লগ ইননিবন্ধন
বিষয়সমূহ

PrepBank · বিষয়ভিত্তিক প্রশ্ন

বীজগাণিতিক সূত্রাবলি ও এর প্রয়োগ

মোট প্রশ্ন৩,৪০১এই পাতা১০০প্রতি পাতা১০০
প্রশ্ন দেখুনঅনুশীলন
ঘনত্ব
উত্তর
উত্তরিতবর্তমানপুনরায় দেখুনঅসম্পূর্ণ

বীজগাণিতিক সূত্রাবলি ও এর প্রয়োগ

PrepBank · পাতা ১৬ / ৩৪ · ১,৫০১–১,৬০০ / ৩,৪০১

১,৫০১.
2a + (2/a) = 10 হলে, a2 + (1/a2) এর মান কত?
  1. ক
    34
  2. খ
    45
  3. গ
    33
  4. ঘ
    23
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 2a + (2/a) = 10 হলে, a2 + (1/a2) এর মান কত?

সমাধান:

দেওয়া আছে,
2a + (2/a) = 10
বা, 2{a + (1/a)} = 10
বা, a + (1/a) = 10/2
∴ a + (1/a) = 5

এখন,
 a2 + (1/a2)
= a2 + (1/a)2
= {a + (1/a)}2 - {2 × a × (1/a)}
= 52 - 2
= 25 - 2
= 23

১,৫০২.
x4-x2-1 = 0 হলে x2 - (1/x2) = কত?
  1. ক
    ক) 0
  2. খ
    খ) 1
  3. গ
    গ) 2
  4. ঘ
    ঘ) 4
ব্যাখ্যা
x4-x2-1 = 0
⇒ x4-1 = x2
⇒ (x4-1)/x2 = x2 - (1/x2) = 1
১,৫০৩.
a + b + c = 9 এবং ab + bc + ca = 26 হলে, a2 + b2 + c2 = ?
  1. ক
    25
  2. খ
    20
  3. গ
    29
  4. ঘ
    12
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: a + b + c = 9 এবং ab + bc + ca = 26 হলে, a2 + b2 + c2 = ?

সমাধান:
আমরা জানি,
(a + b + c)2 = (a2 + b2 + c2) + 2(ab + bc + ca)
⇒ (9)2 = (a2 + b2 + c2 )+ (2 × 26)
⇒ 81= (a2 + b2 + c2) + 52
⇒ a2 + b2 + c2 = 81 - 52
⇒ a2 + b2 + c2 = 29
১,৫০৪.
a = √2, b = √3 হলে (a+b)² - 2ab এর মান-
  1. ক
    ক) 14
  2. খ
    খ) 5
  3. গ
    গ) 17
  4. ঘ
    ঘ) 7
ব্যাখ্যা

(a+b)²- 2ab = a²+ b²
= (√2)² +(√3)²
= 2+3
= 5

১,৫০৫.
x - 1/x = 1 হলে x3 - 1/x3 এর মান কত?
  1. ক
    ক) 2
  2. খ
    খ) 3
  3. গ
    গ) 6
  4. ঘ
    ঘ) 4
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: x - 1/x = 1 হলে x3 - 1/x3 এর মান কত?

সমাধান: 
x - 1/x = 1

এখন 
 x3 - 1/x3 = (x - 1/x)3 + 3.x.1/x(x - 1/x)
= 13 + 3.1
= 1 + 3
= 4
১,৫০৬.
x3 + x2y, x2y + xy2, x3 + y3 এবং (x + y)3 এর ল.সা.গু. কত?
  1. ক
    x3y(x + y)3
  2. খ
    x2y(x + y)2(x3 + y3)
  3. গ
    xy(x + y)3(x2 - xy + y2)
  4. ঘ
    x2y(x + y)(x2 - xy + y2)
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: x3 + x2y, x2y + xy2, x3 + y3 এবং (x + y)3 এর ল.সা.গু. কত?

সমাধান:
এখানে,
প্রথম রাশি,
x3 + x2y 
= x2(x + y) 

দ্বিতীয় রাশি,
x2y + xy2
= xy(x + y) 

তৃতীয় রাশি,
x3 + y3
= (x + y)(x2 - xy + y2) 

চতুর্থ রাশি,
 (x + y)3
= (x + y)(x + y)(x + y)

ল.সা.গু. = x2y(x + y)3(x2 - xy + y2)
= x2y(x + y)2(x3 + y3)

১,৫০৭.
a এর মান কত হলে 16 - 24x + ax2 একটি পূর্ণবর্গ হবে?
  1. ক
    8
  2. খ
    9
  3. গ
    16
  4. ঘ
    - 9
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: a এর মান কত হলে 16 - 24x + ax2 একটি পূর্ণবর্গ হবে?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
= 16 - 24x + ax2
= 42 - 2 × 4 × 3x + (√a  × x)2

এখন,
⇒ √a = 3
∴ a = 9
১,৫০৮.
যদি p + q = 5 এবং p - q = 3 হয়, তবে p2 + q2 =?
  1. ক
    ক) 15
  2. খ
    খ) 17
  3. গ
    গ) 19
  4. ঘ
    ঘ) 21
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: যদি p + q = 5 এবং p - q = 3 হয়, তবে p2 + q2 = ?

সমাধান:
দেওয়া আছে
p + q = 5 
p - q = 3 

আমরা জানি
2(p2 + q2) = (p + q)2 + (p - q)2
বা, 2(p2 + q2)  = 52 + 32
বা, 2(p2 + q2) = 25 + 9
বা, 2(p2 + q2) = 34
বা, (p2 + q2) = 34/2
(p2 + q2) = 17
১,৫০৯.
a এর মান কত হলে, 9 - 12x + ax2 একটি পূর্ণবর্গ হবে?
  1. ক
    8
  2. খ
    6
  3. গ
    - 6
  4. ঘ
    4
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন:  a এর মান কত হলে, 9 - 12x + ax2  একটি পূর্ণবর্গ হবে?

সমাধান: 
9 - 12x + ax2 = 32 - 2.3.2x  + (2x)2
9 - 12x + ax2  = 9 - 12x + 4x2
ax2 = 4x2

a = 4 হলে রাশিটি পূর্নবর্গ হবে।
১,৫১০.
x + 1/2x = 3 হয়, তবে 8x3 + 1/x3 এর মান কত?
  1. ক
    ক) 252
  2. খ
    খ) 180
  3. গ
    গ) 170
  4. ঘ
    ঘ) 126
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: x + 1/2x = 3 হয়, তবে 8x3 + 1/x3 এর মান কত? 

সমাধান: 
x + 1/2x = 3
2(x + 1/2x) = 3× 2
2x + 1/x = 6


8x3+ 1/x3 = (2x)3 + (1/x)3
= (2x + 1/x)3 - 3.2x.(1/x)(2x + 1/x)
= 63 - 6 × 6
= 216 - 36
= 180
১,৫১১.
a + b = ৪ এবং a - b = 2 হলে ab এর মান কত?
  1. ক
    4
  2. খ
    8
  3. গ
    15
  4. ঘ
    16
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: a + b = ৪ এবং a - b = 2 হলে ab এর মান কত?

সমাধান:
a + b = 8 
a - b = 2

আমরা জানি,
4ab = (a + b)2 - (a - b)2
4ab = 82 - 22
4ab = 64 - 4
4ab = 60
ab =15
১,৫১২.
x2 + y2 + z2 = 9 এবং xy + yz + zx  = 8 হলে, (x + y + z)2 এর মান কত?
  1. ক
    ক) 12
  2. খ
    খ) 13
  3. গ
    গ) 25
  4. ঘ
    ঘ) 36
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: x2 + y2 + z2 = 9 এবং xy + yz + zx  = 8 হলে, (x + y + z)2 এর মান কত? 

সমাধান:
দেয়া আছে
x2 + y2 + z2 = 9 
xy + yz + zx  = 8

(x + y + z)2 = x2 + y2 + z2 + 2(xy + yz + zx)
                    = 9 + 2(8)
                     = 9 + 16 
                     = 25
১,৫১৩.
  1. ক
    74
  2. খ
    62
  3. গ
    52
  4. ঘ
    48
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন:

সমাধান:
দেওয়া আছে,
x + (1/16x) = 1
বা, 4x + (4/16x) = 4
বা, 4x + (1/4x) = 4
বা, (4x + 1/4x)3 = 43
বা, (4x)3 + (1/4x)3 + 3 . 4x . 1/4x ((4x + 1/4x) = 64
বা, 64x3 + 1/64x3 + 3 . 4 = 64
বা, 64x3 + 1/64x3 + 12 = 64
বা, 64x3 + 1/64x3 = 64 - 12
∴ 64x3 + 1/64x3 = 52
১,৫১৪.
x + 1/x = √5 হলে, x3 + 1/x3 =?
  1. ক
    0
  2. খ
    2√5
  3. গ
    √5
  4. ঘ
    3√5
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: x + 1/x = √5 হলে, x3 + 1/x3 =?

সমাধান:
x3 + 1/x3
= (x + 1/x)3 - 3.x.(1/x)(x + 1/x)
= (√5)3 - 3 × √5
= 5√5 - 3√5
= 2√5
১,৫১৫.
x + y = 2 এবং x3 + y3 = 20 হলে x2 + y2 = ?
  1. ক
    ক) -8
  2. খ
    খ) -1
  3. গ
    গ) 0
  4. ঘ
    ঘ) 8
ব্যাখ্যা

x3 + y3 = 20
বা, (x + y)3 - 3xy(x + y) = 20
বা, 23 - 3xy.2 = 20
বা, -6xy = 12
∴ xy = -2
x2 + y2
= (x + y)2 - 2xy
= 22 - 2.(-2)
= 4 + 4
= 8

১,৫১৬.
যদি p + q = √7 এবং p - q = √3 হয়, তবে 8pq(p2 + q2) এর মান কত?
  1. ক
    24
  2. খ
    40
  3. গ
    60
  4. ঘ
    84
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: যদি p + q = √7 এবং p - q = √3 হয়, তবে 8pq(p2 + q2) এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
p + q = √7
p - q = √3

আমরা জানি,
4pq = (p + q)2 - (p - q)2
এবং,
2(p2 + q2) = (p + q)2 + (p - q)2

এখন,
8pq(p2 + q2)
= (4pq) × 2(p2 + q2)
= [(p + q)2 - (p - q)2] × [(p + q)2 + (p - q)2]
= [(√7)2 - (√3)2] × [(√7)2 + (√3)2]
= (7 - 3) × (7 + 3)
= 4 × 10
= 40

সুতরাং, 8pq(p2 + q2) এর মান 40।

১,৫১৭.
a2 + b2 = 25 এবং b = 12/a হলে, (a + b)2 এর মান কত?
  1. ক
    64
  2. খ
    81
  3. গ
    49
  4. ঘ
    100
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: a2 + b2 = 25 এবং b = 12/a হলে, (a + b)2 এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
a2 + b2 = 25
এবং, b = 12/a
⇒ ab = 12

আমরা জানি,
(a + b)2 = a2 + 2. a. b + b2
= a2 + b2 + 2ab
= 25 + {2 × (12)}
= 25 + 24
= 49
১,৫১৮.
a + (1/a) = 4 হলে, a4 + (1/a4) এর মান কত?
  1. ক
    184
  2. খ
    194
  3. গ
    160
  4. ঘ
    200
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: a + (1/a) = 4 হলে, a4 + (1/a4) এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
a + (1/a) = 4

এখন,
{a4 + (1/a4)} 
= (a2)2 + (1/a2)2
= {a2 + (1/a2)}2 - 2 · a2 . (1/a2)
= [{a + (1/a)}2 - 2 · a · (1/a)]2 - 2
= {(4)2 - 2}2 - 2
= (14)2 - 2
= 196 - 2
= 194

১,৫১৯.
x4 + 1/x4 = 47 হলে, x + 1/x = ?
  1. ক
    -3
  2. খ
    -7
  3. গ
    7
  4. ঘ
    49
ব্যাখ্যা

x4 + 1/x4 = 47
বা, (x2 + 1/x2)2 - 2.x2.1/x2 = 47
বা, (x2 + 1/x2)2 - 2 = 47
বা, (x2 + 1/x2)2 = 49
x2 + 1/x2 = 7
(x + 1/x)2 - 2.x.1/x = 7
বা, (x + 1/x)2 = 9
∴ x + 1/x = ± 3

১,৫২০.
4x2 - 20x এর সাথে কত যোগ করলে যোগফল পূর্ণবর্গ হবে?
  1. ক
    ক) 4
  2. খ
    খ) 9
  3. গ
    গ) 16
  4. ঘ
    ঘ) 25
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 4x2 - 20x এর সাথে কত যোগ করলে যোগফল পূর্ণবর্গ হবে?

সমাধান:
4x2 - 20x
= (2x)2 - 2.2x.5 + 52 - 52
= (2x - 5)2 - 25

4x2 - 20x এর সাথে 25 যোগ করলে যোগফল পূর্ণবর্গ হবে। 
১,৫২১.
যদি x + 1/x = 3 হয়, তাহলে x3 + 1/x3 = ?
  1. ক
    0
  2. খ
    18
  3. গ
    27
  4. ঘ
    9
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: যদি x + 1/x = 3 হয়, তাহলে x3 + 1/x3 = ?

সমাধান: 
দেওয়া আছে
 x + 1/x = 3

প্রদত্ত রাশি = x3 + 1/x3
= (x + 1/x)3 - 3.x.1/x(x + 1/x)
= 33 - 3 × 3
= 27 - 9
= 18
১,৫২২.
x + y = 14 এবং xy = 45 হলে, (1/x2) + (1/y2) এর মান কত?
  1. ক
    54/191
  2. খ
    106/2025
  3. গ
    36/983
  4. ঘ
    237/1036
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: x + y = 14 এবং xy = 45 হলে, (1/x2) + (1/y2) এর মান কত?

সমাধান:
(1/x2) + (1/y2) 
= (x2 + y2)/x2y2
= {(x + y)2 - 2xy}/(xy)2
= (142 - 2 · 45)/452
= (196 - 90)/2025
= 106/2025
১,৫২৩.
a + 1/a = 2 হলে, a3 + 1/a3 এর মান কত?
  1. ক
    9
  2. খ
    14
  3. গ
    3
  4. ঘ
    2
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: a + 1/a = 2 হলে, a3 + 1/a3 এর মান কত? 

সমাধান: 
আমরা জানি, 
a3 + 1/a3 = (a + 1/a)3 - 3.a.1/a (a + 1/a) 
= (2)3 - 3. 2 
= 8 - 6
= 2
১,৫২৪.
a - [a - {a - (a + 1)}] এর মান কত?
  1. ক
    a + 1
  2. খ
    1
  3. গ
    a - 1
  4. ঘ
    - 1
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: a - [a - {a - (a + 1)}] এর মান কত?

সমাধান:
a - [a - {a - (a + 1)}]
= a - [a - {a - a - 1}]
= a - [a - {- 1}]
= a - [a + 1]
= a - a - 1
= - 1

১,৫২৫.
a3 + b3 = 91 এবং a + b = 7 হলে, ab = ?
  1. ক
    16
  2. খ
    12
  3. গ
    6
  4. ঘ
    14
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: a3 + b3 = 91 এবং a + b = 7 হলে, ab = ?

সমাধান:
দেওয়া আছে, 
a3 + b3 = 91 
a + b = 7

আমরা জানি,
a³ + b³ = (a + b)3 − 3ab(a + b)
⇒ 91 = (7)3 - 3ab × 7
⇒ 91 = 343 - 21ab 
⇒ 21ab = 343 - 91 
⇒ 21ab = 252
⇒ ab = (252 ÷ 21)
⇒ ab = 12
১,৫২৬.
9a2 + 25b2 রাশিটির সাথে নিচের কোনটি যোগ করলে যোগফল পূর্ণ বর্গ হবে?
  1. ক
    ক) 25ab
  2. খ
    খ) 20ab
  3. গ
    গ) - 20ab
  4. ঘ
    ঘ) 30ab
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 9a2 + 25b2 রাশিটির সাথে নিচের কোনটি যোগ করলে যোগফল পূর্ণ বর্গ হবে?

সমাধান: 
9a2 + 25b2
= (3a)2 + 2.3a.5b + (5b)2 - 24ab
= (3a + 5b)2 - 30ab
অতএব, 9a2 + 25b2 রাশিটির সাথে 30ab যোগ করলে যোগফল পূর্ণ বর্গ হবে।
১,৫২৭.
a + b = 13 এবং a - b = 3 হলে, 2a2 + 2b2 এর মান নির্ণয় করুন-
  1. ক
    178
  2. খ
    201
  3. গ
    188
  4. ঘ
    320
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: a + b = 13 এবং a - b = 3 হলে, 2a2 + 2b2 এর মান নির্ণয় করুন-

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
a + b = 13 এবং a - b = 3

প্রদত্ত রাশি,
2a2 + 2b2
= 2(a2 + b2)
= (a + b)2 + (a - b)2
= 132 + 32
= 169 + 9
= 178

১,৫২৮.
a + b = 8, a - b = 6 হলে ab এর মান কত?
  1. ক
    ক) 5
  2. খ
    খ) 6
  3. গ
    গ) 7
  4. ঘ
    ঘ) 8
ব্যাখ্যা
দেয়া আছে
a + b =8
a - b = 6

আমরা জানি 
4ab = (a + b)2 - (a - b)2
4ab = 82 - 62
4ab = 64 - 36 
4ab = 28
ab = 7
১,৫২৯.
x2 + 3x + 2 , x2 - 1 এবং x2 + x - 2 এর ল.সা.গু কত?
  1. ক
    ক) (x + 2)(x + 1)(x - 3)
  2. খ
    খ) (x + 2)(x + 1)(x - 1)
  3. গ
    গ) (x + 3)(x + 2)(x - 1)
  4. ঘ
    ঘ) (x + 2)(x + 1)(x - 2)
ব্যাখ্যা
১ম রাশি  = x2 + 3x + 2
               = x2 + 2x + x + 2
               = x(x + 2) + 1 (x + 2)
               = (x + 2) (x + 1)

২য় রাশি = x2 - 1
             = x2 - 12
             = (x + 1) (x - 1)

৩য় রাশি  = x2 + x - 2
               = x2 + 2x - x - 2
               = x(x + 2) - 1 (x + 2)
               = (x + 2)(x - 1)

নির্ণেয় ল.সা.গু = (x + 2)(x + 1)(x - 1)
১,৫৩০.
x + 1/x = 2, y - 1/y = 3 হলে, x2 + y2 +(1/x2) + (1/y2) এর মান কত?
  1. ক
    ক) 11
  2. খ
    খ) 12
  3. গ
    গ) 13
  4. ঘ
    ঘ) 14
ব্যাখ্যা
দেয়া আছে,
x + 1/x = 2
y - 1/y = 3

এখন 
x2 + y2 +(1/x2) + (1/y2) = x2 + (1/x2) + y2 + (1/y2) 
                                      = {(x + 1/x)2 - 2.x.1/x} + {(y - 1/y)2 + 2.y.1/y }
                                      = (22 - 2) +(32 + 2)
                                      =(4 - 2) + (9 + 2)
                                      = 2 + 11
                                      = 13 
১,৫৩১.
3x + 2 = 8 হলে 27x3 + 8 - 81x এর মান কত?
  1. ক
    124
  2. খ
    178
  3. গ
    232
  4. ঘ
    62
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 3x + 2 = 8 হলে 27x3 + 8 - 81x এর মান কত?

সমাধান:
3x + 2 = 8
⇒ 3x = 6
⇒ x = 2

প্রদত্ত রাশি = 27x3 + 8 - 81x
= 27(2)3 + 8 - 81 × 2
= 27 × 8 + 8 - 162
= 224 - 162
= 62
১,৫৩২.
x - 1/x = √5 হলে, x6 + 1/x6 এর মান নির্ণয় করুন ।
  1. ক
    ক) 275
  2. খ
    খ) 322
  3. গ
    গ) 425
  4. ঘ
    ঘ) 527
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: x - 1/x = √5 হলে, x6 + 1/x6 এর মান নির্ণয় করুন ।
 
সমাধান: 
দেওয়া আছে,
x - 1/x = √5   

এখন 
 x6 + 1/x6
= ( x3 )2 + ( 1/x3 )2
= ( x3 - 1/x3 )2 + 2.x3.1/x3
= [ ( x3 - 1/x3 )3 + 3.x.1/x ( x - 1/x ) ]2 + 2
= [ ( √5 )3 + 3√5 ]2 + 2
= [ 5√5 + 3√5 ]2 + 2
= [ 8√5 ]2 + 2 
= 64 × 5+ 2 
= 320 + 2
= 322
১,৫৩৩.
a = √3 - b এবং a - b = √2 হলে, 8a3b + 8ab3 এর মান কত?
  1. ক
    5
  2. খ
    2√5
  3. গ
    2
  4. ঘ
    5√5
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: a = √3 - b এবং a - b = √2 হলে, 8a3b + 8ab3 এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে, a = √3 - b
বা, a + b = √3
এবং, a - b = √2

এখন, 8a3b + 8ab3  = 8ab(a2 + b2)
= 4ab × 2(a2 + b2)
= {(a + b)2 - (a - b)2}{(a + b)2 + (a - b)2}
= {(√3)2 - (√2)2}{(√3)2 + (√2)2}
= (3 - 2)(3 + 2)
= 1 × 5
= 5
১,৫৩৪.
a + b = -c হলে a3 + b3 - 3abc = ?
  1. ক
    ক) -c3
  2. খ
    খ) c3
  3. গ
    গ) a3
  4. ঘ
    ঘ) -a3
ব্যাখ্যা

a + b = -c
∴ a + b + c = 0
এখন,
a3 + b3 - 3abc = a3 + b3 + c3 - 3abc - c3
= (a + b + c)(a2 + b2 + c2 - ab - bc - ca) - c3
= 0 - c3
= -c3

১,৫৩৫.
a3 - b3 = 513 এবং a - b = 3 হলে ab এর মান কত?
  1. ক
    45
  2. খ
    60
  3. গ
    48
  4. ঘ
    54
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: যদি a3 - b3 = 513 এবং a - b = 3 হয়, তবে ab এর মান কত? 

সমাধান: 
দেয়া আছে,
 a3 - b3 = 513
 a - b = 3

আমরা জানি,
(a - b)3 = a3 - b3 - 3ab(a - b)
33 = 513 - 3ab(3)
27 = 513  - 9ab
9ab = 513 - 27 
9ab = 486
ab = 486/9
ab = 54

১,৫৩৬.
x + y = 7 এবং xy = 10 হলে (x - y)2 -এর মান কত?
  1. ক
    ক) 3
  2. খ
    খ) 6
  3. গ
    গ) 9
  4. ঘ
    ঘ) 12
ব্যাখ্যা

(x - y)2 = (x + y)2 - 4xy
=72 - (4 × 10)
= 9

১,৫৩৭.
a = 1 হলে, a20 + 1/a20 এর মান কত?
  1. ক
    0
  2. খ
    1
  3. গ
    2
  4. ঘ
    20
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: a = 1 হলে, a20 + 1/a20 এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
a = 1

a20 + 1/a20
= (1)20 + 1/(1)20
= 1 + 1
= 2
১,৫৩৮.
(a2/b2) + 2(a/b) এর সাথে কত যোগ করলে সংখ্যাটি পূর্ণ বর্গ হবে?
  1. ক
    1
  2. খ
    ab
  3. গ
    a/b
  4. ঘ
    1/ab
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: (a2/b2) + 2(a/b) এর সাথে কত যোগ করলে সংখ্যাটি পূর্ণ বর্গ হবে?

সমাধান:
(a2/b2) + 2(a/b)
= (a/b)2 + 2 ⋅ (a/b) ⋅ 1 + 12 - 1
= {(a/b) + 1}2 - 1

∴ (a2/b2) + 2(a/b) এর সাথে 1 যোগ করলে সংখ্যাটি পূর্ণ বর্গ হবে।
১,৫৩৯.
x - y = 2 এবং xy = 24 হলে, x-এর ধনাত্মক মানটি- 
  1. ক
    3
  2. খ
    4
  3. গ
    5
  4. ঘ
    6
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: x - y = 2 এবং xy = 24 হলে, x-এর ধনাত্মক মানটি- 

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
x - y = 2 ....................(1)
এবং xy = 24

আমরা জানি, 
(x + y)2 = (x - y)2 + 4xy
বা, (x + y)2 = (2)2 + (4 × 24)
বা, (x + y)2 = 4 + 96 
বা, (x + y)2 = 100
বা, x + y = √100
বা, x + y = ± 10
∴ x + y = 10 ................(2) [ধনাত্মক মান নিয়ে]

(1) নং + (2) নং হতে পাই ⇒
x + y + x - y = 10 + 2
বা, 2x = 12
বা, x = 12/2
∴ x = 6
১,৫৪০.
a - b = - ৪ এবং ab = 4 হলে, (a + b)2 এর মান কত?
  1. ক
    80
  2. খ
    70
  3. গ
    90
  4. ঘ
    60
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: a - b = - ৪ এবং ab = 4 হলে, (a + b)2 এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে
a - b = - ৪ 
ab = 4

আমরা জানি
(a + b)2 = (a - b)2 + 4ab
(a + b)2 = (- 8)2 + 4 × 4
(a + b)2 = 64 + 16
(a + b)2 = 80
১,৫৪১.
  1. ক
    7√13
  2. খ
    36
  3. গ
    4
  4. ঘ
    19√13
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 

সমাধান: 

১,৫৪২.
যদি x + y = 12 এবং xy = 35 হয়, তবে, x2 + y2 = কত?
  1. ক
    58
  2. খ
    45
  3. গ
    64
  4. ঘ
    74
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: যদি x + y = 12 এবং xy = 35 হয়, তবে, x2 + y2 = কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
x + y = 12 এবং xy = 35

আমরা জানি, 
x2 + y2 = (x + y)2 - 2xy
⇒ x2 + y2 = (12)2 - 2(35)
⇒x2 + y2 = 144 - 70
∴ x2 + y2 = 74

১,৫৪৩.
2a + a-1 = √6 হলে, 8a3 + a-3 এর মান কত?
  1. ক
    0
  2. খ
    1/√6
  3. গ
    6
  4. ঘ
    2√6
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 2a + a-1 = √6 হলে, 8a3 + a-3 এর মান কত?

সমাধান:
2a + a-1 = √6
⇒ 2a + (1/a) = √6

এখন,
8a3 + a-3 = 8a3 + (1/a3)
= (2a)3 + (1/a)3
= {2a + (1/a)}3 - 3 ⋅ 2a ⋅ (1/a){2a + (1/a)}
= (√6)3 - 6√6
= 6√6 - 6√6
= 0
১,৫৪৪.
গ.সা.গু নির্ণয় করুন: xy - y; x3y - xy; x2 - 2x + 1
  1. ক
    ক) x - 1
  2. খ
    খ) x + 1
  3. গ
    গ) xy
  4. ঘ
    ঘ) xy(x2 - 1)
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন- গ.সা.গু নির্ণয় করুন: xy - y; x3y - xy; x2 - 2x + 1

সমাধান - 
১ম রাশি = xy - y
= y(x - 1)

২য় রাশি = x3y - xy
= xy(x2 - 1)
= xy(x + 1)(x - 1)

৩য় রাশি = x2 - 2x + 1
= (x - 1)2
= (x - 1)(x - 1)

∴ নির্ণেয় গ.সা.গু = (x - 1)
১,৫৪৫.
যদি a + b = 13 এবং a2 + b2 = 85 হয়, তবে a3 + b3 এর মান কত? 
  1. ক
    189
  2. খ
    364
  3. গ
    449
  4. ঘ
    559
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: যদি a + b = 13 এবং a2 + b2 = 85 হয়, তবে a3 + b3 এর মান কত? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে,
a2 + b2 = 85
এবং
a + b = 13
⇒ (a + b)2 = (13)2
⇒ a2 + 2ab + b2 = 169
⇒ a2 + b2 + 2ab = 169
⇒ 85 + 2ab = 169
⇒ 2ab = 169 - 85
⇒ 2ab = 84
⇒ ab = 84/2
⇒ ab = 42

এখন,
a3 + b3 = (a + b)3 - 3ab(a + b)
= (13)3 - (3 × 42 × 13)
= 2197 - 1638
= 559

১,৫৪৬.
a + b = 9m এবং ab = 18m² হলে a-b এর মান কত?
  1. ক
    ক) 3m
  2. খ
    খ) -3m
  3. গ
    গ) ±3m
  4. ঘ
    ঘ) 6m
ব্যাখ্যা

(a-b)2
= (a+b)2 - 4ab
= (9m)2 - 4X18m2
= 81m2 - 72m2
= 9m2
∴ (a-b) = ±3m

১,৫৪৭.
x2 - 8x - 8y + 16 + y2 এর মান কত হলে যোগফল পূর্ণবর্গ হবে?
  1. ক
    - 2xy
  2. খ
    8xy
  3. গ
    6xy
  4. ঘ
    2xy
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: x2 - 8x - 8y + 16 + y2 এর মান কত হলে যোগফল পূর্ণবর্গ হবে?

সমাধান:
x2 - 8x - 8y + 16 + y2
= x2 + y2 + (- 4)2 + 2. x.( - 4) + 2.y.(- 4) + 2.x.y - 2xy
= (x + y - 4)2 - 2xy

x2 - 8x - 8y + 16 + y2 এর সাথে 2xy যোগ করলে যোগফল পূর্ণবর্গ হবে।
১,৫৪৮.
a = 2c, a/b = c/d এবং d = 3 হলে 2b = কত?
  1. ক
    6
  2. খ
    12
  3. গ
    9
  4. ঘ
    18
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: a = 2c, a/b = c/d এবং d = 3 হলে 2b = কত?

সমাধান:
a/b = c/d
⇒ 2c/b = c/d [যেহেতু a = 2c]
⇒ 2cd = bc
⇒ b = 2d
⇒ b = 2 × 3
⇒ b = 6

∴ 2b = 2 × 6 = 12
১,৫৪৯.
a + b = √7 এবং a - b = √3 হলে, 8ab(a2 + b2) = ?
  1. ক
    24
  2. খ
    32
  3. গ
    40
  4. ঘ
    45
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: a + b = √7 এবং a - b = √3 হলে, 8ab(a2 + b2) = ?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
a + b = √7 এবং a - b = √3

এখন,
8ab(a2 + b2)
= 4ab × 2(a2 + b2)
= {(a + b)2 - (a - b)2}{(a + b)2 + (a - b)2}
= {(√7)2 - (√3)2}{(√7)2 +(√3)2}
= (7 - 3)(7 + 3)
= 4 × 10
= 40
১,৫৫০.
x + (1/x) = √10 হলে, x3 + (1/x3) এর মান কত?
  1. ক
    7√10
  2. খ
    14√5
  3. গ
    0
  4. ঘ
    6√10
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: x + (1/x) = √10 হলে, x3 + (1/x3) এর মান কত?

সমাধান:
এখানে, x + (1/x) = √10

আমরা জানি,
x3 + (1/x3) = (x + 1/x)3 - 3 . x . (1/x)(x + 1/x)
= (x + 1/x)3 - 3(x + 1/x)
= (√10)3 - 3 × √10
= 10√10 - 3√10
= 7√10

১,৫৫১.
x2 + 1/x2 এর নিম্নোক্ত কোন মানের জন্য x3 - 1/x3=0 হবে?
  1. ক
    2
  2. খ
    - 2
  3. গ
    0
  4. ঘ
    1
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: x2 + 1/x2 এর নিম্নোক্ত কোন মানের জন্য x3 - 1/x3=0 হবে?

সমাধান:
x3 - 1/x3 = 0
বা, (x - 1/x)3 + 3.x.(1/x)(x - 1/x) = 0
বা, (x - 1/x) {(x - 1/x)2 + 3} = 0

∴ x - 1/x = 0 এবং (x - 1/x)2 + 3 ≠ 0
বা, (x - 1/x)2 = 0
বা, x2 + 1/x2 - 2 . x . 1/x = 0
∴ x2 + 1/x2 = 2

∴ x2 + 1/x2 = 2 এর মানের জন্য x3 - (1/x3) = 0 হবে।
১,৫৫২.
a2 + b2 = 169 এবং a - b = 7 হলে, ab = কত?
  1. ক
    60
  2. খ
    49
  3. গ
    120
  4. ঘ
    169
ব্যাখ্যা
(a - b)2 = a2 + b2 - 2ab
⇒ 72 = 169 - 2ab
⇒ 2ab = 169 - 49 = 120
⇒ ab = 60
১,৫৫৩.
a + b = -c হলে a3 + b3 + c3 এর মান-
  1. ক
    ক) 0
  2. খ
    খ) abc
  3. গ
    গ) 2abc
  4. ঘ
    ঘ) 3abc
ব্যাখ্যা

a + b = -c
∴ a + b + c = 0

এখন, a3 + b3 + c3
= a3 + b3 + c3 - 3abc + 3abc
= (a + b + c)(a2 + b2 + c2 - ab - bc - ca) + 3abc
= 0 × (a2 + b2 + c2 - ab - bc - ca) + 3abc
= 3abc 

১,৫৫৪.
p + (1/p) = √3 + √2 হলে, p2 + (1/p2) এর মান কত?
  1. ক
    5 + 2√6
  2. খ
    1 + 2√6
  3. গ
    7 + 2√6
  4. ঘ
    3 + 2√6
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: p + (1/p) = √3 + √2 হলে, p2 + (1/p2) এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
p + (1/p) = √3 + √2

প্রদত্ত রাশি, p2 + (1/p2)
= {p + (1/p)}2 - 2 · p · (1/p)
= (√3 + √2)2 - 2
= (√3)2 + 2 · √3 · √2 + (√2)2 - 2
= 3 + 2 · √3 · √2 + 2 - 2
= 3 + 2√6
১,৫৫৫.
1/a = √6 - 2a হলে, 8a3 + (1/a3) এর মান কত?
  1. ক
    0
  2. খ
    1
  3. গ
    1/2
  4. ঘ
    3
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 1/a = √6 - 2a হলে, 8a3 + (1/a3) এর মান কত?

সমাধান:
1/a = √6 – 2a
⇒ 2a + (1/a) = √6

8a3 + (1/a3) = (2a)3 + (1/a)3
= {2a + (1/a)}3 – 3 × 2a × (1/a) {2a + (1/a)}
= (√6)3 – 6√6
= 6√6 – 6√6
= 0
১,৫৫৬.
a3 + b3 এর সূত্র কোনটি?
  1. ক
    (a + b)(a2 - ab + b2)
  2. খ
    (a - b)(a2 + ab + b2)
  3. গ
    (a + b)3 + 3ab(a + b)
  4. ঘ
    (a - b)3 + 3ab(a - b)
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: a3 + b3 এর সূত্র কোনটি?

সমাধান: 
সূত্র: 
1. a3 + b3 = (a + b)(a2 - ab + b2)
2. a3 - b3 = (a - b)(a2 + ab + b2)

অনুসিদ্ধান্ত:
1. a3 + b3 = (a + b)3 - 3ab(a + b)
2. a3 - b3 = (a - b)3 + 3ab(a - b)
১,৫৫৭.
x + (2/x) = 3 হলে x3 + (8/x3) এর মান কত?
  1. ক
    1
  2. খ
    8
  3. গ
    9
  4. ঘ
    18
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: x + (2/x) = 3 হলে x3 + (8/x3) এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
x + (2/x) = 3

∴ x3 + (8/x3)
= (x)3 + (2/x)3
= {x + (2/x)}3 - 3(x)(2/x){x + (2/x)}
= 33 - (3 × 2 × 3)
= 27 - 18 
= 9
১,৫৫৮.
x + (2/x) = 3 হলে x3 + (8/x3) = কত?
  1. ক
    0
  2. খ
    9
  3. গ
    8
  4. ঘ
    16
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: x + (2/x) = 3 হলে x3 + (8/x3) = কত? 

সমাধান: 
প্রদত্ত রাশি = x3 + (8/x3) 
= {x + (2/x)}3 - 3.x.2/x {x + (2/x)} 
= (3)3 - 6 × 3 
= 27 - 18 
= 9
১,৫৫৯.
x = 1 + √3 হলে x3 = কত?
  1. ক
    4 + 3√3
  2. খ
    5 + 6√3
  3. গ
    10 + 9√3
  4. ঘ
    10 + 6√3
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: x = 1 + √3 হলে x3 = কত?

সমাধান: 
 x = 1 + √3

x3 = (1 + √3)3
= 13 + 3.12.√3 + 3.1.(√3)2 + (√3)3
= 1 + 3√3 + 9 + 3√3
 = 10 + 6√3
১,৫৬০.
যদি x = -1 হয় x4 + 1/x3 + x = ?
  1. ক
    ক) -1
  2. খ
    খ) 1
  3. গ
    গ) 0
  4. ঘ
    ঘ) -2
ব্যাখ্যা

x4 + 1/x3 + x
= 1 - 1 - 1
= -1

১,৫৬১.
( 4a - 8b )3 - ( 3a - 9b )3 - 3 ( a + b )( 4a - 8b ) ( 3a - 9b ) রাশি এর সরল রূপ নিচের কোনটি?
  1. ক
    ক) ( a + b )
  2. খ
    খ) ( a - b )2
  3. গ
    গ) ( a + b )3
  4. ঘ
    ঘ) ab
ব্যাখ্যা

 ধরি, 4a - 8b = x এবং 3a - 9b = y
∴ x - y = 4a - 8b - 3a + 9b = a + b
 এখন প্রদত্ত রাশি = x3 -y3 -3 ( x - y ) xy
= ( x- y )3 =  ( a + b )3

১,৫৬২.
12x2y4 কে 5x2y3 দ্বারা গুণ করলে গুণফল কত হবে?
  1. ক
    60x4y7
  2. খ
    17x4y7
  3. গ
    60x5y7
  4. ঘ
    60x4y6
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 12x2y4 কে 5x2y3 দ্বারা গুণ করলে গুণফল কত হবে? 

সমাধান: 
12x2y4 × 5x2y3
= (12 × 5) × (x2 × x2) × (y4 × y3)
= (12 × 5) × (x2 + 2) × (y4 + 3)
= 60x4y7  [সূচক নিয়ম অনুযায়ী]

∴ নির্ণেয় গুণফল = 60x4y7

১,৫৬৩.
a + b = 6 এবং a2 + b2 = 20 হলে, a3 + b3 এর মান কত?
  1. ক
    56
  2. খ
    64
  3. গ
    72
  4. ঘ
    80
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: a + b = 6 এবং a2 + b2 = 20 হলে, a3 + b3 এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
a + b = 6
এবং a2 + b2 = 20
⇒ (a + b)2 - 2ab = 20
⇒ - 2ab = 20 - (a + b)2
⇒ - 2ab = 20 - (6)2
⇒ - 2ab = - 16
∴ ab = 8

∴ a3 + b3 = (a + b)3 - 3ab(a + b)
= (6)3 - 3 · 8 · 6
= 216 - 144 = 72
১,৫৬৪.
দুইটি সংখ্যার যোগফল ৪৮ এবং তাদের গুণফল ৪৩২। ছোট সংখ্যাটি কত?
  1. ক
    ক) ১২
  2. খ
    খ) ৮
  3. গ
    গ) ১৬
  4. ঘ
    ঘ) ১৪
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: দুইটি সংখ্যার যোগফল ৪৮ এবং তাদের গুণফল ৪৩২। ছোট সংখ্যাটি কত?

সমাধান: 
 ধরি,
বড় সংখ্যাটি = a 
 ছোট সংখ্যাটি = b

শর্তমতে 
a + b = 48..................(1)
ab = 432

আমরা জানি,
(a - b)2 = (a + b)2 + 4ab
(a - b)2 = 482 - 4 × 4.32
(a - b)2 = 2304 - 1728
(a - b)2 = 576
a - b = √576
a - b = 24........................(2)

(1) + (2)  নং যোগ করে পাই,
a + b + a - b = 48 + 24 
2a = 72
a = 36

a এর মান  (১) নং এ বসিয়ে পাই,
36 + b = 48
b = 48 - 36
b = 12
১,৫৬৫.
x3 - y3 = 513 এবং x - y = 3 হলে xy এর মান কত?
  1. ক
    35
  2. খ
    54
  3. গ
    45
  4. ঘ
    55
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: x3 - y3 = 513 এবং x - y = 3 হলে xy এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে
x3 - y3 = 513
x - y = 3

আমরা জানি
(x - y)3 = x3 - y3 - 3xy(x - y)
33 = 513 - 3xy × 3
27 = 513 - 9xy
9xy = 513 - 27
9xy = 486
xy = 486/9
xy = 54
১,৫৬৬.
যদি x + y = 6 এবং x2 + y2 = 20 হয়, তবে x3 + y3 এর মান কত?
  1. ক
    65
  2. খ
    72
  3. গ
    124
  4. ঘ
    96
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: যদি x + y = 6 এবং x2 + y2 = 20 হয়, তবে x3 + y3 এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে, x + y = 6 এবং x2 + y2 = 20

আমরা জানি,
(x + y)2 = x2 + y2 + 2xy
বা, 62 = 20 + 2xy
বা, 36 = 20 + 2xy
বা, 2xy = 36 - 20
বা, 2xy = 16
∴ xy = 8

প্রদত্ত রাশি,
x3 + y3 = (x + y)3 - 3xy(x + y)
= 63 - 3(8) × 6
= 216 - 3(48)
= 216 - 144
= 72

১,৫৬৭.
p = 7a + 5b + 6c, q = 3a - b + 9c এবং r = - 3c + 6b + 4a হলে,  3p - 4q + 7r মান নির্ণয় করুন।
  1. ক
    37a + 61b - 49c
  2. খ
    37a + 61b - 39c
  3. গ
    37a + 63b - 39c
  4. ঘ
    27a + 61b - 39c
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: p = 7a + 5b + 6c, q = 3a - b + 9c এবং r = - 3c + 6b + 4a হলে,  3p - 4q + 7r মান নির্ণয় করুন।

সমাধান:
দেওয়া আছে,
p = 7a + 5b + 6c
q = 3a - b + 9c
এবং r = - 3c + 6b + 4a

∴ 3p - 4q + 7r = 3(7a + 5b + 6c) - 4(3a - b + 9c) + 7(- 3c + 6b + 4a)
= 21a + 15b + 18c - 12a + 4b - 36c + 28a + 42b - 21c
= 37a + 61b - 39c

১,৫৬৮.
√7 - x = y এবং x - √3 = y হলে, 4xy = ?
  1. ক
    ক) 1
  2. খ
    খ) 4
  3. গ
    গ) 8
  4. ঘ
    ঘ) 16
ব্যাখ্যা

√7 - x = y
∴ x + y = √7
আবার,
x - √3 = y
∴ x - y = √3
∴ 4xy = (x + y)2 - (x - y)2
= (√7)2 - (√3)2
= 7 -3
= 4

১,৫৬৯.
a - b = 5 এবং ab = 70 হলে, a2 + b2 এর মান কত?
  1. ক
    175
  2. খ
    165
  3. গ
    185
  4. ঘ
    155
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: a - b = 5 এবং ab = 70 হলে, a2 + b2 এর মান কত? 

সমাধান: 
a2 + b2 = (a - b)2 + 2ab
= (5)2 + 2 × 70 
= 25 + 140 
= 165

১,৫৭০.
a + b = 7 এবং ab = 10 হলে a2 + b2 + 3ab
  1. ক
    29
  2. খ
    49
  3. গ
    59
  4. ঘ
    69
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: a + b = 7 এবং ab = 10 হলে a2 + b2 + 3ab 

সমাধান:
দেওয়া আছে
a + b = 7 
ab = 10

প্রদত্ত রাশি = a2 + b2 + 3ab 
= (a + b)2 - 2ab + 3ab
= (a + b)2 + ab
= 72 + 10
= 49 + 10
= 59
১,৫৭১.
x + y = 5 এবং x - y = 3 হলে 4xy এর মান কত?
  1. ক
    12
  2. খ
    16
  3. গ
    14
  4. ঘ
    10
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: x + y = 5 এবং x - y = 3 হলে 4xy এর মান কত? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
x + y = 5  এবং 
x - y = 3 

আমরা জানি 
4xy  = (x + y)2 - (x - y)2
⇒ 4xy = (5)2 - (3)2
⇒ 4xy = 25 - 9  
⇒ 4xy = 16
১,৫৭২.
a + b + c = 15, ab + bc + ca = 71 হলে a2 + b2 + c2 =?
  1. ক
    63
  2. খ
    73
  3. গ
    83
  4. ঘ
    93
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: a + b + c = 15, ab + bc + ca = 71 হলে a2 + b2 + c2 =?

সমাধান:
দেওয়া আছে
a + b + c = 15
ab + bc + ca = 71

আমরা জানি
(a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2(ab + bc + ca)
⇒ 152 = a2 + b2 + c2 + 2 × 71
⇒ 225 - 142 = a2 + b2 + c2
⇒ a2 + b2 + c2 = 83
১,৫৭৩.
x + y + z = 9 এবং xy + yz + zx = 26 হলে, x2+ y2 + z2 এর মান কত?
  1. ক
    29
  2. খ
    31
  3. গ
    17
  4. ঘ
    19
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: x + y + z = 9 এবং xy + yz + zx = 26 হলে, x2 + y2 + z2 এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
(x + y + z) = 9
এবং (xy + yz + zx) = 26

আমরা জানি,
(x + y + z)2 = (x2 + y2 + z2) + 2(xy + yz + zx)
⇒ (9)2 = (x2 + y2 + z2) + (2 × 26)
⇒ 81 = (x2 + y2 + z2) + 52
⇒ 81 - 52 = (x2 + y2 + z2)
∴ (x2 + y2 + z2) = 29
১,৫৭৪.
a + b = √3 এবং a - b = √2 হলে 2(a2 + b2) এর মান কত?
  1. ক
    ক) 8
  2. খ
    খ) 5
  3. গ
    গ) 6
  4. ঘ
    ঘ) 3
ব্যাখ্যা

দেওয়া আছে, a + b = √3 এবং a - b = √2
আমরা জানি, 2(a2 + b2) = (a + b)2 + (a - b)2
= (√3)2 + (√2)2
= 3 + 2
= 5

১,৫৭৫.
P এর মান কত হলে 4x2 - Px + 9 একটি পূর্ণ বর্গ হবে?
  1. ক
    10
  2. খ
    9
  3. গ
    16
  4. ঘ
    12
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: P এর মান কত হলে 4x2 - Px + 9 একটি পূর্ণ বর্গ হবে?

সমাধান:
4x2 - Px + 9
= (2x)2 - 2.2x.3 + (3)2 - Px + 12x
= (2x - 3)2 - (Px - 12x)

∴ - Px + 12x = 0
⇒ Px = 12x
∴ P = 12

সুতরাং P = 12 হলে রাশিটি পূর্ণবর্গ হবে।
১,৫৭৬.
a, b, c ক্রমিক স্বাভাবিক সংখ্যা এবং a < b < c । সংখ্যা তিনটির সমষ্টি বিজোড় সংখ্যা হলে, কোনটি অবশ্যই সত্য?
  1. ক
    a বিজোড় সংখ্যা
  2. খ
    c বিজোড় সংখ্যা
  3. গ
    b জোড় সংখ্যা
  4. ঘ
    a জোড় সংখ্যা
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: a, b, c ক্রমিক স্বাভাবিক সংখ্যা এবং a < b < c । সংখ্যা তিনটির সমষ্টি বিজোড় সংখ্যা হলে, কোনটি অবশ্যই সত্য?

সমাধান:
সমষ্টি বিজোড় সংখ্যা হতে হলে একটি সংখ্যা বিজোড় হতে হবে।
যেহেতু সংখ্যাত্রয় ক্রমিক ফলে ২য় টি অর্থাৎ b বিজোড় হবে সেক্ষেত্রে a, c অবশ্যই জোড় সংখ্যা হবে।
১,৫৭৭.
যদি ‍a2 + b2 = 45 এবং ‍ab = 18 হয়, তবে (1/a) + (1/b) = ?
  1. ক
    ক) 1/3
  2. খ
    খ) 1/2
  3. গ
    গ) 3/4
  4. ঘ
    ঘ) 2/3
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: যদি ‍a2 + b2 = 45 এবং ‍ab = 18 হয়, তবে 1/a + 1/b = ?

সমাধান:
দেওয়া আছে
a2 + b2 = 45
ab = 18

আমরা জানি
(a + b)2 = a2 + b2 + 2ab
বা, (a + b)2 = 45 + 2 × 18
বা, (a + b)2 = 45 + 36
বা, (a + b)2 = 81
বা, (a + b)2 = 92
a + b = 9

1/a + 1/b = (a + b)/ab
= 9/18
= 1/2
১,৫৭৮.
x3 + 1 এবং x2 - 1 এর গ.সা.গু কত?
  1. ক
    x - 1
  2. খ
    x + 1
  3. গ
    (x + 1) (x - 1)
  4. ঘ
    (x2 - 1)
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: x3 + 1 এবং x2 - 1 এর গ.সা.গু কত? 

সমাধান: 
১ম রাশি = x3 + 1
= (x + 1)(x2 - x + 1)

২য় রাশি = x2 - 1
= (x + 1)(x - 1)

∴ নির্ণেয় গ.সা.গু = x + 1
১,৫৭৯.
x2 = 11 + 2√30 হলে, x এর মান কত?
  1. ক
    ক) √3 + √2
  2. খ
    খ) 2√5
  3. গ
    গ) 7√5
  4. ঘ
    ঘ) √6 + √5
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন : x2 = 11 + 2√30 হলে, x এর মান কত?

দেওয়া আছে, 
বা, x2 = 11 + 2√30
বা, x2 = 6 + 2√30  + 5
বা, x2 = (√6)2 + 2.√6.√5 + (√5)2
বা, x2 = (√6 + √5)2
বা, x = √6 + √5
১,৫৮০.
y/x = 1/3 এবং xy = 27 হলে x = ?
  1. ক
    -3
  2. খ
    3
  3. গ
    7
  4. ঘ
    9
ব্যাখ্যা

y/x = 1/3......(1)
এবং xy = 27.......(2)
(1)নং × (2)নং ⇒ y2 = 9
∴ y = 3
(2)নং থেকে পাই x.3 = 27
∴ x = 9

১,৫৮১.
a + 1/a = 3 হলে a2 + a + 1/a + (1/a)2 এর মান কত?
  1. ক
    12
  2. খ
    14
  3. গ
    10
  4. ঘ
    16
ব্যাখ্যা

দেওয়া আছে,
a + 1/a = 3
এখন,
a2 + a + 1/a + (1/a)2
= a + 1/a + a2 + (1/a)2
= (a + 1/a) + (a + 1/a)2 - 2. a. 1/a
= 3 + 32 - 2
=3 + 9 - 2
= 12 - 2
= 10

১,৫৮২.

  1. ক
    1
  2. খ
    2
  3. গ
    √2
  4. ঘ
    4
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন:

সমাধান:
দেওয়া আছে,
a2 + 1 - √5a = 0
⇒ a2 + 1 = √5a
⇒ (a2 + 1)/a = √5a/a
⇒ (a2/a) - (1/a) = √5
∴ a + (1/a) = √5

আমরা জানি,
{a - (1/a)}2 = {a + (1/a)}2 - 4 · a · (1/a)
= (√5)2 - 4
= 5 - 4
= 1

১,৫৮৩.
p2 + q2 = 169 এবং p - q = 7 হলে, pq = কত?
  1. ক
    80
  2. খ
    120
  3. গ
    50
  4. ঘ
    60
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: p2 + q2 = 169 এবং p - q = 7 হলে, pq = কত?
 
সমাধান:
p2 + q2 = (p - q)2 + 2pq
⇒ 169 = 49 + 2pq
⇒ 2pq = 169 - 49
⇒ pq = 120/2
∴ pq = 60
১,৫৮৪.
9x2 - 12x এর সাথে কত যোগ করলে যোগফল পূর্ণবর্গ হবে?
  1. ক
    ক) - 4
  2. খ
    খ) 4
  3. গ
    গ) - 6
  4. ঘ
    ঘ) 6
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন : 9x2 - 12x এর সাথে কত যোগ করলে যোগফল পূর্ণবর্গ হবে?
সমাধান :
 9x2 - 12x
= (3x)2 - 2.3x.2 + 22 - 22
= (2x - 2)2 - 4
∴   9x2 - 12x এর সাথে 4 যোগ করলে যোগফল পূর্ণবর্গ সংখ্যা হবে।
১,৫৮৫.
p + 1/p = 2 হলে p5 - 1/p5 = কত?
  1. ক
    6
  2. খ
    4
  3. গ
    2
  4. ঘ
    0
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: p + 1/p = 2 হলে p5 - 1/p5 = কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
p + 1/p = 2
⇒ p2 + 1 = 2p
⇒ p2 - 2p + 1 = 0
⇒ (p - 1)2 = 0
⇒ p - 1 = 0
∴ p = 1

∴ p5 - 1/p5
= 1 - 1/1
= 1 - 1 
= 0
১,৫৮৬.
a + (1/a) = 4 হলে, {a - (1/a)}2 এর মান কত?
  1. ক
    2
  2. খ
    8
  3. গ
    12
  4. ঘ
    16
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: a + (1/a) = 4 হলে, {a - (1/a)}2 এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
a + (1/a) = 4

আমরা জানি,
{a - (1/a)}2 = {a + (1/a)}2 - 4. a. (1/a)
= 42 - 4
= 16 - 4
= 12
১,৫৮৭.
x2 = 11 + 2√30 হলে 1/x এর মান কত?
  1. ক
    (√6 - √5)
  2. খ
    (√6 + √5)
  3. গ
    (√11 - √30)
  4. ঘ
    (√11 + √30)
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: x2 = 11 + 2√30 হলে 1/x এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে
x2 = 11 + 2√30
x2 = 6 +  2√30 + 5
x2 = (√6)2 + 2√6. √5 + (√5)2
x2 = (√6 + √5)2
x = √6 + √5
1/x = 1/(√6 + √5)
1/x = (√6 - √5)/(√6 + √5)(√6 - √5)
1/x = (√6 - √5)/{(√6)2 - (√5)2}
1/x =(√6 - √5)/(6 - 5)
1/x = (√6 - √5)/1
1/x = (√6 - √5)
১,৫৮৮.
x2 - 8x - 8y + 16 + y2 এর সঙ্গে কত যোগ করলে যোগফল একটি পূর্ণবর্গ হবে?
  1. ক
    ক) - 2xy
  2. খ
    খ) 8xy
  3. গ
    গ) 6xy
  4. ঘ
    ঘ) 2xy
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: x2 - 8x - 8y + 16 + y2 এর সঙ্গে কত যোগ করলে যোগফল একটি পূর্ণবর্গ হবে?

সমাধান: 
x2 - 8x – 8y + 16 + y2
= x2 + y2 + (- 4)2 + 2xy + 2y(- 2) + 2(- 2)x - 2xy
= (x + y - 4)2 - 2xy 

∴ 2xy যোগ করলে যোগফল একটি পূর্ণবর্গ হবে।
১,৫৮৯.
যদি y2 - (√7)y + 1 = 0 হয়, তবে y3+ (1/y3) = ?
  1. ক
    7
  2. খ
    2√7
  3. গ
    5√7
  4. ঘ
    4√7
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: যদি y2 - (√7)y + 1 = 0 হয়, তবে y3+ (1/y3) = ?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
y2 - (√7)y + 1 = 0
⇒ y2 + 1 = (√7)y
⇒ (y2)/y + 1/y = (√7)y/y [উভয়পক্ষকে y দ্বারা ভাগ করে]
⇒ y + 1/y = √7

এখন,
y3 + 1/y3
= (y + 1/y)3 - 3 . y . 1/y × (y + 1/y)
= (√7)3 - 3 × √7
= 7√7 - 3√7
= 4√7

১,৫৯০.
2(a2 + b2) = কত? 
  1. ক
    (a + b)2 - 4ab 
  2. খ
    (a + b)2 + (a - b)2 
  3. গ
    (a - b)2 - (a + b)2
  4. ঘ
    (a + b)2 - (a - b)2
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 2(a2 + b2) = কত? 

সমাধান: 
আমরা জানি, 
a2 + b2 = (a + b)2 - 2ab
বা, a2 + b2 = (a - b)2 + 2ab
বা, a2 + b2 = {(a + b)2 + (a - b)2}/2
বা, 2(a2 + b2) = (a + b)2 + (a - b)2
∴ 2(a2 + b2) = (a + b)2 + (a - b)2 

১,৫৯১.
x = 2 - 1/x হলে, x/(x2 + x + 1) এর মান কত?
  1. ক
    ক) 1/3
  2. খ
    খ) 1/2
  3. গ
    গ) 2
  4. ঘ
    ঘ) 1/2
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: x = 2 - 1/x হলে, x/(x2 + x + 1) এর মান কত? 

সমাধান:
দেয়া আছে,
x = 2 - 1/x
x + 1/x = 2
(x2 + 1)/x = 2
x2 + 1 = 2x

x/(x2 + x +1) = x/(x2 + 1 + x)
                      = x/(2x + x)
                      = x/3x
                       = 1/3
১,৫৯২.
যদি x = √4 + √3 হয় তবে, এর মান কত?
  1. ক
    52
  2. খ
    18
  3. গ
    16
  4. ঘ
    13
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: যদি x = √4 + √3 হয় তবে, এর মান কত?

সমাধান:
x = √4 + √3
∴ 1/x = 1/(√4 + √3)
= (√4 - √3)/{(√4 + √3)(√4 - √3)}
= (√4 - √3)/{(√4)2 - (√3)2}
= (√4 - √3)/(4 - 3)
= √4 - √3

∴ x + 1/x = √4 + √3 + √4 - √3
= 2√4
= 2 × 2 [√4 = 2]
= 4

1/4{x3 + (1/x3)} = 1/4 {(x + 1/x)3 - 3 . x . 1/x(x + 1/x)}
= 1/4 {43 - (3 × 4)}
= 1/4 (64 - 12)
= 52/4
= 13
১,৫৯৩.
যদি (x + 3)2 = 225 হয় তবে (x - 1) এর মান কত?
  1. ক
    11
  2. খ
    13
  3. গ
    15
  4. ঘ
    19
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: যদি (x + 3)2 = 225 হয় তবে (x - 1) এর মান কত? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
(x + 3)2 = 225
বা, (x + 3)2 = 152
বা, x + 3 = 15
বা, x = 15 - 3
∴ x = 12

∴ x - 1 = 12 - 1
= 11
১,৫৯৪.
কোন সংখ্যার বর্গমূল 17?
  1. ক
    289
  2. খ
    2889
  3. গ
    169
  4. ঘ
    18900
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: কোন সংখ্যার বর্গমূল 17?

সমাধান:
17  এর বর্গ = (17)2 = 289 

অর্থাৎ 289 এর বর্গমূল হলো 17 ।
১,৫৯৫.
x+y = 2 এবং x²+y² = 4 হলে x³+y³ এর মান নির্ণয় কর।
  1. ক
    ক) 20
  2. খ
    খ) 16
  3. গ
    গ) 12
  4. ঘ
    ঘ) 8
ব্যাখ্যা

x²+y² = 4
⇒ (x+y)² - 2xy = 4
⇒ 2² - 2xy = 4 [∵ x+y = 2]
⇒ 2xy = 4-4
∴ xy = 0
এখন,
x³+y³ = (x+y)(x²-xy+y²)
          = 2(4-0)
          = 8

১,৫৯৬.
x2 + y2 + z2 = 2, xy + yz + zx = 1 হলে, (x + 2y)2 + (y + 2z)2 + (z + 2x)2 এর মান-
  1. ক
    12
  2. খ
    19
  3. গ
    16
  4. ঘ
    14
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: x2 + y2 + z2 = 2, xy + yz + zx = 1 হলে, (x + 2y)2 + (y + 2z)2 + (z + 2x)2 এর মান-

সমাধান: 
দেওয়া আছে
x2 + y2 + z2 = 2
xy + yz + zx = 1

প্রদত্ত রাশি = (x + 2y)2 + (y + 2z)2 + (z + 2x)2 
= x2 + 2 × x × 2y + (2y)2 + y2 + 2 × y × 2z + (2z)2 + z2 + 2 × z × 2x + (2x)2
= x2 + 4xy + 4y2 + y2 + 4yz + 4z2 + z2 + 4xz + 4x2
= 5x2 + 5y2 + 5z2 + 4xy + 4yz + 4xz
= 5(x2 + y2 + z2) + 4(xy + yz + zx)
= (5 × 2) + (4 × 1)
= 10 + 4
= 14
১,৫৯৭.
6q2 - q - 15 এর উৎপাদকগুলো হলো-
  1. ক
    (3q + 2)(3q - 5)
  2. খ
    (2q + 3)(3q - 5)
  3. গ
    (2q + 3)(5q - 3)
  4. ঘ
    (2q - 3)(3q - 5)
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 6q2 - q - 15 এর উৎপাদকগুলো হলো-

সমাধান:
6q2 - q - 15
= 6q2 + 9q - 10q - 15
= 3q(2q + 3) - 5(2q + 3)
= (2q + 3)(3q - 5)
১,৫৯৮.
x - 1/x = √3 (যেখানে x ≠ 0) হলে x2 - √3x এর মান কত?
  1. ক
    2
  2. খ
    √3
  3. গ
    √2
  4. ঘ
    1
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: x - 1/x = √3 (যেখানে x ≠ 0) হলে x2 - √3x এর মান কত?

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
x - 1/x = √3
⇒ (x2 - 1)/x = √3
⇒ x2 - 1 = √3x
∴ x2 - √3x = 1

১,৫৯৯.
a2 - 3a + 1 = 0 হলে, a3 + 1/a3 = কত?
  1. ক
    ক) 36
  2. খ
    খ) 18
  3. গ
    গ) 27
  4. ঘ
    ঘ) 3
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: a2 - 3a + 1 = 0 হলে, a3 + 1/a3 = কত?

সমাধান:
a2 - 3a + 1 = 0
a2 + 1 = 3a
a2/a + 1/a =3a/a
a + 1/a = 3

এখন
a3 + 1/a3 = (a + 1/a)3 - 3 .a.(1/a)(a + 1/a)
= 33 - 3 × 3
= 27 - 9
= 18
১,৬০০.
125 - 225y + 135y2 - 27y3 এর একটি উৎপাদক নিচের কোনটি?
  1. ক
    (5 + 3y)
  2. খ
    (5 - 3y)
  3. গ
    (3 - 5y)
  4. ঘ
    (3 + 5y)
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 125 - 225y + 135y2 - 27y3 এর একটি উৎপাদক নিচের কোনটি?

সমাধান:
125 - 225y + 135y2 - 27y3
= 53 - 3 × 52 × 3y + 3 × 5 × (3y)2 - (3y)3
= (5 - 3y)3
= (5 - 3y) (5 - 3y) (5 - 3y)