
    30√3
  3. গ
    36√5
  4. ঘ
    46√5
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন:

সমাধান:

২৭০.
a + (1/a) = 4 হলে a2 + (1/a2) এর মান কত?
  1. ক
    14
  2. খ
    16
  3. গ
    12
  4. ঘ
    18
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: a + (1/a) = 4 হলে a2 + (1/a2) এর মান কত? 

সমাধান: 
আমরা জানি, 
a2 + (1/a2) = {a + (1/a)}2 - 2. a. (1/a) 
= (4)2 - 2
= 16 - 2
= 14
২৭১.
x - y = 5 এবং xy = 24 হলে, x2 + y2 এর মান কত?
  1. ক
    61
  2. খ
    69
  3. গ
    73
  4. ঘ
    81
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: x - y = 5 এবং xy = 24 হলে, x2 + y2 এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
x - y = 5
এবং xy = 24

প্রদত্ত রাশি, x2 + y2
= (x - y)2 + 2xy
= 52 + 2 · 24
= 25 + 48 
= 73
২৭২.
x + y = 5 এবং x - y = 3 হলে, xy এর মান কত?
  1. ক
    1
  2. খ
    4
  3. গ
    2
  4. ঘ
    3
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: x + y = 5 এবং x - y = 3 হলে, xy এর মান কত?

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
x + y = 5 এবং x - y = 3

আমরা জানি, 
xy = {(x + y)/2}2 - {(x - y)/2}2
= (5/2)2 - (3/2)2
= (25/4) - (9/4)
= (25 - 9)/4
= 16/4
∴ xy = 4

২৭৩.
যদি (x - 4) (a + x) = x2 - 16 হয়, তবে a-1 এর মান কত?
  1. ক
    ক) 4
  2. খ
    খ) 3
  3. গ
    গ) 1/4
  4. ঘ
    ঘ) 1/3
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: যদি (x - 4) (a + x) = x2 - 16 হয়, তবে a-1 এর মান কত?

সমাধান:
 (x - 4) (a + x) = x2 - 16
⇒ ax - 4a + x2 - 4x = x2 - 16
⇒ ax - 4a - 4x + 16 = 0
⇒ a (x - 4) - 4 (x - 4) = 0
⇒ (x - 4) (a - 4) = 0
∴ (x - 4) = 0,             
⇒ x = 4

a - 4 = 0
⇒ a = 4
⇒ a -1 = 1/4
২৭৪.
যদি a - b = 7 এবং ab = 60 হয়, তবে a2 + b2 এর মান কত?
  1. ক
    171
  2. খ
    96
  3. গ
    169
  4. ঘ
    123
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: যদি a - b = 7 এবং ab = 60 হয়, তবে a2 + b2 এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে, 
a - b = 7 এবং ab = 60

আমরা জানি, 
a2 + b2 = (a - b)2 + 2ab
= (7)2 + 2 × 60
= 49 + 120
 = 169

২৭৫.
a - (1/a) = 8 হলে, (a4 + 1)/a2 এর মান কত?
  1. ক
    54
  2. খ
    60
  3. গ
    66
  4. ঘ
    68
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: a - (1/a) = 8 হলে, (a4 + 1)/a2 এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
a - (1/a) = 8

প্রদত্ত রাশি = (a4 + 1)/a2
= {(a4)/(a2)} + (1/a2)
= a2 + (1/a2)
= {a - (1/a)}2 + 2 . a . (1/a)
= (8)2 + 2
= 64 + 2
= 66
২৭৬.
x2 - y2, (x + y)2, x3 + y3 এর ল.সা.গু কত?
  1. ক
    x - y
  2. খ
    x + y
  3. গ
    (x2 - y2)(x3 - y3)
  4. ঘ
    (x + y)2(x - y)(x2 - xy + y2)
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: x2 - y2, (x + y)2, x3 + y3 এর ল.সা.গু কত?

সমাধান:
১ম রাশি = x2 - y2
= (x + y)(x - y)

২য় রাশি =(x + y)2
=(x + y)(x + y)

৩য় রাশি = x3 + y3
= (x + y)(x2 - xy + y2)
               
নির্ণেয় ল.সা.গু = (x + y)(x + y)(x - y)(x2 - xy + y2)
= (x + y)2(x - y)(x2 - xy + y2)
২৭৭.
b এর মান কত হলে 9x2 + bx + 25 একটি পূর্ণবর্গ হবে?
  1. ক
    18
  2. খ
    30
  3. গ
    25
  4. ঘ
    16
  5. ঙ
    12
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: b এর মান কত হলে 9x2 + bx + 25 একটি পূর্ণবর্গ হবে?


সমাধান:
কোনো রাশি পূর্ণবর্গ হবে যদি, b2 - 4ac = 0 হয়।
∴ b2 - 4ac = 0
⇒ (b)2 - (4 × 9 × 25) = 0
⇒ b2 - 900 = 0
⇒ b2 = 900
⇒ b = √900 = 30
∴ b = 30

২৭৮.
2(a2 + b2) = কত?
  1. ক
    (a + b)2 - (a - b)2
  2. খ
    (a - b)2 - (a + b)2
  3. গ
    (a + b)2 + (a - b)2
  4. ঘ
    (a + b)2 - 4ab
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 2(a2 + b2) = কত? 

সমাধান: 
আমরা জানি, 
a2 + b2 = (a + b)2 - 2ab 
বা, a2 + b2 = (a - b)2 + 2ab 
বা, a2 + b2 = {(a + b)2 + (a - b)2}/2
বা, 2(a2 + b2) = (a + b)2 + (a - b)2
∴ 2(a2 + b2) = (a + b)2 + (a - b)2
২৭৯.
a + b = √7, a - b = √5 হলে, ab = ?
  1. ক
    1/4
  2. খ
    1/2
  3. গ
    1/5
  4. ঘ
    1/7
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: a + b = √7, a - b = √5 হলে, ab = ?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
a + b = √7
a - b = √5

আমরা জানি,
ab = {(a + b)/2}2 - {(a - b)/2}2
= {(√7)/2}2 - {(√5)/2}2
= 7/4 - 5/4
= (7 - 5)/4
= 2/4
= 1/2
২৮০.
a + (2/a) = 3 হলে, a3 + (8/a3) এর মান কত?
  1. ক
    9
  2. খ
    6
  3. গ
    12
  4. ঘ
    16
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: a + (2/a) = 3 হলে, a3 + (8/a3) এর মান কত?

সমাধান:
a3 + (8/a3) = {a + (2/a)}3 - 3 ⋅ a ⋅ (2/a){a + (2/a)}
= 33 - 3 ⋅ 2 ⋅ 3
= 27 - 18
= 9
২৮১.
3x2 + 3 = 6x হলে x5 - 1/x4 এর মান কত?
  1. ক
    0
  2. খ
    1
  3. গ
    -1
  4. ঘ
    2
ব্যাখ্যা

3x2 + 3 = 6x
বা, x2 + 1 = 2x
বা, x2 - 2x + 1 = 0
বা, (x - 1)2 = 0
বা, x - 1 = 0
বা, x = 1

x5 - 1/x4
= 15 - 1/14
= 1 - 1
= 0

২৮২.
x = 1 + √2 হলে x3 এর মান কত?
  1. ক
    ক) 5 + 2√2
  2. খ
    খ) 4 + 3√2
  3. গ
    গ) 6 + 3√2
  4. ঘ
    ঘ) 7 + 5√2
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: x = 1 + √2 হলে x3 এর মান কত?

সমাধান: 
দেয়া আছে,
x = 1 + √2

x3 = (1 + √2)3
    = 13 + 3.12.√2 + 3.1(√2)2 + (√2)3
    =1 + 3√2 + 6 + 2√2
    = 7 + 5√2
২৮৩.
a - 2 = √5 হলে, a2 + (1/a2) এর মান কত?
  1. ক
    16
  2. খ
    18
  3. গ
    20
  4. ঘ
    22
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: a - 2 = √5 হলে, a2 + (1/a2) এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
a - 2 = √5
⇒ a = 2 + √5
⇒ 1/a = 1/(√5 + 2)
⇒ 1/a = (√5 - 2)/(√5 + 2)(√5 - 2)
⇒ 1/a = √5 - 2
∴ a + (1/a) = 2 + √5 + √5 - 2
= 2√5

প্রদত্ত রাশি = a2 + (1/a2)
= {a + (1/a)}2 - 2 · a · (1/a)
= (2√5)2 - 2
= 20 - 2
= 18
২৮৪.
x = √3 + x- 1 হলে x3 - x- 3 এর মান কত?
  1. ক
    0
  2. খ
    √3
  3. গ
    3√3
  4. ঘ
    6√3
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: x = √3 + x- 1 হলে x3 - x- 3 এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
x = √3 + x- 1
⇒ x = √3 + (1/x)
⇒ x - (1/x) = √3 

এখন, x3 - x- 3
= x3 - (1/x3)
= {x - (1/x)}3 + 3.x.(1/x){x - (1/x)} 
= (√3)3 + 3√3
= 3√3 + 3√3
= 6√3
২৮৫.
a + b + c = 6 এবং a2 + b2 + c2 = 14 হলে, ab + bc + ca এর মান কত?
  1. ক
    11
  2. খ
    13
  3. গ
    16
  4. ঘ
    20
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: a + b + c = 6 এবং a2 + b2 + c2 = 14 হলে, ab + bc + ca এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
a + b + c = 6
এবং a2 + b2 + c2 = 14

আমরা জানি,
(a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2(ab + bc + ca)
⇒ 62 = 14 + 2(ab + bc + ca)
⇒ 36 = 14 + 2(ab + bc + ca)
⇒ 36 - 14 = 2(ab + bc + ca)
⇒ 22 = 2(ab + bc + ca)
∴ ab + bc + ca = 11
২৮৬.
a + b = 17, এবং ‍ab = 60 হলে, (a - b)2 এর মান কত?
  1. ক
    ক) 49
  2. খ
    খ) 64
  3. গ
    গ) 36
  4. ঘ
    ঘ) 125
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: a + b = 17, এবং ‍ab = 60 হলে, (a - b)2 এর মান কত?

সমাধান: 
a + b = 17
ab = 60

(a - b)2 = (a + b)2 - 4ab
            = 172  - 4 × 60
            = 289 - 240
            = 49
২৮৭.
x2 + y2 এর সাথে কত যোগ করলে (x + y)2 হবে?
  1. ক
    ক) xy
  2. খ
    খ) 2xy
  3. গ
    গ) - xy
  4. ঘ
    ঘ) 4xy
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: x2 + y2 এর সাথে কত যোগ করলে (x + y)2 হবে?

সমাধান:
আমরা জানি
(x + y)2  = x2 + y2 + 2xy

x2 + y2 এর সাথে 2xy যোগ করলে (x + y)2 হবে।
২৮৮.
4ab এর সঠিক প্রয়োগ কোনটি?
  1. ক
    ক) (a + b)2 - (a - b)2 
  2. খ
    খ) (a - b)2 - (a + b)2 
  3. গ
    গ) (a + b)2/2 + (a - b)2/2
  4. ঘ
    ঘ) (a + b/2)2 - (a - b/2)2
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 4ab এর সঠিক প্রয়োগ কোনটি?

সমাধান:
4ab = (a + b)2 - (a - b)2
২৮৯.
5/7 এর লব ও হর কোন একই সংখ্যা বিয়োগ করলে বিয়োগফল 5/3 হবে?
  1. ক
    ক) 8
  2. খ
    খ) 10
  3. গ
    গ) 12
  4. ঘ
    ঘ) 14
ব্যাখ্যা

ধরি,
a বিয়োগ হবে।
∴ (5 - a)/(7 - a) = 5/3
বা, 15 - 3a = 35 - 5a
বা, -3a + 5a = 35 - 15
বা, 2a = 20
∴ a = 10

২৯০.
x2 - 3x + 1 = 0 হলে, x2 + 1/x2 এর মান কত? 
  1. ক
    11
  2. খ
    7
  3. গ
    13
  4. ঘ
    27
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: x2 - 3x + 1 = 0 হলে, x2 + 1/x2 এর মান কত?

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
x2 - 3x + 1 = 0
বা, x2 + 1 = 3x
বা, x2/x + 1/x = 3x/x
∴ x + 1/x = 3

আমরা জানি, 
x2 + 1/x2 = (x + 1/x)2 - 2.x.1/x
= (3)2 - 2
= 9 - 2
= 7

২৯১.
x2 + y2 = 8 এবং xy = 7 হলে (x + y)2 এর মান কত?
  1. ক
    ক) 14
  2. খ
    খ) 16
  3. গ
    গ) 22
  4. ঘ
    ঘ) 24
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: x2 + y2 = 8 এবং xy = 7 হলে (x + y)2 এর মান কত?

সমাধান: 
আমরা জানি, 
(x + y)2 = x2 + y2 + 2xy 
= (x2 + y2) + 2xy 
= 8 + (2 × 7) 
= 8 + 14 
= 22 

∴ (x + y)2 = 22 
২৯২.
যদি x4 - x2 + 1 = 0 হয় তাহলে x + (1/x) = ?
  1. ক
    0
  2. খ
    1
  3. গ
    √3
  4. ঘ
    √2
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: যদি x4 - x2 + 1 = 0 হয় তাহলে x + (1/x) = ?

সমাধান: 
দেওয়া আছে,
x4 - x2 + 1 = 0
⇒ x4 + 1 = x2
⇒ (x4/x2) + (1/x2)= 1
⇒ x2 + (1/x)2 = 1
⇒ {x + (1/x)}2 - 2.(x).(1/x) = 1
⇒ {x + (1/x)}2 - 2 = 1
⇒ {x + (1/x)}2 = 1 + 2
⇒ {x + (1/x)}2 = 3
⇒ √{x + (1/x)}2  = √3
⇒ x + (1/x) = √3
২৯৩.
(a/b) + (b/a) = 6 হলে (a2/b2) + (b2/a2) এর মান কত?
  1. ক
    ক) 32
  2. খ
    খ) 36
  3. গ
    গ) 34
  4. ঘ
    ঘ) 30
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: (a/b) + (b/a) = 6 হলে (a2/b2) + (b2/a2) এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
(a/b) + (b/a) = 6
⇒ (a2 + b2)/ab = 6
⇒ a2 + b2 = 6ab
⇒ (a2 + b2)2 = (6ab)2 [বর্গ করে]
∴ (a2 + b2)2 = 36a2b2

এখন,
(a2/b2) + (b2/a2)
= (a2)2 + (b2)2/a2b2
= {(a2 + b2)2 - 2a2b2}/a2b2
= (36a2b2 - 2a2b2)/a2b2
= 34a2b2/a2b2
= 34
২৯৪.
যদি
  1. ক
    y + (1/y)
  2. খ
    y2 - (1/y)
  3. গ
    y - (1/y)
  4. ঘ
    2√y
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: যদি

সমাধান:

২৯৫.
x + (1/x) = √7 হলে, x3 + (1/x3) এর মান কত?
  1. ক
    2√7
  2. খ
    4√7
  3. গ
    28
  4. ঘ
    5√7
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: x + (1/x) = √7 হলে, x3 + (1/x3) এর মান কত?

সমাধান:
এখানে, x + (1/x) = √7

আমরা জানি,
x3 + (1/x3) = (x + 1/x)3 - 3 . x . (1/x)(x + 1/x)
= (x + 1/x)3 - 3(x + 1/x)
= (√7)3 - 3 × √7
= 7√7 - 3√7
= 4√7

২৯৬.
a এর মান কত হলে, a - {a - (a + 1)} = 0 হবে?
  1. ক
    0
  2. খ
    - 1
  3. গ
    3
  4. ঘ
    - 2
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: a এর মান কত হলে, a - {a - (a + 1)} = 0 হবে?

সমাধান:
a - {a - (a + 1)} = 0
⇒ a - {a - a - 1} = 0
⇒ a + 1 = 0
∴ a = - 1

অর্থাৎ a = - 1 হলে a - {a - (a + 1)} = 0 হবে।
২৯৭.
(x2 + 3x3)/(x + 3x2) এর লঘিষ্ঠ রূপ নিচের কোনটি?
  1. ক
    x2
  2. খ
    x
  3. গ
    1
  4. ঘ
    x - 1
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: (x2 + 3x3)/(x + 3x2) এর লঘিষ্ঠ রূপ নিচের কোনটি?

সমাধান:
(x2 + 3x3)/(x + 3x2)
= x(x + 3x2)/(x + 3x2)
= x
২৯৮.
x = 3 + √8 হলে, x2 + (1/x2) এর মান কত?
  1. ক
    30
  2. খ
    34
  3. গ
    36√3
  4. ঘ
    36
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: x = 3 + √8 হলে, x2 + (1/x2) এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে, x = 3 + √8
∴ 1/x = 1/(3 + √8)
= (3 - √8)/{(3 + √8)(3 - √8)}
= (3 - √8)/(9 - 8)
= 3 - √8

এখন,
x + 1/x = (3 + √8) + (3 - √8) = 6

আমরা জানি,
x2 + (1/x2) = (x + 1/x)2 - 2 . x . (1/x)
= 62 - 2
= 36 - 2
= 34

২৯৯.
a2+b2+c2 = ab+bc+ca হয়। তবে a3+b3+c3 = কত?
  1. ক
    a2b2+b2c2+c2a2
  2. খ
    3a2b2c2
  3. গ
    Abc
  4. ঘ
    3abc
ব্যাখ্যা
a3+b3+c3 = a3+b3+c3 - 3abc + 3abc
= (a+b+c) (a2+b2+c2-ab-bc-ca) + 3abc
= (a+b+c) × 0 + 3abc
= 3abc.
৩০০.
x + y + z = 6 এবং x2 + y2 + z2 = 14 হলে, (x - y)2 + (y - z)2 + (z - x)2 এর মান কত?
  1. ক
    4
  2. খ
    5
  3. গ
    6
  4. ঘ
    7
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: x + y + z = 6 এবং x2 + y2 + z2 = 14 হলে, (x - y)2 + (y - z)2 + (z - x)2 এর মান কত?

সমাধান:
(x - y)2 + (y - z)2 + (z - x)2
= x² - 2xy + y² + y² - 2yz + z² + z² - 2zx + x² [∵ (a - b)² = a² - 2ab + b²]
= 2x² + 2y² + 2z² - 2xy - 2yz - 2zx
= 2(x² + y² + z²) - 2(xy + yz + zx)
= 2 ⋅ 14 - 2(xy + yz + zx)
= 28 - {(x + y + z)² - (x² + y² + z²)} [∵ 2(ab + bc + ca) = (a + b + c)² - (a² + b² + c²)]
= 28 - (6² - 14)
= 28 - (36 - 14)
= 28 - 22
= 6