বীজগাণিতিক সূত্রাবলি ও এর প্রয়োগ

ধরি,
ভগ্নাংশটি a/(a + 2)
∴ (a - 5)/(a + 2 - 5) + 1/4 = 1
বা, (a - 5)/(a - 3) = 1 - 1/4
(a - 5)/(a - 3) = 3/4
বা, 4a - 20 = 3a - 9
বা, a = -9 + 20
= 11
∴ ভগ্নাংশটি = a/a + 2 = 11/(11 + 2)
= 11/13

x³+1/x^{3
= ( x + 1/x )}3 ^{- 3.x.1/x (x + 1/x)
= (√3)³- 3√3
= 3√3 - 3√3
= 0}

প্রশ্ন: যদি x² - √8x + 1 = 0 হয়, তবে x - (1/x) এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
x² - √8x + 1 = 0
⇒ x² + 1 = √8x
⇒ x + (1/x) = √8 [উভয়পাশে x দ্বারা ভাগ করে]

এখন, 
{x - (1/x)}² = {x + (1/x)}² - 4 . x . (1/x)
⇒ {x - (1/x)}² = (√8)² - 4
⇒ {x - (1/x)}² = 8 - 4
⇒ {x - (1/x)}² = 4
⇒ x - (1/x) = √4
∴ x - (1/x) = 2

z³ + 1/z³
= (z + 1/z)³ - 3 . z . 1/z . (z + 1/z)
= 4³ - 3 X 4
= 64 - 12
= 52

প্রশ্ন: x⁴ + 2x² + 1 = 5x² হলে, ‍x + 1/x এর মান কত? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
x⁴ + 2x² + 1 = 5x² 
⇒ x² + 2 + 1/x² = 5 
⇒ x² + 1/x² = 5 - 2 
⇒ x² + 1/x² = 3 
⇒ (x + 1/x)² – 2.x.(1/x) = 3 
⇒ (x + 1/x)² = 3 + 2
⇒ (x + 1/x)² = 5 
∴ x + 1/x = √5

প্রশ্ন: x/y এর সাথে কত যোগ করলে যোগফল y/x হবে?

সমাধান:
মনে করি,
x/y + p = y/x
বা, p = y/x - x/y
বা, p = (y² - x²) / xy

(x - y)/xy + (y - z)/yz + (z - x)/zx
= (zx - yz + xy - zx + yz - xy)/xyz
= 0/xyz
= 0

(x - y)²  = x² + y² -2xy
= 14 - 6
= 8

(x + y)² + (x - y)²
= (x² + 2xy + y²) + (x² - 2xy + y²)
= x² + 2xy + y² + x² - 2xy + y²
= 2x² + 2y²

1/a + 1/b
= (a + b)/ab
= √((a + b)²)/ab
= √(a² + b² + 2ab)/ab
= √{288 + (2 × 18)}/18
= √324/18
= 18/18
= 1

প্রশ্ন: (x/y) + (y/x) = - 1 হলে, x³ - y³ এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
(x/y) + (y/x) = - 1
⇒ (x² + y²)/xy = - 1
⇒ x² + y² = - xy
∴ x² + xy + y² = 0

আমরা জানি,
x³ - y³ = (x - y)(x² + xy + y²)
= (x - y) × 0
= 0

প্রশ্ন: x + 2y - 7 = 0 এবং 3x - y + 1 = 0 রেখাদ্বয়ের ঢালদ্বয়ের গুণফল কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
x + 2y - 7 = 0 এবং 3x - y + 1 = 0

আমরা জানি,
সরল রেখার সাধারণ সমীকরণ y = mx + c (যেখানে m = ঢাল)

এখন,
প্রথম রেখার ঢাল, 
x + 2y - 7 = 0
সমীকরণটিকে y = mx + c আকারে সাজালে পাই,
⇒ 2y = - x + 7
y = (- 1/2)x + (7/2)

সুতরাং, প্রথম রেখার ঢাল m₁ = - 1/2

দ্বিতীয় রেখার ঢাল,
3x - y + 1 = 0
সমীকরণটিকে y = mx + c আকারে সাজালে পাই,
⇒ y = 3x + 1
সুতরাং, দ্বিতীয় রেখার ঢাল m₂ = 3

∴ ঢালদ্বয়ের গুণফল = m₁ × m₂ = (- 1/2) × (3) = - 3/2

x² + y² = ৩১৩
বা, (x² + y²)² = (৩১৩)²
বা, (x² - y²)² + ৪x²y² = (৩১৩)²
বা, (x² - y²)² + ৪(১৫৬)² = (৩১৩)²
বা, (x - y)² + ৯৭৩৪৪ = ৯৭৯৬৯
বা, (x - y)² = ৯৭৯৬৯ - ৯৭৩৪৪ = ৬২৫
∴ x - y = ২৫

x² - y² = 15
বা, (x + y)(x - y) = 15
বা, 5(x - y) = 15
∴ x - y = 3
 8xy(x² + y²)
= 4xy.2(x² + y²)
= {(x + y)² - (x - y)²}{(x + y)² + (x - y)²}
= (5² - 3²)(5² + 3²)
= 16 × 34
= 544

প্রশ্ন: যদি 

সমাধান:

প্রশ্ন:

সমাধান: 

প্রশ্ন: যদি 2x + (2/x) = 6 হয়, তবে x² + 1/(x²) এর মান কত?  

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
2x + (2/x) = 6
⇒ 2{x + (1/x)} = 6
∴ x + (1/x) = 3 ……(1)

আমরা জানি,
x² + (1/x²)
= {x + (1/x)}² - 2
= 3² - 2
= 9 - 2
= 7

প্রশ্ন: x = 2 এবং y = 7 হলে, 25x² - 70xy + 49y² এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে, 
x = 2 এবং y = 7

প্রদত্ত রাশি,
= 25x² - 70xy + 49y²
= (5x)² - 2 × 5x × 7y + (7y)²
= (5x - 7y)2
= (5 × 2 - 7 × 7)²   ; [x ও y এর মান বসিয়ে]
= (10 - 49)²
= (- 39)²
= 1521

প্রশ্ন: x⁴ + 2x² + 1 = 8x² এবং x > 0 হলে, x + (1/x) এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
x⁴ + 2x² + 1 = 8x²
⇒ (x²)² + 2 . x² . 1 + 1² = 8x²
⇒ (x² + 1)² = 8x²
⇒ x² + 1 = √(8x²)
⇒ x² + 1 = 2√2 . x
⇒ (x² + 1)/x = 2√2   [উভয় পক্ষকে x দ্বারা ভাগ করে]
⇒ x²/x + 1/x = 2√2
∴ x + (1/x) =  2√2

প্রশ্ন: যদি x + y = 10 এবং x - y = 4 হয়, তবে 2x² + 2y² এর মান কত?

সমাধান:
দেয়া আছে,
x + y = 10 এবং x - y = 4

প্রদত্ত রাশি = 2x² + 2y²
= 2(x² + y²)
= (x + y)² + (x - y)²
= 10² + 4²
= 100 + 16
= 116

প্রশ্ন: যদি 3x = (3/x) + 4 হয়, তবে 27x³ - (27/x³) কত?

সমাধান:
দেয়া আছে,
3x = (3/x) + 4
⇒ 3x - 3/x = 4
⇒ 3(x - 1/x) = 4
⇒ x - (1/x) = 4/3

∴ 27x³ - (27/x³)
= 27(x³ - 1/x³)
= 27{(x - 1/x)³ + 3. x. (1/x)(x - 1/x)}
= 27{(4/3)³ + 3 × (4/3)}
= 27{(64/27) + 4)}
= 64 + 108
= 172

দেওয়া আছে, a - 1/a = 2
এখন, a² + (1/a)²
= (a - 1/a)² + 2. a. 1/a
= 2² + 2
= 4 + 2
= 6

প্রশ্ন: যদি 4a² + 1/a² = 3 হয়, তবে 8a³ + 1/a³ এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে ,
4a² + 1/a² = 3
⇒ (2a)² + (1/a)² = 3
⇒ (2a + 1/a)² - 2 . 2a  .1/a = 3
⇒ (2a + 1/a)² = 3 + 4
⇒ (2a + 1/a)² = 7
 ∴ 2a + 1/a =√7

এখন, 
8a³ + 1/a³
= (2a)³ + (1/a)³
= (2a + 1/a)³ - 3 . 2a .1/a (2a +1/a)
= (√7)³ - 6.√7
= 7√7 - 6√7
= √7

প্রশ্ন: p + q = 5 এবং p - q = 3 হলে, p² + q² এর মান কত?  

সমাধান: 
আমরা জানি,
2 (p² + q²) = (p + q)² + (p - q)²
বা, (p² + q²) = {(p + q)² + (p - q)²}/2 
বা, (p² + q²) = {(5)² + (3)²}/2 
বা, (p² + q²) = (25 + 9)/2 
বা, (p² + q²) = 34/2 
∴ p² + q² = 17 

x² - 1/x² = 4
বা, (x² - 1/x²)² = 16
বা, x⁴ + 1/x⁴ - 2.x².1/x² = 16
বা, x⁴ + 1/x⁴ = 16 + 2 = 18

প্রশ্ন: a + b = 3 এবং a - b = √7 হলে, 8ab(a² + b²) = কত? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
a + b = 3 এবং a - b = √7 

এখন, 
 8ab(a² + b²)
= 4ab × 2(a² + b²)
= {(a + b)² - (a - b)²} × {(a + b)² + (a - b)²}
= {(3)² - (√7)²} × {(3)² + (√7)²}
= (9 - 7) × (9 + 7) 
= 2 × 16
= 32

(- 1 ) × ( - 1 ) × ( 1 ) + ( - 1 ) ÷  ( -1 ) × ( -1 ) 
= 1 - 1 = 0

যুক্তিঃ 16x² + 16x + 2
= (4x)² + 2.4x.2 + (2)² - 2
= (4x + 2)² - 2
সুতরাং, 2 যোগ করতে হবে।

ধরি, ছোট সংখ্যাটি = x
∴ বড় সংখ্যাটি = x+1
প্রশ্নমতে,
(x+1)² - x² = 199
⇒ x²+2x+1-x² = 199
⇒ 2x = 198
∴ x = 99
∴ (x+1) = 100

প্রশ্ন: a + c = 9 এবং a² + c² = 45 হলে, a³ + c³ এর মান কত?

সমাধান:
a² + c² = 45
⇒ (a + c)² - 2ac = 45
⇒ 9² - 2ac = 45
⇒ 81 - 2ac = 45
⇒ - 2ac = 45 - 81
⇒ - 2ac = - 36
∴ ac = 18

এখন,
a³ + c³ = (a + c)³ - 3ac(a + c)
= 9³ - 3 × 18 × 9
= 729 - 54 × 9
= 729 - 486
= 243

∴ a³ + c³ এর মান 243 

প্রশ্ন: P + 3/P = 5 হলে, P⁶ - 80P³ = কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
P + 3/P = 5
⇒ (P + 3/P)³ = 5³
⇒ P³ + (3/P)³ + 3 × P × 3/P × (P + 3/P) = 125
⇒ P³ + (27/P³) + 9 × 5 = 125
⇒ P³ + (27/P³) + 45 = 125
⇒ P³ + (27/P³) = 125 - 45
⇒ P³ + (27/P³) = 80
⇒ P⁶ + 27 = 80P³
∴ P⁶ - 80P³ = - 27

প্রশ্ন: a + b = √8 এবং a - b = √6 হলে, 8ab (a² + b²) = কত? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
a + b = √8 
এবং a - b = √6

এখন, 
8ab(a² + b²) 
= 4ab × 2(a² + b²) 
= {(a + b)² - (a - b)²} × {(a + b)² + (a - b)²} 
= {(√8)² - (√6)²} × {(√8)² + (√6)²}
= (8 - 6) × (8 + 6) 
= 2 × 14 
= 28

প্রশ্ন: x = 3 + √8 হলে, x² + (1/x²) এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে, x = 3 + √8
⇒ 1/x = 1/(3 + √8)
= (3 - √8)/((3 + √8)(3 - √8))
= (3 - √8)/{3² - (√8)²}
= (3 - √8)/(9 - 8)
∴ 1/x = 3 - √8

এখন,
x + 1/x = 3 + √8 + 3 - √8
= 6

আমরা জানি,
x² + (1/x²) = (x + 1/x)² - 2 . x . (1/x)
= (x + 1/x)² - 2
= 6² - 2
= 36 - 2
= 34

প্রশ্ন: যদি a + b = 5 এবং a² + b² = 13 হয়, তবে a³ + b³ এর মান কত? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে,
a + b = 5
বা, (a + b)² = 5²
বা, a² + 2ab + b² = 25 
বা, 13 + 2ab = 25 [a² + b² = 13] 
বা, 2ab = 25 - 13
বা, 2ab = 12
∴ ab = 6

এখন,
a³ + b³ = (a + b)³ - 3ab(a + b)
= (5)³ - 3 × 6 × 5
= 125 - 90
= 35