লগ ইননিবন্ধন
বিষয়সমূহ

PrepBank · বিষয়ভিত্তিক প্রশ্ন

বীজগাণিতিক সূত্রাবলি ও এর প্রয়োগ

মোট প্রশ্ন৩,৪০১এই পাতা১০০প্রতি পাতা১০০
প্রশ্ন দেখুনঅনুশীলন
ঘনত্ব
উত্তর
উত্তরিতবর্তমানপুনরায় দেখুনঅসম্পূর্ণ

বীজগাণিতিক সূত্রাবলি ও এর প্রয়োগ

PrepBank · পাতা ১৩ / ৩৪ · ১,২০১–১,৩০০ / ৩,৪০১

১,২০১.
(y + z)6 এর পদ সংখ্যা কয়টি?
  1. ক
    4 টি
  2. খ
    5 টি
  3. গ
    6 টি
  4. ঘ
    7 টি
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: (y + z)6 এর পদ সংখ্যা কয়টি?

সমাধান:
আমরা জানি,
(a + x)n এর পদসংখ্যা = n + 1 টি
সুতরাং (y + z)6 এর পদসংখ্যা = 6 + 1 = 7 টি
১,২০২.
(x + 3)(x - 3) কে x2 - 3 দিয়ে ভাগ করলে ভাগশেষ কত হবে?
  1. ক
    ক) -6
  2. খ
    খ) 3
  3. গ
    গ) 6
  4. ঘ
    ঘ) -3
ব্যাখ্যা
(x + 3)(x - 3) = x2 - 9

x2 - 3) x2 - 9 ( 1
          x2 - 3
         --------
               -6
১,২০৩.
x + 1/x = √2, হলে x4 + 1/x4 = ?
  1. ক
    ক) - 2
  2. খ
    খ) 2
  3. গ
    গ) 4
  4. ঘ
    ঘ) 14
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: x + 1/x = √2, হলে x4 + 1/x4 = ?

সমাধান:
x + 1/x = √2

x4 + 1/x4
= (x2)2 + (1/x2)2
=(x2 + 1/x2)2 - 2.x2.1/x2
= {(x + 1/x)2 - 2x.1/x}2 - 2
= {(√2)2 - 2}2 - 2
= (2 - 2)2 - 2
= 02 - 2
= 0 - 2
= - 2
১,২০৪.
36m2 + 64n2 রাশিটির সাথে কোনটি যোগ করলে এটি একটি পূর্ণবর্গ রাশি হবে?
  1. ক
    48mn
  2. খ
    80mn
  3. গ
    96mn
  4. ঘ
    100mn
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 36m2 + 64n2 রাশিটির সাথে কোনটি যোগ করলে এটি একটি পূর্ণবর্গ রাশি হবে?

সমাধান:
36m2 + 64n2
⇒ (6m)2 + 2 . 6m . 8n + (8n)2 
⇒ 36m2 + 96mn + 64n2

∴ 36m2 + 64n2 রাশিটি সাথে 96mn যোগ করলে রাশিটি পূর্ণবর্গ হবে।

১,২০৫.
যদি হলে
  1. ক
    ক) 2
  2. খ
    খ) 4
  3. গ
    গ) 2√3
  4. ঘ
    ঘ) 4√3
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: যদি হলে

সমাধান:
দেওয়া আছে,

১,২০৬.
x2 - y2, x2 + xy + y2, x3 - y3 রাশিগুলোর ল.সা.গু. কত?
  1. ক
    x3 - y3
  2. খ
    x - y
  3. গ
    x + y
  4. ঘ
    (x2 - y2) (x2 + xy + y2)
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: x2 - y2, x2 + xy + y2, x3 - y3 রাশিগুলোর ল.সা.গু. কত?

সমাধান:
১ম রাশি = x2 - y2 = (x + y)(x - y)
২য় রাশি = x2 + xy + y2
৩য় রাশি = x3 - y3
= (x - y)(x2 + xy + y2)

 রাশিত্রয়ের ল.সা.গু = (x + y)(x - y)(x2 + xy + y2)
= (x2 - y2)(x2 + xy + y2)
১,২০৭.
49x2 - 70x এর সাথে কত যোগ করলে যোগফল পূর্ণবর্গ হবে?
  1. ক
    7
  2. খ
    14
  3. গ
    16
  4. ঘ
    25
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 49x2 - 70x এর সাথে কত যোগ করলে যোগফল পূর্ণবর্গ হবে?

সমাধান:
 49x2 - 70x
= (7x)2 - 2.7x.5 + 52 - 52
= (7x - 5)2 - 25

∴   49x2 - 70x এর সাথে 25 যোগ করলে যোগফল পূর্ণবর্গ সংখ্যা হবে।
১,২০৮.
(9a2 + 16b2) রাশিটির সাথে কোনটি যোগ করলে যোগফল পূর্ণবর্গ হবে?
  1. ক
    6ab
  2. খ
    12ab
  3. গ
    24ab
  4. ঘ
    36ab
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 9a2 + 16b2 রাশিটির সাথে নিচের কোনটি যোগ করলে যোগফল পূর্ণবর্গ হবে?

সমাধান: 
9a2 + 16b2
= (3a)2 + 2.3a.4b + (4b)2 - 24ab
= (3a + 4b)2 - 24ab

অতএব, 9a2 + 16b2 রাশিটির সাথে 24ab যোগ করলে যোগফল পূর্ণ বর্গ হবে।
১,২০৯.
(1/2) {(p + q)2 - (p - q)2} এর মান নিচের কোনটি?
  1. ক
    2pq
  2. খ
    4pq
  3. গ
    6pq
  4. ঘ
    8pq
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: (1/2) {(p + q)2 - (p - q)2} এর মান নিচের কোনটি?

সমাধান:
আমরা জানি,
(p + q)2 - (p - q)2 = 4pq
∴  (1/2) {(p + q)2 - (p - q)2}
= (1/2) × 4pq
= 2pq

১,২১০.
a + b + c = 5, এবং ab + bc + ca = 8 হলে a2 + b2 + c2 = ?
  1. ক
    ক) 7
  2. খ
    খ) 9
  3. গ
    গ) 11
  4. ঘ
    ঘ) 13
ব্যাখ্যা

(a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2(ab + bc + ca)
বা, 52 = (a2 + b2 + c2) + 2.8
বা, 25 - 16 = a2 + b2 + c2
∴ a2 + b2 + c2 = 9

১,২১১.
(a + b)2 = 4ab হলে, নিচের কোনটি সঠিক?
  1. ক
    a = - b
  2. খ
    a = b
  3. গ
    a = 2b
  4. ঘ
    a = b/2
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: (a + b)2 = 4ab হলে, নিচের কোনটি সঠিক?

সমাধান:
(a + b)² = 4ab
⇒ a2 + 2ab + b2 - 4ab = 0
⇒ a2 - 2ab + b2 = 0
⇒ (a - b)2 = 0 
⇒ a - b = 0
⇒ a = b
১,২১২.
a = 1 + √2 হলে a3 = কত?
  1. ক
    3 + 4√2
  2. খ
    8√2
  3. গ
    21√2
  4. ঘ
    7 + 5√2
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: a = 1 + √2 হলে a3 = কত?

সমাধান:
a = 1 + √2
⇒ a3 = (1 + √2)3
= 13 + 3 · 12 · √2 + 3 · 1 · (√2)2 + (√2)3
= 1 + 3√2 + 6 + 2√2
= 7 + 5√2
১,২১৩.
p - 6/p = 1 হলে, 3 / p2-p+3 এর মান কত?
  1. ক
    ক) 1/2
  2. খ
    খ) 3/7
  3. গ
    গ) 3
  4. ঘ
    ঘ) 1/3
ব্যাখ্যা

Given, p - 6/p = 1
⇒ p2 - 6 = p
⇒ p2 - p = 6
So, 3/(p2-p+3)
∴ 3/(6+3) = 1/3

১,২১৪.
a + b = 6, a - b = 4 হলে ab এর মান কত?
  1. ক
    2
  2. খ
    5
  3. গ
    3
  4. ঘ
    4
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: a + b = 6, a - b = 4 হলে ab এর মান কত?

সমাধান:
a + b = 6
a - b = 4

ab = {(a + b)/2}2 - {(a - b)/2}2
= (6/2)2 - (4/2)2
= 32 - 22
= 9 - 4
= 5
১,২১৫.
a + b = 11 এবং a - b = 3 হলে 4ab এর মান কত? 
  1. ক
    ক) 112
  2. খ
    খ) 125
  3. গ
    গ) 115
  4. ঘ
    ঘ) 130
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: a + b = 11 এবং a- b = 3 হলে 4ab এর মান কত? 

সমাধান: 
a + b = 11 
a- b = 3 

4ab = (a + b)2 - (a + b)2
       = 112 - 32
      =121 - 9
      = 112
১,২১৬.
নিচের কোনটি দ্বারা একটি সরল রেখা বোঝায় না?
  1. ক
    y = 2x - 3
  2. খ
    3x + 2y - 4 = 0
  3. গ
    y(2 + x) = 3
  4. ঘ
    y + x - 4 = 8
  5. ঙ
    কোনটিই নয় 
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: নিচের কোনটি দ্বারা একটি সরল রেখা বোঝায় না?

সমাধান: 
সরল রেখার সমীকরণ হওয়ার শর্ত হলো y = mx + c
যেখানে, m = ঢাল এবং c = ধ্রুবক সংখ্যা।
প্রশ্নের অপশনগুলোর ক), খ) এবং ঘ) এই শর্তটি পূরণ করে বলে সমীকরণ তিনটি সরলরেখার সমীকরণ নির্দেশ করবে।

কিন্তু শুধু অপশন গ) এর 
y(2 + x) = 3
⇒ 2y + xy = 3
⇒ xy + 2y = 3
যা সরল রেখা হওয়ার শর্তটি পূরণ করে না। তাই এটি উত্তর।

১,২১৭.
  1. ক
    ক) 2
  2. খ
    খ) 4
  3. গ
    গ) 6
  4. ঘ
    ঘ) 8
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন:

সমাধান:
p + {1/(p - 2)} = 4
⇒ (p - 2) + 1/(p - 2) = 2 
⇒ {(p - 2) + 1/(p - 2) }2 = 22
⇒ (p - 2)2 + 1/(p - 2)2 + 2 .(p - 2). {1/(p - 2)} = 4
⇒ (p - 2)2 + 1/(p - 2)2 + 2 = 4
⇒ (p - 2)2 + 1/(p - 2)2 = 4 - 2
⇒ (p - 2)2 + 1/(p - 2)2 = 2
১,২১৮.
(1/a) = √3 - √2 হলে, a3 + 3a + 3a-1 + a-3 এর মান কত?
  1. ক
    ক) 12√3
  2. খ
    খ) 16√3
  3. গ
    গ) 24√3
  4. ঘ
    ঘ) 26√3
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: (1/a) = √3 - √2 হলে, a3 + 3a + 3a-1 + a-3 এর মান কত?

সমাধান:
(1/a) = √3 - √2
⇒ a = 1/(√3 - √2)
⇒ a = (√3 + √2)/(√3 - √2)(√3 + √2)
= (√3 + √2)/ (√3)2 - (√2)2
= (√3 + √2)/(3 - 2)
= (√3 + √2)/1
= (√3 + √2)

∴ a + (1/a) = √3 + √2 + √3 - √2
= 2√3

a3 + 3a + 3a-1 + a-3
= a3 + 3a + 3(1/a) + (1/a3)
= a3 + (1/a3) + 3a + 3(1/a) 
= (a + 1/a)3 - 3.a.(1/a)(a + 1/a) + 3(a + 1/a)
= (2√3)3 - 3.2√3 + 3.2√3
= (2√3)3
= 24√3
১,২১৯.
x - 1/x = 3 হলে, x2 + 1/x2 এর মান কত?
  1. ক
    9
  2. খ
    7
  3. গ
    11
  4. ঘ
    10
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: x - 1/x = 3 হলে, x2 + 1/x2 এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
x - 1/x = 3

প্রদত্ত রাশি
= x2 + 1/x2
= (x - 1/x)2 + 2 . x . 1/x
= (3)2 + 2
= 9 + 2
= 11
১,২২০.
a + 3 + (1/a) = 0 হলে a3 + (1/a)3 এর মান কত?
  1. ক
    14
  2. খ
    - 16
  3. গ
    - 18
  4. ঘ
    27
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: a + 3 + (1/a) = 0 হলে a3 + (1/a)3 এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
a + 3 + (1/a) = 0
⇒ a + (1/a) = - 3

এখন,
a3 + (1/a)3 
= {a + (1/a)}3 - 3.a.(1/a){a + (1/a)}
= (- 3)3 - 3(- 3)
= - 27 + 9
= - 18

১,২২১.
যদি √x + 1/√x =  - 2 হয়, তবে (x + 1/x)3 এর মান কত?
  1. ক
    ক) - 8
  2. খ
    খ) - 4
  3. গ
    গ) 4
  4. ঘ
    ঘ) 8
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: যদি √x + 1/√x =  - 2 হয় তবে, (x + 1/x)3 এর মান কত? 

সমাধান: 
দেয়া আছে,
√x + 1/√x =  - 2
(√x + 1/√x)2 = (- 2)2
(√x)2 + 2 √x . 1/√x + (1/√x)2 = 4
x + 2 + 1/x = 4
x + 1/x = 4 - 2
x + 1/x = 2
(x + 1/x)3 = 23
(x + 1/x)3 = 8
১,২২২.
(3, 10) এবং (7, 26) বিন্দুগামী সরলরেখার ঢাল কত?
  1. ক
    4
  2. খ
    3
  3. গ
    - 5
  4. ঘ
    6
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: (3, 10) এবং (7, 26) বিন্দুগামী সরলরেখার ঢাল কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
বিন্দু দুইটি হলো (x1, y1) = (3, 10)
এবং (x2, y2) = (7, 26)।

আমরা জানি, সরলরেখার ঢাল, m = (y2 - y1)/(x2 - x1)
= (26 - 10)/(7 - 3)
= 16/4
= 4

সুতরাং, সরলরেখার ঢাল হলো 4।

১,২২৩.
যদি x + y = 5 এবং x2 + y2 = 13 হয়, তবে x3 + y3 এর মান কত?
  1. ক
    25
  2. খ
    35
  3. গ
    48
  4. ঘ
    55
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: যদি x + y = 5 এবং x2 + y2 = 13 হয়, তবে x3 + y3 এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
x + y = 5
⇒ (x + y)2 = 52
⇒ x2 + 2xy + y2 = 25 [যেহেতু x2 + y2 = 13]
⇒ 13 + 2xy = 25
⇒ 2xy = 12
∴ xy = 6

এখন,
x3 + y3 = (x + y)3 - 3xy(x + y)
= (5)3 - 3 × 6 × 5
= 125 - 90
= 35

১,২২৪.
9a2 + 14a এর সাথে কত যোগ করলে যোগফল একটি পূর্ণবর্গ সংখ্যা হবে?
  1. ক
    7
  2. খ
    49/9
  3. গ
    14/9
  4. ঘ
    7/3
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 9a2 + 14a এর সাথে কত যোগ করলে যোগফল একটি পূর্ণবর্গ সংখ্যা হবে?

সমাধান:
9a2 + 14a
= (3a)2 + 2 . 3a. (7/3) + (7/3)2 -  (7/3)2 
= {3a + (7/3)}2  - 49/9

∴ 49/9 যোগ করলে যোগফল একটি পূর্ণবর্গ সংখ্যা হবে।
১,২২৫.
x2 - 11x + 30 এবং x2 - 12x + 35 এর গ.সা.গু. কত?
  1. ক
    1
  2. খ
    x
  3. গ
    (x - 6)(x - 5)(x - 7)
  4. ঘ
    (x - 5)
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: x2 - 11x + 30 এবং x2 - 12x + 35 এর গ.সা.গু. কত?

সমাধান:
১ম রাশি = x2 - 11x + 30
= x2 - 6x - 5x + 30
= x(x - 6) -5(x - 6) 
= (x - 6) (x - 5)

২য় রাশি = x2 - 12x + 35
= x2 - 5x - 7x + 35
= x(x - 5) - 7(x - 5)
= (x - 5)(x - 7)

∴ গ.সা.গু = x - 5
১,২২৬.
a = √6 + √5 হলে, a2 + a- 2 এর মান কত?
  1. ক
    18
  2. খ
    22
  3. গ
    28
  4. ঘ
    32
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: a = √6 + √5 হলে, a2 + a- 2 এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
a = √6 + √5
⇒ 1/a = 1/(√6 + √5)
⇒ 1/a = (√6 - √5)/(√6 + √5)(√6 - √5)
⇒ 1/a = (√6 - √5)/(√6)2 - (√5)2
⇒ 1/a = √6 - √5
∴ a + (1/a) = √6 + √5 + √6 - √5 = 2√6

প্রদত্ত রাশি = a2 + a- 2
= a2 + (1/a2)
= {a + (1/a)}2 - 2 · a · (1/a)
= (2√6)2 - 2
= 4 × 6 - 2
= 22
১,২২৭.
যদি 9a2 + 1/a2 = 2 হয়, তবে 27a3 + 1/a3 এর মান কত?
  1. ক
    ক) 4√2
  2. খ
    খ) 2√2
  3. গ
    গ) - 2√2
  4. ঘ
    ঘ) 34√2
ব্যাখ্যা
দেয়া আছে,
9a2 + 1/a2 = 2
(3a)2 + (1/a)2 = 2
(3a + 1/a)2 - 2 .3a. 1/a = 2 
(3a + 1/a)2 = 2 + 6 
(3a + 1/a)2  = 8 
3a + 1/a = √8
3a + 1/a = 2√2

 27a3 + 1/a3 = (3a)3 + (1/a)3
                     = (3a + 1/a)3 - 3.3a.(1/a)(3a + 1/a) 
                     = (2√2)3 - 9(2√2)
                     = 16√2 - 18√2
                     = - 2√2
১,২২৮.
a + a- 1 = 3 হলে, a4 + (a- 1)4 এর মান কত?
  1. ক
    37
  2. খ
    43
  3. গ
    47 
  4. ঘ
    53
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: a + a- 1 = 3 হলে, a4 + (a- 1)4 এর মান কত?

সমাধান:
a4 + (a- 1)4 = a4 + (1/a4)
= (a2)2 + (1/a2)2
= {a2 + (1/a2)}2 - 2 ⋅ a2 ⋅ (1/a2)
= [{a + (1/a)}2 - 2 ⋅ a ⋅ (1/a)]2 - 2 
= (32 - 2)2 - 2 [যেহেতু, a + a- 1 = 3 বা, a + (1/a) = 3]
= 72 - 2
= 47 
১,২২৯.
যদি x = √3 + √2 হয়, তাহলে, x3 + (1/x3) এর মান কত?
  1. ক
    ক) 18√2
  2. খ
    খ) 12√3
  3. গ
    গ) 9√2
  4. ঘ
    ঘ) 18√3
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: যদি x = √3 + √2 হয়, তাহলে, x3 + (1/x3) এর মান কত? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
x = √3 + √2
বা, 1/x =  √3 - √2

এখন, 
 x + 1/x = √3 + √2 + √3 - √2 
∴ x + 1/x = 2√3 

আমরা জানি, 
x3 + 1/x3 = (x + 1/x)3 - 3.x.(1/x)(x + 1/x)
= (2√3)3 - 3. 2√3
= 24√3 - 6√3
= 18√3
১,২৩০.
যদি a + b = 15 এবং a2 + b2 = 117 হয়, তবে ab এর মান কত?
  1. ক
    54
  2. খ
    60
  3. গ
    64
  4. ঘ
    72
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: যদি a + b = 15 এবং a2 + b2 = 117 হয়, তবে ab এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে, a + b = 15 এবং a2 + b2 = 117

আমরা জানি,
a2 + b2 = (a + b)2 - 2ab
⇒ 2ab = (a + b)2 - (a2 + b2)
⇒ 2ab = 152 - 117
⇒ 2ab = 225 - 117
⇒ 2ab = 108
⇒ ab = 108/2
∴ ab = 54

১,২৩১.
যদি x + 1/x = 5 হয়, তবে x/(x2 + x + 1) এর মান কত?
  1. ক
    ক) 1/6
  2. খ
    খ) 1/7
  3. গ
    গ) 1/4
  4. ঘ
    ঘ) 1/5
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: যদি x + 1/x = 5 হয়, তবে x/(x2 + x + 1) এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে
 x + 1/x = 5
(x2 + 1)/x = 5
x2 + 1 = 5x

প্রদত্ত রাশি = x/(x2 + x + 1) 
= x/(x2 + 1 + x)
= x/(5x + x)
= x/6x
= 1/6
১,২৩২.
a2 - b2 = 20 এবং a - b = 2 হলে, ab এর মান কত?
  1. ক
    12
  2. খ
    20
  3. গ
    24
  4. ঘ
    27
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: a2 - b2 = 20 এবং a - b = 2 হলে, ab এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
a2 - b2 = 20
বা, (a + b)(a - b) = 20
বা, (a + b) × 2 = 20
বা, a + b = 20/2
বা, a + b = 10

আমরা জানি,
ab = {(a + b)2 - (a - b)2}/4
= (102 - 22)/4
= (100 - 4)/4
= 96/4
= 24
১,২৩৩.
x + 1/x = 2 হলে, x5 + 1/x5 = কত ?
  1. ক
    ক) 2
  2. খ
    খ) 4
  3. গ
    গ) 27
  4. ঘ
    ঘ) 64
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: x + 1/x = 2 হলে, x5 + 1/x5 = কত ?

সমাধান: 
x + 1/x = 2
(x2 + 1)/x = 2
x2 + 1 = 2x
x2 - 2x + 12 = 0
(x - 1)2 = 0
x - 1 = 0
x = 1

x5 + 1/x5  = 15 + 1/15
= 1 + 1/1
= 1 + 1
= 2
১,২৩৪.
x + y = 3, xy = 2 হলে x3 + y3 এর মান কত হবে?
  1. ক
    ক) 2
  2. খ
    খ) 9
  3. গ
    গ) 4
  4. ঘ
    ঘ) 5
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: x + y = 3, xy = 2 হলে x3 + y3 এর মান কত হবে? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে,
x + y = 3
xy = 2

x3 + y3= (x + y)3 - 3xy(x + y)
            = 33 - 3 × 2 × 3 
           = 27 - 18
           = 9
১,২৩৫.
যদি x4 - 2x2 + 1 = 0 হয়, তবে, x3 + (1/x3) = কত?
  1. ক
    ক) 0
  2. খ
    খ) 1
  3. গ
    গ) 2
  4. ঘ
    ঘ) 3
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: যদি x4 - 2x2 + 1 = 0 হয়, তবে, x3 + (1/x3) = কত?

সমাধান:
x4 - 2x2 + 1 = 0
⇒ x4 +1 = 2x2
⇒ (x4+1)/x2 = 2x2/x2
⇒ x2 + 1/x2 = 2
⇒ (x + 1/x)2 - 2.x.1/x = 2
⇒ (x + 1/x)2 = 4
∴ x + (1/x) = 2

এখন,
x3 + (1/x3)
= {x+ (1/x)}3 - 3.x. (1/x) {x + (1/x)}
= (2)3 - 3.2
= 8 - 6
= 2
১,২৩৬.
x2 - 3x + 1 = 0 হলে, 2(x2 + 1/x2) এর মান কত?
  1. ক
    4
  2. খ
    14
  3. গ
    3√5
  4. ঘ
    3 + √5
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: x2 - 3x + 1 = 0 হলে, 2(x2 + 1/x2) এর মান কত?

সমাধান:
x2 - 3x + 1 = 0
⇒ x2 + 1 = 3x
∴ x + 1/x = 3

x - 1/x  = √{(x + 1/x)2 - 4.x.(1/x)} = √(32 - 4) = √(9 - 4) = √5

এখন,
2(x2 + 1/x2)
= (x + 1/x)2 + (x - 1/x)2
= 32 + (√5)2
= 9 + 5
= 14
১,২৩৭.
a + b = 5 এবং a - b = 3 হলে ab এর মান কত?
  1. ক
    2
  2. খ
    3
  3. গ
    4
  4. ঘ
    5
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: a + b = 5 এবং a - b = 3 হলে ab এর মান কত?

সমাধান:
a + b = 5
a - b = 3

ab = {(a + b)/2}2 - {(a - b)/2}2
= (5/2)2 - (3/2)2
= (25/4) - (9/4)
= (25 - 9)/4
= 16/4
= 4
১,২৩৮.
x + y = √11 এবং x - y = √3 হলে, 8xy(x2 + y2) =?
  1. ক
    92
  2. খ
    112
  3. গ
    118
  4. ঘ
    102
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: x + y = √11 এবং x - y = √3 হলে, 8xy(x2 + y2) =?

সমাধান: 
8xy(x2 + y2)
= 4xy × 2(x2 + y2)
= {(x + y)2 - (x - y)2}{(x + y)2 + (x - y)2}
= {(√11)2 - (√3)2}{(√11)2 + (√3)2}
= (11 - 3)(11 + 3)
= 8 × 14
= 112

১,২৩৯.
a2 = 2a - 1 হলে, (a8 + 1)/a4 এর মান কত?
  1. ক
    4
  2. খ
    2
  3. গ
    18
  4. ঘ
    6
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: a2 = 2a - 1 হলে, (a8 + 1)/a4 এর মান কত?

সমাধান:
a2 = 2a - 1
বা, a2 + 1 = 2a
বা, a + 1/a = 2
বা, (a + 1/a)2 = 22
বা, a2 + 1/a2 + 2 = 4
বা,a2 + 1/a2 = 4 - 2
∴ a2 + 1/a2 = 2

প্রদত্ত রাশি: 
(a8 + 1)/a4
= a4 + 1/a4
= (a2)2 + (1/a2)2
= (a2 + 1/a2)2 - 2
= (2)2 - 2
= 2
১,২৪০.
(p2/q2) + 2(p/q) এর সাথে কত যোগ করলে সংখ্যাটি পূর্ণ বর্গ হবে?
  1. ক
    1
  2. খ
    - 1
  3. গ
    p/q
  4. ঘ
    q/p
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: (p2/q2) + 2(p/q) এর সাথে কত যোগ করলে সংখ্যাটি পূর্ণ বর্গ হবে?
 
সমাধান:
(p2/q2) + 2(p/q)
= (p/q)2 + 2.(p/q).1 + 12 - 1
= {(p/q) + 1}2 - 1
 
∴ (p2/q2) + 2(p/q) এর সাথে 1 যোগ করলে সংখ্যাটি পূর্ণ বর্গ হবে।
১,২৪১.
x + 1/x = 5 হলে 2x/(x2 - 3x + 1) এর মান কত?
  1. ক
    1
  2. খ
    1/2
  3. গ
    1/4
  4. ঘ
    2
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: x + 1/x = 5 হলে 2x/(x2 - 3x + 1) এর মান কত? 

সমাধান: 
 x + 1/x = 5
(x2 +1)/x = 5
x2 + 1 = 5x

2x/(x2 - 3x + 1) = 2x/(x2 - 3x + 1)
= 2x/(x2 + 1 - 3x )
 = 2x/(5x - 3x)
= 2x/2x
= 1
১,২৪২.
x - y = 3, xy = 4 হলে, x + y =? 
  1. ক
    3
  2. খ
    4
  3. গ
    5
  4. ঘ
    6
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: x - y = 3, xy = 4 হলে, x + y =? 

সমাধান: 
আমরা জানি, 
(x + y)2 = (x - y)2 + 4xy
বা, (x + y)2 = (3)2 + (4 × 4) 
বা, (x + y)2 = 9 + 16
বা, (x + y)2 = 25
∴ x + y = 5
১,২৪৩.
যদি 2q = 2/q + 3 হয়, তবে 8q3 - 8/q3 এর মান কত?
  1. ক
    37
  2. খ
    43
  3. গ
    63
  4. ঘ
    53
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: যদি 2q = 2/q + 3 হয়, তবে 8q3 - 8/q3 এর মান কত?

সমাধান:
দেয়া আছে,
2q = 2/q + 3
⇒ 2q - 2/q = 3
⇒ 2(x - 1/q) = 3
⇒ q - 1/q = 3/2

∴ 8q3 - 8/q3
= 8(q3 - 1/q3)
= 8 {(x - 1/q)3 + 3. q. 1/q(q - 1/q)}
= 8 {(3/2)3 + 3 × 3/2}
= 8 {(27 + 36)/ 8}
= 63

১,২৪৪.
যদি x - y = 14 এবং xy = 120 হয়, তাহলে x + y = কত? 
  1. ক
    18
  2. খ
    20
  3. গ
    24
  4. ঘ
    26
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: যদি x - y = 14 এবং xy = 120 হয়, তাহলে x + y = কত? 

সমাধান:
দেওয়া আছে, x - y = 14
এবং xy = 120

আমরা জানি,
(x + y)2 = (x - y)2 + 4xy
⇒ (x + y)2 = (14)2 + 4 × 120
⇒ (x + y)2 = 196 + 480
⇒ (x + y)2 = 676
⇒ x + y = √676
∴ x + y = 26

১,২৪৫.
যদি x + (1/x) = 2  হয়, তাহলে x2 + (1/x2) = কত?
  1. ক
    2
  2. খ
    4
  3. গ
    8
  4. ঘ
    6
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: যদি x + (1/x) = 2  হয়, তাহলে x2 + (1/x2) = কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
x + (1/x) = 2 

প্রদত্ত রাশি = x2 + (1/x2)
= {x + (1/x)}2 - 2 × x × (1/x)
= 22 - 2 
= 4 - 2
= 2
১,২৪৬.
a + a- 1 = √5 হলে a2 + a- 2 এর মান কত?
  1. ক
    3
  2. খ
    4
  3. গ
    1
  4. ঘ
    5
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: a + a- 1 = √5 হলে a2 + a- 2 এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
a + a- 1 = √5
⇒ a + (1/a) = √5

প্রদত্ত রাশি, 
a2 + a- 2
= a2 + (1/a2)
= {a + (1/a)}2 - 2 · a · 1/a
= (√5)2 - 2
= 5 - 2
= 3
১,২৪৭.
(1/x) + (1/y) = 6 এবং (1/x2) - (1/y2) = 18 হলে, (1/x) - (1/y) = কত?
  1. ক
    ক) 2
  2. খ
    খ) 3
  3. গ
    গ) 5
  4. ঘ
    ঘ) 6
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 1/x + 1/y = 6 এবং (1/x2) - (1/y2) = 18 হলে, (1/x) - (1/y) = কত? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
1/x + 1/y = 6
এবং (1/x2) - (1/y2) = 18

এখন,
(1/x2) - (1/y2) = 18 
⇒ (1/x + 1/y)(1/x - 1/y) = 18
⇒ 1/x - 1/y = 18/6  [ 1/x + 1/y = 6 ]
∴ 1/x - 1/y = 3
১,২৪৮.
a + b + c = 5 এবং ab + bc + ac = 6 হলে, (a + b)2 + (b + c)2 + (c + a)2 এর মান কত?
  1. ক
    42
  2. খ
    28
  3. গ
    52
  4. ঘ
    38
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: a + b + c = 5 এবং ab + bc + ac = 6 হলে, (a + b)2 + (b + c)2 + (c + a)2 এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে, 
a + b + c = 5 এবং ab + bc + ac = 6

প্রদত্ত রাশি, 
(a + b)2 + (b + c)2 + (c + a)2
= a2 + 2ab + b2 + b2 + 2bc + c2 + c2 + 2ca + a2
= 2(a2 + b2 + c2) + 2ab + 2bc + 2ca
= 2{(a + b + c)2 - 2(ab + bc + ca)} + 2(ab + bc + ca)
= 2{52 - 2 × 6} + 2 × 6
= 2(25 - 12) + 12
= 2 × 13 + 12
= 26 + 12
= 38

১,২৪৯.
x = √8 + √7 হলে, x3 - 1/x3 এর মান কত?
  1. ক
    24√7
  2. খ
    112√2
  3. গ
    62√7
  4. ঘ
    58√7
ব্যাখ্যা
x = √8 + √7
∴ 1/x = √8 - √7

∴ x - 1/x
= √8 + √7 - √8 + √7
= 2√7

এখন, x3 - 1/x3
= (x - 1/x)3 + 3.x.1/x(x - 1/x)
= (2√7)3 + 3 × 2√7
= 56√7 + 6√7
= 62√7

[ বীজগণিত - বীজগাণিতিক সূত্রাবলী ]
১,২৫০.
x - (1/x) = 5 হলে, {x + (1/x)}2 এর মান কত?
  1. ক
    9
  2. খ
    19
  3. গ
    29
  4. ঘ
    49
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: x - (1/x) = 5 হলে, {x + (1/x)}2 এর মান কত? 

সমাধান: 
আমরা জানি,
{x + (1/x)}2 = {x - (1/x)}2 + 4. x. 1/x 
= (5)2 + 4
= 25 + 4
= 29 
১,২৫১.
(1/3)(a + a- 1) = 1 হলে (a3 + a- 3) এর মান কত?
  1. ক
    ক) 36
  2. খ
    খ) 14
  3. গ
    গ) 16
  4. ঘ
    ঘ) 18
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: (1/3)(a + a-1) = 1 হলে (a3 + a-3) এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
(1/3)(a + a-1) = 1
বা, a + a-1 = 3
বা, a + 1/a = 3

প্রদত্ত রাশি = a3 + a-3
= a3 + 1/a3
= (a + 1/a)3 - 3 . a . 1/a (a + 1/a)
= (3)3 - 3 . 3
= 27 - 9
= 18
১,২৫২.
যদি a + b = 7 এবং a2 + b2 = 25 হয়, তবে ab এর মান কত?
  1. ক
    5
  2. খ
    - 4
  3. গ
    3
  4. ঘ
    12
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: যদি a + b = 7 এবং a2 + b2 = 25 হয়, তবে ab এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
a + b = 7
এবং, 
a2 + b2 = 25

আমরা জানি, 
a2 + b2 = (a + b)2 - 2ab
⇒ 25 = (7)2 - 2ab
⇒ 25 = 49 - 2ab
⇒ 2ab = 49 - 25
⇒ 2ab = 24
∴ ab = 12

১,২৫৩.
y এর মান কত হলে (9x2 - xy + 16) রাশিটি একটি পূর্ণবর্গ হবে?
  1. ক
    12
  2. খ
    10
  3. গ
    18
  4. ঘ
    24
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: y এর মান কত হলে (9x2 - xy + 16) রাশিটি একটি পূর্ণবর্গ হবে?

সমাধান:
9x2 - xy + 16
= (3x)2 - 2 × 3x × 4 + 42
= (3x - 4)2

অতএব,
- xy = - 2 × 3x × 4
⇒ - xy = - 24x
⇒ y = 24

∴ y এর মান 24 হলে প্রদত্ত রাশিটি পূর্ণবর্গ হবে।

১,২৫৪.
যদি (x - 3)2 + (y - 4)2 + (z + 7)2 = 0 হয়, তবে x3 + y3 + z3 এর মান নির্ণয় করুন।
  1. ক
    0
  2. খ
    1
  3. গ
    252
  4. ঘ
    - 252
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: যদি (x - 3)2 + (y - 4)2 + (z + 7)2 = 0 হয়, তবে x3 + y3 + z3 এর মান নির্ণয় করুন।

সমাধান:
(x - 3)2 + (y - 4)2 + (z + 7)2 = 0

ব্যবহৃত সূত্র:
(1.) a3 + b3 + c3 - 3abc = (a + b + c)(a2 + b2 + c2 - ab - bc - ca) যদি a + b + c = 0, তবে a3 + b3 + c3 = 3abc
(2.) যদি (x - a)2 + (y - b)2 + (z - c)2 = 0, তবে x = a, y = b এবং z = c

প্রশ্ন অনুযায়ী,
⇒ (x - 3)2 + (y - 4)2 + (z + 7)2 = 0 অতএব, ⇒ x = 3, y = 4, z = - 7

অতএব,
? = x3 + y3 + z3
⇒ ? = 33 + 43 + (-7)3
⇒ ? = 27 + 64 - 343
⇒ ? = 91 - 343
⇒ ? = - 252
১,২৫৫.
x - 1/x = 3√5 হলে, x3 + 1/x3 এর মান কত?
  1. ক
    343
  2. খ
    364
  3. গ
    126√5
  4. ঘ
    322
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: x - 1/x = 3√5 হলে, x3 + 1/x3 এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
x - 1/x = 3√5

x + 1/x = √{(x - 1/x)2 + 4 . x . (1/x)}
= √{(3√5)2 + 4}
= √(45 + 4)
= √49
= 7

x3 + 1/x3
= (x + 1/x)3 - 3 . x . (1/x)(x + 1/x)
= 73 - 3 × 7
= 343 - 21
= 322
১,২৫৬.
a + 1/a = 5 হলে, ‍a - 1/a = ?
  1. ক
    √23
  2. খ
    √21
  3. গ
    21
  4. ঘ
    √27
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: a + 1/a = 5 হলে, ‍a - 1/a = ?

সমাধান:
a + 1/a = 5

এখন
(a - 1/a)2 = (a + 1/a)2 - 4.a.1/a
(a - 1/a)2 =52 - 4
(a - 1/a)2 =25 - 4
(a - 1/a)2 =21
(a - 1/a) = √21
১,২৫৭.
2a2 + a - 15 এর উৎপাদকে বিশ্লেষণ কত?
  1. ক
    (a + 3)(2a - 5)
  2. খ
    (a - 3)(a + 5)
  3. গ
    (a - 2)(a + 5)
  4. ঘ
    (2a + 3)(a - 6)
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 2a2 + a - 15 এর উৎপাদকে বিশ্লেষণ কত?

সমাধান:
2a2 + a - 15
= 2a2 + 6a - 5a - 15
= 2a(a + 3) - 5(a + 3)
= (a + 3)(2a - 5)
১,২৫৮.
1/x3 এর লব ও হরের সাথে কোন একই বীজগাণিতিক রাশি যোগ করলে যোগফল -{1/(x2 + x)} হয়।
  1. ক
    ক) x
  2. খ
    খ) 1
  3. গ
    গ) -x
  4. ঘ
    ঘ) -1
ব্যাখ্যা

1/x3 এর লব ও হরের সাথে -x যোগ করে পাই,
(1 - x)/(x3 - x)
= -(x - 1)/{x(x2 - 1)}
= - (x - 1)/{ x(x + 1)(x - 1)}
= - {1/(x2 + x)}

১,২৫৯.
p + q = √3 এবং p - q = √2 হলে, pq = কত?
  1. ক
    1/4
  2. খ
    3/4
  3. গ
    2/3
  4. ঘ
    3/2
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: p + q = √3 এবং p - q = √2 হলে, pq = কত?

সমাধান:
p + q = √3 
p - q = √2

আমরা জানি
4pq = (p + q)2 - (p - q)2
বা, 4pq = (√3)2 - (√2)2
বা, 4pq = 3 - 2
বা, 4pq = 1
বা, pq = 1/4
১,২৬০.
x + y = 12 এবং x - y = 8 হলে xy এর মান কত? 
  1. ক
    18
  2. খ
    26
  3. গ
    20
  4. ঘ
    24
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: x + y = 12 এবং x - y = 8 হলে xy এর মান কত? 

সমাধান:
দেওয়া আছে,
x + y = 12 
x - y = 8

আমরা জানি,
xy = (1 / 4) {(x + y)2 - (x - y)2}
= (1 / 4) × (122 - 82)
= (1 / 4) × (144 - 64)
= (1 / 4) × 80 
= 20
১,২৬১.
a + b = 9 এবং ab = 18 হলে, a2 + b2 এর মান কত?
  1. ক
    41
  2. খ
    53
  3. গ
    45
  4. ঘ
    58
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: a + b = 9 এবং ab = 18 হলে, a2 + b2 এর মান কত?

সমাধান:
a2 + b2 = (a + b)2 - 2 · a · b
= 92 - 2 × 18
= 81 - 36
= 45
১,২৬২.
p2 + q2 = 37 এবং pq = 6 হলে, (p - q)2 এর মান কত?
  1. ক
    16
  2. খ
    20
  3. গ
    25
  4. ঘ
    32
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: p2 + q2 = 37 এবং pq = 6 হলে, (p - q)2 এর মান কত?
 
সমাধান:
(p - q)2 = P2 - 2pq + q2
= 37 - (2 × 6)
= 37 - 12
= 25
১,২৬৩.
যদি 
  1. ক
    2
  2. খ
    4
  3. গ
    16
  4. ঘ
    14
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: যদি 

সমাধান:

১,২৬৪.
x + 9/x = 6 হলে x এর মান কত?
  1. ক
    ক) 2
  2. খ
    খ) 3
  3. গ
    গ) 4
  4. ঘ
    ঘ) 5
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: x + 9/x = 6 হলে x এর মান কত?

সমাধান: 
x + 9/x = 6
বা, (x2 + 9)/x = 6
বা, x2 + 9 = 6x
বা, x2 - 6x + 9 = 0
বা, x2 - 2.x.3 + 32 = 0
বা, (x - 3)2 = 0
বা,  x - 3 = 0
x = 3
১,২৬৫.
x2 = 5 + 2√6 হলে, 1/x এর মান কত?
  1. ক
    √6 - √5
  2. খ
    √3 - √2
  3. গ
    √5 - 2
  4. ঘ
    2 - √3
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: x2 = 5 + 2√6 হলে, 1/x এর মান কত? 

সমাধান: 
দেয়া আছে,
x2 = 5 + 2√6 
⇒ x2 = 3 +  2√6 + 2
⇒ x2 = (√3)2 + 2 (√3)(√2) + (√2)2
⇒ x2 = (√3 + √2)2
∴ x = √3 + √2

এখন, 
 1/x = 1/(√3 + √2)
⇒ 1/x = (√3 - √2)/(√3 + √2)(√3 - √2)
⇒ 1/x = (√3 - √2)/{(√3)2 - (√2)2}
⇒ 1/x = (√3 - √2)/(3 - 2)
∴ 1/x= √3 - √2

১,২৬৬.
x + y = 8 এবং x - y = 4 হলে, xy এর মান কত?
  1. ক
    10
  2. খ
    12
  3. গ
    16
  4. ঘ
    20
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: x + y = 8 এবং x - y = 4 হলে, xy এর মান কত?

সমাধান:
দেয়া আছে, x + y = 8 এবং x - y = 4

আমরা জানি, xy = {(x + y)/2}2 - {(x - y)/2}2
= {(8/2}2 - {(4/2}2
= 42 - 22
= 16 - 4
= 12

১,২৬৭.
x = √6 + √5 হলে, x2 + 1/x2 এর মান কত?
  1. ক
    ক) 12
  2. খ
    খ) 18
  3. গ
    গ) 22
  4. ঘ
    ঘ) 26
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: x = √6 + √5 হলে, x2 + 1/x2 এর মান কত?

সমাধান:
x = √6 + √5 
⇒ 1/x = 1/(√6 + √5)
⇒ 1/x =  (√6 - √5)/(6 - 5)
∴ 1/x =  √6 - √5

x2 + 1/x2 = (x + 1/x)2 - 2 × x × 1/x
⇒ x2 + (1/x2) = (√6 + √5 + √6 - √5)2 - 2
⇒ x2 + (1/x2) = (2√6)2 - 2
⇒ x2 + (1/x2) = 24 - 2
∴ x2 + (1/x2) = 22
১,২৬৮.
x - (1/x) = 3√5 হলে, x3 + (1/x3) এর মান কত?
  1. ক
    378
  2. খ
    525
  3. গ
    322
  4. ঘ
    364
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: x - (1/x) = 3√5 হলে, x3 + (1/x3) এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
x - (1/x) = 3√5

আমরা জানি,
{x + (1/x)}2 = {x - (1/x)}2 + 4x(1/x)
⇒ {x + (1/x)}2 = (3√5)2 + 4
⇒ {x + (1/x)}2 = 45 + 4 = 49
⇒ {x + (1/x)}2 = 49 = 72
∴ x + (1/x) = 7

প্রদত্ত রাশি,
x3 + (1/x3)
= (x + 1/x)3 - 3 . x . (1/x)(x + 1/x)
= 73 - 3 . 7
= 343 - 21
= 322
১,২৬৯.
x = 2 + 22/3 + 21/3 হলে, x3 - 6x2 + 6x - 2 মান কত?
  1. ক
    ক) 0
  2. খ
    খ) 27
  3. গ
    গ) 54
  4. ঘ
    ঘ) 1
ব্যাখ্যা
x = 2 + 22/3 + 21/3 
⇒ x - 2 = 22/3 + 21/3
⇒ (x - 2)3 = (22/3 + 21/3)3
⇒ x3 - 3.x2.2 + 3.x.22 - 23 = (22/3)3 + (21/3)3 + 3.22/3.21/3( 22/3 + 21/3)
⇒ x3 - 6x2 + 12x - 8 = 22 + 21 + 3.2(x - 2)
⇒ x3 - 6x2 + 12x - 8 = 4 + 2 + 6x - 12
⇒ x3 - 6x2 + 6x - 2 = 0
১,২৭০.
x2 = 3x - 1 হলে (x8 + 1)/x4 এর মান কত?
  1. ক
    47
  2. খ
    31
  3. গ
    74
  4. ঘ
    49
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: x2 = 3x - 1 হলে (x8 + 1)/x4 এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে
x2 = 3x - 1
x2 + 1 = 3x
x2/x + 1/x = 3x/x
x + 1/x = 3

(x8 + 1)/x4 = x8/x4 + 1/x4
= x4 + 1/x4
= (x2)2 + (1/x2)
= (x2 + 1/x2)2 - 2.x2.1/x2
= {(x + 1/x)2 - 2.x.1/x}2 - 2
= {32- 2}2 - 2
= (9 - 2)2 - 2
= 72 - 2
= 49 - 2
= 47 
১,২৭১.
x + y = 8 হলে , xy এর বৃহত্তম মান কত?
  1. ক
    20
  2. খ
    12
  3. গ
    16
  4. ঘ
    14
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন:  x + y = 8 হলে , xy এর বৃহত্তম মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
x + y = 8
তাই,
x এর মান 1 হলে y এর মান 7 হয়।
∴ xy = 7
x এর মান 2 হলে y এর মান 6 হয়।
∴ xy = 12
x এর মান 3 হলে y এর মান 5 হয়।
∴ xy = 15
x এর মান 4 হলে y এর মান 4 হয়।
∴ xy = 16
x এর মান 5 হলে y এর মান 3 হয়।
∴ xy = 15
সুতরাং xy এর বৃহত্তম মান 16.
১,২৭২.
x + 1/x = 2√3 হলে x4 + 1/x4 এর মান কত?
  1. ক
    102
  2. খ
    82
  3. গ
    98
  4. ঘ
    100
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: x + 1/x = 2√3 হলে x4 + 1/x4 এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
x + (1/x) = 2√3
⇒ {x + (1/x)}2 = (2√3)2 [বর্গ করে] [(a + b)2 = a2 + 2ab + b2]
⇒ x2 + 2 × x × (1/x) + (1/x)2 = 12
⇒ x2 + (1/x2) = 12 - 2
⇒ {x2 + (1/x2)}2 = 102 [আবার বর্গ করে]
⇒ (x2)2 + 2 × x2 × (1/x2) + (1/x2)}2 = 100
⇒ x4 + 1/x4 = 100 - 2
∴ x4 + 1/x4 = 98
১,২৭৩.
(m - 3n), (m2 - 3mn) ও (m2 - 9n2) এর ল.সা.গু. কত?
  1. ক
    (m - 3n)
  2. খ
    (m + 3n)
  3. গ
    (m + 3n)(m - 3n)
  4. ঘ
    m(m2 - 9n2)
ব্যাখ্যা
১ম রাশি = (m - 3n)
২য় রাশি = (m2 - 3mn) = m(m - 3n)
৩য় রাশি = (m2 - 9n2) = {m2 - (3n)2} = (m + 3n)(m - 3n)
অতএব, রাশি তিনটির ল.সা.গু. = m(m - 3n)(m + 3n) = m(m2 - 9n2)
১,২৭৪.
(x + y)2 = 3 এবং x2 = √6 + y2 হলে 2x এর মান কত?
  1. ক
    ক) √3 + 2√2
  2. খ
    খ) 2√3 + √2
  3. গ
    গ) (√3 + √2)/2
  4. ঘ
    ঘ) √3 + √2
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: (x + y)2 = 3 এবং x2 = √6 + y2 হলে 2x এর মান কত? 

সমাধান:
(x + y)2 = 3 
x + y = √3

x2 = √6 + y2
x2 - y2 = √6 
(x + y)(x - y) = √6 
√3(x - y) =√6 
x - y = √6/√3
x - y = √2

x + y + x - y = √3 + √2
2x = √3 + √2
১,২৭৫.
x2 - 11x + 30 এবং x3 - 4x2 - 2x - 15 এর গ.সা.গু কত?
  1. ক
    x - 5
  2. খ
    x - 6
  3. গ
    x2 + x - 3
  4. ঘ
    x2 - x - 3
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: x2 - 11x + 30 এবং x3 - 4x2 - 2x - 15 এর গ.সা.গু কত?

সমাধান:
 ১ম রাশি = x2 - 11x + 30
= x2 - 5x - 6x + 30
=x(x - 5) - 6(x - 5)
= (x - 5)(x - 6)

২য় রাশি =x3 - 4x2 - 2x - 15

ধরি 
f(x) = x3 - 4x2 - 2x - 15
f(5) = 53  - 4. 52 - 2 × 5 - 15 
= 125 - 100 - 10 - 15
= 125  - 125
= 0
(x - 5),  f(x) এর একটি উৎপাদক 

f(x) = x3 - 4x2 - 2x - 15
 =x3 - 5x2 + x2 - 5x + 3x - 15 
= x2(x - 5) + x (x - 5) + (x - 5)
= (x - 5) (x2 + x + 3)

নির্ণেয় গ.সা.গু = x - 5
১,২৭৬.
a4 + a2b2 + b4 = 21 এবং a2 - ab + b2 = 3 হলে, a2 + ab + b2 এর মান কত?
  1. ক
    5
  2. খ
    11
  3. গ
    7
  4. ঘ
    9
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: a4 + a2b2 + b4 = 21 এবং a2 - ab + b2 = 3 হলে, a2 + ab + b2 এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
a4 + a2b2 + b4 = 21
⇒ (a2)2 + 2a2b2 + (b2)2 - a2b2 = 21
⇒ (a2 + b2)2 - (ab)2 = 21
⇒ (a2 + b2 + ab)(a2 + b2 - ab) = 21
⇒ (a2 + ab + b2)(a2 - ab + b2) = 21
⇒ (a2 + ab+ b2). 3 = 21
⇒ a2 + ab + b2 = 21/3
∴ a2 + ab + b2 = 7

১,২৭৭.
a2 + 1 = √3a হলে, (a4 + 1)/a2 এর মান কত?
  1. ক
    ক) 1
  2. খ
    খ) 2
  3. গ
    গ) 3
  4. ঘ
    ঘ) 4
ব্যাখ্যা
দেয়া আছে,
a2 + 1 = √3a
 a2/a + 1/a = √3a/a
a + 1/a = √3

 (a4 + 1)/a2= a4/a2 + 1/a2
                  = a2 +1/a2
                  = (a)2 +(1/a)2 
                  = (a + 1/a)2 - 2 . a . (1/a) 
                  = (√3)2 - 2 
                  = 3 - 2 
                  = 1
১,২৭৮.
যদি x = √3 +√2 হয়, তাহলে, x3 + (1/x3) এর মান কত? 
  1. ক
    9√2
  2. খ
    18√3
  3. গ
    18√2 
  4. ঘ
    12√3
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: যদি x = √3 +√2 হয়, তাহলে, x3 + (1/x3) এর মান কত? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
x = √3 + √2
বা, 1/x =  √3 - √2

এখন, 
 x + 1/x = √3 + √2 + √3 - √2 
∴ x + 1/x = 2√3 

আমরা জানি, 
x3 + 1/x3 = (x + 1/x)3 - 3.x.1/x (x + 1/x)
= (2√3)3 - 3 . 2√3
= 24√3 - 6√3
= 18√3

১,২৭৯.
x + 1/x = 5 হলে, x4 + 1/x4 এর মান কত?
  1. ক
    ক) 529
  2. খ
    খ) 527
  3. গ
    গ) 521
  4. ঘ
    ঘ) 512
ব্যাখ্যা
x4 + 1/x4 
=(x2)2 + (1/x2)2
= (x2 + 1/x2)2 - 2.x2.1/x2
= {(x + 1/x)2 - 2.x.1/x}2 - 2
= (52 - 2)2 - 2
= (25 - 2)2 - 2
= 232 - 2
= 529 - 2
= 527
১,২৮০.
x + 2y = 3 হলে, x3 + 8y3 + 18xy এর মান কত?
  1. ক
    ক) 36
  2. খ
    খ) 27 
  3. গ
    গ) 18
  4. ঘ
    ঘ) 9
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: x + 2y = 3 হলে, x3 + 8y3 + 18xy এর মান কত? 

সমাধান: 
দেয়া আছে 
 x + 2y = 3
এখন 
 x3 + 8y3 + 18xy 
= x3 + (2y)3  + 18xy 
= (x + 2y)3 - 3x.2y(x + 2y) + 18xy
= 33 - 6xy.3 + 18xy
= 27 - 18xy + 18xy
= 27 
১,২৮১.
z এর মান কত হলে 4x2 - zx + 9 একটি পূর্ণবর্গ হবে?
  1. ক
    4
  2. খ
    6
  3. গ
    16
  4. ঘ
    12
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: z এর মান কত হলে 4x2 - zx + 9 একটি পূর্ণবর্গ হবে?
 
সমাধান:
4x2 - zx + 9
= (2x)2 - 2.2x.3 + 32 - zx + 2.2x.3
= (2x - 3)2 + 12x - zx
 
রাশিটি পূর্ণবর্গ হলে,
12x - zx = 0
বা, zx = 12x
∴ z = 12
১,২৮২.
  1. ক
    a3
  2. খ
    a1/3
  3. গ
    a
  4. ঘ
    1
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন:

সমাধান:
[{a3}1/3]1/3
= {a3 × (1/3)}1/3
= a1/3
১,২৮৩.
x + 1/x = 5 হলে, (x2 - 1/x2)2 এর মান কত?
  1. ক
    441
  2. খ
    343
  3. গ
    482
  4. ঘ
    525
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: x + 1/x = 5 হলে, (x2 - 1/x2)2 এর মান কত? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
x + 1/x = 5

আমরা জানি,
(x - 1/x)2 = (x + 1/x)2 - 4 . x . (1/x)
= 52 - 4 = 25 - 4 = 21
∴ (x - 1/x) = √21

প্রদত্ত রাশি, 
(x2 - 1/x2)2
= {(x + 1/x)(x - 1/x)}2
= (5 × √21)2
= 25 × 21
= 525

১,২৮৪.
x2 + y2 = 18 এবং xy= 6 হলে (x - y)2 এর মান কত?
  1. ক
    ক) 4
  2. খ
    খ) 6
  3. গ
    গ) 8
  4. ঘ
    ঘ) 12
ব্যাখ্যা
দেয়া আছে,
x2 + y2 = 18 
xy= 6 
আমরা জানি
(x - y)2 = x2 + y2 - 2xy
            = 18 - 2 × 6
            = 18 - 12
            = 6
১,২৮৫.
6 - x - (9/x) = 0 হলে x2 ÷ (x2 - x - 3) = কত?
  1. ক
    0
  2. খ
    1
  3. গ
    2
  4. ঘ
    3
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 6 - x - (9/x) = 0 হলে x2 ÷ (x2 - x - 3) = কত?

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
6 - x - 9/x = 0 
বা, 6 = x + 9/x 
বা, (x2 + 9)/x = 6 
বা, x2 + 9 = 6x
বা, x2  - 6x + 9 = 0
বা, x2 - 2. x. 3 + 32 = 0
বা, (x - 3)2 = 0
বা, x - 3 = 0
∴ x = 3

এখন, 
x2 ÷ (x2 - x - 3)
= 32 ÷ (32 - 3 - 3)
= 9 ÷ (9 - 6)
= 9 ÷ 3
= 3
১,২৮৬.
16x4 + 36x2 + 81 কে 4x2 - 6x + 9 দ্বারা ভাগ করলে ভাগফল কত হবে?
  1. ক
    4x2 - 6x + 9
  2. খ
    4x2 + 9
  3. গ
    4x2 - 6x - 9
  4. ঘ
    4x2 + 6x + 9
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 16x4 + 36x2 + 81 কে 4x2 - 6x + 9 দ্বারা ভাগ করলে ভাগফল কত হবে?

সমাধান:

১,২৮৭.
2x2 + 3x + 1 এর ক্ষুদ্রতম মান হবে: 
  1. ক
    - 3/4
  2. খ
    - 1/8
  3. গ
    1/8
  4. ঘ
    3/4
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 2x2 + 3x + 1 এর ক্ষুদ্রতম মান হবে:

সমাধান: 
প্রদত্ত সমীকরণ,
f(x) = 2x2 + 3x + 1
এখন, f(x) = ax2 + bx + c এর সাথে তুলনা করে পাই, 
a = 2, b = 3 এবং c = 1

যদি a > 0 হয়, তাহলে সমীকরণটির (দ্বিঘাত ফাংশনের) ক্ষুদ্রতম মান = c - (b2/4a)
= 1 - {32/(4 × 2)}
= 1 - (9/8)
= (8 - 9)/8
= - 1/8

১,২৮৮.
a + (1/a) = 5 হলে, a4 + (1/a4) এর মান কত?
  1. ক
    490
  2. খ
    527
  3. গ
    580
  4. ঘ
    600
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: a + (1/a) = 5 হলে, a4 + (1/a4) এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
a + (1/a) = 5

∴ প্রদত্ত রাশি, a4 + (1/a4)
= (a2)2 + (1/a2)2
= {a2 + (1/a2)}2 - 2 · a2 · 1/a2
= [{a + (1/a)}2 - 2 · a · 1/a]2 - 2
= (52 - 2)2 - 2
= (25 - 2)2 - 2
= (23)2 - 2
= 529 - 2
= 527
১,২৮৯.
যদি a4 - 14a2 + 1 = 0 হয়, তবে a + (1/a) এর মান কত?
  1. ক
    ± 3
  2. খ
    ± 2
  3. গ
    ± 4
  4. ঘ
    ± 6
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: যদি a4 - 14a2 + 1 = 0 হয়, তবে a + (1/a) এর মান কত?

সমাধান:
a4 - 14a2 + 1 = 0
⇒ a4 + 1 = 14a2
⇒ (a4 + 1)/a2 = 14
⇒ a2 + (1/a2) = 14
⇒ {a + (1/a)}2 - 2 . a . (1/a) = 14 
⇒ (a + 1/a)2 = 14 + 2
⇒ a + (1/a) = √16
∴ a + (1/a) = ± 4

১,২৯০.
x + y = 6 এবং xy = 8 হলে (x -y)2 এর মান কত?
  1. ক
    ক) 6
  2. খ
    খ) 4
  3. গ
    গ) 9
  4. ঘ
    ঘ) 12
ব্যাখ্যা

 আমরা জানি,
(x - y)2 = (x + y)2 - 4xy
= (6)2 - 4 × 8
= 36 - 32
= 4

১,২৯১.
যদি p2 + 1/p2 = 51 হয়, তবে (p - 1/p) এর মান কত?
  1. ক
    ±7
  2. খ
    ±6
  3. গ
    ±5
  4. ঘ
    ±4
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: যদি p2 + 1/p2 = 51 হয়, তবে (p - 1/p) এর মান কত?
 
সমাধান:
p2 + 1/p2= 51
⇒ (p - 1/p)2 + 2.p.1/p = 51
⇒ (p - 1/p)2 = 49
∴ p - 1/p = ±7
১,২৯২.
a + b + c = 9, ab + bc + ca = 26 হলে a2 + b2 + c2 =?
  1. ক
    28
  2. খ
    29
  3. গ
    30
  4. ঘ
    31
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: a + b + c = 9, ab + bc + ca = 26 হলে a2 + b2 + c2 =?

সমাধান:
দেওয়া আছে
a + b + c = 9
ab + bc + ca = 26

আমরা জানি
(a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2(ab + bc + ca)
⇒ 92 = a2 + b2 + c2 + 2 × 26
⇒ 81 - 52 = a2 + b2 + c2
⇒ a2 + b2 + c2 = 29
১,২৯৩.
x2 + y2 = 8 এবং xy = 7 হলে (x+y)2 এর মান কত?
  1. ক
    ক) 19
  2. খ
    খ) 20
  3. গ
    গ) 21
  4. ঘ
    ঘ) 22
ব্যাখ্যা
(x+y)2 = x2 + y2 + 2xy
= 8 + 2.7
= 22
১,২৯৪.
x - y = 8 এবং xy = 5 হলে, 8xy(x2 + y2) এর মান কত?
  1. ক
    ক) 2960
  2. খ
    খ) 2440
  3. গ
    গ) 2280
  4. ঘ
    ঘ) 2130
ব্যাখ্যা
দেওয়া আছে,
x - y = 8 এবং xy = 5 
সুতরাং, 8xy(x2 + y2)
         = 8xy{(x - y)2 + 2xy}
         = 8 × 5(82 + 2 × 5)
         = 40 × 74
         = 2960
১,২৯৫.
x2 -11x + 30 এবং x3 - 4x2 - 2x - 15 এর গ. সা. গু. কত?
  1. ক
    x - 5
  2. খ
    x - 6
  3. গ
    x2 + x + 3
  4. ঘ
    x2 - x + 3
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: x2 -11x + 30 এবং x3 - 4x2 - 2x - 15 এর গ. সা. গু. কত?

সমাধান:
x2 - 11x + 30
= x2 - 5x -6x + 30
= x(x - 5) - 6(x - 5)
= (x - 5)(x - 6)
এবং
x3 - 4x2 - 2x -15
= x2(x - 5) + x(x - 5) + 3(x - 5)
= (x - 5)(x2 + x + 3)

∴ গ. সা.গু. = x - 5
১,২৯৬.
যদি 
  1. ক
    49
  2. খ
    7
  3. গ
    45
  4. ঘ
    47
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: যদি 

সমাধান:

১,২৯৭.
x + 9/x = 6 হলে, x - 1/x = কত?
  1. ক
    ক) 3
  2. খ
    খ) - 2
  3. গ
    গ) 2/3
  4. ঘ
    ঘ) 8/3
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: x + 9/x = 6 হলে, x - 1/x = কত?

সমাধান: 
দেয়া আছে,
x + 9/x = 6
x2 + 9 = 6x
x2 - 6x + 9= 0
x2 - 2.x. 3 + 32 = 0
(x - 3)2 = 0
x - 3 = 0
x = 3

 x - 1/x =3 - 1/3
             = (9 - 1)/3
              = 8/3
১,২৯৮.
x + (1/x) = 3 হলে {x2 + (1/x2)}{x4 + (1/x4)} এর মান কত?
  1. ক
    294
  2. খ
    329
  3. গ
    341
  4. ঘ
    452
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: x + (1/x) = 3 হলে {x2 + (1/x2)}{x4 + (1/x4)} এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
x + 1/x= 3
⇒ (x + 1/x)2 = 32
⇒ x2 + 2 . x . (1/x) + 1/x2 = 9
⇒ x2 + 1/x2 = 9 - 2
∴ x2 + 1/x2 = 7

আবার,
x2 + 1/x2 = 7
⇒ {x2 + (1/x2)}2 = 72
⇒ (x2)2 + 2 . x2 . (1/x2) + (1/x2)2 = 49
⇒ x4 + 1/x4 = 49 - 2
∴ x4 + 1/x4 = 47

সুতরাং,
{x2 + (1/x2)}{x4 + (1/x4)} = 7 × 47 = 329

১,২৯৯.
8x - by - 9 = 0 এবং 4x + 3y + 2 = 0 সরলরেখা দুটি পরস্পর সমান্তরাল হলে b এর মান কত?
  1. ক
    - 6
  2. খ
    4
  3. গ
    - 3/2
  4. ঘ
    7
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 8x - by - 9 = 0 এবং 4x + 3y + 2 = 0 সরলরেখা দুটি পরস্পর সমান্তরাল হলে b এর মান কত?

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
8x - by - 9 = 0
⇒ by = 8x + 9
∴ y = (8/b)x + (9/b)
সুতরাং, প্রথম রেখার ঢাল, m1 = 8/b ; [y = mx + c এর সাথে তুলনা করে] 

আবার, 
4x + 3y + 2 = 0
⇒ 3y = - 4x - 2
∴ y = (- 4/3)x - 2/3
সুতরাং, দ্বিতীয় রেখার ঢাল m2 = - 4/3

আমরা জানি, 
সমান্তরাল হওয়ার শর্ত - দুটি রেখা সমান্তরাল হলে তাদের ঢাল সমান হবে।
অর্থাৎ, m1 = m2
​⇒ 8/b = - 4/3
​⇒ - 4b = 24
​⇒ b = 24/- 4
∴ b = - 6

সুতরাং, b এর মান - 6 হলে সরলরেখা দুটি সমান্তরাল হবে। 

১,৩০০.
a + b + c = 7 এবং ab + bc + ca = 14 হলে, (a2 + b2 + c2) এর মান কত?
  1. ক
    15
  2. খ
    17
  3. গ
    19
  4. ঘ
    21
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: a + b + c = 7 এবং ab + bc + ca = 14 হলে, (a2 + b2 + c2) এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
a + b + c = 7
এবং ab + bc + ca = 14

আমরা জানি,
(a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2(ab + bc + ca)
⇒ (7)2 = a2 + b2 + c2 + (2 × 14)
⇒ 49 = a2 + b2 + c2 + 28
⇒ a2 + b2 + c2 = 49 - 28
∴ a2 + b2 + c2 = 21