Bank Math

Question: A shopkeeper incurs a loss by selling an article for Tk 800. If he had sold it for Tk 1200, he would have made a profit which is three times the initial loss. At what price should he sell the article to make 25% profit?

Solution:
ধরি, পণ্যের ক্রয়মূল্য = x টাকা
800 টাকায় বিক্রি করলে ক্ষতি = x - 800 টাকা
1200 টাকায় বিক্রি করলে লাভ = 1200 - x টাকা

প্রশ্নমতে,
1200 - x = 3(x - 800)
⇒ 1200 - x = 3x - 2400
⇒ 1200 + 2400 = 3x + x
⇒ 3600 = 4x
⇒ x = 3600/4
∴ x = 900

এখন,
25% লাভে,
ক্রয়মূল্য 100 টাকা হলে বিক্রয়মূল্য 125 টাকা
ক্রয়মূল্য 1 টাকা হলে বিক্রয়মূল্য (125/100) টাকা
∴ ক্রয়মূল্য ৯০০ টাকা হলে বিক্রয়মূল্য (125 × 900)/100 টাকা
= 1125 টাকা

Question: The equation 4x² + 12px + 9 = 0 has real and equal roots, if-

Solution:
Given, 4x² + 12px + 9 = 0

Here a = 4, b = 12p, c = 9

যেহেতু প্রদত্ত সমীকরণটির বাস্তব ও সমান মূল আছে,
∴ b² - 4ac = 0
⇒ (12p)² - 4 × 4 × 9 = 0
⇒ 144p² - 144 = 0
⇒ 144p² = 144
⇒ p² = 1
⇒ p = ± 1

সুতরাং, p = 1 অথবা p = -1

• দ্বিঘাত সমীকরণের মূলের প্রকৃতি:
1. যদি b² - 4ac = 0 হয় তবে দ্বিঘাত সমীকরণের মূলদ্বয় বাস্তব ও সমান হবে।
2. যদি b² - 4ac > 0 হয় তবে দ্বিঘাত সমীকরণের মূলদ্বয় বাস্তব ও অসমান হবে।
3. যদি b² - 4ac < 0 হয় তবে দ্বিঘাত সমীকরণের মূলদ্বয় অবাস্তব ও অসমান হবে।
4. যদি b² - 4ac পূর্ণবর্গ সংখ্যা হয় তবে দ্বিঘাত সমীকরণের মূলদ্বয় মূলদ ও অসমান হবে।

Question: A man borrowed some money for six months. He paid Tk. 500 at an interest rate of 10% per annum. What was the amount he borrowed?

Solution:
এখানে,
সরল সুদ (SI) = Tk. 500
সুদের হার, r = 10%
সময়, n = 6 মাস = 6/12 = 1/2 বছর
আসল (Principal), P = ?

আমরা জানি,
I = Pnr/100
⇒ 500 = (P × 1/2 ×10)/100
⇒ 500 = 5P/100
⇒ 500 = P/20
⇒ P = 20 × 500
∴ P = 10000

অতএব, তিনি মোট Tk. 10,000 ধার নেন।

Let the speed of the current be x kmph
Then speed of the boat in still water = 5x

∴ Downstream speed
= (5x + x) = 6x km/hr.
Upstream speed
= (5x - x)
= 4x km/hr

Now,
According to the question,
1.1 × 6x = 13.2 km
6.6x = 13.2
x = 13.2/6.6
x = 2 km/hr.

Upstream speed
= 4x = 4 × 2 = 8 km/hr

∴ 312 minutes
= 312/60 hours
= 5(1/5) hours

∴ Required Distance travelled upstream
= Speed × Time
= 8 × (26/5)
= 41.6 km

Average speed = (2 × 3 × 2)/(2 + 3)
= 12/5 km/h
Total time taken = 5 hours
Distance travelled = (12/5) × 5
= 12 km
Therefore, distance between his house and office
= 12/2
= 6 km.

In the 1st case,
1/9 part of the tank is emptied in 1 min
In the 2nd case,
1/6 part of the tank is emptied in 1 min
So, together in 1 min, they empties = (1/9 + 1/6) = 5/18 part

Now, 5/18 part is emptied in 1 minute
∴ 1 or, total part is emptied in = 18/5 = 3.6 minutes

Question: A is five times as old as B. 5 years ago, A was ten times as old as B. What will be the sum of their ages after 8 years?

সমাধান:
ধরি,
B-এর বর্তমান বয়স = x বছর
A-এর বর্তমান বয়স = 5x বছর

5 বছর আগে,
B-এর বয়স ছিল = (x - 5) বছর
A-এর বয়স ছিল = (5x - 5) বছর

প্রশ্নমতে,
5x - 5 = 10(x - 5)
⇒ 5x - 5 = 10x - 50
⇒ 50 - 5 = 10x - 5x
⇒ 45 = 5x
⇒ x = 45/5
∴ x = 9

সুতরাং, B-এর বর্তমান বয়স 9 বছর এবং A-এর বর্তমান বয়স 5 × 9 = 45 বছর।

8 বছর পর,
B-এর বয়স হবে = 9 + 8 = 17 বছর
A-এর বয়স হবে = 45 + 8 = 53 বছর

∴ 8 বছর পর তাদের বয়সের সমষ্টি হবে = 17 + 53 = 70 বছর।

Assume that the Third Variety of Tea quantity is X.
Then (126 X 1 + 135 X 1 + 2 X x)/(1+1+2) = 153
On solving,
261 + 2x = 4 X 153
2x = 612-261
x = 351/2
∴ x = 175.50

A: B = 3 : 4 = (3 × 4) : (4 × 4) = 12 : 16
C : B = 5 : 4 = (5 × 4) : (4 × 4) = 20 : 16
C : D = 10 : 9 = (10 × 2) : (9 × 2) = 20 : 18
∴ A : B : C : D = 12 : 16 : 20 : 18 = 6 : 8 :10 : 9

Question: Excluding stoppages, the speed of a bus is 80 kmph and including stoppages, it is 60 kmph. For how many minutes does the bus stop per hour?

Solution:
স্টপেজ ছাড়া বাসের গতিবেগ = 80 কিমি/ঘন্টা
স্টপেজ সহ বাসের গতিবেগ = 60 কিমি/ঘন্টা

প্রতি ঘন্টায় বাসটি যে দূরত্ব কম অতিক্রম করে = (80 - 60) কিমি = 20 কিমি।

এই 20 কিমি দূরত্ব অতিক্রম করতে বাসটির যে সময় লাগতো, সেই সময়টুকুই বাসটি থেমে থাকে।

গতিবেগ 80 কিমি/ঘন্টা হলে 20 কিমি যেতে সময় লাগে:
সময় = দূরত্ব/গতিবেগ
= 20 কিমি/80 কিমি/ঘন্টা
= 1/4 ঘন্টা
= (1/4 × 60) মিনিট
= 15 মিনিট

সুতরাং, প্রতি ঘন্টায় বাসটি 15 মিনিট থামে।

x = 125% of y = 125y/100 = 5y/4
⇒ y = 4x/5
Again,
x = 80% of z = 80z/100 = 4z/5
⇒ z = 5x/4
x : y : z = x : 4x/5 : 5x/4 = 20 : 16 : 25
Sum of ratio = 20 + 16 + 25 = 61
So, x makes a week = 20/61 × 36600 = 20×600 = 12000 tk.

Let C = x.
Then, B = x + 5000 and A = x + 5000 + 4000 = x + 9000
So, x + x + 5000 + x + 9000 = 50000
⇒ 3x = 36000
⇒ x = 12000
A : B : C = 21000 : 17000 : 12000 = 21 : 17 : 12
So A's Share 
= Tk 35000× (21/50)
= Tk 14700

Question: If the difference between the circumference and diameter of a circle is 240 cm, then the diameter of the circle is:

Solution:
ধরি,
বৃত্তের ব্যাসার্ধ = r
বৃত্তের ব্যাস = 2r
বৃত্তের পরিধি = 2πr

প্রশ্নমতে,
2πr - 2r = 240
⇒ 2r(π - 1) = 240
⇒ r = (240/2){(22/7) - 1}
⇒ r = 120/(22 - 7)/7
⇒ r = (120 × 7)/15
∴ r = 56

∴ বৃত্তের ব্যাস = 2r = 2 × 56 = 112 সে.মি.

Question: If a + (1/a) = √7, what is the value of a³ + (1/a³)?

Solution:
দেওয়া আছে, a + (1/a) = √7

এখন,
a³ + (1/a³)
= (a + 1/a)³ - 3 . a . 1/a(a + 1/a)
= (√7)³ - 3 × (√7)
= 7√7 − 3√7
= 4√7

Question: An investment doubles in 8 years at simple interest. In how many years will it become four times?

Solution:
Given:
In 8 years, interest earned = P (because, P + interest = 2P)

To become 4 times (Total amount = 4P):
Interest needed = 4P - P = 3P

Since interest is earned linearly with time at simple interest:

P interest in = 8 years
3P interest in = 8 × 3 = 24 years

∴ 24 years

Question: A watch priced at Tk. 1200 discount two times and bought at Tk. 600. The first discount was 20%. What is the second discount?

 Solution:
Marked Price = 1200 taka
First discount = 20%
Second discounted price = 600

Suppose,
Second discount % = x

First discounted price = 1200 - (20% of 1200)
= 1200 - 240
= 960

Second discounted price = 960 - (x% of 960)
600 = 960 - (x% of 960) 
960(1 - x / 100) = 600

ধরি,
বৃহত্তর সংখ্যাটি x এবং ক্ষুদ্রতর সংখ্যাটি y
প্রশ্নমতে,
x - y = 5 ............(i)
এবং x² - y² = 65...........(ii)
(ii) নং সমীকরণ হতে পাই,
x² - y² = 65
⇒ (x + y)(x - y) = 65
⇒ 5(x + y) = 65
⇒ x + y = 13 ................(iii)
এখন (i) ও (iii) নং সমীকরণ যোগ করে পাই,
(x - y) + (x + y) = 18
⇒ 2x = 18
⇒ x = 9
বৃহত্তর সংখ্যাটি 9.

Question: A and B started a business investing in the ratio 3 : 4. After 5 years, A withdrew his capital. B continued alone for 5 more years. If the total profit after 10 years is Tk. 88,000, what is A's share of the profit?

Solution:
Let A's capital = 3x
B's capital = 4x

A's investment for 5 years = 3x × 5 = 15x
B's investment for 10 years = 4x × 10 = 40x

Ratio of profits = 15x : 40x
= 15 : 40
= 3 : 8

Total contribution units = 3 + 8 = 11

Total profit = Tk. 88,000
∴ A's share = (3/11) × 88,000
= 3 × 8,000
= 24,000

∴ A's share = Tk. 24,000

We know,
M₁D₁T₁W₂ = M₂D₂T₂W₁ [Men = M; Days = D; Time/Hours = T; Work = W]

1 child binds half the number of books bound by 1 adult
∴ 1 adult = 2 children
Take work done = 1
∴ (20 adults + 16 children) x 10 days x 1 = (8 adults + 12 children) x ? days x 1
∴ 56 children x 10 days x 1 = 28 children x ? days x 1 [Convert either all adults to children or all children to adults.]
∴ ? = 20 days = they will need these many days.

Question: If k is a positive integer, what is the smallest possible value of k such that 1512 × k is the square of an integer?

Solution:
আমরা জানি, একটি সংখ্যা পূর্ণবর্গ হতে হলে এর মৌলিক গুণনীয়কের ঘাতসমূহ জোড় সংখ্যা হতে হবে।

1512 = 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 3 × 7
= 2³ × 3³ × 7

1512k = 2³ × 3³ × 7 × k
এখন k এর মান 2 × 3 × 7 = 42  হলে, 1512k একটি পূর্ণবর্গ সংখ্যা হবে।

1512 × 42 = (2³ × 3³ × 7¹) × (2 × 3 × 7)
=2⁴ × 3⁴ × 7² 
যেহেতু এই গুণফলের সব মৌলিক উৎপাদকের ঘাত জোড়, তাই এটি একটি পূর্ণবর্গ সংখ্যা।

সুতরাং, k = 42, হলে 1512 × k পূর্ণবর্গ সংখ্যা হয়।

Given that,
cos θ = 15/17
⇒ secθ = 17/15
⇒ sec²θ = 289/225
⇒ 1 + tan²θ = 289/225
⇒ tan²θ = 289/225 - 1
⇒ tan²θ = 64/225
⇒ tanθ = 8/15
⇒ cot(90 - θ) = 8/15

Question: The ratio of two numbers is 3 : 4 and their H.C.F is 5. Their L.C.M is -

Solution:
ধরি, সংখ্যা দুটি হলো 3x এবং 4x
∴ গসাগু (H.C.F) = x = 5

∴ সংখ্যা দুটি হলো: 3 × 5 = 15 এবং 4 × 5 = 20
∴ সংখ্যাদ্বয়ের গুণফল = 15 × 20 = 300 এবং H.C.F = 5

আমরা জানি, L.C.M = (Product of two numbers)/H.C.F
= 300/5 = 60

∴ সংখ্যা দুটির লসাগু (L.C.M) = 60

Question: The volume V of a right circular cylinder is V = πr²h where r is the radius of the base and h is the height of the cylinder. If the volume of a right circular cylinder is 81π and its height is 9, what is the circumference of its base?

Solution: 
একটি সিলিন্ডারের উচ্চতা h একক ও ব্যাসার্ধ r একক হলে,
উক্ত সিলিন্ডারের আয়তন = πr²h ঘন একক
 
প্রশ্নমতে,
πr² × h = 81π
⇒ πr²  × 9 = 81π
⇒ r² = 9
∴r = 3
 
সুতরাং বৃত্তের পরিধি = 2πr = 2π × 3 = 6π

Question: If A = 3, B = 6, C = 9, and so on, what is the meaning of the following numbers 36, 27, 45, 42?

Solution:
Given,
A = 3, B = 6, C = 9, ......

∴ প্রতিটি কোড = অক্ষরের অবস্থান × 3

So,
36 ÷ 3 = 12 → L
27 ÷ 3 = 9 → I
45 ÷ 3 = 15 → O
42 ÷ 3 = 14 → N

∴ The meaning of the following number = LION

Question: Two ships are sailing in the sea on the two sides of the lighthouse. The angles of elevation of the top of the lighthouse observed from the ships are 30° and 60°, respectively. If the lighthouse is 60 m high, what is the distance between the two ships?

Solution:

দেওয়া আছে, বাতিঘরের উচ্চতা AD = 60 m।
জাহাজ দুটির অবস্থান B এবং C; মোট দূরত্ব BC = BD + DC
উন্নতি কোণ: ∠ABD = 30° এবং ∠ACD = 60°

প্রথমে, ΔADC থেকে DC নির্ণয় করি:
tan 60° = AD/DC
 ⇒ √3 = 60/DC
⇒ DC = 60/√3
⇒ DC = (60√3)/3 
⇒ DC = 20√3 m

এরপর, ΔADB থেকে BD নির্ণয় করি:
tan 30° = AD/BD
⇒ 1/√3 = 60/BD
⇒ BD = 60√3 m

তাহলে, BC = BD + DC = 60√3 + 20√3 = 80√3 m

অতএব, জাহাজ দুটির মাঝের দূরত্ব = 80√3 m

40 ঘন্টার জন্য regular pay = (30 × 40) = 1200 টাকা।
Overtime এর টাকার পরিমান = (1680 - 1200) টাকা = 480 টাকা
যেহেতু, Overtime এর প্রতিদিনের টাকার পরিমান Regular Payment এর দ্বিগুন,
সেহেতু মোট overtime কাজ করার সময় = (480 ÷ (30×2) ঘন্টা = 8 ঘন্টা

Question: A man earns the same amount every day, but on Sunday he earns three times as much as on the other days. What fraction of his total weekly earnings does he earn on Sunday?

Solution:
Let us assume that on each day except Sunday, he earns x taka.

Then,
Earnings on the other 6 days = 6x taka
Earnings on Sunday = 3x taka (since it is three times the usual daily amount)

∴ Total earnings in a week = 6x + 3x = 9x taka

Therefore, the fraction of the total weekly earnings that he earns on Sunday is,
= Sunday’s earnings/Total weekly earnings
= 3x/9x
= 1/3

So he earns 1/3 (one-third) of his total weekly earnings on Sunday.

Given, 4x - 3y = 24.5 ..... (i) and 5x + 2y = -1 ...... (ii)
Lets, (ii)×3 + (i)×2
⇒ 15x + 6y + 8x - 6y = - 3 + 49
⇒ 23x = 46
⇒ x = 2