লগ ইননিবন্ধন
বিষয়সমূহ

PrepBank · বিষয়ভিত্তিক প্রশ্ন

বীজগাণিতিক সূত্রাবলি ও এর প্রয়োগ

মোট প্রশ্ন৩,৪০১এই পাতা১০০প্রতি পাতা১০০
প্রশ্ন দেখুনঅনুশীলন
ঘনত্ব
উত্তর
উত্তরিতবর্তমানপুনরায় দেখুনঅসম্পূর্ণ

বীজগাণিতিক সূত্রাবলি ও এর প্রয়োগ

PrepBank · পাতা ১৮ / ৩৪ · ১,৭০১–১,৮০০ / ৩,৪০১

১,৭০১.
x + y = 12, x - y = 2 হলে, xy এর মান কত?
  1. ক
    ক) 25
  2. খ
    খ) 25
  3. গ
    গ) 30
  4. ঘ
    ঘ) 35
ব্যাখ্যা

x + y + x - y = 12 + 2
বা, 2x = 14
বা, x = 7
∴ y = 5
∴ xy = 35

সমাধানের বিকল্প পদ্ধতিঃ
4xy = ( x + y)2 – (x – y)2 [সূত্র]
বা, xy = {(12)2 – (2)2}/4
বা, xy = 140/4
∴ xy = 35

১,৭০২.
a + b = 7 এবং ab = 12 হলে a - b = কত?
  1. ক
    3
  2. খ
    22
  3. গ
    1
  4. ঘ
    4
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: a + b = 7 এবং ab = 12  হলে a - b = কত?

সমাধান:
a + b = 7 
ab = 12

আমরা জানি
(a - b)2 = (a + b)2 - 4ab
বা, (a - b)2 = 72 - 4× 12
বা, (a - b)2 = 49 - 48
বা, (a - b)2 = 1
a - b = 1
১,৭০৩.
p + (1/p) = √3 + √2 হলে, p2 + (1/p2) এর মান কত?
  1. ক
    2 + 2√6
  2. খ
    5 + 2√6
  3. গ
    3 + 2√6
  4. ঘ
    7 - 2√3
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: p + (1/p) = √3 + √2 হলে, p2 + (1/p2) এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
p + (1/p) = √3 + √2

এখন,
p2 + (1/p2) = {p + (1/p)}2 - 2 · p · (1/p)
= (√3 + √2)2 - 2
= (√3)2 + 2 · √3 · √2 + (√2)2 - 2
= 3 + 2 · √3 · √2 + 2 - 2
= 3 + 2√6

১,৭০৪.
a + b = 9 এবং a2 + b2 = 41 হলে, 4ab এর মান কত
  1. ক
    80
  2. খ
    50
  3. গ
    100
  4. ঘ
    120
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: a + b = 9 এবং a2 + b2 = 41 হলে, 4ab এর মান কত? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
a + b = 9 
a2 + b2 = 41 

আমরা জানি, 
(a + b)2 = a2 + b2 + 2ab 
বা, (9)2 = 41 + 2ab 
বা, 81 - 41 = 2ab 
বা, 2ab = 40
∴ 4ab = 80
১,৭০৫.
যদি x - y = 12 এবং xy = 28 হয়, তাহলে x + y = কত?
  1. ক
    16
  2. খ
    18
  3. গ
    17
  4. ঘ
    20
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: যদি x - y = 12 এবং xy = 28 হয়, তাহলে x + y = কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে
x - y = 12
xy = 28

এখন
(x + y)2 = (x - y)2 + 4xy
= 122 + 4 × 28
= 144 + 112
= 256

∴ x + y = √256 = 16
১,৭০৬.
a + b = 13 এবং a - b = 3 হলে, a2 + b2 এর মান কত?
  1. ক
    ক) 69
  2. খ
    খ) 89
  3. গ
    গ) 79
  4. ঘ
    ঘ) 97
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: a + b = 13 এবং a - b = 3 হলে, a2 + b2 এর মান কত?

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
 a + b = 13
এবং a - b = 3 

আমরা জানি, 
2(a2 + b2) = (a + b)2 + (a - b)2 
বা, 2(a2 + b2) = (13)2 + (3)2 
বা,  2(a2 + b2) = 169 + 9 
বা,  2(a2 + b2) = 178 
বা, (a2 + b2) = 178/2 

∴ a2 + b2 = 89 
১,৭০৭.
যদি a + b + c = 15 এবং a2 + b2 + c2 = 75 হয়, তাহলে ab + bc + ca এর মান কত?
  1. ক
    100
  2. খ
    75
  3. গ
    50
  4. ঘ
    35
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: যদি a + b + c = 15 এবং a2 + b2 + c2 = 75 হয়, তাহলে ab + bc + ca এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে, 
a + b + c = 15
a2 + b2 + c2 = 75

আমরা জানি,
(a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2(ab + bc + ca)
⇒ 2(ab + bc + ca) = (a + b + c)2 - (a2 + b2 + c2)
⇒ 2(ab + bc + ca) = (15)2 - 75
⇒ 2(ab + bc + ca) = 225 - 75
⇒ 2(ab + bc + ca) = 150
∴ ab + bc + ca = 75
১,৭০৮.
a = √3 + √2 হলে, a3 + 1/a3 = ?
  1. ক
    18√3
  2. খ
    5√3
  3. গ
    6√3
  4. ঘ
    12√3
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: a = √3 + √2 হলে a3 + 1/a3 = ?

সমাধান:
দেওয়া আছে
a = √3 + √2

এখন,
1/a = 1/(√3 + √2)
বা, 1/a = (√3 - √2)/(√3 + √2) (√3 - √2)
বা, 1/a = (√3 - √2)/(3 - 2)
∴ 1/a = √3 - √2

∴ a + 1/a = √3 + √2 + √3 - √2 = 2√3

a3 + 1/a3 = (a + 1/a)3 - 3 . a . 1/a . (a + 1/a)
= (a + 1/a)3 - 3 × 2√3
= (2√3)3 - 6√3
= 24√3 - 6√3
= 18√3
১,৭০৯.
  1. ক
    ক) 0.00014
  2. খ
    খ) 0.0014
  3. গ
    গ) 0.014
  4. ঘ
    ঘ) 0.14
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন:


সমাধান:
১,৭১০.
x + 1/x = √18 + √8 হলে, x - 1/x = ?
  1. ক
    √23
  2. খ
    √27
  3. গ
    √32
  4. ঘ
    √46
ব্যাখ্যা
x + 1/x = √18 + √8
আমরা জানি,
(x - 1/x)2 = (x + 1/x)2 - 4.x.1/x
বা, (x - 1/x)2 = (√18 + √8)2 - 4
বা,  (x - 1/x)2 = (√18)2 + 2.√18.√8 + (√8)2 - 4
বা, (x - 1/x)2 = 18 + 2.√144 + 8 - 4
বা,  (x - 1/x)2 = 18 + 24 + 4
∴ x - 1/x = √46
১,৭১১.
a2 = ৯, b2= ২৫ হলে (a + b) = ?
  1. ক
    ক) ১৭
  2. খ
    খ) ৩৫
  3. গ
    গ) ৮
  4. ঘ
    ঘ) ২২
ব্যাখ্যা

দেওয়া আছে,
a2 = ৯
⇒ a = √৭ = ৩
এবং b2 = ২৫
⇒ b = √২৫ = ৫ 
∴ a + b = ৩ + ৫ = ৮

১,৭১২.
x2 + 9y2 + 4x - 12y + 4 রাশিটির সাথে কোনটি যোগ করলে যোগফল পূর্ণ বর্গ হবে?
  1. ক
    ক) - 6xy
  2. খ
    খ) 3xy
  3. গ
    গ) - 9y
  4. ঘ
    ঘ) 9xy
ব্যাখ্যা

x2 + 9y2 + 4x - 12y + 4
= x2 + 9y2 + 4 + 4x - 12y
= x2 + (-3y)2 + 22 + 2.x.(-3y) + 2.(-3y).2 + 2.2.x + 6xy
= (x-3y+2)2 + 6xy
∴ - 6xy যোগ করতে হবে।

১,৭১৩.
  1. ক
    (x + 3)/(x - 1)
  2. খ
    (x - 1)/(x + 2)
  3. গ
    (x + 4)
  4. ঘ
    (x - 4)/(x - 1))
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন:

সমাধান:

১,৭১৪.
যদি p - 1/p = √5 হয়, তাহলে (p6 - 1)/p3 এর মান কত?
  1. ক
    2√5
  2. খ
    5√5
  3. গ
    8√5
  4. ঘ
    10
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: যদি p - 1/p = √5 হয়, তাহলে (p6 - 1)/p3 এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে, p - 1/p = √5
এখন,
(p6 - 1)/p3 
= (p6/p3) - (1/p3)
= p3 - (1/p3)
= {p - (1/p)}3 + 3 × p × (1/p){(p - (1/p)}
⇒ (√5)3 + 3 × √5
⇒ 5√5 + 3√5
∴ (p6 - 1)/p3 = 8√5

১,৭১৫.
ab = ?
  1. ক
    ক) {(a + b)2 - (a - b)2} ÷ 4 
  2. খ
    খ) {(a + b)2 + (a - b)2} ÷ 4 
  3. গ
    গ) {(a + b)2 + (a - b)2} ÷ 2
  4. ঘ
    ঘ) {(a + b)2 - (a - b)2} ÷ 2
ব্যাখ্যা
ab = {(a + b)2 - (a - b)2} ÷ 4
প্রমান: 
{(a + b)2 - (a - b)2} ÷ 4
= (a2 + 2ab + b2 - a2 + 2ab - b2) ÷ 4
= 4ab ÷ 4
= ab
১,৭১৬.
(x + p)6 এর পদ সংখ্যা কয়টি?
  1. ক
    8 টি
  2. খ
    7 টি
  3. গ
    6 টি
  4. ঘ
    4 টি
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: (x + p)6 এর পদ সংখ্যা কয়টি?
 
সমাধান:
আমরা জানি,
(a + x)n এর পদসংখ্যা = n + 1 টি
সুতরাং (x + p)6 এর পদসংখ্যা = 6 + 1 = 7 টি

১,৭১৭.
যদি x4 - x2 + 1 = 0 হয়, তবে, x2 + 1/x2 = কত?
  1. ক
    0
  2. খ
    √2
  3. গ
    √3
  4. ঘ
    1
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: যদি x4 - x2 + 1 = 0 হয়, তবে, x2 + 1/x2 = কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
x4 - x2 + 1 = 0
⇒ x4 + 1 = x2
⇒ (x4 + 1)/x2 = 1
∴ x2 + 1/x2 = 1
১,৭১৮.
x + y = 17 এবং xy = 60 হলে x - y = কত?
  1. ক
    ক) 7
  2. খ
    খ) 8
  3. গ
    গ) 9
  4. ঘ
    ঘ) 10
ব্যাখ্যা

দেওয়া আছে, x + y = 17 এবং xy = 60
আমরা জানি, (x - y)2 = (x + y)2 - 4xy = 172 - 4 × 60 = 49
∴ x - y = 7

১,৭১৯.
a - (1/a) = 5√3 হলে a2 + (1/a2) এর মান কত?
  1. ক
    60√3
  2. খ
    60
  3. গ
    77
  4. ঘ
    70√3
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: a - (1/a) = 5√3 হলে a2 + (1/a2) এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
a - (1/a) = 5√3
⇒ {a - (1/a)}2 = (5√3)2
⇒ a2 + (1/a)2 - 2.a.(1/a) = 25 × 3
⇒ a2 + (1/a)2 - 2 = 75
⇒ a2 + (1/a)2 = 75 + 2
∴ a2 + (1/a2) = 77

∴  সঠিক উত্তর: গ) 77

১,৭২০.
x - y = 2 এবং xy = 24 হলে, x2 - y2 এর মান কত?
  1. ক
    10
  2. খ
    20
  3. গ
    15
  4. ঘ
    25
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: x - y = 2 এবং xy = 24 হলে, x2 - y2 এর মান কত?

সমাধান:
x + y = √{(x - y)2 + 4xy}
= √{(2)2 + 4 × 24}
= √(4 + 96)
= √100
= 10

এখন,
x2 - y2
= (x + y)(x - y)
= 10 × 2
= 20
১,৭২১.
x + y = 2 এবং x2 + y2 = 4 হলে, x3 + y3 এর মান কত?
  1. ক
    ক) 2
  2. খ
    খ) 8
  3. গ
    গ) 6
  4. ঘ
    ঘ) 9
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: x + y = 2 এবং x2 + y2 = 4 হলে, x3 + y3 এর মান কত?

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
 x2 + y2 = 4
বা, (x + y)2 - 2xy = 4
বা, (2)2 - 2xy = 4
বা, 2xy = 0 
∴ xy = 0

এখন,
x3 + y3
= (x + y)3 - 3.x.y (x +y) 
= (2)3 - 3.0.2 
= 8 - 0 
= 8
১,৭২২.
x + y, x - y , x2 - y2 এর গ.সা.গু কত?
  1. ক
    ক) 0
  2. খ
    খ) 1
  3. গ
    গ) x2 - y2
  4. ঘ
    ঘ) x + y
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: x + y, x - y , x2 - y2 এর গ.সা.গু কত?

সমাধান:
১ম রাশি = x + y
২য় রাশি = x - y
৩য় রাশি = x2 - y2
= (x + y)(x - y)

নির্ণেয় গ.সা.গু = 1
১,৭২৩.
x = √3 + √2 হলে, x3 - (1/x3) এর মান কত?
  1. ক
    16√2
  2. খ
    22√3
  3. গ
    18√2
  4. ঘ
    22√2
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: x = √3 + √2 হলে, x3 - (1/x3) এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
x = √3 + √2
∴ 1/x = 1/(√3 + √2)
= (√3 - √2)/{(√3 + √2)(√3 - √2)}
= (√3 - √2)/{(√3)2 - (√2)2}
= (√3 - √2)/(3 - 2)
∴ 1/x = √3 - √2

∴ x - 1/x = √3 + √2 - √3 + √2
= 2√2

এখন,
x3 - 1/x3
= (x - 1/x)3 + 3.x.1/x (x - 1/x)
= (2√2)3 + (3 × 2√2)
= 16√2 + 6√2 = 22√2

১,৭২৪.
x - 1/x = 1 হলে (x + 1/x)^2 = কত?
  1. ক
    4
  2. খ
    5
  3. গ
    6
  4. ঘ
    7
ব্যাখ্যা

দেওয়া আছে, x - 1/x = 1
এখন, (x + 1/x)2
= (x - 1/x)2 + 4. x. 1/x
= 12 + 4
= 1 + 4
= 5

১,৭২৫.
p2 - (√5)p + 1 = 0 হয়, তবে p3 + (1/p3) এর মান কত?
  1. ক
    5
  2. খ
    0
  3. গ
    √5
  4. ঘ
    2√5
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: p2 - (√5)p + 1 = 0 হয়, তবে p3 + (1/p3) এর মান কত? 

সমাধান:
দেওয়া আছে,
p2 - (√5)p + 1 = 0
বা, p2 + 1 = (√5)p
বা, (p2 + 1)/p = √5
বা, (p2/p) + (1/p) = √5
∴ p + (1/p) = √5 

এখন,
p3 + (1/p3)
= p3 + (1/p)3
= {p+ (1/p)}3 - [3 ⋅ p ⋅ (1/p) ⋅ {p + (1/p)}]
= (√5)3 - (3 ⋅ 1 ⋅ √5)
= 5√5 - 3√5
= 2√5

∴ p3 + (1/p3) এর মান 2√5
১,৭২৬.
x2 - 2x, x2 - 4 এবং  x2 - 4x + 4 রাশিগুলোর গ.সা.গু কত হবে? 
  1. ক
    ক) x
  2. খ
    খ) x - 2
  3. গ
    গ) x + 2
  4. ঘ
    ঘ) 1
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: x2 - 2x, x2 - 4 এবং  x2 - 4x + 4 রাশিগুলোর গ.সা.গু কত হবে?  

সমাধান:
১ম রাশি = x2 - 2x
= x(x - 2) 

২য় রাশি = x2 - 4
= x2 - 22
= (x + 2)(x - 2)

৩য় রাশি = x2 - 4x + 4
= x2 - 2.x.2 + 22
= (x - 2)2 
= (x - 2)(x - 2) 

∴ নির্ণেয় গ.সা.গু (x - 2) 
১,৭২৭.
যদি x - y = 4 এবং xy = 5 হয়, তবে x3 - y3 + 8(x + y)2 এর মান কত?
  1. ক
    288 
  2. খ
    344
  3. গ
    412
  4. ঘ
    448
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: যদি x - y = 4 এবং xy = 5 হয়, তবে x3 - y3 + 8(x + y)2 এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
x - y = 4
এবং xy = 5

∴ x3 - y3 + 8(x + y)2
= (x - y)3 + 3xy(x - y) + 8{(x - y)2 + 4xy}
= (4)3 + (3 × 5 × 4) + 8{42 + (4 × 5)} [মান বসিয়ে]
= 64 + 60 + 8 × (16 + 20)
= 124 + (8 × 36)
= 124 + 288
= 412
১,৭২৮.
দুই অংক বিশিষ্ট একটি সংখ্যা, অংকদ্বয়ের স্থান বিনিময়ের ফলে 36 বৃদ্ধি পায়। অংক দুটির যোগফল 10 হলে, সংখ্যাটি কত?
  1. ক
    ক) 37
  2. খ
    খ) 28
  3. গ
    গ) 46
  4. ঘ
    ঘ) 19
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: দুই অংক বিশিষ্ট একটি সংখ্যা, অংকদ্বয়ের স্থান বিনিময়ের ফলে 36 বৃদ্ধি পায়। অংক দুটির যোগফল 10 হলে, সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
ধরি একক স্থানীয় অঙ্ক = x
এবং দশক স্থানীয় অঙ্ক = y
∴ সংখ্যাটি =10y + x
অঙ্কদ্বয় স্থান পরিবর্তন করলে নতুন সংখ্যাটি হয় =10x + y

প্রশ্নমতে,
10y + x + 36= 10x + y
⇒ 9x - 9y = 36
⇒ 9(x - y) = 36
∴ x - y = 4........(1)
এবং x + y = 10.......(2)
এখন, (1) ও (2) যোগ করে,
2x = 14
⇒ x = 7

x - y = 4
⇒ 7 - y = 4
∴ y = 3

∴ সংখ্যাটি = 10 × 3 + 7
= 37
১,৭২৯.
x - 1/x = 3 হলে, x3 - 1/x3 = কত?
  1. ক
    ক) 27
  2. খ
    খ) 32
  3. গ
    গ) 34
  4. ঘ
    ঘ) 36
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: x - 1/x = 3 হলে, x3 - 1/x3 = কত?

সমাধান: 
দেয়া আছে,
 x - 1/x = 3

প্রদত্ত রাশি =  x3 - 1/x3 
                 = (x - 1/x)3 + 3. x. (1/x)(x - 1/x)
                 = 33 + 3 × 3
                 = 27 + 9
                 = 36
১,৭৩০.
a + b + c = 8 এবং ab + bc + ca = 30 হলে a2 + b2 + c2 এর মান কত?
  1. ক
    4
  2. খ
    6
  3. গ
    8
  4. ঘ
    9
ব্যাখ্যা

দেওয়া আছে,
a + b + c = 8 এবং ab + bc + ca = 30
আমরা জানি,
(a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2(ab + bc + ca)
বা, a2 + b2 + c2 = (a + b + c)2 - 2(ab + bc + ca)
বা, a2 + b2 + c2 = 82 - 2 . 30
বা, a2 + b2 + c2 = 64 - 60
সুতরাং 2 + b2 + c2 = 4

১,৭৩১.
x4 + 2x2 + 1 = 5x2 হলে, ‍x + 1/x এর মান কত?
  1. ক
    0
  2. খ
    √3
  3. গ
    √5
  4. ঘ
    √7
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: x4 + 2x2 + 1 = 5x2 হলে, ‍x + 1/x এর মান কত?

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
x4 + 2x2 + 1 = 5x2 
or, x2 + 2 + 1/x2 = 5 
or, x2 + 1/x2 = 5 - 2 
or, x2 + 1/x2 = 3 
or, (x + 1/x)2 – 2.x.(1/x) = 3 
or, (x + 1/x)2 = 5 
∴ x + 1/x = √5
১,৭৩২.
5/a + 10/(a + 1) = 0 হলে a এর মান কত?
  1. ক
    ক) -1/3
  2. খ
    খ) -(1/5)
  3. গ
    গ) -(1/4)
  4. ঘ
    ঘ) 1/5
ব্যাখ্যা

(5a + 5 + 10a)/{a(a + 1)} = 0
বা, 5a + 5 + 10a = 0
বা, 15a + 5 = 0
বা, 15a = -5
বা, ‍a = -5/15
বা, a = -1/3

১,৭৩৩.
p - q = 12 এবং pq = 27 হলে p2 + q2 = কত?
  1. ক
    181
  2. খ
    90
  3. গ
    198
  4. ঘ
    81
ব্যাখ্যা

দেওয়া আছে, p + q = 12 এবং pq = 27
এখন, p2 + q2
= (p - q)2 + 2 pq
= 122 + 2 × 27
= 144 + 54
= 198

১,৭৩৪.
a এর মান কত হলে, 4x2−ax+9 একটি পূর্ণবর্গ হবে?
  1. ক
    ক) 10
  2. খ
    খ) 12
  3. গ
    গ) 14
  4. ঘ
    ঘ) 16
ব্যাখ্যা
4x2−ax+9 = (2x)2 - 2.2x.3 + (3)2 - ax + 12
= (2x - 3)2 - ax + 12
4x2−ax+9 পূর্ণবর্গ হবে যদি -ax + 12x = 0
⇒ax = 12x
a = 12
১,৭৩৫.
x = √3 + √2 হলে, x3 - 1/x3 এর মান কত?
  1. ক
    18√3
  2. খ
    22√3
  3. গ
    18√2
  4. ঘ
    22√2
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: x = √3 + √2 হলে, x3 - 1/x3 এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
x = √3 + √2
∴ 1/x = √3 - √2

∴ x - 1/x = √3 + √2 - (√3 - √2)
= √3 + √2 - √3 + √2
= 2√2

∴ x3 - 1/x3 = (x - 1/x)3 + 3.x.1/x(x - 1/x)
= (2√2)3 + 3.2√2
= 8.2√2 + 3.2√2
= 16√2 + 6√2
= 22√2

১,৭৩৬.
x2 = 100 হলে, x-3 = ?
  1. ক
    ক) 0.1
  2. খ
    খ) 0.01
  3. গ
    গ) 0.001
  4. ঘ
    ঘ) 0.0001
ব্যাখ্যা

x2 = 100
∴ x = 10
এখন,
x-3 = 1/x3
= 1/103
= 1/1000
= 0.001

১,৭৩৭.
  1. ক
    42√5
  2. খ
    36√5
  3. গ
    18√5
  4. ঘ
    46√5
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন:

সমাধান:


১,৭৩৮.
p = 7a + 5b + 6c, q = 3a - b + 9c এবং r = - 3c + 6b + 4a হলে,  2p - 3q + 5r মান নির্ণয় করুন।
  1. ক
    25a + 43b + 30c
  2. খ
    25a + 43b - 30c
  3. গ
    25a + 40b - 30c
  4. ঘ
    15a + 43b - 30c
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: p = 7a + 5b + 6c, q = 3a - b + 9c এবং r = - 3c + 6b + 4a হলে,  2p - 3q + 5r মান নির্ণয় করুন।

সমাধান:
দেওয়া আছে,
p = 7a + 5b + 6c
q = 3a - b + 9c
এবং r = - 3c + 6b + 4a

∴ 2p - 3q + 5r = 2(7a + 5b + 6c) - 3(3a - b + 9c) + 5(- 3c + 6b + 4a)
= 14a + 10b + 12c - 9a + 3b - 27c + 20a + 30b - 15c
= 25a + 43b - 30c

১,৭৩৯.
x - y = 3 এবং xy = 10 হলে (x + y)2 এর মান কত?
  1. ক
    ক) 69
  2. খ
    খ) 39
  3. গ
    গ) 59
  4. ঘ
    ঘ) 49
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: x - y = 3 এবং xy = 10 হলে (x + y)2 এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে
x - y = 3 
xy = 10

এখন
(x + y)2 = (x - y)2 + 4xy
(x + y)2 = 32 + 4 × 10
(x + y)2 = 9 + 40
(x + y)2 = 49

১,৭৪০.
x2 + 1 + 5x = 0 হলে, (x2 + 1)3/x3 এর মান কত?
  1. ক
    - 125
  2. খ
    - 140
  3. গ
    - 152
  4. ঘ
    - 25
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: x2 + 1 + 5x = 0 হলে, (x2 + 1)3/x3 এর মান কত?

সমাধান
x2 + 1 + 5x = 0
x2 + 1 = - 5x

প্রদত্ত রাশি,
 (x2 + 1)3/x3
= (- 5x)3/x3
= - 125x3/x3
= - 125
১,৭৪১.
x + y = 7 এবং xy = 12 হলে, x3 + y3 এর মান কত?
  1. ক
    91
  2. খ
    81
  3. গ
    101
  4. ঘ
    85
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: x + y = 7 এবং xy = 12 হলে, x3 + y3 এর মান কত?

সমাধান:
x + y = 7
xy = 12 

x3 + y3  = (x + y)3 - 3xy(x + y)
= 73 - 3 × 12 × 7
= 343 - 252
= 91 
১,৭৪২.
(4x2 - 16) এবং 6x2 + 24x + 24 এর গসাগু-
  1. ক
    x + 2
  2. খ
    x + 4
  3. গ
    x + 2.
  4. ঘ
    2(x + 2)
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: (4x2 - 16) এবং 6x2 + 24x + 24 এর গসাগু-

সমাধান:
১ম রাশি = 4x2 - 16
= 4(x2 - 4)
= 4(x2 - 22)
= 2.2(x + 2)(x - 2)

২য় রাশি = 6x2 + 24x + 24
= 6(x2 + 4x + 4)
= 6(x2 + 2.x.2 + 22)
= 2.3(x + 2)2

∴ নির্ণেয় গ.সা.গু. = 2(x + 2)
১,৭৪৩.
x²+y² = 185, x-y = 3 এর একটি সমাধান হবে-
  1. ক
    ক) (7, 3)
  2. খ
    খ) (9, 8)
  3. গ
    গ) (11, 8)
  4. ঘ
    ঘ) (10, 9)
ব্যাখ্যা

x²+y² = 185 ---------- (1)
⇒ (x-y)² + 2xy = 185
⇒ 2xy = 185 - (3)²
⇒ 2xy = 176 -------- (2)
আবার,
x²+y² = (x+y)² - 2xy
⇒ 185 = (x+y)² - 176 [1 ও 2 থেকে মান বসিয়ে]
⇒ (x+y)² = 361
⇒ x+y = 19 ---------- (3)
এখন,
(x+y) + (x-y) = 19 + 3
⇒ 2x = 22
⇒ x = 11
এবং,
(x+y) - (x-y) = 19 - 3
⇒ 2y = 16
⇒ y = 8
∴ (x,y) = (11, 8)

১,৭৪৪.
x + 1/x = 4 হলে x4 + 1/x4 এর মান কত?
  1. ক
    ক) 79
  2. খ
    খ) 194
  3. গ
    গ) 192
  4. ঘ
    ঘ) 195
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: x + 1/x = 4 হলে x4 + 1/x4 এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে 
 x + 1/x = 4

 x4 + 1/x4
= (x2)2 + (1/x2)2
= (x2 + 1/x2)2 - 2.x2.1/x2
= {(x)2 + (1/x)2}2 - 2
= {(x + 1/x)2 - 2.x.1/x}2 - 2
= (42 - 2)2 - 2
= (16 - 2)2 - 2
= 142 -2
= 196 - 2
= 194
১,৭৪৫.
x + y = 13, x - y = 3 হলে x2 + y2 = কত?
  1. ক
    ক) 74
  2. খ
    খ) 75
  3. গ
    গ) 79
  4. ঘ
    ঘ) 89
ব্যাখ্যা
দেওয়া আছে,
x + y = 13
x - y = 3

 x2 + y2 = (1/2) {(x + y)2+(x - y)2}
              = (1/2) (132 + 32)
              = (1/2) (169 + 9)
              = 178/2
              = 89
১,৭৪৬.
যদি a + b = 10 এবং a2 + b2 = 58 হয়, তবে ab এর মান কত?
  1. ক
    25
  2. খ
    16
  3. গ
    24
  4. ঘ
    21
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: যদি a + b = 10 এবং a2 + b2 = 58 হয়, তবে ab এর মান কত?

সমাধান:
দেয়া আছে,
a + b = 10 এবং a2 + b2 = 58

আমরা জানি,
(a + b)2 = a2 + b2 + 2ab
⇒ 102 = 58 + 2ab
⇒ 100 = 58 + 2ab
⇒ 2ab = 100 - 58
⇒ 2ab = 42
∴ ab = 21

১,৭৪৭.
x + (1/x) = 4 হলে x4 + (1/x4) এর মান কত?
  1. ক
    78
  2. খ
    192
  3. গ
    194
  4. ঘ
    196
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: x + (1/x) = 4 হলে  x4 + (1/x4) এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
 x + (1/x) = 4
⇒ {x + (1/x)}2 = 42
⇒ x2 + 2.(x).(1/x) + (1/x)2 = 16
⇒ x2 + (1/x2) + 2 = 16
⇒ x2 + (1/x2) = 16 - 2 = 14
⇒ {x2 + (1/x2)}2 = (14)2
⇒ (x2)2 + 2.(x2).(1/x2) + (1/x2)2 = 196
⇒ x4 + 2 + (1/x4) = 196
⇒ x4 + (1/x4) = 196 - 2
⇒ x4 + (1/x4) = 194
১,৭৪৮.
যদি a - (1/a) = 4 হয়, তবে a4 + (1/a4) এর মান কত?
  1. ক
    300
  2. খ
    312
  3. গ
    322
  4. ঘ
    324
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: যদি a - (1/a) = 4 হয়, তবে a4 + (1/a4) এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
a - (1/a) = 4

প্রদত্ত রাশি = a4 + (1/a4)
= (a2)2 + (1/a2)2
= {a2 + (1/a2)}2 - 2 · a2 · (1/a2)
= {(a)2 + (1/a)2}2 - 2
= [{a - (1/a)}2 + 2 · a · (1/a)]2 - 2
= {(42) + 2}2 - 2
= (16 + 2)2 - 2
= 182 - 2
= 322
১,৭৪৯.
a2 - 1 = 2a হলে, a3 - (1/a3) এর মান কত?
  1. ক
    8
  2. খ
    10
  3. গ
    12
  4. ঘ
    14
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: a2 - 1 = 2a হলে, a3 - (1/a3) এর মান কত?

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
a2 - 1 = 2a
বা, (a2 - 1)/a = 2a/a 
∴ a - (1/a) = 2 

আমরা জানি, 
 a3 - (1/a)3 = {a - (1/a)}3 + 3·a·(1/a)·{a - (1/a)} 
= 23 + 3 × 2
= 8 + 6 
= 14 
১,৭৫০.
16x4 + 36x2 + 81 কে 4x2 - 6x + 9 দ্বারা ভাগ করলে ভাগফল কত হবে?
  1. ক
    4x2 + 6x + 9
  2. খ
    4x2 - 6x - 9
  3. গ
    4x2 + 11 
  4. ঘ
    4x2 - 9x + 6
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 16x4 + 36x2 + 81 কে 4x2 - 6x + 9 দ্বারা ভাগ করলে ভাগফল কত হবে?

সমাধান: 

১,৭৫১.
যদি 2x = 2/x + 3 হয়, তবে 8x3 - 8/x3 কত?
  1. ক
    65
  2. খ
    63
  3. গ
    70
  4. ঘ
    62
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: যদি 2x = 2/x + 3 হয়, তবে 8x3 - 8/x3 কত?

সমাধান:
দেয়া আছে,
2x = 2/x + 3
⇒ 2x - 2/x = 3
⇒ 2(x - 1/x) = 3
⇒ x - 1/x = 3/2

∴ 8x3 - 8/x3
= 8(x3 - 1/x3)
= 8 {(x - 1/x)3 + 3. x. 1/x(x - 1/x)}
= 8 {(3/2)3 + 3 × 3/2}
= 8 {(27 + 36)/ 8}
= 63

১,৭৫২.
a + b = 17 এবং ab = 60 হলে a2 + b2 এর মান কত?
  1. ক
    144
  2. খ
    149
  3. গ
    145
  4. ঘ
    169
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: a + b = 17 এবং ab = 60 হলে a2 + b2 এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
a + b = 17
ab = 60

আমরা জানি,
a2 + b2 = (a + b)2 - 2ab
 = 172 - (2 × 60)
 = 289 - 120
 = 169
১,৭৫৩.
(a + b) = 5 এবং ab = 4 হলে (a - b)2 এর মান কত?
  1. ক
    ক) 41
  2. খ
    খ) 33
  3. গ
    গ) 9
  4. ঘ
    ঘ) 17
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: (a + b) = 5 এবং ab = 4 হলে (a - b)2 এর মান কত?

সমাধান: 
a + b = 5
ab = 4

আমরা জানি 
(a - b)2 = (a + b)2 - 4ab
বা, (a - b)2 = 52 - (4 × 4)
বা, (a - b)2 = 25 - 16
∴ (a - b)2 = 9
১,৭৫৪.
a = 1 + √5 হলে, a3 = কত?
  1. ক
    8 + 8√5
  2. খ
    21 + 6√5
  3. গ
    16 + 8√5
  4. ঘ
    36
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: a = 1 + √5 হলে, a3 = কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
a = 1 + √5
বা, a³ = (1 + √5)³ [ঘন করে]
= 1³ +  3 ⋅ 1² ⋅ √5 + 3 ⋅ 1 ⋅ (√5)² + (√5)³
= 1 + 3√5 + 3 ⋅ 5 + 5√5
= 1 + 3√5 + 15 + 5√5
= 16 + 8√5

∴ a³ এর মান 16 + 8√5
১,৭৫৫.
x2 - √3x + 1 = 0 হলে, x + 1/x এর মান নিচের কোনটি?
  1. ক
    - √3x
  2. খ
    √3x
  3. গ
    - √3
  4. ঘ
    √3
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: x2 - √3x + 1 = 0 হলে, x + 1/x এর মান নিচের কোনটি?

সমাধান: 
দেওয়া আছে
x2 - √3x + 1 = 0
x2 + 1 = √3x
x2/x + 1/x = √3x/x
x + 1/x = √3
১,৭৫৬.
যদি x = 1 + √2 এবং y = 1 - √2 হয়, তাহলে (x2 + y2 ) এর মান কত?
  1. ক
    ক) 12
  2. খ
    খ) 6
  3. গ
    গ) 8
  4. ঘ
    ঘ) 10
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: যদি x = 1 + √2 এবং y = 1 - √2 হয়, তাহলে (x2 + y2) এর মান কত?

সমাধান:
x = 1 + √2
 y = 1 - √2

x + y = 1 + √2 + 1 - √2
= 2

xy = (1 + √2)(1 - √2)
= 12 - (√2)2
= 1 - 2
= - 1

(x2 + y2)= (x + y)2 - 2xy
= 22 - 2(- 1)
= 4 + 2
= 6

১,৭৫৭.
যদি x/y = 3/4 হয়, তবে (x + y)/(x - y) এর মান কত? 
  1. ক
    ক) 7
  2. খ
    খ) - 7
  3. গ
    গ) 4
  4. ঘ
    ঘ) - 4
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: যদি x/y = 3/4 হয়, তবে (x + y)/(x - y) এর মান  কত? 

সমাধান: 
দেয়া আছে,
 x/y = 3/4
 (x + y)/(x - y) = (3 + 4)/(3 - 4)
                        = 7/- 1
                        = - 7
১,৭৫৮.
যদি x2 + y2 + z2 = 2 এবং xy + yz + zx = - 1 হয়, তাহলে (x + 2y)2 + (y + 2z)2 + (z + 2x)2 = ?
  1. ক
    0
  2. খ
    5
  3. গ
    - 8
  4. ঘ
    6
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: যদি x2 + y2 + z2 = 2 এবং xy + yz + zx = - 1 হয়, তাহলে (x + 2y)2 + (y + 2z)2 + (z + 2x)2 = ?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
x2 + y2 + z2 = 2 এবং xy + yz + zx = - 1

প্রদত্ত রাশি,
(x + 2y)2 + (y + 2z)2 + (z + 2x)2
= x2 + 4xy + 4y2 + y2 + 4yz + 4z2 + z2 + 4zx + 4x2
= (x2 + y2 + z2) + 4(xy + yz + zx) + 4(x2 + y2 + z2)
= 2 + 4(- 1) + 4(2)
= 2 - 4 + 6
= 6
১,৭৫৯.
x + y = 4, x - y = 1 হলে, 4xy এর মান কত?
  1. ক
    ক) 3
  2. খ
    খ) 15
  3. গ
    গ) 17
  4. ঘ
    ঘ) 21
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: x + y = 4, x - y = 1 হলে, 4xy এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
x + y = 4
x - y = 1

আমরা জানি,
4xy = (x + y)2 - (x + y)2
= 42 - 12
= 16 - 1
= 15
১,৭৬০.
a - (6/a) = 1 হলে 6/(a2 - a + 1) এর মান কত?
  1. ক
    3/7
  2. খ
    6/7
  3. গ
    5/6
  4. ঘ
    7/6
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: a - (6/a) = 1 হলে 6/(a2 - a + 1) এর মান কত?

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
a - (6/a) = 1
⇒ (a2 - 6)/a = 1
⇒ a2 - 6 = a
∴ a2 - a = 6

প্রদত্ত রাশি, 
6/(a2 - a + 1)
= 6/(6 + 1)
= 6/7

১,৭৬১.
হলে = কত?
  1. ক
    ক) 4 + √2
  2. খ
    খ) 2 + √2
  3. গ
    গ) 2
  4. ঘ
    ঘ) √2
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: হলে = কত?

সমাধান:
a2 + a + 1/a + 1/a2
= a2 + 1/a2 + a + 1/a
= (a + 1/a)2 - 2 . a . 1/a + (a + 1/a)
= (√2)2 - 2 + √2
= √2
১,৭৬২.
  1. ক
    19
  2. খ
    29
  3. গ
    39
  4. ঘ
    49
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন:

সমাধান:
১,৭৬৩.
a - 1/a = 4 হলে, a3 - 1/a3 = ?
  1. ক
    56
  2. খ
    62
  3. গ
    68
  4. ঘ
    76
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: a - 1/a = 4 হলে, a3 - 1/a3 = ?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
 a - 1/a = 4

আমরা জানি,
a3 - 1/a3 =(a - 1/a)3 + 3. a. (1/a)(a - 1/a)
= 43 + 3 × 4
= 64 + 12
= 76
১,৭৬৪.
9a2 - 12a এর সাথে কত যোগ করলে যোগফল একটি পূর্ণবর্গ সংখ্যা হবে?
  1. ক
    4
  2. খ
    - 16
  3. গ
    - 6
  4. ঘ
    25
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 9a2 - 12a এর সাথে কত যোগ করলে যোগফল একটি পূর্ণবর্গ সংখ্যা হবে?

সমাধান:
9a2 - 12a
= (3a)2 - 2 × 3a × 2 + (2)2 - 4
= (3a - 2)2 - 4

∴ 4 যোগ করলে যোগফল একটি পূর্ণবর্গ সংখ্যা হবে।

১,৭৬৫.
x2y + xy2 এবং x2 + xy এর গ.সা.গু কত?
  1. ক
    (x + y)
  2. খ
    x(x + y)
  3. গ
    y(x + y)
  4. ঘ
    xy(x + y)
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: x2y + xy2 এবং x2 + xy এর গ.সা.গু কত? 

সমাধান: 
১ম রাশি = x2y + xy2
= xy (x + y) 

২য় রাশি = x2 + xy
= x (x + y) 

∴ নির্ণেয় গ.সা.গু = x (x + y)  । 
১,৭৬৬.
16x2 - px + 625 সংখ্যাটি পূর্ণবর্গ হলে p এর মান কত?
  1. ক
    ক) 50
  2. খ
    খ) 100
  3. গ
    গ) 200
  4. ঘ
    ঘ) 400
ব্যাখ্যা

16x2 - px + 625
= (4x)2 - px + 252
∴ px = 2 . 4x . 25
বা, p = 200

১,৭৬৭.
x = 1 + √3 হলে x3 = কত?
  1. ক
    ক) 4 + 3√3
  2. খ
    খ) 5 + 6√3
  3. গ
    গ) 10 + 9√3
  4. ঘ
    ঘ) 10 + 6√3
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: x = 1 + √3 হলে x3 = কত?

সমাধান: 
 x = 1 + √3

x3 = (1 + √3)3
     = 13 + 3.12.√3 + 3.1.(√3)2 + (√3)3
      = 1 + 3√3 + 9 + 3√3
      = 10 + 6√3
১,৭৬৮.
x - y = 2 এবং xy = 15 হলে (x + y) এর মান কত?
  1. ক
    ক) 4
  2. খ
    খ) 8
  3. গ
    গ) 10
  4. ঘ
    ঘ) 12
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন:  x - y = 2 এবং xy = 15 হলে (x + y) এর মান কত?

সমাধান:
x - y = 2 
xy = 15

আমরা জানি 
(x + y)2 = (x - y)2 + 4xy 
(x + y)2 = 22 + 4 × 15 
(x + y)2 = 4 + 60
(x + y)2 =64
(x + y)2 =82
(x + y) = 8
১,৭৬৯.
a2 + b2 = 13 এবং ab = 6 হলে, a4 + b4 এর মান কত?
  1. ক
    102
  2. খ
    97
  3. গ
    60
  4. ঘ
    169
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: a2 + b2 = 13 এবং ab = 6 হলে, a4 + b4 এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
a2 + b2 = 13 এবং ab = 6

প্রদত্ত রাশি,
a4 + b4
=(a2)2 + (b2)2
= (a2 + b2)2 - 2a2b2
= (a2 + b2)2 - 2(ab)2
= (13)2 - 2 × (6)2
= 169 - 72
= 97

১,৭৭০.
4 - x2 + 2xy - y2 এর সঠিক উৎপাদকে বিশ্লেষণ হলো-
  1. ক
    ক) (2 - x + y)(2 - x + y)
  2. খ
    খ) (2 - x - y)(2 - x + y)
  3. গ
    গ) (2 + x - y)(2 + x + y)
  4. ঘ
    ঘ) (2 + x - y)(2 - x + y)
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন : 4 - x2 + 2xy - y2 এর সঠিক উৎপাদকে বিশ্লেষণ হলো-
সমাধান :
   4 - x2 + 2xy - y2
বা, 4 - (x2 - 2xy + y2)
বা, 22 - (x - y)2
বা, {2 + (x - y)}{2 - (x - y)}
বা, (2 + x - y)(2 - x + y)
১,৭৭১.
x2 + y2 = 20 এবং xy = 4 হলে (x - y)2 এর মান কত?
  1. ক
    14
  2. খ
    16
  3. গ
    12
  4. ঘ
    18
ব্যাখ্যা

দেওয়া আছে,
x2 + y2 = 20 এবং
xy = 4
আমরা জানি,
(x - y)2 = x2 + y2 - 2xy
= 20 - 2 × 4
= 20 - 8
= 12

১,৭৭২.
a + b = 4 এবং a - b = 2 হলে, a2 + b2 এর মান কত?
  1. ক
    3
  2. খ
    10
  3. গ
    16
  4. ঘ
    20
ব্যাখ্যা
2(a2 + b2) 
= (a + b)2 + (a - b)2
= 42 + 22
= 20
সুতরাং a2 + b2  = 20/2
= 10
১,৭৭৩.
যদি 4a2 + (1/a)2 = 4 হয়, তবে 8a3 + (1/a)3 এর মান কত?
  1. ক
    7√2
  2. খ
    5√2
  3. গ
    4√2
  4. ঘ
    15√2
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: যদি 4a2 + (1/a)2 = 4 হয়, তবে 8a3 + (1/a)3 এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে ,
4a2 + (1/a)2 = 4
⇒ (2a)2 + (1/a)2 = 4
⇒ {2a + (1/a)}2 - 2 × 2a  × (1/a) = 4
⇒ {2a + (1/a)}2 = 4 + 4
⇒ {2a + (1/a)}2 = 8
 ∴ 2a + (1/a) =√8 = 2√2

এখন, 
8a3 + (1/a)3
= (2a)3 + (1/a)3
= {2a + (1/a)}3- 3 × 2a × (1/a) {2a + (1/a)}
= (2√2)3 - 6 × 2√2
= 16√2 - 12√2
= 4√2

১,৭৭৪.
a - 1/a = 5√3 হলে ‍a2 + 1/a2 = কত?
  1. ক
    60√3
  2. খ
    60
  3. গ
    70√3
  4. ঘ
    77
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: a - 1/a = 5√3 হলে ‍a2 + 1/a2 = কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে
a - 1/a = 5√3

আমরা জানি
a2 + 1/a2 = (a - 1/a)2 + 2.a.1/a.
= (5√3)2 + 2
= 25 × 3 + 2
= 75 + 2 
= 77
১,৭৭৫.
a2 + b2 = c2 হয়, তবে a6 + b6 + 3a2b2c2 = ?
  1. ক
    c4
  2. খ
    c2
  3. গ
    a6 + b6
  4. ঘ
    c6
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: a2 + b2 = c2 হয়, তবে a6 + b6 + 3a2b2c2 = ?

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
a2 + b2 = c2

প্রদত্ত রাশি, 
a6 + b6 + 3a2b2c2
= (a2)3 + (b2)3 + 3a2b2c2
= (a2 + b2)3 - 3a2b2(a2 + b2) + 3a2b2c2  ; [a3 + b3 = (a + b)3 - 3ab(a + b)]
= (c2)3 - 3a2b2c2 + 3a2b2c2
= c6

১,৭৭৬.
x = √6 + √5 হলে, x3 + 1/x3 এর মান কত?
  1. ক
    54√6
  2. খ
    42√6
  3. গ
    34√5
  4. ঘ
    46√5
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: x = √6 + √5 হলে, x3 + 1/x3 এর মান কত?

সমাধান:
 x = √6 + √5
∴ 1/x = 1/(√6 + √5)
 = (√6 - √5)/{(√6)2 - (√5)2}
= (√6 - √5)/(6 - 5)
= √6 - √5

x + 1/x
= √6 + √5 + √6 - √5
= 2√6

x3 + 1/x3
= (x + 1/x)3 - 3.x.1/x(x + 1/x)
= (2√6)3 - 3. 2√6
= 48√6 - 6√6
= 42√6
১,৭৭৭.
a2 - b2 = 32 এবং a - b = 4 হলে, ab এর মান কত?
  1. ক
    12
  2. খ
    14
  3. গ
    28
  4. ঘ
    22
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: a2 - b2 = 32 এবং a - b = 4 হলে, ab এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
 a - b = 4
এবং a2 - b2 = 32
⇒ (a + b)(a - b) = 32
⇒ (a + b) × 4 = 32
∴ a + b = 8

আমরা জানি,
ab = {(a + b)2 - (a -b)2}/4
⇒ ab = {(8)2 - (4)2}/4
⇒ ab = (64 - 16)/4
⇒ ab = 48/4
∴ ab = 12
১,৭৭৮.
a + b = 4 এবং a - b = 2 হলে, a2 + b2 এর মান কত? 
  1. ক
    5 
  2. খ
    10 
  3. গ
    15 
  4. ঘ
    20 
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: a + b = 4 এবং a - b = 2 হলে, a2 + b2 এর মান কত? 

সমাধান: 
2(a2 + b2) = (a + b)2 + (a - b)2 
বা, 2(a2 + b2) = (4)2 + (2)2
বা, 2(a2 + b2) = 16 + 4 
বা, 2(a2 + b2) = 20 
বা, (a2 + b2) = 20/2
∴ a2 + b2 = 10 
১,৭৭৯.
x2 - 6x + 5 = 0 হলে, (x - 3)2 এর মান কত?
  1. ক
    2
  2. খ
    3
  3. গ
    4
  4. ঘ
    6
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: x2 - 6x + 5 = 0 হলে, (x - 3)2 এর মান কত? 

সমাধান: 
x2 - 6x + 5 = 0
⇒ x2 - 6x + 32 - 9 + 5 = 0
⇒ (x - 3)2 - 4 = 0
∴ (x - 3)2 = 4
১,৭৮০.
a + (1/a) = 3 হলে, (a2 + 1)/(a2 + 2a + 1) এর মান কত?
  1. ক
    3/8
  2. খ
    2/7
  3. গ
    3/5
  4. ঘ
    5/7
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: a + (1/a) = 3 হলে, (a2 + 1)/(a2 + 2a + 1) এর মান কত?

সমাধান:
a + (1/a)= 3
⇒ (a2 + 1)/a = 3
⇒ a2 + 1 = 3a

এখন
(a2 + 1)/(a2 + 2a + 1)
= (a2 + 1)/(a2 + 1 + 2a)
= 3a/(3a + 2a)
= 3a/5a
= 3/5
১,৭৮১.
x = √3 - 1/x হলে x3 + 1/x3এর মান কত?
  1. ক
    ক) 1.0
  2. খ
    খ) 3.0
  3. গ
    গ) √3
  4. ঘ
    ঘ) 0.0
ব্যাখ্যা
এখানে, x = √3 - 1/x
⇒x + 1/x = √3
∴ x3 + 1/x3 = (x+1/x)3 - 3.x.1/x(x+1/x)
= (√3)3 - 3√3
= 3√3 - 3√3
= 0
১,৭৮২.
a + 1/a + 1 = 0 হলে a6 - 1 = ?
  1. ক
    ক) -6
  2. খ
    খ) -1
  3. গ
    গ) 0
  4. ঘ
    ঘ) 1
ব্যাখ্যা

a + 1/a + 1 = 0
বা, a2 + 1 + a = 0
∴ a2 + a + 1 = 0

এখন, a6 - 1
= (a3 + 1)(a3 - 1)
= (a + 1)(a2 - a + 1)(a - 1)(a2 + a + 1)
= (a + 1)(a2 - a + 1)(a - 1) × 0
= 0

১,৭৮৩.
16x4 + 36x2 + 81 কে 4x2 - 6x + 9 দ্বারা ভাগ করলে ভাগফল কত হবে?
  1. ক
    4x2 - 6x - 9
  2. খ
    4x2 - 9x + 6
  3. গ
    4x2 + 6x + 9
  4. ঘ
    4x2 + 11
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 16x4 + 36x2 + 81 কে 4x2 - 6x + 9 দ্বারা ভাগ করলে ভাগফল কত হবে?

সমাধান:


সুতরাং, সঠিক উত্তর গ) 4x2 + 6x + 9

১,৭৮৪.
x - 1/x = 7 হলে x2 + 1/x2 এর মান কত?
  1. ক
    ক) 49
  2. খ
    খ) 50
  3. গ
    গ) 51
  4. ঘ
    ঘ) 52
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: x - 1/x = 7 হলে x2 + 1/x2 এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
x - 1/x = 7

প্রদত্ত রাশি = x2 + 1/x2
= (x - 1/x)2 + 2 . x . 1/x
= (7)2 + 2
= 49 + 2
= 51
১,৭৮৫.
a + b +c = 21 এবং ab + bc + ca = 143 হলে, ‍a2 + b2 + c2 এর মান কত?
  1. ক
    ক) 160
  2. খ
    খ) 175
  3. গ
    গ) 165
  4. ঘ
    ঘ) 155
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: a + b +c = 21 এবং ab + bc + ca = 143 হলে, ‍a2 + b2 + c2 এর মান কত?

সমাধান: 
দেওয়া আছে,
a + b +c = 21
ab + bc + ca = 143

এখন,
a2 + b2 + c2 = (a + b + c)2 - 2(ab + bc + ca)
= 212 - 2(143)
= 441 - 286
= 155 
১,৭৮৬.
a = 3, b = - 2 হলে 9a2 + 12ab + 4b2 এর মান কত?
  1. ক
    16
  2. খ
    20
  3. গ
    25
  4. ঘ
    32
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: a = 3, b = - 2 হলে 9a2 + 12ab + 4b2 এর মান কত?

সমাধান:
9a2 + 12ab + 4b2
= (3a)2 + 2. 3a. 2b + (2b)2
= (3a + 2b)2
= [3 × 3 + {2 × (-2)}]2
= (9 - 4)2
= (5)2
= 25
১,৭৮৭.
যদি a2 - 2a + 1 = 0 হয়, তবে a4 + 1/a4 = কত?
  1. ক
    2
  2. খ
    4
  3. গ
    8
  4. ঘ
    34
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: যদি a2 - 2a + 1 = 0 হয়, তবে a4 + 1/a4 = কত?

দেওয়া আছে 
a2 - 2a + 1 = 0
a2 + 1 = 2a
a2/a + 1/a = 2a/a
a + 1/a = 2

এখন
∴ a4 + (1/a4) = (a2)2 + (1/a2)2
= {a2 + (1/a2)}2 - 2.a2.(1/a2)
= {a2 + (1/a2)}2 - 2
= {(a + 1/a)2 - 2.a.(1/a)}2 - 2
= {(2)2 - 2}2 - 2
= (4 - 2)2 - 2
 = 4 - 2
= 2
১,৭৮৮.
যদি x + 1/x = 4 হয়, তাহলে x3 + 1/x3 = ?
  1. ক
    76
  2. খ
    52
  3. গ
    64
  4. ঘ
    48
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: যদি x + 1/x = 4 হয়, তাহলে x3 + 1/x3 = ?

সমাধান:
দেওয়া আছে
x + 1/x = 4

প্রদত্ত রাশি = x3 + 1/x3
= (x + 1/x)3 - 3.x.(1/x)(x + 1/x)
= 43 - 3 × 4
= 64 - 12
= 52
১,৭৮৯.
x = √5 + √3 হলে, x3 + 8/x3 এর মান কত?
  1. ক
    28√5
  2. খ
    38√5
  3. গ
    32√5
  4. ঘ
    18√5
ব্যাখ্যা
x = √5 + √3
1/x = (√5 - √3)/2
∴ 2/x = √5 - √3

∴ x + 2/x = 2√5

x3 + 8/x3 = (x + 2/x)3 - 3.x.2/x(x + 2/x)
                = (2√5)3 - 6 × 2√5
                = 40√5 - 12√5
                = 28√5
১,৭৯০.
(a + b)2 + (2a + 2b)(a - b) + (a - b)2 = কত?
  1. ক
    ক) 8a2
  2. খ
    খ) 4a2
  3. গ
    গ) 2a2
  4. ঘ
    ঘ) a2
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: (a + b)2 + (2a + 2b)(a - b) + (a - b)2 = কত? 

সমাধান: 
(a + b)2 + (2a + 2b)(a - b) +(a - b)2 
(a + b)2 + 2(a + b)(a - b) +(a - b)2
ধরি,
a + b = x
a - b = y

প্রদত্ত রাশি =x2 + 2xy + y2
                 = (x + y)2
                 = (a + b + a - b)2
                 = (2a)2 
                  = 4a2
১,৭৯১.
16x2 + 9y2 এর সাথে কত যোগ করলে যোগফল পূর্ণবর্গ রাশি হবে? 
  1. ক
    ক) 2xy
  2. খ
    খ) 12xy
  3. গ
    গ) 24xy
  4. ঘ
    ঘ) 144xy
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 16x2 + 9y2 এর সাথে কত যোগ করলে যোগফল পূর্ণবর্গ রাশি হবে? 

সমাধান:
16x2 + 9y2
= (4x)2+ 2.4x.3y + (3y)2 - 24xy
= (4x + 3y)2 - 24xy

16x2 + 9y2 এর সাথে 24xy যোগ করলে যোগফল পূর্ণবর্গ রাশি হবে
১,৭৯২.
x² - 3x + 1 = 0 হলে (x² - 1/x²) এর মান কত?
  1. ক
    ক) 5√3
  2. খ
    খ) 3√5
  3. গ
    গ) 4√5
  4. ঘ
    ঘ) 6√5
ব্যাখ্যা

x² - 3x + 1 = 0
⇒ x² +1 = 3x
⇒ (x² +1)/x = 3x/x
∴ x + 1/x = 3
সূত্রানুসারে,
(x - 1/x)² = (x + 1/x)² - 4.x.1/x
⇒ x - 1/x = √{(3)² - 4}
∴ x - 1/x = √5
এখন,
(x² - 1/x²) = (x + 1/x)(x - 1/x)
= 3√5

১,৭৯৩.
  1. ক
    48
  2. খ
    64
  3. গ
    27
  4. ঘ
    32
  5. ঙ
    কোনটিই নয় 
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন:

সমাধান:
দেওয়া আছে 
4b2 + 1/b2 = 5
(2b)2 + (1/b)2 = 5
(2b + 1/b)2 - 2.2b.1/b = 5
(2b + 1/b)2 - 4 = 5
(2b + 1/b)2  = 9
(2b + 1/b) = 3

এখন 
8b3 + 1/b3 = (2b)3 + (1/b)3
= (2b + 1/b)3 - 3.2b.(1/b).(2b + 1/b)
= 33- 3.2.3
= 27 - 18
= 9

১,৭৯৪.
p2 = 1 - p-2 হলে p + (1/p) এর মান কত?
  1. ক
    √3
  2. খ
    1
  3. গ
    2
  4. ঘ
    √2
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: p2 = 1 - p-2 হলে p + (1/p) এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
p2 = 1 - p-2
⇒ p2 + 1/p2 = 1

এখন, {p + (1/p)}2 = p2 + 2 ⋅ p ⋅ (1/p) + (1/p2)
= p2 + 1/p2 + 2
= 1 + 2
= 3
∴ p + (1/p) = √3
১,৭৯৫.
16a2 + 20ab + 25b2 এর সাথে কত যোগ করলে যোগফল একটি পূর্ণবর্গ সংখ্যা হবে? 
  1. ক
    ক) 0
  2. খ
    খ) 20ab
  3. গ
    গ) - 20ab
  4. ঘ
    ঘ) 20
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 16a2 + 20ab + 25b2 এর সাথে কত যোগ করলে যোগফল একটি পূর্ণবর্গ সংখ্যা হবে? 

সমাধান:
16a2 +20ab + 25b2
= (4a)2 + 2 × 4a × 5b + (5b)2 - 20ab
= (4a + 5b)2 - 20ab 

∴ 20ab যোগ করলে যোগফল একটি পূর্ণবর্গ সংখ্যা হবে।
১,৭৯৬.
যদি {2a + (2/a)}2 = 12 হয়, তবে a2 + (1/a2) এর মান কত?
  1. ক
    1
  2. খ
    2
  3. গ
    3
  4. ঘ
    4
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: যদি {2a + (2/a)}2 = 12 হয়, তবে a2 + (1/a2) এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
{2a + (2/a)}2 = 12
⇒ [2{a + (1/a)}]2 = 12
⇒ 4{a + (1/a)}2 = 12
⇒ {a + (1/a)}2 = 3

∴ প্রদত্ত রাশি, a2 + (1/a2)
= {a + (1/a)}2 - 2 · a · (1/a)
= 3 - 2
= 1
১,৭৯৭.
x4 - x2 - 1 = 0 হলে x2 - 1/x2 = কত?
  1. ক
    ক) 0
  2. খ
    খ) 1
  3. গ
    গ) 2
  4. ঘ
    ঘ) 4
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: x4 - x2 - 1 = 0 হলে x2 - 1/x2 = কত? 

সমাধান: 
x4 - x2 - 1 = 0 
x4  - 1 = x2
x4/x2 - 1/x2 = x2/x2
x2 - 1/x2 = 1
১,৭৯৮.
যদি a = √12 + 3 হয়, তবে a3 - (27/a3) এর মান কত? 
  1. ক
    4√3
  2. খ
    240
  3. গ
    48√3
  4. ঘ
    270
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: যদি a = √12 + 3 হয়, তবে a3 - (27/a3) এর মান কত? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
a = √12 + 3

এখন, 
1/a = 1/√12 + 3
= (√12 - 3)/(√12 + 3)(√12 - 3)
= (√12 - 3)/{(√12)2 - 32}
= (√12 - 3)/(12 - 9)
= (√12 - 3)/3
∴ 3/a = √12 - 3

∴ a - (3/a) = √12 + 3 - √12 + 3 = 6

প্রদত্ত রাশি, 
a3 - (27/a3) = a3 - (3/a)3
= {a - (3/a)}3 + 3 . a . (3/a){a - (3/a)}      ;[a3 - b3 = (a - b)3 + 3ab(a - b)]
= 63 + (9 × 6)
= 216 + 54
= 270

১,৭৯৯.
xyz = 60 হলে, y এর মান কোনটি হতে পারে না?
  1. ক
    ক) 3
  2. খ
    খ) 5
  3. গ
    গ) 0
  4. ঘ
    ঘ) 4
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: xyz = 60 হলে, y এর মান কোনটি হতে পারে না?

সমাধান:
y = 0 হলে, xyz = 0
∴ y এর মান শূন্য হতে পারে না।
১,৮০০.
x + y + z = p এবং xy + yz + zx = q হলে, (x + y)2 + (y + z)2 + (z + x)2 এর মান নির্ণয় করুন।
  1. ক
    p2 - q
  2. খ
    2(p2 - q)
  3. গ
    p2 - 2q
  4. ঘ
    2p2 - q
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: x + y + z = p এবং xy + yz + zx = q হলে, (x + y)2 + (y + z)2 + (z + x)2 এর মান নির্ণয় করুন।

সমাধান:
(x + y)2 + (y + z)2 + (z + x)2
= x2 + 2xy + y2 + y2 + 2yz + z2 + z2 + 2zx + x2
= x2 + y2 + z2 + 2xy + 2yz + 2zx + x2 + y2 + z2
= (x + y + z)2 + {(x + y + z)2 - 2(xy + yz + zx)}
= p2 + (p2 - 2q)
= 2p2 - 2q
= 2(p2 - q)